Риманово многообразие

Эта статья о концепции дифференциальной геометрии. Для более общих понятий см. псевдориманово многообразие и многообразие Финслера . Для алгебраической концепции см. Пространство Зарисского-Римана .

Не путать с римановой поверхностью .

Тор естественным образом несет в себе евклидову метрику, полученную путем определения противоположных сторон квадрата (слева). Полученное риманово многообразие, называемое плоским тором, невозможно изометрически вложить в трехмерное евклидово пространство (справа), поскольку при этом необходимо сгибать и растягивать лист. Таким образом, внутренняя геометрия плоского тора отличается от геометрии вложенного тора.

В дифференциальной геометрии риманово многообразие — это геометрическое пространство , в котором определены многие геометрические понятия, такие как расстояние, углы, длина, объем и кривизна. Евклидово пространство , т. $n$-сфера , гиперболическое пространство и гладкие поверхности в трехмерном пространстве, такие как эллипсоиды и параболоиды , — все это частные случаи римановых многообразий. Римановы многообразия названы в честь немецкого математика Бернхарда Римана , который первым их концептуализировал.

Формально риманова метрика (или просто метрика ) на гладком многообразии — это выбор скалярного произведения для каждого касательного пространства многообразия. Риманово многообразие — это гладкое многообразие вместе с римановой метрикой. Методы дифференциального и интегрального исчисления используются для извлечения геометрических данных из римановой метрики. Например, интегрирование приводит к римановой функции расстояния, тогда как дифференцирование используется для определения кривизны и параллельного переноса.

Любая гладкая поверхность в трехмерном евклидовом пространстве представляет собой риманово многообразие с римановой метрикой, обусловленной тем, как она расположена внутри окружающего пространства . То же самое верно для любого подмногообразия евклидова пространства любой размерности. Хотя Джон Нэш доказал, что каждое риманово многообразие возникает как подмногообразие евклидова пространства, и хотя некоторые римановы многообразия естественным образом проявляются или определяются таким образом, идея риманова многообразия подчеркивает внутреннюю точку зрения, которая определяет геометрические понятия непосредственно на само абстрактное пространство без ссылки на окружающее пространство. Во многих случаях, например, для гиперболического пространства и проективного пространства , римановы метрики более естественно определяются или строятся с использованием внутренней точки зрения. Кроме того, многие метрики в группах Ли и однородных пространствах определяются внутренне с помощью групповых действий для переноса внутреннего произведения из одного касательного пространства во все многообразие, а также многие специальные метрики, такие как метрики постоянной скалярной кривизны. а метрики Кэлера–Эйнштейна строятся собственными силами с использованием инструментов уравнений в частных производных .

Риманова геометрия , изучение римановых многообразий, имеет глубокие связи с другими областями математики, включая геометрическую топологию , комплексную геометрию и алгебраическую геометрию . Приложения включают физику (особенно общую теорию относительности и калибровочную теорию ), компьютерную графику , машинное обучение и картографию . Обобщения римановых многообразий включают псевдоримановы многообразия , финслеровы многообразия и субримановы многообразия .

История

Римановы многообразия были впервые концептуализированы их тезкой, немецким математиком Бернхардом Риманом .

В 1827 году Карл Фридрих Гаусс обнаружил, что гауссова кривизна поверхности, заключенной в трехмерном пространстве, зависит только от локальных измерений, выполненных внутри поверхности ( первая фундаментальная форма ). Этот результат известен как «Теорема Эгрегиум» («замечательная теорема» на латыни).

Карта, сохраняющая локальные измерения поверхности, называется локальной изометрией . Назовите свойство поверхности внутренним свойством, если оно сохраняется за счет локальных изометрий, и назовите его внешним свойством, если это не так. На этом языке Теорема Эгрегиум говорит, что гауссова кривизна является внутренним свойством поверхностей.

Римановы многообразия и их кривизна были впервые нестрого введены Бернхардом Риманом в 1854 году. Однако они будут официально оформлены гораздо позже. Фактически более примитивное понятие гладкого многообразия было впервые явно определено только в 1913 году в книге Германа Вейля .

Эли Картан представил связь Картана , одну из первых концепций связи . Леви-Чивита определил связность Леви-Чивита , специальную связь на римановом многообразии.

Альберт Эйнштейн использовал теорию псевдоримановых многообразий (обобщение римановых многообразий) для разработки общей теории относительности . В частности, уравнения поля Эйнштейна являются ограничениями на кривизну пространства-времени , которое представляет собой 4-мерное псевдориманово многообразие.

Определение

Римановы метрики и римановы многообразия

Касательная плоскость сферы с двумя векторами в ней. Риманова метрика позволяет взять скалярное произведение этих векторов.

Позволять $M$ быть гладким многообразием . Для каждой точки $p\in M$, существует связанное векторное пространство $T_{p}M$ называется пространством касательным $M$ в $p$. Векторы в $T_{p}M$ рассматриваются как векторы, касающиеся $M$ в $p$.

Однако, $T_{p}M$ не оснащен внутренним продуктом , измерительной линейкой, которая дает касательным векторам понятие длины и угла. Это важный недостаток, поскольку исчисление учит, что для вычисления длины кривой необходимо определить длину векторов, касающихся этой кривой. Риманова метрика измеряет каждое касательное пространство.

Риманова метрика $g$ на $M$ назначает каждому $p$ положительно определенный внутренний продукт $g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R}$ плавным образом (см. раздел о регулярности ниже). Это вызывает норму $\|\cdot \|_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R}$ определяется $\|v\|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}$. Гладкое многообразие $M$ наделенный римановой метрикой $g$ — риманово многообразие , обозначаемое $(M,g)$. Риманова метрика — это частный случай метрического тензора .

Риманову метрику не следует путать с функцией расстояния метрического пространства , которую также называют метрикой.

Риманова метрика в координатах

Если $(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n}$ являются гладкими локальными координатами на $M$, векторы

$\left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{p},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}{\Big |}_{p}\right\}$

составляют основу векторного пространства $T_{p}M$ для любого $p\in U$. Относительно этого базиса можно определить компоненты римановой метрики в каждой точке. $p$ к

$g_{ij}|_{p}:=g_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{p}\right)$.

Эти $n^{2}$ функции $g_{ij}:U\to \mathbb {R}$ можно объединить в $n\times n$ матричная функция на $U$. Требование, чтобы $g_{p}$ является положительно определенным внутренним произведением, то это точно говорит о том, что эта матрица-функция является симметричной положительно определенной матрицей в точке $p$.

