Собственные значения и собственные векторы

В линейной алгебре собственное вектор ( / ˈ aɪ ɡ ən - / eight -gən- ) или характерный вектор -это вектор , который не изменяется в результате данного линейного преобразования . Точнее, собственный вектор, $\mathbf {v}$ , линейного преобразования, $T$ , масштабируется постоянным фактором , $\lambda$ , когда к нему применяется линейное преобразование: $T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ Полем Часто важно знать эти векторы в линейной алгебре. Соответствующее собственное значение , характерное значение или характерный корень - это умножающий коэффициент $\lambda$ .

Геометрически векторы представляют собой многомерные величины с величиной и направлением, часто изображаемые как стрелки. Линейное преобразование вращается , растягивает или пошевелится векторы, на которые оно действует. Его собственные векторы - это те векторы, которые растягиваются только без вращения и сдвига. Соответствующее собственное значение является фактором, посредством которого собственный вектор растягивается или сжимается. Если собственное значение является отрицательным, направление собственного вектора полностью изменено. ^{[ 1 ]}

Собственные векторы и собственные значения линейной трансформации служат для характеристики его, и поэтому они играют важную роль во всех областях, где применяется линейная алгебра, от геологии до квантовой механики . В частности, часто бывает тот случай, когда система представлена линейным преобразованием, выходы которых подаются в качестве входов к тому же преобразованию ( обратная связь ). В таком приложении наибольшее собственное значение имеет особое значение, поскольку оно регулирует долгосрочное поведение системы после многих применений линейного преобразования, а соответствующий собственный вектор является устойчивым состоянием системы.

Определение

Рассмотреть $n{\times }n$ Матрица $А$ и ненулевой вектор $\mathbf {v}$ длины $n.$ Если $с$ умножение $\mathbf {v}$ (обозначен $A\mathbf {v}$ ) просто масштаб $\mathbf {v}$ по коэффициенту $λ$ , где $λ$ - скаляр , тогда $\mathbf {v}$ называется собственным вектором $a$ , а $λ$ - соответствующее собственное значение. Эти отношения могут быть выражены как: $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$ . ^{[ 2 ]}

Существует прямое соответствие между n -by -n квадратными матрицами и линейными преобразованием из n -мерного векторного пространства в себя, учитывая любую основу векторного пространства. Следовательно, в конечномерном векторном пространстве он эквивалентен определению собственных значений и собственных векторов с использованием либо языка матриц , либо языка линейных преобразований. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

В следующем разделе дается более общая точка зрения, которая также охватывает бесконечные векторные пространства .

Обзор

Собственные значения и собственные векторы отмечаются в анализе линейных преобразований. префикса Собственность принимается из немецкого слова собственного слова ( родственного с английским словом собственным ) для «правильного», «характерного», «собственного». ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} Первоначально используемые для изучения основных оси вращательного движения твердых тел , собственных значений и собственных векторов имеют широкий спектр применений, например, в анализе стабильности , анализе вибрации , атомных орбиталях , распознавании лица и диагонализации матрицы .

По сути, собственное вектор V линейного преобразования T является ненулевым вектором, который, когда T к нему применяется , не меняет направление. Применение t к собственному вектору только масштабирует собственное вектор только по скалярному значению λ , называемого собственным значением. Это условие можно записать как уравнение $T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$ называется уравнением собственного значения или собственным значением . В общем, λ может быть любым скалярным . Например, λ может быть отрицательным, и в этом случае собственный вектор реверсирует направление как часть масштабирования, или он может быть нулевым или сложным .

Пример здесь, основанный на Моне Лизе , дает простую иллюстрацию. Каждая точка на картине может быть представлена как вектор, указывающий на центр картины до этой точки. Линейное преобразование в этом примере называется сдвигом . Точки в верхней половине перемещаются вправо, а точки в нижней половине перемещаются влево, пропорционально тому, насколько они от горизонтальной оси, которая проходит через середину картины. Поэтому векторы, указывающие на каждую точку на исходном изображении, наклонены вправо или влево и становятся все более длинными или короче при преобразовании. Точки вдоль горизонтальной оси вообще не двигаются при применении этого преобразования. Следовательно, любой вектор, который указывает непосредственно вправо или влево без вертикального компонента, является собственным вектором этого преобразования, поскольку отображение не изменяет его направление. Более того, все эти собственные векторы имеют собственное значение, равное одному, потому что картирование также не изменяет их длину.

Линейные преобразования могут принимать множество различных форм, отображать векторы в различных векторных пространствах, поэтому собственные векторы также могут принимать множество форм. Например, линейное преобразование может быть оператором дифференциальным ${\tfrac {d}{dx}}$ , в этом случае собственные векторы представляют собой функции, называемые собственными функциями , которые масштабируются этим дифференциальным оператором, например, как ${\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.$ В качестве альтернативы, линейное преобразование может принять форму n с n матрицей, и в этом случае собственные векторы имеют n на 1 матрицу. Если линейное преобразование выражено в форме N с N -матрицей A , то уравнение собственного значения для линейного преобразования выше может быть переписано как умножение матрицы $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$ где собственное вектор V представляет собой матрицу n на 1. Для матрицы можно использовать собственные значения и собственные векторы для разложения матрицы - например, путем диагонализации ее.

Собственные значения и собственные векторы вызывают многие тесно связанные математические концепции, и при применении префикса применяется либерально при их именовании:

Набор всех собственных векторов линейного преобразования, каждый из которых сочетается с соответствующим собственным значением, называется собственной эмистемой этого преобразования. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}
Набор всех собственных векторов T , соответствующих одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором, называется собственной пространством или характерным пространством T , связанного с этим собственным значением. ^{[ 9 ]}
Если набор собственных векторов T образует основу домена T , то эта основа называется собственным собственным .

История

Собственные значения часто вводятся в контексте линейной алгебры или теории матрицы . Исторически, однако, они возникли при изучении квадратичных форм и дифференциальных уравнений .

В 18 -м веке Леонхард Эйлер изучал вращательное движение твердого тела и обнаружил важность главных оси . ^{[ А ]} Джозеф-Луи Лагранж понял, что основные оси являются собственными векторами инерционной матрицы. ^{[ 10 ]}

В начале 19-го века Августин-Луи Коши увидел, как их работа может быть использована для классификации квадратных поверхностей и обобщения ее до произвольных измерений. ^{[ 11 ]} Cauchy также придумал термин Racine Caractéristique (характерный корень), для того, что сейчас называется собственным значением ; Его термин сохраняется в характерном уравнении . ^{[ B ]}

Позже Джозеф Фурье использовал работу Лагранжа и Пьера-Симона Лапласа, чтобы решить уравнение тепла путем разделения переменных в своей знаменитой книге 1822 года Theorie Analytique de la Chaleur . ^{[ 12 ]} Чарльз-Франсуа Штурм разработал идеи Фурье и привлек их к сведению Коши, который объединил их со своими собственными идеями и пришел к тому факту, что настоящие симметричные матрицы имеют реальные собственные значения. ^{[ 11 ]} Это было расширено Чарльзом Хермитом в 1855 году на то, что сейчас называется гермимианскими матрицами . ^{[ 13 ]}

Примерно в то же время Франческо Броиши доказали, что собственные значения ортогональных матриц лежат на круге подразделения , ^{[ 11 ]} и Альфред Клебш нашел соответствующий результат для симметричных матриц . ^{[ 13 ]} Наконец, Карл Вейерштрас прояснил важный аспект в теории стабильности, начатой Лапласом, осознав, что дефектные матрицы могут вызвать нестабильность. ^{[ 11 ]}

Тем временем Джозеф Лиувиль изучал проблемы собственных значений, аналогичные проблемам Штурма; Дисциплина, которая выросла из их работы, теперь называется теорией Штурма -Лиувиля . ^{[ 14 ]} Шварц изучил первое собственное значение уравнения Лапласа на общих областях к концу 19 -го века, в то время как Пуанкаре изучал уравнение Пуассона через несколько лет. ^{[ 15 ]}

В начале 20 -го века Дэвид Хилберт изучал собственные значения интегральных операторов , рассматривая операторов как бесконечные матрицы. ^{[ 16 ]} Он был первым, кто использовал немецкий Слово Собственность , что означает «собственный», ^{[ 6 ]} Обозначать собственные значения и собственные векторы в 1904 году, ^{[ C ]} хотя он, возможно, следил за этим использованием Германа фон Хельмгольца . В течение некоторого времени стандартным термином на английском языке был «правильная ценность», но более характерный термин «собственное значение» является стандартом сегодня. ^{[ 17 ]}

Первый числовой алгоритм для вычисления собственных значений и собственных векторов появился в 1929 году, когда Ричард фон Мизес опубликовал метод мощности . Один из самых популярных методов сегодня, алгоритм QR , был предложен независимо от Джона Гф Фрэнсиса ^{[ 18 ]} and Vera Kublanovskaya ^{[ 19 ]} в 1961 году. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

Собственные значения и собственные векторы матриц

Собственные значения и собственные векторы часто знакомятся со студентами в контексте курсов линейной алгебры, ориентированных на матрицы. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]} Кроме того, линейные преобразования в конечномерном векторном пространстве могут быть представлены с использованием матриц, ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} что особенно распространено в численных и вычислительных приложениях. ^{[ 24 ]}

Рассмотрим $n$ -размерные векторы, которые образуются в виде списка $N$ скаляров, таких как трехмерные векторы $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.$

Эти векторы, как говорят, являются скалярными кратными друг друга, или параллельны или коллинеарными , если есть скалярная $λ,$ такое, что $\mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} .$

В этом случае, $\lambda =-{\frac {1}{20}}$ .

Теперь рассмотрим линейное преобразование $n$ определяемых $n$ N $-мерных векторов ,$ Matrix $A$ , $A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,$ или ${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$ где, для каждого ряда, $w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.$

Если это происходит, что $V$ и $W$ являются скалярными кратными, то есть если

A\mathbf {v} =\mathbf {w} =\lambda \mathbf {v} ,

( 1 )

Тогда $V$ является собственным вектором линейного преобразования $A$ , а фактор масштаба $λ$ является собственным значением, соответствующим этому собственному вектору. Уравнение ( 1 ) является уравнением собственного значения для матрицы $a$ .

Уравнение ( 1 ) может быть заявлено эквивалентно как

\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} ,

( 2 )

где $я$ n $n$ от $n$ идентификационной матрицы , а 0 - нулевой вектор.

Собственные значения и характерные полиномы

Уравнение ( 2 ) имеет ненулевое решение V , когда и только тогда, когда определяющий фактор матрицы ( a - λi ) равен нулю. Следовательно, собственные значения A являются значениями λ , которые удовлетворяют уравнению

\det(A-\lambda I)=0

( 3 )

Используя формулу Leibniz для детерминантов , левая сторона уравнения ( 3 ) является полиномиальной функцией переменной λ , а степень этого полинома составляет n , порядок матрицы a . Его коэффициенты зависят от записей А , за исключением того, что его термин степени n всегда (-1) ^нел ^неПолем называется полиномом характерным . Этот многочлен Уравнение ( 3 называется характерным уравнением или светским уравнением а ) .

