Модель Изинга

Модель Изинга (или модель Ленца–Изинга ), названная в честь физиков Эрнста Изинга и Вильгельма Ленца — математическая модель ферромагнетизма , в статистической механике . Модель состоит из дискретных переменных , которые представляют собой магнитные дипольные моменты атомных «спинов» , которые могут находиться в одном из двух состояний (+1 или -1). Спины расположены в виде графа, обычно в виде решетки (где локальная структура периодически повторяется во всех направлениях), что позволяет каждому спину взаимодействовать со своими соседями. Соседние согласованные спины имеют меньшую энергию, чем несогласованные; система стремится к наименьшей энергии, но тепло нарушает эту тенденцию, создавая тем самым возможность различных структурных фаз. Модель позволяет идентифицировать фазовые переходы как упрощенную модель реальности. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой — одна из простейших статистических моделей, показывающих фазовый переход .

Модель Изинга была изобретена физиком Вильгельмом Ленцем ( 1920 ), который поставил ее в качестве задачи своему ученику Эрнсту Изингу. Одномерная модель Изинга была решена только Изингом (1925) в его диссертации 1924 года; у него нет фазового перехода. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой намного сложнее, и ее аналитическое описание было дано гораздо позже Ларсом Онсагером ( 1944 ). Обычно она решается методом трансфер-матрицы , хотя существуют и другие подходы, больше связанные с квантовой теорией поля .

В размерностях больше четырех фазовый переход модели Изинга описывается теорией среднего поля . Модель Изинга для больших размерностей также исследовалась в отношении различных древовидных топологий в конце 1970-х годов, кульминацией чего стало точное решение не зависящей от времени модели Барта (1981) с нулевым полем для замкнутых деревьев Кэли с произвольным коэффициентом ветвления и, таким образом, , сколь угодно большой размерности в пределах ветвей дерева. Решение этой модели продемонстрировало новое, необычное поведение фазового перехода, а также неисчезающие спин-спиновые корреляции дальнего действия и ближайших соседей, что считается актуальным для больших нейронных сетей как одно из его возможных приложений .

Проблему Изинга без внешнего поля можно эквивалентно сформулировать как графа задачу максимального разреза (Max-Cut), которую можно решить с помощью комбинаторной оптимизации .

Определение

Рассмотрим набор $\Lambda$ узлов решетки, каждый из которых имеет набор соседних узлов (например, граф ), образующих $d$-мерная решетка. Для каждого узла решетки $k\in \Lambda$ есть дискретная переменная $\sigma _{k}$ такой, что $\sigma _{k}\in \{-1,+1\}$, представляющий вращение сайта. Спиновая конфигурация , ${\sigma }=\{\sigma _{k}\}_{k\in \Lambda }$ – это присвоение значения спина каждому узлу решетки.

Для любых двух соседних сайтов $i,j\in \Lambda$ есть взаимодействие $J_{ij}$. Также сайт $j\in \Lambda$ имеет внешнее магнитное поле $h_{j}$ взаимодействуя с ним. Энергия ​ конфигурации ${\sigma }$ задается функцией Гамильтона

$$H(\sigma )=-\sum _{\langle ij\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j},$$

где первая сумма ведется по парам соседних спинов (каждая пара считается один раз). Обозначения $\langle ij\rangle$ указывает на то, что сайты $i$ и $j$ являются ближайшими соседями. Магнитный момент определяется выражением $\mu$. Обратите внимание, что знак второго члена приведенного выше гамильтониана на самом деле должен быть положительным, поскольку магнитный момент электрона антипараллелен его спине, но отрицательный член используется традиционно. Вероятность конфигурации определяется распределением Больцмана с обратной температурой $\beta \geq 0$:

$$P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},$$

где $\beta =1/(k_{\text{B}}T)$, а константа нормировки

$$Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}$$

это функция распределения . Для функции $f$ спинов («наблюдаемых») обозначается через

$$\langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma )$$

ожидаемое (среднее) значение $f$.

Вероятности конфигурации $P_{\beta }(\sigma )$ представляют вероятность того, что (в равновесии) система находится в состоянии с конфигурацией $\sigma$.

Обсуждение

Знак минус на каждом члене функции Гамильтона $H(\sigma )$ является традиционным. Используя это соглашение о знаках, модели Изинга можно классифицировать по знаку взаимодействия: если для пары i , j

• $J_{ij}>0$, взаимодействие называется ферромагнитным ,
• $J_{ij}<0$, взаимодействие называется антиферромагнитным ,
• $J_{ij}=0$, спины невзаимодействуют .

