Дифференцируемое многообразие

Недифференцируемый атлас карт земного шара. Результаты расчетов могут быть несовместимы между диаграммами, если атлас не дифференцируем. На центральной и правой картах Тропик Рака представляет собой плавную кривую, тогда как на левой карте он имеет острый угол. Понятие дифференцируемого многообразия уточняет понятие многообразия, требуя, чтобы функции, которые преобразуются между картами, были дифференцируемыми.

В математике дифференцируемое многообразие (также дифференциальное многообразие ) — это тип многообразия , который локально достаточно похож на векторное пространство , чтобы можно было применять исчисление . Любое многообразие можно описать набором карт ( атласом ). Затем можно применять идеи исчисления при работе с отдельными диаграммами, поскольку каждая диаграмма находится в векторном пространстве, к которому применяются обычные правила исчисления. Если карты достаточно совместимы (т. е. переход от одной карты к другой дифференцируем ), то вычисления, выполненные в одной карте, действительны в любой другой дифференцируемой карте.

Формально дифференцируемое многообразие — это топологическое многообразие с глобально определенной дифференциальной структурой . Любому топологическому многообразию можно локально придать дифференциальную структуру, используя гомеоморфизмы его атласа и стандартную дифференциальную структуру в векторном пространстве. Чтобы вызвать глобальную дифференциальную структуру в локальных системах координат, индуцированных гомеоморфизмами, их композиции на пересечениях карт в атласе должны быть дифференцируемыми функциями в соответствующем векторном пространстве. Другими словами, если области карт перекрываются, координаты, определенные каждой картой, должны быть дифференцируемы относительно координат, определенных каждой картой в атласе. Карты, которые связывают координаты, определенные различными картами, друг с другом, называются картами перехода .

Возможность определить такую ​​локальную дифференциальную структуру в абстрактном пространстве позволяет распространить определение дифференцируемости на пространства без глобальных систем координат. Локально дифференциальная структура позволяет определить глобально дифференцируемое касательное пространство , дифференцируемые функции и дифференцируемые тензорные и векторные поля.

Дифференцируемые многообразия играют очень важную роль в физике . Особые виды дифференцируемых многообразий составляют основу физических теорий, таких как классическая механика , общая теория относительности и теория Янга-Миллса . Можно разработать исчисление для дифференцируемых многообразий. Это приводит к такому математическому аппарату, как внешнее исчисление. Изучение исчисления на дифференцируемых многообразиях известно как дифференциальная геометрия.

«Дифференцируемости» многообразия придавалось несколько значений, в том числе: непрерывно дифференцируемое , k -раз дифференцируемое, гладкое (что само по себе имеет много значений) и аналитическое .

История

Основная статья: История многообразий и разновидностей

Появление дифференциальной геометрии как отдельной дисциплины обычно приписывают Карлу Фридриху Гауссу и Бернхарду Риману . Риман впервые описал многообразия в своей знаменитой абилитационной лекции перед профессорско-преподавательским составом в Геттингене . Он мотивировал идею многообразия интуитивным процессом изменения данного объекта в новом направлении и прозорливо описал роль систем координат и карт в последующих формальных разработках:

Построив понятие многообразия n измерений и обнаружив, что его истинный характер состоит в том свойстве, что определение положения в нем может быть сведено к n определениям величины, ... – Б. Риман

Работы таких физиков, как Джеймс Клерк Максвелл , и математики Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита. привело к развитию тензорного анализа и понятия ковариантности , которая определяет внутреннее геометрическое свойство как свойство, инвариантное по отношению к преобразованиям координат . Эти идеи нашли ключевое применение в Альберта Эйнштейна общей теории относительности и лежащем в ее основе принципе эквивалентности . Современное определение двумерного многообразия было дано Германом Вейлем в его книге 1913 года о римановых поверхностях . Широко распространенное общее определение многообразия в терминах атласа принадлежит Хасслеру Уитни .

Определение

Выбор

Пусть M — топологическое пространство . Карта M ( U , φ ) на состоит из открытого подмножества U в M и гомеоморфизма φ из U в открытое подмножество некоторого евклидова пространства R. ^н . Несколько неформально можно назвать карту φ : U → R ^н , что означает, что образ φ является открытым подмножеством R ^н и что φ является гомеоморфизмом своего образа; в использовании некоторых авторов это может вместо этого означать, что φ : U → R ^н сам по себе является гомеоморфизмом.

Наличие диаграммы предполагает возможность проведения дифференциального исчисления на М ; например, если даны функция u : M → R и карта ( U , φ ) на M , можно было бы рассмотреть композицию u ∘ φ ⁻¹ , которая является действительной функцией, областью определения которой является открытое подмножество евклидова пространства; как таковой, если он окажется дифференцируемым, можно будет рассмотреть его частные производные .

Данная ситуация не является полностью удовлетворительной по следующей причине. Рассмотрим вторую карту ( V , ψ ) на M и предположим, что U и V содержат некоторые общие точки. Две соответствующие функции u ∘ φ ⁻¹ и ты ∘ ψ ⁻¹ связаны в том смысле, что их можно перепараметризовать друг в друга: $$u\circ \varphi ^{-1}={\big (}u\circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ \varphi ^{-1}{\big )},$$естественная область определения правой части — φ ( U ∩ V ) . Поскольку φ и ψ — гомеоморфизмы, отсюда следует, что ψ ∘ φ ⁻¹ является гомеоморфизмом φ ( U ∩ V ) в ψ ( U ∩ V ) . Следовательно, это просто двояконепрерывная функция, поэтому, даже если обе функции u ∘ φ ⁻¹ и ты ∘ ψ ⁻¹ дифференцируемы, их дифференциальные свойства не обязательно будут сильно связаны друг с другом, поскольку ψ ∘ φ ⁻¹ не гарантируется достаточная дифференцируемость для того, чтобы можно было вычислить частные производные левой части, применяя цепное правило к правой части. Та же проблема возникает, если вместо этого рассматривать функции c : R → M ; приходим к формуле репараметризации $$\varphi \circ c={\big (}\varphi \circ \psi ^{-1}{\big )}\circ {\big (}\psi \circ c{\big )},$$в этот момент можно сделать то же наблюдение, что и раньше.

Эта проблема решается введением «дифференцируемого атласа» карт, который задает набор карт на M, для которых карты перехода ψ ∘ φ ⁻¹ все дифференцируемы. Это проясняет ситуацию: если u ∘ φ ⁻¹ дифференцируемо, то в силу первой приведенной выше формулы репараметризации отображение u ∘ ψ ⁻¹ также дифференцируема в области ψ ( U ∩ V ) и наоборот. Более того, производные этих двух отображений связаны друг с другом правилом цепочки. По отношению к данному атласу это облегчает представление о дифференцируемых отображениях, областью или диапазоном которых является M , а также понятие производной таких отображений.