Фундаментальная теорема алгебры подразумевает, что характерный полином н -бей -н -матрицы А , являющийся полиномом степени n , может быть учтена в продукт n линейных терминов,

\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),

( 4 )

Где каждый λ, _я могу быть реальным, но в целом является сложным числом. Числа λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n , которые не могут иметь различные значения, являются корнями полинома и являются собственными значениями а .

В качестве краткого примера, который более подробно описан в разделе примеров позже, рассмотрим матрицу $A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$

детерминанту ( a - λi ) , характерный многочлен Принимая $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.$

Установка характерного полинома, равного нулю, он имеет корни при λ = 1 и λ = 3 , которые являются двумя собственными значениями a . Собственные векторы, соответствующие каждому собственному значению, можно найти путем решения компонентов V в уравнении $\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ Полем В этом примере собственные векторы являются любыми ненулевыми скалярными кратными $\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$

Если записи матрицы А являются реальными числами, то коэффициенты характерного полинома также будут реальными числами, но у собственных значений все еще могут быть ненулевые воображаемые части. Таким образом, записи соответствующих собственных векторов также могут иметь ненулевые воображаемые части. Точно так же собственные значения могут быть иррациональными числами, даже если все записи A являются рациональными числами или даже если они все являются целыми числами. Однако, если все записи A являются алгебраическими числами , которые включают рациональные, собственные значения также должны быть алгебраическими числами.

Нереализованные корни реального полинома с реальными коэффициентами могут быть сгруппированы в пары сложных конъюгатов , а именно с двумя членами каждой пары, имеющими воображаемые части, которые различаются только по знаке и той же реальной части. Если степень нечетная, то теоремой промежуточного значения, по крайней мере, один из корней является реальной. Следовательно, любая реальная матрица с нечетным порядком имеет по крайней мере одно реальное собственное значение, тогда как реальная матрица с даже порядком может не иметь никаких реальных собственных значений. Собственные векторы, связанные с этими сложными собственными значениями, также являются сложными, а также появляются в сложных сопряженных парах.

Спектр матрицы

Спектр матрицы - это список собственных значений, повторяющихся в соответствии с множественностью; В альтернативной нотации набор собственных значений с их множественностью.

Важной величиной, связанной со спектром, является максимальное абсолютное значение любого собственного значения. Это известно как спектральный радиус матрицы.

Алгебраическая множественность

Пусть λ _Я собственным значением n n по n матрице . являюсь Алгебраическая множественность μ _a ( λ _i ) собственного значения - это его множественность как корень характерного полинома, то есть наибольшее целое число k, такое, что ( λ - λ _i ) ^k распределяется равномерно этот полином. ^{[ 9 ]}^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

Предположим, что матрица А имеет измерение n и d ≤ n различные собственные значения. внимание , что уравнение ( 4 ) учитывает характерный многочлен A в продукт n , потенциально повторяющими линейных терминов с некоторыми терминами Принимая во алгебраическая множественность, $\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.$

Если d = n, то правая сторона является продуктом N линейных терминов, и это то же самое, что уравнение ( 4 ). Размер каждой алгебраической множественности каждого собственного значения связан с измерением n как ${\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}$

Если μ _a ( λ _i ) = 1, то, значением _{как говорят ,} является простой собственным . ^{[ 26 ]} Если μ _a ( λ _i ) равняется геометрической множественности λ _i , γ _a ( λ _i ), определенного в следующем разделе, то λ _i, как говорят, является полупринятым собственным значением .

Собственные пространства, геометрическая множественность и собственные санкции для матриц

Учитывая конкретное собственное значение с помощью λ n n матрицы A , определите набор E, чтобы быть всеми векторами V , которые удовлетворяют уравнению ( 2 ), $E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.$

С одной стороны, этот набор - именно ядро или нулевое пространство матрицы ( a - λi ). С другой стороны, по определению, любой ненулевой вектор, который удовлетворяет этому условию, является собственным вектором связанного с λ . Таким образом, набор E представляет собой объединение нулевого вектора с набором всех собственных векторов, связанных с λ , и E равна нулевым пространству ( a - λi ). E называется собственным пространством или характерным пространством λ с связанного . ^{[ 27 ]}^{[ 9 ]} В общем, λ - это сложное число, а собственные векторы сложны n на 1 матрица. Свойство Nullspace заключается в том, что это линейное подпространство , поэтому E - линейный подпространство $\mathbb {C} ^{n}$ .

Поскольку собственное пространство E является линейным подпространством, оно закрыто в дополнение. То есть, если два вектора u и v принадлежат набору E , написанному u , v ∈ E , то ( U + V ) ∈ E или эквивалентно a ( u + v ) = λ ( u + v ) . Это можно проверить с помощью распределительного свойства умножения матрицы. Точно так же, поскольку E является линейным подпространством, он закрыт при скалярном умножении. То есть, если v ∈ E и α является сложным числом, ( α v ) ∈ E или эквивалентно a ( α v ) = λ ( α v ) . Это можно проверить, отметив, что умножение сложных матриц на сложные числа является коммутативным . Пока U + V и α V не равны нулю, они также являются собственными векторами, связанными с λ .

Размер собственного пространства E, связанного с λ , или, эквивалентно, максимальное количество линейно независимых собственных векторов, связанных с λ , называется геометрической множностью собственного значения. $\gamma _{A}(\lambda )$ Полем Поскольку e также является нулевым пространством ( a - λi ), геометрическая множественность λ - это измерение нуля ( a - λi ), также называемое нулевой ( a - λi ), которое относится к измерению и рангу ( A - λi ) как $\gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).$

Из -за определения собственных значений и собственных векторов геометрическим множественностью собственного значения должна быть по крайней мере один, то есть каждое собственное значение имеет по крайней мере один связанный собственный вектор. Кроме того, геометрическая множественность собственной значения не может превышать его алгебраической множественности. что алгебраическая множественность собственной значения не может превышать N. Кроме того, вспомните , $1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n$

Чтобы доказать неравенство $\gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )$ , рассмотрим, как определение геометрической множественности подразумевает существование $\gamma _{A}(\lambda )$ ортонормальные собственные векторы ${\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}$ , так что $A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}$ Полем Поэтому мы можем найти (унитарную) матрицу $V$ чей первый $\gamma _{A}(\lambda )$ столбцы являются этими собственными векторами, и оставшиеся столбцы могут быть любым ортонормальным набором $n-\gamma _{A}(\lambda )$ векторы, ортогональные эти собственные векторы $A$ Полем Затем $V$ имеет полный звание и поэтому является переносимым. Оценка $D:=V^{T}AV$ , мы получаем матрицу, верхний левый блок которого - диагональная матрица $\lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}$ Полем Это можно увидеть, оценив, что левая сторона делает с первыми векторами базисных столбцов. Реорганизуя и добавив $-\xi V$ С обеих сторон мы получаем $(A-\xi I)V=V(D-\xi I)$ с $I$ поездка с $V$ Полем Другими словами, $A-\xi I$ похож на $D-\xi I$ , и $\det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)$ Полем Но из определения $D$ , мы знаем, что $\det(D-\xi I)$ содержит коэффициент $(\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}$ , что означает, что алгебраическое множество $\lambda$ должен удовлетворить $\mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )$ .

Предполагать $A$ имеет $d\leq n$ Отличительные собственные значения $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$ , где геометрическая множественность $\lambda _{i}$ является $\gamma _{A}(\lambda _{i})$ Полем Общая геометрическая множественность $A$ , ${\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}$ является измерением суммы всех собственных пространств $A$ Собственные значения, или эквивалентно максимальное количество линейно независимых собственных векторов $A$ Полем Если $\gamma _{A}=n$ , затем

Прямая сумма собственных пространств всех $A$ Собственные значения - это все векторное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ .
Основа $\mathbb {C} ^{n}$ может быть сформирован из $n$ линейно независимые собственные векторы $A$ ; Такая основа называется собственным
Любой вектор в $\mathbb {C} ^{n}$ может быть написан как линейная комбинация собственных векторов $A$ .

Дополнительные свойства собственных значений

Позволять $A$ быть произвольным $n\times n$ матрица сложных чисел с собственными значениями $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ Полем Каждое собственное значение появляется $\mu _{A}(\lambda _{i})$ раз в этом списке, где $\mu _{A}(\lambda _{i})$ является алгебраической множественностью собственного значения. Ниже приведены свойства этой матрицы и ее собственных значений:

След $A$ определяется как сумма его диагональных элементов, также является суммой всех собственных значений, ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}
$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.$
Определяющий $A$ является продуктом всех его собственных значений, ^{[ 28 ]}^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}
$\det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.$
Собственные значения $k$ Th Power of $A$ ; т.е. собственные значения $A^{k}$ , для любого положительного целого числа $k$ , являются $\lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}$ .
Матрица $A$ Иноплектируется тогда и только тогда , когда каждое собственное значение является ненулевым.
Если $A$ неверно, тогда собственные значения $A^{-1}$ являются ${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$ И геометрическая множественность каждого собственного значения совпадает. Более того, поскольку характерным полиномом обратного является взаимный многочлен оригинала, собственные значения имеют одинаковую алгебраическую множественность.
Если $A$ равен его сопряженному транспонируемому $A^{*}$ , или эквивалентно, если $A$ это эрмитоан , тогда каждое собственное значение реально. То же самое относится и к любой симметричной реальной матрице.
Если $A$ является не только гермитовым, но и положительным определением , положительно-семидефинитом, негативным дефицитом или отрицательным семидефинитом, тогда каждое собственное значение является положительным, неотрицательным, отрицательным или неположительным, соответственно.
Если $A$ унитарный , каждое собственное значение имеет абсолютную ценность $|\lambda _{i}|=1$ .
Если $A$ является а $n\times n$ Матрица и $\{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\}$ его собственные значения, затем собственные значения матрицы $I+A$ (где $I$ Идентификационная матрица) $\{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}$ Полем Более того, если $\alpha \in \mathbb {C}$ , собственные значения $\alpha I+A$ являются $\{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}$ Полем В целом, для полинома $P$ Собственные значения матрицы $P(A)$ являются $\{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}$ .

Собственные векторы влево и справа

Многие дисциплины традиционно представляют векторы как матрицы с одним столбцом, а не как матрицы с одной строкой. По этой причине слово «собственное вектор» в контексте матриц почти всегда относится к правому собственному вектору , а именно вектором столбца , который право умножает $n\times n$ матрица $A$ В определяющем уравнении уравнение ( 1 ), $A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .$

Проблема с собственным значением и собственным вектором также может быть определена для строк векторов , которые оставили матрицу Умножения $A$ Полем В этой формулировке определяющее уравнение $\mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,$

где $\kappa$ это скаляр и $u$ является а $1\times n$ матрица. Любой вектор строки $u$ удовлетворение этого уравнения называется левым собственным вектором $A$ и $\kappa$ это связанное с собой собственное значение. Принимая транспонирование этого уравнения, $A^{\textsf {T}}\mathbf {u} ^{\textsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\textsf {T}}.$

Сравнивая это уравнение с уравнением ( 1 ), сразу же следует, что левый собственный вектор $A$ такой же, как транспонирование правого собственного вектора $A^{\textsf {T}}$ , с таким же собственным значением. Кроме того, поскольку характерный полином $A^{\textsf {T}}$ такой же, как характерный полином $A$ , левые и правые собственные векторы $A$ связаны с теми же собственными значениями.

