Круг

Круг
Круг
	Круг окружность С диаметр D радиус R центр или начало координат O
Тип	Коническое сечение
Группа симметрии	О (2)
Область	πR 2
Периметр	С = 2πR

Круг фигура — это , из всех точек плоскости состоящая , находящихся на заданном расстоянии от данной точки — центра . Расстояние между любой точкой круга и центром называется радиусом .

Круг был известен еще до начала письменной истории. Распространены естественные круги, такие как полная луна или кусочек круглого фрукта. Круг является основой колеса , которое, вместе с соответствующими изобретениями, такими как шестерни , делает возможным создание многих современных машин. В математике изучение круга помогло вдохновить развитие геометрии, астрономии и исчисления .

Терминология

Кольцо : объект в форме кольца, область, ограниченная двумя концентрическими кругами.
Дуга : любая соединенная часть круга. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет создать две дуги, которые вместе образуют полный круг.
Центр : точка, равноудаленная от всех точек окружности.
Хорда : отрезок прямой, концы которого лежат на окружности, разделяя таким образом окружность на два сегмента.
Окружность : длина одного контура по кругу или расстояние по кругу.
Диаметр : отрезок линии, конечные точки которого лежат на окружности и проходит через центр; или длина такого отрезка. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками окружности. Это частный случай хорды, а именно самая длинная хорда для данной окружности, длина которой в два раза превышает длину радиуса.
Диск : область плоскости, ограниченная кругом. В строгом математическом использовании круг — это только граница диска, тогда как в повседневной жизни термины «круг» и «диск» могут использоваться как синонимы.
Линза : область, общая для (пересечения) двух перекрывающихся дисков.
Радиус : отрезок линии, соединяющий центр круга с любой точкой на самом круге; или длина такого отрезка, равная половине (длине) диаметра. Обычно радиус обозначают $r$ и должно быть положительным числом. Круг с $r=0$ является вырожденным случаем, состоящим из одной точки.
Сектор : область, ограниченная двумя радиусами одинаковой длины с общим центром и любой из двух возможных дуг, определяемых этим центром и концами радиусов.
Сегмент : область, ограниченная хордой и одной из дуг, соединяющих конечные точки хорды. Длина хорды накладывает нижнюю границу диаметра возможных дуг. Иногда термин «сегмент» используется только для регионов, не содержащих центр круга, которому принадлежит их дуга.
Секанс : протяженная хорда, копланарная прямая, пересекающая окружность в двух точках.
Полукруг : одна из двух возможных дуг, определяемых конечными точками диаметра, принимая ее середину за центр. В нетехническом обиходе это может означать внутреннюю часть двумерной области, ограниченную диаметром и одной из его дуг, что технически называется полудиском. Полудиск – это частный случай сегмента, а именно самый большой.
Касательная : копланарная прямая линия, имеющая одну общую точку с окружностью («касается окружности в этой точке»).

Все указанные регионы можно считать открытыми , то есть не содержащими своих границ, или закрытыми , включая соответствующие границы.

Этимология

Слово « круг» происходит от греческого κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ), которое само по себе является метатезой гомеровского греческого κρίκος ( krikos ), что означает «обруч» или «кольцо». ^[1] Происхождение слов «цирк» и «схема» тесно связано.

История

Круги на старом арабском астрономическом рисунке.

Доисторические люди создавали каменные и деревянные круги , а круглые элементы часто встречаются в петроглифах и наскальных рисунках . ^[2] Доисторические артефакты в форме дисков включают небесный диск Небры и нефритовые диски под названием Би .

