Действительное число

Чтобы узнать о действительных числах, используемых в описательной теории множеств, см. Пространство Бэра (теория множеств) .

В математике вещественное число — это число , которое можно использовать для измерения непрерывной одномерной величины , такой как расстояние , продолжительность или температура . Здесь непрерывность означает, что пары значений могут иметь сколь угодно малые различия. Каждое действительное число может быть почти однозначно представлено бесконечным десятичным представлением .

Действительные числа имеют фундаментальное значение в исчислении (и в целом во всей математике), в частности, из-за их роли в классических определениях пределов , непрерывности и производных .

Набор действительных чисел, иногда называемый «действительными числами», традиционно обозначается жирным шрифтом R , часто используется жирный шрифт на доске , ⁠. $\mathbb {R}$⁠ . Прилагательное real , использованное в 17 веке Рене Декартом , отличает действительные числа от мнимых чисел, таких как квадратные корни из −1 .

К действительным числам относятся рациональные числа , такие как целое число −5 и дробь 4/3 . Остальные действительные числа называются иррациональными числами . Некоторые иррациональные числа (а также все рациональные числа) являются корнем многочлена с целыми коэффициентами, например квадратный корень √2 = 1,414... ; они называются алгебраическими числами . Есть также действительные числа, которые не являются таковыми, например π = 3,1415... ; они называются трансцендентными числами .

Действительные числа можно рассматривать как все точки на линии, называемой числовой линией или действительной линией , где точки, соответствующие целым числам ( ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ), расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. .

Real numbers can be thought of as all points on a number line

И наоборот, аналитическая геометрия — это ассоциация точек на линиях (особенно осевых линиях ) с действительными числами, так что геометрические смещения пропорциональны разностям между соответствующими числами.

Приведенных выше неформальных описаний действительных чисел недостаточно для обеспечения корректности доказательств теорем, связанных с действительными числами. Осознание того, что необходимо лучшее определение, и разработка такого определения стали крупным достижением математики 19-го века и основой реального анализа , изучения действительных функций и вещественнозначных последовательностей . Текущее аксиоматическое определение состоит в том, что действительные числа образуют уникальное ( точностью до изоморфизма с ) полное по Дедекинду упорядоченное поле . Другие распространенные определения действительных чисел включают классы эквивалентности последовательностей Коши (рациональных чисел), разрезов Дедекинда и бесконечных десятичных представлений . Все эти определения удовлетворяют аксиоматическому определению и, таким образом, эквивалентны.

Характеристика свойств

Действительные числа полностью характеризуются своими фундаментальными свойствами, которые можно резюмировать, сказав, что они образуют упорядоченное поле , полное по Дедекинду . Здесь «полностью охарактеризованный» означает, что между любыми двумя полностью упорядоченными по Дедекинду полями существует уникальный изоморфизм и, следовательно, их элементы имеют совершенно одинаковые свойства. Это означает, что можно манипулировать действительными числами и выполнять вычисления с ними, не зная, как их можно определить; именно этим занимались математики и физики в течение нескольких столетий, прежде чем во второй половине XIX века были даны первые формальные определения. см . в разделе «Построение действительных чисел». Подробную информацию об этих формальных определениях и доказательстве их эквивалентности

Арифметика

Действительные числа образуют упорядоченное поле . Интуитивно это означает, что к ним применимы методы и правила элементарной арифметики . Точнее, есть две бинарные операции , сложение и умножение , а также общий порядок , которые обладают следующими свойствами.

• Сложение обозначаемое двух действительных чисел a и b дает действительное число, $a+b,$ что суммой a b и . является
• Умножение обозначаемое двух действительных чисел a и b дает действительное число, $ab,$ $a\cdot b$ или $a\times b,$ который произведением a b и . является
• Сложение и умножение коммутативны , а это означает, что $a+b=b+a$ и $ab=ba$ для любых действительных чисел a и b .
• Сложение и умножение ассоциативны , что означает, что $(a+b)+c=a+(b+c)$ и $(ab)c=a(bc)$ для каждых действительных чисел a , b и c , и в обоих случаях круглые скобки можно опустить.
• Умножение является распределительным по сравнению с сложением, а это означает, что $a(b+c)=ab+ac$ для любых действительных чисел a , b и c .
• Существует действительное число, называемое нулем и обозначаемое 0 , которое является аддитивной идентичностью , что означает, что $a+0=a$ для каждого действительного числа a .
• Существует действительное число, обозначаемое 1 , которое является мультипликативным тождеством , что означает, что $a\times 1=a$ для каждого действительного числа a .
• Каждое действительное число a имеет аддитивное обратное, обозначаемое $-a.$ Это означает, что $a+(-a)=0$ для каждого действительного числа a .
• Каждое ненулевое действительное число a имеет обратное мультипликативное число, обозначаемое $a^{-1}$ или ${\frac {1}{a}}.$ Это означает, что $aa^{-1}=1$ для каждого ненулевого действительного числа a .
• Общий порядок обозначается $a<b.$ то, что это полный порядок, означает два свойства: учитывая два действительных числа a и b , ровно одно из $a<b,$ $a=b$ или $b<a$ это правда; и если $a<b$ и $b<c,$ тогда у человека также есть $a<c.$
• Порядок совместим со сложением и умножением, а это означает, что $a<b$ подразумевает $a+c<b+c$ для каждого действительного числа c и $0<ab$ подразумевается $0<a$ и $0<b.$

Из приведенных выше можно вывести множество других свойств. В частности:

• $0\cdot a=0$ для каждого действительного числа a
• $0<1$
• $0<a^{2}$ для каждого ненулевого действительного числа a

Вспомогательные операции

Обычно используются несколько других операций, которые можно вывести из приведенных выше.