В терминах тензорной алгебры риманова метрика может быть записана в терминах двойственного базиса $\{dx^{1},\ldots ,dx^{n}\}$ котангенса расслоения как

$g=\sum _{i,j}g_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}.$

Регулярность римановой метрики

Риманова метрика $g$ непрерывен , если его компоненты $g_{ij}:U\to \mathbb {R}$ непрерывны в любой гладкой координатной карте $(U,x).$ Риманова метрика $g$ является гладким, если его компоненты $g_{ij}$ являются гладкими на любой гладкой координатной карте. В этом духе можно рассматривать многие другие типы римановых метрик, такие как липшицевы римановы метрики или измеримые римановы метрики.

бывают ситуации В геометрическом анализе , когда хочется рассмотреть негладкие римановы метрики. См., например (Громов 1999) и (Ши и Там 2002). Однако в этой статье $g$ предполагается гладким, если не указано иное.

Музыкальный изоморфизм

Основная статья: Музыкальный изоморфизм

По аналогии с тем, как скалярный продукт в векторном пространстве вызывает изоморфизм между векторным пространством и его двойственным пространством , заданный формулой $v\mapsto \langle v,\cdot \rangle$риманова метрика индуцирует изоморфизм расслоений между касательным и кокасательным расслоениями . А именно, если $g$ является римановой метрикой, то

$(p,v)\mapsto g_{p}(v,\cdot )$

является изоморфизмом гладких векторных расслоений из касательного расслоения $TM$ к котангенсу $T^{*}M$.

Изометрии

Изометрия — это функция между римановыми многообразиями, которая сохраняет всю структуру римановых многообразий. Если два римановых многообразия имеют между собой изометрию, они называются изометрическими и считаются одним и тем же многообразием для целей римановой геометрии.

В частности, если $(M,g)$ и $(N,h)$ — два римановых многообразия, диффеоморфизм $f:M\to N$ называется изометрией, если $g=f^{\ast }h$, то есть, если

$g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))$

для всех $p\in M$ и $u,v\in T_{p}M.$ Например, сдвиги и вращения являются изометриями евклидова пространства (который будет скоро определен) самого себя.

Говорят, что гладкая карта $f:M\to N,$ не считается диффеоморфизмом, является локальной изометрией, если каждая $p\in M$ имеет открытое окружение $U$ такой, что $f:U\to f(U)$ является изометрией (и, следовательно, диффеоморфизмом).

Объем

Ориентированный $n$-мерное риманово многообразие $(M,g)$ имеет уникальный $n$-форма $dV_{g}$ называется римановой формой объема . Риманова форма объема сохраняется благодаря изометриям, сохраняющим ориентацию. Форма объема порождает меру по $M$ что позволяет интегрировать измеримые функции. Если $M$ компактен ​ , объем $M$ является $\int _{M}dV_{g}$.

Примеры

Евклидово пространство

Позволять $x^{1},\ldots ,x^{n}$ обозначим стандартные координаты на $\mathbb {R} ^{n}.$ (Каноническая) евклидова метрика $g^{\text{can}}$ дается

$g^{\text{can}}\left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\sum _{i}a_{i}b_{i}$

или эквивалентно

$g^{\text{can}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}$

или, что то же самое, его координатными функциями

$g_{ij}^{\text{can}}=\delta _{ij}$ где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Риманово многообразие $(\mathbb {R} ^{n},g^{\text{can}})$ называется евклидовым пространством .

Подмногообразия

Основная статья: риманово подмногообразие

The $n$-сфера $S^{n}$ с круглой метрикой является вложенным римановым подмногообразием $\mathbb {R} ^{n+1}$.

Позволять $(M,g)$ — риманово многообразие и пусть $i:N\to M$ быть погруженным подмногообразием или вложенным подмногообразием $M$. Откат ​ $i^{*}g$ из $g$ является римановой метрикой на $N$, и $(N,i^{*}g)$ называется римановым подмногообразием $(M,g)$.

В случае, когда $N\subseteq M$, карта $i:N\to M$ дается $i(x)=x$ и метрика $i^{*}g$ это всего лишь ограничение $g$ к векторам, касательным вдоль $N$. В общем, формула $i^{*}g$ является

$i^{*}g_{p}(v,w)=g_{i(p)}{\big (}di_{p}(v),di_{p}(w){\big )},$

где $di_{p}(v)$ это вперед продвижение $v$ к $i.$

Примеры:

• The $n$-сфера

  $S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n+1})^{2}=1\}$

— гладкое вложенное подмногообразие евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{n+1}$. Риманова метрика, которую это индуцирует на $S^{n}$ называется круглой метрикой или стандартной метрикой .

• Исправьте действительные числа $a,b,c$. Эллипсоид ​

  $\left\{x\in \mathbb {R} ^{3}:{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\right\}$

— гладкое вложенное подмногообразие евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{3}$.

• График функции гладкой $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является гладким вложенным подмногообразием $\mathbb {R} ^{n+1}$ со своей стандартной метрикой.
• Если $(M,g)$ не просто связен, существует накрывающее отображение ${\widetilde {M}}\to M$, где ${\widetilde {M}}$ это универсальная обложка $M$. Это погружение (поскольку оно локально диффеоморфизм), поэтому ${\widetilde {M}}$ автоматически наследует риманову метрику. По тому же принципу любое гладкое накрытие риманова многообразия наследует риманову метрику.

С другой стороны, если $N$ уже есть риманова метрика ${\tilde {g}}$, то погружение (или вложение) $i:N\to M$ называется изометрическим погружением (или изометрическим вложением ), если ${\tilde {g}}=i^{*}g$. Следовательно, изометрические погружения и изометрические вложения являются римановыми подмногообразиями.

Продукты

Позволять $(M,g)$ и $(N,h)$ — два римановых многообразия и рассмотрим произведение-многообразие $M\times N$. Римановы метрики $g$ и $h$ естественно положить риманову метрику ${\widetilde {g}}$ на $M\times N,$ который можно описать несколькими способами.