Диагонализация и собственное составление

Предположим, что собственные векторы формы A основаны или эквивалентно a имеют n линейно независимых собственных векторов V ₁ , V ₂ , ..., V _n с соответствующими собственными значениями λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n . Собственные значения не должны быть различными. Определите квадратную матрицу Q, столбцы которых являются n линейно независимыми собственными векторами A ,

Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.

Поскольку каждый столбец Q является собственным вектором A , правое умножение A на Q шкалы каждого столбца Q на соответствующее собственное значение,

AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.

Имея это в виду, определите диагональную матрицу λ, где каждый диагональный элемент λ _{является} собственным значением, связанным колонном Q. с II Затем

AQ=Q\Lambda .

Поскольку столбцы Q являются линейно независимыми, Q инвертируется. Правильное умножение обеих сторон уравнения на Q ⁻¹,

A=Q\Lambda Q^{-1},

или вместо этого оставив умножение обеих сторон на Q ⁻¹,

Q^{-1}AQ=\Lambda .

Следовательно, A может быть разложено на матрицу, состоящую из его собственных векторов, диагональной матрицы с собственными значениями вдоль диагонали и обратной матрицы собственных векторов. Это называется Eigendecomposition , и это преобразование сходства . Такая матрица А , как говорят, похожа на диагональную матрицу λ или диагонализируется . Матрица Q - это изменение базисной матрицы преобразования сходства. По сути, матрицы A и λ представляют одно и то же линейное преобразование, выраженное в двух разных основаниях. Собственные векторы используются в качестве основы при представлении линейного преобразования в качестве λ.

И наоборот, предположим, что матрица А диагонализируется. Пусть p- не-синглазная квадратная матрица, такая, что P ⁻¹AP - это диагональная матрица d . Умножается оба на p , ap = pd . Следовательно, каждый столбец P должен быть собственным вектором A , собственное значение которого является соответствующим диагональным элементом d . Поскольку столбцы P должны быть линейно независимыми для того, чтобы был инвертируемым, существуют линейно независимые собственные векторы A. P Затем следует, что собственные векторы формы A , если и только тогда, когда A является диагонализацией.

Говорят, что матрица, которая не является диагонализацией, является дефектной . Для дефектных матриц понятие собственных векторов обобщается для обобщенных собственных векторов , а диагональная матрица собственных значений обобщается до нормальной формы Иордании . На алгебраически закрытом поле любая матрица А имеет нормальную форму Иордании и, следовательно, допускает основу обобщенных собственных векторов и разложения в обобщенные собственные пространства .

Вариационная характеристика

В случае с эрмитовой , собственные значения могут быть даны вариационной характеристикой. Самое большое собственное значение $H$ максимальное значение квадратичной формы $\mathbf {x} ^{\textsf {T}}H\mathbf {x} /\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x}$ Полем Значение $\mathbf {x}$ Это понимает, что максимум является собственным вектором.

Примеры матрицы

Двумерная матричная пример

Матрица преобразования a = $\left[{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}\right]$ Сохраняет направление фиолетовых векторов, параллельных v _{λ = 1} = [1 -1] ^Т и синие векторы, параллельные V _{λ = 3} = [1 1] ^ТПолем Красные векторы не параллельны ни с собственным вектором, поэтому их направления изменяются в результате преобразования. Длина фиолетовых векторов не изменяется после трансформации (из -за их собственного значения 1), в то время как синие векторы в три раза превышают длину оригинала (из -за их собственного значения 3). Смотрите также: расширенная версия, показывающая все четыре квадранта .

Рассмотрим матрицу $A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$

Рисунок справа показывает влияние этого преобразования на точечные координаты в плоскости. Собственные векторы V этого преобразования удовлетворяют уравнению ( 1 ), а значения λ , для которых определяющие средства матрицы ( a - λi ) равны нулю являются собственными значениями.

Принимая определение, чтобы найти характерный многочлен A , ${\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}$

Установка характерного полинома, равного нулю, он имеет корни при λ = 1 и λ = 3 , которые являются двумя собственными значениями a .

Для λ = 1 уравнение ( 2 ) становится, $(A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}$ $1v_{1}+1v_{2}=0$

Любой ненулевой вектор с V ₁ = - V ₂ решает это уравнение. Поэтому, $\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$ является собственным вектором, соответствующего λ = 1, как и любой скалярной кратный этот вектор.

Для λ = 3 уравнение ( 2 ) становится ${\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}$

Любой ненулевой вектор с V ₁ = V ₂ решает это уравнение. Поэтому, $\mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$

является собственным вектором, соответствующего λ = 3, как и любой скалярной кратный этот вектор.

Таким образом, векторы v _{λ = 1} и v _{λ = 3} являются собственными векторами, связанными с собственными значениями λ = 1 и λ = 3 соответственно.

Трехмерный пример матрицы

Рассмотрим матрицу $A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.$

Характерный полином А является ${\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}$

Корни характерного полинома составляют 2, 1 и 11, которые являются единственными тремя собственными значениями а . Эти собственные значения соответствуют собственным векторам ${\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ , ${\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ , и ${\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ , или любое ненулевое множественное.

Трехмерный пример матрицы со сложными собственными значениями

Рассмотрим матрицу циклической перестановки $A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.$

Эта матрица меняет координаты вектора в одну позицию и перемещает первую координату на дно. Его характерный полином составляет 1 - λ ³, чьи корни ${\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}$ где $i$ это воображаемая единица с $i^{2}=-1$ .

Для реального собственного значения λ ₁ = 1 любой вектор с тремя равными ненулевыми записями является собственным вектором. Например, $A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.$

Для сложной сопряженной пары воображаемых собственных значений, $\lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.$

Затем $A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},$ и $A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.$

Следовательно, два других собственных векторов А являются сложными и $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ и $\mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ С собственными значениями λ ₂ и λ ₃ соответственно. Два сложных собственных векторов также появляются в сложной конъюгатной паре, $\mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.$

Пример диагональной матрицы

Матрицы с записями только вдоль основной диагонали называются диагональными матрицами . Собственные значения диагональной матрицы - сами диагональные элементы. Рассмотрим матрицу $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.$

Характерный полином А является $\det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),$

который имеет корни λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 и λ ₃ = 3 . Эти корни являются диагональными элементами, а также собственные A. значения

Каждый диагональный элемент соответствует собственному вектору, чей единственный ненулевой компонент находится в том же ряду, что и этот диагональный элемент. В примере собственные значения соответствуют собственным векторам, $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},$

соответственно, а также скалярные мультипликации этих векторов.

Пример треугольной матрицы

Матрица, элементы которого выше основной диагонали - все равно нулю, называется нижней треугольной матрицей , в то время как матрица, элементы которых под основной диагонали все равны нулю, называется верхней треугольной матрицей . Как и в случае с диагональными матрицами, собственные значения треугольных матриц являются элементами основной диагонали.

Рассмотрим нижнюю треугольную матрицу, $A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.$

Характерный полином А является $\det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),$

который имеет корни λ ₁ = 1 , λ ₂ = 2 и λ ₃ = 3 . Эти корни являются диагональными элементами, а также собственные A. значения

Эти собственные значения соответствуют собственным векторам, $\mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},$

соответственно, а также скалярные мультипликации этих векторов.

Матрица с повторным примером собственных значений

Как в предыдущем примере, нижняя треугольная матрица $A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},$ имеет характерный многочлен, который является продуктом его диагональных элементов, $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.$

Корни этого полинома и, следовательно, собственные значения составляют 2 и 3. Алгебраическая множественность каждого собственного значения составляет 2; Другими словами, они оба двойные корни. Сумма алгебраической множественности всех различных собственных значений составляет μ _a = 4 = N , порядок характерного полинома и размер a .

С другой стороны, геометрическая множественность собственного значения 2 составляет всего 1, потому что его собственное пространство охватывается только одним вектором ${\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ и поэтому является 1-мерным. Точно так же геометрическая множественность собственного значения 3 составляет 1, потому что его собственное пространство охватывается только одним вектором ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ Полем Общая геометрическая множественность γ _A составляет 2, что является наименьшим для матрицы с двумя различными собственными значениями. Геометрическая множественность определяется в более позднем разделе.

Собственная вектор-идентичность

Для матрицы гермитонов , норму, квадратная из J -th -компонента нормализованного собственного вектора, может быть рассчитана с использованием только собственных значений матрицы и собственных значений соответствующей незначительной матрицы , $|v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},$ где ${\textstyle M_{j}}$ Подводка сформирована путем удаления j -ряда и столбца из исходной матрицы. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]} Эта идентичность также распространяется на диагонализируемые матрицы и много раз заново открывалась в литературе. ^{[ 34 ]}^{[ 36 ]}

Собственные значения и собственные функции дифференциальных операторов

Определения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования t остаются действительными, даже если базовое векторное пространство является бесконечным измеренным пространством Гильберта или Банаха . Широко используемый класс линейных преобразований, действующих на бесконечные пространства, являются дифференциальными операторами в функциональных пространствах . Пусть D - линейный дифференциальный оператор в пространстве C ^∞ бесконечно дифференцируемых реальных функций реального аргумента t . Уравнение собственного значения для D является дифференциальным уравнением $Df(t)=\lambda f(t)$

Функции, которые удовлетворяют этому уравнению, являются собственными векторами D и обычно называются собственными функциями .

Пример оператора производного

Рассмотрим оператор производного ${\tfrac {d}{dt}}$ с уравнением собственного значения ${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).$

Это дифференциальное уравнение может быть решено путем умножения обеих сторон на DT / F ( T ) и интегрируя . Его решение, экспоненциальная функция $f(t)=f(0)e^{\lambda t},$ это собственная функция производного оператора. В этом случае собственная функция сама по себе является функцией его связанного собственного значения. В частности, для λ = 0 собственная функция f ( t ) является постоянной.

Основная статья по собственной функции приводит другие примеры.

Общее определение

Концепция собственных значений и собственных векторов естественным образом распространяется на произвольные линейные преобразования на произвольных векторных пространствах. Пусть v - любое векторное пространство над некоторым полем k скаляров , , и пусть t будет линейным отображением V в V , $T:V\to V.$

Мы говорим, что ненулевой вектор v ∈ V является собственным вектором T , если и только если существует скаляр λ ∈ K, такой, что

T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} .

