Высоко составное число

Эта статья о числах, имеющих много делителей. Чтобы узнать о числах, факторизованных только до степеней 2, 3, 5 и 7 (также называемых 7-гладкими числами), см. Гладкое число .

Демонстрация с помощью палочек Кюизенера первых четырех сложных чисел: 1, 2, 4, 6.

— Составное число это целое положительное число , у которого больше делителей , чем у любого меньшего положительного целого числа. Связанное с этим понятие — это в значительной степени составное число , положительное целое число, имеющее по крайней мере столько же делителей, сколько любое меньшее положительное целое число. Название может вводить в заблуждение, поскольку первые два весьма составных числа (1 и 2) на самом деле не являются составными числами ; однако все дальнейшие условия таковы.

Рамануджан написал статью о сложных числах в 1915 году.

Математик Жан-Пьер Кахан предположил, что Платон , должно быть, знал о сложных числах, поскольку он сознательно выбрал такое число, 5040 (= 7! ), как идеальное число жителей города. Более того, статья Вардулакиса и Пью углубляется в аналогичное исследование относительно числа 5040.

Примеры

Первые 41 весьма составное число перечислены в таблице ниже (последовательность A002182 в OEIS ). Количество делителей указано в столбце d ( n ). Звездочки обозначают превосходные высококомплексные числа .

Заказ	HCN н	основной факторизация	основной показатели	число первоклассного факторы	д ( н )	первобытный факторизация
1	1			0	1
2	2 *	$2$	1	1	2	$2$
3	4	$2^{2}$	2	2	3	$2^{2}$
4	6 *	$2\cdot 3$	1,1	2	4	$6$
5	12 *	$2^{2}\cdot 3$	2,1	3	6	$2\cdot 6$
6	24	$2^{3}\cdot 3$	3,1	4	8	$2^{2}\cdot 6$
7	36	$2^{2}\cdot 3^{2}$	2,2	4	9	$6^{2}$
8	48	$2^{4}\cdot 3$	4,1	5	10	$2^{3}\cdot 6$
9	60 *	$2^{2}\cdot 3\cdot 5$	2,1,1	4	12	$2\cdot 30$
10	120 *	$2^{3}\cdot 3\cdot 5$	3,1,1	5	16	$2^{2}\cdot 30$
11	180	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5$	2,2,1	5	18	$6\cdot 30$
12	240	$2^{4}\cdot 3\cdot 5$	4,1,1	6	20	$2^{3}\cdot 30$
13	360 *	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5$	3,2,1	6	24	$2\cdot 6\cdot 30$
14	720	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5$	4,2,1	7	30	$2^{2}\cdot 6\cdot 30$
15	840	$2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	3,1,1,1	6	32	$2^{2}\cdot 210$
16	1260	$2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	2,2,1,1	6	36	$6\cdot 210$
17	1680	$2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7$	4,1,1,1	7	40	$2^{3}\cdot 210$
18	2520 *	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	3,2,1,1	7	48	$2\cdot 6\cdot 210$
19	5040 *	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	4,2,1,1	8	60	$2^{2}\cdot 6\cdot 210$
20	7560	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	3,3,1,1	8	64	$6^{2}\cdot 210$
21	10080	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	5,2,1,1	9	72	$2^{3}\cdot 6\cdot 210$
22	15120	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7$	4,3,1,1	9	80	$2\cdot 6^{2}\cdot 210$
23	20160	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7$	6,2,1,1	10	84	$2^{4}\cdot 6\cdot 210$
24	25200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	4,2,2,1	9	90	$2^{2}\cdot 30\cdot 210$
25	27720	$2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,2,1,1,1	8	96	$2\cdot 6\cdot 2310$
26	45360	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7$	4,4,1,1	10	100	$6^{3}\cdot 210$
27	50400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7$	5,2,2,1	10	108	$2^{3}\cdot 30\cdot 210$
28	55440*	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,2,1,1,1	9	120	$2^{2}\cdot 6\cdot 2310$
29	83160	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	3,3,1,1,1	9	128	$6^{2}\cdot 2310$
30	110880	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,2,1,1,1	10	144	$2^{3}\cdot 6\cdot 2310$
31	166320	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,3,1,1,1	10	160	$2\cdot 6^{2}\cdot 2310$
32	221760	$2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,2,1,1,1	11	168	$2^{4}\cdot 6\cdot 2310$
33	277200	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	4,2,2,1,1	10	180	$2^{2}\cdot 30\cdot 2310$
34	332640	$2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	5,3,1,1,1	11	192	$2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
35	498960	$2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	4,4,1,1,1	11	200	$6^{3}\cdot 2310$
36	554400	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11$	5,2,2,1,1	11	216	$2^{3}\cdot 30\cdot 2310$
37	665280	$2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$	6,3,1,1,1	12	224	$2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310$
38	720720*	$2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	4,2,1,1,1,1	10	240	$2^{2}\cdot 6\cdot 30030$
39	1081080	$2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	3,3,1,1,1,1	10	256	$6^{2}\cdot 30030$
40	1441440*	$2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	5,2,1,1,1,1	11	288	$2^{3}\cdot 6\cdot 30030$
41	2162160	$2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$	4,3,1,1,1,1	11	320	$2\cdot 6^{2}\cdot 30030$