• Учитывая разложение $T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,$ можно определить

  ${\widetilde {g}}_{p,q}((u_{1},u_{2}),(v_{1},v_{2}))=g_{p}(u_{1},v_{1})+h_{q}(u_{2},v_{2}).$

• Если $(U,x)$ представляет собой гладкую координатную карту на $M$ и $(V,y)$ представляет собой гладкую координатную карту на $N$, затем $(U\times V,(x,y))$ представляет собой гладкую координатную карту на $M\times N.$ Позволять $g_{U}$ быть представителем $g$ в графике $(U,x)$ и пусть $h_{V}$ быть представителем $h$ в графике $(V,y)$. Представление ${\widetilde {g}}$ в координатах $(U\times V,(x,y))$ является

  ${\widetilde {g}}=\sum _{ij}{\widetilde {g}}_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}$ где $({\widetilde {g}}_{ij})={\begin{pmatrix}g_{U}&0\\0&h_{V}\end{pmatrix}}.$

Например, рассмотрим $n$-тор $T^{n}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}$. Если каждая копия $S^{1}$ задана круглая метрика, произведение риманова многообразия $T^{n}$ называется плоским тором .

Позитивные комбинации показателей

Позволять $g_{1},\ldots ,g_{k}$ быть римановыми метриками на $M.$ Если $f_{1},\ldots ,f_{k}$ любые положительные гладкие функции на $M$, затем $f_{1}g_{1}+\ldots +f_{k}g_{k}$ это еще одна риманова метрика на $M.$

Каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику.

Теорема: Каждое гладкое многообразие допускает (неканоническую) риманову метрику.

Это фундаментальный результат. Хотя большая часть базовой теории римановых метрик может быть развита, используя только тот факт, что гладкое многообразие является локально евклидовым топологическим пространством, для этого результата необходимо использовать то, что гладкие многообразия хаусдорфовы и паракомпактны . Причина в том, что доказательство использует разбиение единицы .

показывать Доказательство того, что каждое гладкое многообразие допускает риманову метрику.

Let $M$ be a smooth manifold and $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in A}$ a locally finite atlas so that $U_{\alpha }\subseteq M$ are open subsets and $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \varphi _{\alpha }(U_{\alpha })\subseteq \mathbf {R} ^{n}$ are diffeomorphisms. Such an atlas exists because the manifold is paracompact. Let $\{\tau _{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ be a differentiable partition of unity subordinate to the given atlas, i.e. such that $\operatorname {supp} (\tau _{\alpha })\subseteq U_{\alpha }$ for all $\alpha \in A$. Define a Riemannian metric $g$ on $M$ by $g:=\sum _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }\cdot {\tilde {g}}_{\alpha }$ where ${\tilde {g}}_{\alpha }:=\varphi _{\alpha }^{*}g^{\text{can}}.$ Here $g^{\text{can}}$ is the Euclidean metric on $\mathbb {R} ^{n}$ and $\varphi _{\alpha }^{*}g^{\mathrm {can} }$ is its pullback along $\varphi _{\alpha }$. While ${\tilde {g}}_{\alpha }$ is only defined on $U_{\alpha }$, the product $\tau _{\alpha }\cdot {\tilde {g}}_{\alpha }$ is defined and smooth on $M$ since $\operatorname {supp} (\tau _{\alpha })\subseteq U_{\alpha }$. It takes the value 0 outside of $U_{\alpha }$. Because the atlas is locally finite, at every point the sum contains only finitely many nonzero terms, so the sum converges. Now one needs to check that $g$ is actually a Riemannian metric. That is, one needs to check that $g_{p}$ is smooth at $p\in M$ and that for fixed $p$ it is positive-definite, symmetric, and linear in the first argument. Symmetry is verified as follows: $g_{p}(u,v)=\sum _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }(p)\cdot ({\tilde {g}}_{\alpha })_{p}(u,v)=\sum _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }(p)\cdot ({\tilde {g}}_{\alpha })_{p}(v,u)=g_{p}(v,u).$ Linearity in the first argument is verified as follows: ${\begin{aligned}g_{p}(au+bw,v)&=\sum _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }(p)\cdot ({\tilde {g}}_{\alpha })_{p}(au+bw,v)\\[5pt]&=a\sum _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }(p)\cdot ({\tilde {g}}_{\alpha })_{p}(u,v)+b\sum _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }(p)\cdot ({\tilde {g}}_{\alpha })_{p}(w,v)\\[5pt]&=ag_{p}(u,v)+bg_{p}(w,v).\end{aligned}}$ Positive-definiteness is verified as follows: $g_{p}(u,u)=\sum _{\alpha \in A}\tau _{\alpha }(p)\cdot ({\tilde {g}}_{\alpha })_{p}(u,u)>0{\text{ for }}u\neq 0.$ Because the atlas is locally finite, $p$ has a neighborhood on which the sum $\sum \tau _{\alpha }\cdot {\tilde {g}}_{\alpha }$ contains only finitely many nonzero terms. On this neighborhood, $g=\sum \tau _{\alpha }\cdot {\tilde {g}}_{\alpha }$ is a finite sum of smooth functions. Therefore $g$ is smooth at $p$.

Альтернативное доказательство использует теорему вложения Уитни для вложения $M$ в евклидово пространство, а затем возвращает метрику из евклидова пространства в $M$. С другой стороны, теорема вложения Нэша утверждает, что для любого гладкого риманова многообразия $(M,g),$ есть вложение $F:M\to \mathbb {R} ^{N}$ для некоторых $N$ такой, что откат на $F$ стандартной римановой метрики на $\mathbb {R} ^{N}$ является $g.$ То есть вся структура гладкого риманова многообразия может быть закодирована диффеоморфизмом некоторого вложенного подмногообразия некоторого евклидова пространства. Поэтому можно было бы утверждать, что рассмотрение абстрактных гладких многообразий и их римановых метрик ничего не даст. Однако существует множество естественных гладких римановых многообразий, таких как набор вращений трехмерного пространства и гиперболическое пространство , любое представление которых в качестве подмногообразия евклидова пространства не сможет представить их замечательные симметрии и свойства так же ясно, как их абстрактные представления. презентации делают.

Метрическая пространственная структура

— Допустимая кривая это кусочно гладкая кривая $\gamma :[0,1]\to M$ чья скорость $\gamma '(t)\in T_{\gamma (t)}M$ ненулевое значение везде, где оно определено. Неотрицательная функция $t\mapsto \|\gamma '(t)\|_{\gamma (t)}$ определяется на интервале $[0,1]$ за исключением конечного числа точек. Длина $L(\gamma )$ допустимой кривой $\gamma :[0,1]\to M$ определяется как

$L(\gamma )=\int _{0}^{1}\|\gamma '(t)\|_{\gamma (t)}\,dt.$

Подынтегральная функция ограничена и непрерывна, за исключением конечного числа точек, поэтому она интегрируема. Для $(M,g)$ связное риманово многообразие, определим $d_{g}:M\times M\to [0,\infty )$ к

$d_{g}(p,q)=\inf\{L(\gamma ):\gamma {\text{ an admissible curve with }}\gamma (0)=p,\gamma (1)=q\}.$

Теорема: $(M,d_{g})$ — метрическое пространство , а метрическая топология на $(M,d_{g})$ совпадает с топологией на $M$.

