Актуарная наука

смертности ( жизни ) в США, 2003 г., таблица 1, стр. 1 Таблица

Актуарная наука — это дисциплина, которая применяет математические и статистические методы для оценки риска в страховании , пенсионном , финансовом , инвестиционном и других отраслях и профессиях. В более общем плане актуарии применяют строгую математику для моделирования вопросов неопределенности и ожидаемой продолжительности жизни.

Актуарии – это профессионалы, прошедшие подготовку в этой дисциплине. Во многих странах актуарии должны продемонстрировать свою компетентность, сдав серию строгих профессиональных экзаменов, ориентированных на такие области, как вероятностный и прогнозный анализ.

Актуарная наука включает в себя ряд взаимосвязанных предметов, включая математику, теорию вероятностей , статистику, финансы, экономику , финансовый учет и информатику . Исторически актуарная наука использовала детерминированные модели при построении таблиц и премий. Наука претерпела революционные изменения с 1980-х годов благодаря распространению высокоскоростных компьютеров и объединению стохастических актуарных моделей с современной финансовой теорией.

Во многих университетах есть программы бакалавриата и магистратуры в области актуарной науки. В 2010 году Исследование, опубликованное сайтом по поиску работы CareerCast, поставило актуария на первое место вакансий в США. В исследовании использовались пять ключевых критериев для ранжирования рабочих мест: окружающая среда, доход, перспективы трудоустройства, физические требования и стресс. В 2023 году издание US News & World Report поставило актуария на восьмое место в бизнес-секторе и на 13-е место в STEM .

Подполя

Страхование жизни, пенсии и здравоохранение

Актуарная наука стала формальной математической дисциплиной в конце 17 века с возросшим спросом на долгосрочное страховое покрытие, такое как погребение, страхование жизни и аннуитеты. Эти долгосрочные страховые покрытия требовали, чтобы деньги были отложены для выплаты будущих пособий, таких как аннуитет и пособие в случае смерти, через много лет в будущем. Это требует оценки будущих непредвиденных событий, таких как уровень смертности по возрастам, а также разработки математических методов дисконтирования стоимости отложенных и инвестированных средств. Это привело к разработке важной актуарной концепции, называемой текущей стоимостью будущей суммы. Некоторые аспекты актуарных методов дисконтирования пенсионных фондов подверглись критике со стороны современной финансовой экономики .

• В традиционном страховании жизни актуарная наука фокусируется на анализе смертности , составлении таблиц смертности и применении сложных процентов для страхования жизни, аннуитетов и полисов пожертвований. Современные программы страхования жизни были расширены и теперь включают страхование кредитов и ипотечных кредитов, страхование ключевых лиц для малого бизнеса, страхование на случай длительного ухода и медицинские сберегательные счета .
• В медицинском страховании, включая страхование, предоставляемое непосредственно работодателями, и социальном страховании актуарная наука фокусируется на анализе показателей инвалидности, заболеваемости, смертности, рождаемости и других непредвиденных обстоятельств. Большое значение также имеет влияние потребительского выбора и географического распределения использования медицинских услуг и процедур, а также использования лекарств и методов лечения. Эти факторы легли в основу разработки шкалы относительной ценности ресурсов (RBRVS) в Гарварде в рамках междисциплинарного исследования. Актуарная наука также помогает в разработке структур льгот, стандартов возмещения и влияния предлагаемых государственных стандартов на стоимость здравоохранения.
• В пенсионной отрасли актуарные методы используются для измерения затрат на альтернативные стратегии в отношении разработки, финансирования, учета, администрирования, а также обслуживания или реорганизации пенсионных планов. На стратегии большое влияние оказывают ставки по краткосрочным и долгосрочным облигациям, фондируемый статус пенсий и пособий, коллективные переговоры ; старые, новые и зарубежные конкуренты работодателя; меняющаяся демография рабочей силы; изменения во внутреннем налоговом кодексе; изменения в подходе налоговой службы к расчету профицита; и, что не менее важно, как краткосрочные, так и долгосрочные финансовые и экономические тенденции. При слияниях и поглощениях часто приходится объединять несколько пенсионных планов или, по крайней мере, управлять ими на справедливой основе. Когда происходят изменения в льготах, старые и новые планы льгот приходится смешивать, удовлетворяя новые социальные требования и различные расчеты государственных тестов на дискриминацию, а также предоставляя сотрудникам и пенсионерам понятный выбор и пути перехода. Обязательства по пенсионным планам должны быть правильно оценены, отражая как заработанные вознаграждения за прошлую службу, так и вознаграждения за будущую службу. Наконец, необходимо разработать схемы финансирования, которые были бы управляемыми и удовлетворяли бы совет по стандартам или регулирующие органы соответствующей страны, такие как Совет по стандартам финансового учета в США.
• Что касается программ социального обеспечения, Управление главного актуария (OCACT), Администрация социального обеспечения планирует и руководит программой актуарных оценок и анализа, касающихся программ пенсионного страхования, страхования по случаю потери кормильца и инвалидности, находящихся под управлением SSA, а также предлагаемых изменений в этих программах. Он оценивает деятельность Федерального целевого фонда страхования по старости и потере кормильца и Федерального целевого фонда страхования по инвалидности, проводит исследования финансирования программ, проводит актуарные и демографические исследования по социальному страхованию и связанным с ним программным вопросам, включая смертность, заболеваемость, использование, выход на пенсию, инвалидность. , выживание, брак, безработица, бедность, старость, семьи с детьми и т. д., а также прогнозирует будущую рабочую нагрузку. Кроме того, Управлению поручено провести анализ затрат, связанных с программой дополнительного социального дохода (SSI), финансируемой из общих доходов и проверяемой на нуждаемость программой для престарелых, слепых и инвалидов с низкими доходами. Офис предоставляет технические и консультативные услуги комиссару, попечительскому совету трастовых фондов социального обеспечения, а его сотрудники предстают перед комитетами Конгресса для предоставления экспертных показаний по актуарным аспектам вопросов социального обеспечения.

