Закон всемирного тяготения Ньютона

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая частица притягивает любую другую частицу во Вселенной с силой , пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. Отдельные предметы притягиваются и притягиваются так, как если бы вся их масса сосредоточилась в их центрах . Публикация закона стала известна как « первое великое объединение », поскольку оно ознаменовало объединение ранее описанных явлений гравитации на Земле с известными астрономическими закономерностями. ^[1]^[2]^[3]

Это общий физический закон, выведенный на основе эмпирических наблюдений с помощью того, что Исаак Ньютон называл индуктивным рассуждением . ^[4] Она является частью классической механики и была сформулирована в работе Ньютона Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (« Начала »), впервые опубликованной 5 июля 1687 года.

Таким образом, уравнение всемирного тяготения принимает вид:

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},

где F — сила гравитации, действующая между двумя объектами, m ₁ и m ₂ — массы объектов, r — расстояние между центрами их масс , а G — гравитационная постоянная .

Первой проверкой закона тяготения Ньютона между массами в лаборатории стал эксперимент Кавендиша, проведенный британским ученым Генри Кавендишем в 1798 году. ^[5] Ньютона Это произошло через 111 лет после публикации «Начал» и примерно через 71 год после его смерти.

Ньютона Закон гравитации напоминает закон электрических сил Кулона , который используется для расчета величины электрической силы, возникающей между двумя заряженными телами. Оба являются законами обратных квадратов , где сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. В законе Кулона вместо массы используется заряд и другая константа.

Закон Ньютона позже был заменен Альберта Эйнштейна общей теорией относительности , но универсальность гравитационной постоянной сохранилась, и закон до сих пор продолжает использоваться как превосходное приближение эффектов гравитации в большинстве приложений. Теория относительности требуется только тогда, когда существует необходимость в чрезвычайной точности или когда мы имеем дело с очень сильными гравитационными полями, например, вблизи чрезвычайно массивных и плотных объектов или на небольших расстояниях (например, на орбите Меркурия вокруг Солнца).

История

Около 1600 года научный метод начал укореняться. Рене Декарт начал с более фундаментальной точки зрения, развивая идеи материи и действия независимо от теологии. Галилео Галилей писал об экспериментальных измерениях падающих и катящихся предметов. Иоганна Кеплера обобщили Законы движения планет астрономические Тихо Браге . наблюдения ^[6]^: 132

Около 1666 года Исаак Ньютон разработал идею о том, что законы Кеплера должны применяться также к орбите Луны вокруг Земли, а затем и ко всем объектам на Земле. Для анализа потребовалось предположить, что сила гравитации действовала так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре, что на тот момент было недоказанной гипотезой. Его расчеты времени обращения Луны находились в пределах 16% от известного значения. К 1680 году новые значения диаметра Земли улучшили время его обращения по орбите до 1,6%, но, что более важно, Ньютон нашел доказательство своей более ранней гипотезы. ^[7]^: 201

В 1687 году Ньютон опубликовал свои «Начала» , в которых его законы движения сочетались с новым математическим анализом для объяснения эмпирических результатов Кеплера. ^[6]^: 134 Его объяснение было в форме закона всемирного тяготения: любые два тела притягиваются силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. ^[8]^: 28Первоначальная формула Ньютона была:

{\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}

где символ $\propto$ означает «пропорционально». Чтобы превратить это в равностороннюю формулу или уравнение, должен был быть умножающий коэффициент или константа, которая давала бы правильную силу гравитации независимо от значения масс или расстояния между ними (гравитационная постоянная). Ньютону понадобилась бы точная мера этой константы, чтобы доказать свой закон обратных квадратов. первую книгу неопубликованного текста Когда в апреле 1686 года Ньютон представил Королевскому обществу , Роберт Гук заявил, что Ньютон получил от него закон обратных квадратов, что в конечном итоге оказалось необоснованным обвинением. ^[7]^: 204

Ньютоновские «неизвестные до сих пор причины»

Хотя Ньютон смог сформулировать свой закон тяготения в своей монументальной работе, ему было очень не по себе понятие «действия на расстоянии», которое подразумевалось в его уравнениях. В 1692 году в своем третьем письме Бентли он писал: «То, что одно тело может действовать на другое на расстоянии через вакуум без посредничества чего-либо еще, посредством чего их действие и сила могут передаваться друг от друга, является для меня это настолько великая нелепость, что, я думаю, ни один человек, обладающий в философских вопросах компетентным мышлением, никогда не сможет в нее впасть».

