Уравнения Максвелла

Для термодинамических отношений см. Отношения Максвелла .

Уравнения Максвелла на мемориальной доске на его статуе в Эдинбурге.

Уравнения Максвелла , или уравнения Максвелла-Хевисайда , представляют собой совокупность связанных уравнений в частных производных , которые вместе с законом силы Лоренца составляют основу классического электромагнетизма , классической оптики , электрических и магнитных цепей. Уравнения представляют собой математическую модель электрических, оптических и радиотехнологий, таких как производство электроэнергии, электродвигатели, беспроводная связь, линзы, радары и т. д. Они описывают, как электрические и магнитные поля генерируются зарядами , токами и изменениями поля. Уравнения названы в честь физика и математика Джеймса Клерка Максвелла , который в 1861 и 1862 годах опубликовал раннюю форму уравнений, включающую закон силы Лоренца. Максвелл впервые использовал эти уравнения, чтобы предположить, что свет — это электромагнитное явление. Современная форма уравнений в их наиболее распространенной формулировке принадлежит Оливеру Хевисайду .

Уравнения Максвелла можно объединить, чтобы продемонстрировать, как колебания электромагнитных полей (волн) распространяются в вакууме с постоянной скоростью c ( 299 792 458 м/с ). Эти волны, известные как электромагнитное излучение , возникают на различных длинах волн, создавая спектр излучения от радиоволн до гамма-лучей .

В уравнения в частных производных форме и единицах СИ микроскопические уравнения Максвелла можно записать как $${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\,\,&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} \,\,\,&=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{aligned}}$$С $\mathbf {E}$ электрическое поле, $\mathbf {B}$ магнитное поле, $\rho$ плотность электрического заряда и $\mathbf {J}$ тока плотность . $\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость вакуума и $\mu _{0}$ вакуумная проницаемость .

Уравнения имеют два основных варианта:

• Микроскопические уравнения имеют универсальную применимость, но громоздки для обычных вычислений. Они связывают электрические и магнитные поля с общим зарядом и полным током, включая сложные заряды и токи в материалах на атомном уровне .
• Макроскопические . уравнения определяют два новых вспомогательных поля, которые описывают крупномасштабное поведение материи без необходимости учитывать заряды атомного масштаба и квантовые явления, такие как спины Однако их использование требует экспериментально определяемых параметров для феноменологического описания электромагнитного отклика материалов.

Термин «уравнения Максвелла» часто также используется для эквивалентных альтернативных формулировок . Версии уравнений Максвелла, основанные на электрическом и магнитном скалярных потенциалах , предпочтительны для явного решения уравнений как краевой задачи , аналитической механики или для использования в квантовой механике . Ковариантная формулировка (в пространстве-времени, совместимость уравнений Максвелла со специальной теорией относительности а не в пространстве и времени по отдельности) делает очевидной . Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени , обычно используемые в физике высоких энергий и гравитации , совместимы с общей теорией относительности . Фактически, Альберт Эйнштейн разработал специальную и общую теорию относительности, чтобы учесть инвариантную скорость света, следствие уравнений Максвелла, с принципом, согласно которому только относительное движение имеет физические последствия.

Публикация уравнений ознаменовала объединение теории ранее отдельно описанных явлений: магнетизма, электричества, света и связанного с ними излучения.С середины 20 века стало понятно, что уравнения Максвелла не дают точного описания электромагнитных явлений, а вместо этого являются классическим пределом более точной теории квантовой электродинамики .

История уравнений

Основная статья: История уравнений Максвелла

Концептуальные описания

Закон Гаусса

Основная статья: закон Гаусса

Электрическое поле от положительных зарядов к отрицательным

Закон Гаусса описывает взаимосвязь между электрическим полем и электрическими зарядами : электрическое поле направлено от положительных зарядов к отрицательным зарядам, а чистый отток электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален замкнутому заряду, включая связанный заряд из-за поляризация материала. Коэффициент пропорции — диэлектрическая проницаемость свободного пространства .

Закон Гаусса для магнетизма

Основная статья: Закон Гаусса для магнетизма

Закон Гаусса для магнетизма : силовые линии магнитного поля никогда не начинаются и не заканчиваются, а образуют петли или простираются до бесконечности, как показано здесь с магнитным полем, возникающим из-за кольца тока.

Закон магнетизма Гаусса гласит, что электрические заряды не имеют магнитных аналогов, называемых магнитными монополями ; ни северный, ни южный магнитные полюса не существуют изолированно. Вместо этого магнитное поле материала приписывается диполю , а чистый отток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные диполи можно представить как петли тока или неразлучные пары равных и противоположных «магнитных зарядов». Точнее, полный магнитный поток через гауссову поверхность равен нулю, а магнитное поле представляет собой соленоидальное векторное поле .

Закон Фарадея

Основная статья: Закон индукции Фарадея

Во время геомагнитной бури плазма солнечного ветра воздействует на магнитное поле Земли, вызывая зависящее от времени изменение поля, тем самым создавая электрические поля в атмосфере Земли и проводящей литосфере , которые могут дестабилизировать энергосистемы . (Не в масштабе.)

Максвелла -Фарадея Версия закона индукции Фарадея описывает, как изменяющееся во времени магнитное поле соответствует ротору электрического поля . В интегральной форме он гласит, что работа на единицу заряда, необходимая для перемещения заряда по замкнутому контуру, равна скорости изменения магнитного потока через замкнутую поверхность.