Египетский папирус Ринда , датированный 1700 годом до нашей эры, дает метод определения площади круга. Результат соответствует ⁠ 256/81 ( ⁠ 3,16049 ...) как приблизительное значение $π$ . ^[3]

Третья книга Евклида «Начал» посвящена свойствам кругов. Определение круга, данное Евклидом, таково:

Круг — это плоская фигура, ограниченная одной изогнутой линией, причем все прямые линии, проведенные из определенной точки внутри нее до ограничивающей линии, равны. Ограничивающая линия называется окружностью, а точка — центром.
— Евклид , Книга I , Начала. ^[4]^: 4

В Платона « Седьмом письме» есть подробное определение и объяснение круга. Платон объясняет идеальный круг и то, чем он отличается от любого рисунка, слова, определения или объяснения. Ранняя наука , особенно геометрия , астрология и астрономия была связана с божественным , для большинства средневековых ученых , и многие верили, что существует нечто по своей сути «божественное» или «совершенное», что можно найти в кругах. ^[5]^[6]

В 1880 году Фердинанд фон Линдеманн доказал, что $π$ трансцендентно число , доказав, что тысячелетнюю задачу о квадратуре круга невозможно решить с помощью линейки и циркуля. ^[7]

С появлением абстрактного искусства в начале 20 века геометрические объекты стали самостоятельным художественным предметом. Василий Кандинский особенно часто использовал круги как элемент своих композиций. ^[8]^[9]

Символизм и религиозное использование

Со времен самых ранних известных цивилизаций, таких как ассирийцы и древние египтяне, жители долины Инда и вдоль Желтой реки в Китае, а также западные цивилизации древней Греции и Рима во времена классической античности, круг использовался напрямую или косвенно в изобразительном искусстве, чтобы передать послание художника и выразить определенные идеи.Однако различия в мировоззрении (верованиях и культуре) оказали большое влияние на восприятие художников. В то время как некоторые подчеркивали периметр круга, чтобы продемонстрировать свое демократическое проявление, другие сосредоточились на его центре, чтобы символизировать концепцию космического единства. В мистических учениях круг главным образом символизирует бесконечность и цикличность существования, но в религиозных традициях он олицетворяет небесные тела и божественных духов.

Круг означает множество священных и духовных концепций, включая единство, бесконечность, целостность, вселенную, божественность, баланс, стабильность и совершенство и другие. Такие концепции были переданы в культурах всего мира посредством использования символов, например, компаса, нимба, vesica piscis и его производных (рыба, глаз, ореол, мандорла и т. д.), уробороса, колеса Дхармы , радуга, мандалы, окна-розы и так далее. ^[10] Магические круги являются частью некоторых традиций западного эзотеризма .

Аналитические результаты

Окружность

Отношение длины окружности к ее диаметру равно $π$ (пи), иррациональной константе, примерно равной 3,141592654. Таким образом, длина окружности C связана с радиусом r и диаметром d соотношением: $C=2\pi r=\pi d.$

Огороженная территория

Как доказал Архимед в своем «Измерении круга» , площадь, заключенная в круг, равна площади треугольника, основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга. ^[11] что равно $π,$ умноженному на квадрат радиуса: $\mathrm {Area} =\pi r^{2}.$

Эквивалентно, обозначая диаметр d , $\mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},$ то есть примерно 79% описанного квадрата (сторона которого имеет длину d ).

Окружность представляет собой плоскую кривую, охватывающую максимальную площадь для заданной длины дуги. Это связывает круг с проблемой вариационного исчисления, а именно с изопериметрическим неравенством .

Уравнения

Декартовы координаты

Уравнение круга

В x – y декартовой системе координат круг с центральными координатами ( a , b ) и радиусом r представляет собой набор всех точек ( x , y ), таких что $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.$

Это уравнение , известное как уравнение окружности , следует из теоремы Пифагора, примененной к любой точке окружности: как показано на соседней диаграмме, радиус — это гипотенуза прямоугольного треугольника, другие стороны которого имеют длину | Икс - а | и | у - б |. Если центр круга находится в начале координат (0, 0), то уравнение упрощается до $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$

Параметрическая форма

Уравнение можно записать в параметрической форме с использованием тригонометрических функций синуса и косинуса как ${\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}$ где t — параметрическая переменная в диапазоне от 0 до 2 $π$ , геометрически интерпретируемая как угол , который луч от ( a , b ) до ( x , y ) образует с положительной x осью .

