Парето эффективность

В экономике благосостояния формализует улучшение Парето идею о том, что результат «лучше во всех возможных способах». Изменение называется улучшением Парето, если оно оставляет всех в обществе лучше (или, по крайней мере, настолько сожественно, как и раньше). Ситуация называется Pareto Efficial или Pareto Optimal , если все возможные улучшения Pareto уже были сделаны; Другими словами, больше нет никаких способов сделать одного человека лучше, не делая другого человека хуже.

В теории социального выбора та же концепция иногда называют принципом единодушия , в котором говорится, что если все в обществе ( не страшно ) предпочитают А до В, общество в целом также не строго предпочитает А до Б.

состоит Фронт Парето из всех парето-экономичных ситуаций.

В дополнение к контексту эффективности распределения , концепция эффективности Парето также возникает в контексте эффективности производства в зависимости от X-нефть . Входные данные, так что выходной продукт увеличивается, в то время как выходы всех других товаров либо увеличиваются, либо остаются прежними.

Помимо экономики, понятие эффективности Парето также применяется к выбору альтернатив в инженерии и биологии . Каждый вариант сначала оценивается, по нескольким критериям, а затем подмножество параметров идентифицируется с свойством, что ни один другой вариант не может категорически превзойти указанный вариант. Это утверждение о невозможности улучшения одной переменной, не нанося вреда другим переменным в предмете многоцелевой оптимизации (также называемой оптимизацией Парето ).

История

Эта концепция названа в честь Вильфредо Парето (1848–1923), итальянского инженера -строителя и экономиста , который использовал эту концепцию в своих исследованиях экономической эффективности и распределения доходов .

Первоначально Парето использовал слово «оптимальное» для концепции, но это неверно : концепция Парето более тесно связана с идеей «эффективности», потому что она не идентифицирует ни единого «лучшего (оптимального) результата. Вместо этого он идентифицирует только набор результатов, которые можно считать оптимальными, по крайней мере, одним человеком.

Обзор

Формально, государство является оптимальным, если нет альтернативного состояния, когда благополучие хотя бы одного участника выше, и никто другой благополучие не ниже. Если существует изменение состояния, которое удовлетворяет это условием, новое состояние называется «улучшение парето». Когда невозможны улучшения парето, состояние является «оптимумом Парето».

Другими словами, эффективность Парето - это когда невозможно сделать одну сторону лучше, не ухудшив другую сторону. Это состояние указывает на то, что ресурсы больше не могут быть выделены таким образом, чтобы сделать одну сторону лучше, не причиняя вреда другим сторонам. В состоянии эффективности Парето ресурсы выделяются наиболее эффективным способом.

Эффективность Парето математически представлена, когда нет другого профиля стратегии , так что U _I (S ') ≥ U _I (S) для каждого игрока I и U _J (S')> U _J (S) для некоторого игрока j . В этом уравнении S представляет профиль стратегии, U представляет собой полезность или выгоду, а J представляет игрока.

Эффективность является важным критерием для оценки поведения в игре. В заметной и часто анализируемой игре, известной как дилемма заключенного , изображенную ниже как игра с нормальной формой , можно наблюдать эту концепцию эффективности, в том смысле, что профиль стратегии ( совместный , совместный ) является более эффективной, чем ( дефект , дефект ).

Дилемма заключенного

Игрок 2 Игрок 1	Сотрудничать	Дефект
Сотрудничать	-1 , -1	-5 , 0
Дефект	0 , -5	-2 , -2

Используя приведенное выше определение, пусть s = (-2, -2) ( оба дефекта ) и s '= (-1, -1) ( оба сотрудничают ). Тогда ты _u (s ') > i _для (s) всех я . Таким образом, оба сотрудничества являются улучшением парето по сравнению с обоим дефектом , что означает, что оба дефекта не являются парето-экономическими. Кроме того, ни один из оставшихся профилей стратегии, (0, -5) или (-5, 0) , не является улучшением парето по сравнению с оба сотрудничества , так как -5 <-1 . Таким образом, оба сотрудничества являются парето-эффективными.