Формально слово «дифференцируемый» несколько двусмысленно, поскольку разные авторы понимают под ним разные вещи; иногда это означает существование первых производных, иногда существование непрерывных первых производных, а иногда существование бесконечного числа производных. Ниже дается формальное определение различных (недвусмысленных) значений термина «дифференцируемый атлас». Как правило, «дифференцируемый» будет использоваться как всеобъемлющий термин, включающий все эти возможности, при условии, что k ≥ 1 .

Учитывая топологическое пространство М ...
С ​ к атлас	представляет собой набор диаграмм	{ ж а : U а → R н } α ∈ A	такой, что { U α } α ∈ A покрывает M и такой, что для всех α и β в A отображение перехода φ α ∘ φ −1 β ​	С ​ к карта
гладкий или C ∞ атлас		{ ж а : U а → R н } α ∈ A		карта гладкая ​
аналитика или C ой атлас		{ ж а : U а → R н } α ∈ A		реально -аналитическая карта
голоморфный атлас		{ ж а : U а → C н } α ∈ A		голоморфная ​ карта

$M$

$U_{\alpha }$

$U_{\beta }$

$\phi _{\alpha }$

$\phi _{\beta }$

$\phi _{\beta \alpha }$

$\phi _{\alpha \beta }$

$\mathbf {R} ^{n}$

$\mathbf {R} ^{n}$

Карта перехода двух графиков. $\phi _{\alpha \beta }$ обозначает $\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1}$ и $\phi _{\beta \alpha }$ обозначает $\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}$.

Поскольку всякое вещественно-аналитическое отображение является гладким, а каждое гладкое отображение есть C ^к для любого k можно видеть, что любой аналитический атлас также можно рассматривать как гладкий атлас, и каждый гладкий атлас можно рассматривать как C ^к атлас. Эту цепочку можно расширить, включив в нее голоморфные атласы, понимая, что любое голоморфное отображение между открытыми подмножествами C ^н можно рассматривать как вещественно-аналитическое отображение между открытыми подмножествами R ^{2 н} .

Учитывая дифференцируемый атлас в топологическом пространстве, говорят, что карта дифференцируемо совместима с этим атласом или дифференцируема относительно данного атласа, если включение карты в набор карт, составляющих данный дифференцируемый атлас, приводит к дифференцируемому атласу. . Дифференцируемый атлас определяет максимальный дифференцируемый атлас , состоящий из всех карт, дифференцируемо совместимых с данным атласом. Максимальный атлас всегда очень велик. Например, для любой карты в максимальном атласе ее ограничение на произвольное открытое подмножество ее области также будет содержаться в максимальном атласе. Максимально гладкий атлас также известен как гладкая структура ; максимальный голоморфный атлас также известен как комплексная структура .

Альтернативное, но эквивалентное определение, позволяющее избежать прямого использования максимальных атласов, состоит в рассмотрении классов эквивалентности дифференцируемых атласов, в которых два дифференцируемых атласа считаются эквивалентными, если каждая карта одного атласа дифференцируемо совместима с другим атласом. Неформально это означает, что, имея дело с гладким многообразием, можно работать с одним дифференцируемым атласом, состоящим всего из нескольких карт, с неявным пониманием того, что многие другие карты и дифференцируемые атласы одинаково легитимны.

Согласно инвариантности области каждая компонента связности топологического пространства, имеющего дифференцируемый атлас, имеет четко определенную размерность n . Это вызывает небольшую двусмысленность в случае голоморфного атласа, поскольку соответствующая размерность будет равна половине значения его размерности, если рассматривать его как аналитический, гладкий или C ^к атлас. По этой причине отдельно говорится о «реальной» и «комплексной» размерности топологического пространства с голоморфным атласом.

Коллекторы

Дифференцируемое многообразие — это хаусдорфово и второе счетное топологическое пространство M вместе с максимальным дифференцируемым атласом на M . Большую часть базовой теории можно разработать без необходимости использования условий Хаусдорфа и второй счетности, хотя они жизненно важны для большей части продвинутой теории. По сути, они эквивалентны общему существованию функций рельефа и разбиений единицы , которые используются повсеместно.

Понятие С ⁰ многообразие идентично топологическому многообразию . Однако следует сделать заметное различие. Учитывая топологическое пространство, имеет смысл задаться вопросом, является ли оно топологическим многообразием. Напротив, нет смысла спрашивать, является ли данное топологическое пространство (например) гладким многообразием, поскольку понятие гладкого многообразия требует спецификации гладкого атласа, который является дополнительной структурой. Однако имело бы смысл сказать, что определенному топологическому пространству нельзя придать структуру гладкого многообразия. Можно переформулировать определения так, чтобы такого рода дисбаланса не было; можно начать с множества M (а не с топологического пространства M определения структуры топологического пространства на M. ), используя в этом случае естественный аналог гладкого атласа для

Соединение евклидовых частей в многообразие.

Можно перепроектировать приведенные выше определения, чтобы получить один взгляд на конструкцию многообразий. Идея состоит в том, чтобы начать с изображений диаграмм и карт переходов и построить многообразие исключительно на основе этих данных. Как и в приведенном выше обсуждении, мы используем «гладкий» контекст, но в других настройках все работает так же хорошо.

Учитывая набор индексации $A,$ позволять $V_{\alpha }$ быть совокупностью открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ и для каждого $\alpha ,\beta \in A$ позволять $V_{\alpha \beta }$ быть открытым (возможно, пустым) подмножеством $V_{\beta }$ и пусть $\phi _{\alpha \beta }:V_{\alpha \beta }\to V_{\beta \alpha }$ быть гладкой картой. Предположим, что $\phi _{\alpha \alpha }$ это карта идентичности, которая $\phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \alpha }$ это карта идентичности, и это $\phi _{\alpha \beta }\circ \phi _{\beta \gamma }\circ \phi _{\gamma \alpha }$ это карта идентичности. Затем определим отношение эквивалентности на непересекающемся объединении ${\textstyle \bigsqcup _{\alpha \in A}V_{\alpha }}$ объявив $p\in V_{\alpha \beta }$ быть эквивалентным $\phi _{\alpha \beta }(p)\in V_{\beta \alpha }.$ Проведя некоторую техническую работу, можно показать, что множеству классов эквивалентности естественным образом можно придать топологическую структуру и что используемые при этом диаграммы образуют гладкий атлас. Информацию о соединении аналитических структур (подмножества) см. в разделе «Аналитические многообразия» .