Альтернативная параметризация круга: ${\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}$

В этой параметризации отношение t к r можно интерпретировать геометрически как стереографическую проекцию линии, проходящей через центр, параллельной оси x (см. Замена касательного полуугла ). Однако эта параметризация работает только в том случае, если t будет распространяться не только на все действительные числа, но и на бесконечность; в противном случае самая левая точка круга будет опущена.

3-х очковая форма

Уравнение окружности, определяемой тремя точками $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ не на прямой получается преобразованием трехточечной формы уравнения окружности : ${\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.$

Однородная форма

В однородных координатах каждое коническое сечение с уравнением окружности имеет вид $x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.$

Можно доказать, что коническое сечение является окружностью именно тогда, когда оно содержит (при продолжении на комплексную проективную плоскость ) точки I (1: i : 0) и J (1: − i : 0). Эти точки называются круговыми точками на бесконечности .

Полярные координаты

В полярных координатах уравнение окружности имеет вид $r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},$

где а — радиус круга, $(r,\theta )$ - полярные координаты общей точки на окружности, а $(r_{0},\phi )$ — полярные координаты центра круга (т. е. r ₀ — расстояние от начала координат до центра круга, а φ — угол против часовой стрелки от положительной оси x к линии, соединяющей начало координат с центром круга). круг). Для круга с центром в начале координат, т.е. r ₀ = 0 , это сводится к r = a . Когда r ₀ = a или начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид $r=2a\cos(\theta -\phi ).$

В общем случае уравнение можно решить относительно r , дав $r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.$ Без знака ± уравнение в некоторых случаях описывало бы только половину круга.

Сложный самолет

В комплексной плоскости окружность с центром в точке c и радиусом r имеет уравнение $|z-c|=r.$

В параметрической форме это можно записать как $z=re^{it}+c.$

Слегка обобщенное уравнение $pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q$

для вещественных p , q и комплексных g иногда называют обобщенным кругом . Это становится приведенным выше уравнением для круга с $p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}$ , с $|z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}$ . Не все обобщенные круги на самом деле являются кругами: обобщенный круг — это либо (истинный) круг, либо линия .

Касательные линии

, Касательная линия проходящая через точку P на окружности, перпендикулярна диаметру, проходящему через P . Если P = ( x ₁ , y ₁ ) и круг имеет центр ( a , b ) и радиус r , то касательная линия перпендикулярна линии от ( a , b ) до ( x ₁ , y ₁ ), поэтому имеет вид ( Икс ₁ - а ) Икс + ( y ₁ – б ) y знак равно c . Оценка в ( x ₁ , y ₁ ) определяет значение c , и в результате уравнение тангенса имеет вид $(x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},$ или $(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.$

Если y ₁ ≠ b , то наклон этой линии равен ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.$

Это также можно найти с помощью неявного дифференцирования .

Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение касательной принимает вид $x_{1}x+y_{1}y=r^{2},$ и его наклон ${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.$

Характеристики

Круг — это фигура с наибольшей площадью при заданной длине периметра (см. Изопериметрическое неравенство ).
Круг представляет собой очень симметричную форму: каждая линия, проходящая через центр, образует линию симметрии отражения и имеет вращательную симметрию вокруг центра для каждого угла. Его группой симметрии является ортогональная группа O(2, R ). Группа вращений сама по себе является группой кругов T .
Все круги одинаковы . ^[12]
- Окружность и радиус круга пропорциональны .
- Заключенная площадь и квадрат ее радиуса пропорциональны.
- Константы пропорциональности равны 2 $π$ и $π$ соответственно.
Круг с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичным кругом .
- Рассматриваемый как большой круг единичной сферы , он становится римановым кругом .
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. В декартовых координатах можно дать явные формулы для координат центра круга и радиуса через координаты трех заданных точек. Смотри описанный круг .