Электромагнитная индукция является принципом действия многих электрических генераторов : например, вращающийся стержневой магнит создает изменяющееся магнитное поле и генерирует электрическое поле в соседнем проводе.

Закон Ампера с добавлением Максвелла.

Основная статья: Круговой закон Ампера

Память на магнитном сердечнике (1954 г.) представляет собой применение закона Ампера . Каждое ядро ​​хранит один бит данных.

Оригинальный закон Ампера гласит, что магнитные поля связаны с электрическим током . В дополнении Максвелла говорится, что магнитные поля также связаны с изменяющимися электрическими полями, которые Максвелл назвал током смещения . Интегральная форма утверждает, что электрические токи и токи смещения связаны с пропорциональным магнитным полем вдоль любой охватывающей кривой.

Дополнение Максвелла к закону Ампера важно, потому что в противном случае законы Ампера и Гаусса придется адаптировать к статическим полям. Как следствие, он предсказывает, что вращающееся магнитное поле возникает с изменяющимся электрическим полем. Еще одним следствием является существование самоподдерживающихся электромагнитных волн , которые распространяются через пустое пространство .

Рассчитанная скорость электромагнитных волн, которую можно было предсказать на основе экспериментов с зарядами и токами, соответствует скорости света ; действительно, свет является одной из форм электромагнитного излучения (как и рентгеновские лучи , радиоволны и другие). Максвелл понял связь между электромагнитными волнами и светом в 1861 году, тем самым объединив теории электромагнетизма и оптики .

Формулировка с учетом электрических и магнитных полей (микроскопическая или вакуумная версия)

В формулировке электрического и магнитного поля есть четыре уравнения, которые определяют поля для заданного распределения заряда и тока. Отдельный закон природы , закон силы Лоренца , описывает, как электрические и магнитные поля действуют на заряженные частицы и токи. По соглашению версия этого закона в исходных уравнениях Максвелла больше не включена. Приведенный ниже формализм векторного исчисления , работа Оливера Хевисайда , стал стандартным. Оно инвариантно относительно вращения и, следовательно, математически более прозрачно, чем исходные 20 уравнений Максвелла с компонентами x, y, z. Релятивистские формулировки более симметричны и лоренц-инвариантны. О тех же уравнениях, выраженных с использованием тензорного исчисления или дифференциальных форм, см. § Альтернативные формулировки .

Дифференциальная и интегральная формулировки математически эквивалентны; оба полезны. Интегральная формулировка связывает поля внутри области пространства с полями на границе и часто может использоваться для упрощения и прямого расчета полей на основе симметричных распределений зарядов и токов. С другой стороны, дифференциальные уравнения являются чисто локальными и являются более естественной отправной точкой для расчета полей в более сложных (менее симметричных) ситуациях, например, с использованием анализа методом конечных элементов .

Ключ к обозначениям

Символы, выделенные жирным шрифтом, представляют векторные величины, а символы, выделенные курсивом, представляют скалярные величины, если не указано иное.Уравнения вводят электрическое поле , E векторное поле , и магнитное поле B . , псевдовекторное поле, каждое из которых обычно зависит от времени и местоположения Источники:

• полная плотность электрического заряда (полный заряд на единицу объема), ρ и
• полная плотность электрического тока (полный ток на единицу площади), Дж .

Универсальные константы , фигурирующие в уравнениях (первые две явно только в формулировке единиц СИ):

• диэлектрическая проницаемость свободного пространства ε ₀ и
• проницаемость свободного пространства , µ ₀ , и
• скорость света , $c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

Дифференциальные уравнения

В дифференциальных уравнениях

• символ наблы , ∇ , обозначает оператор трехмерного градиента , del ,
• символ ∇⋅ (произносится как «дель точка») обозначает оператор дивергенции ,
• символ ∇× (произносится как «дель-крест») обозначает оператор скручивания .

Интегральные уравнения

В интегральных уравнениях

• Ω — любой объем с замкнутой граничной поверхностью ∂Ω , и
• Σ — любая поверхность с замкнутой граничной кривой ∂Σ ,

Уравнения немного легче интерпретировать, если поверхности и объемы не зависят от времени. Независящие от времени поверхности и объемы «фиксированы» и не изменяются в течение заданного интервала времени. Например, поскольку поверхность не зависит от времени, мы можем поставить дифференцирование под знак интеграла в законе Фарадея: $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,$$Уравнения Максвелла могут быть сформулированы с использованием, возможно, зависящих от времени поверхностей и объемов, используя дифференциальную версию и соответствующим образом используя формулы Гаусса и Стокса.

• ${\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }$ представляет собой поверхностный интеграл по граничной поверхности ∂Ω с петлей, указывающей на замкнутость поверхности.
• $\iiint _{\Omega }$ является объемным интегралом по объему Ω ,
• $\oint _{\partial \Sigma }$ представляет собой линейный интеграл вокруг граничной кривой ∂Σ с петлей, указывающей на замкнутость кривой.
• $\iint _{\Sigma }$ является поверхностным интегралом по поверхности Σ ,
• Полный заключенный электрический заряд Q, в Ω, представляет собой объемный интеграл по Ω от плотности заряда ρ (см. раздел «Макроскопическая формулировка» ниже): $$Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,$$ где d V – элемент объема .
• Чистый B магнитный поток Φ _B представляет собой поверхностный интеграл магнитного поля , проходящего через неподвижную поверхность Σ : $$\Phi _{B}=\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$$
• Чистый E электрический поток Φ _E представляет собой поверхностный интеграл электрического поля , проходящего через Σ : $$\Phi _{E}=\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$$
• Чистый I электрический ток J представляет собой поверхностный интеграл плотности электрического тока , проходящего через Σ : $$I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$$ где d S обозначает элемент дифференциального вектора площади поверхности S , нормали к поверхности Σ . (Площадь вектора иногда обозначается буквой A , а не S , но это противоречит обозначению магнитного векторного потенциала ).