Приложения к другим видам страхования

Актуарная наука также применяется к имущественному страхованию , страхованию от несчастных случаев , ответственности и общему страхованию . В этих формах страхования покрытие обычно предоставляется на возобновляемый период (например, ежегодно). Покрытие может быть аннулировано в конце периода любой из сторон.

имущества и Компании по страхованию от несчастных случаев имеют тенденцию специализироваться из-за сложности и разнообразия рисков. Одно из подразделений призвано организовать личное и коммерческое страхование. Личные линии страхования предназначены для частных лиц и включают страхование от пожара, автомобилей, домовладельцев, краж и зонтичных страховок. Коммерческие направления удовлетворяют потребности бизнеса в страховании и включают в себя имущество, продолжение бизнеса, ответственность за качество продукции, автопарк/коммерческий транспорт, компенсацию работникам, страхование верности и поручительства, а также страхование D&O . Страховая отрасль также обеспечивает покрытие таких рисков, как катастрофы, риски, связанные с погодой, землетрясения, нарушение патентных прав и другие формы корпоративного шпионажа, терроризм и «единственные в своем роде» (например, запуск спутника). Актуарная наука предоставляет инструменты сбора, измерения, оценки, прогнозирования и оценки данных для предоставления финансовым и страховым данным руководству для оценки маркетинговых возможностей и характера рисков. Актуарная наука часто помогает оценить общий риск катастрофических событий с точки зрения страховой способности или профицита.

В области перестрахования актуарная наука может использоваться для разработки и оценки соглашений о перестраховании и ретроцессии, а также для создания резервных фондов для известных претензий, будущих претензий и катастроф.

Актуарии в уголовном правосудии

Растет тенденция к признанию того, что актуарные навыки могут быть применены к целому ряду приложений, выходящих за рамки традиционных областей страхования, пенсий и т. д. Одним из ярких примеров является использование в некоторых штатах США актуарных моделей для установления руководящих принципов вынесения уголовных приговоров. Эти модели пытаются предсказать вероятность повторного правонарушения в соответствии с рейтинговыми факторами, которые включают тип преступления, возраст, образование и этническую принадлежность правонарушителя. Однако эти модели подвергались критике как оправдывающие дискриминацию конкретных этнических групп со стороны сотрудников правоохранительных органов. Является ли это статистически правильным или самореализующаяся корреляция, остается предметом споров.

Другим примером является использование актуарных моделей для оценки риска рецидива сексуальных преступлений. Актуарные модели и связанные с ними таблицы, такие как MnSOST-R, Static-99 и SORAG, используются с конца 1990-х годов для определения вероятности того, что сексуальный преступник совершит повторное преступление и, следовательно, следует ли его или ее поместить в специализированное учреждение или посадить в тюрьму. бесплатно.