Он никогда, по его словам, "не назначал причину этой власти". Во всех остальных случаях он использовал явление движения для объяснения происхождения различных сил, действующих на тела, но в случае тяготения ему не удалось экспериментально выявить движение, вызывающее силу тяготения (хотя он выдвинул две механические гипотезы в 1675 и 1717 годах). Более того, он отказался даже предложить гипотезу о причине этой силы на том основании, что это противоречит здравой науке. Он посетовал, что «философы до сих пор тщетно пытались найти в природе» источник гравитационной силы, поскольку он был убежден «по многим причинам», что существуют «до сих пор неизвестные причины», которые были фундаментальными для всех «феноменов природы». ". Эти фундаментальные явления все еще изучаются, и, хотя гипотез имеется множество, окончательный ответ еще не найден. Ньютона 1713 года И в «Общем схолии» во втором издании « Начал» : «Я еще не смог открыть причину этих свойств гравитации на основе явлений, и я не выдвигайте никаких гипотез ... Достаточно того, что гравитация действительно существует и действует согласно объясненным мною законам, и что она в полной мере служит для объяснения всех движений небесных тел». ^[9]

Современная форма

Говоря современным языком, в законе говорится следующее:

Каждая точечная масса притягивает каждую другую точечную массу силой, действующей вдоль линии , пересекающей обе точки. Сила пропорциональна произведению обратно двух масс и пропорциональна квадрату : расстояния между ними ^[10]

Схема двух масс, притягивающих друг друга — Diagram of two masses attracting one another

F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\

где

F – сила между массами;
G — гравитационная постоянная Ньютона ( 6,674 × 10 ⁻¹¹ м ³⋅kg ⁻¹⋅s ⁻²);
m ₁ – первая масса;
м ₂ – вторая масса;
r — расстояние между центрами масс.

Принимая единицы СИ , F измеряется в ньютонах (Н), м ₁ и м ₂ в килограммах (кг), r в метрах (м), а константа G равна 6,674 30 (15) × 10. ⁻¹¹ м ³⋅kg ⁻¹⋅s ⁻². ‍ ^[11]Значение константы G было впервые точно определено по результатам эксперимента Кавендиша, британским учёным Генри Кавендишем в 1798 году, хотя сам Кавендиш не рассчитал численное значение G. проведенного ^[5] Этот эксперимент был также первой проверкой теории Ньютона о гравитации между массами в лаборатории. Ньютона Это произошло через 111 лет после публикации «Начал» и через 71 год после смерти Ньютона, поэтому ни в одном из расчетов Ньютона нельзя было использовать значение G ; вместо этого он мог только вычислить силу относительно другой силы.

Тела с пространственной протяженностью

Напряженность гравитационного поля внутри Земли

Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (а не являются точечными массами), то сила гравитации между ними рассчитывается путем суммирования вкладов воображаемых точечных масс, составляющих тела. В пределе, когда точечные массы компонентов становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. Ниже) по протяженности двух тел .

Таким образом, можно показать, что объект со сферически-симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре. ^[10] (Это обычно не верно для несферически симметричных тел.)

Для точек внутри сферически симметричного распределения материи теорема Ньютона о оболочках может использоваться для определения гравитационной силы. Теорема говорит нам, как различные части распределения массы влияют на силу гравитации, измеренную в точке, расположенной на расстоянии r ₀ от центра распределения массы: ^[12]

Часть массы, расположенная на радиусах r < r _0, вызывает на радиусе r ₀ такую же силу , как если бы вся масса, заключенная внутри сферы радиуса r _0, была сосредоточена в центре распределения массы (как отмечалось выше). ).
Часть массы, расположенная на радиусах r > r _0, не оказывает результирующей гравитационной силы на радиусе r ₀ от центра. То есть отдельные гравитационные силы, действующие на точку радиуса r ₀ элементами массы вне радиуса r _0, нейтрализуют друг друга.