Дифференцируемые функции

Вещественнозначная функция f на n -мерном дифференцируемом многообразии M называется дифференцируемой в точке p ∈ M , если она дифференцируема в любой координатной карте, определенной вокруг p . Точнее, если $(U,\phi )$ представляет собой дифференцируемую диаграмму, где $U$ представляет собой открытый набор в $M$ содержащий p и $\phi :U\to {\mathbf {R} }^{n}$ — карта, определяющая карту, то f дифференцируема в точке p тогда и только тогда, когда $$f\circ \phi ^{-1}\colon \phi (U)\subset {\mathbf {R} }^{n}\to {\mathbf {R} }$$дифференцируема в $\phi (p)$, то есть $f\circ \phi ^{-1}$ является дифференцируемой функцией из открытого множества $\phi (U)$, рассматриваемый как подмножество ${\mathbf {R} }^{n}$, к $\mathbf {R}$. В общем, будет много доступных графиков; однако определение дифференцируемости не зависит от выбора карты в точке p . следует Из цепного правила, применяемого к функциям перехода между одной картой и другой, , что если f дифференцируема в любой конкретной карте в точке p , то она дифференцируема во всех картах в точке p . Аналогичные соображения применимы и к определению C ^к функции, гладкие функции и аналитические функции.

Дифференциация функций

Существуют различные способы определения производной функции на дифференцируемом многообразии, наиболее фундаментальным из которых является производная по направлению . Определение производной по направлению осложняется тем фактом, что у многообразия не будет подходящей аффинной структуры для определения векторов . Следовательно, производная по направлению рассматривает кривые в многообразии, а не векторы.

Направленная дифференциация

Учитывая вещественную функцию f на n -мерном дифференцируемом многообразии M , производная f по направлению в точке p в M определяется следующим образом. Предположим, что γ( t ) — кривая в M с γ (0) = p , которая дифференцируема в том смысле, что ее композиция с любой картой является дифференцируемой кривой в R. ^н . Тогда по направлению производная f в точке p вдоль γ равна

$$\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.$$

Если γ ₁ и γ ₂ — две кривые такие, что γ ₁ (0) = γ ₂ (0) = p , и в любой координатной карте $\phi$,

$$\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}$$

тогда, согласно цепному правилу, f имеет ту же производную по направлению в точке p вдоль γ _1, что и вдоль γ ₂ . Это означает, что производная по направлению зависит только от касательного вектора кривой в точке p . Таким образом, более абстрактное определение направленного дифференцирования, адаптированное к случаю дифференцируемых многообразий, в конечном итоге отражает интуитивные особенности направленного дифференцирования в аффинном пространстве.

Касательный вектор и дифференциал

Касательный вектор в точке p ∈ M — это класс эквивалентности дифференцируемых кривых γ с γ (0) = p первого порядка по модулю отношения эквивалентности контакта между кривыми. Поэтому,

$$\gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\iff \left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{1}(t)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\phi \circ \gamma _{2}(t)\right|_{t=0}$$

в каждой координатной карте $\phi$. Следовательно, классы эквивалентности представляют собой кривые, проходящие через p , с заданным вектором скорости в точке p . Совокупность всех касательных векторов в точке образует векторное пространство : касательное пространство к M в точке , обозначаемое TpM _p . p

Если X — касательный вектор в точке p , а f — дифференцируемая функция, определенная вблизи p , то дифференцирование f вдоль любой кривой в классе эквивалентности, определяющем X, дает четко определенную производную по направлению вдоль X : $$Xf(p):=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.$$И снова цепное правило устанавливает, что это не зависит от свободы выбора γ из класса эквивалентности, поскольку любая кривая с одинаковым контактом первого порядка будет давать одну и ту же производную по направлению.

Если функция f фиксирована, то отображение $$X\mapsto Xf(p)$$— линейный функционал в касательном пространстве. Этот линейный функционал часто обозначается df ( p называется дифференциалом f ) и в точке p : $$df(p)\colon T_{p}M\to {\mathbf {R} }.$$

Определение касательного пространства и дифференцирование в локальных координатах

Позволять $M$ быть топологическим $n$-многообразие с гладким атласом $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.$ Данный $p\in M$ позволять $A_{p}$ обозначать $\{\alpha \in A:p\in U_{\alpha }\}.$ «Касательный вектор в $p\in M$" представляет собой отображение $v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n},$ здесь обозначено $\alpha \mapsto v_{\alpha },$ такой, что $$v_{\alpha }=D{\Big |}_{\phi _{\beta }(p)}(\phi _{\alpha }\circ \phi _{\beta }^{-1})(v_{\beta })$$для всех $\alpha ,\beta \in A_{p}.$ Пусть совокупность касательных векторов в точке $p$ обозначаться $T_{p}M.$ Учитывая гладкую функцию $f:M\to \mathbb {R}$, определять $df_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R}$ отправив касательный вектор $v:A_{p}\to \mathbb {R} ^{n}$ на номер, указанный $$D{\Big |}_{\phi _{\alpha }(p)}(f\circ \phi _{\alpha }^{-1})(v_{\alpha }),$$которое в силу цепного правила и ограничения в определении касательного вектора не зависит от выбора $\alpha \in A_{p}.$

Это можно проверить $T_{p}M$ естественно имеет структуру $n$-мерное реальное векторное пространство, и что при такой структуре $df_{p}$ представляет собой линейную карту. Ключевое наблюдение заключается в том, что из-за ограничения, возникающего в определении касательного вектора, значение $v_{\beta }$ за один элемент $\beta$ из $A_{p}$ автоматически определяет $v_{\alpha }$ для всех $\alpha \in A.$

Приведенные выше формальные определения точно соответствуют более неформальным обозначениям, которые часто встречаются в учебниках, в частности

$v^{i}={\widetilde {v}}^{j}{\frac {\partial x^{i}}{\partial {\widetilde {x}}^{j}}}$ и $df_{p}(v)={\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}v^{i}.$

При понимании идеи формальных определений с этой сокращенной записью для большинства целей работать гораздо проще.

Разделы единства

Одной из топологических особенностей пучка дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии является то, что он допускает разбиения единицы . Это отличает дифференциальную структуру на многообразии от более сильных структур (таких как аналитические и голоморфные структуры), которые, как правило, не имеют разбиений единицы.

Предположим, что M — многообразие класса C ^к , где 0 ≤ k ≤ ∞ . Пусть { U _α } — открытое покрытие M . Тогда разбиение единицы, подчиненное покрытию { U _α }, является совокупностью вещественных C ^к функции φ _i на M, удовлетворяющие следующим условиям:

• Носители ​ ф ​ _i компактны конечны и локально ;
• Носитель φi _; содержится в Uα _α некоторого полностью для
• Сумма φ точке _i равна единице в каждой M : $$\sum _{i}\phi _{i}(x)=1.$$

(Обратите внимание, что это последнее условие на самом деле представляет собой конечную сумму в каждой точке из-за локальной конечности носителей φ _i .)

Каждое открытое покрытие C ^к многообразие M имеет C ^к раздел единства. Это позволяет использовать некоторые конструкции из топологии C ^к функции на R ^н перенести в категорию дифференцируемых многообразий. В частности, можно обсудить интегрирование, выбрав разбиение единицы, подчиненное конкретному координатному атласу, и проведя интегрирование в каждой карте R. ^н . Таким образом, разбиения единицы позволяют некоторые другие виды функциональных пространств рассматривать : например, L ^п пространства , пространства Соболева и другие виды пространств, требующих интегрирования.