Формулировка с величинами SI

Имя	Интегральные уравнения	Дифференциальные уравнения
Закон Гаусса	${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
Закон Гаусса для магнетизма	${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Уравнение Максвелла – Фарадея ( закон индукции Фарадея )	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Круговой закон Ампера (с добавлением Максвелла)	${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mu _{0}\left(\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +\varepsilon _{0}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\\\end{aligned}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$

Формулировка с гауссовскими величинами

Основная статья: Гауссовы единицы

Определения заряда, электрического поля и магнитного поля можно изменить, чтобы упростить теоретические расчеты, путем включения размерных коэффициентов ε ₀ и μ ₀ в расчетные единицы по соглашению. С соответствующим изменением соглашения о силе Лоренца это дает ту же самую физику, то есть траектории заряженных частиц или работу, совершаемую электродвигателем. Этим определениям часто отдают предпочтение в теоретической физике и физике высоких энергий, где естественно брать электрическое и магнитное поля в одних и тех же единицах, чтобы упростить внешний вид электромагнитного тензора : ковариантный объект Лоренца, объединяющий электрическое и магнитное поле, тогда будет содержать компоненты с единая единица измерения и размер. Такие модифицированные определения обычно используются с единицами измерения Гаусса ( CGS ). Используя эти определения и соглашения, в просторечии «в гауссовских единицах», уравнения Максвелла принимают вид:

Имя	Интегральные уравнения	Дифференциальные уравнения
Закон Гаусса	${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =4\pi \iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho$
Закон Гаусса для магнетизма	${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Уравнение Максвелла – Фарадея ( закон индукции Фарадея )	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Круговой закон Ампера (с добавлением Максвелла)	${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\left(4\pi \iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {\mathrel {\mathrm {d} }}{\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\end{aligned}}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$

система величин скорости света c используется Уравнения немного упрощаются, когда для обезразмеривания , так что, например, секунды и световые секунды взаимозаменяемы, и c = 1.

Дальнейшие изменения возможны за счет поглощения факторов 4 π . Этот процесс, называемый рационализацией, влияет на то, закон Кулона или закон Гаусса включает ли такой фактор (см. единицы Хевисайда-Лоренца , используемые в основном в физике элементарных частиц ).

Связь между дифференциальными и интегральными формулировками

Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок является следствием теоремы о расходимости Гаусса и теоремы Кельвина–Стокса .

Поток и дивергенция

Объем Ω и его замкнутая граница ∂Ω , содержащие (соответственно заключающие) источник (+) и сток (−) векторного поля F . Здесь F может быть полем E с исходными электрическими зарядами, но не полем B , которое, как показано, не имеет магнитных зарядов. Внешняя нормальная единица равна n .

Согласно (чисто математической) теореме о расходимости Гаусса , электрический поток через граничную поверхность ∂Ω можно переписать как

${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V$

Таким образом, интегральную версию уравнения Гаусса можно переписать как $$\iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0$$Поскольку Ω произвольна (например, произвольный маленький шар с произвольным центром), это выполняется тогда и только тогда, когда подынтегральная функция всюду равна нулю. Это формулировка дифференциальными уравнениями уравнения Гаусса с точностью до тривиальной перестановки.

Аналогичным образом переписывание магнитного потока в законе Гаусса для магнетизма в интегральной форме дает

${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.$

которое выполняется для всех Ω тогда и только тогда, когда $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ повсюду.

Циркуляция и скручиваемость

Поверхность Σ с замкнутой границей ∂Σ . F может быть E или B. полями Опять же, n — это нормальная единица измерения . (Завиток векторного поля в буквальном смысле не выглядит как «циркуляция», это эвристическое изображение.)

По теореме Кельвина – Стокса мы можем переписать линейные интегралы полей вокруг замкнутой граничной кривой ∂Σ в интеграл «циркуляции полей» (т.е. их роторов ) по поверхности, которую она ограничивает, т.е. $$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$$Следовательно, модифицированный закон Ампера в интегральной форме можно переписать как $$\iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.$$Поскольку Σ можно выбрать произвольно, например, как произвольный маленький, произвольно ориентированный и произвольно центрированный диск, мы заключаем, что подынтегральная функция равна нулю тогда и только тогда, когда выполняется модифицированный закон Ампера в форме дифференциальных уравнений.Аналогичным образом следует эквивалентность закона Фарадея в дифференциальной и интегральной форме.

Линейные интегралы и вихри аналогичны величинам в классической гидродинамике : циркуляция жидкости жидкости — это линейный интеграл поля скорости потока вокруг замкнутого контура, а завихренность жидкости — это вихрь поля скорости.

