Логическое следствие

«Привлечение» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Entail (значения) .

«Поэтому» перенаправляется сюда. Информацию о символе «следовательно» ∴ см. в разделе « Знак «следовательно»» .

«Логическое следствие» перенаправляется сюда. О двоичной связке см. Материальное условное слово .

«⊧» перенаправляется сюда. Символ см. в разделе Двойной турникет .

Логическое следствие (также следование ) — это фундаментальная концепция логики , которая описывает отношения между утверждениями , которые остаются истинными, когда одно утверждение логически следует из одного или нескольких утверждений. Действительным является тот , логическим аргументом в котором вывод вытекает из посылок , поскольку вывод является следствием посылок. Философский анализ логических последствий включает в себя вопросы: в каком смысле вывод следует из своих посылок? и что означает, что вывод является следствием посылок? Вся философская логика предназначена для объяснения природы логических следствий и природы логической истины .

Логическое следствие необходимо и формально , посредством примеров, объясняющих формальные доказательства и модели интерпретации . Говорят, что предложение является логическим следствием набора предложений для данного тогда языка и только тогда, когда , используя только логику (т. е. без учета каких-либо личных интерпретаций предложений), предложение должно быть истинным, если каждое предложение в набор верный.

Логики делают точные отчеты о логических следствиях относительно данного языка. ${\mathcal {L}}$либо путем построения дедуктивной системы для ${\mathcal {L}}$ или по формальной предполагаемой семантике языка ${\mathcal {L}}$. Польский логик Альфред Тарский выделил три особенности адекватной характеристики следствия: (1) Отношение логического следствия опирается на логическую форму предложений: (2) Отношение является априорным , т. е. оно может быть определено с учетом или без него. к эмпирическим данным (чувственному опыту); и (3) отношение логического следствия имеет модальный компонент.

Официальные счета

Наиболее широко преобладающий взгляд на то, как лучше всего объяснить логические последствия, — это обращение к формальности. Это означает, что то, вытекают ли утверждения логически друг из друга, зависит от структуры или логической формы утверждений, независимо от содержания этой формы.

Синтаксические объяснения логических последствий основаны на схемах, использующих правила вывода . Например, мы можем выразить логическую форму допустимого аргумента как:

Все X есть Y

Все Y есть Z

все X есть Z. Следовательно ,

Этот аргумент формально действителен, поскольку каждый экземпляр действителен аргументов, построенных с использованием этой схемы.

Это контрастирует с аргументом типа «Фред — сын брата Майка. Следовательно, Фред — племянник Майка». Поскольку этот аргумент зависит от значений слов «брат», «сын» и «племянник», утверждение «Фред — племянник Майка» является так называемым материальным следствием утверждения «Фред — сын брата Майка», а не формальным последствие. Формальное следствие должно быть истинным во всех случаях , однако это неполное определение формального следствия, поскольку даже аргумент « P — Q сын брата , следовательно, P — Q племянник » действителен во всех случаях, но не является формальный . аргумент

Априорное свойство логического следствия

Если известно, что $Q$ логически следует из $P$, то никакой информации о возможных интерпретациях $P$ или $Q$ повлияет на это знание. Наши знания о том, что $Q$ является логическим следствием $P$ не может подвергаться влиянию эмпирического знания . Дедуктивно достоверные аргументы могут быть признаны таковыми без обращения к опыту, поэтому они должны быть познаваемы априори. Однако сама по себе формальность не гарантирует, что эмпирическое знание не будет влиять на логическое следствие. Таким образом, априорное свойство логической последовательности считается независимым от формальности.

Доказательства и модели

Два преобладающих метода объяснения логических последствий включают выражение концепции в терминах доказательств и с помощью моделей . Изучение синтаксического следствия (логики) называется (ее) теорией доказательства , тогда как изучение (ее) семантического следствия называется (ее) теорией моделей .

Синтаксическое следствие

См. также: ∴ и ⊢.