Аккорд

Хорды равноудалены от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине.
Биссектриса ; хорды проходит через центр окружности эквивалентные утверждения, вытекающие из уникальности биссектрисы:
- Перпендикулярная линия, проведенная из центра окружности, делит хорду пополам.
- Отрезок , проходящий через центр и делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
Если центральный угол и вписанный угол окружности опираются на одну и ту же хорду и лежат по одну и ту же сторону от хорды, то центральный угол в два раза больше вписанного угла.
Если два угла вписаны в одну хорду и по одну и ту же сторону хорды, то они равны.
Если два угла вписаны в одну хорду и по разные стороны хорды, то они являются дополнительными .
- Для вписанного четырехугольника внешний угол равен внутреннему противоположному углу.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (см. теорему Фалеса ).
Диаметр – это самая длинная хорда окружности.
- Среди всех окружностей, имеющих общую хорду AB, окружность минимального радиуса имеет диаметр AB.
Если пересечение любых двух хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую хорду на длины c и d , то ab = cd .
Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую хорду на длины c и d , то a ² + б ² + с ² + д ² равен квадрату диаметра. ^[13]
Сумма квадратов длин любых двух хорд, пересекающихся под прямым углом в данной точке, равна квадрату длин любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и равна 8 r. ² − 4 п. ², где r — радиус круга, а p — расстояние от центральной точки до точки пересечения. ^[14]
Расстояние от точки окружности до данной хорды, умноженное на диаметр окружности, равно произведению расстояний от точки до концов хорды. ^[15]^{: стр.71}

Касательная

Линия, проведенная перпендикулярно радиусу через конечную точку радиуса, лежащую на окружности, является касательной к окружности.
Линия, проведенная перпендикулярно касательной, проходящей через точку касания окружности, проходит через центр окружности.
К окружности из любой точки вне окружности всегда можно провести две касательные, и эти касательные равны по длине.
Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P , то, обозначая центр как O , углы ∠ BOA и ∠ BPA являются дополнительными.
Если AD касается окружности в точке A и AQ — хорда окружности, то ∠ DAQ = ⁠ 1/2 ⁠ ( дуга AQ ) .

Теоремы

Теорема о хорде утверждает, что если две хорды, CD и EB , пересекаются в точке A , то AC × AD = AB × AE .
Если две секущие, AE и AD , также разрезают окружность в точках B и C соответственно, то AC × AD = AB × AE (следствие теоремы об хорде).
Касательную можно рассматривать как предельный случай секущей, концы которой совпадают. Если касательная из внешней точки A пересекает окружность в F , а секущая из внешней точки A пересекает окружность в точках C и D соответственно, то AF ² = AC × AD (теорема о касательном пересечении).
Угол между хордой и касательной в одном из ее концов равен половине угла, образуемого в центре окружности на противоположной стороне хорды (угол касательной хорды).
Если угол, образуемый хордой в центре, равен 90 ° , то ℓ = r √2 , где ℓ — длина хорды, а r — радиус круга.
Если в круг вписаны две секущие, как показано справа, то размер угла А равен половине разности размеров вложенных в него дуг ( ${\overset {\frown }{DE}}$ и ${\overset {\frown }{BC}}$ ). То есть, $2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}$ , где O — центр окружности (теорема о секущем-секущем).

Вписанные углы

Вписанный угол (примеры — синий и зеленый углы на рисунке) равен ровно половине соответствующего центрального угла (красного). Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (розовый), равны. Углы, вписанные в дугу (коричневые), являются дополнительными. В частности, каждый вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (поскольку центральный угол равен 180 °).

Стрелка

Сагитта ) — это отрезок линии, проведенный (также известная как версина перпендикулярно хорде между серединой этой хорды и дугой круга.

Учитывая длину y хорды x и длину сагитты , теорему Пифагора можно использовать для расчета радиуса уникального круга, который будет соответствовать двум линиям: $r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.$

Другое доказательство этого результата, опирающееся только на два приведенных выше свойства хорды, состоит в следующем. Учитывая хорду длины y и сагитту длины x , поскольку сагитта пересекает середину хорды, мы знаем, что она является частью диаметра круга. Поскольку диаметр в два раза больше радиуса, «недостающая» часть диаметра имеет ( 2 r − x длину ). Используя тот факт, что одна часть одной хорды, умноженная на другую часть, равна тому же произведению, взятому по хорде, пересекающей первую хорду, мы находим, что ( 2 r − x ) x = ( y / 2) ². Решая относительно r , находим искомый результат.