• Вычитание : вычитание двух действительных чисел a и b приводит к сумме a и аддитивному обратному значению − b к b ; то есть, $$a-b=a+(-b).$$
• Деление : деление действительного числа a на ненулевое действительное число b обозначается ${\textstyle {\frac {a}{b}},}$ или $a/b$ определяется как умножение a на мультипликативную обратную величину b и ; то есть, $${\frac {a}{b}}=ab^{-1}.$$
• Абсолютное значение : абсолютное значение действительного числа a , обозначаемое $|a|,$ измеряет расстояние от нуля и определяется как $$|a|=\max(a,-a).$$

Вспомогательные отношения порядка

Полный порядок , рассмотренный выше, обозначается $a<b$ и читаем как « a меньше b » . три других отношения порядка Также часто используются :

• Больше чем : $a>b,$ читается как « a больше, чем b », определяется как $a>b$ тогда и только тогда, когда $b<a.$
• Меньше или равно : $a\leq b,$ читается как « a меньше или равно b » или « a не больше b », определяется как $(a<b){\text{ or }}(a=b),$ или эквивалентно как ${\text{not }}(b<a).$
• Больше или равно : $a\geq b,$ читается как « a больше или равно b » или « a не меньше b », определяется как $(b<a){\text{ or }}(a=b),$ или эквивалентно как ${\text{not }}(a<b).$

Целые и дробные числа как действительные числа

Действительные числа 0 и 1 обычно отождествляются с натуральными числами 0 и 1 . Это позволяет отождествить любое натуральное число n с суммой n действительных чисел, равной 1 .

Эту идентификацию можно выполнить, идентифицировав отрицательное целое число. $-n$ (где $n$ — натуральное число) с аддитивной обратной $-n$ действительного числа, идентифицированного с $n.$ Аналогично рациональное число $p/q$ (где p и q — целые числа, а $q\neq 0$) отождествляется с делением действительных чисел, отождествляемых с p и q .

Эти идентификации составляют набор $\mathbb {Q}$ рациональных чисел — упорядоченное подполе действительных чисел $\mathbb {R} .$ Дедекиндова полнота, описанная ниже, означает, что некоторые действительные числа, такие как ${\sqrt {2}},$ не являются рациональными числами; их называют иррациональными числами .

Вышеупомянутые отождествления имеют смысл, поскольку натуральные числа, целые и действительные числа обычно определяются не их индивидуальной природой, а определяющими свойствами ( аксиомами ). Итак, отождествление натуральных чисел с некоторыми действительными числами оправдано тем, что аксиомам Пеано эти действительные числа удовлетворяют с добавлением с 1 , взятым в качестве функции-преемника .

Формально существует инъективный гомоморфизм из упорядоченных моноидов натуральных чисел $\mathbb {N}$ к целым числам $\mathbb {Z} ,$ инъективный гомоморфизм упорядоченных колец из $\mathbb {Z}$ к рациональным числам $\mathbb {Q} ,$ и инъективный гомоморфизм упорядоченных полей из $\mathbb {Q}$ к реальным цифрам $\mathbb {R} .$ Отождествления состоят в том, чтобы не различать источник и образ каждого инъективного гомоморфизма и, таким образом, писать

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} .$

Эти отождествления формально являются злоупотреблениями обозначениями (поскольку формально рациональное число представляет собой класс эквивалентности пар целых чисел, а действительное число представляет собой класс эквивалентности рядов Коши) и, как правило, безвредны. Лишь в очень специфических ситуациях их следует избегать и заменять явно указанными выше гомоморфизмами. Так обстоит дело в конструктивной математике и компьютерном программировании . В последнем случае эти гомоморфизмы интерпретируются как преобразования типов , которые часто могут выполняться компилятором автоматически .

Дедекиндова полнота

Предыдущие свойства не отличают действительные числа от рациональных . Это различие обеспечивается полнотой Дедекинда , которая утверждает, что каждый набор действительных чисел с верхней границей допускает наименьшую верхнюю границу . Это означает следующее. Набор действительных чисел $S$ ограничено сверху, если существует действительное число $u$ такой, что $s\leq u$ для всех $s\in S$; такой $u$ называется верхней границей $S.$ Итак, дедекиндова полнота означает, что если S ограничено сверху, то его верхняя граница меньше любой другой верхней границы.

Дедекиндова полнота подразумевает другие виды полноты (см. ниже), но также имеет некоторые важные последствия.

• Архимедово свойство : для каждого действительного числа x существует целое число n такое, что $x<n$ (брать, $n=u+1,$ где $u$ — наименьшая верхняя граница целых чисел, меньших x ).
• Эквивалентно, если x — положительное действительное число, существует целое положительное число n такое, что $0<{\frac {1}{n}}<x$.
• Каждое положительное действительное число x имеет положительный квадратный корень , то есть существует положительное действительное число. $r$ такой, что $r^{2}=x.$
• Каждый одномерный многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один вещественный корень (если старший коэффициент положителен, возьмите наименьшую верхнюю границу действительных чисел, для которых значение многочлена отрицательно).