( 5 )

Это уравнение называется уравнением собственного значения для T скаляр λ является собственным значением T , соответствующим собственному вектору V. , а T ( v ) является результатом применения преобразования T к вектору V , в то время как V является произведением скалярного λ с V. λ ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}

Собственные пространства, геометрическая множественность и собственное растение

Учитывая собственное значение λ , рассмотрим набор $E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},$

который является объединением нулевого вектора с набором всех собственных векторов, связанных с λ . E называется собственным пространством или характерным пространством t , связанного с λ . ^{[ 39 ]}

По определению линейного преобразования, ${\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}$

Для x , y ∈ V и α ∈ K. Следовательно, если u и v являются собственными векторами T , связанными с собственным значением λ , а именно u , v ∈ E , тогда ${\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}$

Таким образом, как U + V, так и α V представляют собой ноль или собственные векторы T , связанные с λ , а именно U + V , α v ∈ E , и E закрывается при добавлении и скалярном умножении. Собственное пространство E, связанное с λ, линейным подпространством V. является ^{[ 40 ]} Если это подпространство имеет размер 1, его иногда называют собственной линией . ^{[ 41 ]}

Геометрическая множественность γ _T ( λ ) собственного значения λ является измерением собственного пространства, связанного с λ , то есть максимальное количество линейно независимых собственных векторов, связанных с этим собственным значением. ^{[ 9 ]}^{[ 26 ]}^{[ 42 ]} По определению собственных значений и собственных векторов, γ _T ( λ ) ≥ 1, потому что каждое собственное значение имеет по крайней мере один собственный вектор.

Собственные пространства T всегда образуют прямую сумму . Как следствие, собственные векторы различных собственных значений всегда линейно независимы. Следовательно, сумма размеров собственных пространств не может превышать измерение n векторного пространства, в котором работает T , и не может быть более чем n отдельных собственных значений. ^{[ D ]}

охватываемое собственными векторами T, является инвариантным подпространством T Любое подпространство , , а ограничение T к такому подпространству является диагонализацией. все векторное пространство может охватывать собственные векторы T прямая сумма собственных пространств, связанных со всем , эквивалентно если или если V Более того , сформированы из линейно независимых собственных векторов т . Когда T допускает собственное место, t является диагонализируемым.

Спектральная теория

Если λ является собственным значением T , то оператор ( T - λi ) не является индивидуальным и, следовательно, его обратным ( t - λi ) ⁻¹ не существует. Конверс верно для конечных векторных пространств, но не для бесконечномерных векторных пространств. В целом, оператор ( t - λi ) может не иметь обратного, даже если λ не является собственным значением.

По этой причине в функциональном анализе собственные значения могут быть обобщены до спектра линейного оператора T в качестве набора всех скарсов λ, для которого оператор ( T - λi ) не имеет ограниченного обратного. Спектр оператора всегда содержит все его собственные значения, но не ограничивается им.

Ассоциативные алгебры и теория представления

Можно обобщить алгебраический объект, который действует на векторное пространство, заменив одного оператора, действующего на векторное пространство с представлением алгебры - ассоциативной алгебры, действующей на модуль . Изучение таких действий является областью теории представления .

является Теоретическая концепция веса представления аналогом собственных значений, в то время как веса векторов и веса являются аналогами собственных векторов и собственных пространств соответственно.

Hecke Eigenshaf является тензором-мультиплем себя и рассматривается в переписке Langlands .

Динамические уравнения

Простейшие уравнения различий имеют форму

x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.

Решение этого уравнения для x с точки зрения t обнаруживается с использованием его характерного уравнения

\lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,

которые можно найти путем укладки в матрицу формировать набор уравнений, состоящих из вышеуказанного разница и уравнений K - 1 $x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1},$ Предоставление k -мерной системы первого порядка в векторе сложенной переменной ${\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}$ с точки зрения его некогда забитого значения и принятия характерного уравнения матрицы этой системы. Это уравнение дает K -характерные корни $\lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k},$ Для использования в уравнении решения

x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.

Аналогичная процедура используется для решения дифференциального уравнения формы

{\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.

Расчет

Расчет собственных значений и собственных векторов - это тема, в которой теория, представленная в учебниках элементарной линейной алгебры, часто очень далека от практики.

Классический метод

Классический метод состоит в том, чтобы сначала найти собственные значения, а затем рассчитать собственные векторы для каждого собственного значения. Это в нескольких способах, плохо подходящих для неэражных арифметиков, таких как плавающая точка .

Собственные значения

Собственные значения матрицы $A$ можно определить путем поиска корней характерного полинома. Это легко для $2\times 2$ Матрицы, но сложность быстро увеличивается с размером матрицы.

Теоретически, коэффициенты характерного полинома могут быть вычислены точно, поскольку они представляют собой суммы продуктов матричных элементов; И есть алгоритмы, которые могут найти все корни полинома произвольной степени до любой необходимой точности . ^{[ 43 ]} Тем не менее, этот подход не является жизнеспособным на практике, потому что коэффициенты будут загрязнены неизбежными ошибками округа , а корни полинома могут быть чрезвычайно чувствительной функцией коэффициентов (как показано полиномом Уилкинсона ). ^{[ 43 ]} Даже для матриц, элементы которых являются целыми числами, расчет становится нетривиальным, потому что суммы очень длинные; Постоянный термин является определяющим фактором , который для $n\times n$ Матрица - это сумма $n!$ разные продукты. ^{[ E ]}

Явные алгебраические формулы для корней полинома существуют только в том случае, если степень $n$ 4 или меньше. Согласно теореме Авель -Раффини, нет общей, явной и точной алгебраической формулы для корней полинома со степенью 5 или более. (Общность имеет значение, потому что любой полином со степенью $n$ характерный многочлен некоторой сопутствующей матрицы порядка $n$ .) Следовательно, для матриц порядка 5 или более, собственные значения и собственные векторы не могут быть получены с помощью явной алгебраической формулы и, следовательно, должны быть рассчитаны приблизительными численными методами . Даже точная формула для корней полинома степени 3 численно нецелесообразно.

Собственные векторы

Как только (точное) значение собственного значения известно, соответствующие собственные векторы можно найти, обнаружив ненулевые решения уравнения собственного значения, что становится системой линейных уравнений с известными коэффициентами. Например, как только известно, что 6 является собственным значением матрицы $A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}$

Мы можем найти его собственные векторы, решив уравнение $Av=6v$ , то есть ${\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$

Это матричное уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям $\left\{{\begin{aligned}4x+y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.$ то есть $\left\{{\begin{aligned}-2x+y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.$

Оба уравнения уменьшаются до единого линейного уравнения $y=2x$ Полем Следовательно, любой вектор формы ${\begin{bmatrix}a&2a\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ , для любого ненулевого реального числа $a$ , является собственным вектором $A$ с собственным значением $\lambda =6$ .

Матрица $A$ Выше имеет еще одно собственное значение $\lambda =1$ Полем Аналогичный расчет показывает, что соответствующими собственными векторами являются ненулевые решения $3x+y=0$ , то есть любой вектор формы ${\begin{bmatrix}b&-3b\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ , для любого ненулевого реального числа $b$ .

Простые итеративные методы

Конверный подход, сначала ищущий собственных векторов, а затем определение каждого собственного значения от его собственного вектора, оказывается гораздо более подлежащим привлечению для компьютеров. Самый простой алгоритм здесь состоит в том, чтобы выбрать произвольный стартовый вектор, а затем неоднократно умножение его на матрицу (необязательно нормализовать вектор, чтобы сохранить его элементы разумного размера); Это заставляет вектор сходиться к собственному вектору. Вариант состоит в том, чтобы вместо этого умножить вектор на $(A-\mu I)^{-1}$ ; Это приводит к тому, что он сходится к собственному вектору собственного значения, ближайшего к $\mu \in \mathbb {C}$ .

Если $\mathbf {v}$ (хорошее приближение) собственного вектора $A$ , тогда соответствующее собственное значение может быть рассчитано как

\lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}

где $\mathbf {v} ^{*}$ обозначает транспонирование сопряженное $\mathbf {v}$ .

Современные методы

Эффективные, точные методы вычисления собственных значений и собственных векторов произвольных матриц не были известны, пока алгоритм QR не был разработан в 1961 году. ^{[ 43 ]} Объединение трансформации домохозяин с разложением LU приводит к алгоритму с лучшей сходимостью, чем алгоритм QR. ^{[ Цитация необходима ]} Для крупных гермитовых редких матриц алгоритм Lanczos является одним из примеров эффективного итерационного метода для вычисления собственных значений и собственных векторов, среди нескольких других возможностей. ^{[ 43 ]}

Большинство численных методов, которые вычисляют собственные значения матрицы, также определяют набор соответствующих собственных векторов как побочный продукт вычисления, хотя иногда Реализации предпочитают отказаться от информации о собственном векторе, как только она больше не нужна.

Приложения

Геометрические преобразования

Собственные векторы и собственные значения могут быть полезны для понимания линейных преобразований геометрических фигур. В следующей таблице представлены некоторые примеры преобразования в плоскости вместе с их матрицами 2 × 2, собственными значениями и собственными векторами.

Собственные значения геометрических преобразований
	Масштабирование	Неравное масштабирование	Ротация	Горизонтальный сдвиг	Гиперболическое вращение
Иллюстрация
Матрица	${\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}$
Характеристика Полиномиал	$\ (\lambda -k)^{2}$	$(\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})$	$\lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1$	$\ (\lambda -1)^{2}$	$\lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1$
Собственные значения, $\lambda _{i}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=k$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}$
Алгебраика много. В $\mu _{i}=\mu (\lambda _{i})$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$
Геометрическая много. В $\gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})$	$\gamma _{1}=2$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	$\gamma _{1}=1$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$
Собственные векторы	Все ненулевые векторы	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}$	$\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Характерное уравнение для вращения - это квадратичное уравнение с дискриминантом $D=-4(\sin \theta )^{2}$ , которое является отрицательным числом всякий раз, когда $θ$ не является целым числом 180 °. Следовательно, за исключением этих особых случаев, две собственные значения являются сложными числами, $\cos \theta \pm i\sin \theta$ ; и все собственные векторы имеют нереальные записи. Действительно, за исключением этих особых случаев, вращение меняет направление каждого ненулевого вектора в плоскости.

Линейное преобразование, которое выводит квадрат к прямоугольнику той же области ( картирование сжатия ), имеет взаимные собственные значения.

Анализ основных компонентов

PCA многомерного гауссового распределения, сосредоточенного на $(1,3)$ со стандартным отклонением 3 в примерно в $(0.878,0.478)$ направление и 1 в ортогональном направлении. Показанные векторы являются единичными собственными векторами (симметричной, положительно-семидефинитной) ковариационной матрицы, масштабированной квадратным корнем от соответствующего собственного значения. Как и в одномерном случае, квадратный корень принимается из-за того, что стандартное отклонение более легко визуализируется, чем дисперсия .