Конструкции циркуля и линейки

Существует множество конструкций циркуля и линейки, в результате которых получаются круги.

Самая простая и основная — это построение по центру круга и точке на окружности. Поместите неподвижную ножку циркуля в центральную точку, подвижную ножку в точку круга и вращайте компас.

Конструкция заданного диаметра

Постройте середину $М$ диаметра.
Постройте окружность с центром $М,$ проходящим через один из концов диаметра (он также пройдет через другой конец).

Построение через три неколлинеарные точки

Назовите точки $P$ , $Q$ и $R$ ,
Постройте биссектрису отрезка $PQ$ .
Постройте биссектрису отрезка $PR$ .
Обозначьте точку пересечения этих двух серединных перпендикуляров $M$ . (Они встречаются, потому что точки не лежат на одной прямой ).
Постройте круг с центром $M,$ проходящим через одну из точек $P$ , $Q$ или $R$ (он также пройдет через две другие точки).

Круг Аполлония

Аполлоний Пергский что круг также можно определить как набор точек на плоскости, имеющих постоянное отношение (отличное от 1) расстояний до двух фиксированных фокусов, A и B. показал , ^[16]^[17] (Набор точек, в которых расстояния равны, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку AB , линии.) Иногда говорят, что этот круг нарисован вокруг двух точек.

Доказательство состоит из двух частей. Во-первых, нужно доказать, что при наличии двух фокусов A и B и отношения расстояний любая точка P, удовлетворяющая отношению расстояний, должна попадать на определенную окружность. Пусть C — еще одна точка, также удовлетворяющая соотношению и лежащая на отрезке AB . По теореме о биссектрисе отрезок PC делит внутренний угол APB пополам , поскольку отрезки подобны: ${\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.$

Аналогично, отрезок PD, проходящий через некоторую точку D на продолжении AB , делит пополам соответствующий внешний угол BPQ , где Q находится на продолжении AP . Поскольку сумма внутреннего и внешнего углов равна 180 градусам, угол CPD равен ровно 90 градусам; то есть прямой угол. Множество точек P таких, что угол CPD является прямым, образует окружность, которой CD диаметр .

Во-вторых, см. ^[18]^: 15 для доказательства того, что каждая точка указанной окружности удовлетворяет заданному соотношению.

Перекрестные отношения

Тесно связанное свойство окружностей включает в себя геометрию взаимного отношения точек на комплексной плоскости. Если A , B и C такие же, как указано выше, то окружность Аполлония для этих трех точек представляет собой совокупность точек P , для которых абсолютное значение двойного отношения равно единице: ${\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.$

Другими словами, P является точкой на окружности Аполлония тогда и только тогда, когда двойное отношение [ A , B ; C , P ] находится на единичной окружности комплексной плоскости.

Обобщенные круги

Если C — середина отрезка AB , то совокупность точек P, удовлетворяющих условию Аполлония ${\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}$ это не круг, а скорее линия.

Таким образом, если A , B и C заданы разные точки на плоскости, то геометрическое место точек P, удовлетворяющих приведенному выше уравнению, называется «обобщенной окружностью». Это может быть либо настоящий круг, либо линия. В этом смысле линия представляет собой обобщенный круг бесконечного радиуса.

Надпись или описание других фигур

В каждый треугольник можно вписать уникальную окружность, называемую вписанной , так, чтобы она касалась каждой из трех сторон треугольника. ^[19]

треугольника Около каждого треугольника можно описать уникальную окружность, называемую описанной окружностью, так, чтобы она проходила через каждую из трех вершин . ^[20]

, Касательный многоугольник такой как касательный четырехугольник , — это любой выпуклый многоугольник , в который можно вписать окружность , касающуюся каждой стороны многоугольника. ^[21] Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является касательным многоугольником.