Дифференцируемость отображений между многообразиями

Предположим, что и N — два дифференцируемых многообразия с размерностями m и n соответственно, а f — функция от M до N. M Поскольку дифференцируемые многообразия являются топологическими пространствами, мы знаем, что означает f непрерывность . Но что значит " f is C ^к ( M , N ) "означают для k ≥ 1 ? Мы знаем, что это означает, когда f является функцией между евклидовыми пространствами, поэтому, если мы составим f с картой M и картой N так, что мы получим карту, которая идет от Евклидово пространство в M в N в евклидово пространство, мы знаем, что значит, что это отображение равно C. ^к ( Р ^м , Р ^н ) . Мы определяем, что « f есть C ^к ( M , N ) ", чтобы означать, что все такие композиции f с картами являются C ^к ( Р ^м , Р ^н ) . Еще раз, цепное правило гарантирует, что идея дифференцируемости не зависит от того, какие карты атласов на M и N выбраны. Однако определение самой производной является более тонким. Если M или N сами по себе уже являются евклидовым пространством, то нам не нужна диаграмма, чтобы сопоставить их с ним.

Пакеты

Касательный пучок

Дополнительная информация: касательный пучок.

Касательное пространство точки состоит из возможных производных по направлению в этой точке и имеет ту же размерность n, что и многообразие. Для набора (несингулярных) координат x _k , локальных по отношению к точке, производные по координатам $\partial _{k}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}$ определить голономный базис касательного пространства. Совокупность касательных пространств во всех точках, в свою очередь, может быть превращена в многообразие, касательное расслоение , размерность которого равна 2 n . Касательное расслоение — это место, где лежат касательные векторы , и оно само по себе является дифференцируемым многообразием. Лагранжиан — это функция на касательном расслоении. Касательное расслоение можно также определить как расслоение 1- струй из R ( вещественная линия в M. )

Можно построить атлас касательного расслоения, состоящий из карт на основе U _α × R ^н , где U _α обозначает одну из карт атласа для M . Каждая из этих новых карт является касательным расслоением для карт U _α . Карты перехода в этом атласе определяются на основе карт перехода на исходном многообразии и сохраняют исходный класс дифференцируемости.

Котангенс расслоение

Дополнительная информация: котангенс-расслоение.

Двойственное пространство векторного пространства - это набор вещественнозначных линейных функций в векторном пространстве. Кокасательное пространство в точке является двойственным к касательному пространству в этой точке, и элементы называются котангенсными векторами; кокасательное расслоение представляет собой совокупность всех кокасательных векторов вместе с естественной структурой дифференцируемого многообразия.

Как и касательное расслоение, кокасательное расслоение снова является дифференцируемым многообразием. Гамильтониан . является скаляром на кокасательном расслоении Все пространство кокасательного расслоения имеет структуру симплектического многообразия . Котангенсные векторы иногда называют ковекторами . Кокасательное расслоение можно также определить как расслоение 1- струй функций из M в R .

Элементы кокасательного пространства можно рассматривать как бесконечно малые смещения: если f — дифференцируемая функция, мы можем определить в каждой точке p кокасательный вектор df _p , который отправляет касательный вектор X _p к производной f, связанной с X _p . Однако не каждое ковекторное поле можно выразить таким образом. Те, которые могут, называются точными дифференциалами . Для заданного набора локальных координат x ^к , дифференциалы dx ^к
_p образуют основу котангенс пространства в точке p .

Тензорный расслоение

Дополнительная информация: тензорный расслоение

Тензорное расслоение представляет собой прямую сумму всех тензорных произведений касательного и кокасательного расслоений. Каждый элемент расслоения представляет собой тензорное поле , которое может действовать как полилинейный оператор на векторных полях или на других тензорных полях.

Тензорное расслоение не является дифференцируемым многообразием в традиционном смысле, поскольку оно бесконечномерно. Однако это алгебра над кольцом скалярных функций. Каждый тензор характеризуется своими рангами, которые указывают, сколько у него касательных и котангенсов. Иногда эти ранги называют ковариантными и контравариантными рангами, обозначающими касательные и котангенсные ранги соответственно.

Комплект рамок

Дополнительная информация: комплект рамок.

Фрейм (или, точнее, касательный фрейм) — это упорядоченный базис конкретного касательного пространства. Аналогично, касательная рамка является линейным изоморфизмом R ^н к этому касательному пространству. Движущийся касательный кадр представляет собой упорядоченный список векторных полей, которые задают базис в каждой точке своей области определения. Можно также рассматривать движущийся кадр как часть расслоения кадров F( M ), GL( n , R ), главного расслоения состоящего из множества всех кадров M. над Расслоение фреймов полезно, потому что тензорные поля на M можно рассматривать как эквивариантные векторные функции на F( M ).

Реактивные пакеты

Дополнительная информация: реактивный комплект.

На достаточно гладком многообразии также можно рассматривать различные виды струйных расслоений. Касательное расслоение (первого порядка) многообразия — это совокупность кривых в многообразии по модулю отношения эквивалентности контакта первого порядка . По аналогии, касательное расслоение k -го порядка представляет собой совокупность кривых по модулю отношения контакта k -го порядка. Аналогично, кокасательное расслоение — это расслоение 1-струй функций на многообразии: расслоение k -струй — это расслоение их k -струй. Эти и другие примеры общей идеи струйных расслоений играют существенную роль при изучении дифференциальных операторов на многообразиях.

Понятие каркаса также обобщается на случай струй более высокого порядка. Определим фрейм k -го порядка как k -струю диффеоморфизма из R ^н к М. ​ Коллекция всех фреймов k -го порядка, F ^к ( M ), является принципалом G ^к расслоение над M , где G ^к – группа k -струй ; т. е. группа, состоящая из k -струй диффеоморфизмов R ^н которые фиксируют происхождение. Обратите внимание, что GL( n , R ) естественно изоморфен G ¹ и подгруппа каждого G ^к , к ≥ 2 . В частности, раздел F ² ( M ) дает компоненты фрейма соединения на M . Таким образом, факторрасслоение F ² ( M ) / GL( n , R ) — расслоение симметричных линейных связностей над M .

Исчисление на многообразиях

Многие методы многомерного исчисления также применимы с соответствующими изменениями к дифференцируемым многообразиям. Например, можно определить производную по направлению дифференцируемой функции вдоль касательного вектора к многообразию, и это приводит к средству обобщения полной производной функции: дифференциалу. С точки зрения исчисления, производная функции на многообразии ведет себя почти так же, как обычная производная функции, определенной в евклидовом пространстве, по крайней мере, локально . Например, для таких функций существуют версии теорем о неявной и обратной функциях .