Последние два свойства суммируются, говоря, что действительные числа образуют действительное замкнутое поле . Это подразумевает реальную версию фундаментальной теоремы алгебры , а именно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на многочлены с действительными коэффициентами степени не выше двух.

Десятичное представление

Самый распространенный способ описания действительного числа — через его десятичное представление , последовательность десятичных цифр, каждая из которых представляет произведение целого числа от нуля до девяти, умноженного на степень десяти , расширяясь до конечного числа положительных степеней десяти влево и до бесконечности. много отрицательных степеней десяти вправо. Для числа x, десятичное представление которого простирается на k позиций влево, стандартное обозначение представляет собой сопоставление цифр. $b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,$ в порядке убывания по степени десяти, причем неотрицательные и отрицательные степени десяти разделены десятичной запятой , что представляет бесконечную серию

$x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .$

Например, для постоянной окружности $\pi =3.14159\cdots ,$ k равен нулю и $b_{0}=3,$ $a_{1}=1,$ $a_{2}=4,$ и т. д.

Более формально, десятичное представление неотрицательного действительного числа x состоит из неотрицательного целого числа k и целых чисел от нуля до девяти в бесконечной последовательности.

$b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .$

(Если $k>0,$ тогда по соглашению $b_{k}\neq 0.$)

Такое десятичное представление определяет действительное число как наименьшую верхнюю границу десятичных дробей , полученных путем усечения последовательности: для заданного положительного целого числа n усечение последовательности в позиции n представляет собой конечную частичную сумму.

${\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}$

Действительное число x, определенное последовательностью, является наименьшей верхней границей $D_{n},$ которая существует по дедекиндовой полноте.

И наоборот, учитывая неотрицательное действительное число x , можно определить десятичное представление x по индукции следующим образом. Определять $b_{k}\cdots b_{0}$ как десятичное представление наибольшего целого числа $D_{0}$ такой, что $D_{0}\leq x$ (это целое число существует из-за архимедова свойства). Тогда, предположив по индукции , что десятичная дробь $D_{i}$ был определен для $i<n,$ один определяет $a_{n}$ как наибольшая цифра такая, что $D_{n-1}+a_{n}/10^{n}\leq a,$ и один комплект $D_{n}=D_{n-1}+a_{n}/10^{n}.$

Можно использовать определяющие свойства действительных чисел, чтобы показать, что x является наименьшей верхней границей числа. $D_{n}.$ цифр называется десятичным представлением x Итак, полученная последовательность .

Другое десятичное представление можно получить, заменив $\leq x$ с $<x$ в предыдущей конструкции. Эти два представления идентичны, если только x не является десятичной дробью формы ${\textstyle {\frac {m}{10^{h}}}.}$ В этом случае в первом десятичном представлении все $a_{n}$ равны нулю для $n>h,$ а во втором представлении все $a_{n}$ 9. ( см. 0,999... подробнее ).

Таким образом, существует биекция между действительными числами и десятичными представлениями, которые не заканчиваются бесконечным количеством конечных девяток.

Предыдущие соображения применимы непосредственно к каждой системе счисления. $B\geq 2,$ просто заменив 10 на $B$ и 9 с $B-1.$

Топологическая полнота

Основная статья: Полнота действительных чисел

Основная причина использования действительных чисел заключается в том, что многие последовательности имеют пределы . Более формально, действительные числа являются полными (в смысле метрических пространств или равномерных пространств , что отличается от дедекиндовой полноты порядка из предыдущего раздела):

Последовательность что ( x _n ) действительных чисел называется последовательностью Коши , если для любого ε > 0 существует целое число N (возможно, зависящее от ε) такое, расстояние | Икс _п - Икс _м | меньше ε для всех n и m, которые оба больше N . Это определение, первоначально данное Коши , формализует тот факт, что x _n в конечном итоге приходят и остаются сколь угодно близкими друг к другу.

Последовательность ( x _n ) сходится к пределу x, если ее элементы в конце концов приходят и остаются сколь угодно близкими к x , то есть если для любого ε > 0 существует целое число N (возможно, зависящее от ε) такое, что расстояние | Икс _п - Икс | меньше ε для n большего N .

Каждая сходящаяся последовательность является последовательностью Коши, и обратное верно для действительных чисел, а это означает, что топологическое пространство действительных чисел полно.

Набор рациональных чисел не полон. Например, последовательность (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), где каждый член добавляет цифру десятичного разложения положительного квадратного корня из 2, является Коши, но она не сходится к рациональное число (в действительных числах оно, напротив, сходится к положительному квадратному корню из 2).

Свойство полноты действительных чисел является основой, на которой строятся исчисления и, в более общем смысле, математический анализ . В частности, проверка на то, что последовательность является последовательностью Коши, позволяет доказать, что последовательность имеет предел, не вычисляя его и даже не зная об этом.

Например, стандартный ряд показательной функции

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

сходится к действительному числу для каждого x , поскольку суммы

$\sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}$

можно сделать сколь угодно малым (независимо от M ), выбрав N достаточно большим. Это доказывает, что последовательность является Коши и, следовательно, сходится, показывая, что $e^{x}$ корректно определен для каждого x .

«Полное упорядоченное поле»

Действительные числа часто называют «полным упорядоченным полем», и эту фразу можно интерпретировать по-разному.