Циклический многоугольник — это любой выпуклый многоугольник, вокруг которого можно описать окружность , проходящую через каждую вершину. Хорошо изученный пример — вписанный четырехугольник. Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является вписанным многоугольником. Многоугольник, который является одновременно циклическим и касательным, называется бицентрическим многоугольником .

Гипоциклоида — это кривая , которая вписывается в данную окружность путем отслеживания фиксированной точки на меньшей окружности, которая вращается внутри данной окружности и касается ее.

Предельный случай других цифр

Круг можно рассматривать как предельный случай различных других фигур:

Серия правильных многоугольников с n сторонами имеет круг в качестве предела, когда n приближается к бесконечности. Этот факт был применен Архимедом для аппроксимации числа π .
Декартов овал — это набор точек, взвешенная сумма расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек (фокусов) является постоянной. Эллипс — это случай , когда веса равны. Круг представляет собой эллипс с нулевым эксцентриситетом, что означает, что два фокуса совпадают друг с другом как центр круга. Круг также является частным случаем декартова овала, в котором один из весов равен нулю.
Суперэллипс имеет уравнение вида $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$ для положительных a , b и n . Суперкруг имеет b = a . Круг — это частный случай суперкруга, в котором n = 2 .
— Овал Кассини это набор точек, произведение расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек является постоянным. Когда две фиксированные точки совпадают, получается круг.
Кривая постоянной ширины — это фигура, ширина которой, определяемая как расстояние по перпендикуляру между двумя отдельными параллельными линиями, каждая из которых пересекает ее границу в одной точке, одинакова независимо от направления этих двух параллельных линий. Круг — простейший пример фигуры такого типа.

Локус постоянной суммы

Рассмотрим конечное множество $n$ точки на плоскости. Местом точек таких, что сумма квадратов расстояний до данных точек постоянна, является окружность, центр которой находится в центроиде данных точек. ^[22]Обобщение для высших степеней расстояний получается, если при $n$ указывает на вершины правильного многоугольника $P_{n}$ взяты. ^[23] Геометрическое положение таких точек, что сумма $2m$ -я степень расстояний $d_{i}$ к вершинам данного правильного многоугольника с радиусом описанной окружности $R$ постоянен, является кругом, если $\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;$ центром которого является центр тяжести $P_{n}$ .

В случае равностороннего треугольника местами постоянных сумм второй и четвертой степеней являются круги, тогда как для квадрата местами постоянных сумм второй, четвертой и шестой степеней являются круги. Для правильного пятиугольника будет складываться постоянная сумма восьмых степеней расстояний и так далее.

Квадратура круга

Квадратирование круга — это задача, предложенная древними геометрами , о построении квадрата той же площади, что и заданный круг, используя только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки .

В 1882 году задача оказалась невыполнимой, как следствие теоремы Линдеманна-Вейерштрасса , доказывающей, что pi( $π$ ) — трансцендентное число , а не алгебраическое иррациональное число ; то есть он не является корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами. Несмотря на невозможность, эта тема продолжает интересовать любителей псевдоматематики .

Обобщения

В других p -нормах

Определив круг как набор точек на фиксированном расстоянии от точки, разные формы можно считать кругами при разных определениях расстояния. В p -норме расстояние определяется формулой $\left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.$ В евклидовой геометрии p = 2, что дает знакомое $\left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.$

В геометрии такси p = 1. Круги такси представляют собой квадраты со сторонами, ориентированными под углом 45 ° к осям координат. Хотя каждая сторона будет иметь длину ${\sqrt {2}}r$ используя евклидову метрику , где r — радиус круга, его длина в геометрии такси равна 2 r . Таким образом, длина окружности равна 8 r . Таким образом, значение геометрического аналога $\pi$ в этой геометрии равно 4. Формула единичного круга в геометрии такси: $|x|+|y|=1$ в декартовых координатах и $r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}$ в полярных координатах.

Круг радиуса 1 (используя это расстояние) является окрестностью фон Неймана своего центра.