Сохранение заряда

Инвариантность заряда можно вывести как следствие уравнений Максвелла. Левая часть модифицированного закона Ампера имеет нулевую дивергенцию по тождеству div-curl . Разложение расхождения правой части, замена производных и применение закона Гаусса дает: $$0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)$$то есть, $${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.$$По теореме о дивергенции Гаусса это означает, что скорость изменения заряда в фиксированном объеме равна чистому току, протекающему через границу:

${\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.$

В частности, в изолированной системе сохраняется полный заряд.

Уравнения вакуума, электромагнитные волны и скорость света

Дополнительная информация: Уравнение электромагнитной волны , Неоднородное уравнение электромагнитной волны , Синусоидальные плоские волновые решения уравнения электромагнитной волны и уравнение Гельмгольца.

На этой трехмерной диаграмме показана плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся слева направо, определяемая формулами E = E ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ) и B = B ₀ sin(− ωt + k ⋅ r ). Осциллирующие поля обнаруживаются при мигающая точка. Горизонтальная длина волны равна λ . Е ₀ ⋅ B ₀ знак равно 0 знак равно E ₀ ⋅ k знак равно B ₀ ⋅ k

В области без зарядов ( ρ = 0 ) и токов ( J = 0 ), например, в вакууме, уравнения Максвелла сводятся к: $${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}$$

Взяв ротор (∇×) уравнений ротора и используя ротор равенства ротора, мы получаем $${\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}$$

Количество $\mu _{0}\varepsilon _{0}$ имеет размерность (T/L) ² . Определение $c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}$, приведенные выше уравнения имеют форму стандартных волновых уравнений $${\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}$$

Уже при жизни Максвелла было обнаружено, что известные значения $\varepsilon _{0}$ и $\mu _{0}$ давать $c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}$, которая тогда уже была известна как скорость света в свободном пространстве. Это привело его к предположению, что свет и радиоволны распространяются электромагнитными волнами, что было полностью подтверждено. В старой системе единиц СИ значения $\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}$ и $c=299\,792\,458~{\text{m/s}}$ являются определенными константами (это означает, что по определению $\varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}$), которые определяют ампер и метр. В новой системе СИ только c сохраняет свое определенное значение, а заряд электрона получает определенное значение.

В материалах с относительной диэлектрической проницаемостью ε r _и относительной проницаемостью µ r _{фазовая} скорость света становится $$v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},$$что обычно меньше, чем с .

Кроме того, E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения волн и находятся в фазе друг с другом. Синусоидальная плоская волна является одним из особых решений этих уравнений. Уравнения Максвелла объясняют, как эти волны могут физически распространяться в пространстве. Изменяющееся магнитное поле создает изменяющееся электрическое поле согласно закону Фарадея . В свою очередь, это электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле благодаря дополнению Максвелла к закону Ампера . Этот вечный цикл позволяет этим волнам, теперь известным как электромагнитное излучение , перемещаться в пространстве со скоростью c .

Макроскопическая формулировка

Вышеупомянутые уравнения представляют собой микроскопическую версию уравнений Максвелла, выражающую электрические и магнитные поля через присутствующие заряды и токи (возможно, на атомном уровне). Иногда ее называют «общей» формой, но приведенная ниже макроскопическая версия является столь же общей, с той разницей, что она связана с бухгалтерским учетом.

Микроскопическую версию иногда называют «уравнениями Максвелла в вакууме»: это относится к тому, что материальная среда не встроена в структуру уравнений, а фигурирует только в терминах заряда и тока. Микроскопическую версию предложил Лоренц, который пытался использовать ее для получения макроскопических свойств объемного вещества на основе его микроскопических составляющих.

«Макроскопические уравнения Максвелла», также известные как уравнения Максвелла в веществе , больше похожи на те, которые представил сам Максвелл.

Имя	Интегральные уравнения (конвенция СИ)	Дифференциальные уравнения (конвенция СИ)	Дифференциальные уравнения (гауссово соглашение)
Закон Гаусса	${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}$
Круговой закон Ампера (с добавлением Максвелла)	${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\\&\iint _{\Sigma }\mathbf {J} _{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\\end{aligned}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)$
Закон Гаусса для магнетизма	${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Уравнение Максвелла – Фарадея (закон индукции Фарадея)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

В макроскопических уравнениях влияние связанного заряда Q _b и связанного тока I _b заложено в поле смещения D и намагничивающем поле H , тогда как уравнения зависят только от свободных зарядов Q _f и свободных токов I _f . Это отражает расщепление суммарного электрического заряда Q и тока I (и их плотностей ρ и J ) на свободную и связанную части: $${\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}$$

Цена этого расщепления состоит в том, что дополнительные поля D и H необходимо определять с помощью феноменологических составляющих уравнений, связывающих эти поля с электрическим полем E и магнитным полем B вместе со связанными зарядом и током.

Ниже приведено подробное описание различий между микроскопическими уравнениями, касающимися общего заряда и тока, включая материальные вклады, полезные в воздухе/вакууме; и макроскопические уравнения, касающиеся свободного заряда и тока, которые можно практично использовать в материалах.

Связанный заряд и ток

Основные статьи: Плотность тока , Связанный заряд и Связанный ток.

Слева: схематическое изображение того, как совокупность микроскопических диполей создает противоположные поверхностные заряды, как показано вверху и внизу. Справа: Как совокупность микроскопических токовых петель объединяется, образуя макроскопически циркулирующую токовую петлю. Внутри границ отдельные вклады имеют тенденцию к аннулированию, но на границах никакого аннулирования не происходит.