Во-первых, порядок может быть решеточно-полным . Легко видеть, что ни одно упорядоченное поле не может быть решеточно-полным, поскольку оно не может иметь наибольшего элемента (если любой элемент z , z + 1 больше).

Кроме того, порядок может быть дедекинд-полным, см. § Аксиоматический подход . Результат уникальности в конце этого раздела оправдывает использование слова «the» во фразе «полное упорядоченное поле», когда имеется в виду именно этот смысл слова «полное». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из дедекиндовых разрезов, поскольку это построение начинается с упорядоченного поля (рациональных чисел), а затем стандартным образом образует его дедекиндово-пополнение.

Эти два понятия полноты игнорируют структуру поля. Однако упорядоченная группа (в данном случае аддитивная группа поля) определяет однородную структуру, а однородные структуры имеют понятие полноты ; описание в § Полнота является особым случаем. (Мы ссылаемся на понятие полноты в равномерных пространствах, а не на родственное и более известное понятие для метрических пространств , поскольку определение метрического пространства опирается на уже наличие характеристики действительных чисел.) Неверно, что $\mathbb {R}$ — единственное равномерно полное упорядоченное поле, но это единственное равномерно полное архимедово поле , и действительно, часто можно услышать фразу «полное архимедово поле» вместо «полное упорядоченное поле». Каждое равномерно полное архимедово поле также должно быть по Дедекинду (и наоборот), что оправдывает использование «the» во фразе «полное архимедово поле». Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из последовательностей Коши (построение полностью проведено в этой статье), поскольку оно начинается с архимедова поля (рациональных чисел) и образует его равномерное пополнение в стандартном способ.

Но первоначально фразу «полное архимедово поле» использовал Давид Гильберт , который подразумевал под ней нечто иное. Он имел в виду, что действительные числа образуют самое большое архимедово поле в том смысле, что любое другое архимедово поле является подполем $\mathbb {R}$. Таким образом $\mathbb {R}$ является «полным» в том смысле, что к нему нельзя ничего добавить, не сделав его уже не архимедовым полем. Это чувство полноты наиболее тесно связано с построением действительных чисел из сюрреалистических чисел , поскольку это построение начинается с правильного класса, который содержит каждое упорядоченное поле (сюрреалистические числа), а затем выбирает из него самое большое архимедово подполе.

Мощность

Набор всех действительных чисел несчетен в том смысле, что, хотя набор всех натуральных чисел {1, 2, 3, 4, ...} и набор всех действительных чисел являются бесконечными множествами , не существует ни одного- функция «единица» от действительных чисел к натуральным числам. Мощность через множества всех действительных чисел обозначается ${\mathfrak {c}}.$ и назван мощностью континуума . Оно строго больше мощности множества всех натуральных чисел (обозначаемого $\aleph _{0}$ и называется «алеф-ноль» ) и равен мощности набора степеней набора натуральных чисел.

Утверждение о том, что не существует подмножества действительных чисел с мощностью строго большей, чем $\aleph _{0}$ и строго меньше, чем ${\mathfrak {c}}$ известна как гипотеза континуума (ГГ). Это невозможно ни доказать, ни опровергнуть, используя аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля, включая аксиому выбора (ZFC) — стандартную основу современной математики. Фактически, некоторые модели ZFC удовлетворяют CH, а другие его нарушают.

Другие объекты недвижимости

См. также: Реальная линия

В топологическом пространстве действительные числа разделимы . Это связано с тем, что счетное множество рациональных чисел плотно в действительных числах. Иррациональные числа также плотны в действительных числах, однако они несчетны и имеют ту же мощность, что и действительные числа.

Действительные числа образуют метрическое пространство : расстояние между x и y определяется как абсолютное значение | х - у | . Поскольку они представляют собой полностью упорядоченный набор, они также имеют упорядоченную топологию ; Топология , возникающая из метрики, и топология, возникающая из порядка, идентичны, но дают разные представления топологии - в топологии порядка в виде упорядоченных интервалов, в метрической топологии в виде эпсилон-шаров. Конструкция разрезов Дедекинда использует представление порядковой топологии, а конструкция последовательностей Коши использует представление метрической топологии. Вещественные числа образуют сжимаемое (следовательно, связное и односвязное ), сепарабельное и полное метрическое пространство хаусдорфовой размерности 1. Вещественные числа локально компактны , но не компактны . Существуют различные свойства, которые однозначно определяют их; например, все топологии неограниченного, связного и сепарабельного порядка обязательно гомеоморфны действительным числам.

Каждое неотрицательное действительное число имеет квадратный корень . $\mathbb {R}$, хотя никакое отрицательное число не делает. Это показывает, что порядок $\mathbb {R}$ определяется его алгебраической структурой. Кроме того, каждый многочлен нечетной степени допускает хотя бы один действительный корень: эти два свойства делают $\mathbb {R}$ лучший пример настоящего закрытого поля . Доказательство этого — первая половина доказательства основной теоремы алгебры .

Вещественные числа несут каноническую меру , меру Лебега , которая является мерой Хаара в их структуре как топологической группы, нормализованной так, что единичный интервал [0; 1] имеет меру 1. Существуют множества действительных чисел, которые не измеримы по Лебегу, например наборы Виталия .