Система называется ферромагнитной или антиферромагнитной, если все взаимодействия ферромагнитны или все антиферромагнитны. Первоначальные модели Изинга были ферромагнитными, и до сих пор часто предполагается, что «модель Изинга» означает ферромагнитную модель Изинга.

В ферромагнитной модели Изинга спины стремятся выровняться: конфигурации, в которых соседние спины имеют один и тот же знак, имеют более высокую вероятность. В антиферромагнитной модели соседние спины имеют тенденцию иметь противоположные знаки.

Соглашение о знаках H (σ) также объясняет, как спиновый узел j взаимодействует с внешним полем. А именно, центр вращения хочет выровняться с внешним полем. Если:

• $h_{j}>0$, спиновый участок j желает выстроиться в положительном направлении,
• $h_{j}<0$, спиновый участок j желает выстроиться в отрицательном направлении,
• $h_{j}=0$, внешнего воздействия на центр спина нет.

Упрощения

Модели Изинга часто рассматриваются без внешнего поля, взаимодействующего с решеткой, т. е. h = 0 для всех j в решетке Λ. Используя это упрощение, гамильтониан становится

$$H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.$$

Когда внешнее поле всюду равно нулю, h = 0, модель Изинга симметрична относительно переключения значения спина во всех узлах решетки; ненулевое поле нарушает эту симметрию.

Другое распространенное упрощение — предположить, что все ближайшие соседи ⟨ ij ⟩ имеют одинаковую силу взаимодействия. Тогда мы можем положить J _ij = J для всех пар i , j в Λ. В этом случае гамильтониан дополнительно упрощается до

$$H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.$$

Подключение к графику максимального разреза

Подмножество S множества вершин V(G) взвешенного неориентированного графа G определяет разрез графа G на S и дополнительное к нему подмножество G\S. Размер разреза — это сумма весов ребер между S и G\S. Максимальный размер разреза — это, по крайней мере, размер любого другого разреза, варьирующийся от S.

Для модели Изинга без внешнего поля на графе G гамильтониан становится следующей суммой по ребрам графа E(G)

$H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}$.

Здесь каждая вершина i графа представляет собой узел вращения, принимающий значение вращения. $\sigma _{i}=\pm 1$. Заданная конфигурация спина $\sigma$ разбивает набор вершин $V(G)$ на два $\sigma$-зависимые подмножества, с раскруткой вверх $V^{+}$ и те, у которых спин вниз $V^{-}$. Обозначим через $\delta (V^{+})$ тот $\sigma$-зависимый набор ребер, соединяющий два дополнительных подмножества вершин $V^{+}$ и $V^{-}$. Размер ​ $\left|\delta (V^{+})\right|$ разреза $\delta (V^{+})$ чтобы разделить взвешенный неориентированный граф G на две части, можно определить как

$$\left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij},$$

где $W_{ij}$ обозначает вес ребра $ij$ и масштабирование 1/2 введено для компенсации двойного счета одних и тех же весов. $W_{ij}=W_{ji}$.

Личности

$${\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}$$

где общая сумма в первом члене не зависит от $\sigma$, подразумевают, что минимизация $H(\sigma )$ в $\sigma$ эквивалентно минимизации $\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}$. Определение веса ребра $W_{ij}=-J_{ij}$ таким образом, задача Изинга без внешнего поля превращается в задачу Max-Cut на графе. максимизация размера разреза $\left|\delta (V^{+})\right|$, который связан с гамильтонианом Изинга следующим образом:

$$H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.$$

Вопросы

Значительное количество статистических вопросов, которые следует задать по поводу этой модели, находится в пределе большого количества вращений:

• В типичной конфигурации большинство спинов имеют +1 или -1, или они разделены поровну?
• Если спин в любой данной позиции i равен 1, какова вероятность того, что спин в позиции j также равен 1?
• Если β , произойдет ли фазовый переход? изменить
• Какова фрактальная размерность формы большого кластера спинов +1 на решетке Λ?

Основные свойства и история

Визуализация трансляционно-инвариантной вероятностной меры одномерной модели Изинга

Наиболее изученным случаем модели Изинга является трансляционно-инвариантная ферромагнитная модель нулевого поля на d -мерной решетке, а именно Λ = Z ^д , J _ij = 1, h = 0.