Формула $A$ это синтаксическое следствие внутри некоторой формальной системы ${\mathcal {FS}}$ из набора $\Gamma$ формул, если имеется формальное доказательство в ${\mathcal {FS}}$ из $A$ из набора $\Gamma$. Это обозначается $\Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A$. Символ турникета $\vdash$ Первоначально был введен Фреге в 1879 году, но в настоящее время его использование восходит только к Россеру и Клини (1934–1935).

Синтаксическое следствие не зависит от какой-либо интерпретации формальной системы.

Семантическое следствие

См. также: ⊨

Формула $A$ является семантическим следствием внутри некоторой формальной системы ${\mathcal {FS}}$ набора заявлений $\Gamma$ тогда и только тогда, когда нет модели ${\mathcal {I}}$ в котором все члены $\Gamma$ верны и $A$ является ложным. Это обозначается $\Gamma \models _{\mathcal {FS}}A$. Или, другими словами, совокупность интерпретаций, которые делают всех членов $\Gamma$ истина — это подмножество интерпретаций, которые делают $A$ истинный.

Модальные аккаунты

Модальные объяснения логических последствий представляют собой вариации следующей основной идеи:

$\Gamma$ $\vdash$ $A$ истинно тогда и только тогда, когда необходимо , чтобы все элементы $\Gamma$ верны, тогда $A$ это правда.

Альтернативно (и, большинство сказали бы, эквивалентно):

$\Gamma$ $\vdash$ $A$ истинно тогда и только тогда, когда это невозможно для всех элементов $\Gamma$ быть правдой и $A$ ЛОЖЬ.

Такие объяснения называются «модальными», поскольку они апеллируют к модальным понятиям логической необходимости и логической возможности . «Необходимо, чтобы» часто выражается как универсальный квантор возможных миров , так что приведенные выше утверждения переводятся как:

$\Gamma$ $\vdash$ $A$ истинно тогда и только тогда, когда не существует возможного мира, в котором все элементы $\Gamma$ верны и $A$ ложно (неправда).

Рассмотрим модальный счет с точки зрения аргумента, приведенного в качестве примера выше:

Все лягушки зеленые.

Кермит — лягушка.

Следовательно, Кермит зеленый.

Заключение является логическим следствием предпосылок, поскольку мы не можем представить себе возможный мир, в котором (а) все лягушки зеленые; (б) Кермит — лягушка; и (c) Кермит не зеленый.

Модально-формальные счета

Модально-формальные описания логических последствий объединяют модальные и формальные объяснения, приведенные выше, давая вариации следующей основной идеи:

$\Gamma$ $\vdash$ $A$ тогда и только тогда, когда это невозможно для аргумента той же логической формы, что и $\Gamma$/ $A$ иметь истинные предпосылки и ложный вывод.

Счета на основе варранта

Все рассмотренные выше теории «сохраняют истину», поскольку все они предполагают, что характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от истинных посылок к ложному заключению. В качестве альтернативы некоторые предложили теорию « гарантийного сохранения», согласно которой характерной чертой хорошего вывода является то, что он никогда не позволяет перейти от обоснованно утверждаемых посылок к заключению, которое не является обоснованно утверждаемым. Это (приблизительно) точка зрения, которой отдают предпочтение такие интуиционисты , как Майкл Даммет .

Немонотонное логическое следствие

См. Также: Немонотонная логика и пересмотр убеждений § Немонотонное отношение вывода.

Обсуждаемые выше объяснения приводят к монотонным отношениям следствий, т. е. таким, что если $A$ является следствием $\Gamma$, затем $A$ является следствием любого надмножества $\Gamma$. Также возможно указать немонотонные отношения следствий, чтобы уловить идею о том, что, например, «Твити может летать» является логическим следствием

{Птицы обычно умеют летать, Твити — птица}

но не из

{Птицы обычно умеют летать, Твити — птица, Твити — пингвин}.