Аксиома супремума действительных чисел относится к подмножествам действительных чисел и, следовательно, является логическим утверждением второго порядка. Невозможно охарактеризовать действительные числа только с помощью логики первого порядка : теорема Левенхайма – Скулема подразумевает, что существует счетное плотное подмножество действительных чисел, удовлетворяющее точно тем же предложениям в логике первого порядка, что и сами действительные числа. Набор гипердействительных чисел удовлетворяет тем же предложениям первого порядка, что и $\mathbb {R}$. Упорядоченные поля, удовлетворяющие тем же предложениям первого порядка, что и $\mathbb {R}$ называются нестандартными моделями $\mathbb {R}$. Именно это делает нестандартный анализ эффективным; доказав утверждение первого порядка в некоторой нестандартной модели (что может быть проще, чем доказать его в $\mathbb {R}$), мы знаем, что то же самое утверждение должно быть верно и для $\mathbb {R}$.

Поле ​ $\mathbb {R}$ действительных чисел является полем расширения поля $\mathbb {Q}$ рациональных чисел и $\mathbb {R}$ поэтому его можно рассматривать как векторное пространство над $\mathbb {Q}$. Теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора гарантирует существование базиса этого векторного пространства: существует набор B действительных чисел такой, что каждое действительное число можно однозначно записать как конечную линейную комбинацию элементов этого набора, используя только рациональные коэффициенты и такие, что ни один элемент B не является рациональной линейной комбинацией остальных. Однако эта теорема существования является чисто теоретической, поскольку такая база никогда явно не описывалась.

Теорема о хорошем порядке подразумевает, что действительные числа могут быть хорошо упорядочены, если принять аксиому выбора: существует полный порядок на $\mathbb {R}$ со свойством, что каждое подмножество непустое $\mathbb {R}$ имеет наименьший элемент в этом порядке. (Стандартный порядок ≤ действительных чисел не является хорошим упорядочением, поскольку, например, открытый интервал не содержит ни одного наименьшего элемента в этом порядке.) Опять же, существование такого правильного порядка является чисто теоретическим, поскольку оно не было исследовано. подробно описано. Если в дополнение к аксиомам ZF предполагается V = L , можно показать, что хороший порядок действительных чисел явно определяется формулой.

Действительное число может быть вычислимым или невычислимым; либо алгоритмически случайный , либо нет; и либо арифметически случайны , либо нет.

История

Реальные числа $(\mathbb {R} )$ включить рациональные числа $(\mathbb {Q} )$, которые включают в себя целые числа $(\mathbb {Z} )$, которые, в свою очередь, включают натуральные числа $(\mathbb {N} )$

Простые дроби использовались египтянами около 1000 г. до н. э.; Ведические ок « Шульба-сутры » («Правила аккордов») в . 600 г. до н.э. включают, возможно, первое «использование» иррациональных чисел. Концепция иррациональности была безоговорочно принята ранними индийскими математиками , такими как Манава ( ок. 750–690 до н.э.) , который осознавал, что квадратные корни некоторых чисел, например 2 и 61, невозможно точно определить.

Около 500 г. до н. э. греческие математики во главе с Пифагором также осознали, что квадратный корень из 2 иррационален.

Для греческих математиков числа были только натуральными числами . Действительные числа назывались «пропорциями», поскольку они представляли собой отношения двух длин или, что то же самое, были мерами длины через другую длину, называемую единичной длиной. Две длины «соизмеримы», если существует единица измерения, в которой они обе измеряются целыми числами, то есть, в современной терминологии, если их отношение является рациональным числом . Евдокс Книдский (ок. 390–340 до н. э.) дал определение равенства двух иррациональных пропорций способом, аналогичным делениям Дедекинда (введенным более 2000 лет спустя), за исключением того, что он не использовал никаких арифметических операций, кроме умножение длины на натуральное число (см. Евдокс Книдский ). Это можно рассматривать как первое определение действительных чисел.

Средние века привели к принятию нуля , отрицательных чисел , целых и дробных чисел сначала индийскими и китайскими математиками , а затем арабскими математиками , которые также были первыми, кто стал относиться к иррациональным числам как к алгебраическим объектам (последнее стало возможным благодаря развитию алгебры). Арабские математики объединили понятия « число » и « величина » в более общее представление о действительных числах. Египетский математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам ( ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа в качестве решений квадратных уравнений или в качестве коэффициентов в уравнении (часто в форме квадратных корней, кубических корней и корней четвертой степени ). . В Европе такие числа, не соизмеримые с числовой единицей, назывались иррациональными или сурд («глухими»).

В 16 веке Саймон Стевин создал основу современной десятичной системы счисления и настаивал на том, что в этом отношении нет разницы между рациональными и иррациональными числами.

В 17 веке Декарт ввёл термин «действительный» для описания корней многочлена , отличая их от «мнимых» чисел.

В XVIII и XIX веках было много работ по иррациональным и трансцендентным числам. Ламберт (1761) дал ошибочное доказательство того, что π не может быть рациональным; Лежандр (1794 г.) завершил доказательство. и показал, что π не является квадратным корнем рационального числа. Лиувилль (1840) показал, что ни e , ни e ² может быть корнем целого квадратного уравнения , и тогда установлено существование трансцендентных чисел; Кантор (1873) расширил и значительно упростил это доказательство. Эрмит (1873) доказал, что е трансцендентно, а Линдеманн (1882) показал, что π трансцендентно. Доказательство Линдеманна было значительно упрощено Вейерштрассом (1885), Гильбертом (1893), Гурвицем , и Гордон .