Однако существуют важные различия в исчислении векторных полей (и тензорных полей в целом). Короче говоря, производная векторного поля по направлению не определена четко или, по крайней мере, не определена простым способом. Несколько обобщений производной векторного поля (или тензорного поля) действительно существуют и отражают некоторые формальные особенности дифференцирования в евклидовых пространствах. Главными среди них являются:

• , Производная Ли которая однозначно определяется дифференциальной структурой, но не удовлетворяет некоторым обычным функциям дифференцирования по направлениям.
• Аффинная связность , которая не определяется однозначно, но более полно обобщает особенности обычного направленного дифференцирования. Поскольку аффинное соединение не уникально, это дополнительный фрагмент данных, который необходимо указать в многообразии.

Идеи интегрального исчисления переносятся и на дифференциальные многообразия. Они естественным образом выражаются на языке внешнего исчисления и дифференциальных форм . Фундаментальные теоремы интегрального исчисления с несколькими переменными, а именно теорема Грина , теорема о дивергенции и теорема Стокса , обобщаются до теоремы (также называемой теоремой Стокса), связывающей внешнюю производную и интегрирование по подмногообразиям .

Дифференциальное исчисление функций

Дифференцируемые функции между двумя многообразиями необходимы для того, чтобы сформулировать подходящие понятия подмногообразий и других связанных понятий. Если f : M → N — дифференцируемая функция из дифференцируемого многообразия M размерности m дифференцируемое многообразие N размерности n , то дифференциал f в другое является отображением df : TM → T N . Его также обозначают Tf и называют касательным отображением . В каждой точке M это линейное преобразование из одного касательного пространства в другое: $$df(p)\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N.$$Ранг в f p — это ранг . этого линейного преобразования

Обычно ранг функции является поточечным свойством. Однако если функция имеет максимальный ранг, то в окрестности точки ранг останется постоянным. Дифференцируемая функция «обычно» имеет максимальный ранг в точном смысле, заданном теоремой Сарда . Функции максимального ранга в точке называются погружениями и субмерсиями :

• Если m ⩽ n и f : M → N имеет ранг m в точке p ∈ M , то f называется погружением в точке p . Если f — погружение во всех точках M и гомеоморфизм на его образ, то f — вложение . Вложения формализуют представление о том, M является подмногообразием N что . В общем случае вложение — это погружение без самопересечений и других видов нелокальных топологических нарушений.
• Если m ≥ n и f : M → N имеет ранг n в точке p ∈ M , то f называется субмерсией в точке p . Теорема о неявной функции утверждает, что если f является субмерсией в точке p , то M локально является произведением N и R. ^{м - п} возле п . Формально, существуют координаты ( y ₁ , ..., y _n ) в окрестности f ( p ) в N и m − n функций x ₁ , ..., x _{m − n,} определенные в окрестности p в M такое, что $$(y_{1}\circ f,\dotsc ,y_{n}\circ f,x_{1},\dotsc ,x_{m-n})$$ — система локальных координат M в окрестности точки p . Субмерсии составляют основу теории расслоений и расслоений .

Производная лжи

, Производная Ли названная в честь Софуса Ли является производной в алгебре тензорных полей над многообразием M. , Векторное пространство всех производных Ли на M образует бесконечномерную алгебру Ли относительно скобки Ли, определяемой формулой

$$[A,B]:={\mathcal {L}}_{A}B=-{\mathcal {L}}_{B}A.$$

Производные Ли представляются векторными полями как бесконечно малые генераторы потоков ( активных диффеоморфизмов на M. ) Если посмотреть наоборот, то группа диффеоморфизмов M имеет связанную с ней структуру алгебры Ли производных Ли, что прямо аналогично теории групп Ли .

Внешний расчет

Дополнительная информация: дифференциальная форма

Внешнее исчисление позволяет обобщить операторы градиента , дивергенции и ротора .

Пучок дифференциальных форм в каждой точке состоит из всех полностью антисимметричных полилинейных отображений касательного пространства в этой точке. Оно естественным образом разбивается на n -форм для каждого n, не превосходящего размерность многообразия; n - форма — это форма с n -переменными, также называемая формой степени n . 1-формы — это котангенсные векторы, а 0-формы — это просто скалярные функции. В общем, n -форма представляет собой тензор с котангенсным рангом n и касательным рангом 0. Но не каждый такой тензор является формой, поскольку форма должна быть антисимметричной.

Внешняя производная

Основная статья: внешняя производная

Внешняя производная — это линейный оператор в градуированном векторном пространстве всех гладких дифференциальных форм на гладком многообразии. $M$. Обычно его обозначают $d$. Точнее, если $n=\dim(M)$, для $0\leq k\leq n$ оператор $d$ наносит на карту пространство $\Omega ^{k}(M)$ из $k$-формы на $M$ в космос $\Omega ^{k+1}(M)$ из $(k+1)$-формы (если $k>n$ не существует ненулевых $k$-формы на $M$ итак, карта $d$ тождественно равен нулю $n$-формы).

Например, внешний дифференциал гладкой функции $f$ задается в местных координатах $x_{1},\ldots ,x_{n}$, с соответствующим локальным кофреймом $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ по формуле: $$df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}dx_{i}.$$

Внешний дифференциал удовлетворяет следующему тождеству, аналогичному правилу произведения в отношении клинового произведения форм: $$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge d\eta .$$

Внешняя производная также удовлетворяет тождеству $d\circ d=0$. То есть, если $\omega$ это $k$-сформируйте затем $(k+2)$-форма $d(df)$ тождественно исчезает. Форма $\omega$ такой, что $d\omega =0$ называется закрытой , а форма $\omega$ такой, что $\omega =d\eta$ для какой-то другой формы $\eta$ называется точным . Другая формулировка тождества $d\circ d=0$ заключается в том, что точная форма закрыта. Это позволяет определить когомологии де Рама многообразия $M$, где $k$группа когомологий является факторгруппой замкнутых форм на $M$ по точным формам на $M$.

Топология дифференцируемых многообразий

Связь с топологическими многообразиями

Предположим, что $M$ является топологическим $n$-многообразие.

Если дан любой гладкий атлас $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}$, то легко найти гладкий атлас, определяющий другую структуру гладкого многообразия на $M;$ рассмотрим гомеоморфизм $\Phi :M\to M$ который не является гладким относительно данного атласа; например, можно изменить локализованный негладкий выступ карты идентичности. Тогда рассмотрите новый атлас $\{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A},$ который легко проверяется как гладкий атлас. Однако диаграммы в новом атласе не полностью совместимы с диаграммами в старом атласе, поскольку для этого потребуется $\phi _{\alpha }\circ \Phi \circ \phi _{\beta }^{-1}$ и $\phi _{\alpha }\circ \Phi ^{-1}\circ \phi _{\beta }^{-1}$ гладкие для любого $\alpha$ и $\beta ,$ причем эти условия являются именно тем определением, которое оба $\Phi$ и $\Phi ^{-1}$ являются гладкими, что противоречит тому, как $\Phi$ был выбран.