показывать Эскиз доказательства того, что $(M,d_{g})$ является метрическим пространством, а метрическая топология на $(M,d_{g})$ согласен с топологией на $M$

In verifying that $(M,d_{g})$ satisfies all of the axioms of a metric space, the most difficult part is checking that $p\neq q$ implies $d_{g}(p,q)>0$. Verification of the other metric space axioms is omitted. There must be some precompact open set around p which every curve from p to q must escape. By selecting this open set to be contained in a coordinate chart, one can reduce the claim to the well-known fact that, in Euclidean geometry, the shortest curve between two points is a line. In particular, as seen by the Euclidean geometry of a coordinate chart around p, any curve from p to q must first pass though a certain "inner radius." The assumed continuity of the Riemannian metric g only allows this "coordinate chart geometry" to distort the "true geometry" by some bounded factor. To be precise, let $(U,x)$ be a smooth coordinate chart with $x(p)=0$ and $q\notin U.$ Let $V\ni x$ be an open subset of $U$ with ${\overline {V}}\subset U.$ By continuity of $g$ and compactness of ${\overline {V}},$ there is a positive number $\lambda$ such that $g(X,X)\geq \lambda \|X\|^{2}$ for any $r\in V$ and any $X\in T_{r}M,$ where $\|\cdot \|$ denotes the Euclidean norm induced by the local coordinates. Let R denote $\sup\{r>0:B_{r}(0)\subset x(V)\},$ to be used at the final step of the proof. Now, given any admissible curve $\gamma :[0,1]\to M$ from p to q, there must be some minimal $\delta >0$ such that $\gamma (\delta )\notin V;$ clearly $\gamma (\delta )\in \partial V.$ The length of $\gamma$ is at least as large as the restriction of $\gamma$ to $[0,\delta ].$ So $L(\gamma )\geq {\sqrt {\lambda }}\int _{0}^{\delta }\|\gamma '(t)\|\,dt.$ The integral which appears here represents the Euclidean length of a curve from 0 to $x(\partial V)\subset \mathbb {R} ^{n}$, and so it is greater than or equal to R. So we conclude $L(\gamma )\geq {\sqrt {\lambda }}R.$ The observation about comparison between lengths measured by g and Euclidean lengths measured in a smooth coordinate chart, also verifies that the metric space topology of $(M,d_{g})$ coincides with the original topological space structure of $M$.

Хотя длина кривой задается явной формулой, выписать функцию расстояния, как правило, невозможно $d_{g}$ любыми явными способами. Фактически, если $M$ компактен, всегда существуют точки, в которых $d_{g}:M\times M\to \mathbb {R}$ недифференцируема, и может быть чрезвычайно сложно даже определить местоположение или природу этих точек даже в таких, казалось бы, простых случаях, как, например, когда $(M,g)$ представляет собой эллипсоид.

Если работать с римановыми метриками, которые являются просто непрерывными, но, возможно, не гладкими, длина допустимой кривой и функция риманова расстояния определяются точно так же, и, как и раньше, $(M,d_{g})$ — метрическое пространство и метрическая топология на $(M,d_{g})$ совпадает с топологией на $M$.

Диаметр

Диаметр пространства метрического $(M,d_{g})$ является

$\operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in M\}.$

Теорема Хопфа –Ринова показывает, что если $(M,d_{g})$ полно . и имеет конечный диаметр, оно компактно И наоборот, если $(M,d_{g})$ компактна, то функция $d_{g}:M\times M\to \mathbb {R}$ имеет максимум, так как является непрерывной функцией в компактном метрическом пространстве. Это доказывает следующее.

Если $(M,d_{g})$ полно, то оно компактно тогда и только тогда, когда оно имеет конечный диаметр.

Это не так без предположения полноты; в качестве контрпримера можно рассмотреть любое открытое ограниченное подмножество евклидова пространства со стандартной римановой метрикой. Неверно также и то, что любое полное метрическое пространство конечного диаметра должно быть компактным; важно, что метрическое пространство произошло из риманова многообразия.

Соединения, геодезические и кривизна

Соединения

Основная статья: Аффинное соединение

— (Аффинная) связность это дополнительная структура на римановом многообразии, определяющая дифференцирование одного векторного поля по другому. Связности содержат геометрические данные, а два римановых многообразия с разными связностями имеют разную геометрию.

Позволять ${\mathfrak {X}}(M)$ обозначим пространство векторных полей на $M$. соединение (Аффинное)

$\nabla :{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$

на $M$ это билинейная карта $(X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y$ такой, что

1. Для каждой функции $f\in C^{\infty }(M)$, $\nabla _{f_{1}X_{1}+f_{2}X_{2}}Y=f_{1}\,\nabla _{X_{1}}Y+f_{2}\,\nabla _{X_{2}}Y,$
2. Правило продукта $\nabla _{X}fY=X(f)Y+f\,\nabla _{X}Y$ держит.

Выражение $\nabla _{X}Y$ называется ковариантной производной $Y$ относительно $X$.

Связь Леви-Чивита

Основная статья: Связь Леви-Чивита

Два римановых многообразия с разными связностями имеют разную геометрию. К счастью, с римановым многообразием связана естественная связь, называемая связностью Леви-Чивита .

Соединение $\nabla$ говорят, что сохраняет метрику, если

$X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$

Соединение $\nabla$ не имеет кручения, если

$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],$

где $[\cdot ,\cdot ]$ это скобка Ли .

Связность Леви-Чивита — это связность без кручения, сохраняющая метрику. Если риманова метрика фиксирована, существует уникальная связность Леви-Чивита. Обратите внимание, что определение сохранения метрики использует регулярность $g$.