Идея существования множества точек между рациональными числами, такими как квадратный корень из 2, была хорошо известна древним грекам. Существование непрерывной числовой прямой считалось самоочевидным, но природа этой непрерывности, называемой ныне полнотой , не была понята. Строгость, развитая в геометрии, не перешла на концепцию чисел до 1800-х годов.

Современный анализ

Разработчики исчисления использовали действительные числа и пределы, не определяя их строго. В своем «Курсе анализа » (1821 г.) Коши сделал исчисление строгим, но использовал действительные числа, не определяя их, и предполагал без доказательства, что каждая последовательность Коши имеет предел и что этот предел является действительным числом.

В 1854 году Бернхард Риман подчеркнул ограничения исчисления в методе рядов Фурье , подчеркнув необходимость строгого определения действительных чисел.

Начиная с Рихарда Дедекинда в 1858 году, несколько математиков работали над определением действительных чисел, в том числе Герман Ханкель , Шарль Мерей и Эдуард Гейне , что привело к публикации в 1872 году двух независимых определений действительных чисел, одно из которых было предложено Дедекиндом, как Дедекинд сокращает , а другой — Георга Кантора , как классы эквивалентности последовательностей Коши. Эти определения оставили открытыми несколько проблем, что способствовало фундаментальному кризису математики . Во-первых, оба определения предполагают, что рациональные числа и, следовательно, натуральные числа строго определены; это было сделано несколько лет спустя с помощью аксиом Пеано . Во-вторых, оба определения включают бесконечные множества (дедекиндовы разрезы и множества элементов последовательности Коши), а теория множеств Кантора была опубликована несколькими годами позже. В-третьих, эти определения подразумевают квантификацию бесконечных множеств, а это не может быть формализовано в классической логике порядка предикатов первого . Это одна из причин развития логики высшего порядка в первой половине 20 века.

В 1874 году Кантор показал, что множество всех действительных чисел несчетно бесконечно , но множество всех алгебраических чисел счетно бесконечно . Первое доказательство несчетности Кантора отличалось от его знаменитого диагонального аргумента, опубликованного в 1891 году.

Формальные определения

Основная статья: Построение действительных чисел

Действительная система счисления $(\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})$ может быть определена аксиоматически с точностью до изоморфизма , который описан ниже. Существует также много способов построить «настоящую» систему действительных чисел, и популярный подход предполагает начинать с натуральных чисел, затем определять рациональные числа алгебраически и, наконец, определять действительные числа как классы эквивалентности их последовательностей Коши или как разрезы Дедекинда, которые являются определенными. подмножества рациональных чисел. Другой подход состоит в том, чтобы начать с некоторой строгой аксиоматизации евклидовой геометрии (скажем, Гильберта или Тарского ), а затем определить систему действительных чисел геометрически. Было показано, что все эти конструкции действительных чисел эквивалентны в том смысле, что полученные системы счисления изоморфны .

Аксиоматический подход

Позволять $\mathbb {R}$ обозначают множество всех действительных чисел. Затем:

• Набор $\mathbb {R}$ — это поле , означающее, что сложение и умножение определены и имеют обычные свойства.
• Поле $\mathbb {R}$ упорядочен, что означает, что существует общий порядок ≥ такой, что для всех действительных чисел x , y и z :
  • если x ≥ y , то x + z ≥ y + z ;
  • если x ≥ 0 и y ≥ 0, то xy ≥ 0.
• Порядок является дедекинд-полным, что означает, что каждое непустое подмножество S из $\mathbb {R}$ с верхней границей в $\mathbb {R}$ имеет наименьшую верхнюю границу (т.н. супремум) в $\mathbb {R}$.

Последнее свойство применимо к действительным числам, но не к рациональным числам (или к другим более экзотическим упорядоченным полям ). Например, $\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}$ имеет рациональную верхнюю границу (например, 1.42), но не имеет наименее рациональной верхней границы, поскольку ${\sqrt {2}}$ не является рациональным.

Эти свойства подразумевают архимедово свойство (которое не подразумевается другими определениями полноты), которое гласит, что набор целых чисел не имеет верхней границы в действительных числах. Фактически, если бы это было ложью, то целые числа имели бы минимальную верхнюю границу N ; тогда N – 1 не будет верхней границей, и будет целое число n такое, что n > N – 1 и, следовательно, n + 1 > N , что противоречит свойству верхней границы N .

Действительные числа однозначно определяются указанными выше свойствами. Точнее, для любых двух дедекиндово полных упорядоченных полей $\mathbb {R} _{1}$ и $\mathbb {R} _{2}$, существует единственный изоморфизм полей из $\mathbb {R} _{1}$ к $\mathbb {R_{2}}$. Эта уникальность позволяет нам думать о них как об одном и том же математическом объекте.

Еще одна аксиоматизация $\mathbb {R}$см. аксиоматизацию реальности Тарского .

Построение из рациональных чисел

Действительные числа могут быть построены как пополнение рациональных чисел таким образом, что последовательность, определенная десятичным или двоичным представлением, например (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...), сходится к уникальному действительному числу. — в данном случае π . Подробности и другие конструкции действительных чисел см. в разделе « Построение действительных чисел» .