Актуарная наука, связанная с современной финансовой экономикой

Традиционная актуарная наука и современная финансовая экономика в США имеют разные практики, что вызвано разными способами расчета финансирования и инвестиционных стратегий, а также разными правилами.

Положения взяты из расследования Армстронга 1905 года , Закона Гласса-Стигола 1932 года , принятия резерва обязательной оценки ценных бумаг Национальной ассоциацией комиссаров по страхованию , который смягчал колебания рынка, и Совета по стандартам финансового учета (FASB) в США и Канада, которая регулирует оценку и финансирование пенсий.

История

См. Также: Актуарий § История

Исторически сложилось так, что большая часть основ актуарной теории предшествовала современной финансовой теории. В начале двадцатого века актуарии разработали множество методов, которые можно найти в современной финансовой теории, но по различным историческим причинам эти разработки не получили большого признания.

В результате актуарная наука развивалась по другому пути, став более зависимой от предположений, в отличие от безарбитражных и нейтральных к риску концепций оценки, используемых в современных финансах. Расхождение не связано с использованием исторических данных и статистических прогнозов денежных потоков по обязательствам, а вызвано тем, как традиционные актуарные методы применяют рыночные данные с этими цифрами. Например, один традиционный актуарный метод предполагает, что изменение структуры распределения активов в инвестициях может изменить стоимость обязательств и активов (путем изменения допущения о ставке дисконтирования ). Эта концепция несовместима с финансовой экономикой .

Потенциал современной теории финансовой экономики в качестве дополнения к существующей актуарной науке был признан актуариями в середине двадцатого века. В конце 1980-х и начале 1990-х годов актуарии предпринимали явные усилия по объединению финансовой теории и стохастических методов в свои устоявшиеся модели. Идеи финансовой экономики становились все более влиятельными в актуарном мышлении, и актуарная наука начала охватывать более сложное математическое моделирование финансов. Сегодня профессионалы, как на практике, так и в учебных программах многих актуарных организаций, осознают необходимость отражения комбинированного подхода таблиц, моделей потерь, стохастических методов и финансовой теории. Однако концепции, основанные на предположениях, по-прежнему широко используются (например, установление предположения о ставке дисконтирования, как упоминалось ранее), особенно в Северной Америке.

Дизайн продукта добавляет еще одно измерение в дискуссию. Экономисты-финансисты утверждают, что пенсионные выплаты аналогичны облигациям и не должны финансироваться за счет инвестиций в акционерный капитал без учета рисков недостижения ожидаемой прибыли. Однако некоторые пенсионные продукты действительно отражают риски неожиданных доходов. В некоторых случаях риск принимает на себя получатель пенсии или работодатель. Текущие дебаты сейчас, похоже, сосредоточены на четырех принципах:

1. финансовые модели должны быть свободны от арбитража.
2. активы и обязательства с идентичными денежными потоками должны иметь одинаковую цену. Это противоречит ФАСБ .
3. стоимость актива не зависит от его финансирования.
4. как следует инвестировать пенсионные активы

По сути, финансовая экономика утверждает, что пенсионные активы не следует инвестировать в акции по ряду теоретических и практических причин.

Предварительная формализация

Элементарные соглашения о взаимопомощи и пенсии возникли еще в древности. В начале Римской империи были созданы ассоциации для покрытия расходов на захоронение, кремацию и памятники — предшественники страхования погребений и обществ дружбы . Небольшая сумма выплачивалась в общинный фонд еженедельно, и после смерти члена фонд покрывал расходы на обряды и похороны. Эти общества иногда продавали акции в здании колумбарий или усыпальниц, принадлежащих фонду — предшественнику компаний взаимного страхования . Другие ранние примеры договоров о взаимном поручительствах и гарантиях можно отнести к различным формам товарищества внутри саксонских кланов Англии и их германских предков, а также к кельтскому обществу. Однако многие из этих более ранних форм поручительства и помощи часто терпели неудачу из-за отсутствия понимания и знаний.