Ковариантная производная вдоль кривой

Если $\gamma :[0,1]\to M$ — гладкая кривая, гладкое векторное поле вдоль $\gamma$ это гладкая карта $X:[0,1]\to TM$ такой, что $X(t)\in T_{\gamma (t)}M$ для всех $t\in [0,1]$. Набор ${\mathfrak {X}}(\gamma )$ гладких векторных полей вдоль $\gamma$ является векторным пространством с учетом поточечного сложения векторов и скалярного умножения. Можно также точечно умножить гладкое векторное поле вдоль $\gamma$ с помощью гладкой функции $f:[0,1]\to \mathbb {R}$:

$(fX)(t)=f(t)X(t)$ для $X\in {\mathfrak {X}}(\gamma ).$

Позволять $X$ быть гладким векторным полем вдоль $\gamma$. Если ${\tilde {X}}$ — гладкое векторное поле в окрестности изображения $\gamma$ такой, что $X(t)={\tilde {X}}_{\gamma (t)}$, затем ${\tilde {X}}$ называется расширением $X$.

Учитывая фиксированное соединение $\nabla$ на $M$ и плавная кривая $\gamma :[0,1]\to M$, существует уникальный оператор $D_{t}:{\mathfrak {X}}(\gamma )\to {\mathfrak {X}}(\gamma )$, называемая ковариантной производной вдоль $\gamma$, такой, что:

1. $D_{t}(aX+bY)=a\,D_{t}X+b\,D_{t}Y,$
2. $D_{t}(fX)=f'X+f\,D_{t}X,$
3. Если ${\tilde {X}}$ является продолжением $X$, затем $D_{t}X(t)=\nabla _{\gamma '(t)}{\tilde {X}}$.

Геодезика

Основная статья: Геодезические

В евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, максимальные геодезические — прямые.

В круглой сфере $S^{n}$, максимальные геодезические — большие круги .

Геодезические – это кривые, не имеющие собственного ускорения. Они являются обобщением прямых в евклидовом пространстве на произвольные римановы многообразия. Муравей, живущий в римановом многообразии, идущий прямо вперед, не прилагая никаких усилий для ускорения или поворота, прочертил бы геодезическую.

Исправить соединение $\nabla$ на $M$. Позволять $\gamma :[0,1]\to M$ быть плавной кривой. Ускорение ​ $\gamma$ векторное поле $D_{t}\gamma '$ вдоль $\gamma$. Если $D_{t}\gamma '=0$ для всех $t$, $\gamma$ называется геодезической .

Для каждого $p\in M$ и $v\in T_{p}M$, существует геодезическая $\gamma :I\to M$ определено на некотором открытом интервале $I$ содержащий 0 такой, что $\gamma (0)=p$ и $\gamma '(0)=v$. Любые две такие геодезические согласуются в своей общей области. Объединив все открытые интервалы $I$ содержащая 0, на которой геодезическая, удовлетворяющая $\gamma (0)=p$ и $\gamma '(0)=v$ существует, получается геодезическая, называемая максимальной геодезической , из которой каждая геодезическая, удовлетворяющая $\gamma (0)=p$ и $\gamma '(0)=v$ является ограничением.

Каждая кривая $\gamma :[0,1]\to M$ которая имеет наименьшую длину из всех допустимых кривых с теми же концами, что и $\gamma$ является геодезической (в перепараметризации единичной скорости).

Примеры

• Непостоянные максимальные геодезические евклидовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ это именно прямые линии. Это согласуется с фактом евклидовой геометрии, что кратчайший путь между двумя точками представляет собой отрезок прямой.
• Непостоянные максимальные геодезические $S^{2}$ с круглой метрикой — это именно большие круги . Поскольку Земля представляет собой примерно сферу, это означает, что кратчайший путь, по которому самолет может пролететь между двумя точками на Земле, — это сегмент большого круга.

Теорема Хопфа – Ринова

Основная статья: теорема Хопфа – Ринова

Пробитый самолет $\mathbb {R} ^{2}\backslash \{(0,0)\}$ не является геодезически полной, поскольку максимальная геодезическая с начальными условиями $p=(1,1)$, $v=(1,1)$ нет домена $\mathbb {R}$.

Риманово многообразие $M$ со связностью Леви-Чивиты, является геодезически полным , если область определения каждой максимальной геодезической равна $(-\infty ,\infty )$. Самолет $\mathbb {R} ^{2}$ является геодезически полным. С другой стороны, пробитый самолет $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}$ с ограничением римановой метрики от $\mathbb {R} ^{2}$ не является геодезически полной, как максимальная геодезическая с начальными условиями $p=(1,1)$, $v=(1,1)$ нет домена $\mathbb {R}$.

Теорема Хопфа –Ринова характеризует геодезически полные многообразия.

Теорема: Пусть $(M,g)$ — связное риманово многообразие. Следующие действия эквивалентны:

• Метрическое пространство $(M,d_{g})$ завершено каждое ( $d_{g}$- последовательность Коши сходится),
• Все замкнутые и ограниченные подмножества $M$ компактны,
• $M$ является геодезически полным.

Параллельная транспортировка

Основная статья: Параллельный транспорт

Параллельный перенос касательного вектора по кривой на сфере.

В евклидовом пространстве все касательные пространства канонически отождествляются друг с другом посредством перевода, поэтому векторы легко перемещать из одного касательного пространства в другое. Параллельный перенос — это способ перемещения векторов из одного касательного пространства в другое по кривой в условиях общего риманова многообразия. При фиксированном соединении существует уникальный способ параллельной транспортировки.

В частности, вызовите гладкое векторное поле $V$ по плавной кривой $\gamma$ параллельно вдоль $\gamma$ если $D_{t}V=0$ одинаково. Исправить кривую $\gamma :[0,1]\to M$ с $\gamma (0)=p$ и $\gamma (1)=q$. для параллельной транспортировки вектора $v\in T_{p}M$ к вектору в $T_{q}M$ вдоль $\gamma$, сначала продлить $v$ к векторному полю, параллельному вдоль $\gamma$, а затем возьмем значение этого векторного поля в точке $q$.

На изображениях ниже показан параллельный транспорт, вызванный связью Леви-Чивита, связанной с двумя разными римановыми метриками на проколотой плоскости. $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0,0\}$. Кривая, по которой осуществляется параллельный транспорт, представляет собой единичный круг. В полярных координатах метрика слева — это стандартная евклидова метрика. $dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}$, а метрика справа равна $dr^{2}+d\theta ^{2}$. Эта вторая метрика имеет особенность в начале координат, поэтому она не выходит за пределы прокола, а первая метрика распространяется на всю плоскость.