В играх с нулевой суммой каждый результат имеет эффективность парето.

Особый случай государства - это распределение ресурсов. Формальное представление концепции в экономике - следующее: рассмотрим экономику с $n$ агенты и $k$ товары. Тогда распределение $\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$, где $x_{i}\in \mathbb {R} ^{k}$ Для всех , я , парето-оптимальный, если нет другого возможного распределения $\{x_{1}',\dots ,x_{n}'\}$ где для функции полезности $u_{i}$ для каждого агента $i$, $u_{i}(x_{i}')\geq u_{i}(x_{i})$ для всех $i\in \{1,\dots ,n\}$ с $u_{i}(x_{i}')>u_{i}(x_{i})$ для некоторых $i$. Здесь, в этой простой экономике, «осуществимость» относится к распределению, когда общая сумма каждого блага выделяется не более, чем общая сумма добра в экономике. В более сложной экономике с производством распределение будет состоять как из векторов потребления , так и для производственных векторов, а возможность потребует, чтобы общее количество каждого потребляемого блага не была больше, чем первоначальное пожертвование, плюс производимая сумма.

Согласно предположениям о теореме первого социального обеспечения , конкурентный рынок приводит к результату, достигающему Парето. Этот результат был впервые продемонстрирован математически экономистами Кеннетом Эрроу и Гераром Дебре . Тем не менее, результат придерживается только предположений о теореме: рынки существуют для всех возможных товаров, нет внешних эффектов , рынки совершенно конкурентоспособны, а участники рынка имеют идеальную информацию .

В отсутствие идеальной информации или полных рынков, результаты, как правило, будут обладать парето-энтефальными, согласно теореме Гринвальда-Стиглиц .

Вторая теорема социального обеспечения по сути является обратной теоремой первой теоремы социального обеспечения. В нем говорится, что в соответствии с аналогичными идеальными допущениями любые оптимальные Pareto могут быть получены с помощью некоторого конкурентного равновесия или системы свободного рынка , хотя это также может потребовать единовременной передачи богатства.

Эффективность Парето и неудача рынка

Неэффективное распределение ресурсов на свободном рынке известно как провал рынка . Учитывая, что есть место для улучшения, отказ рынка подразумевает неэффективность Парето.

Например, чрезмерное использование негативных товаров (таких как лекарства и сигареты) приводит к затратам для некурящих, а также ранней смертности для курильщиков. Налоги на сигареты могут помочь людям перестать курить, а также собирать деньги для решения проблем, вызванных курением.

Парето эффективность и справедливость

Можно увидеть улучшение Парето, но это не всегда подразумевает, что результат желательный или справедливый. После улучшения Парето неравенство все еще может существовать. Тем не менее, это означает, что любое изменение будет нарушать принцип «не причинять вреда», потому что, по крайней мере, один человек будет хуже.

Общество может быть эффективным парето, но имеет значительный уровень неравенства. Наиболее справедливым курсом действия было бы разделить пирог на три равные части, если бы было три человека и пирог. Третий человек не проигрывает (даже если он не принимает участие в пироге), поэтому расщепление его пополам, и отдавать его двум людям будет считаться эффективным.

На границе производственных возможностей произойдет эффективность Парето. Невозможно повысить производительность продуктов, не уменьшая выработку услуг, когда экономика функционирует на основной границе производства, например, в точке A, B или C.

Парето заказ

Если несколько подголов $f_{i}$ (с $i>1$) существуют, объединенные в векторную целевую функцию ${\vec {f}}=(f_{1},\dots f_{n})^{T}$, как правило, найти уникальный оптимальный ${\vec {x}}^{*}$ становится сложным. Это связано с отсутствием общего порядка отношения для $n>1$Полем В этом случае различные решения могут быть «несравненными» Поскольку нет общего порядка отношения, чтобы облегчить сравнение ${\vec {f}}({\vec {x}}^{*})\geq {\vec {f}}({\vec {x}})$Полем Применим только заказ Парето:

Рассмотрим проблему с минимизацией векторов: ${\vec {y}}^{(1)}\in \mathbb {R} ^{n}$ Парето доминирует ${\vec {y}}^{(2)}\in \mathbb {R} ^{n}$ тогда и только тогда:  : $\forall i\in {1,\dots m}:{\vec {y}}_{i}^{(1)}\leq {\vec {y}}_{i}^{(2)}$ и $\exists j\in {1,\dots m}:{\vec {y}}_{j}^{(1)}<{\vec {y}}_{j}^{(2)}.$ Затем мы пишем ${\vec {y}}^{(1)}\prec {\vec {y}}^{(2)}$, где $\prec$ это приказ Парето. Это означает, что ${\vec {y}}^{(1)}$ не хуже, чем ${\vec {y}}^{(2)}$ в любой цели, но лучше (так как меньше) по крайней мере в одной цели $j$Полем Порядок Парето является строгим частичным порядком , хотя это не порядок продукта (не строгий и не строгий).

Если ${\vec {f}}({\vec {x}}_{1})\prec {\vec {f}}({\vec {x}}_{2})$, затем это определяет предварительный заказ в пространстве поиска, и мы говорим ${\vec {x}}_{1}$ Парето доминирует в альтернативе ${\vec {x}}_{2}$ И мы пишем ${\vec {x}}_{1}\prec _{\vec {f}}{\vec {x}}_{2}$.

${\vec {f}}(x)$ доминирует ${\vec {f}}(y)$ В порядке Парето (который стремится минимизировать цели $f_{1}$ и $f_{2}$).

${\vec {f}}(x)$ не доминирует ${\vec {f}}(y)$ в приказе Парето и ${\vec {f}}(y)$ не доминирует ${\vec {f}}(x)$ В порядке Парето (который стремится минимизировать цели $f_{1}$ и $f_{2}$).

Варианты

Слабая эффективность Парето

Слабая эффективность Парето - это ситуация, которая не может быть строго улучшена для каждого человека.

Формально, сильное улучшение Парето определяется как ситуация, в которой все агенты строго лучше (в отличие от «улучшения Парето», что требует, чтобы один агент строго был лучше, а другие агенты, по крайней мере, столь же хороши) Полем Ситуация слабая парето, если у нее нет сильных улучшений Парето.

Любое сильное улучшение Парето также является слабым улучшением Парето. Противоположность неправда; Например, рассмотрим проблему распределения ресурсов с двумя ресурсами, которые значения Алисы в {10, 0} и значения Джорджа в {5, 5}. Рассмотрим распределение, предоставляя все ресурсы Алисе, где профиль утилиты (10, 0):

• Это слабый PO, так как никакое другое распределение строго не лучше для обоих агентов (нет сильных улучшений Парето).
• Но это не сильный PO, поскольку распределение, в котором Джордж получает второй ресурс, строго лучше для Джорджа и слабо лучше для Алисы (это слабое улучшение Парето) - его профиль полезности (10, 5).

Рынок не требует локального неспособности , чтобы добраться до слабого оптимума Pareto.

Ограниченная эффективность Парето

Ограниченная эффективность Парето - это ослабление оптимальности Парето, учитывая тот факт, что потенциальный планировщик (например, правительство) не может улучшить децентрализованный результат рынка, даже если этот результат неэффективен. Это произойдет, если он ограничен теми же информационными или институциональными ограничениями, что и отдельные агенты.

Примером является установка, в которой люди имеют частную информацию (например, рынок труда, на котором производительность работника известна работнику, но не потенциальному работодателю, или рынку подержанной автомобиля, где качество автомобиля известно Продавец, но не покупатель), который приводит к моральному риску или неблагоприятному отбору и неоптимальному исходу. В таком случае планировщик, который хочет улучшить ситуацию, вряд ли будет иметь доступ к любой информации, которой нет участников рынков. Следовательно, планировщик не может внедрить правила распределения, основанные на уникальных характеристиках отдельных лиц; Например, «если человек имеет тип А , он платят цену р ₁ , но если типа В , он платят цену р ₂ » (см. Цены Линдала ). По сути, разрешены только анонимные правила (такого рода «каждый платит цену p ») или правила, основанные на наблюдаемом поведении; «Если кто -то выбирает x по цене P _x , то он получает субсидию в десять долларов и ничего иначе». Если не существует разрешенного правила, которое может успешно улучшить результат рынка, то этот результат, как говорят, «ограничен парето-оптимальным».

Дробная эффективность Парето

Основная статья: Фракционная эффективность Парето

Фракционная эффективность Парето - это повышение эффективности Парето в контексте справедливого распределения предметов . Распределение неделимых элементов является фракционно парето-эффективным (FPE или FPO), если они не доминируют в парето даже при распределении, в котором некоторые элементы разделены между агентами. Это в отличие от стандартной эффективности Парето, которая учитывает доминирование только возможными (дискретными) распределением.

В качестве примера рассмотрим задачу распределения элементов с двумя элементами, которые значения Алисы значения по адресу {3, 2} и Джорджа по адресу {4, 1}. Рассмотрим распределение, предоставляя первый пункт Алисе, а второй - Джорджу, где профиль утилиты (3, 1):

• Это парето-эффективно, поскольку любое другое дискретное распределение (без разделения предметов) делает кого-то хуже.
• Тем не менее, он не является фракционно парето-экономичным, поскольку он доминирует в парето, предоставляя Алису 1/2 первого элемента и весь второй пункт, а также 1/2 первого предмета Джорджу-его полезность профиль (3,5, 2).

Эффективность бывшей Анте Парето

Когда процесс принятия решений является случайным, например, в справедливом случайном назначении или случайном социальном выборе или голосовании с дробным одобрением , существует разница между эффективностью экс-пост и экс-Анте Парето :

• Эффективность эксплуатации Pareto означает, что любой результат случайного процесса является эффективным парето.
• Эффективность экс-Анте Парето означает, что лотерея , определяемая процессом, является эффективной парето в отношении ожидаемых коммунальных услуг. То есть: ни одна другая лотерея не дает более высокой ожидаемой полезности одному агенту и, по крайней мере, столь же высокой ожидаемой полезности для всех агентов.

Если какая-то лотерея L является бывшей PE, то это также бывшая PE. Доказательство : Предположим, что один из бывших результатов POST x x L , доминирует в парето, с помощью какого-то другого результата y . Затем, перемещая некоторую вероятностную массу от x к Y , один достигает другой лотереи L ' которая бывшая парето-доминат L. ,

Наоборот не соответствует действительности: Ex-Ante PE сильнее, что Ex-Post PE. Например, предположим, что есть два объекта - машина и дом. Алиса ценит автомобиль в 2 и дом в 3; Джордж ценит машину в 2 и дом в 9. Рассмотрим следующие две лотерей:

1. С вероятностью 1/2, отдайте машину Алисе и дому Джорджу; В противном случае, отдайте машину Джорджу и дом Алисе. Ожидаемая полезность составляет (2/2 + 3/2) = 2,5 для Алисы и (2/2 + 9/2) = 5,5 для Джорджа. Оба распределения-это бывшая PE PE, поскольку тот, кто получил машину, не может быть сделан лучше, не причиняя вреда тому, кто получил дом.
2. С вероятностью 1, дайте автомобиль Алисе, затем с вероятностью 1/3 отдайте дом Алисе, в противном случае отдайте его Джорджу. Ожидаемая полезность составляет (2 + 3/3) = 3 для Алисы и (9 × 2/3) = 6 для Джорджа. Опять же, оба ассигнования-бывшая PE.

В то время как оба лотереи являются бывшими PE PE, лотерея 1 не является бывшей PE, так как в лотереи 2 в Pareto доминирует в парето.

Другой пример включает в себя дихотомические предпочтения . Есть 5 возможных результатов ( A , B , C , D , E ) и 6 избирателей. Наборы утверждения избирателей являются ( AC , AD , AE , BC , BD , BE ) . Все пять результатов-это PE, поэтому каждая лотерея является бывшей PE. Но лотерея, выбирающая C , D , E с вероятностью по 1/3 каждый не является бывшим PE, поскольку она дает ожидаемую полезность 1/3 каждому избирателю, в то время как лотерея выбирает A , B с вероятностью 1/2 каждый дает Ожидаемая полезность 1/2 для каждого избирателя.

Байесовская эффективность Парето

Основная статья: байесовская эффективность

Байесовская эффективность - это адаптация эффективности Парето к настройкам, в которых игроки имеют неполную информацию о типах других игроков.

Порядка эффективность Парето

Основная статья: Орнальная эффективность Парето

Порядок эффективности Парето - это адаптация эффективности Парето к настройкам, в которых игроки сообщают только о рейтинге только по отдельным предметам, и мы не знаем наверняка, как они оценивают целые пакеты.

Парето эффективность и справедливость

Хотя результат может быть улучшением Парето, это не означает, что результат является справедливым. Возможно, что неравенство сохраняется даже после улучшения Парето. Несмотря на то, что он часто используется в сочетании с идеей оптимальности Парето, термин «эффективность» относится к процессу повышения производительности общества. Общество может иметь эффективность Парето, а также иметь высокий уровень неравенства. Рассмотрим следующий сценарий: есть пирог и три человека; Наиболее справедливым способом было бы разделить пирог на три равные части. Однако, если пирог разделен пополам и разделяется между двумя людьми, он считается эффективным, а это означает, что третье лицо не проигрывает (несмотря на то, что он не получает кусок пирога). При вынесении суждений очень важно учитывать различные аспекты, включая социальную эффективность, общую благосостояние и такие проблемы, как снижение предельной ценности.

Эффективность Парето и неудача рынка

Чтобы полностью понять неудачу на рынке, необходимо сначала понять успех рынка, который определяется как способность набора идеализированных конкурентных рынков для достижения равновесного распределения ресурсов, которые являются оптимальными с точки зрения распределения ресурсов. В соответствии с определением неудачи рынка, это обстоятельство, при котором заключение первой фундаментальной теоремы благосостояния является ошибочным; То есть, когда ассигнования, сделанные через рынки, не являются эффективными. На свободном рынке сбой рынка определяется как неэффективное распределение ресурсов. В связи с тем, что возможно улучшить, отказ рынка подразумевает неэффективность Парето. Например, чрезмерное потребление амортизирующих предметов (наркотики/табак) приводит к внешним затратам для некурящих, а также преждевременной смерти для курильщиков, которые не уходят. Увеличение цен на сигареты может мотивировать людей бросить курить, а также собирать средства для лечения заболеваний, связанных с курением.

Приблизительная эффективность Парето

Учитывая некоторые ε > 0, результат называется ε -Паратоэффективным, если ни один другой результат не дает всем агентам, по крайней мере, одинаковой полезности, а один агент -утилита, по крайней мере, (1 + ε ) выше. Это отражает представление о том, что улучшения меньше, чем (1 + ε ), незначительны и не должны рассматриваться как нарушение эффективности.

Парето-эффективность и максимизация благосостояния

См. Также: Подразделение без завистников Парето.

Предположим, каждому агенту мне присваивается положительный вес a _i . Для каждого распределения x определите благосостояние X как взвешенную сумму коммунальных услуг всех агентов в X :

$W_{a}(x):=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}(x).$

Пусть x _A будет распределением, которое максимизирует благосостояние по сравнению с всеми ассигнованиями:

$x_{a}\in \arg \max _{x}W_{a}(x).$

Легко показать, что распределение x _A является парето-экономичным: поскольку все веса положительны, любое улучшение парето увеличит сумму, противоречит определению x _a .

Японский нео- вальрасийский экономист Такаши Негиши доказал Это, при определенных предположениях, противоположность также верно: для каждого парето-экономического распределения x существует положительный вектор А, так что x максимизирует w _a . Более короткое доказательство предоставлено Hal Varian .

Использование в инженерии

Понятие эффективности Парето использовалось в инженерии. Учитывая набор вариантов и способ оценить их, фронт Парето (или набор Парето или Парето Граница )-это набор вариантов, которые имеют эффективность Парето. Ограничивая внимание на набор вариантов, которые имеют эффективность парето, дизайнер может делать компромиссы в этом наборе, а не учитывать полный диапазон каждого параметра.

Использовать в государственной политике

Современная микроэкономическая теория в значительной степени основала на концепции эффективности Парето для вдохновения. Парето и его преемники склонны описывать это техническое определение оптимального распределения ресурсов в контексте его равновесия, которое теоретически может быть достигнуто в рамках абстрактной модели рыночной конкуренции. Поэтому он очень часто рассматривался как подтверждение понятия Адама Смита « невидимой руки ». В частности, это мотивировало дебаты о « рыночном социализме » в 1930 -х годах.

Однако, поскольку результат, достигающий парето, трудно оценить в реальном мире, когда вводятся проблемы, включая асимметричную информацию, сигнализацию, неблагоприятный отбор и моральный риск, большинство людей не принимают теоремы экономики благосостояния как точные описания реального мира Полем Следовательно, значение двух теорем о экономике благосостояния заключается в их способности генерировать структуру, которая доминировала в неоклассическом мышлении о государственной политике. Эта структура заключается в том, что теоремы экономики благосостояния позволяют изучать политическую экономию в следующих двух ситуациях: «провал рынка» и «проблема перераспределения».

Анализ «неудачи рынка» может быть понят литературой, окружающей внешние эффекты. При сравнении «реальной» экономики с полной случайной экономикой рынков (которая считается эффективной), неэффективность становится ясной. Эти неэффективность или внешние эффекты могут быть устранены с помощью механизмов, включая права собственности и корректирующие налоги.

Анализ «Проблема с перераспределением» касается наблюдаемого политического вопроса о том, как следует использовать доход или товарные налоги. Теорема говорит нам, что налогообложение не является парето-экономичным и что налогообложение с перераспределением является парето-инфекцией. Из -за этого большая часть литературы сосредоточена на поиске решений, в которых имеется налоговая структура, как налоговая структура может назначить ситуацию, когда никто не может быть улучшен в результате изменения имеющихся налогов.

Использование в биологии

Оптимизация Парето также изучалась в биологических процессах. У бактерий было показано, что гены либо недороги, чтобы сделать (ресурсные), либо легче для чтения ( перевод -эффективный). Естественный отбор действует, чтобы подтолкнуть высоко экспрессируемые гены в сторону границы Pareto для использования ресурсов и трансляционной эффективности. Также было показано, что гены рядом с границей Парето развиваются медленнее (указывая на то, что они предоставляют селективное преимущество).

Общие заблуждения

Было бы неверно рассматривать эффективность Парето как эквивалентную социальной оптимизации, Поскольку последнее является нормативной концепцией, которая является вопросом интерпретации, которая, как правило, объясняет следствие степени неравенства распределения. Примером будет толкование одного школьного округа с низкими доходами от налога на имущество по сравнению с другим с гораздо более высоким доходом в качестве признака того, что более равное распределение происходит с помощью государственного перераспределения.

Критика

Некоторые комментаторы оспаривают, что эффективность Парето потенциально может служить идеологическим инструментом. Поскольку это подразумевает, что капитализм саморегулируется, вполне вероятно, что встроенные структурные проблемы, такие как безработица, будут рассматриваться как отклоняющиеся от равновесия или нормы, и, таким образом, пренебрегают или со скидкой.

Эффективность Парето не требует полностью справедливого распределения богатства, которое является еще одним аспектом, который привлекает критику. Экономика, в которой богатые немногие держат подавляющее большинство ресурсов, может быть парето-экономичным. Простым примером является распространение пирога среди трех человек. Наиболее справедливое распределение назначит каждому человеку одну треть. Тем не менее, назначение, скажем, половина секции каждому из двух человек, и ни одному третьему также является парето-оптимальным, несмотря на то, что он не является справедливым, потому что ни один из получателей не мог быть лучше, не уменьшая чужую долю; И есть много других таких примеров распределения. Примером распределения пирога парето-неэффективного пирога будет выделение четверти пирога по каждому из трех, а остальная часть отброшена.

Либеральный парадокс, разработанный Амартией Сен, показывает, что, когда люди имеют предпочтения в отношении того, что делают другие люди, цель эффективности Парето может вступить в конфликт с целью личной свободы.

Наконец, предполагается, что эффективность Парето в некоторой степени ингибировала обсуждение других возможных критериев эффективности. Как утверждает профессор школы Уортона Бен Локвуд, одна из возможных причин заключается в том, что любые другие критерии эффективности, установленные в неоклассической области, в конце концов уменьшатся до эффективности Парето.

Смотрите также

• Правило допустимого решения , аналоговое в теории решений
• Теорема о невозможности стрелы
• Байесовская эффективность
• Фундаментальные теоремы экономики благосостояния
• Потеря с мерым весом
• Экономическая эффективность
• Высшее и наилучшее использование
• Калдор -Хикс Эффективность
• Маргинальная полезность
• Провал рынка , когда рыночный результат не является парето-оптимальным
• Максимальный элемент , концепция в порядок теория
• Максимум точечного набора
• Многоцелевая оптимизация
• Нэш равновесие
• Парето-эффективное подразделение без зависти
• Социальный выбор и индивидуальные ценности для «(слабый) принцип Парето»
• Totrep
• Экономика благосостояния

Ссылки

Парето, V (1906). Руководство по политической экономии. Издательство Оксфордского университета. https://global.oup.com/academic/product/manual-of-political-comonomy-9780199607952?cc=ca&lang=en& .

Дальнейшее чтение

• Фуденберг, соны ; Тирале, Джин (1991). Теория игры . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . стр. 18-23 . ISBN  9780262061414 Полем Предварительный просмотр книги.
• Бендор, Джонатан; Мукерджи, Дилип (апрель 2008 г.). «Коммунитарные и универсалистические нормы». Ежеквартальный журнал политологии . 3 (1): 33–61. doi : 10.1561/100.00007028 .
• Канбур, Рави (январь - июнь 2005 г.). «Месть Парето» (PDF) . Журнал социального и экономического развития . 7 (1): 1–11.
• Н.Г., Юв-Кванг (2004). Экономика благосостояния для более полного анализа . Бейсингсток, Хэмпшир, Нью -Йорк: Палгрейв Макмиллан. ISBN  9780333971215 .
• Рубинштейн, Ариэль ; Осборн, Мартин Дж. (1994), «Введение», в Рубинштейне, Ариэль ; Осборн, Мартин Дж. (Ред.), Курс теории игры , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, с. 6–7, ISBN  9780262650403 Предварительный просмотр книги.
• Матур, Виджай К. (весна 1991). «Насколько хорошо мы знаем оптимальность Парето?». Журнал экономического образования . 22 (2): 172–178. doi : 10.2307/1182422 . JSTOR   1182422 .
• Ньюбери, Дэвид М.Г .; Стиглиц, Джозеф Э. (январь 1984 г.). «Парето низшая торговля». Обзор экономических исследований . 51 (1): 1–12. doi : 10.2307/2297701 . JSTOR   2297701 .