Как следствие, например, внутри оболочки одинаковой толщины и плотности нет чистого нигде внутри полой сферы гравитационного ускорения.

Векторная форма

Гравитационное поле, окружающее Землю, с макроскопической точки зрения.

Закон всемирного тяготения Ньютона можно записать в виде векторного уравнения , позволяющего учитывать как направление гравитационной силы, так и ее величину. В этой формуле величины, выделенные жирным шрифтом, представляют собой векторы.

$\mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}$ где

F ₂₁ — сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1,
G — гравитационная постоянная ,
m ₁ и m ₂ — соответственно массы тел 1 и 2,
r ₂₁ = r ₂ − r ₁ — вектор перемещения между телами 1 и 2, а
${\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}$ — единичный вектор от тела 1 к телу 2. ^[13]

Видно, что векторная форма уравнения такая же, как скалярная форма, приведенная ранее, за исключением того, что F теперь является векторной величиной, а правая часть умножается на соответствующий единичный вектор. Также можно видеть, что F ₁₂ = − F ₂₁ .

Гравитационное поле

Гравитационное поле — это векторное поле , которое описывает гравитационную силу, которая будет приложена к объекту в любой заданной точке пространства на единицу массы. Фактически оно равно гравитационному ускорению в этой точке.

Это обобщение векторной формы, которое становится особенно полезным, если задействовано более двух объектов (например, ракета между Землей и Луной). Для двух объектов (например, объект 2 — ракета, объект 1 — Земля) мы просто пишем r вместо r ₁₂ и m вместо m ₂ и определяем гравитационное поле g ( r ) как:

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}

чтобы мы могли написать:

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).

Эта формулировка зависит от объектов, вызывающих поле. Поле имеет единицы ускорения; в СИ это м/с ².

Гравитационные поля также консервативны ; то есть работа, совершаемая гравитацией из одного положения в другое, не зависит от пути. Это приводит к тому, что существует гравитационное потенциальное поле V ( r ) такое, что

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).

Если m ₁ — точечная масса или масса сферы с однородным распределением массы, то силовое поле g ( r ) вне сферы изотропно, т. е. зависит только от расстояния r от центра сферы. В этом случае

V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.

Согласно закону Гаусса , поле в симметричном теле можно найти по математическому уравнению:

$\оинт$

\partial V

\mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},

где $\partial V$ представляет собой замкнутую поверхность и $M_{\text{enc}}$ - масса, заключенная в поверхности.

Следовательно, для полой сферы радиуса $R$ и общая масса $M$ ,

|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}

Для однородной твердой сферы радиуса $R$ и общая масса $M$ ,

|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}

Ограничения

Описание гравитации, данное Ньютоном, достаточно точно для многих практических целей и поэтому широко используется. Отклонения от него малы, когда безразмерные величины $\phi /c^{2}$ и $(v/c)^{2}$ оба намного меньше единицы, где $\phi$ гравитационный потенциал , $v$ – скорость изучаемых объектов, а $c$ это скорость света в вакууме. ^[14]Например, ньютоновская гравитация обеспечивает точное описание системы Земля/Солнце, поскольку

{\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},

где $r_{\text{orbit}}$ – радиус орбиты Земли вокруг Солнца.

В ситуациях, когда любой безразмерный параметр велик, то общую теорию относительности Для описания системы необходимо использовать . Общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в пределе малого потенциала и малых скоростей, поэтому закон гравитации Ньютона часто называют пределом низкой гравитации общей теории относительности.

Наблюдения, противоречащие формуле Ньютона

Теория Ньютона не вполне объясняет прецессию перигелия орбит планет, особенно Меркурия, обнаруженную спустя много времени после жизни Ньютона. ^[15] Существует расхождение в 43 угловых секунды за столетие между ньютоновскими расчетами, возникающими только из-за гравитационного притяжения других планет, и наблюдаемой прецессией, полученной с помощью современных телескопов в 19 веке.
Предсказанное угловое отклонение световых лучей под действием силы тяжести (рассматриваемое как частицы, движущиеся с ожидаемой скоростью), рассчитанное с помощью теории Ньютона, составляет лишь половину отклонения, наблюдаемого астрономами. ^{[ нужна ссылка ]} Расчеты с использованием общей теории относительности гораздо лучше согласуются с астрономическими наблюдениями.
В спиральных галактиках вращение звезд вокруг их центров, по-видимому, категорически не подчиняется как закону всемирного тяготения Ньютона, так и общей теории относительности. Астрофизики, однако, объясняют это заметное явление, предполагая наличие большого количества темной материи .

