Параллельная транспортировка

В дифференциальной геометрии параллельный перенос (или параллельный перенос) ^[а]) — это способ транспортировки геометрических данных по гладким кривым в многообразии . Если многообразие снабжено аффинной связностью ( ковариантной производной или связностью на касательном расслоении ), то эта связность позволяет переносить векторы многообразия по кривым так, чтобы они оставались параллельными относительно связности.

Таким образом, параллельный перенос соединения обеспечивает способ, в некотором смысле, перемещения локальной геометрии многообразия по кривой: то есть соединения геометрий соседних точек. Может существовать много понятий параллельного переноса, но спецификация одного способа соединения геометрических точек на кривой равносильна обеспечению соединения . Фактически, обычное понятие соединения — это бесконечно малый аналог параллельного транспорта. Или, наоборот , параллельный транспорт — это локальная реализация соединения.

Поскольку параллельный транспорт обеспечивает локальную реализацию соединения, он также обеспечивает локальную реализацию кривизны, известную как голономия . Теорема Амброуза-Зингера ясно показывает эту связь между кривизной и голономией.

Другие понятия связи также оснащены собственными параллельными транспортными системами. Например, связность Кошуля в векторном расслоении также допускает параллельную транспортировку векторов почти так же, как и в случае ковариантной производной. Связность Эресмана или Картана обеспечивает подъем кривых из многообразия в полное пространство главного расслоения . Такой подъем кривой иногда можно рассматривать как параллельную транспортировку систем отсчета .

Параллельная транспортировка касательных векторов

Позволять $M$ быть гладким многообразием . Для каждой точки $p\in M$ , существует связанное векторное пространство $T_{p}M$ называется пространством касательным $M$ в $p$ . Векторы в $T_{p}M$ рассматриваются как векторы, касающиеся $M$ в $p$ . Риманова метрика $g$ на $M$ назначает каждому $p$ положительно определенный внутренний продукт $g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbf {R}$ плавным образом. Гладкое многообразие $M$ наделенный римановой метрикой $g$ — риманово многообразие , обозначаемое $(M,g)$ .

Позволять $x^{1},\ldots ,x^{n}$ обозначим стандартные координаты на $\mathbf {R} ^{n}.$ Евклидова метрика $g^{\text{euc}}$ дается

g^{\text{euc}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}

. ^[2]

Евклидово пространство — это риманово многообразие. $(\mathbf {R} ^{n},g^{\text{euc}})$ .

В евклидовом пространстве все касательные пространства канонически отождествляются друг с другом посредством перевода, поэтому векторы легко перемещать из одного касательного пространства в другое. Параллельная транспортировка касательных векторов — это способ перемещения векторов из одного касательного пространства в другое вдоль кривой в условиях общего риманова многообразия. Обратите внимание: хотя векторы находятся в касательном пространстве многообразия, они могут не находиться в касательном пространстве кривой, по которой они транспортируются.

Аффинная связность на римановом многообразии — это способ дифференцирования векторных полей относительно других векторных полей. Риманово многообразие имеет естественный выбор аффинной связности, называемой связностью Леви-Чивита . Учитывая фиксированную аффинную связность на римановом многообразии, существует уникальный способ параллельного переноса касательных векторов. ^[3] Разный выбор аффинных связей приведет к разным системам параллельного транспорта.

Точное определение

Пусть $M$ — многообразие с аффинной связностью $\nabla$ . Тогда векторное поле $X$ называется параллельным, если любого векторного поля $Y$ для $\nabla Y X = 0$ . Интуитивно говоря, параллельные векторные поля имеют все производные, равные нулю , и поэтому в некотором смысле являются постоянными . Путем оценки параллельного векторного поля в двух точках $x$ и $y$ идентификация между касательным вектором в точке $x$ и вектором в точке $y$ получается . Такие касательные векторы называются параллельными переносами друг друга.

Точнее, если $γ : I \to M$ параметризованная — гладкая кривая, интервалом $[a, b]$ и $ξ \in T x M$ , где $x = γ (a)$ , то векторное поле $X$ вдоль $γ$ (и, в частности, значение этого векторного поля в точке $y = γ (b)$ ) называется параллельным переносом $ξ$ вдоль $γ,$ если

$\nabla γ' (т) Икс знак равно 0$ , для всех $т € [а, б]$
$Икс γ (а) знак равно ξ$ .