Нет фазового перехода в одном измерении

В своей докторской диссертации 1924 года Изинг решил модель для случая d = 1, которую можно рассматривать как линейную горизонтальную решетку, где каждый узел взаимодействует только со своим левым и правым соседом. В одном измерении решение не допускает фазового перехода . А именно, для любого положительного β корреляции ⟨σ _i σ _j ⟩ экспоненциально затухают по | я - j |: $$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp \left(-c(\beta )|i-j|\right),$$

и система неупорядочена. На основании этого результата он сделал неправильный вывод. что эта модель не демонстрирует фазового поведения ни в одном измерении.

Фазовый переход и точное решение в двух измерениях

Модель Изинга претерпевает фазовый переход между упорядоченной и неупорядоченной фазой в двух и более измерениях. А именно, при малых β система неупорядочена, тогда как при больших β в системе наблюдается ферромагнитный порядок:

$$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.$$

Впервые это было доказано Рудольфом Пайерлсом в 1936 году. используя то, что сейчас называется аргументом Пайерлса .

Модель Изинга на двумерной квадратной решетке без магнитного поля была аналитически решена Ларсом Онсагером ( 1944 ). Онзагер показал, что корреляционные функции и свободная энергия модели Изинга определяются невзаимодействующим решеточным фермионом. Онзагер объявил формулу спонтанной намагниченности для двумерной модели в 1949 году, но не дал вывода. Ян (1952) дал первое опубликованное доказательство этой формулы, используя предельную формулу для определителей Фредгольма , доказанную в 1951 году Сегё как прямой ответ на работу Онсагера.

Корреляционные неравенства

Для спиновых корреляций Изинга (для общих решеточных структур) был строго выведен ряд корреляционных неравенств , что позволило математикам изучать модель Изинга как на критичности, так и вне критичности.

Неравенство Гриффитса

Основная статья: Неравенство Гриффитса

Учитывая любое подмножество вращений $\sigma _{A}$ и $\sigma _{B}$ на решетке имеет место неравенство

$$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle ,$$

это означает, что спины в ферромагнетике Изинга положительно коррелированы. Непосредственное применение этого состоит в том, что намагниченность любого набора спинов $\langle \sigma _{A}\rangle$ возрастает по отношению к любому набору констант связи $J_{B}$.

Неравенство Саймона-Либа

Неравенство Саймона-Либа утверждает, что для любого множества $S$ отключение $x$ от $y$ (например, граница коробки с $x$ находясь внутри коробки и $y$ находясь снаружи),

$$\langle \sigma _{x}\sigma _{y}\rangle \leq \sum _{z\in S}\langle \sigma _{x}\sigma _{z}\rangle \langle \sigma _{z}\sigma _{y}\rangle .$$

Это неравенство можно использовать для установления резкости фазового перехода модели Изинга.

ФКГ неравенство

Основная статья: неравенство ФКГ

Это неравенство доказано сначала для типа положительно коррелированной перколяционной модели , которая включает в себя представление модели Изинга. Он используется для определения критических температур планарной модели Поттса с использованием аргументов перколяции (которая включает модель Изинга как частный случай).

Историческое значение

Одним из аргументов Демокрита в поддержку атомизма было то, что атомы естественным образом объясняют резкие фазовые границы, наблюдаемые в материалах. , например, когда лед тает в воду или вода превращается в пар. Его идея заключалась в том, что небольшие изменения свойств на атомном уровне приведут к большим изменениям в поведении агрегатов. Другие полагали, что материя по своей сути непрерывна, а не атомарна, и что крупномасштабные свойства материи не сводятся к базовым атомным свойствам.

В то время как законы химической связи ясно дали понять химикам девятнадцатого века, что атомы реальны, споры среди физиков продолжались и в начале двадцатого века. Атомисты, особенно Джеймс Клерк Максвелл и Людвиг Больцман , применили формулировку законов Ньютона Гамильтона к большим системам и обнаружили, что статистическое поведение атомов правильно описывает газы при комнатной температуре. Но классическая статистическая механика не объясняла всех свойств жидкостей и твердых тел, а также газов при низких температурах.

Как только была сформулирована современная квантовая механика , атомизм больше не противоречил эксперименту, но это не привело к всеобщему признанию статистической механики, которая выходила за рамки атомизма. Джозайя Уиллард Гиббс дал полный формализм, позволяющий воспроизвести законы термодинамики из законов механики. Но многие ошибочные аргументы сохранились с XIX века, когда статистическая механика считалась сомнительной. Промахи в интуиции в основном проистекают из того факта, что предел бесконечной статистической системы имеет множество законов нуля или единицы , которые отсутствуют в конечных системах: бесконечно малое изменение параметра может привести к большим различиям в общем, совокупном поведении, как говорил Демокрит. ожидал.