Собственное составление симметричной собственных векторов, каждый из положительной полуфинитной (PSD) матрицы дает ортогональную основу которых имеет неотрицательное собственное значение. Ортогональное разложение матрицы PSD используется в многомерном анализе , где выборки матрицы ковариации являются PSD. Это ортогональное разложение называется анализом основных компонентов (PCA) в статистике. PCA изучает линейные отношения между переменными. PCA выполняется на ковариационной матрице или на корреляционной матрице (в которой каждая переменная масштабируется, чтобы иметь свою дисперсию выборки, равную одному). Для матрицы ковариации или корреляции собственные векторы соответствуют основным компонентам и собственным значениям дисперсии , объясненным основными компонентами. Анализ основных компонентов корреляционной матрицы обеспечивает ортогональную основу для пространства наблюдаемых данных: на этой основе самые большие собственные значения соответствуют основным компонентам, которые связаны с большей частью ковариации среди ряда наблюдаемых данных.

Анализ основных компонентов используется в качестве средства снижения размерности в изучении крупных наборов данных , таких как те, которые встречаются в биоинформатике . В методологии Q собственные значения матрицы корреляции определяют суждение Q-методолога о практической значимости (которое отличается от статистической значимости ; тестирования гипотез Cf. Критерии для определения количества факторов ). В целом, анализ основных компонентов может использоваться в качестве метода факторного анализа в моделировании структурных уравнений .

Графики

В теории спектрального графика собственное значение графика определяется графика как собственное значение матрицы смежности $A$ графика , или (все чаще) матрицы Лапласии из -за его дискретного оператора Лапласа , который либо либо $D-A$ (иногда называемый комбинаторным лапласианом ) или $I-D^{-1/2}AD^{-1/2}$ (иногда называют нормализованным лапласианом ), где $D$ Диагональная матрица с $D_{ii}$ равен степени вершины $v_{i}$ и в $D^{-1/2}$ , $i$ Диагональный вход ${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$ Полем А $k$ Принципальный собственный вектор графика определяется как собственное вектор, соответствующий $k$ самый большой или $k$ Самое маленькое собственное значение Лапласиана. Первый основной собственный вектор графика также называется просто основным собственным вектором.

Основной собственный вектор используется для измерения центральности его вершин. Примером является Google алгоритм PageRank . Основной собственный вектор модифицированной матрицы смежности во всемирном веб -графике дает звания страницы в качестве компонентов. Этот вектор соответствует стационарному распределению цепи Маркова , представленной нормулированной строкой матрицей смежности; Тем не менее, матрица смежности должна быть сначала модифицирована, чтобы обеспечить стационарное распределение. Второй наименьший собственный вектор может быть использован для разделения графика на кластеры посредством спектральной кластеризации . Другие методы также доступны для кластеризации.

Цепочки Маркова

Цепочка Маркова представлена матрицей, в записи которых являются вероятности перехода между состояниями системы. В частности, записи неотрицательны, и каждый ряд матрицы суммирует одному, что является суммой вероятностей переходов от одного состояния в какое-то другое состояние системы. Теорема Perron -Frobenius дает достаточные условия для цепочки Маркова, чтобы иметь уникальное доминирующее собственное значение, которое регулирует сходимость системы к устойчивому состоянию.

Анализ вибрации

Проблемы собственных значений встречаются естественным образом в анализе вибрации механических структур со многими степенями свободы . Собственные значения - это естественные частоты (или собственные характеристики ) вибрации, а собственные векторы являются формами этих вибрационных мод. В частности, нездоровая вибрация регулируется $m{\ddot {x}}+kx=0$ или $m{\ddot {x}}=-kx$

То есть ускорение пропорционально позиции (т.е. мы ожидаем $x$ быть синусоидальным во времени).

В $n$ размеры, $m$ становится массовой матрицей и $k$ матрица жесткости . Допустимые решения являются тогда линейной комбинацией решений обобщенной проблемы собственного значения. $kx=\omega ^{2}mx$ где $\omega ^{2}$ это собственное значение и $\omega$ это (воображаемая) угловая частота . Основные режимы вибрации отличаются от основных режимов соответствия, которые являются собственными векторами $k$ один. Кроме того, демпфированная вибрация , управляемая $m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0$ приводит к так называемой квадратичной проблеме собственного значения , $\left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.$

Это может быть уменьшено до обобщенной проблемы собственного значения с помощью алгебраических манипуляций за счет решения более крупной системы.

Свойства ортогональности собственных векторов позволяют развязать дифференциальные уравнения , чтобы система могла быть представлена в виде линейного суммирования собственных векторов. Проблема собственных значений сложных структур часто решается с использованием анализа конечных элементов , но аккуратно обобщает решение для таковых слоев вибрации скалярной стоимости.

Тензор момента инерции

В механике собственные векторы момента тензора инерции определяют основные оси тела твердого . Тензор является ключевым количеством , момента инерции необходимым для определения вращения твердого тела вокруг центра его центра .

Стресс -тензор

В твердой механике тензор напряжения симметричный и поэтому может быть разложен в диагональном тензоре с собственными значениями на диагональных и собственных векторах в качестве основы. Поскольку он диагональ, в этой ориентации тензор напряжения не имеет сдвига компонентов ; Компоненты, которые он имеет, являются основными компонентами.

Уравнение Шредёнгера

Волновые функции, с связанными состояниями электрона связанные в атоме водорода, могут рассматриваться как собственные векторы гамильтониана атома водорода , а также оператора углового импульса . Они связаны с собственными значениями, интерпретируемыми как их энергии (увеличиваясь вниз: $n=1,\,2,\,3,\,\ldots$ ) и угловой импульс (увеличиваясь по всему: S, P, D, ...). Иллюстрация показывает квадрат абсолютного значения волновых функций. Более яркие области соответствуют более высокой плотности вероятности положения для измерения . Центр каждой фигуры - атомное ядро , протон .

Пример уравнения собственного значения, где преобразование $T$ представлен с точки зрения дифференциального оператора, это независимое от времени уравнение Шредёнгера в квантовой механике :

H\psi _{E}=E\psi _{E}\,

где $H$ , Гамильтониан второго порядка , является дифференциальным оператором и $\psi _{E}$ , волновая функция , является одной из его собственных функций, соответствующих собственным значениям $E$ , интерпретируется как его энергия .

Однако в том случае, когда кто -то интересуется только в решении уравнения Шредингера, кто ищет. $\psi _{E}$ В пределах пространства квадратных интегрируемых функций. Поскольку это пространство представляет собой пространство Гильберта с четко определенным скалярным продуктом , можно ввести базисную набор , в котором $\psi _{E}$ и $H$ может быть представлен как одномерный массив (т.е. вектор) и матрицу соответственно. Это позволяет представлять уравнение Шернинга в форме матрицы.

часто Обозначение бюстгальтера используется в этом контексте. Вектор, который представляет состояние системы, в пространстве Гильберта квадратных интегрируемых функций представлено $|\Psi _{E}\rangle$ Полем В этой нотации уравнение Schrödinger:

H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle

где $|\Psi _{E}\rangle$ является собственным состоянием $H$ и $E$ представляет собственное значение. $H$ является наблюдаемым оператором самостоятельного подхода , бесконечно-размерным аналогом гермитовых матриц. Как в случае матрицы, в приведенном выше уравнении $H|\Psi _{E}\rangle$ понимается как вектор, полученный при применении преобразования $H$ к $|\Psi _{E}\rangle$ .

Волновой транспорт

Световые , акустические волны и микроволны случайным образом рассеяны много раз при прохождении статической беспорядочной системы . Несмотря на то, что множественные рассеяния многократно рандомизируют волны, в конечном итоге когерентный транспорт волны через систему - это детерминированный процесс, который может быть описан матрицей поля передачи $\mathbf {t}$ . ^{[ 44 ]}^{[ 45 ]} Собственные векторы оператора передачи $\mathbf {t} ^{\dagger }\mathbf {t}$ Сформируйте набор входных волновых фронтов, специфичных для расстройства, которые позволяют волнам соединиться с эйгеналами беспорядочной системы: Независимые волны могут проходить через систему. Собственные значения, $\tau$ , из $\mathbf {t} ^{\dagger }\mathbf {t}$ Соответствуют интенсивному пропусканию, связанному с каждым объектом Eigenchannel. Одним из замечательных свойств оператора передачи диффузионных систем является их бимодальное распределение собственных значений с $\tau _{\max }=1$ и $\tau _{\min }=0$ . ^{[ 45 ]} Кроме того, одним из поразительных свойств открытых eigenchannel, за пределами идеального коэффициента, является статистически надежный пространственный профиль Eigenchannels. ^{[ 46 ]}

Молекулярные орбитали

В квантовой механике и, в частности, в атомной и молекулярной физике , в теории Hartree -Fock , атомные и молекулярные орбитали могут быть определены собственными векторами оператора FOCK . Соответствующие собственные значения интерпретируются как потенциалы ионизации с помощью теоремы Купманов . В этом случае термин собственный вектор используется несколько более общим значением, поскольку оператор FOCK явно зависит от орбиталей и их собственных значений. Таким образом, если кто -то хочет подчеркнуть этот аспект, человек говорит о нелинейных проблемах собственных значений. Такие уравнения обычно решаются с помощью процедуры итерации , называемой в этом случае самосогласованным полевым методом. В квантовой химии один часто представляет уравнение Hartree-Fock в неортогональном базисном наборе . Это конкретное представление является обобщенной проблемой собственного значения, называемой уравнениями Ротаана .

Геология и гляциология

В геологии , особенно при изучении ледникового до тех пор , собственные векторы и собственные значения используются в качестве метода, с помощью которого масса информации о ориентации и погрузке компонентов классов может быть обобщена в трехмерном пространстве на шесть чисел. В этой области геолог может собирать такие данные для сотен или тысяч обломков в образце почвы, которые можно сравнить только графически, например, на диаграмме TRI (SNEED и FOLK), ^{[ 47 ]}^{[ 48 ]} Или как стереонет в сети Wulff. ^{[ 49 ]}

Выход для тензора ориентации находится на трех ортогональных (перпендикулярных) осях пространства. Три собственных вектора заказаны $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}$ по их собственным значениям $E_{1}\geq E_{2}\geq E_{3}$ ; ^{[ 50 ]} $\mathbf {v} _{1}$ тогда является основной ориентацией/падением класта, $\mathbf {v} _{2}$ это второстепенное и $\mathbf {v} _{3}$ является третичным, с точки зрения силы. Ориентация обломки определяется как направление собственного вектора на розе компаса 360 ° . DIP измеряется как собственное значение, модуль тензора: это ценится от 0 ° (без погружения) до 90 ° (вертикальная). Относительные значения $E_{1}$ , $E_{2}$ , и $E_{3}$ продиктованы природой ткани осадка. Если $E_{1}=E_{2}=E_{3}$ Считается, что ткань является изотропной. Если $E_{1}=E_{2}>E_{3}$ , как говорят, ткань плоская. Если $E_{1}>E_{2}>E_{3}$ , как говорят, ткань линейна. ^{[ 51 ]}

Базовый номер воспроизведения

Базовый номер воспроизведения ( $R_{0}$ ) является фундаментальным числом в изучении того, как распространяются инфекционные заболевания. Если один заразительный человек помещается в население совершенно восприимчивых людей, то тогда $R_{0}$ это среднее число людей, которые один типичный инфекционный человек заразит. Время поколения инфекции - время, $t_{G}$ , от того, что один человек заразился до следующего человека, зараженного. В гетерогенной популяции матрица следующего поколения определяет, сколько людей в населении заразится от времени $t_{G}$ Прошел. Значение $R_{0}$ тогда является самым большим собственным значением матрицы следующего поколения. ^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}

Самостоятельно

Собственные лица в качестве примеров собственных векторов

При обработке изображений обработанные изображения граней можно рассматривать как векторы, компоненты которых являются яркости каждого пикселя . ^{[ 54 ]} Размер этого векторного пространства - это количество пикселей. Собственные векторы ковариационной матрицы, связанные с большим набором нормализованных изображений лиц, называются собственными поверхностями ; Это пример анализа основных компонентов . Они очень полезны для выражения любого изображения лица в виде линейной комбинации некоторых из них. В отрасли распознавания лиц в биометрии собственные поверхности обеспечивают средства применения сжатия данных к лицам в целях идентификации . Также были проведены исследования, связанные с системами, определяющими жесты рук.