Формально первое условие означает, что $X$ параллельно обратным связностям на пучке обратных образов $γ. * Т М$ . Однако в локальной тривиализации это система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , которая имеет единственное решение для любого начального условия, заданного вторым условием (например, теоремой Пикара–Линделёфа ).

Параллельная транспортировка $X\in T_{\gamma (s)}M$ в касательное пространство $T_{\gamma (t)}M$ вдоль кривой $\gamma :[0,1]\to M$ обозначается $\Gamma (\gamma )_{s}^{t}X$ . Карта

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:T_{\gamma (s)}M\to T_{\gamma (t)}M

является линейным. Фактически это изоморфизм. Позволять ${\overline {\gamma }}:[0,1]\to M$ быть обратной кривой ${\overline {\gamma }}(t)=\gamma (1-t)$ . Затем $\Gamma ({\overline {\gamma }})_{t}^{s}$ является обратным $\Gamma (\gamma )_{s}^{t}$ .

Подводя итог, можно сказать, что параллельная транспортировка обеспечивает способ перемещения касательных векторов вдоль кривой с использованием аффинной связи, чтобы интуитивно сохранять их «направленными в одном направлении», и это обеспечивает линейный изоморфизм между касательными пространствами на двух концах. изгиб. Полученный таким образом изоморфизм будет, вообще говоря, зависеть от выбора кривой. Если это не так, то параллельный транспорт вдоль каждой кривой можно использовать для определения параллельных векторных полей на $M$ , что может произойти только в том случае, если кривизна $\nabla$ равна нулю.

Линейный изоморфизм определяется его действием на упорядоченный базис или фрейм . Следовательно, параллельную транспортировку можно также охарактеризовать как способ транспортировки элементов (касательного) пакета кадров $GL(M)$ вдоль кривой. Другими словами, аффинная связность обеспечивает подъем любой кривой $γ$ в $M$ до кривой $γ̃$ в $GL(M)$ .

Примеры

На изображениях ниже показан параллельный транспорт, вызванный связью Леви-Чивита, связанной с двумя разными римановыми метриками на проколотой плоскости. $\mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}$ . Кривая, по которой осуществляется параллельный транспорт, представляет собой единичный круг. В полярных координатах метрика слева — это стандартная евклидова метрика. $dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$ , а метрика справа равна $dr^{2}+d\theta ^{2}$ . Эта вторая метрика имеет особенность в начале координат, поэтому она не выходит за пределы прокола, а первая метрика распространяется на всю плоскость.

Параллельные перевозки на проколотой плоскости по соединениям Леви-Чивита

Этот транспорт задается метрикой

dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}

.

Этот транспорт задается метрикой

dr^{2}+d\theta ^{2}

.

Внимание: это параллельная транспортировка по проколотой плоскости по единичному кругу, а не параллельная транспортировка по единичному кругу. Действительно, на первом изображении векторы выходят за пределы касательного пространства к единичной окружности.

Метрическое соединение

Метрической связностью называется всякая связь, параллельные транспортные отображения которой сохраняют риманову метрику, т. е. для любой кривой $\gamma$ и любые два вектора $X,Y\in T_{\gamma (s)}M$ ,

\langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.

Взяв производную в точке t = 0, оператор ∇ удовлетворяет правилу произведения относительно метрики, а именно

Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .

Связь с геодезией

Аффинная связность выделяет класс кривых, называемых (аффинными) геодезическими . ^[4] Гладкая кривая γ : I → M является аффинной геодезической, если ${\dot {\gamma }}$ параллельно транспортируется вдоль $\gamma$ , то есть

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).\,

Если взять производную по времени, это примет более привычный вид

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.\,

Если ∇ — метрическая связность, то аффинные геодезические — это обычные геодезические римановой геометрии и локально минимизирующие расстояния кривые. Точнее, сначала заметим, что если γ : I → M , где I — открытый интервал, является геодезической, то норма ${\dot {\gamma }}$ постоянно I. на Действительно,

{\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.