Делители первых 19 сложных чисел показаны ниже.

н	д ( н )	Делители n
1	1	1
2	2	1, 2
4	3	1, 2, 4
6	4	1, 2, 3, 6
12	6	1, 2, 3, 4, 6, 12
24	8	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36	9	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48	10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
120	16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
180	18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
240	20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
360	24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
720	30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
840	32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840
1260	36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 28, 30, 35, 36, 42, 45, 60, 63, 70, 84, 90, 105, 126, 140, 180, 210, 252, 315, 420, 630, 1260
1680	40	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 48, 56, 60, 70, 80, 84, 105, 112, 120, 140, 168, 210, 240, 280, 336, 420, 560, 840, 1680
2520	48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 56, 60, 63, 70, 72, 84, 90, 105, 120, 126, 140, 168, 180, 210, 252, 280, 315, 360, 420, 504, 630, 840, 1260, 2520
5040	60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

В таблице ниже показаны все 72 делителя числа 10080, записанные в виде произведения двух чисел 36 различными способами.

Составное число: 10080. 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2)  ×  (3 × 3)  ×  5  ×  7
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Примечание. Числа, выделенные жирным шрифтом, сами по себе являются весьма составными числами . Только двадцатое весьма составное число 7560 (= 3 × 2520) отсутствует. 10080 — это так называемое 7-гладкое число (последовательность A002473 в OEIS ) .

15-тысячное сложное число можно найти на сайте Ахима Фламменкампа. Это произведение 230 простых чисел:

$a_{0}^{14}a_{1}^{9}a_{2}^{6}a_{3}^{4}a_{4}^{4}a_{5}^{3}a_{6}^{3}a_{7}^{3}a_{8}^{2}a_{9}^{2}a_{10}^{2}a_{11}^{2}a_{12}^{2}a_{13}^{2}a_{14}^{2}a_{15}^{2}a_{16}^{2}a_{17}^{2}a_{18}^{2}a_{19}a_{20}a_{21}\cdots a_{229},$

где $a_{n}$ это $n$-е последовательное простое число, а все пропущенные члены ( от ₂₂ до 228 _равно ) являются множителями с показателем степени, равным единице (т. е. число $2^{14}\times 3^{9}\times 5^{6}\times \cdots \times 1451$). Короче говоря, это продукт семи различных первоначальных элементов:

$b_{0}^{5}b_{1}^{3}b_{2}^{2}b_{4}b_{7}b_{18}b_{229},$

где $b_{n}$ является первостепенным $a_{0}a_{1}\cdots a_{n}$.

Простая факторизация

График количества делителей целых чисел от 1 до 1000. Числа с высокой степенью сложности выделены жирным шрифтом, а числа с высокой степенью сложности отмечены звездочкой. В файле SVG наведите указатель мыши на полосу, чтобы просмотреть ее статистику.

Грубо говоря, чтобы число было составным, оно должно иметь как можно меньшие простые делители , но не слишком много одинаковых. По фундаментальной теореме арифметики каждое положительное целое число n имеет уникальную простую факторизацию:

$n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}$

где $p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}$ являются простыми, а показатели $c_{i}$ являются положительными целыми числами.

Любой фактор числа n должен иметь одинаковую или меньшую кратность в каждом простом числе:

$p_{1}^{d_{1}}\times p_{2}^{d_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{d_{k}},0\leq d_{i}\leq c_{i},0<i\leq k$

Таким образом, число делителей числа n равно:

$d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).$

для весьма составного числа n Следовательно ,

• k простыми числами ( 2 заданных простых чисел p _i должны быть в точности первыми k , 3, 5, ...); в противном случае мы могли бы заменить одно из данных простых чисел меньшим простым и, таким образом, получить число меньшее, чем n , с тем же количеством делителей (например, 10 = 2 × 5 можно заменить на 6 = 2 × 3; оба имеют четыре делителя);
• последовательность показателей должна быть невозрастающей, т.е. $c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}$; в противном случае, поменяв два показателя степени, мы снова получили бы число меньшее, чем n, с тем же количеством делителей (например, 18 = 2 ¹  × 3 ² можно заменить на 12 = 2 ²  × 3 ¹ ; оба имеют шесть делителей).