Решение Эйнштейна

Эйнштейна Первые два конфликта с приведенными выше наблюдениями были объяснены общей теорией относительности , в которой гравитация является проявлением искривленного пространства-времени, а не возникает из-за силы, распространяющейся между телами. В теории Эйнштейна энергия и импульс искажают пространство-время вблизи себя, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Это позволило описать движения света и массы, согласующееся со всеми доступными наблюдениями. В общей теории относительности гравитационная сила — это фиктивная сила, возникающая в результате искривления пространства-времени , поскольку гравитационное ускорение тела в свободном падении обусловлено тем, что его мировая линия является геодезической линией пространства -времени .

Расширения

В последние годы поиск членов необратных квадратов в законе гравитации проводился с помощью нейтронной интерферометрии . ^[16]

Решения закона всемирного тяготения Ньютона.

Проблема n тел — древняя классическая проблема. ^[17] предсказания отдельных движений группы небесных объектов, взаимодействующих друг с другом гравитационно . Решение этой проблемы — со времен греков и далее — было мотивировано желанием понять движение Солнца , планет и видимых звезд . В 20 веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений также стало важной проблемой n -тел. Задачу n тел в общей теории относительности решить значительно сложнее.

Классическую физическую задачу можно неформально сформулировать так: учитывая квазистационарные орбитальные свойства ( мгновенное положение, скорость и время ) ^[18] группы небесных тел, предсказать их взаимодействующие силы; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все будущие времена . ^[19]

Задача двух тел полностью решена, как и ограниченная задача трех тел . ^[20]

См. также

Парадокс Бентли - Космологический парадокс, связанный с гравитацией.
Закон гравитации Гаусса - повторение закона всемирного тяготения Ньютона.
Фреймы Джордана и Эйнштейна - разные соглашения для метрического тензора в теории дилатона, связанного с гравитацией.
Орбита Кеплера - Небесная орбита, траектория которой представляет собой коническое сечение в плоскости орбиты.
Пушечное ядро Ньютона – мысленный эксперимент о гравитации
Законы движения Ньютона - Законы физики о силе и движении.
Социальная гравитация - Социальная теория
Статические силы и обмен виртуальными частицами - Физическое взаимодействие в постклассической физике