Из применения леммы Гаусса следует , что если А — норма ${\dot {\gamma }}(t)$ тогда расстояние, индуцированное метрикой, между двумя достаточно близкими точками на кривой γ , скажем γ ( t ₁ ) и γ ( t ₂ ), определяется выражением

{\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.

Приведенная выше формула может быть неверной для точек, которые расположены недостаточно близко, поскольку геодезическая может, например, обертываться вокруг многообразия (например, на сфере).

Параллельный транспорт на векторном расслоении

Параллельный перенос касательных векторов - это частный случай более общей конструкции, включающей произвольное векторное расслоение. $E$ . В частности, параллельный перенос касательных векторов — это случай, когда $E$ это касательное расслоение $TM$ .

Пусть M — гладкое многообразие. Пусть E → M — векторное расслоение со связностью ∇ и γ : I → M параметризованная гладкая кривая, открытым интервалом I. — Раздел $X$ из $E$ вдоль γ называется параллельным, если

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.\,

В случае, когда $E$ представляет собой касательное расслоение, при котором $X$ является касательным векторным полем, это выражение означает, что для каждого $t$ на интервале касательные векторы в $X$ «постоянны» (производная обращается в нуль) при бесконечно малом смещении от $\gamma (t)$ в направлении касательного вектора ${\dot {\gamma }}(t)$ сделано.

Предположим, нам дан элемент e ₀ ∈ E _P в точке P = γ (0) ∈ M , а не сечение. Параллельный перенос e0 до _γ вдоль γ продолжение e0 _— параллельного участка X на это .Точнее, X — единственная часть E вдоль γ такая, что

$\nabla _{\dot {\gamma }}X=0$
$X_{\gamma (0)}=e_{0}.$

Обратите внимание, что в любом заданном участке координат (1) определяет обыкновенное дифференциальное уравнение с начальным условием , заданным (2). Таким образом, теорема Пикара–Линделефа гарантирует существование и единственность решения.

Таким образом, связность ∇ определяет способ перемещения элементов слоев по кривой, что обеспечивает линейный изоморфизм между слоями в точках вдоль кривой:

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}

из векторного пространства, лежащего над γ( s ), в пространство над γ( t ). Этот изоморфизм известен как параллельное транспортное отображение, связанное с кривой. Изоморфизмы между слоями, полученные таким способом, будут, вообще говоря, зависеть от выбора кривой: если это не так, то параллельный транспорт вдоль каждой кривой можно использовать для определения параллельных участков E по всему M . Это возможно только в том случае, если кривизна ∇ равна нулю.

В частности, параллельный транспорт вокруг замкнутой кривой, начинающийся в точке x, определяет автоморфизм касательного пространства в точке x , который не обязательно является тривиальным. Параллельные транспортные автоморфизмы, определенные всеми замкнутыми кривыми, базирующимися в точке x, образуют группу преобразований, называемую группой голономии ∇ в точке x . Существует тесная связь между этой группой и значением кривизны ∇ в точке x ; это содержание теоремы о голономии Амброуза-Зингера .

Восстановление соединения с параллельного транспорта

Учитывая ковариантную производную ∇, параллельный транспорт вдоль кривой γ получается интегрированием условия $\scriptstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}$ . И наоборот, если имеется подходящее понятие параллельного транспорта, то соответствующую связь можно получить путем дифференцирования. Этот подход, по существу, принадлежит Кнебельману (1951) ; см. Гуггенхаймер (1977) . Лумисте (2001) также придерживается этого подхода.

Рассмотрим присвоение каждой кривой γ в многообразии набора отображений

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}

такой, что

$\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ , тождественное преобразование E _γ(s) .
$\Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.$
Зависимость Γ от γ, s и t «гладкая».

Понятие гладкости в условии 3 довольно сложно сформулировать (см. обсуждение параллельного транспорта в пучках волокон ниже). В частности, современные авторы, такие как Кобаяши и Номидзу, обычно рассматривают параллельную передачу соединения как происходящую от соединения в каком-то другом смысле, где плавность легче выразить.

Тем не менее, учитывая такое правило параллельного транспорта, можно восстановить связанную с ним бесконечно малую связь в E следующим образом. Пусть γ — дифференцируемая кривая в M с начальной точкой γ(0) и начальным касательным вектором X = γ′(0). Если V — сечение E над γ, то пусть

\nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.