Окружность радиуса r для расстояния Чебышева ( L _∞ метрика ) на плоскости также представляет собой квадрат с длиной стороны 2 r, параллельный осям координат, поэтому плоское расстояние Чебышева можно рассматривать как эквивалентное путем вращения и масштабирования плоскому расстоянию такси. Однако эта эквивалентность между метриками L ₁ и L _∞ не распространяется на более высокие измерения.

Топологическое определение

Круг — это одномерная гиперсфера (1-сфера).

В топологии круг ограничивается не геометрическим понятием, а всеми его гомеоморфизмами . Две топологические окружности эквивалентны, если одну можно преобразовать в другую деформацией R ³ на себя (так называемая окружающая изотопия ). ^[24]

Специально названные круги

Из треугольника

Из некоторых четырехугольников

Восьмиточечная окружность ортодиагонального четырехугольника

Конического сечения

Из тора

Круги Вильярсо

См. также

Ссылки

^ krikos. Архивировано 6 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
^ Симек, Ян Ф.; Кресслер, Алан; Херрманн, Николас П.; Шервуд, Сара К. (1 июня 2013 г.). «Священные пейзажи юго-востока США: доисторическое наскальное и пещерное искусство в Теннесси» . Античность . 87 (336): 430–446. дои : 10.1017/S0003598X00049048 . ISSN 0003-598X . S2CID 130296519 .
^ Хронология от 30000 до 500 г. до н.э. Архивировано 22 марта 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.
^ ОЛ 7227282М
^ Артур Кестлер , Лунатики : История изменения взглядов человека на Вселенную (1959)
^ Прокл , Шесть книг Прокла, преемника Платона, по теологии Платона. Архивировано 23 января 2017 г. в Wayback Machine Tr. Томас Тейлор (1816) Том. 2, гл. 2, «О Платоне»
↑ Квадратура круга. Архивировано 24 июня 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.
^ «Круги в кругу» . Художественный музей Филадельфии . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Лессо, Рози (15 июня 2022 г.). «Почему Василий Кандинский рисовал круги?» . Коллекционер . Проверено 28 декабря 2023 г.
^ Абдуллахи, Яхья (29 октября 2019 г.). «Круг с Востока на Запад». В Шарнье, Жан-Франсуа (ред.). Лувр Абу-Даби: мировое видение искусства . Риццоли Интернэшнл Пабликейшнз, Инкорпорейтед. ISBN 9782370741004 .
^ Кац, Виктор Дж. (1998). История математики / Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. п. 108 . ISBN 978-0-321-01618-8 .
^ Ричесон, Дэвид (2015). «Круговые рассуждения: кто первым доказал, что $C,$ разделенное на d, является константой?». Математический журнал колледжа . 46 (3): 162–171. arXiv : 1303.0904 . дои : 10.4169/college.math.j.46.3.162 . МР 3413900 .
^ Посаментье и Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Дувр, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.
^ Журнал колледжа математики 29 (4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.
^ Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007.
^ Харкнесс, Джеймс (1898). «Введение в теорию аналитических функций» . Природа . 59 (1530): 30. Бибкод : 1899Natur..59..386B . дои : 10.1038/059386a0 . S2CID 4030420 . Архивировано из оригинала 7 октября 2008 года.
^ Огилви, К. Стэнли , Экскурсии по геометрии , Дувр, 1969, 14–17.
^ Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж геометрии , Дувр, 2007 (оригинал 1952).
^ Incircle - из Wolfram MathWorld, архивировано 21 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
^ Окружность - из Wolfram MathWorld, архивировано 20 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
^ Тангенциальный многоугольник - из Wolfram MathWorld, архивировано 3 сентября 2013 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
^ Апостол, Том; Мнацаканян, Мамикон (2003). «Суммы квадратов расстояний в m-пространстве». Американский математический ежемесячник . 110 (6): 516–526. дои : 10.1080/00029890.2003.11919989 . S2CID 12641658 .
^ Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.). Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 17 мая 2021 г. {{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )
^ Гамелен, Теодор (1999). Введение в топологию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486406806 .