Ссылки

^ Фриц Рорлих (25 августа 1989 г.). От парадокса к реальности: наши основные концепции физического мира . Издательство Кембриджского университета. стр. 28–. ISBN 978-0-521-37605-1 .
^ Клаус Майнцер (2 декабря 2013 г.). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки . Вальтер де Грюйтер. стр. 8–. ISBN 978-3-11-088693-1 .
^ «Физика: фундаментальные силы и синтез теории | Encyclepedia.com» . www.энциклопедия.com .
^ Исаак Ньютон: «В [экспериментальной] философии частные положения выводятся из явлений, а затем становятся общими посредством индукции»: « Principia », Книга 3, General Scholium, стр. 392 во 2 томе английского перевода Эндрю Мотта, опубликованного в 1729 году.
^ Jump up to: ^а ^б Эксперимент Мичелла-Кавендиша , Лоран Ходжес
^ Jump up to: ^а ^б Гессен, Мэри Б. (2005). Силы и поля: концепция действия на расстоянии в истории физики (изд. Дувра). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44240-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Перо, Норман (1959). Введение в физику массы-длины и времени . Издательство Эдинбургского университета.
^ Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 1: Классические теории (Ред.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3 .
^ Построение современной науки: механизмы и механика , Ричард С. Вестфолл. Издательство Кембриджского университета. 1978 год
^ Jump up to: ^а ^б Предложение 75, Теорема 35: с. 956 — И.Бернард Коэн и Энн Уитмен, переводчики: Исаак Ньютон , «Начала : Математические начала естественной философии» . Ему предшествовал «Путеводитель по «Началам» Ньютона » И. Бернарда Коэна. Издательство Калифорнийского университета, 1999 г. ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4
^ «Значение CODATA 2022: гравитационная постоянная Ньютона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . Май 2024 года . Проверено 18 мая 2024 г.
^ «Вращательное сплющивание» . Farside.ph.utexas.edu .
^ Векторная разность r ₂ − r ₁ указывает от объекта 1 к объекту 2. См. рис. 11–6. из «Фейнмановских лекций по физике», том I , уравнение (9.19) из «Фейнмановских лекций по физике», том I и евклидов вектор # Сложение и вычитание
^ Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Нью-Йорк: WHFreeman and Company. ISBN 978-0-7167-0344-0 . Страница 1049.
^ Макс Борн (1924), Теория относительности Эйнштейна (Дуврское издание 1962 года, стр. 348 содержит таблицу, документирующую наблюдаемые и рассчитанные значения прецессии перигелия Меркурия, Венеры и Земли.)
^ Грин, Джеффри Л.; Гудков, Владимир (2007). «Нейтронно-интерферометрический метод, обеспечивающий улучшенные ограничения неньютоновской гравитации в нанометровом масштабе». Физический обзор C . 75 (1): 015501. arXiv : hep-ph/0608346 . Бибкод : 2007PhRvC..75a5501G . doi : 10.1103/PhysRevC.75.015501 . S2CID 39665455 .
^ Лейманис и Минорский: Нас интересует Лейманис, который сначала обсуждает некоторую историю проблемы n тел, особенно г-жу Ковалевскую ~ 1868–1888, двадцатилетний подход с комплексными переменными, неудачу; Раздел 1: Динамика твердых тел и математическая внешняя баллистика (Глава 1, движение твердого тела вокруг неподвижной точки ( Эйлера и Пуассона уравнения ); глава 2, Математическая внешняя баллистика ), хорошая предыстория проблемы n тел. ; Раздел 2: Небесная механика (Глава 1, Униформизация задачи трех тел (ограниченная задача трех тел); Глава 2, Захват в задаче трех тел ; Глава 3, Обобщенная задача n тел ).
^ Квазипостоянные нагрузки относятся к мгновенным инерционным нагрузкам, создаваемым мгновенными угловыми скоростями и ускорениями, а также поступательными ускорениями (9 переменных). Это похоже на то, как если бы кто-то сделал фотографию, которая также зафиксировала мгновенное положение и свойства движения. Напротив, устойчивое состояние относится к состоянию системы, инвариантному во времени; в противном случае первые производные и все высшие производные равны нулю.
^ Р. М. Розенберг аналогичным образом формулирует проблему n тел (см. Ссылки): Каждая частица в системе из конечного числа частиц подвергается ньютоновскому гравитационному притяжению со стороны всех других частиц и никаким другим силам. Если задано начальное состояние системы, как будут двигаться частицы? Розенберг, как и все остальные, не осознал, что необходимо сначала определить силы , прежде чем можно будет определить движения.
^ Известно, что общее классическое решение в терминах первых интегралов невозможно. Точное теоретическое решение для произвольного n можно аппроксимировать рядом Тейлора , но на практике такой бесконечный ряд необходимо усекать, что дает в лучшем случае только приближенное решение; и этот подход сейчас устарел. Кроме того, задачу n тел можно решить с помощью численного интегрирования , но это тоже приближенные решения; и снова устарело. См. книгу Сверре Дж. Орсета гравитационного тела N «Моделирование », указанную в списке литературы.

Внешние ссылки

СМИ, связанные с законом всемирного тяготения Ньютона, на Викискладе?
Падение пера и молота на Луну на YouTube
Javascript-калькулятор закона всемирного тяготения Ньютона

[1] Фриц Рорлих (25 августа 1989 г.). От парадокса к реальности: наши основные концепции физического мира . Издательство Кембриджского университета. стр. 28–. ISBN 978-0-521-37605-1 .