Когда электрическое поле прикладывается к диэлектрическому материалу, его молекулы реагируют образованием микроскопических электрических диполей — их атомные ядра перемещаются на небольшое расстояние в направлении поля, а их электроны — на небольшое расстояние в противоположном направлении. Это создает макроскопический связанный заряд в материале, хотя все задействованные заряды связаны с отдельными молекулами. Например, если все молекулы реагируют одинаково, как показано на рисунке, эти крошечные движения заряда объединяются, образуя слой положительного связанного заряда на одной стороне материала и слой отрицательного заряда на другой стороне. Связанный заряд удобнее всего описывать через поляризацию P материала , его дипольный момент в единице объема. Если P однороден, макроскопическое разделение заряда происходит только на поверхностях, где P входит в материал и выходит из него. При неоднородном P заряд также образуется в объеме.

Примерно так же во всех материалах составляющие атомы обладают магнитными моментами , которые неразрывно связаны с угловым моментом компонентов атомов, в первую очередь их электронов . Связь с угловым моментом предполагает картину совокупности микроскопических токовых петель. Вне материала совокупность таких микроскопических токовых петель не отличается от макроскопического тока, циркулирующего вокруг поверхности материала, несмотря на то, что ни один отдельный заряд не перемещается на большое расстояние. Эти связанные токи можно описать с намагниченности M. помощью

Поэтому очень сложные и зернистые связанные заряды и связанные токи могут быть представлены в макроскопическом масштабе в терминах P и M , которые усредняют эти заряды и токи в достаточно большом масштабе, чтобы не видеть зернистость отдельных атомов, но также достаточно малы, чтобы изменяться в зависимости от местоположения в материале. Таким образом, макроскопические уравнения Максвелла игнорируют многие детали в мелком масштабе, которые могут быть неважными для понимания вещей в грубом масштабе путем расчета полей, усредненных по некоторому подходящему объему.

Вспомогательные поля, поляризация и намагниченность

Определения вспомогательных полей: $${\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}$$где P — поле поляризации , а M — поле намагничивания , которые определяются через микроскопические связанные заряды и связанные токи соответственно. Макроскопическая плотность связанного заряда ρ _b и плотность связанного тока J _b в терминах поляризации P и намагниченности M тогда определяются как $${\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}$$

Если мы определим полный, связанный и свободный заряд и плотность тока как $${\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}$$и используйте приведенные выше определяющие соотношения, чтобы исключить D и H , «макроскопические» уравнения Максвелла воспроизводят «микроскопические» уравнения.

Учредительные отношения

Основная статья: Определяющее уравнение § Электромагнетизм

Чтобы применить «макроскопические уравнения Максвелла», необходимо указать связи между полем смещения D и электрическим полем E , а также намагничивающим полем H и магнитным B. полем Эквивалентно, мы должны указать зависимость поляризации P (следовательно, связанного заряда) и намагниченности M (следовательно, связанного тока) от приложенного электрического и магнитного поля. Уравнения, определяющие этот отклик, называются определяющими соотношениями . Для реальных материалов определяющие соотношения редко бывают простыми, за исключением приближенных и обычно определяемых экспериментом. Более полное описание см. в основной статье о конститутивных отношениях.

Для материалов без поляризации и намагниченности определяющие соотношения (по определению) $$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,$$где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства, а µ ₀ свободного — проницаемость пространства. Поскольку связанного заряда нет, общий и свободный заряд и ток равны.

Альтернативная точка зрения на микроскопические уравнения состоит в том, что они представляют собой макроскопические уравнения вместе с утверждением, что вакуум ведет себя как идеальный линейный «материал» без дополнительной поляризации и намагничивания.В более общем смысле для линейных материалов определяющие соотношения имеют вид $$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,$$где ε — диэлектрическая проницаемость , а μ материала — проницаемость . Для поля смещения D линейное приближение обычно является превосходным, поскольку для всех, кроме самых экстремальных электрических полей или температур, доступных в лаборатории (мощные импульсные лазеры), межатомные электрические поля материалов порядка 10 ¹¹ В/м намного выше внешнего поля. Для намагничивающего поля $\mathbf {H}$Однако в обычных материалах, таких как железо, линейное приближение может нарушиться, что приведет к таким явлениям, как гистерезис . Однако даже линейный случай может иметь различные осложнения.

• Для однородных материалов ε и μ постоянны по всему материалу, тогда как для неоднородных материалов они зависят от местоположения внутри материала (и, возможно, времени).
• Для изотропных материалов ε и μ являются скалярами, а для анизотропных материалов (например, из-за кристаллической структуры) — тензорами .
• Материалы обычно обладают дисперсией , поэтому ε и μ зависят от частоты любых падающих электромагнитных волн.

В более общем смысле, в случае нелинейных материалов (см., например, оптику ) D и P не обязательно пропорциональны E , аналогично H или M не обязательно пропорциональны B. нелинейную В общем, D и H зависят как от E , так и от B , от местоположения и времени и, возможно, от других физических величин.