Дальнейшее чтение

Педо, Дэн (1988). Геометрия: комплексный курс . Дувр. ISBN 9780486658124 .
«Круг» в архиве MacTutor History of Mathematics. Архивировано 7 апреля 2019 г. в Wayback Machine.

Внешние ссылки

"Круг" . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
Круг в PlanetMath .
Вайсштейн, Эрик В. «Круг» . Математический мир .
«Интерактивные Java-апплеты» . о свойствах и элементарных конструкциях с участием окружностей
«Интерактивное уравнение стандартной формы круга» . Нажимайте и перетаскивайте точки, чтобы увидеть уравнение стандартной формы в действии.
«Жевание кругов» . Разрезать узел .

[1] rikos. Архивировано 6 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.

[2] Симек, Ян Ф.; Кресслер, Алан; Херрманн, Николас П.; Шервуд, Сара К. (1 июня 2013 г.). «Священные пейзажи юго-востока США: доисторическое наскальное и пещерное искусство в Теннесси» . Античность . 87 (336): 430–446. дои : 10.1017/S0003598X00049048 . ISSN 0003-598X . S2CID 130296519 .

[3] Хронология от 30000 до 500 г. до н.э. Архивировано 22 марта 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.

[4] ОЛ 7227282М

[5] Артур Кестлер , Лунатики : История изменения взглядов человека на Вселенную (1959)

[6] Прокл , Шесть книг Прокла, преемника Платона, по теологии Платона. Архивировано 23 января 2017 г. в Wayback Machine Tr. Томас Тейлор (1816) Том. 2, гл. 2, «О Платоне»

[7] Квадратура круга. Архивировано 24 июня 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.

[8] «Круги в кругу» . Художественный музей Филадельфии . Проверено 28 декабря 2023 г.

[9] Лессо, Рози (15 июня 2022 г.). «Почему Василий Кандинский рисовал круги?» . Коллекционер . Проверено 28 декабря 2023 г.

[10] Абдуллахи, Яхья (29 октября 2019 г.). «Круг с Востока на Запад». В Шарнье, Жан-Франсуа (ред.). Лувр Абу-Даби: мировое видение искусства . Риццоли Интернэшнл Пабликейшнз, Инкорпорейтед. ISBN 9782370741004 .

[11] Кац, Виктор Дж. (1998). История математики / Введение (2-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман. п. 108 . ISBN 978-0-321-01618-8 .

[12] Ричесон, Дэвид (2015). «Круговые рассуждения: кто первым доказал, что $C,$ разделенное на d, является константой?». Математический журнал колледжа . 46 (3): 162–171. arXiv : 1303.0904 . дои : 10.4169/college.math.j.46.3.162 . МР 3413900 .

[13] Посаментье и Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Дувр, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.

[14] Журнал колледжа математики 29 (4), сентябрь 1998 г., стр. 331, задача 635.

[15] Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007.

[16] Харкнесс, Джеймс (1898). «Введение в теорию аналитических функций» . Природа . 59 (1530): 30. Бибкод : 1899Natur..59..386B . дои : 10.1038/059386a0 . S2CID 4030420 . Архивировано из оригинала 7 октября 2008 года.

[17] Огилви, К. Стэнли , Экскурсии по геометрии , Дувр, 1969, 14–17.

[18] Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж геометрии , Дувр, 2007 (оригинал 1952).

[19] Incircle - из Wolfram MathWorld, архивировано 21 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.

[20] Окружность - из Wolfram MathWorld, архивировано 20 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.

[21] Тангенциальный многоугольник - из Wolfram MathWorld, архивировано 3 сентября 2013 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.

[22] Апостол, Том; Мнацаканян, Мамикон (2003). «Суммы квадратов расстояний в m-пространстве». Американский математический ежемесячник . 110 (6): 516–526. дои : 10.1080/00029890.2003.11919989 . S2CID 12641658 .

[Mamuka-23] Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.). Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 17 мая 2021 г. {{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )

[gamelin-24] Гамелен, Теодор (1999). Введение в топологию . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486406806 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]