Параллельные перевозки на проколотой плоскости по соединениям Леви-Чивита

Этот транспорт задается метрикой $dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$.

Этот транспорт задается метрикой $dr^{2}+d\theta ^{2}$.

Внимание: это параллельная транспортировка по проколотой плоскости по единичному кругу, а не параллельная транспортировка по единичному кругу. Действительно, на первом изображении векторы выходят за пределы касательного пространства к единичной окружности.

Тензор кривизны Римана

Основная статья: тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана точно измеряет степень, в которой параллельная транспортировка векторов вокруг небольшого прямоугольника не является тождественной картой. Тензор кривизны Римана равен 0 в каждой точке тогда и только тогда, когда многообразие локально изометрично евклидову пространству.

Исправить соединение $\nabla$ на $M$. Тензор кривизны Римана — это отображение $R:{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$ определяется

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$

где $[X,Y]$ — скобка Ли векторных полей . Тензор кривизны Римана – это $(1,3)$-тензорное поле.

Тензор кривизны Риччи

Основная статья: кривизна Риччи

Исправить соединение $\nabla$ на $M$. Тензор кривизны Риччи

$Ric(X,Y)=\operatorname {tr} (Z\mapsto R(Z,X)Y)$

где $\operatorname {tr}$ это след. Тензор кривизны Риччи представляет собой ковариантное 2-тензорное поле.

Многообразия Эйнштейна

Основная статья: многообразие Эйнштейна

Тензор кривизны Риччи $Ric$ играет определяющую роль в теории многообразий Эйнштейна , которая имеет приложения к изучению гравитации . (Псевдо-)риманова метрика $g$ называется метрикой Эйнштейна, если уравнение Эйнштейна

$Ric=\lambda g$ для некоторой константы $\lambda$

выполняется, и (псевдо)риманово многообразие, метрика которого эйнштейнова, называется эйнштейновым многообразием . Примеры многообразий Эйнштейна включают евклидово пространство, $n$-сфера, гиперболическое пространство и комплексное проективное пространство с метрикой Фубини-Студи .

Скалярная кривизна

Основная статья: Скалярная кривизна

Постоянная кривизна и пространственные формы

Говорят, что риманово многообразие имеет постоянную кривизну κ, если каждая секционная кривизна равна числу κ . Это эквивалентно условию, что относительно любой координатной карты тензор кривизны Римана можно выразить через метрический тензор как

$R_{ijkl}=\kappa (g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).$

Это означает, что кривизна Риччи равна R _jk = ( n – 1) κg _jk , а скалярная кривизна равна n ( n – 1) κ , где n — размерность многообразия. В частности, каждое риманово многообразие постоянной кривизны является многообразием Эйнштейна и, следовательно, имеет постоянную скалярную кривизну. Как обнаружил Бернхард Риман в своей лекции 1854 года, посвященной римановой геометрии, локально определенная риманова метрика

${\frac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1+{\frac {\kappa }{4}}(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}$

имеет постоянную кривизну κ . Любые два римановых многообразия одной и той же постоянной кривизны локально изометричны , поэтому отсюда следует, что любое риманово многообразие постоянной кривизны κ можно покрыть координатными картами, относительно которых метрика имеет указанный выше вид.

Риманова пространственная форма — это риманово многообразие постоянной кривизны, дополнительно связное и геодезически полное . Риманова пространственная форма называется сферической пространственной формой, если кривизна положительна, евклидовой пространственной формой , если кривизна равна нулю, и гиперболической пространственной формой или гиперболическим многообразием, если кривизна отрицательна. В любом измерении сфера со стандартной римановой метрикой, евклидово пространство и гиперболическое пространство являются формами риманова пространства постоянной кривизны 1 , 0 и –1 соответственно. Более того, теорема Киллинга – Хопфа гласит, что любая односвязная сферическая пространственная форма гомотетична сфере, любая односвязная евклидова пространственная форма гомотетична евклидову пространству, а любая односвязная гиперболическая пространственная форма гомотетична гиперболическому пространству.

Используя конструкцию накрывающего многообразия , любая риманова пространственная форма изометрична фактор-многообразию односвязной римановой пространственной формы по модулю определенного группового действия изометрий. Например, группа изометрии n -сферы — это ортогональная группа O( n + 1) . Учитывая любую ее конечную подгруппу G , в которой только единичная матрица имеет 1 в качестве собственного значения , естественное групповое действие ортогональной группы на n -сфере ограничивается групповым действием группы G с фактор-многообразием S ^н / G, наследующая геодезически полную риманову метрику постоянной кривизны 1 . Таким образом, вплоть до гомотетии, возникает всякая сферическая пространственная форма; это во многом сводит изучение сферических пространственных форм к проблемам теории групп . Например, это можно использовать, чтобы напрямую показать, что каждая четномерная форма сферического пространства гомотетична стандартной метрике либо на сфере, либо на реальном проективном пространстве . Существует еще множество нечетномерных сферических пространственных форм, хотя известны алгоритмы их классификации. Список трехмерных форм сферического пространства бесконечен, но явно известен и включает в себя линзовые пространства и додекаэдрическое пространство Пуанкаре .

Случай евклидовых и гиперболических пространственных форм также может быть сведен к теории групп, основанной на изучении группы изометрий евклидова пространства и гиперболического пространства. Например, в класс двумерных евклидовых пространственных форм входят римановы метрики на бутылке Клейна , ленте Мёбиуса , торе , цилиндре S ¹ × R вместе с евклидовой плоскостью. В отличие от случая двумерных сферических пространственных форм, в некоторых случаях две структуры пространственных форм на одном и том же многообразии не являются гомотетическими. Случай двумерных гиперболических пространственных форм еще более сложен и связан с пространством Тейхмюллера . В трех измерениях известны евклидовы пространственные формы, тогда как геометрия гиперболических пространственных форм в трех и более высоких измерениях остается областью активных исследований, известной как гиперболическая геометрия .

Примеры на основе групп Ли

Левоинвариантные метрики на группах Ли

Пусть G — группа Ли , такая как группа вращений в трехмерном пространстве . Используя структуру группы, любой внутренний продукт в касательном пространстве в единице (или в любом другом конкретном касательном пространстве) можно перенести во все другие касательные пространства, чтобы определить риманову метрику. Формально, учитывая скалярное произведение g _e в касательном пространстве в единице, скалярное произведение в касательном пространстве в произвольной точке p определяется выражением

$g_{p}(u,v)=g_{e}(dL_{p^{-1}}(u),dL_{p^{-1}}(v)),$

где для произвольного x переводящее L _x — левое отображение умножения G → G, точку y в xy . Построенные таким образом римановы метрики левоинвариантны ; правоинвариантные римановы метрики могут быть построены аналогичным образом, используя вместо этого правое отображение умножения.