Это определяет соответствующую бесконечно малую связность ∇ на E . Из этого бесконечно малого соединения восстанавливается тот же параллельный транспорт Γ.

Обобщения

Параллельный транспорт может быть определен в более общем плане для других типов соединений, а не только для тех, которые определены в векторном пакете. Одно из обобщений касается принципиальных связей ( Кобаяши и Номидзу, 1996 , том 1, глава II). Пусть P → M — главное расслоение над многообразием M со структурой группы Ли G и главной связностью ω. Как и в случае векторных расслоений, главная связность ω на P определяет для каждой кривой γ в M отображение

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}

из слоя над γ( s ) в слой над γ( t ), который является изоморфизмом однородных пространств : т.е. $\Gamma _{\gamma (s)}gu=g\Gamma _{\gamma (s)}$ для каждого g ∈ G .

Возможны и дальнейшие обобщения параллельного транспорта. В контексте связей Эресмана , где связь зависит от специального понятия « горизонтального подъема » касательных пространств, можно определить параллельный транспорт через горизонтальные подъемы . Связи Картана — это связи Эресмана с дополнительной структурой, которая позволяет рассматривать параллельный перенос как карту, «перекатывающую» определенное модельное пространство по кривой многообразия. Это перекатывание называется развитием .

Приближение: лестница Шильда.

Параллельный транспорт дискретно аппроксимируется лестницей Шильда .который делает конечные шаги вдоль кривой и приближает Параллелограммоиды Леви-Чивита посредством приближенных параллелограммов .

См. также

Примечания

^ В некоторых источниках, таких как Спивак. ^[1]

Цитаты

^ Спивак 1999 , с. 234, Том. 2, гл. 6.
^ Ли 2018 , с. 12-13.
^ Ли 2018 , с. 105-110.
^ ( Кобаяши и Номидзу 1996 , Том 1, Глава III)

Ссылки

Гуггенхаймер, Генрих (1977), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 0-486-63433-7
Кнебельман (1951), «Пространства относительного параллелизма», Annals of Mathematics , 2, 53 (3), The Annals of Mathematics, Vol. 53, № 3: 387–399, номер документа : 10.2307/1969562 , JSTOR 1969562.
Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, Том 1 , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 ; Том 2, ISBN 0-471-15732-5 .
Лумисте, Ю. (2001) [1994], «Связности на многообразии» , Энциклопедия математики , EMS Press
Спивак, Михаил (1999). Всестороннее введение в дифференциальную геометрию, Vol. II . Пресса «Публикуй или погибни» . ISBN 0914098713 .
Ли, Джон М. (2018). Введение в римановы многообразия . Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-319-91754-2 .

Внешние ссылки

Демонстрация сферической геометрии . Апплет, демонстрирующий параллельный перенос касательных векторов на сфере.

[2] В некоторых источниках, таких как Спивак. ^[1]

[FOOTNOTESpivak1999234Vol._2,_Ch._6-1] Спивак 1999 , с. 234, Том. 2, гл. 6.

[FOOTNOTELee201812-13-3] Ли 2018 , с. 12-13.

[FOOTNOTELee2018105-110-4] Ли 2018 , с. 105-110.

[5] ( Кобаяши и Номидзу 1996 , Том 1, Глава III)

[а]

[2]

[3]

[4]

[1]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Основные понятия	Кривизна тензор Скаляр Риччи Секционный Экспоненциальная карта геодезический Внутренний продукт Метрический тензор Связь Леви-Чивита Ковариантная производная Подпись Повышение и понижение индексов / Музыкальный изоморфизм Параллельная транспортировка Риманово многообразие Псевдориманово многообразие Риманова форма объема
Типы коллекторов	эрмитовский гиперболический Келер Кенмоцу
Основные результаты	Основная теорема римановой геометрии Лемма Гаусса Теорема Гаусса – Бонне Теорема Хопфа – Ринова Теорема вложения Нэша поток Риччи Лемма Шура
Обобщения	Финслер Гильберт Субриманов
Приложения	Общая теория относительности Гипотеза геометризации Гипотеза Пуанкаре Теорема униформизации