В приложениях также необходимо описывать, как ведут себя свободные токи и плотность заряда с точки зрения E и B , возможно, связанных с другими физическими величинами, такими как давление, а также масса, плотность числа и скорость частиц, несущих заряд. Например, исходные уравнения, данные Максвеллом (см. Историю уравнений Максвелла ), включали закон Ома в форме $$\mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .$$

Альтернативные составы

Для уравнений специальной теории относительности см. Классический электромагнетизм и специальную теорию относительности и Ковариантную формулировку классического электромагнетизма .

Чтобы узнать об уравнениях общей теории относительности , см. уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени .

Обзор см. в разделе Математическое описание электромагнитного поля .

Для уравнений квантовой теории поля см. Квантовую электродинамику .

Ниже приведены некоторые из нескольких других математических формализмов уравнений Максвелла, где столбцы отделяют два однородных уравнения Максвелла от двух неоднородных. Каждая формулировка имеет варианты непосредственно с точки зрения электрического и магнитного полей и косвенно с точки зрения электрического потенциала φ и векторного потенциала A . Потенциалы были введены как удобный способ решения однородных уравнений, но считалось, что вся наблюдаемая физика содержится в электрических и магнитных полях (или, релятивистски, в тензоре Фарадея). Однако потенциалы играют центральную роль в квантовой механике и действуют квантовомеханически с наблюдаемыми последствиями, даже когда электрические и магнитные поля исчезают ( эффект Ааронова-Бома ).

Каждая таблица описывает один формализм. смотрите в основной статье Подробную информацию о каждом составе .

Формулировки прямого пространства-времени демонстрируют, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны , где пространство и время рассматриваются на равных. Из-за этой симметрии электрические и магнитные поля рассматриваются на равных и признаются компонентами тензора Фарадея . Это сводит четыре уравнения Максвелла к двум, что упрощает уравнения, хотя мы больше не можем использовать знакомую векторную формулировку. Уравнения Максвелла в формулировках, которые не рассматривают пространство и время явно на одном основании, обладают лоренц-инвариантностью как скрытой симметрией. Это стало основным источником вдохновения для развития теории относительности. Действительно, даже формулировка, рассматривающая пространство и время отдельно, не является нерелятивистским приближением и описывает ту же самую физику, просто переименовывая переменные. По этой причине релятивистские инвариантные уравнения обычно называют также уравнениями Максвелла.

Каждая таблица ниже описывает один формализм.

Тензорное исчисление

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля Пространство Минковского	$\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0$	$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }$
Потенциалы (любая калибра) Пространство Минковского	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$	$2\partial _{\alpha }\partial ^{[\alpha }A^{\beta ]}=\mu _{0}J^{\beta }$
Потенциалы (калибровка Лоренца) Пространство Минковского	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$ $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$	$\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\beta }$
Поля любое пространство-время	${\begin{aligned}&\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=\\&\qquad \nabla _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}F^{\alpha \beta })=\\&\qquad \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}$
Потенциалы (любая калибра) любое пространство-время (с §топологическими ограничениями )	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$	${\begin{aligned}&{\frac {2}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }\partial _{[\mu }A_{\nu ]})=\\&\qquad 2\nabla _{\alpha }(\nabla ^{[\alpha }A^{\beta ]})=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}$
Потенциалы (калибровка Лоренца) любое пространство-время (с топологическими ограничениями)	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$ $\nabla _{\alpha }A^{\alpha }=0$	$\nabla _{\alpha }\nabla ^{\alpha }A^{\beta }-R^{\beta }{}_{\alpha }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }$

Дифференциальные формы

Формулировка	Однородные уравнения	Неоднородные уравнения
Поля любое пространство-время	$\mathrm {d} F=0$	$\mathrm {d} {\star }F=\mu _{0}J$
Потенциалы (любая калибра) любое пространство-время (с топологическими ограничениями)	$F=\mathrm {d} A$	$\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} A=\mu _{0}J$
Потенциалы (калибровка Лоренца) любое пространство-время (с топологическими ограничениями)	$F=\mathrm {d} A$ $\mathrm {d} {\star }A=0$	${\star }\Box A=\mu _{0}J$

• В формулировке тензорного исчисления электромагнитный тензор F _αβ представляет собой антисимметричный ковариантный тензор второго порядка; четырехпотенциал A α является ковариантным _; вектором ток, Дж ^а , — вектор; квадратные скобки [ ] обозначают антисимметризацию индексов ; ∂ _α — частная производная по координате x ^а . В пространстве Минковского координаты выбираются относительно инерциальной системы отсчета ; ( х ^а ) = ( ct , x , y , z ) , так что метрический тензор , используемый для повышения и понижения индексов, равен η _αβ =diag(1, −1, −1, −1) . Оператор Даламбера в пространстве Минковского равен ◻ = ∂ _α ∂ ^а как и в векторной формулировке. В общем пространстве-времени система координат x ^а произвольна, ковариантная производная ∇ _α , тензор Риччи , R _αβ , а также повышение и понижение индексов определяются лоренцевой метрикой g _αβ , а оператор Даламбера определяется как ◻ = ∇ _α ∇ ^а . Топологическое ограничение состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий пространства обращается в нуль (объяснение см. в формулировке дифференциальной формы). Это нарушается для пространства Минковского с удаленной линией, которое может моделировать (плоское) пространство-время с точечным монополем в дополнении к линии.
• В формулировке дифференциальной формы в произвольном пространстве времени F = ⁠ 1 / 2 ⁠ F _αβ d x ^а ∧ д х ^б — электромагнитный тензор, рассматриваемый как 2-форма, A = A _α d x ^а – потенциальная 1-форма, $J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }$ — текущая 3-форма, d — внешняя производная , и ${\star }$ является звездой Ходжа в формах, определяемых (с точностью до ее ориентации, т. е. знака) лоренцевой метрикой пространства-времени. В частном случае 2-форм, таких как F , звезда Ходжа ${\star }$ зависит от метрического тензора только для его локального масштаба. Это означает, что в сформулированной формулировке уравнения поля дифференциальной формы конформно инвариантны , но калибровочное условие Лоренца нарушает конформную инвариантность. Оператор $\Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })$ — оператор Даламбера–Лапласа–Бельтрами на 1-формах в произвольном лоренцевом пространстве-времени . Топологическое условие снова состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий «тривиальна» (это означает, что ее форма следует из определения). В силу изоморфизма со вторыми когомологиями де Рама это условие означает, что каждая замкнутая 2-форма точна.