Приложения и подключения

Физика

В физических науках большинство физических констант, таких как универсальная гравитационная постоянная и физические переменные, такие как положение, масса, скорость и электрический заряд, моделируются с использованием действительных чисел. Фактически, фундаментальные физические теории, такие как классическая механика , электромагнетизм , квантовая механика , общая теория относительности и стандартная модель, описываются с использованием математических структур, обычно гладких многообразий или гильбертовых пространств , которые основаны на действительных числах, хотя фактические измерения физических величин имеют конечную точность и прецизионность .

Физики иногда высказывали предположения, что более фундаментальная теория заменила бы действительные числа величинами, которые не образуют континуум, но такие предложения остаются спекулятивными.

Логика

Действительные числа чаще всего формализуются с использованием аксиоматизации теории множеств Цермело-Френкеля , но некоторые математики изучают действительные числа с помощью других логических основ математики. В частности, действительные числа изучаются также в обратной математике и в конструктивной математике .

Гипердействительные числа , разработанные Эдвином Хьюиттом , Абрахамом Робинсоном и другими, расширяют набор действительных чисел, вводя бесконечно малые и бесконечные числа, позволяя строить исчисление бесконечно малых , ближе к первоначальным интуициям Лейбница , Эйлера , Коши и других.

Эдварда Нельсона синтаксически Внутренняя теория множеств обогащает теорию множеств Цермело-Френкеля , вводя унарный предикат «стандарт». В этом подходе бесконечно малые числа являются (нестандартными) элементами множества действительных чисел (а не элементами его расширения, как в теории Робинсона).

Гипотеза континуума утверждает, что мощность множества действительных чисел равна $\aleph _{1}$; т.е. наименьшее бесконечное кардинальное число после $\aleph _{0}$, мощность целых чисел. Пол Коэн доказал в 1963 году, что это аксиома, независимая от других аксиом теории множеств; то есть: можно без противоречия выбрать либо гипотезу континуума, либо ее отрицание в качестве аксиомы теории множеств.

Вычисление

Электронные калькуляторы и компьютеры не могут работать с произвольными действительными числами, поскольку конечные компьютеры не могут напрямую хранить бесконечное количество цифр или других бесконечных представлений. И при этом они обычно даже не оперируют произвольными определяемыми действительными числами , которыми неудобно манипулировать.

Вместо этого компьютеры обычно работают с аппроксимациями конечной точности, называемыми числами с плавающей запятой , представлением, похожим на научную запись . Достижимая точность ограничена пространством хранения данных , выделенным для каждого числа, будь то числа с фиксированной запятой , числа с плавающей запятой, числа произвольной точности или какое-либо другое представление. В большинстве научных вычислений используется двоичная арифметика с плавающей запятой, часто 64-битное представление около 16 десятичных с точностью цифр . Действительные числа удовлетворяют обычным правилам арифметики , а числа с плавающей запятой — нет . Область численного анализа изучает стабильность и точность численных алгоритмов, реализованных с помощью приближенной арифметики.

С другой стороны, системы компьютерной алгебры могут работать с иррациональными величинами, точно манипулируя для них символьными формулами (например, ${\textstyle {\sqrt {2}},}$ ${\textstyle \arctan 5,}$ или ${\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$), а не их рациональное или десятичное приближение. Но точная и символьная арифметика также имеет ограничения: например, они более затратны в вычислительном отношении; вообще невозможно определить, равны ли два символьных выражения ( проблема с константами ); а арифметические операции могут вызвать экспоненциальный взрыв размера представления одного числа (например, возведение в квадрат рационального числа примерно удваивает количество цифр в его числителе и знаменателе, а возведение в квадрат многочлена примерно удваивает количество его членов), подавляя конечные компьютерное хранилище.

Действительное число называется вычислимым, если существует алгоритм, вычисляющий его цифры. Поскольку существует только счетное число алгоритмов, но бесчисленное количество действительных чисел, почти все действительные числа не поддаются вычислению. Более того, равенство двух вычислимых чисел является неразрешимой проблемой . Некоторые конструктивисты признают существование только тех реалий, которые вычислимы. Набор определимых чисел шире, но все же только счетен.

Теория множеств

В теории множеств , особенно в дескриптивной теории множеств , пространство Бэра используется в качестве замены действительных чисел, поскольку последние обладают некоторыми топологическими свойствами (связностью), которые представляют собой техническое неудобство. Элементы пространства Бэра называются «реальными».

Словарь и обозначения

Множество всех действительных чисел обозначается $\mathbb {R}$ ( жирный шрифт на доске ) или R (жирный шрифт). Поскольку оно естественным образом наделено структурой поля , поле выражений действительных чисел часто используется при рассмотрении его алгебраических свойств.

Часто отмечаются наборы положительных и отрицательных действительных чисел. $\mathbb {R} ^{+}$ и $\mathbb {R} ^{-}$, соответственно; $\mathbb {R} _{+}$ и $\mathbb {R} _{-}$ также используются. Можно отметить неотрицательные действительные числа. $\mathbb {R} _{\geq 0}$ но часто можно увидеть этот набор отмеченным $\mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.$ Во французской математике положительные действительные числа и отрицательные действительные числа обычно включают ноль , и эти множества отмечены соответственно. $\mathbb {R_{+}}$ и $\mathbb {R} _{-}.$ В этом понимании соответствующие множества без нуля называются строго положительными действительными числами и строго отрицательными действительными числами и отмечаются $\mathbb {R} _{+}^{*}$ и $\mathbb {R} _{-}^{*}.$

Обозначения $\mathbb {R} ^{n}$ относится к набору n -кортежей элементов $\mathbb {R}$ ( реальное координатное пространство ), которое можно отождествить с декартовым произведением n копий $\mathbb {R} .$ Это n - мерное векторное пространство над полем действительных чисел, часто называемое координатным пространством размерности n ; это пространство можно отождествить с n - мерным евклидовым пространством , как только декартова система координат в последнем будет выбрана . При этой идентификации точка евклидова пространства отождествляется с набором ее декартовых координат .