Начальная разработка

17 век был периодом развития математики в Германии, Франции и Англии. В то же время быстро росло желание и потребность поставить оценку личного риска на более научную основу. Независимо друг от друга сложные проценты изучались , и теория вероятностей возникла как хорошо понимаемая математическая дисциплина. Еще одно важное достижение было сделано в 1662 году лондонским торговцем тканями , отцом демографии , Джоном Граунтом , который показал, что существуют предсказуемые закономерности продолжительности жизни и смерти в группе или когорте людей одного и того же возраста, несмотря на неопределенность даты. смерти какого-либо отдельного человека. Это исследование стало основой для оригинальной таблицы смертности . Теперь можно было создать схему страхования для обеспечения страхования жизни или пенсий для группы людей и с некоторой степенью точности рассчитать, какой размер каждый человек в группе должен внести в общий фонд, который, как предполагается, будет приносить фиксированную процентную ставку. Первым, кто публично продемонстрировал, как это можно сделать, был Эдмонд Галлей ( прославившийся кометой Галлея ). Галлей построил свою собственную таблицу смертности и показал, как ее можно использовать для расчета суммы премии , которую человек определенного возраста должен заплатить для приобретения пожизненной ренты.

Ранние актуарии

Новаторская работа Джеймса Додсона над долгосрочными договорами страхования, по которым каждый год взимается одна и та же премия, привела к созданию Общества справедливых гарантий жизни и выживания (теперь широко известного как Equitable Life ). в Лондоне в 1762 году Уильяма Моргана часто считают отцом современной актуарной науки за его работы в этой области в 1780-х и 90-х годах. В течение следующих 200 лет было создано множество других компаний по страхованию жизни и пенсионных фондов. Компания Equitable Life была первой, кто использовал слово «актуарий» для обозначения своего главного исполнительного директора в 1762 году. Раньше «актуарий» означал должностное лицо, которое записывало решения или «действия» церковных судов. Другие компании, которые не использовали такие математические и научные методы, чаще всего терпели неудачу или были вынуждены принять методы, впервые предложенные Equitable.

Технологические достижения

В XVIII и XIX веках расчеты проводились без компьютеров. Расчеты премий по страхованию жизни и требований к резервированию довольно сложны, и актуарии разработали методы, позволяющие максимально упростить расчеты, например, «функции коммутации» (по сути, предварительно рассчитанные столбцы суммирования во времени дисконтированных значений вероятностей выживания и смерти). Актуарные организации были созданы для поддержки и развития актуариев и актуарной науки, а также для защиты общественных интересов путем продвижения компетентности и этических стандартов. Однако расчеты оставались громоздкими, а актуарные упрощения были обычным явлением. Актуарии, занимающиеся страхованием жизни, пошли по стопам своих коллег по страхованию жизни в 20 веке. Пересмотр в 1920 году ставок Национального совета по компенсационному страхованию рабочих, базирующегося в Нью-Йорке, потребовал более двух месяцев круглосуточной работы дневных и ночных групп актуариев. В 1930-е и 1940-е годы были разработаны математические основы случайных процессов. Актуарии теперь могли начать оценивать убытки, используя модели случайных событий вместо детерминистических методов, которые они использовали в прошлом. Внедрение и развитие компьютеров произвели дальнейшую революцию в актуарной профессии. От карандаша и бумаги до перфокарт и современных высокоскоростных устройств способность актуария к моделированию и прогнозированию быстро улучшилась, хотя по-прежнему сильно зависит от допущений, заложенных в модели, и актуариям необходимо приспосабливаться к этому новому миру.

См. также

• Цикл актуарного контроля
• Актуарный экзамен
• Актуарная запись
• Актуарная приведенная стоимость
• Теория черного лебедя
• Категория:Актуарные ассоциации
• Интеллектуальный анализ данных
• Список актуарных тем
• Актуарная премия по перестрахованию
• Теория руин
• Оптимизация сценария

