Превосходное высокосложное число

Функция делителя d ( n ) до n = 250

Факторы первичной мощности

В теории чисел высшее составное число — это натуральное число , которое в строгом смысле имеет множество делителей . В частности, оно определяется соотношением числа делителей целого числа и числа, возведенного в некоторую положительную степень.

Для любого возможного показателя степени любое целое число, имеющее наибольшее соотношение, является превосходным составным числом. Это более сильное ограничение, чем у составного числа , которое определяется как имеющее больше делителей, чем любое меньшее положительное целое число.

Перечислены первые десять высших весьма составных чисел и их факторизация.

# основной факторы	SHCN н	Основной факторизация	Основной показатели	# делителей д ( н )	Первобытный факторизация
1	2	2	1	2	2
2	6	2 ⋅ 3	1,1	4	6
3	12	2 2 ⋅ 3	2,1	6	2 ⋅ 6
4	60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	2,1,1	12	2 ⋅ 30
5	120	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5	3,1,1	16	2 2 ⋅ 30
6	360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	3,2,1	24	2 ⋅ 6 ⋅ 30
7	2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	3,2,1,1	48	2 ⋅ 6 ⋅ 210
8	5040	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	4,2,1,1	60	2 2 ⋅ 6 ⋅ 210
9	55440	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4,2,1,1,1	120	2 2 ⋅ 6 ⋅ 2310
10	720720	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13	4,2,1,1,1,1	240	2 2 ⋅ 6 ⋅ 30030

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Числа с высокой степенью сложности выделены жирным шрифтом, а числа с высокой степенью сложности отмечены звездочкой. В файле SVG наведите указатель мыши на полосу, чтобы просмотреть ее статистику.

Для высшего весьма составного числа n существует положительное действительное число ε > 0 такое, что для всех натуральных чисел k > 1 имеем $${\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}$$ где d ( n ) , функция делителя , обозначает количество делителей числа n . Этот термин был придуман Рамануджаном (1915).

Например, число с наибольшим количеством делителей на квадратный корень из самого числа равно 12; это можно продемонстрировать на примере некоторых высококомпозитных материалов около 12. $${\frac {2}{2^{.5}}}\approx 1.414,{\frac {3}{4^{.5}}}=1.5,{\frac {4}{6^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {6}{12^{.5}}}\approx 1.732,{\frac {8}{24^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {12}{60^{.5}}}\approx 1.549$$

120 — еще одно превосходящее составное число, поскольку оно имеет наибольшее отношение делителей к самому себе, возведенное в степень 0,4. $${\frac {9}{36^{.4}}}\approx 2.146,{\frac {10}{48^{.4}}}\approx 2.126,{\frac {12}{60^{.4}}}\approx 2.333,{\frac {16}{120^{.4}}}\approx 2.357,{\frac {18}{180^{.4}}}\approx 2.255,{\frac {20}{240^{.4}}}\approx 2.233,{\frac {24}{360^{.4}}}\approx 2.279$$

Первые 15 высших сложных чисел: 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (последовательность A002201 в OEIS ) тоже первые 15 колоссально обильные числа , которые удовлетворяют аналогичному условию, основанному на функции суммы делителей, а не на количестве делителей. Однако ни один из наборов не является подмножеством другого.

Характеристики

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Все высшие весьма составные числа являются весьма составными . Это легко доказать: если существует некоторое число k , которое имеет то же число делителей, что и n , но меньше самого n (т. е. $d(k)=d(n)$, но $k<n$), затем ${\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}>{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}$ для всех положительных ε, поэтому, если число «n» не является очень составным, оно не может быть превосходящим весьма составным.

Эффективное построение множества всех высших весьма составных чисел дается следующим монотонным отображением положительных действительных чисел. Позволять $$e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor$$для любого простого числа p и положительного действительного x . Затем $$s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}$$ — превосходное весьма составное число.

Обратите внимание, что произведение не обязательно вычислять бесконечно, потому что, если $p>2^{x}$ затем $e_{p}(x)=0$, поэтому произведение для расчета $s(x)$ можно прекратить один раз $p\geq 2^{x}$.

Также отметим, что в определении $e_{p}(x)$, $1/x$ аналогичен $\varepsilon$ в неявном определении высшего весьма составного числа.

При этом для каждого высшего весьма составного числа $s'$ существует полуоткрытый интервал $I\subset \mathbb {R} ^{+}$ такой, что $\forall x\in I:s(x)=s'$.

Из этого представления следует, что существует бесконечная последовательность $\pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P}$ такая, что для n -го старшего весьма составного числа $s_{n}$ держит $$s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}$$

Первый $\pi _{i}$ равны 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, ... (последовательность A000705 в OEIS ). Другими словами, частное двух последовательных старших весьма составных чисел является простым числом.

Корни

Первые несколько высших сложных чисел часто использовались в качестве оснований из -за их высокой делимости по размеру. Например:

• Двоичный (основание 2)
• Сценарий (база 6)
• Двенадцатеричная система счисления (основание 12)
• Шестидесятеричная система (основание 60)

Большие SHCN можно использовать и другими способами. 120 отображается как длинная сотня , а 360 — как количество градусов в круге.

Ссылки

• Рамануджан, С. (1915). «Высокосложные числа» . Учеб. Лондонская математика. Соц . Серия 2. 14 : 347–409. дои : 10.1112/plms/s2_14.1.347 . ЖФМ   45.1248.01 . Перепечатано в Сборнике статей (под ред. Г.Х. Харди и др.), Нью-Йорк: Челси, стр. 78–129, 1962 г.
• Шандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . стр. 45–46. ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Превосходное весьма составное число» . Математический мир .