Кроме того, за исключением двух особых случаев n = 4 и n = 36, последний показатель степени c _k должен равняться 1. Это означает, что 1, 4 и 36 — единственные квадратные весьма составные числа. Сказать, что последовательность показателей не возрастает, равносильно утверждению, что составное число является произведением простых чисел или, альтернативно, наименьшим числом для его простого сигнатуры .

Заметим, что хотя описанные выше условия и необходимы, их недостаточно для того, чтобы число было высоко составным. Например, 96 = 2 ⁵ × 3 удовлетворяет вышеуказанным условиям и имеет 12 делителей, но не является составным, поскольку существует меньшее число (60), имеющее такое же количество делителей.

Асимптотический рост и плотность

Если Q ( x ) обозначает количество сложных чисел, меньших или равных x , тогда существуют две константы a и b , обе больше 1, такие, что

$(\log x)^{a}\leq Q(x)\leq (\log x)^{b}\,.$

Первую часть неравенства доказал Поль Эрдеш в 1944 году, а вторую часть — Жан-Луи Николя в 1988 году. Имеем

$1.13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.44\$

и

$\limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1.71\ .$

Связанные последовательности

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Составные числа больше 6 также являются избыточными числами . Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на три крупнейших собственных делителя конкретного весьма составного числа. Неверно, что все составные числа также являются числами Харшада по основанию 10. Первое составное число, не являющееся числом Харшада, равно 245 044 800; его сумма цифр равна 27, которая не делится на 245 044 800 поровну.

10 из первых 38 сложных чисел являются превосходными сложными числами .Последовательность весьма составных чисел (последовательность A002182 в OEIS ) является подмножеством последовательности наименьших чисел k ровно с n делителями (последовательность A005179 в OEIS ).

Высокосоставные числа, число делителей которых также является весьма составным числом, — это

1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800, 195643523275200 (последовательность A189394 в OEIS ).

Весьма вероятно, что эта последовательность является полной.

Положительное целое число n является в значительной степени составным числом , если d ( n ) ≥ d ( m ) для всех m ≤ n . Считающая функция Q _L ( x ) в значительной степени составных чисел удовлетворяет

$(\log x)^{c}\leq \log Q_{L}(x)\leq (\log x)^{d}\$

для положительных c и d с $0.2\leq c\leq d\leq 0.5$.

Поскольку при факторизации простого составного числа используются все первые k простых чисел, каждое весьма составное число должно быть практическим числом . Благодаря простоте использования в вычислениях с дробями многие из этих чисел используются в традиционных системах измерения и инженерных проектах.

См. также

• Превосходное высокосложное число
• Очень внимательный номер
• Таблица делителей
• Функция Эйлера
• Круглое число
• Гладкий номер

Ссылки

• Шандор, Джозеф; Митринович, Драгослав С.; Крстичи, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag . стр. 45–46. ISBN  1-4020-4215-9 . Збл   1151.11300 .
• Эрдеш, П. (1944). «О весьма составных числах» (PDF) . Журнал Лондонского математического общества . Вторая серия. 19 (75_Часть_3): 130–133. дои : 10.1112/jlms/19.75_part_3.130 . МР   0013381 .
• Алаоглу, Л. ; Эрдеш, П. (1944). «О весьма составных и подобных числах» (PDF) . Труды Американского математического общества . 56 (3): 448–469. дои : 10.2307/1990319 . JSTOR   1990319 . МР   0011087 .
• Рамануджан, Шриниваса (1997). «Сильно составные числа» (PDF) . Журнал Рамануджана . 1 (2): 119–153. дои : 10.1023/А:1009764017495 . МР   1606180 . S2CID   115619659 . С аннотациями и предисловием Жана-Луи Николя и Гая Робина.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Высокосложное число» . Математический мир .
• Алгоритм вычисления высокосоставных чисел
• Первые 10 000 высокосложных чисел как факторы
• Ахим Фламменкамп, первый 779674 HCN с сигмой, тау, факторами
• Онлайн-калькулятор сложных чисел
• 5040 и другие антипростые числа - доктор Джеймс Грайм , доктор Джеймс Грайм для Numberphile