Аналогично этой концепции, собственные места представляют общее направление изменчивости в человеческих произношениях конкретного высказывания, такого как слово на языке. Основываясь на линейной комбинации таких собственных собственных, может быть построено новое голосовое произношение слова. Эти концепции были найдены полезными в автоматических системах распознавания речи для адаптации динамиков.

Смотрите также

Примечания

^
Примечание:
- В 1751 году Леонхард Эйлер доказал, что любое тело имеет основную ось вращения: Леонхард Эйлер (предсказанный: октябрь 1751; опубликовано: 1760) «Движение любого твердого тела, когда он вращается вокруг мобильной оси» (движение любого твердого. Тело, когда он вращается вокруг движущейся оси), история Королевской академии наук и красивых букв Берлина , стр. 176–227. Мы р. 212 , Эйлер доказывает, что любое тело содержит основную ось вращения: «Теорем. 44. Каким бы ни было тело, всегда можно назначить такую ось, которая проходит через центр тяжести, вокруг которого тело может повернуться свободно и единообразно движение. " (Теорема. 44. Какая бы ни была форма тела, всегда можно присвоить ему такую ось, которая проходит через центр тяжести, окружение, которое он может вращаться свободно и с равномерным движением.)
- В 1755 году Иоганн Андреас Сегнер доказал, что у любого тела есть три основные топоры ротации: Иоганн Андреас Сегнер, Образец Теорея Турбинум [эссе о теории вершин (то есть вращающиеся тела)] (Галле («Халы»), (Германия):: Гебауэр, 1755). ( https://books.google.com/books?id=29 с. XXVIIII [29]), Сегнер получает уравнение третьей степени в T , которое доказывает, что тело имеет три основных оси вращения. Затем он утверждает (на той же странице): «Неуверенный репунгнат, проведенный эссе, положениями Plani Hm, Quia in aequatione cubica radices tres esse возможно, et tres tangentis t valores». (Тем не менее, это не непоследовательно [что] есть три таких позиции плоскости HM, потому что в кубических уравнениях [там] может быть три корня, и три значения тангентного т.)
- Соответствующий отрывок работы Сегнера был кратко обсужден Артуром Кейли . См.: А. Кейли (1862) «Отчет о ходе решения некоторых особых проблем динамики», доклад о тридцати второго собрания Британской ассоциации по развитию науки; Проводится в Кембридже в октябре 1862 года , 32 : 184–252; См. Особенно с. 225–226.
^ Kline 1972 , стр. 807–808 Августин Коши (1839) «Память об интеграции линейных уравнений» (мемуары об интеграции линейных уравнений), Отчеты , 8 : 827–830, 845–865, 889–907, 931–937. От р. 827: «Более того, мы знаем, что, следуя методу Лагранжа, мы получаем для общего значения переменной принципа Prinicipale функцию, в которой корни определенного уравнения входит в основную переменную, которую я буду называть характерным уравнением , степень этого Уравнение является точно порядок дифференциального уравнения, который заключается в интеграции. (Более того, кто -то знает, что, следуя методу Лагранжа, можно получить для общего значения основной переменной функции, в которой появляется вместе с основной переменной, корни определенного уравнения, которое я назову «характерным уравнением» , степень этого уравнения, как именно порядок дифференциального уравнения, который должен быть интегрирован.)
^
См.:
- Дэвид Хилберт (1904) «Основные особенности общей теории линейных интегральных уравнений. (Первое сообщение)» (фундаментальное из общего линейных интегральных уравнений. (Первый отчет)), новости Общества наук в Гёттинген, математический физический Класс (Новости о философском обществе в Геттингене, математический физический раздел), с. 49–91. От р. 51: «Особенно в этом первом уведомлении я должен в формулах, которые развивают разработку произвольной функции в соответствии с определенными превосходными функциями, которые я называю« самостоятельно -функциями »: ...» (в частности, в этом первом отчете я прибываю в формулах, которые обеспечивают [серии] разработки произвольной функции с точки зрения некоторых функций различия, которые я называю самостоятельно : ...) позже на той же странице: «Этот успех необходим из -за того, что я не случился Раньше, в первую очередь, основанный на доказательстве существования собственной ценности, ... » (этот успех в основном связан с тем фактом, что я не так, как он был в курсе, прежде всего, в первую очередь стремиться к доказательству существования собственных значений, ...)
- О происхождении и эволюции терминов собственного значения, характерного значения и т. Д. См.: Самое раннее известное использование некоторых слов математики (E)
^ Для доказательства этой леммы см. Римский 2008 , теорема 8.2 на с. 186; Шилов 1977 , с. 109; Hefferon 2001 , p. 364; Beezer 2006 , Теорема Эдельли на с. 469; и лемма для линейной независимости собственных векторов
^, Сделав гауссовое устранение из -за формальной серии мощности , усеченных до $n$ термины можно сойти с рук $O(n^{4})$ операции, но это не учитывает комбинаторный взрыв .

Цитаты

^ Burden & Faires 1993 , p. 401.
^ Гилберт Странг. «6: Собственные значения и собственные векторы». Введение в линейную алгебру (PDF) (5 Ed.). Уэллсли-Камбридж Пресс.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Herstein 1964 , с. 228, 229.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Nering 1970 , p.
^ Бетридж 1965 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} «Собственные векторные и собственные значения» . www.mathsisfun.com . Получено 19 августа 2020 года .
^ Press et al. 2007 , с. 536.
^ Wolfram.com: собственное вектор .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Nering 1970 , p.
^ Hawkins 1975 , §2.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Хокинс 1975 , §3.
^ Kline 1972 , p. 673.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Kline 1972 , с. 807–808.
^ Kline 1972 , с. 715–716.
^ Kline 1972 , с. 706–707.
^ Kline 1972 , p. 1063, P ..
^ Олдрич 2006 .
^ Фрэнсис 1961 , стр. 265-271.
^ Kublanovskaya 1962 .
^ Golub & Van Loan 1996 , §7.3.
^ Meyer 2000 , §7.3.
^ Департамент математики Корнелльского университета (2016) Курсы нижнего уровня для первокурсников и второкурсников . Доступ на 2016-03-27.
^ Университет Мичиганского университета Математика (2016) Математический курс Каталог архив 2015-11-01 на The Wayback Machine . Доступ на 2016-03-27.
^ Press et al. 2007 , с. 38
^ Фали 1976 , с. 358.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Golub & Van Loan 1996 , p. 316
^ Антон 1987 , с. 305, 307.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Beaurgard & Faleigh 1973 , P. 307
^ Herstein 1964 , p. 272
^ Nering 1970 , pp. 115–116.
^ Herstein 1964 , p. 290.
^ Nering 1970 , p.
^ Wolchover 2019 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Denton et al. 2022 .
^ Ван Мигем 2014 .
^ Ван Мигем 2024 .
^ Grain & Grain 2000 , раздел 14.3.5a.
^ Фридберг, Insel & Spence 1989 , p. 217
^ Роман 2008 , с
^ Nering 1970 , p. 107; Shilov 1977 , p. 109 Lemma for the eigenspace
^ Lipschutz & Lipson 2002 , p. 111.
^ Роман 2008 , с.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Trefethen & Bau 1997 .
^ Vellekoop & Mosk 2007 , pp. 2309–2311.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Rats & Gigan 2017 , с.
^ Bender et al. 2020 , с.
^ Graham & Midgley 2000 , с. 1473–1477.
^ Sneed & Folk 1958 , pp. 114–150.
^ Knox-Robinson & Gardoll 1998 , p. 243.
^ Буше, Кристиан; Шиллер, Бит. «Эндогенная геология - Университет Рура Бохум» . www.ruhr-uni-bochum.de .
^ Benn & Evans 2004 , с. 103–107.
^ Diekmann, Hesterbeek & Metz 1990 , pp. 365–382.
^ Hesterbeek & Diekmann 2000 .
^ Xirouhakis, Votsis & Delopoulus 2004 .