Отсутствие фазовых переходов в конечном объеме

В начале двадцатого века некоторые считали, что статистическая сумма никогда не сможет описать фазовый переход, основываясь на следующем аргументе:

1. Статистическая сумма представляет собой сумму e ^{−β Е} по всем конфигурациям.
2. Показательная функция всюду аналитична как функция β.
3. Сумма аналитических функций является аналитической функцией.

Этот аргумент работает для конечной суммы экспонент и правильно устанавливает отсутствие особенностей в свободной энергии системы конечного размера. Для систем, находящихся в термодинамическом пределе (то есть для бесконечных систем), бесконечная сумма может привести к сингулярностям. Сходимость к термодинамическому пределу происходит быстро, так что фазовое поведение проявляется уже на относительно небольшой решетке, хотя особенности сглаживаются конечным размером системы.

Впервые это было установлено Рудольфом Пайерлсом в модели Изинга.

Капли Пайерлса

Вскоре после того, как Ленц и Изинг построили модель Изинга, Пайерлс смог явно показать, что фазовый переход происходит в двух измерениях.

Для этого он сравнил высокотемпературный и низкотемпературный пределы. При бесконечной температуре (β = 0) все конфигурации имеют одинаковую вероятность. Каждое вращение полностью независимо от любого другого, и если типичные конфигурации при бесконечной температуре построить так, чтобы плюс/минус был представлен черным и белым, они выглядели бы как телевизионный снег . При высокой, но не бесконечной температуре корреляция между соседними положениями небольшая, снег имеет тенденцию немного слипаться, но экран остается беспорядочным, и нет чистого избытка черного или белого.

Количественной мерой избытка является намагниченность , которая представляет собой среднее значение спина:

$$M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.$$

Фальшивый аргумент, аналогичный аргументу в последнем разделе, теперь устанавливает, что намагниченность в модели Изинга всегда равна нулю.

1. Каждая конфигурация спинов имеет такую ​​же энергию, что и конфигурация со всеми перевернутыми спинами.
2. Таким образом, для каждой конфигурации с намагниченностью M существует конфигурация с намагниченностью − M. с равной вероятностью
3. система должна проводить одинаковое количество времени в конфигурации с намагниченностью M и с намагниченностью − M. Поэтому
4. Таким образом, средняя намагниченность (за все время) равна нулю.

Как и раньше, это лишь доказывает, что средняя намагниченность равна нулю в любом конечном объеме. В случае бесконечной системы флуктуации, возможно, не смогут перевести систему из преимущественно положительного состояния в преимущественно отрицательное с ненулевой вероятностью.

При очень высоких температурах намагниченность равна нулю, как и при бесконечной температуре. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что если спин A имеет лишь небольшую корреляцию ε со спином B, а B лишь слабо коррелирует со спином C, но в остальном C не зависит от A, то степень корреляции A и C будет равна ε ² . Для двух спинов, разделенных расстоянием L , величина корреляции равна ε ^л , но если существует более одного пути, по которому может перемещаться корреляция, эта сумма увеличивается за счет количества путей.

Число путей длины L на квадратной решетке в d измерениях равно $$N(L)=(2d)^{L},$$поскольку на каждом шаге есть 2 варианта выбора, куда идти.

Оценка общей корреляции определяется вкладом в корреляцию путем суммирования по всем путям, соединяющим две точки, который ограничен сверху суммой по всем путям длины L, разделенной на $$\sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},$$который обращается в ноль, когда ε мало.

При низких температурах (β ≫ 1) конфигурации находятся вблизи конфигурации с наименьшей энергией, той, в которой все спины плюсовые или все спины минусовые. Пайерлс задался вопросом, возможно ли статистически при низкой температуре, начиная со всех отрицательных спинов, перейти к состоянию, в котором большинство спинов являются положительными. Чтобы это произошло, капли положительного спина должны иметь возможность загустеть и перейти в положительное состояние.