См. также

• Абстрактная алгебраическая логика
• Амфек
• Булева алгебра (логика)
• Логический домен
• Булева функция
• Булева логика
• Причинность
• Дедуктивное рассуждение
• Логический вентиль
• Логический график
• Закон Пирса
• Вероятностная логика
• Пропозициональное исчисление
• Единственный достаточный оператор
• Строгое условное
• Тавтология (логика)
• Тавтологическое следствие
• Поэтому подпишите
• Турникет (символ)
• Двойной турникет
• Срок действия

Ресурсы

• Андерсон, Арканзас; Белнап, Н.Д. младший (1975), Entailment , vol. 1, Принстон, Нью-Джерси: Принстон .
• Аугусто, Луис М. (2017), Логические последствия. Теория и приложения: Введение. Лондон: Публикации колледжа. Серия: Математическая логика и основания .
• Барвайз, Джон ; Этчеменди, Джон (2008), Язык, доказательство и логика , Стэнфорд: Публикации CSLI .
• Браун, Фрэнк Маркхэм (2003), Булево рассуждение: логика булевых уравнений, 1-е издание, Kluwer Academic Publishers, Норвелл, Массачусетс. 2-е издание, Dover Publications, Минеола, Нью-Йорк, 2003 г.
• Дэвис, Мартин, изд. (1965), Неразрешимое, Основные статьи о неразрешимых предложениях, неразрешимых проблемах и вычислимых функциях , Нью-Йорк: Raven Press, ISBN  9780486432281 . В число статей входят работы Гёделя , Чёрча , Россера , Клини и Поста .
• Даммет, Майкл (1991), Логическая основа метафизики , издательство Гарвардского университета, ISBN  9780674537866 .
• Эджингтон, Дороти (2001), Условные обозначения , Блэквелл в Лу Гобле (редактор), Руководство Блэквелла по философской логике .
• Эджингтон, Дороти (2006), «Индикативные условные обозначения» , Условные обозначения , Лаборатория метафизики, Стэнфордский университет, Эдвард Н. Залта (редактор), Стэнфордская энциклопедия философии .
• Этчеменди, Джон (1990), Концепция логического следствия , издательство Гарвардского университета .
• Гобл, Лу, изд. (2001), «Руководство Блэквелла по философской логике» , Блэквелл .
• Хэнсон, Уильям Х (1997), «Концепция логического следствия», The Philosophical Review , 106 (3): 365–409, doi : 10.2307/2998398 , JSTOR   2998398 365–409.
• Хендрикс, Винсент Ф. (2005), Разговор «Мысль 2: ускоренный курс размышлений и выражения» , Нью-Йорк: Автоматическая пресса / VIP, ISBN  978-87-991013-7-5
• Планшетт, Пенсильвания (2001), «Логические последствия в Гобле», Лу, изд., «Руководство Блэквелла по философской логике» . Блэквелл.
• Куайн, Западная Вирджиния (1982), Методы логики , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета (1-е изд. 1950 г.), (2-е изд. 1959 г.), (3-е изд. 1972 г.), (4-е издание, 1982 г.).
• Шапиро, Стюарт (2002), Необходимость, значение и рациональность: понятие логического следствия в изд. Д. Жакетта, «Спутник философской логики» . Блэквелл.
• Тарский, Альфред (1936), О концепции логического следствия. Перепечатано в книге Тарский А., 1983. Логика, семантика, метаматематика , 2-е изд. Издательство Оксфордского университета . Первоначально опубликовано на польском и немецком языках .
• Рышард Войчицкий (1988). Теория логических исчислений: основная теория последовательных операций . Спрингер. ISBN  978-90-277-2785-5 .
• Статья о «выводах» с сайта math.niu.edu, импликация. Архивировано 21 октября 2014 г. в Wayback Machine.
• Определение «неявных» AllWords

Внешние ссылки

• Билл, Джей-Си ; Рестолл, Грег (19 ноября 2013 г.). «Логическое следствие» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Зима 2016 г.).
• «Логическое следствие» . Интернет-энциклопедия философии .
• Логическое следствие в проекте онтологии философии Индианы
• Логическое следствие в PhilPapers
• «Импликация» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]