Источники

Олдрич, Джон (2006), «Собственное значение, собственная функция, собственное вектор и связанные с ними термины» , в Миллере, Джефф (ред.), Самое раннее известное использование некоторых слов математики
Антон, Ховард (1987), элементарная линейная алгебра (5 -е изд.), Нью -Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), первый курс по линейной алгебре: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-х
Beezer, Robert A. (2006), первый курс по линейной алгебре , бесплатная онлайн -книга по лицензии GNU, Университет Пьюджет -Саунд
Бендер, Николас; Ямилов, Алексей; Йилмаз, Хасан; Cao, Hui (14 октября 2020 года). «Колебания и корреляции эйгунчели передачи в диффузионном среде» . Письма о физическом обзоре . 125 (16): 165901. Arxiv : 2004.12167 . BIBCODE : 2020PHRVL.125P5901B . doi : 10.1103/physrevlett.125.165901 . ISSN 0031-9007 . PMID 33124845 . S2CID 216553547 .
Бенн, Д.; Эванс, Д. (2004), Практическое руководство по изучению ледниковых отложений , Лондон: Арнольд, с. 103–107
Беттердж, Гарольд Т. (1965), Немецкий словарь нового Касселла , Нью-Йорк: Funk & Wagnall , LCCN 58-7924
Берден, Ричард Л.; Faires, J. Douglas (1993), Численное анализ (5 -е изд.), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN 0-534-93219-3
Дентон, Питер Б.; Парке, Стивен Дж.; Дао, Теренс; Чжан, Синин (январь 2022 г.). «Собственные векторы от собственных значений: обзор основной идентичности в линейной алгебре» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 59 (1): 31–58. Arxiv : 1908.03795 . doi : 10.1090/bull/1722 . S2CID 213918682 . Архивировано (PDF) от оригинала 19 января 2022 года.
Diekmann, O; Hesterbeek, Ja; Metz, JA (1990), «О определении и вычислении основного коэффициента воспроизведения R0 в моделях инфекционных заболеваний в гетерогенных популяциях» , Journal of Matematic Biology , 28 (4): 365–382, doi : 10.1007/bf00178324, 365–382, doi: 10.1007/bf00178324 , HDL : 1874/8051 , PMID 2117040 , S2CID 22275430
Fraleigh, John B. (1976), первый курс по абстрактной алгебре (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Фрэнсис, JGF (1961), «Преобразование QR, I (часть 1)», Computer Journal , 4 (3): 265–271, doi : 10.1093/comjnl/4.3.265
Фрэнсис, JGF (1962), «Преобразование QR, II (часть 2)», Computer Journal , 4 (4): 332–345, doi : 10.1093/comjnl/4.4.332
Фридберг, Стивен Х.; Insel, Arnold J.; Спенс, Лоуренс Э. (1989), Линейная алгебра (2 -е изд.), Энглвудские скалы, Нью -Джерси: Прентис Холл, ISBN 0-13-537102-3
Голуб, Джин Х .; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3 -е изд.), Балтимор, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9
Грэм, Д.; Midgley, N. (2000), «Графическое представление формы частиц с использованием треугольных диаграмм: метод электронной таблицы Excel», Земля поверхностных процессов и рельеф , 25 (13): 1473–1477, Bibcode : 2000espl ... 25.1473g , doi : doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi: doi : 10.1002/1096-9837 (200012) 25:13 <1473 :: AID-ESP158> 3.0.CO; 2-C , S2CID 128825838
Hawkins, T. (1975), «Коши и спектральная теория матриц», Historia Mathematica , 2 : 1–29, doi : 10.1016/0315-0860 (75) 90032-4
Hesterbeek, Jap; Diekmann, Odo (2000), Математическая эпидемиология инфекционных заболеваний , серия Wiley в математической и вычислительной биологии, Западный Суссекс, Англия: Джон Вили и сыновья ^{[ Постоянная мертвая ссылка ]}
Hefferon, Jim (2001), Linear Algebra , Colchester, VT: онлайн -книга, колледж Святого Михаила
Herstein, In (1964), темы в алгебре , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Kline, Morris (1972), Математическая мысль от древних до современных времен , издательство Оксфордского университета, ISBN 0-19-501496-0
Knox-Robinson, C.; Gardoll, Stephen J. (1998), «GIS-Stereoplot: интерактивный модуль построения стереонета для Arcview 3.0 Географическая информационная система», Computers & Geosciences , 24 (3): 243, Bibcode : 1998cg ..... 24..243k , doi : 10.1016/s0098-3004 (97) 00122-2
Корн, Гранино А.; Корн, Тереза М. (2000), «Математическое справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора», Нью-Йорк: McGraw-Hill (2-е пересмотренное изд.), Bibcode : 1968mshse.book ... ..K , ISBN 0-486-41147-8
Kublanovskaya, Vera N. (1962), «О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы с собственной значением», Compure Computational Matematics and Matematic Physics , 1 (3): 637–657, DOI : 10.1016/0041-5553 (63) 90168 -X
Липшутц, Сеймур; Липсон, Марк (12 августа 2002 г.). Легкий план Schaum линейной алгебры . McGraw Hill Professional. п. 111. ISBN 978-007139880-0 .
Мейер, Карл Д. (2000), Анализ матрицы и прикладная линейная алгебра , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8
Nering, Evar D. (1970), Линейная алгебра и теория матрицы (2 -е изд.), Нью -Йорк: Wiley , LCCN 76091646
Пресса, Уильям Х.; Теукольский, Саул А .; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), Численные рецепты: искусство научных вычислений (3 -е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0521880688
Roman, Steven (2008), Advanced Linear Algebra (3 -е изд.), Нью -Йорк: Springer Science + Business Media, ISBN 978-0-387-72828-5
Роттер, Стефан; Гиган, Сильвен (2 марта 2017 г.). «Световые поля в сложных средах: мезоскопическое рассеяние соответствует управлению волной» . Обзоры современной физики . 89 (1): 015005. Arxiv : 1702.05395 . BIBCODE : 2017RVMP ... 89A5005R . doi : 10.1103/revmodphys.89.015005 . S2CID 119330480 .
Шилов, Георги Э. (1977), Линейная алгебра , переведенная и под редакция Ричарда А. Сильвермана, Нью -Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-63518-х
Снид, Эд; Фолк, Р.Л. (1958), «Капббл в реке Нижняя Колорадо, штат Техас, исследование морфогенеза частиц», Journal of Geology , 66 (2): 114–150, Bibcode : 1958jg ..... 66..114S ,, doi : 10.1086/626490 , s2cid 129658242
Trefethen, Lloyd N.; Бау, Дэвид (1997), Численная линейная алгебра , Сиам
Ван Мигем, Пит (18 января 2014 г.). «Графические собственные векторы, фундаментальные веса и показатели центральности для узлов в сетях». arxiv : 1401.4580 [ Math.sp ].
Веллекуп, IM; Моск, AP (15 августа 2007 г.). «Фокусировка последовательного света через непрозрачные сильно разбросанные носители» . Оптические письма . 32 (16): 2309–2311. Bibcode : 2007optl ... 32.2309v . doi : 10.1364/ol.32.002309 . ISSN 1539-4794 . PMID 17700768 . S2CID 45359403 .
Вейсштейн, Эрик У. "Собственное вектор" . MathWorld.wolfram.com . Получено 4 августа 2019 года .
Вейсштейн, Эрик У. (ND). «Собственное значение» . MathWorld.wolfram.com . Получено 19 августа 2020 года .
Уолчвер, Натали (13 ноября 2019 г.). «Нейтрино приводят к неожиданному открытию в базовой математике» . Quanta Magazine . Получено 27 ноября 2019 года .
Xirouhakis, A.; Votsis, G.; Delopoulus, A. (2004), Оценка трехмерного движения и структуры человеческих лиц (PDF) , Национальный технический университет Афинского университета
Ван Мигем, П. (2024). «Собственные компоненты симметричных, связанных с графиком матриц» . Линейная алгебра и ее приложения . 692 : 91–134. doi : 10.1016/j.laa.2024.03.035 .

Дальнейшее чтение

Голуб, Джин Ф.; Van der Vorst, Henk A. (2000), «Расчеты собственных значений в 20 -м веке» (PDF) , Журнал вычислительной и прикладной математики , 123 (1–2): 35–65, Bibcode : 2000jcoam.123 ... 35G , doi : 10.1016/s0377-0427 (00) 00413-1 , HDL : 1874/2663
Хилл, Роджер (2009). «λ - собственные значения» . Шестьдесят символов . Брэди Харан для Университета Ноттингема .
Kuttler, Kenneth (2017), введение в линейную алгебру (PDF) , университет Бригама Янга
Strang, Gilbert (1993), Введение в линейную алгебру , Уэллсли, Массачусетс: Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-5-5
Strang, Gilbert (2006), Линейная алгебра и ее приложения , Белмонт, Калифорния: Томсон, Брукс/Коул, ISBN 0-03-010567-6

Внешние ссылки

Что такое собственные ценности? -Нетехническое введение из Physlink.com "Спросите экспертов"
Значения собственных и собственные векторы Численные примеры - Учебная и интерактивная программа от Revoledu.
Введение в собственные векторы и собственные ценности - лекция из Ханской академии
Собственные векторы и собственные значения | Эссенция линейной алгебры, глава 10 - Визуальное объяснение с 3blue1brown
Калькулятор собственных векторов матрицы из Symbolab (нажмите на нижнюю правую кнопку сетки 2 × 12, чтобы выбрать размер матрицы. Выберите $n\times n$ Размер (для квадратной матрицы), затем заполните записи численно и нажмите кнопку GO. Он также может принять комплексные числа.)

Wikiversity использует вводную физику для введения собственных значений и собственных векторов

Теория

Вычисление собственных значений
Численное решение проблем с собственными значениями отредактировано Чжаоджун Бай, Джеймс Деммель , Джек Донгара, Аксель Рухе и Хенк Ван Дер Ворт

[10] Примечание:
В 1751 году Леонхард Эйлер доказал, что любое тело имеет основную ось вращения: Леонхард Эйлер (предсказанный: октябрь 1751; опубликовано: 1760) «Движение любого твердого тела, когда он вращается вокруг мобильной оси» (движение любого твердого. Тело, когда он вращается вокруг движущейся оси), история Королевской академии наук и красивых букв Берлина , стр. 176–227. Мы р. 212 , Эйлер доказывает, что любое тело содержит основную ось вращения: «Теорем. 44. Каким бы ни было тело, всегда можно назначить такую ось, которая проходит через центр тяжести, вокруг которого тело может повернуться свободно и единообразно движение. " (Теорема. 44. Какая бы ни была форма тела, всегда можно присвоить ему такую ось, которая проходит через центр тяжести, окружение, которое он может вращаться свободно и с равномерным движением.)

В 1755 году Иоганн Андреас Сегнер доказал, что у любого тела есть три основные топоры ротации: Иоганн Андреас Сегнер, Образец Теорея Турбинум [эссе о теории вершин (то есть вращающиеся тела)] (Галле («Халы»), (Германия):: Гебауэр, 1755). ( https://books.google.com/books?id=29 с. XXVIIII [29]), Сегнер получает уравнение третьей степени в T , которое доказывает, что тело имеет три основных оси вращения. Затем он утверждает (на той же странице): «Неуверенный репунгнат, проведенный эссе, положениями Plani Hm, Quia in aequatione cubica radices tres esse возможно, et tres tangentis t valores». (Тем не менее, это не непоследовательно [что] есть три таких позиции плоскости HM, потому что в кубических уравнениях [там] может быть три корня, и три значения тангентного т.)

Соответствующий отрывок работы Сегнера был кратко обсужден Артуром Кейли . См.: А. Кейли (1862) «Отчет о ходе решения некоторых особых проблем динамики», доклад о тридцати второго собрания Британской ассоциации по развитию науки; Проводится в Кембридже в октябре 1862 года , 32 : 184–252; См. Особенно с. 225–226.

[2] В 1751 году Леонхард Эйлер доказал, что любое тело имеет основную ось вращения: Леонхард Эйлер (предсказанный: октябрь 1751; опубликовано: 1760) «Движение любого твердого тела, когда он вращается вокруг мобильной оси» (движение любого твердого. Тело, когда он вращается вокруг движущейся оси), история Королевской академии наук и красивых букв Берлина , стр. 176–227. Мы р. 212 , Эйлер доказывает, что любое тело содержит основную ось вращения: «Теорем. 44. Каким бы ни было тело, всегда можно назначить такую ось, которая проходит через центр тяжести, вокруг которого тело может повернуться свободно и единообразно движение. " (Теорема. 44. Какая бы ни была форма тела, всегда можно присвоить ему такую ось, которая проходит через центр тяжести, окружение, которое он может вращаться свободно и с равномерным движением.)

[3] В 1755 году Иоганн Андреас Сегнер доказал, что у любого тела есть три основные топоры ротации: Иоганн Андреас Сегнер, Образец Теорея Турбинум [эссе о теории вершин (то есть вращающиеся тела)] (Галле («Халы»), (Германия):: Гебауэр, 1755). ( https://books.google.com/books?id=29 с. XXVIIII [29]), Сегнер получает уравнение третьей степени в T , которое доказывает, что тело имеет три основных оси вращения. Затем он утверждает (на той же странице): «Неуверенный репунгнат, проведенный эссе, положениями Plani Hm, Quia in aequatione cubica radices tres esse возможно, et tres tangentis t valores». (Тем не менее, это не непоследовательно [что] есть три таких позиции плоскости HM, потому что в кубических уравнениях [там] может быть три корня, и три значения тангентного т.)