[2] Клаус Майнцер (2 декабря 2013 г.). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки . Вальтер де Грюйтер. стр. 8–. ISBN 978-3-11-088693-1 .

[3] «Физика: фундаментальные силы и синтез теории | Encyclepedia.com» . www.энциклопедия.com .

[4] Исаак Ньютон: «В [экспериментальной] философии частные положения выводятся из явлений, а затем становятся общими посредством индукции»: « Principia », Книга 3, General Scholium, стр. 392 во 2 томе английского перевода Эндрю Мотта, опубликованного в 1729 году.

[The_Michell-Cavendish_Experiment-5] Jump up to: ^а ^б Эксперимент Мичелла-Кавендиша , Лоран Ходжес

[Hesse2005-6] Jump up to: ^а ^б Гессен, Мэри Б. (2005). Силы и поля: концепция действия на расстоянии в истории физики (изд. Дувра). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44240-2 .

[Feather-7] Jump up to: ^а ^б Перо, Норман (1959). Введение в физику массы-длины и времени . Издательство Эдинбургского университета.

[Whittaker-8] Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 1: Классические теории (Ред.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3 .

[9] Построение современной науки: механизмы и механика , Ричард С. Вестфолл. Издательство Кембриджского университета. 1978 год

[Newton1-10] Jump up to: ^а ^б Предложение 75, Теорема 35: с. 956 — И.Бернард Коэн и Энн Уитмен, переводчики: Исаак Ньютон , «Начала : Математические начала естественной философии» . Ему предшествовал «Путеводитель по «Началам» Ньютона » И. Бернарда Коэна. Издательство Калифорнийского университета, 1999 г. ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4

[physconst-G-11] «Значение CODATA 2022: гравитационная постоянная Ньютона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . Май 2024 года . Проверено 18 мая 2024 г.

[12] «Вращательное сплющивание» . Farside.ph.utexas.edu .

[13] Векторная разность r ₂ − r ₁ указывает от объекта 1 к объекту 2. См. рис. 11–6. из «Фейнмановских лекций по физике», том I , уравнение (9.19) из «Фейнмановских лекций по физике», том I и евклидов вектор # Сложение и вычитание

[14] Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Нью-Йорк: WHFreeman and Company. ISBN 978-0-7167-0344-0 . Страница 1049.

[15] Макс Борн (1924), Теория относительности Эйнштейна (Дуврское издание 1962 года, стр. 348 содержит таблицу, документирующую наблюдаемые и рассчитанные значения прецессии перигелия Меркурия, Венеры и Земли.)

[16] Грин, Джеффри Л.; Гудков, Владимир (2007). «Нейтронно-интерферометрический метод, обеспечивающий улучшенные ограничения неньютоновской гравитации в нанометровом масштабе». Физический обзор C . 75 (1): 015501. arXiv : hep-ph/0608346 . Бибкод : 2007PhRvC..75a5501G . doi : 10.1103/PhysRevC.75.015501 . S2CID 39665455 .

[Leimanis_and_Minorsky-17] Лейманис и Минорский: Нас интересует Лейманис, который сначала обсуждает некоторую историю проблемы n тел, особенно г-жу Ковалевскую ~ 1868–1888, двадцатилетний подход с комплексными переменными, неудачу; Раздел 1: Динамика твердых тел и математическая внешняя баллистика (Глава 1, движение твердого тела вокруг неподвижной точки ( Эйлера и Пуассона уравнения ); глава 2, Математическая внешняя баллистика ), хорошая предыстория проблемы n тел. ; Раздел 2: Небесная механика (Глава 1, Униформизация задачи трех тел (ограниченная задача трех тел); Глава 2, Захват в задаче трех тел ; Глава 3, Обобщенная задача n тел ).

[18] Квазипостоянные нагрузки относятся к мгновенным инерционным нагрузкам, создаваемым мгновенными угловыми скоростями и ускорениями, а также поступательными ускорениями (9 переменных). Это похоже на то, как если бы кто-то сделал фотографию, которая также зафиксировала мгновенное положение и свойства движения. Напротив, устойчивое состояние относится к состоянию системы, инвариантному во времени; в противном случае первые производные и все высшие производные равны нулю.

