Псевдориманово многообразие

В математической физике — псевдориманово многообразие . ^[1]^[2] также называемое полуримановым многообразием , представляет собой дифференцируемое многообразие с метрическим тензором , который всюду невырожден . Это обобщение риманова многообразия , в котором требование положительной определенности ослаблено.

Каждое касательное пространство псевдориманова многообразия является псевдоевклидовым векторным пространством .

Особым случаем, используемым в общей теории относительности, является четырехмерное лоренцево многообразие для моделирования пространства-времени , где касательные векторы можно классифицировать как времениподобные, нулевые и пространственноподобные .

Введение

Коллекторы

В дифференциальной геометрии дифференцируемое многообразие — это пространство, локально подобное евклидову пространству . В n -мерном евклидовом пространстве любая точка может быть задана n действительными числами. Они называются координатами точки.

n - мерное дифференцируемое многообразие является обобщением n -мерного евклидова пространства. В многообразии координаты можно определить только локально . Это достигается путем определения участков координат : подмножеств многообразия, которые можно отобразить в n -мерное евклидово пространство.

См. «Манифолд» , «Дифференцируемое многообразие» , «Координатный участок» для получения более подробной информации.

Касательные пространства и метрические тензоры

Связано с каждой точкой $p$ в $n$ -мерное дифференцируемое многообразие $M$ является касательным пространством (обозначается $T_{p}M$ ). Это $n$ -мерное векторное пространство , элементы которого можно рассматривать как классы эквивалентности кривых, проходящих через точку. $p$ .

Метрический тензор — это невырожденное , гладкое, симметричное, билинейное отображение , которое ставит в соответствие действительное число парам касательных векторов в каждом касательном пространстве многообразия. Обозначая метрический тензор через $g$ мы можем выразить это как

g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .

Карта симметрична и билинейна, поэтому если $X,Y,Z\in T_{p}M$ являются касательными векторами в точке $p$ к коллектору $M$ тогда у нас есть

$\,g(X,Y)=g(Y,X)$
$\,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)$

для любого действительного числа $a\in \mathbb {R}$ .

Что $g$ невырождено , означает, что не существует ненулевого $X\in T_{p}M$ такой, что $\,g(X,Y)=0$ для всех $Y\in T_{p}M$ .

Метрические подписи

Учитывая метрический тензор g на n -мерном вещественном многообразии, квадратичная форма q ( x ) = g ( x , x ), связанная с метрическим тензором, примененным к каждому вектору любого ортогонального базиса, дает n действительных значений. Согласно закону инерции Сильвестра , количество каждых положительных, отрицательных и нулевых значений, полученных таким образом, является инвариантами метрического тензора, независимо от выбора ортогонального базиса. Сигнатура ) ( p , q , r . метрического тензора дает эти числа, показанные в том же порядке Невырожденный метрический тензор имеет r = 0 , и сигнатуру можно обозначить ( p , q ), где p + q = n .

Определение

Псевдориманово многообразие $(M,g)$ является дифференцируемым многообразием $M$ снабженный всюду невырожденным гладким симметричным метрическим тензором $g$ .

Такая метрика называется псевдоримановой метрикой . Применительно к векторному полю результирующее значение скалярного поля в любой точке многообразия может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Сигнатура псевдоримановой метрики — ( p , q ) , где p и q неотрицательны. Условие невырожденности вместе с непрерывностью означает, что p и q остаются неизменными во всем многообразии (при условии, что оно связно).

Лоренцево многообразие

Лоренцево многообразие — это важный частный случай псевдориманова многообразия, в котором сигнатура метрики равна (1, n −1) (эквивалентно ( n −1, 1) ; см. Соглашение о знаках ). Такие метрики называются лоренцевыми метриками . Они названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Приложения в физике

После римановых многообразий лоренцевы многообразия составляют наиболее важный подкласс псевдоримановых многообразий. Они важны в приложениях общей теории относительности .

Основная предпосылка общей теории относительности состоит в том, что пространство-время можно смоделировать как 4-мерное лоренцево многообразие сигнатуры (3, 1) или, что то же самое, (1, 3) . В отличие от римановых многообразий с положительно определенной метрикой, неопределенная сигнатура позволяет классифицировать касательные векторы на времениподобные , нулевые или пространственноподобные . С сигнатурой ( p , 1) или (1, q ) многообразие также локально (и, возможно, глобально) ориентируемо по времени (см. Причинная структура ).

Свойства псевдоримановых многообразий

Так же, как евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ можно рассматривать как модель риманова многообразия , пространства Минковского. $\mathbb {R} ^{n-1,1}$ с плоской метрикой Минковского – модельное лоренцево многообразие. Аналогично, модельное пространство псевдориманова многообразия сигнатуры ( p , q ) равно $\mathbb {R} ^{p,q}$ с метрикой

g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}

Некоторые основные теоремы римановой геометрии можно обобщить на псевдориманов случай. В частности, основная теорема римановой геометрии справедлива и для псевдоримановых многообразий. Это позволяет говорить о связности Леви-Чивита на псевдоримановом многообразии вместе с соответствующим тензором кривизны . С другой стороны, в римановой геометрии существует множество теорем, которые не выполняются в обобщенном случае. Например, неверно , что каждое гладкое многообразие допускает псевдориманову метрику заданной сигнатуры; существуют определенные топологические препятствия. Более того, подмногообразие не всегда наследует структуру псевдориманова многообразия; например, метрический тензор обращается в ноль на любой светоподобной кривой . Тор Клифтона – Пола представляет собой пример псевдориманова многообразия, которое является компактным, но не полным, комбинацией свойств, которые теорема Хопфа – Риноу запрещает для римановых многообразий. ^[3]

См. также

Примечания

Ссылки

Бенн, ИМ; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хилгер, ISBN 0-85274-169-3
Бишоп, Ричард Л .; Гольдберг, Сэмюэл И. (1968), Тензорный анализ многообразий (первое изд. Дувра, 1980 г.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
Чен, Банг-Йен (2011), Псевдориманова геометрия, [дельта]-инварианты и приложения , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
О'Нил, Барретт (1983), Полуриманова геометрия с приложениями к теории относительности , Чистая и прикладная математика, том. 103, Академическое издательство, ISBN 9780080570570
Вранчану, Г.; Рошка, Р. (1976), Введение в теорию относительности и псевдориманову геометрию , Бухарест: Издательство Академии Социалистической Республики Румыния .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с лоренцевыми многообразиями, на Викискладе?

[1] Бенн и Такер (1987) , с. 172.

[2] Бишоп и Голдберг (1968) , с. 208

[3] О'Нил (1983) , с. 193.

[1]

[2]

[3]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Основные понятия	Кривизна тензор Скаляр Риччи Секционный Экспоненциальная карта геодезический Внутренний продукт Метрический тензор Связь Леви-Чивита Ковариантная производная Подпись Повышение и понижение индексов / Музыкальный изоморфизм Параллельная транспортировка Риманово многообразие Псевдориманово многообразие Риманова форма объема
Типы коллекторов	эрмитовский гиперболический Келер Кенмоцу
Основные результаты	Основная теорема римановой геометрии Лемма Гаусса Теорема Гаусса – Бонне Теорема Хопфа – Ринова Теорема вложения Нэша поток Риччи Лемма Шура
Обобщения	Финслер Гильберт Субриманов
Приложения	Общая теория относительности Гипотеза геометризации Гипотеза Пуанкаре Теорема униформизации