Связность Леви-Чивиты и кривизна общей левоинвариантной римановой метрики могут быть вычислены явно в терминах ge _{ассоциированной} , присоединенного представления G и алгебры , с G. Ли Эти формулы значительно упрощаются в частном случае римановой метрики, которая является биинвариантной (т. е. одновременно лево- и правоинвариантной). Все левоинвариантные метрики имеют постоянную скалярную кривизну.

Лево- и биинвариантные метрики на группах Ли являются важным источником примеров римановых многообразий. Сферы Бергера , построенные как левоинвариантные метрики на специальной унитарной группе SU(2), являются одними из простейших примеров явления коллапса , при котором односвязное риманово многообразие может иметь малый объем, не имея при этом большой кривизны. Они также приводят пример римановой метрики, которая имеет постоянную скалярную кривизну, но не является эйнштейновой , или даже параллельной кривизны Риччи. Гиперболическому пространству можно задать структуру группы Ли, относительно которой метрика левоинвариантна. Любая биинвариантная риманова метрика на группе Ли имеет неотрицательную секционную кривизну, что дает множество таких метрик: группе Ли можно дать биинвариантную риманову метрику тогда и только тогда, когда она является произведением компактной группы Ли с абелевой Группа лжи .

Однородные пространства

Риманово многообразие ( M , g ) называется однородным, если для каждой пары точек x и y в M существует некоторая изометрия f риманова многообразия, переводящая x в y . На языке групповых действий это можно перефразировать как требование естественного действия группы изометрий транзитивности . Всякое однородное риманово многообразие геодезически полно и имеет постоянную скалярную кривизну .

Все однородные римановы многообразия с точностью до изометрии возникают в результате следующей конструкции. Дана группа Ли G с компактной подгруппой K , которая не содержит ни одной нетривиальной нормальной подгруппы группы G , зафиксируем любое дополняемое подпространство W алгебры Ли группы K внутри алгебры Ли G. группы Если это подпространство инвариантно относительно линейного отображения ad _G ( k ): W → W для любого элемента k из K , то G -инвариантные римановы метрики на смежном пространстве G / K находятся во взаимно однозначном соответствии с этими скалярными произведениями. на W которые инвариантны относительно ad _G ( k ): W → W для каждого элемента k из K. , Каждая такая риманова метрика однородна, при этом G естественно рассматривать как подгруппу полной группы изометрий.

Приведенный выше пример групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками возникает как особый случай этой конструкции, а именно, когда K — тривиальная подгруппа, содержащая только единичный элемент. Вычисления связи Леви-Чивита и упомянутой там кривизны можно обобщить на этот контекст, где теперь вычисления формулируются в терминах скалярного произведения на W , алгебры Ли G и разложения в прямую сумму алгебры Ли. группы G в алгебру Ли групп K и W . Это сводит изучение кривизны однородных римановых многообразий в основном к алгебраическим проблемам. Это сокращение вместе с гибкостью приведенной выше конструкции делает класс однородных римановых многообразий очень полезным для построения примеров.

Симметричные пространства

Основная статья: Симметричное пространство

Связное риманово многообразие ( M , g ) называется симметричным , если для каждой точки p из M существует некоторая изометрия многообразия с p в качестве неподвижной точки и для которой отрицание дифференциала в точке p является тождественным отображением . Всякое риманово симметрическое пространство однородно, а следовательно, геодезически полно и имеет постоянную скалярную кривизну . которым не обладают большинство однородных римановых многообразий, а именно: тензор кривизны Римана и кривизна Риччи параллельны Однако римановы симметрические пространства также обладают гораздо более сильным свойством кривизны , . Римановы многообразия с этим свойством кривизны, которое можно условно сформулировать как «постоянный тензор кривизны Римана» (не путать с постоянной кривизной ), называются локально симметричными . Это свойство практически характеризует симметрические пространства; Эли Картан доказал в 1920-х годах, что локально симметричное риманово многообразие, геодезически полное и односвязное, на самом деле должно быть симметричным.

Многие фундаментальные примеры римановых многообразий симметричны. К самым основным относятся сферические и вещественные проективные пространства с их стандартными метриками, а также гиперболическое пространство . Комплексное проективное пространство , кватернионное проективное пространство и плоскость Кэли являются аналогами реального проективного пространства, которые также симметричны, как и комплексное гиперболическое пространство , кватернионное гиперболическое пространство и гиперболическое пространство Кэли, которые вместо этого являются аналогами гиперболического пространства. Грассмановы многообразия также несут естественные римановы метрики, превращающие их в симметрические пространства. Среди групп Ли с левоинвариантными римановыми метриками симметричными являются биинвариантные.

Основываясь на их алгебраической формулировке как особых видах однородных пространств, Картан достиг явной классификации симметричных пространств, которые неприводимы , называя те, которые не могут быть локально разложены, как пространства-произведения . Каждое такое пространство является примером многообразия Эйнштейна ; среди них только одномерные многообразия имеют нулевую скалярную кривизну. Эти пространства важны с точки зрения римановой голономии . Как обнаружил в 1950-х годах Марсель Бергер , любое односвязное и неприводимое риманово многообразие либо является симметричным пространством, либо имеет риманову голономию, принадлежащую списку только из семи возможностей. Шесть из семи исключений из симметричных пространств в классификации Бергера попадают в области кэлеровой геометрии , кватернион-келеровой геометрии , G ₂ геометрии и геометрии Spin(7) , каждая из которых изучает римановы многообразия, снабженные определенными дополнительными структурами и симметриями. Седьмым исключением является изучение «общих» римановых многообразий без особой симметрии, что отражено в максимально возможной группе голономии.

Бесконечномерные многообразия

Приведенные выше утверждения и теоремы относятся к конечномерным многообразиям — многообразиям, карты которых отображаются в открытые подмножества $\mathbb {R} ^{n}.$ Их можно в определенной степени распространить на бесконечномерные многообразия; то есть многообразия, смоделированные по образцу топологического векторного пространства ; например, многообразия Фреше , Банаха и Гильберта .