[4] Соответствующий отрывок работы Сегнера был кратко обсужден Артуром Кейли . См.: А. Кейли (1862) «Отчет о ходе решения некоторых особых проблем динамики», доклад о тридцати второго собрания Британской ассоциации по развитию науки; Проводится в Кембридже в октябре 1862 года , 32 : 184–252; См. Особенно с. 225–226.

[13] Kline 1972 , стр. 807–808 Августин Коши (1839) «Память об интеграции линейных уравнений» (мемуары об интеграции линейных уравнений), Отчеты , 8 : 827–830, 845–865, 889–907, 931–937. От р. 827: «Более того, мы знаем, что, следуя методу Лагранжа, мы получаем для общего значения переменной принципа Prinicipale функцию, в которой корни определенного уравнения входит в основную переменную, которую я буду называть характерным уравнением , степень этого Уравнение является точно порядок дифференциального уравнения, который заключается в интеграции. (Более того, кто -то знает, что, следуя методу Лагранжа, можно получить для общего значения основной переменной функции, в которой появляется вместе с основной переменной, корни определенного уравнения, которое я назову «характерным уравнением» , степень этого уравнения, как именно порядок дифференциального уравнения, который должен быть интегрирован.)

[19] См.:
Дэвид Хилберт (1904) «Основные особенности общей теории линейных интегральных уравнений. (Первое сообщение)» (фундаментальное из общего линейных интегральных уравнений. (Первый отчет)), новости Общества наук в Гёттинген, математический физический Класс (Новости о философском обществе в Геттингене, математический физический раздел), с. 49–91. От р. 51: «Особенно в этом первом уведомлении я должен в формулах, которые развивают разработку произвольной функции в соответствии с определенными превосходными функциями, которые я называю« самостоятельно -функциями »: ...» (в частности, в этом первом отчете я прибываю в формулах, которые обеспечивают [серии] разработки произвольной функции с точки зрения некоторых функций различия, которые я называю самостоятельно : ...) позже на той же странице: «Этот успех необходим из -за того, что я не случился Раньше, в первую очередь, основанный на доказательстве существования собственной ценности, ... » (этот успех в основном связан с тем фактом, что я не так, как он был в курсе, прежде всего, в первую очередь стремиться к доказательству существования собственных значений, ...)

О происхождении и эволюции терминов собственного значения, характерного значения и т. Д. См.: Самое раннее известное использование некоторых слов математики (E)

[7] Дэвид Хилберт (1904) «Основные особенности общей теории линейных интегральных уравнений. (Первое сообщение)» (фундаментальное из общего линейных интегральных уравнений. (Первый отчет)), новости Общества наук в Гёттинген, математический физический Класс (Новости о философском обществе в Геттингене, математический физический раздел), с. 49–91. От р. 51: «Особенно в этом первом уведомлении я должен в формулах, которые развивают разработку произвольной функции в соответствии с определенными превосходными функциями, которые я называю« самостоятельно -функциями »: ...» (в частности, в этом первом отчете я прибываю в формулах, которые обеспечивают [серии] разработки произвольной функции с точки зрения некоторых функций различия, которые я называю самостоятельно : ...) позже на той же странице: «Этот успех необходим из -за того, что я не случился Раньше, в первую очередь, основанный на доказательстве существования собственной ценности, ... » (этот успех в основном связан с тем фактом, что я не так, как он был в курсе, прежде всего, в первую очередь стремиться к доказательству существования собственных значений, ...)

[8] О происхождении и эволюции терминов собственного значения, характерного значения и т. Д. См.: Самое раннее известное использование некоторых слов математики (E)

[46] Для доказательства этой леммы см. Римский 2008 , теорема 8.2 на с. 186; Шилов 1977 , с. 109; Hefferon 2001 , p. 364; Beezer 2006 , Теорема Эдельли на с. 469; и лемма для линейной независимости собственных векторов

[48] , Сделав гауссовое устранение из -за формальной серии мощности , усеченных до $n$ термины можно сойти с рук $O(n^{4})$ операции, но это не учитывает комбинаторный взрыв .

[FOOTNOTEBurdenFaires1993401-1] Burden & Faires 1993 , p. 401.

[2] Гилберт Странг. «6: Собственные значения и собственные векторы». Введение в линейную алгебру (PDF) (5 Ed.). Уэллсли-Камбридж Пресс.

[FOOTNOTEHerstein1964228,_229-3] Jump up to: ^а ^{беременный} Herstein 1964 , с. 228, 229.

[FOOTNOTENering197038-4] Jump up to: ^а ^{беременный} Nering 1970 , p.

[FOOTNOTEBetteridge1965-5] Бетридж 1965 .

[:0-6] Jump up to: ^а ^{беременный} «Собственные векторные и собственные значения» . www.mathsisfun.com . Получено 19 августа 2020 года .

[FOOTNOTEPressTeukolskyVetterlingFlannery2007536-7] Press et al. 2007 , с. 536.

[FOOTNOTEWolfram.com:_Eigenvector-8] Wolfram.com: собственное вектор .

[FOOTNOTENering1970107-9] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Nering 1970 , p.

[FOOTNOTEHawkins1975§2-11] Hawkins 1975 , §2.

[FOOTNOTEHawkins1975§3-12] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Хокинс 1975 , §3.

[FOOTNOTEKline1972p._673-14] Kline 1972 , p. 673.

[FOOTNOTEKline1972pp._807–808-15] Jump up to: ^а ^{беременный} Kline 1972 , с. 807–808.

[FOOTNOTEKline1972pp._715–716-16] Kline 1972 , с. 715–716.

[FOOTNOTEKline1972pp._706–707-17] Kline 1972 , с. 706–707.

[FOOTNOTEKline19721063p.-18] Kline 1972 , p. 1063, P ..

[FOOTNOTEAldrich2006-20] Олдрич 2006 .

[FOOTNOTEFrancis1961265–271-21] Фрэнсис 1961 , стр. 265-271.

[FOOTNOTEKublanovskaya1962-22] Kublanovskaya 1962 .

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996§7.3-23] Golub & Van Loan 1996 , §7.3.

[FOOTNOTEMeyer2000§7.3-24] Meyer 2000 , §7.3.

[CornellMathCourses-25] Департамент математики Корнелльского университета (2016) Курсы нижнего уровня для первокурсников и второкурсников . Доступ на 2016-03-27.

[UMichMathCourses-26] Университет Мичиганского университета Математика (2016) Математический курс Каталог архив 2015-11-01 на The Wayback Machine . Доступ на 2016-03-27.

[FOOTNOTEPressTeukolskyVetterlingFlannery200738-27] Press et al. 2007 , с. 38

[FOOTNOTEFraleigh1976358-28] Фали 1976 , с. 358.

[FOOTNOTEGolubVan_Loan1996316-29] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Golub & Van Loan 1996 , p. 316

[FOOTNOTEAnton1987305,_307-30] Антон 1987 , с. 305, 307.

[FOOTNOTEBeauregardFraleigh1973307-31] Jump up to: ^а ^{беременный} Beaurgard & Faleigh 1973 , P. 307

[FOOTNOTEHerstein1964272-32] Herstein 1964 , p. 272

[FOOTNOTENering1970115–116-33] Nering 1970 , pp. 115–116.

[FOOTNOTEHerstein1964290-34] Herstein 1964 , p. 290.

[FOOTNOTENering1970116-35] Nering 1970 , p.

[FOOTNOTEWolchover2019-36] Wolchover 2019 .

[FOOTNOTEDentonParkeTaoZhang2022-37] Jump up to: ^а ^{беременный} Denton et al. 2022 .

[FOOTNOTEVan_Mieghem2014-38] Ван Мигем 2014 .

[FOOTNOTEVan_Mieghem2024-39] Ван Мигем 2024 .

[FOOTNOTEKornKorn2000Section_14.3.5a-40] Grain & Grain 2000 , раздел 14.3.5a.

[FOOTNOTEFriedbergInselSpence1989p._217-41] Фридберг, Insel & Spence 1989 , p. 217

[42] Роман 2008 , с

[43] Nering 1970 , p. 107; Shilov 1977 , p. 109 Lemma for the eigenspace

[FOOTNOTELipschutzLipson2002111-44] Lipschutz & Lipson 2002 , p. 111.

[FOOTNOTERoman2008p._189_§8-45] Роман 2008 , с.

[FOOTNOTETrefethenBau1997-47] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Trefethen & Bau 1997 .

[FOOTNOTEVellekoopMosk20072309–2311-49] Vellekoop & Mosk 2007 , pp. 2309–2311.

[FOOTNOTERotterGigan201715005-50] Jump up to: ^а ^{беременный} Rats & Gigan 2017 , с.

[FOOTNOTEBenderYamilovYilmazCao2020165901-51] Bender et al. 2020 , с.

[FOOTNOTEGrahamMidgley20001473–1477-52] Graham & Midgley 2000 , с. 1473–1477.

[FOOTNOTESneedFolk1958114–150-53] Sneed & Folk 1958 , pp. 114–150.

[FOOTNOTEKnox-RobinsonGardoll1998243-54] Knox-Robinson & Gardoll 1998 , p. 243.

[55] Буше, Кристиан; Шиллер, Бит. «Эндогенная геология - Университет Рура Бохум» . www.ruhr-uni-bochum.de .

[FOOTNOTEBennEvans2004103–107-56] Benn & Evans 2004 , с. 103–107.

[FOOTNOTEDiekmannHeesterbeekMetz1990365–382-57] Diekmann, Hesterbeek & Metz 1990 , pp. 365–382.

[FOOTNOTEHeesterbeekDiekmann2000-58] Hesterbeek & Diekmann 2000 .

[FOOTNOTEXirouhakisVotsisDelopoulus2004-59] Xirouhakis, Votsis & Delopoulus 2004 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ А ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ B ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ C ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ D ]

[ 43 ]

[ E ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

v Т и Линейная алгебра
Outline Glossary
Basic concepts	Scalar Vector Vector space Scalar multiplication Vector projection Linear span Linear map Linear projection Linear independence Linear combination Multilinear map Basis Change of basis Row and column vectors Row and column spaces Kernel Eigenvalues and eigenvectors Transpose Linear equations
Matrices	Block Decomposition Invertible Minor Multiplication Rank Transformation Cramer's rule Gaussian elimination
Bilinear	Orthogonality Dot product Hadamard product Inner product space Outer product Kronecker product Gram–Schmidt process
Multilinear algebra	Determinant Cross product Triple product Seven-dimensional cross product Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector Tensor Outermorphism
Vector space constructions	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
Numerical	Floating-point Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms Sparse matrix Comparison of linear algebra libraries
Category

v Т и Основные математические области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject