Идеальное число

Для фильма 2012 года см. Идеальный номер (фильм) .

Иллюстрация статуса идеального числа числа 6

В теории числа идеальное число - это положительное целое число , которое равно сумме его положительных надлежащих делителей , то есть делителей, исключающих само по себе. Например, 6 имеют надлежащие делители 1, 2 и 3 и 1 + 2 + 3 = 6, так что 6 - идеальное число. Следующее идеальное число составляет 28, поскольку 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Первые четыре идеальных числа - 6 , 28 , 496 и 8128 .

Сумма надлежащих делителей числа называется его аликвотой , поэтому идеальное число - это то, что равно его аликвоту. Эквивалентно, идеальное число - это число, которое наполовину составляет сумму всех его положительных делителей; в символах, $\sigma _{1}(n)=2n$ где $\sigma _{1}$ это функция суммы дицизеров .

Это определение является древним, появляясь еще в Евклида элементах (vii.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( идеальное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило формирования (IX.36), посредством которого $q(q+1)/2$ это еще идеальное число, когда $q$ является ярким $2^{p}-1$ Для положительного целого числа $p$- Что сейчас называется Мерсенн Прайм . Два тысячелетия спустя Леонхард Эйлер доказал, что все даже идеальные цифры имеют эту форму. Это известно как теорема Евклида -Эйлера .

Неизвестно, существуют ли какие -либо странные идеальные числа, а также не существует бесконечно много совершенных чисел.

История

Примерно в 300 г. до н.э. Euclid показал, что если 2 ^п - 1 - это простое, тогда 2 ^{P -1} (2 ^п - 1) идеально. Первые четыре идеальных числа были единственными, кто известен ранней греческой математике , и математик Никомах отметил 8128 уже около 100 г. н.э. На современном языке Никомах не заявляет, что каждое совершенное число имеет форму $2^{n-1}(2^{n}-1)$ где $2^{n}-1$ это Prime. Кажется, он не знает, что сам N должен быть ярким. Он также говорит (неправильно), что идеальные числа заканчиваются в 6 или 8 попеременно. (Первые 5 идеальных чисел заканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестой также заканчивается в 6.) Филон Александрии в его книге первого века «О Творении» упоминает идеальные цифры, утверждая, что мир был создан за 6 дней, а луна орбит за 28 дней, потому что 6 и 28 - идеальные. За Филоном следует Ориген , и от Didymus, слепой , который добавляет наблюдение, что есть только четыре идеальных числа, которые составляют менее 10000. (Комментарий к Бытию 1. 14–19). Святой Августин определяет совершенные цифры в городе Божьем (Книга XI, глава 30) в начале 5 -го века, повторяя утверждение о том, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 - самое маленькое совершенное число. Египетский математик Исмаил Ибн Фоллус (1194–1252) упомянул следующие три идеальных числа (33 550 336; 8,589 869 056; и 137 438 691 328) и перечислены еще несколько, которые, как известно, неверно. Первое известное европейское упоминание о пятом идеальном числе - это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестую (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328), а также доказало, что каждое совершенное число, полученное от правила Евклида, заканчивается 6 или 8.

Даже идеальные числа

См. Также: Теорема Евклида -Эйлера

Нерешенная проблема в математике :

Есть ли бесконечно много идеальных чисел?

(Более нерешенные проблемы в математике)

Евклид доказал это $2^{p-1}(2^{p}-1)$ это еще идеальное число, когда $2^{p}-1$ является Prime ( элементы , проп. IX.36).

Например, первые четыре идеальных числа генерируются формулой $2^{p-1}(2^{p}-1),$ с P , -Prime Number следующим образом: $${\begin{aligned}p=2&:\quad 2^{1}(2^{2}-1)=2\times 3=6\\p=3&:\quad 2^{2}(2^{3}-1)=4\times 7=28\\p=5&:\quad 2^{4}(2^{5}-1)=16\times 31=496\\p=7&:\quad 2^{6}(2^{7}-1)=64\times 127=8128.\end{aligned}}$$

Основное количество формы $2^{p}-1$ известны как Мерсенн Прочи , после монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , который изучал теорию чисел и идеальные числа. Для $2^{p}-1$ Чтобы быть главным, необходимо, чтобы сам P был ярким. Однако не все числа формы $2^{p}-1$ С Prime P являются главными; Например, 2 ¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 не является основным числом. Фактически, Mersenne Primes очень редки: из простых числа до 68 874 199 человек, $2^{p}-1$ является главным только для 48 из них.

В то время как Никомах заявил (без доказательств), что все идеальные цифры были из формы $2^{n-1}(2^{n}-1)$ где $2^{n}-1$ Прайд (хотя он заявил об этом несколько по-другому), Ибн аль-Хайтам (Алхазен) около 1000 г. н.э. не желал зайти так далеко, вместо этого заявляя (также без доказательства), что формула дала только каждое даже идеальное число. Только в 18 веке Леонхард Эйлер доказал, что формула $2^{p-1}(2^{p}-1)$ даст все даже идеальные цифры. Таким образом, существует переписка между один на один между даже идеальными числами и простыми числами Мерсенна; Каждый Mersenne Prime генерирует одно идеальное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида -Эйлера .

Исчерпывающий поиск по проекту распределенного вычислительного проекта GIMPS показал, что первые 48 даже идеальных чисел $2^{p-1}(2^{p}-1)$ для

P = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 and 57885161 (sequence A000043 в OEI ).

Также были обнаружены три более высоких идеальных числа, а именно те, для которых P = 74207281, 77232917 и 82589933. Хотя все еще возможно, что в этом диапазоне могут быть другие, начальные, но исчерпывающие тесты не выявили других идеальных чисел для P ниже. 109332539. По состоянию на декабрь 2018 года , 51 простые простые Мерсенна известны, и, следовательно, 51 даже идеальное число (самое большое из которых 2 - ^82589932 × (2 ^82589933 - 1) с 49 724 095 цифр). Неизвестно, есть ли бесконечно много совершенных чисел, а также бесконечно много простых чисел Мерсенна.

А также иметь форму $2^{p-1}(2^{p}-1)$, каждое даже идеальное число - это $(2^{p}-1)$-то треугольное число (и, следовательно, равное сумме целых чисел от 1 до $2^{p}-1$) и $2^{p-1}$-Т -шестиугольный номер . Кроме того, каждое даже идеальное число, кроме 6, это ${\tfrac {2^{p}+1}{3}}$- -то центрированное неагональное число и равна сумме первой $2^{\frac {p-1}{2}}$ нечетные кубики (нечетные кубики до куба $2^{\frac {p+1}{2}}-1$):

$${\begin{alignedat}{3}6&=2^{1}(2^{2}-1)&&=1+2+3,\\[8pt]28&=2^{2}(2^{3}-1)&&=1+2+3+4+5+6+7\\&&&=1^{3}+3^{3}\\[8pt]496&=2^{4}(2^{5}-1)&&=1+2+3+\cdots +29+30+31\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}\\[8pt]8128&=2^{6}(2^{7}-1)&&=1+2+3+\cdots +125+126+127\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}\\[8pt]33550336&=2^{12}(2^{13}-1)&&=1+2+3+\cdots +8189+8190+8191\\&&&=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots +123^{3}+125^{3}+127^{3}\end{alignedat}}$$

Даже идеальные числа (кроме 6) имеют форму $$T_{2^{p}-1}=1+{\frac {(2^{p}-2)\times (2^{p}+1)}{2}}=1+9\times T_{(2^{p}-2)/3}$$

С каждым полученным треугольным числом t ₇ = 28 , t ₃₁ = 496 , t ₁₂₇ = 8128 (после вычитания 1 из идеального числа и деления результата на 9), заканчиваясь на 3 или 5, последовательность, начинающаяся с t ₂ = 3 , t ₁₀ = 55 , t ₄₂ = 903 , t ₂₇₃₀ = 3727815, ... Отсюда следует, что путем добавления цифр любого даже идеального числа (кроме 6), затем добавив цифры полученного числа и повторяя этот процесс до получения одной цифры (называемой цифровой корень ), всегда дает число 1. Для Пример, цифровой корень 8128 составляет 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19 , 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1 . Это работает со всеми идеальными числами $2^{p-1}(2^{p}-1)$ с Odd Prime P и, на самом деле, со всеми числами формы $2^{m-1}(2^{m}-1)$ Для нечетного целого числа (не обязательно первоклассного) м .

Из -за их формы, $2^{p-1}(2^{p}-1),$ Каждое даже идеальное число представлено в бинарной форме в виде P , за которыми следуют P - 1 нули; например:

$${\begin{array}{rcl}6_{10}=&2^{2}+2^{1}&=110_{2}\\28_{10}=&2^{4}+2^{3}+2^{2}&=11100_{2}\\496_{10}=&2^{8}+2^{7}+2^{6}+2^{5}+2^{4}&=111110000_{2}\\8128_{10}=&\!\!2^{12}+2^{11}+2^{10}+2^{9}+2^{8}+2^{7}+2^{6}\!\!&=1111111000000_{2}\end{array}}$$

Таким образом, каждое даже идеальное число является пагубным номером .

Каждое даже идеальное число также является практическим числом (ср. Связанные концепции ).

Странные идеальные номера

Нерешенная проблема в математике :

Есть ли какие -нибудь странные идеальные цифры?

(Более нерешенные проблемы в математике)

Неизвестно, существуют ли какие -либо нечетные совершенные числа, хотя были получены различные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все идеальные цифры, Таким образом, подразумевая, что не существует странного идеального числа, но сам Эйлер заявил: «Есть ли ... есть какие -либо странные идеальные числа - самый сложный вопрос». Совсем недавно Карл Померенс представил эвристический аргумент , предполагающий, что действительно не должно быть странного идеального числа. Все идеальные цифры также являются гармоническими цифрами делителей , и было также предположительно, что нет никаких странных гармонических номеров, отличных от 1 . Изучение этих чисел может привести к доказательству того, что не существует нечетных идеальных чисел.

Любое нечетное идеальное число N должно удовлетворить следующие условия:

• N > 10 ¹⁵⁰⁰ .
• N не делится на 105.
• N имеет форму n ≡ 1 (mod 12) или n ≡ 117 (mod 468) или n ≡ 81 (mod 324).
• Самый большой основной фактор N больше 10 ⁸ и меньше, чем ${\sqrt[{3}]{3N}}.$
• Второй по величине основной фактор больше 10 ⁴ , и меньше, чем ${\sqrt[{5}]{2N}}$.
• Третий по величине основной фактор превышает 100, и меньше, чем ${\sqrt[{6}]{2N}}.$
• N имеет как минимум 101 основной фактор и по меньшей мере 10 различных основных факторов. Если 3 не является одним из факторов N , то N имеет как минимум 12 различных основных факторов.
• N имеет форму

$N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\cdots p_{k}^{2e_{k}},$

где:

• Q , P ₁ , ..., P _K - это различные нечетные простые числа (Euler).
• Q ≡ α ≡ 1 ( против 4) (Euler).
• Наименьшим основным фактором N является максимум ${\frac {k-1}{2}}.$
• По крайней мере, одна из основных способностей, разделяющих n, превышает 10 ⁶² .
• $N<2^{(4^{k+1}-2^{k+1})}$
• $\alpha +2e_{1}+2e_{2}+2e_{3}+\cdots +2e_{k}\geq {\frac {99k-224}{37}}$.
• $qp_{1}p_{2}p_{3}\cdots p_{k}<2N^{\frac {17}{26}}$.
• ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{k}}}<\ln 2$.

Кроме того, известно о нескольких незначительных результатах о показателях E ₁ , ..., E _k .

• Не все e _i ≡ 1 ( мод 3).
• Не все E _I ≡ 2 ( мод 5).
• Если все e _i ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший основной коэффициент N должен лежать между 10 ⁸ и 10 ¹⁰⁰⁰ .
• В более общем плане, если все 2 E _I +1 имеют основной фактор в данном конечном наборе S , то наименьший основной коэффициент N чем эффективно вычисляемая константа в зависимости только от S. должен быть меньше ,
• If ( e ₁ , ..., e _k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с T One и U Twos, затем $(t-1)/4\leq u\leq 2t+{\sqrt {\alpha }}$.
• ( E ₁ , ..., E _K ) ↓ (1, ..., 1, 3), (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6).
• Если e ₁ = ... = e _k = e , то
  • E не может быть 3, 5, 24, 6, 8, 11, 14 или 18.
  • $k\leq 2e^{2}+8e+2$ и $N<2^{4^{2e^{2}+8e+3}}$.

В 1888 году Сильвестр заявил:

... длительная медитация по этому вопросу удовлетворила меня, что существование любого такого [нечетного идеального числа] - это, так сказать чудо.

Незначительные результаты

Все даже идеальные числа имеют очень точную форму; Странные идеальные числа либо не существуют, либо редки. Есть ряд результатов на идеальных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, поверхностно впечатляющие; Некоторые из них также попадают под сильный закон Ричарда Гая о небольших количествах :

• Единственное даже идеальное число формы n ³ + 1 - 28 ( Маковский 1962 ).
• 28 также является единственным даже идеальным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубиков целых чисел ( Gallardo 2010 ).
• В взаимные делители идеального числа n должны сложить до 2 (чтобы получить это, принять определение идеального числа, $\sigma _{1}(n)=2n$и разделите обе стороны на n ):
  • На 6 у нас есть ${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{1}}={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}+{\frac {6}{6}}={\frac {1+2+3+6}{6}}={\frac {2\cdot 6}{6}}=2$;
  • Для 28 у нас есть $1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2$, и т. д.
• Количество делителей идеального числа (будь то даже или нечетное) должно быть равномерным, потому что N не может быть идеальным квадратом.
  • Из этих двух результатов следует, что каждое идеальное число является гармоническим числом руды .
• Еще идеальные числа не являются трапециевидными числами ; То есть они не могут быть представлены как разница двух положительных неконсознательных треугольных чисел . Существует только три типа непредвиденных чисел: даже идеальные числа, силы двух и количество формы $2^{n-1}(2^{n}+1)$ образуется как продукт Fermat Prime $2^{n}+1$ с силой двух в аналогичном построении даже совершенных чисел от Мерсенн Проты.
• Количество идеальных чисел меньше n меньше, чем $c{\sqrt {n}}$, где C > 0 - постоянная. На самом деле это $o({\sqrt {n}})$, используя маленькие нотации .
• Каждое даже идеальное число заканчивается 6 или 28, базовая десятка; и, за единственным исключением 6, заканчивается в 1 в основании 9. Следовательно, в частности цифровой корень каждого даже совершенного числа, кроме 6, составляет 1.
• Единственный идеальный номер без квадратов- 6.

Связанные концепции

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное обильное

   Очень много

   Супербантар и очень композитный

   Колоссально изобильный и превосходный очень составный

   Странный

   Идеальный

   Композит

   Дефицит

Сумма надлежащих делителей дает различные другие виды чисел. Числа, в которых сумма меньше, чем само число, называются дефицитом , и где она больше, чем число, обильно . Эти термины вместе с самим совершенством происходят из греческой нумерологии . Пара чисел, которые являются суммой надлежащих делителей друг друга, называются дружелюбными , а большие циклы чисел называются общительными . Положительное целое число, так что каждое меньшее положительное целое число - это сумма различных его делителей, является практическим числом .

По определению, идеальное число является фиксированной точкой ограниченной функции делителя S ( n ) = σ ( n ) - N , а последовательность аликвоты, связанная с идеальным числом, является постоянной последовательности. Все идеальные цифры также ${\mathcal {S}}$-Подмертные цифры или номера Гранвиля .

Полуперфекционное число - это естественное число, равное сумме всей или некоторых из его надлежащих делителей. Полуперфекционное число, равное сумме всех его надлежащих делителей, является идеальным числом. Большинство распространенных цифр также полуперфекции; Обильные цифры, которые не являются полуперферегентами, называются странными числами .

Смотрите также

• Гиперперфектный номер
• ЛЕЙНСТР Группа
• Список простых чисел Мерсенна и идеальных чисел
• Умножьте идеальное число
• Superfect Numbers
• Унитарный идеальный номер
• Гармоничный номер делителя

Ссылки

Источники

• Евклид, элементы , книга IX, предложение 36. См. Веб -сайт де Джойса для перевода и обсуждения этого предложения и его доказательства.
• Канольд, Х.-Дж. (1941). «Исследования на странных идеальных числах». Журнал для чистой и прикладной математики . 1941 (183): 98-109. Doi : 10.1515/crll.1941.183.98 . S2CID   115983363 .
• Steuerwald, R. «Ужесточение необходимого условия для существования нечетного полного числа». Сб. Байер. Акад . 1937 : 69–72.

Дальнейшее чтение

• Нанок, ML: «История совершенных чисел», Ганита Бхарати 1, нет. 1–2 (1979), 7–8.
• Хагис, П. (1973). «Нижняя граница для набора странных идеальных чисел» . Математика вычислений . 27 (124): 951–953. doi : 10.2307/2005530 . JSTOR   2005530 .
• Riele, HJJ «Идеальные числа и аликвоты» в HW Lenstra и R. Tijdeman (Eds.): Вычислительные методы в теории чисел , Vol. 154, Амстердам, 1982, с. 141–157.
• Ризель, Х. Прайс и компьютерные методы для факторизации , Birkhauser, 1985.
• Александр, Йозсеф; Crsici, Borislav (2004). Справочник по теории номеров II . Дордрехт: Kluwer Academic. стр. 15-98 . ISBN  1-4020-2546-7 Полем ZBL   1079.11001 .

Внешние ссылки

• «Идеальное число» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
• Дэвид Моуз: Идеальные, дружелюбные и общительные цифры
• Идеальные числа - история и теория
• Вейсштейн, Эрик В. "Идеальное число" . MathWorld .
• OEIS -последовательность A000396 (идеальные числа)
• OddPerfect.org Проектированный распределенный вычислительный проект для поиска Odd Perfect Numbers.
• Отличный интернет -Mersenne Prime Search (Gimps)
• Идеальные номера , математический форум в Drexel.
• Граймс, Джеймс. «8128: идеальные числа» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала 2013-05-31 . Получено 2013-04-02 .