Определения

Римановы метрики определяются аналогично конечномерному случаю. Однако существует различие между двумя типами римановых метрик:

• Слабая риманова метрика на $M$ это гладкая функция $g:TM\times TM\to \mathbb {R} ,$ такой, что для любого $x\in M$ ограничение $g_{x}:T_{x}M\times T_{x}M\to \mathbb {R}$ является внутренним продуктом на $T_{x}M.$
• Сильная риманова метрика на $M$ является слабой римановой метрикой такой, что $g_{x}$ индуцирует топологию на $T_{x}M$. Если $g$ является сильной римановой метрикой, то $M$ должно быть гильбертовым многообразием.

Примеры

• Если $(H,\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle )$ является гильбертовым пространством , то для любого $x\in H,$ можно идентифицировать $H$ с $T_{x}H.$ Метрика $g_{x}(u,v)=\langle u,v\rangle$ для всех $x,u,v\in H$ является сильной римановой метрикой.
• Позволять $(M,g)$ — компактное риманово многообразие и обозначим через $\operatorname {Diff} (M)$ ее группа диффеоморфизмов. Последняя представляет собой гладкое многообразие ( см. здесь ) и фактически группу Ли . Его касательное расслоение в единице представляет собой набор гладких векторных полей на $M.$ Позволять $\mu$ быть объемной формой на $M.$ $L^{2}$ слабая риманова метрика на $\operatorname {Diff} (M)$, обозначенный $G$, определяется следующим образом. Позволять $f\in \operatorname {Diff} (M),$ $u,v\in T_{f}\operatorname {Diff} (M).$ Тогда для $x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M$,

  $G_{f}(u,v)=\int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))\,d\mu (x)$.

Метрическая пространственная структура

Длина кривых и функция риманова расстояния $d_{g}:M\times M\to [0,\infty )$ определяются аналогично конечномерному случаю. Функция расстояния $d_{g}$, называемое геодезическим расстоянием , всегда является псевдометрикой (метрикой, которая не разделяет точки), но может и не быть метрикой. В конечномерном случае доказательство того, что риманова функция расстояния разделяет точки, использует существование предкомпактного открытого множества вокруг любой точки. В бесконечном случае открытые множества перестают быть предкомпактными, поэтому доказательство не удается.

• Если $g$ является сильной римановой метрикой на $M$, затем $d_{g}$ разделяет точки (следовательно, является метрикой) и индуцирует исходную топологию.
• Если $g$ является слабой римановой метрикой, $d_{g}$ может не разделить точки. Фактически, оно может быть даже тождественно 0. Например, если $(M,g)$ — компактное риманово многообразие, то $L^{2}$ слабая риманова метрика на $\operatorname {Diff} (M)$ приводит к исчезновению геодезического расстояния.

Теорема Хопфа – Ринова

В случае сильных римановых метрик одна часть конечномерной формулы Хопфа–Ринова сохраняется.

Теорема : Пусть $(M,g)$ — сильное риманово многообразие. Тогда метрическая полнота (в метрике $d_{g}$) подразумевает геодезическую полноту.

Однако геодезически полное сильное риманово многообразие может не быть метрически полным и иметь замкнутые и ограниченные подмножества, которые не являются компактными. Более того, сильное риманово многообразие, у которого все замкнутые и ограниченные подмножества компактны, может не быть геодезически полным.

Если $g$ является слабой римановой метрикой, то никакое понятие полноты, вообще говоря, не влечет другого.

См. также

• Гладкий коллектор
• Риманова геометрия
• Многообразие Финслера
• Субриманово многообразие
• Псевдориманово многообразие
• Метрический тензор
• Эрмитово многообразие
• Симплектическое многообразие
• Калерово многообразие
• Многообразие Эйнштейна

Ссылки

Источники

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Результаты математики и ее пограничные области (3). Том 10. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN  3-540-15279-2 . МР   0867684 . Збл   0613.53001 .
• Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008). Теоремы сравнения в римановой геометрии (пересмотренное переиздание оригинального издания 1975 года). Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea Publishing . дои : 10.1090/чел/365 . ISBN  978-0-8218-4417-5 . МР   2394158 . Збл   1142.53003 .
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1992). Риманова геометрия . Математика: теория и приложения (перевод со второго португальского издания оригинальной редакции 1979 г.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон . ISBN  978-0-8176-3490-2 . МР   1138207 . Збл   0752.53001 .
• Громов, Миша (1999). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Прогресс в математике. Том. 152. Перевод Бейтса, Шона Майкла. С приложениями М. Каца , П. Пансу и С. Семмеса . (На основе оригинального французского издания 1981 года). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. doi : 10.1007/978-0-8176-4583-0 . ISBN  0-8176-3898-9 . МР   1699320 . Збл   0953.53002 .
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии. Том I. Нью-Йорк – Лондон: John Wiley & Sons, Inc. MR   0152974 . Збл   0119.37502 .
• Ли, Джон М. (2018). Введение в римановы многообразия . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-319-91754-2 .
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN  978-3-319-26652-7 . МР   3469435 . Збл   1417.53001 .
• Вольф, Джозеф А. (2011). Пространства постоянной кривизны (Шестое издание 1967 г., оригинальное издание). Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea Publishing . дои : 10.1090/чел/372 . ISBN  978-0-8218-5282-8 . МР   2742530 . Збл   1216.53003 .
• Бурчер, Аннегрет (2015). «Структуры длины на многообразиях с непрерывной римановой метрикой». Нью-Йоркский математический журнал . 21 : 273–296. ISSN   1076-9803 .
• Маньяни, Валентино; Тиберио, Даниэле (2020). «Замечание об исчезающих геодезических расстояниях в бесконечных измерениях». Учеб. амер. Математика. Соц . 148 (1): 3653–3656. arXiv : 1910.06430 . дои : 10.1090/proc/14986 . S2CID   204578276 .
• Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (2005). «Исчезающее геодезическое расстояние на пространствах подмногообразий и диффеоморфизмов». Документа Математика . 10 : 217–245. arXiv : math/0409303 . дои : 10.4171/дм/187 . S2CID   69260 .
• Милнор, Джон (1976). «Кривизны левоинвариантных метрик на группах Ли» . Достижения в математике . 21 (3): 293–329. дои : 10.1016/S0001-8708(76)80002-3 . МР   0425012 . Збл   0341.53030 .

Внешние ссылки

• Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Риманова метрика» , Энциклопедия Математики , EMS Press