Ссылки

Цитируемые работы

• Бюльманн, Ганс (ноябрь 1997 г.). «Актуарий: роль и ограничения профессии с середины XIX века» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 27 (2): 165–171. дои : 10.2143/ast.27.2.542046 . ISSN   0515-0361 . Проверено 28 июня 2006 г.
• «Анализ законопроекта Сената № 174: Слуховые аппараты для детей» (PDF) . Пересмотрено 19 ноября 2004 г. Калифорнийская программа обзора медицинских льгот. 9 февраля 2004 г. Архивировано из оригинала (PDF) 4 февраля 2006 г. . Проверено 28 июня 2006 г.
• Д'Арси, Стивен П. (май 1989 г.). «Как стать актуарием третьего рода» (PDF) . Труды Актуарного общества по несчастным случаям . LXXVI (145): 45–76 . Проверено 28 июня 2006 г.
• «Когда все останавливается: могут ли актуарии помочь разобраться в беспорядке в корпоративных пенсиях?» . Экономист . 26 января 2006 г. Проверено 10 апреля 2006 г.
• Фельдблюм, Шолом (2001) [1990]. "Введение". В Роберте Ф. Лоу (ред.). Основы актуарной науки о несчастных случаях (4-е изд.). Округ Арлингтон, Вирджиния : Актуарное общество по несчастным случаям . ISBN  0-9624762-2-6 . LCCN   2001088378 .
• «История актуарной профессии» . Факультет и институт актуариев. 13 января 2004 г. Архивировано из оригинала 4 апреля 2008 г. Проверено 26 сентября 2010 г.
• Фрис, Эдвард В. (январь 1990 г.). «Стохастические жизненные непредвиденные обстоятельства с учетом требований платежеспособности» (PDF) . Сделки Общества актуариев . XLII : 91–148. Архивировано из оригинала (PDF) 3 января 2006 г. Проверено 28 июня 2006 г.
• Галлей, Эдмонд (1693). «Оценка степени смертности человечества, сделанная на основе любопытных таблиц рождений и похорон в городе Бреслав; с попыткой установить цену аннуитетов на жизнь» (PDF) . Философские труды Лондонского королевского общества . 17 (192–206): 596–610. дои : 10.1098/rstl.1693.0007 . ISSN   0260-7085 . S2CID   186214203 . Проверено 21 июня 2006 г.
• Харкорт, Бернард Э. (2003). «Формирование шанса: актуарные модели и криминальное профилирование на рубеже XXI века» (PDF) . Обзор права Чикагского университета . 70 (105). Обзор права Чикагского университета, Vol. 70, № 1: 105–128. дои : 10.2307/1600548 . ISSN   0041-9494 . JSTOR   1600548 . Проверено 02 октября 2018 г.
• Хикман, Джеймс (2004). «История актуарной профессии» (PDF) . Энциклопедия актуарной науки . Джон Вили и сыновья, ООО с. 4. Архивировано из оригинала (PDF) 24 июля 2006 г. Проверено 28 июня 2006 г.
• Сяо, Уильям К. (август 2001 г.). «Комментарий: За идеологией и теорией: каковы эмпирические данные для медицинских сберегательных счетов?» (PDF) . Журнал политики, политики и права в области здравоохранения . 26 (4): 733–737. дои : 10.1215/03616878-26-4-733 . ПМИД   11523960 . S2CID   37841066 . Проверено 1 июля 2006 г.
• Сяо, Уильям С. (2004). «Гарвардская школа общественного здравоохранения» . Архивировано из оригинала (PDF) 27 марта 2007 г. Проверено 27 сентября 2010 г.
• Джонстон, Гарольд Уэтстон (1932) [1903]. «Захоронения и погребальные обряды» . Частная жизнь римлян . Отредактировано Мэри Джонстон. Чикаго, Атланта: Скотт, Форесман и компания. стр. §475–§476. LCCN   32007692 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2003 года . Проверено 26 июня 2006 г. В начале Империи ассоциации создавались с целью покрытия расходов на похороны своих членов, независимо от того, должны ли были быть захоронены или кремированы останки, или с целью строительства колумбарий, или для того и другого... Если бы члены предоставили места для захоронения своих тел после смерти, они теперь обеспечивали необходимые расходы на похороны, выплачивая еженедельно в общий фонд небольшую фиксированную сумму, легко доступную самым бедным из них. Когда член умирал, из казны брали установленную сумму на его похороны... Если целью общества было строительство колумбария, сначала определялась стоимость, а общая сумма делилась на то, что мы должны называть акциями ( sortēs virīlēs), каждый член берет столько, сколько может себе позволить, и отдает их стоимость в казну. {{cite book}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
• Левин, Крис (14 июня 2007 г.). «Актуарная история» . Институт и факультет актуариев . Архивировано из оригинала 20 октября 2011 года . Проверено 27 февраля 2012 г.
