Проник номер

Проническое число — это число, являющееся произведением двух последовательных целых чисел , то есть число вида $n(n+1)$. Изучение этих чисел восходит к Аристотелю . Их еще называют продолговатыми числами , гетеромецическими числами , или прямоугольные числа ; однако термин «прямоугольное число» также применялся к составным числам .

Первые несколько пронических чисел:

0 , 2 , 6 , 12 , 20 , 30 , 42 , 56 , 72 , 90 , 110 , 132 , 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420 , 462… (последовательность A002378 в ОЭИС ).

Сдача в аренду $P_{n}$ обозначаем проническое число $n(n+1)$, у нас есть $P_{{-}n}=P_{n{-}1}$. Поэтому, обсуждая пронические числа, мы можем предположить, что $n\geq 0$ без потери общности — соглашение, принятое в следующих разделах.

Как фигурные числа

Дважды треугольное число является проническим числом.

n n- ное проническое число на больше n - го квадратного числа

Пронические числа изучались как фигурные числа наряду с треугольными и квадратными числами в Аристотеля » «Метафизике . и их открытие было приписано гораздо раньше пифагорейцам . Пронические числа как разновидность фигурного числа иногда называют продолговатыми. потому что они аналогичны многоугольным числам в этом отношении:

1 × 2	2 × 3	3 × 4	4 × 5

- е N проническое число представляет собой сумму первых n четных целых чисел и, следовательно, вдвое больше n- го треугольного числа. и n больше n- го квадратного числа , как указано в альтернативной формуле n ² + n для пронических номеров. n - е проническое число — это также разность нечетного квадрата (2 n + 1) ² и ( n +1) -е центрированное шестиугольное число .

Поскольку количество недиагональных элементов в квадратной матрице в два раза превышает треугольное число, это проническое число.

Сумма пронических чисел

Частичная сумма первых n положительных пронических чисел в два раза превышает значение n- го тетраэдрического числа :

$\sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}$.

Сумма обратных положительных пронических чисел (исключая 0) представляет собой телескопический ряд , сумма которого равна 1:

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1$.

Частичная сумма первых n членов этого ряда равна

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}$.

Попеременная сумма обратных положительных чисел проника (исключая 0) представляет собой сходящийся ряд :

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1$.

Дополнительные свойства

Пронические числа четные, и 2 — единственное простое проническое число. Это также единственное проническое число в последовательности Фибоначчи и единственное проническое число Лукаса .

двух Среднее арифметическое последовательных пронических чисел представляет собой квадратное число :

${\frac {n(n+1)+(n+1)(n+2)}{2}}=(n+1)^{2}$

Таким образом, между любыми двумя последовательными проническими числами есть квадрат. Он уникален, поскольку

$n^{2}\leq n(n+1)<(n+1)^{2}<(n+1)(n+2)<(n+2)^{2}.$

Другим следствием этой цепочки неравенств является следующее свойство. Если m — проникное число, то справедливо следующее:

$\lfloor {\sqrt {m}}\rfloor \cdot \lceil {\sqrt {m}}\rceil =m.$

Тот факт, что последовательные целые числа взаимно просты и что проническое число является произведением двух последовательных целых чисел, приводит к ряду свойств. Каждый отдельный простой фактор пронического числа присутствует только в одном из факторов n или n + 1 . Таким образом, проническое число бесквадратно тогда и только тогда, когда n и n + 1 также бесквадратны. Количество различных простых множителей пронического числа представляет собой сумму количества различных простых множителей n и n + 1 .

любого пронического числа прибавить 25 Если к десятичному представлению , результатом будет квадратное число, квадрат числа, оканчивающегося на 5; например, 625 = 25 ² и 1225 = 35 ² . Это так, потому что

$100n(n+1)+25=100n^{2}+100n+25=(10n+5)^{2}$.