[19] Р. М. Розенберг аналогичным образом формулирует проблему n тел (см. Ссылки): Каждая частица в системе из конечного числа частиц подвергается ньютоновскому гравитационному притяжению со стороны всех других частиц и никаким другим силам. Если задано начальное состояние системы, как будут двигаться частицы? Розенберг, как и все остальные, не осознал, что необходимо сначала определить силы , прежде чем можно будет определить движения.

[20] Известно, что общее классическое решение в терминах первых интегралов невозможно. Точное теоретическое решение для произвольного n можно аппроксимировать рядом Тейлора , но на практике такой бесконечный ряд необходимо усекать, что дает в лучшем случае только приближенное решение; и этот подход сейчас устарел. Кроме того, задачу n тел можно решить с помощью численного интегрирования , но это тоже приближенные решения; и снова устарело. См. книгу Сверре Дж. Орсета гравитационного тела N «Моделирование », указанную в списке литературы.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

v т и сэр Исаак Ньютон
Публикации	Флюксии (1671) Де Моту (1684) Бегин (1687) Оптика (1704 г.) Запросы (1704) Арифметика (1707 г.) Де Анализи (1711)
Другие произведения	Вопросы (1661–1665) « Стоя на плечах великанов » (1675) Заметки о еврейском храме (ок. 1680 г.) « Генерал Схолиум » (1713; « Гипотезы нон финго » ) Поправки к Древним королевствам (1728 г.) Искажения Священного Писания (1754 г.)
Взносы	Исчисление флюсия Глубина удара Инерция диск Ньютона Многоугольник Ньютона Тело Ньютона-Окунькова. Рефлектор Ньютона Ньютоновский телескоп Масштаб Ньютона Металл Ньютона Спектр Структурная окраска
Ньютонианство	Аргумент ведра Неравенства Ньютона Закон охлаждения Ньютона Закон всемирного тяготения Ньютона постньютоновское расширение параметризованный гравитационная постоянная Теория Ньютона – Картана Уравнение Шредингера – Ньютона Законы движения Ньютона Законы Кеплера Ньютоновская динамика Метод Ньютона в оптимизации Проблема Аполлония усеченный метод Ньютона Алгоритм Гаусса – Ньютона Кольца Ньютона Теорема Ньютона об овалах Задача Ньютона – Пипса Ньютоновский потенциал Ньютоновская жидкость Классическая механика Корпускулярная теория света Споры об исчислении Лейбница-Ньютона Обозначения Ньютона Вращающиеся сферы Пушечное ядро Ньютона Формулы Ньютона–Котеса метод Ньютона обобщенный метод Гаусса – Ньютона Ньютон фрактал Личности Ньютона Полином Ньютона Теорема Ньютона о вращающихся орбитах Уравнения Ньютона–Эйлера Число Ньютона проблема с номером для поцелуев частное Ньютона Параллелограмм силы Теорема Ньютона – Пюизо Абсолютное пространство и время Светоносный эфир Ньютоновский ряд стол
Личная жизнь	Поместье Вулсторп (место рождения) Крэнбери Парк (дом) Ранний период жизни Дальнейшая жизнь Яблоня Религиозные взгляды Оккультные исследования Научная революция Коперниканская революция
Отношения	Кэтрин Бартон (племянница) Джон Кондуитт (племянник) Исаак Барроу (профессор) Уильям Кларк (наставник) Бенджамин Пулли (репетитор) Роджер Коутс (студент) Уильям Уистон (студент) Джон Кейлл (ученик) Уильям Стьюкли (друг) Уильям Джонс (друг) Авраам де Муавр (друг)
Изображения	Ньютон Блейка (монотипия) Ньютон работы Паолоцци (скульптура) Исаак Ньютон Горгулья Памятник астрономам
Тезка	Ньютон (единица измерения) колыбель Ньютона Институт Исаака Ньютона Медаль Исаака Ньютона Телескоп Исаака Ньютона Группа телескопов Исаака Ньютона XMM-Ньютон Сэр Исаак Ньютон, шестой класс Государственный институт высшего образования имени Исаака Ньютона Международная стипендия Ньютона
Категории	Исаак Ньютон