Используя это наблюдение в качестве мотивации, можно определить отношение эквивалентности в пространстве гладких атласов на $M$ заявив, что гладкие атласы $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}$ и $\{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B}$ эквивалентны, если существует гомеоморфизм $\Phi :M\to M$ такой, что $\{(\Phi ^{-1}(U_{\alpha }),\phi _{\alpha }\circ \Phi )\}_{\alpha \in A}$ плавно совместим с $\{(V_{\beta },\psi _{\beta })\}_{\beta \in B},$ и такое, что $\{(\Phi (V_{\beta }),\psi _{\beta }\circ \Phi ^{-1})\}_{\beta \in B}$ плавно совместим с $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}.$

Короче говоря, можно сказать, что два гладких атласа эквивалентны, если существует диффеоморфизм $M\to M,$ в котором один гладкий атлас берется за область, а другой гладкий атлас — за диапазон.

Обратите внимание, что это отношение эквивалентности является уточнением отношения эквивалентности, которое определяет гладкую структуру многообразия, поскольку любые два гладко совместимых атласа также совместимы в настоящем смысле; можно взять $\Phi$ быть картой идентичности.

Если размерность $M$ равно 1, 2 или 3, то существует гладкая структура на $M$, и все различные гладкие структуры эквивалентны в указанном выше смысле. В более высоких измерениях ситуация сложнее, хотя она и не до конца понятна.

• Некоторые топологические многообразия не допускают гладких структур, как первоначально было показано на десятимерном примере Кервером (1960) . Основное применение уравнений в частных производных в дифференциальной геометрии, предложенное Саймоном Дональдсоном , в сочетании с результатами Майкла Фридмана , показывает, что многие односвязные компактные топологические 4-многообразия не допускают гладких структур. Хорошо известным частным примером Е8 _{многообразие} является .
• Некоторые топологические многообразия допускают множество гладких структур, неэквивалентных в указанном выше смысле. Первоначально это было обнаружено Джоном Милнором в форме экзотических 7-сфер .

Классификация

Каждое одномерное связное гладкое многообразие диффеоморфно либо $\mathbb {R}$ или $S^{1},$ каждый со своей стандартной гладкой структурой.

Классификацию гладких 2-многообразий см. в разделе Surface . Частный результат состоит в том, что каждое двумерное связное компактное гладкое многообразие диффеоморфно одному из следующих: $S^{2},$ или $(S^{1}\times S^{1})\sharp \cdots \sharp (S^{1}\times S^{1}),$ или $\mathbb {RP} ^{2}\sharp \cdots \sharp \mathbb {RP} ^{2}.$ Ситуация становится более нетривиальной , если вместо гладкой структуры рассматривать комплексно-дифференцируемую структуру.

В трех измерениях ситуация несколько сложнее, и известные результаты более косвенны. Замечательным результатом, доказанным в 2002 году методами уравнений в частных производных , является гипотеза геометризации , в общих чертах утверждающая, что любое компактное гладкое 3-многообразие можно разбить на различные части, каждая из которых допускает римановы метрики, обладающие множеством симметрий. Существуют также различные «результаты распознавания» геометризуемых 3-многообразий, такие как жесткость Мостоу и алгоритм Села для проблемы изоморфизма для гиперболических групп.

Классификация n- многообразий при n больше трёх, как известно, невозможна даже с точностью до гомотопической эквивалентности . По любой конечно представленной группе можно построить замкнутое 4-многообразие, имеющее эту группу в качестве фундаментальной группы. Поскольку не существует алгоритма решения проблемы изоморфизма для конечно представленных групп, не существует и алгоритма, позволяющего решить, имеют ли два 4-многообразия одну и ту же фундаментальную группу. Поскольку описанная ранее конструкция приводит к классу 4-многообразий, которые гомеоморфны тогда и только тогда, когда их группы изоморфны, проблема гомеоморфизма 4-многообразий неразрешима . Кроме того, поскольку даже распознавание тривиальной группы неразрешимо, вообще невозможно даже решить, имеет ли многообразие тривиальную фундаментальную группу, т. е. является ли оно односвязным .

Односвязные 4-многообразия были классифицированы Фридманом с точностью до гомеоморфизма с использованием формы пересечения и инварианта Кирби – Зибенмана . Теория гладких 4-многообразий, как известно, гораздо сложнее, поскольку экзотические гладкие структуры на R ⁴ продемонстрировать.

Однако ситуация становится более приемлемой для односвязных гладких многообразий размерности ≥ 5, где теорема о h-кобордизме может использоваться для сведения классификации к классификации с точностью до гомотопической эквивалентности и теория перестроек . может быть применена для явной классификации односвязных 5-многообразий Это было сделано Деннисом Барденом .

Структуры на гладких многообразиях

(Псевдо-)римановы многообразия

Основная статья: Риманово многообразие

Дополнительная информация: Псевдориманово многообразие.

состоит Риманово многообразие из гладкого многообразия вместе с положительно определенным скалярным произведением в каждом из отдельных касательных пространств. Этот набор скалярных произведений называется римановой метрикой и, естественно, является симметричным 2-тензорным полем. Эта «метрика» идентифицирует естественный изоморфизм векторного пространства. $T_{p}M\to T_{p}^{\ast }M$ для каждого $p\in M.$ На римановом многообразии можно определить понятия длины, объема и угла. Любому гладкому многообразию можно задать множество различных римановых метрик.

Псевдориманово многообразие (также называемое полуримановым многообразием) — это обобщение понятия риманова многообразия , в котором скалярным произведениям разрешено иметь неопределенную сигнатуру , а не быть положительно определенными ; они по-прежнему должны быть невырожденными. Каждое гладкое псевдориманово и риманово многообразие определяет ряд связанных с ним тензорных полей, таких как тензор кривизны Римана . Лоренцевы многообразия — это псевдоримановы многообразия сигнатуры $(n-1,1)$; дело $n=4$ является фундаментальным в общей теории относительности . Не каждому гладкому многообразию можно придать нериманову псевдориманову структуру; на это существуют топологические ограничения.

Финслерово многообразие — это другое обобщение риманова многообразия, в котором скалярное произведение заменено векторной нормой ; как таковое, это позволяет определить длину, но не угол.

Симплектические многообразия

Основная статья: симплектическое многообразие

Симплектическое многообразие — это многообразие, снабженное невырожденной замкнутой 2 -формой . Это условие заставляет симплектические многообразия быть четномерными из-за того, что кососимметричные $(2n+1)\times (2n+1)$ все матрицы имеют нулевой определитель. Есть два основных примера:

• Кокасательные расслоения, которые возникают как фазовые пространства в гамильтоновой механике , являются мотивирующим примером, поскольку они допускают естественную симплектическую форму .
• Все ориентированные двумерные римановы многообразия. $(M,g)$ естественным образом являются симплектическими, определяя форму $\omega (u,v)=g(u,J(v))$ где для любого $v\in T_{p}M,$ $J(v)$ обозначает вектор такой, что $v,J(v)$ является ориентированным $g_{p}$-ортонормированный базис $T_{p}M.$

Группы лжи

Основная статья: Группа Лия

Группа Ли состоит из C ^∞ многообразие $G$ вместе со структурой группы на $G$ такие, что произведение и инверсия отображаются $m:G\times G\to G$ и $i:G\to G$ гладки как отображения многообразий. Эти объекты часто возникают естественным образом при описании (непрерывных) симметрий и служат важным источником примеров гладких многообразий.