В математике слово «real» используется как прилагательное, означающее, что базовое поле — это поле действительных чисел (или действительное поле ). Например, вещественная матрица , вещественный полином и вещественная алгебра Ли . Это слово также используется как существительное , означающее действительное число (как в «наборе всех действительных чисел»).

Обобщения и расширения

Действительные числа можно обобщить и расширить в нескольких различных направлениях:

• Комплексные числа содержат решения всех полиномиальных уравнений и, следовательно, представляют собой алгебраически замкнутое поле, в отличие от действительных чисел. Однако комплексные числа не являются упорядоченным полем.
• Аффинно расширенная система действительных чисел добавляет два элемента +∞ и −∞ . Это компактное пространство . Это уже не поле и даже не аддитивная группа, но в нем все еще есть тотальный порядок; более того, это полная решетка .
• Действительная проективная линия добавляет только одно значение ∞ . Это также компактное пространство. Опять же, это уже не поле и даже не аддитивная группа. Однако он позволяет делить ненулевой элемент на ноль. Он имеет циклический порядок, описываемый отношением разделения .
• Длинная вещественная линия объединяет ℵ ₁ * + ℵ ₁ копий вещественной линии плюс одну точку (здесь ℵ ₁ * обозначает обратный порядок ℵ ₁ ), чтобы создать упорядоченный набор, который «локально» идентичен действительным числам. но как-то дольше; например, существует сохраняющее порядок вложение ℵ ₁ в длинную вещественную строку, но не в действительные числа. Длинная вещественная линия — это самый большой упорядоченный набор, полный и локально архимедовый. Как и в двух предыдущих примерах, этот набор больше не является полем или аддитивной группой.
• Упорядоченные поля, расширяющие действительные числа, — это гипердействительные числа и сюрреалистические числа ; оба они содержат бесконечно малые и бесконечно большие числа и поэтому являются неархимедовыми упорядоченными полями .
• Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве (например, самосопряженные квадратные комплексные матрицы ) во многих отношениях обобщают действительные числа: они могут быть упорядочены (хотя и не полностью упорядочены), они полны, все их собственные значения вещественны и они образуют настоящая ассоциативная алгебра . Положительно определенные операторы соответствуют положительным действительным числам, а нормальные операторы соответствуют комплексным числам.

См. также

• Полнота действительных чисел
• Непрерывная дробь
• Определяемые действительные числа
• Положительные действительные числа
• Реальный анализ

Системы счисления Сложный $:\;\mathbb {C}$ Настоящий $:\;\mathbb {R}$ Рациональный $:\;\mathbb {Q}$ Целое число $:\;\mathbb {Z}$ Естественный $:\;\mathbb {N}$ Ноль : 0 Один : 1 Простые числа Составные числа Отрицательные целые числа Фракция Конечная десятичная дробь Диадический (конечный бинарный) Повторяющаяся десятичная дробь иррациональный Алгебраическая иррациональность трансцендентный Воображаемый

Ссылки

Источники

• Бос, Хенк Дж. М. (2001). Переосмысление геометрической точности: трансформация Декартом ранней современной концепции строительства . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4613-0087-8 . ISBN  978-1-4612-6521-4 .
• Боттаццини, Умберто (1986). Высшее исчисление: история реального и комплексного анализа от Эйлера до Вейерштрасса . Спрингер. ISBN  9780387963020 .
• Кантор, Джордж (1874). « О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ». Журнал Крелля (на немецком языке). 77 :258–62.
• Дьедонне, Жан (1960). Основы современного анализа . Академическая пресса.
• Феферман, Соломон (1964). Системы счисления: основы алгебры и анализа . Аддисон-Уэсли.
• Хауи, Джон М. (2001). Реальный анализ . Серия Springer по математике для студентов. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-4471-0341-7 . ISBN  978-1-85233-314-0 .
• Кац, Роберт (1964). Аксиоматический анализ . Хит.
• Кранц, Дэвид Х.; Люс, Р. Дункан ; Суппес, Патрик ; Тверски, Амос (1971). Основы измерения, Vol. 1 . Академическая пресса. ISBN  9780124254015 . Полет. 2, 1989. Том. 3, 1990.
• Мак Лейн, Сондерс (1986). «4. Действительные числа» . Математика: форма и функция . Спрингер. ISBN  9780387962177 .
• Ландау, Эдмунд (1966). Основы анализа (3-е изд.). Челси. ISBN  9780828400794 . Перевод из немецких «Основ анализа» , 1930 г.
• Стивенсон, Фредерик В. (2000). Изучение действительных чисел . Прентис Холл. ISBN  9780130402615 .
• Стиллвелл, Джон (2013). Действительные числа: введение в теорию множеств и анализ . Тексты для бакалавриата по математике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-01577-4 . ISBN  978-3-319-01576-7 .

Внешние ссылки

• «Вещественное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]