• Ссуда, Альберт (зима 1992 г.). «Институциональные основы спонтанного порядка: поручительство и гарантия» . Обзор гуманитарных исследований . 7 (1): 538. Архивировано из оригинала 14 июня 2006 г. Проверено 26 июня 2006 г.
• МакГиннити, Джеймс (ноябрь 1980 г.). «Актуарий и его профессия: рост, развитие, перспективы» (PDF) . Труды Актуарного общества по несчастным случаям . LXVII (127): 49–56. Архивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2006 г. Проверено 28 июня 2006 г.
• Михельбахер, Густав Ф. (1920). «Техника установления ставок, иллюстрированная Национальным пересмотром ставок страхования компенсаций работникам 1920 года» (PDF) . Труды Актуарного общества по несчастным случаям . VI (14): 201–249 . Проверено 28 июня 2006 г.
• Мориарти, Шарлин (2006). «Новая одежда актуария, канадский взгляд на дебаты по финансовой экономике» . Американская академия актуариев, непредвиденные обстоятельства, июль/август . Архивировано из оригинала (PDF) 23 сентября 2006 г. Проверено 28 июня 2006 г.
• Нидлман, Сара Э. (5 января 2010 г.). «Лучшие и худшие профессии» . Уолл Стрит Джорнал . Проверено 7 января 2010 г.
• Ньето, Маркус; Дэвид, Юнг (август 2006 г.). «Влияние ограничений по месту жительства на сексуальных преступников и практику управления исправительными учреждениями: обзор литературы» (PDF) . Калифорнийское исследовательское бюро, Государственная библиотека Калифорнии . Архивировано из оригинала (PDF) 23 сентября 2006 г. Проверено 18 сентября 2006 г.
• Огборн, Мэн (декабрь 1956 г.). «Профессиональное имя актуария» (PDF) . Журнал Института актуариев . 82 (2). Факультет и институт актуариев: 233–246. дои : 10.1017/S0020268100046424 . Архивировано из оригинала (PDF) 20 марта 2012 года . Проверено 27 апреля 2011 г.
• Перкинс, Джудит (25 августа 1995 г.). Страдающее Я; Боль и повествовательная репрезентация в раннехристианскую эпоху . Лондон: Рутледж . ISBN  0-415-11363-6 . LCCN   94042650 .
• Сильвер, Эрик; Чоу-Мартин, Линетт (октябрь 2002 г.). «Множественный подход к оценке риска рецидивизма: последствия для принятия судебных решений». Уголовное правосудие и поведение . 29 (5): 538–568. дои : 10.1177/009385402236732 . ISSN   0093-8548 . S2CID   144800554 .
• Слуд, Эрик В. (2006) [2001]. «6: Функции коммутации, резервы и избранная смертность» (PDF) . Актуарная математика и статистика таблицы смертности (PDF) . стр. 149–150 . Проверено 28 июня 2006 г. Функции коммутации — это вычислительное устройство, гарантирующее, что все чистые премии... могут быть получены в результате одного поиска в таблице. Исторически эта идея была очень важна для экономии вычислительного труда при получении премиальных котировок. Даже сейчас... сотрудники компании без количественной подготовки могли рассчитывать премии в формате электронной таблицы с помощью таблицы смертности.
• Фукидид (1994–2009) [ок. 431 г. до н. э.]. «VI – Надгробная речь Перикла» . История Пелопоннесской войны . Перевод Ричарда Кроули . Греция . Проверено 27 июня 2006 г. Моя задача теперь выполнена... те, кто похоронен здесь, уже получили часть своих почестей, а в остальном их дети будут воспитываться до совершеннолетия за государственный счет: таким образом, государство предлагает ценный приз, поскольку гирлянда победы в этом подвиге доблести в награду как павшим, так и выжившим. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Тонг, Винни (19 июня 2006 г.). «Пожертвования американцев на благотворительность близки к рекорду» . Чикаго Сан-Таймс . Цифровой Чикаго Inc. Проверено 21 июня 2006 г.
• «Обзор актуария» . Новости США и мировой отчет . 2023 . Проверено 5 января 2024 г.
• Уилан, Шейн (декабрь 2002 г.). «Вклад актуариев в финансовую экономику» (PDF) . Актуарий . Актуарное общество Staple Inn. стр. 34–35. Архивировано из оригинала (PDF) 24 июля 2006 г. Проверено 28 июня 2006 г.

Библиография

• Чарльз Л. Троубридж (1989). «Фундаментальные концепции актуарной науки» (PDF) . Пересмотренное издание. Фонд актуарного образования и исследований. Архивировано из оригинала (PDF) 29 июня 2006 г. Проверено 28 июня 2006 г.

Внешние ссылки

• Актуарная наука в Керли