Однако многим знакомым примерам гладких многообразий не может быть придана структура группы Ли, поскольку для данной группы Ли $G$ и любой $g\in G$, можно рассмотреть карту $m(g,\cdot ):G\to G$ который отправляет элемент идентификации $e$ к $g$ и, следовательно, рассматривая дифференциал $T_{e}G\to T_{g}G,$ дает естественную идентификацию между любыми двумя касательными пространствами группы Ли. В частности, рассматривая произвольный ненулевой вектор в $T_{e}G,$ можно использовать эти отождествления, чтобы получить гладкое неисчезающее векторное поле на $G.$ Это показывает, например, что ни одна четномерная сфера не может поддерживать структуру группы Ли. В более общем плане тот же аргумент показывает, что каждая группа Ли должна быть распараллеливаема .

Альтернативные определения

Псевдогруппы

Понятие псевдогруппы обеспечивает гибкое обобщение атласов, позволяющее единообразным образом определять множество различных структур на многообразиях. Псевдогруппа состоит из топологического пространства S и набора Γ, состоящего из гомеоморфизмов открытых подмножеств S в другие открытые подмножества S таких, что

1. Если f ∈ Γ и U — открытое подмножество области определения f , то ограничение f | _U также находится в Γ.
2. Если f — гомеоморфизм объединения открытых подмножеств S , $\cup _{i}\,U_{i}$, к открытому подмножеству S , то f ∈ Γ при условии, что $f|_{U_{i}}\in \Gamma$ для каждого я .
3. Для любого открытого U ⊂ S тождественное преобразование U находится в Γ.
4. Если f ∈ Γ , то f ⁻¹ € С.
5. Композиция двух элементов из Γ находится в Γ.

Эти последние три условия аналогичны определению группы . Однако обратите внимание, что Γ не обязательно должна быть группой, поскольку функции не определены глобально на S . Например, коллекция всех локальных C ^к диффеоморфизмы на R ^н образовать псевдогруппу. Все биголоморфизмы между открытыми множествами в C ^н образовать псевдогруппу. Дополнительные примеры включают: карты R, сохраняющие ориентацию. ^н , симплектоморфизмы , преобразования Мёбиуса , аффинные преобразования и так далее. Таким образом, псевдогруппы определяются множеством функциональных классов.

Атлас ( U _i , φ _i ) гомеоморфизмов φ _i из U _i ⊂ M в открытые подмножества топологического пространства S называется совместимым с псевдогруппой Γ при условии, что функции перехода φ _j ∘ φ _i ⁻¹ : φ _i ( U _i ∩ U _j ) → φ _j ( U _i ∩ U _j ) все находятся в Γ.

Дифференцируемое многообразие тогда является атласом, совместимым с псевдогруппой C ^к функции на R ^н . Комплексное многообразие — это атлас, совместимый с биголоморфными функциями на открытых множествах в C. ^н . И так далее. Таким образом, псевдогруппы обеспечивают единую основу для описания многих структур на многообразиях, важных для дифференциальной геометрии и топологии.

Связка структуры

Иногда может быть полезно использовать альтернативный подход, чтобы наделить многообразие буквой C. ^к -структура. Здесь k = 1, 2, ..., ∞ или ω для вещественных аналитических многообразий. Вместо рассмотрения координатных карт можно начать с функций, определенных на самом многообразии. Структурный пучок M C , обозначенный ^к , является своего рода функтором , который определяет для каждого открытого множества U ⊂ M алгебру C ^к ( U ) непрерывных функций U → R . Структурный пучок C ^к говорят, что придает M структуру C ^к многообразие размерности n условии, что для любого p ∈ M существует окрестность U p n и x функций при ¹ , ..., х ^н ∈ С ^к ( U ) такой, что отображение f = ( x ¹ , ..., х ^н ) : У → Р ^н является гомеоморфизмом на открытое множество в R ^н , и такой, что C ^к | _U — k образ пучка -раз непрерывно дифференцируемых функций на R ^н .

В частности, последнее условие означает, что любая функция h из C ^к ( V ) для V можно однозначно записать как h ( x ) = H ( x ¹ ( х ), ..., х ^н ( x )) , где H - k -раз дифференцируемая функция на f ( V ) (открытое множество в R ^н ). Таким образом, точка зрения теории пучков состоит в том, что функции на дифференцируемом многообразии могут быть выражены в локальных координатах как дифференцируемые функции на R ^н , и тем более этого достаточно для характеристики дифференциальной структуры на многообразии.

Связки локальных колец

Похожий, но более технический подход к определению дифференцируемых многообразий можно сформулировать, используя понятие кольцевого пространства . Этот подход находится под сильным влиянием теории схем алгебраической геометрии , но использует локальные кольца ростков . дифференцируемых функций Он особенно популярен в контексте сложных многообразий.

Начнем с описания базового структурного пучка на R ^н . Если U — открытое множество в R ^н , позволять

О ( U ) = С ^к ( У , Р )

состоят из всех вещественных k -кратно непрерывно дифференцируемых функций на U . Изменение U определяет пучок колец на R ^н . Стебель O _p для p ∈ R ^н состоит из ростков функций вблизи p является алгеброй над R. и В частности, это локальное кольцо , единственный максимальный идеал которого состоит из тех функций, которые обращаются в нуль в точке p . Пара ( Р ^н , O ) является примером локально окольцованного пространства : это топологическое пространство, снабженное пучком, каждое из стеблей которого является локальным кольцом.

Дифференцируемое многообразие (класса C ^к ) состоит из пары ( M , O _M ) , где M — второе счетное хаусдорфово пространство , а O _M — пучок локальных R -алгебр, определенных на M , таких, что локально окольцованное пространство ( M , O _M ) локально изоморфно. до ( Р ^н , О ) . Таким образом, дифференцируемые многообразия можно рассматривать как схемы , моделируемые на R ^н . Это означает, что для каждой точки p ∈ M существует окрестность U точки p и пара функций ( f , f ^# ) , где

1. ж : U → ж ( U ) ⊂ р ^н является гомеоморфизмом на открытое множество в R ^н .
2. ж ^# : О | _{f ( U )} → f _∗ ( O _M | _U ) — изоморфизм пучков.
3. Локализация f ^# является изоморфизмом локальных колец

ж ^# _{ж ( п )} : О _{ж ( п )} → О _{M , п} .