Другие формализмы включают формулировку геометрической алгебры и матричное представление уравнений Максвелла . Исторически сложилось так, что кватернионная формулировка был использован.

Решения

Уравнения Максвелла — это уравнения в частных производных , которые связывают электрические и магнитные поля друг с другом, а также с электрическими зарядами и токами. Часто заряды и токи сами по себе зависят от электрических и магнитных полей посредством уравнения силы Лоренца и определяющих соотношений . Все они образуют набор связанных уравнений в частных производных, которые часто очень трудно решить: решения охватывают все разнообразные явления классического электромагнетизма . Далее следуют некоторые общие замечания.

Как и для любого дифференциального уравнения, граничные условия и начальные условия необходимы для единственного решения . Например, даже при отсутствии зарядов и токов где-либо в пространстве-времени существуют очевидные решения, для которых E и B равны нулю или постоянны, но есть и нетривиальные решения, соответствующие электромагнитным волнам. В некоторых случаях уравнения Максвелла решаются во всем пространстве, а граничные условия задаются как асимптотические пределы на бесконечности. В других случаях уравнения Максвелла решаются в конечной области пространства с соответствующими условиями на границе этой области, например, искусственной поглощающей границей, представляющей остальную часть Вселенной. или периодические граничные условия , или стены, изолирующие небольшую область от внешнего мира (как в случае с волноводом или полым резонатором ).

Уравнения Ефименко (или тесно связанные потенциалы Льенара – Вихерта ) представляют собой явное решение уравнений Максвелла для электрических и магнитных полей, создаваемых любым заданным распределением зарядов и токов. Он предполагает наличие определенных начальных условий для получения так называемого «запаздывающего решения», в котором присутствуют только поля, созданные зарядами. Однако уравнения Ефименко бесполезны в ситуациях, когда на заряды и токи сами влияют создаваемые ими поля.

Численные методы для дифференциальных уравнений можно использовать для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла, когда точные решения невозможны. К ним относятся метод конечных элементов и метод конечных разностей во временной области . Для получения более подробной информации см. Вычислительная электромагнетика .

Переопределение уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла кажутся переопределенными , поскольку они включают шесть неизвестных (три компонента E и B ), но восемь уравнений (по одному для каждого из двух законов Гаусса, по три векторных компонента для законов Фарадея и Ампера). (Токи и заряды не являются неизвестными, поскольку их можно свободно определить с учетом сохранения заряда .) Это связано с определенным ограниченным видом избыточности в уравнениях Максвелла: можно доказать, что любая система, удовлетворяющая закону Фарадея и закону Ампера, автоматически также удовлетворяет двум законам: Законы Гаусса, если это допускает начальное состояние системы, и при условии сохранения заряда и отсутствия магнитных монополей. Это объяснение было впервые предложено Джулиусом Адамсом Стрэттоном в 1941 году.

Хотя в численном алгоритме можно просто игнорировать два закона Гаусса (кроме начальных условий), несовершенная точность вычислений может привести ко все большему количеству нарушений этих законов. Благодаря введению фиктивных переменных, характеризующих эти нарушения, четыре уравнения в конечном итоге перестают быть переопределенными. Полученная формулировка может привести к созданию более точных алгоритмов, учитывающих все четыре закона.

Обе личности $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0$, которые сводят восемь уравнений к шести независимым, являются истинной причиной переопределения.

Эквивалентно, переопределение можно рассматривать как подразумевающее сохранение электрического и магнитного заряда, поскольку они требуются при выводе, описанном выше, но подразумеваются двумя законами Гаусса.

Для линейных алгебраических уравнений можно создать «хорошие» правила, позволяющие переписать уравнения и неизвестные. Уравнения могут быть линейно зависимыми. Но в дифференциальных уравнениях, и особенно в уравнениях в частных производных (ЧДУ), нужны соответствующие граничные условия, которые не столь очевидным образом зависят от уравнений. Более того, если переписать их в терминах векторного и скалярного потенциала, то уравнения станут недоопределенными из-за фиксации калибровки .

Уравнения Максвелла и квантовая механика

Уравнения Максвелла справедливы как в классической, так и в квантовой сфере. В представлении Гейзенберга квантовой механики уравнения операторов E и B являются в точности уравнениями Максвелла. Конечно, поскольку поля являются квантовыми операторами, существует множество аспектов, которые отличаются от классических полей. Например, поле E действует как импульс, сопряженный с пространственными компонентами векторного потенциала A. Это, конечно, приводит к тому, что многие аспекты квантового электромагнитного поля отличаются от них как от классических полей, но они по-прежнему подчиняются тем же уравнениям эволюции, что и поле E. классическое поле делает.