Существует ряд важных причин для изучения дифференцируемых многообразий в рамках этой абстрактной структуры. Во-первых, не существует априорной причины, по которой модельное пространство должно быть R ^н . Например, (в частности, в алгебраической геометрии ) это можно считать пространством комплексных чисел C ^н снабженный пучком голоморфных функций (таким образом придя к пространствам комплексной аналитической геометрии ) или пучком полиномов (таким образом придя к пространствам, представляющим интерес в комплексной алгебраической геометрии). В более широком смысле это понятие можно адаптировать для любого подходящего понятия схемы (см. теорию топоса ). Во-вторых, координаты больше не являются явно необходимыми для построения. Аналогом системы координат является пара ( f , f ^# ) , но они лишь количественно выражают идею локального изоморфизма , а не являются центральными в обсуждении (как в случае с диаграммами и атласами). В-третьих, пучок ОМ _вовсе не является явно пучком функций. Скорее, он возникает как пучок функций в результате построения (через факторы локальных колец по их максимальным идеалам). Следовательно, это более примитивное определение структуры (см. синтетическая дифференциальная геометрия ).

Последним преимуществом этого подхода является то, что он позволяет естественным образом давать прямые описания многих фундаментальных объектов исследования дифференциальной геометрии и топологии.

• Котангенс пространство в точке равно I _p / I _p. ² , где I _p — максимальный идеал стебля O _{M , p} .
• В общем, все кокасательное расслоение можно получить аналогичным методом ( см. В коткасательном расслоении ). подробнее
• К рядам Тейлора (и струям ) можно подойти независимо от координат, используя I _p -адическую фильтрацию на O _{M , p} .
• Касательное расслоение (точнее, его пучок сечений) можно отождествить с пучком морфизмов в _OM кольцо двойственных чисел .

Обобщения

Категория гладких многообразий с гладкими отображениями лишена некоторых желательных свойств, и люди пытались обобщить гладкие многообразия , чтобы исправить это. В диффеологических пространствах используется другое понятие диаграммы, известное как «сюжет». пространства Фрелихера и орбифолды Другими попытками являются .

Спрямляемое множество обобщает идею кусочно-гладкой или спрямляемой кривой на более высокие измерения; однако спрямляемые множества не входят в общие многообразия.

Банаховы многообразия и многообразия Фреше , в частности многообразия отображений являются бесконечномерными дифференцируемыми многообразиями.

Некоммутативная геометрия

На С ^к многообразие M , множество вещественных C ^к Функции на многообразии образуют алгебру при поточечном сложении и умножении, называемую алгеброй скалярных полей или просто алгеброй скаляров . Эта алгебра имеет постоянную функцию 1 как мультипликативное тождество и является дифференцируемым аналогом кольца регулярных функций в алгебраической геометрии.

Можно восстановить многообразие по его алгебре скаляров, сначала как набор, но также и как топологическое пространство – это применение теоремы Банаха – Стоуна , более формально известное как спектр C*-алгебры. . Во-первых, существует взаимно однозначное соответствие между точками M и гомоморфизмами алгебры φ : C ^к ( M ) → R , поскольку такой гомоморфизм φ соответствует идеалу коразмерности один в C ^к ( M ) (а именно ядро ​​φ ), которое обязательно является максимальным идеалом. Наоборот, каждый максимальный идеал в этой алгебре является идеалом функций, исчезающих в одной точке, что показывает, что MSpec (Max Spec) C ^к ( M ) восстанавливает M как множество точек, хотя на самом деле оно восстанавливает M как топологическое пространство.

Можно определить различные геометрические структуры алгебраически в терминах алгебры скаляров, и эти определения часто обобщаются на алгебраическую геометрию (геометрическая интерпретация колец) и теория операторов (геометрическая интерпретация банаховых пространств). Например, касательное расслоение к M можно определить как дифференцирование алгебры гладких функций на M .

Эта «алгебраизация» многообразия (замена геометрического объекта алгеброй) приводит к понятию C*-алгебры - коммутативной C*-алгебры, являющейся в точности кольцом скаляров многообразия, по Банаху – Стоуну, и позволяет рассматривать некоммутативные С*-алгебры как некоммутативные обобщения многообразий. Это основа области некоммутативной геометрии .

См. также

• Аффинное соединение
• Атлас (топология)
• Символы Кристофера
• Введение в математику общей теории относительности
• Список формул римановой геометрии
• Риманова геометрия
• Космос (математика)

Библиография

• Дональдсон, Саймон (1983). «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии» . Журнал дифференциальной геометрии . 18 (2): 279–315. дои : 10.4310/jdg/1214437665 .
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90244-9 .
• «Дифференцируемое многообразие» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Кервер, Мишель А. (1960). «Многообразие, не допускающее никакой дифференцируемой структуры». математические комментарии Гельветийские 34 (1): 257–270. дои : 10.1007/BF02565940 . S2CID   120977898 . .
• Кобаяши, Шошичи (1972). Группы преобразований в дифференциальной геометрии . Спрингер.
• Ли, Джеффри М. (2009), Многообразия и дифференциальная геометрия , Аспирантура по математике , том. 107, Провиденс: Американское математическое общество , ISBN.  9780821848159 .
• Леви-Чивита, Туллио (1927). «Абсолютное дифференциальное исчисление (тензорное исчисление)». Природа . 120 (3024): 542–543. Бибкод : 1927Natur.120..542B . дои : 10.1038/120542a0 . S2CID   4109613 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Мурдейк, Ике (1992). Пучки в геометрии и логике . Спрингер. ISBN  0-387-97710-4 .
• Милнор, Джон (1956). «О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере». Анналы математики . 64 (2): 399–405. дои : 10.2307/1969983 . JSTOR   1969983 .
• Раницки, Эндрю (2002). Алгебраическая и геометрическая хирургия . Оксфордские математические монографии, Clarendon Press. ISBN  0-19-850924-3 .
• Риччи-Курбастро, Грегорио; Леви-Чивита, Туллио (1901). Методы абсолютного дифференциального исчисления .
• Риччи-Курбастро, Грегорио (1888). О ковариантных и контравариантных выводах и их использовании в прикладном анализе (на итальянском языке).
• Риман, Бернхард (1867). «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» . Трактаты Королевского общества наук в Геттингене . 13 .
• Села, Злил (1995). «Проблема изоморфизма гиперболических групп. I». Анналы математики . 141 (2): 217–283. дои : 10.2307/2118520 . JSTOR   2118520 .
• Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис-Холл.
• Вайсштейн, Эрик В. «Гладкое многообразие» . Проверено 4 марта 2008 г.

• Вейль, Герман (1955). Идея римановой поверхности . Тойбнер.
• Уитни, Хасслер (1936). «Дифференцируемые многообразия». Анналы математики . 37 (3): 645–680. дои : 10.2307/1968482 . JSTOR   1968482 .