Конечно, как только кто-то исследует влияние электромагнитных полей на заряженное вещество, а затем эти эффекты изменяют электромагнитное поле, уравнения поля становятся нелинейными, и квантовое поведение нелинейного поля может сильно отличаться от классического. поведение нелинейных полей. Это, однако, не меняет того факта, что если оставаться в линейном режиме, поля подчиняются уравнениям Максвелла.

Вариации

Популярные вариации уравнений Максвелла как классической теории электромагнитных полей относительно немногочисленны, поскольку стандартные уравнения удивительно хорошо выдержали испытание временем.

Магнитные монополи

Основная статья: Магнитный монополь

Уравнения Максвелла предполагают, что есть электрический заряд , но нет магнитного заряда (также называемого магнитными монополями во Вселенной ). Действительно, магнитный заряд никогда не наблюдался, несмотря на обширные поиски. и может не существовать. Если бы они существовали, то и закон магнетизма Гаусса, и закон Фарадея пришлось бы модифицировать, и полученные четыре уравнения были бы полностью симметричными при обмене электрическими и магнитными полями.

См. также

• Алгебра физического пространства
• Уравнения Френеля
• Гравитоэлектромагнетизм
• Условия взаимодействия электромагнитных полей
• Проблема с движущимся магнитом и проводником
• Вектор Римана – Зильберштейна
• Алгебра пространства-времени
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Дальнейшее чтение

Смотрите также: Список учебников по электромагнетизму.

• Имаэда, К. (1995), «Бикватернионная формулировка уравнений Максвелла и их решений», в Абламовиче, Рафале; Лунесто, Пертти (ред.), «Алгебры Клиффорда и спинорные структуры» , Springer, стр. 265–280, doi : 10.1007/978-94-015-8422-7_16 , ISBN  978-90-481-4525-6

Исторические публикации

• О силовых линиях Фарадея – 1855/56. Первая статья Максвелла (части 1 и 2) – составлено Blaze Labs Research (PDF).
• О физических силовых линиях - 1861 г. Статья Максвелла 1861 г., описывающая магнитные силовые линии - предшественник Трактата 1873 г.
• Джеймс Клерк Максвелл , « Динамическая теория электромагнитного поля », Philosophical Transactions of the Royal Society 155 , 459–512 (1865). (Эта статья сопровождала презентацию Максвелла Королевскому обществу от 8 декабря 1864 года.)
  • Динамическая теория электромагнитного поля - 1865 год. Статья Максвелла 1865 года, описывающая его 20 уравнений, ссылка из Google Books .
• Дж. Клерк Максвелл (1873 г.), « Трактат об электричестве и магнетизме »:
  • Максвелл, Дж. К., «Трактат об электричестве и магнетизме» - Том 1 - 1873 г. - Мемориальная коллекция Познера - Университет Карнеги-Меллон.
  • Максвелл, Дж. К., «Трактат об электричестве и магнетизме» - Том 2 - 1873 г. - Мемориальная коллекция Познера - Университет Карнеги-Меллона.

События до теории относительности

• Лармор Джозеф (1897). «К динамической теории электрической и светоносной среды. Часть 3. Связь с материальными средами» . Фил. Пер. Р. Сок . 190 : 205–300.
• Лоренц Хендрик (1899). «Упрощенная теория электрических и оптических явлений в движущихся системах» . Учеб. акад. Наука Амстердама . Я : 427–443.
• Лоренц Хендрик (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света» . Учеб. акад. Наука Амстердама . IV : 669–678.
• Анри Пуанкаре (1900) «Теория Лоренца и принцип реакции» (на французском языке) , Голландские архивы , V , 253–278.
• Анри Пуанкаре (1902) « Наука и гипотеза » (на французском языке) .
• Анри Пуанкаре (1905) «О динамике электрона» (на французском языке) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 140 , 1504–1508.
• Кэтт, Уолтон и Дэвидсон. «История тока смещения». Архивировано 6 мая 2008 г. в Wayback Machine . Беспроводной мир , март 1979 г.

Внешние ссылки

• «Уравнения Максвелла» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• maxwells-equations.com — интуитивно понятное руководство по уравнениям Максвелла.
• Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. 18: Уравнения Максвелла
• Страница Викиверситета, посвященная уравнениям Максвелла

Современные методы лечения

• Электромагнетизм (гл. 11) , Б. Кроуэлл, Фуллертон-Колледж
• Серия лекций: Относительность и электромагнетизм , Р. Фитцпатрик, Техасский университет в Остине
• Электромагнитные волны из уравнений Максвелла в проекте PHYSNET .
• Серия видеолекций MIT (36 лекций по 50 минут) (в формате .mp4) — «Электричество и магнетизм, преподаваемые профессором Уолтером Левином» .

Другой

• Силагадзе, ЗК (2002). «Вывод Фейнманом уравнений Максвелла и дополнительных измерений». Анналы Фонда Луи де Бройля . 27 : 241–256. arXiv : hep-ph/0106235 . Бибкод : 2001hep.ph....6235S .
• Вехи природы: фотоны - веха 2 (1861 г.) Уравнения Максвелла