Энергия капли плюсовых спинов на минусовом фоне пропорциональна периметру капли L, где плюсовые и минусовые спины соседствуют друг с другом. Для капли с периметром L площадь находится где-то между ( L − 2)/2 (прямая линия) и ( L /4). ² (квадратный ящик). Вероятностная стоимость введения капли имеет коэффициент e ^{−β L} , но этому способствует статистическая сумма, умноженная на общее количество капель с периметром L , которое меньше общего количества путей длиной L : $$N(L)<4^{2L}.$$Таким образом, общий вклад капель в спин, даже если его пересчитать, позволяя каждому участку иметь отдельную каплю, ограничен сверху выражением $$\sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},$$

который обращается в ноль при больших β. При достаточно большом β это экспоненциально подавляет длинные петли, так что они не могут возникнуть, и намагниченность никогда не колеблется слишком далеко от -1.

Итак, Пайерлс установил, что намагниченность в модели Изинга в конечном итоге определяет сектора суперотбора , отдельные области, не связанные конечными флуктуациями.

Двойственность Крамерса – Ванье

Основная статья: двойственность Крамерса – Ванье

Крамерс и Ванье смогли показать, что высокотемпературное расширение и низкотемпературное расширение модели равны до общего масштабирования свободной энергии. Это позволило точно определить точку фазового перехода в двумерной модели (в предположении наличия единственной критической точки).

Нули Янга – Ли

Основная статья: теорема Ли – Янга

После решения Онзагера Ян и Ли исследовали, каким образом статистическая сумма становится сингулярной при приближении температуры к критической.

Методы Монте-Карло для численного моделирования

Закалка системы Изинга на двумерной квадратной решетке (500 × 500) с обратной температурой β = 10, начиная со случайной конфигурации

Определения

Модель Изинга часто бывает трудно оценить численно, если в системе много состояний. Рассмотрим модель Изинга с

L = |Λ|: общее количество узлов решетки,

σ _j ∈ {−1, +1}: отдельный спиновый узел решетки, j = 1, ..., L ,

S ∈ {−1, +1} ^л : состояние системы.

Поскольку каждый спиновый сайт имеет ±1 спин, существует 2 ^л возможны различные состояния. Это объясняет причину, по которой модель Изинга моделируется с использованием методов Монте-Карло .

Гамильтониан , который обычно используется для представления энергии модели при использовании методов Монте-Карло, равен $$H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.$$Кроме того, гамильтониан еще больше упрощается, если предположить, что внешнее поле h равно нулю , поскольку на многие вопросы, которые необходимо решить с использованием модели, можно ответить в отсутствие внешнего поля. Это приводит нас к следующему уравнению энергии для состояния σ: $$H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.$$Зная этот гамильтониан, можно рассчитать интересующие величины, такие как теплоемкость или намагниченность магнита при заданной температуре.

Алгоритм Метрополиса

Обзор

Алгоритм Метрополиса-Гастингса является наиболее часто используемым алгоритмом Монте-Карло для расчета оценок модели Изинга. Алгоритм сначала выбирает вероятности выбора g (μ, ν), которые представляют собой вероятность того, что состояние ν будет выбрано алгоритмом из всех состояний, при условии, что одно из них находится в состоянии µ. Затем он использует вероятности принятия A (μ, ν) для детального баланса обеспечения . Если новое состояние ν принято, то мы переходим в это состояние и повторяем действия, выбирая новое состояние и принимая решение принять его. Если ν не принимается, мы остаемся в µ. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет выполнен некоторый критерий остановки, что для модели Изинга часто происходит, когда решетка становится ферромагнитной , что означает, что все узлы направлены в одном направлении.

При реализации алгоритма необходимо обеспечить выбор g (μ, ν) таким, чтобы эргодичность соблюдалась . В состоянии теплового равновесия энергия системы колеблется лишь в небольшом диапазоне. Это мотивация концепции динамики одиночного спин-флипа . в котором говорится, что при каждом переходе мы будем менять только один из спиновых узлов решетки. Более того, используя динамику одиночного спин-флипа, можно перейти из любого состояния в любое другое состояние, переворачивая каждый сайт, который отличается между двумя состояниями, по одному.

Максимальное изменение между энергией текущего состояния H _μ и энергией любого возможного нового состояния H _ν (с использованием динамики односпинового переворота) составляет 2 Дж между спином, который мы выбираем «перевернуть», чтобы перейти в новое состояние. и сосед этого спина. Таким образом, в одномерной модели Изинга, где каждый узел имеет двух соседей (слева и справа), максимальная разница в энергии составит 4 Дж .

Пусть c представляет собой координационное число решетки ; количество ближайших соседей, которые имеет любой узел решетки. Мы предполагаем, что все сайты имеют одинаковое количество соседей из-за периодических граничных условий . Важно отметить, что алгоритм Метрополиса – Гастингса не работает хорошо вблизи критической точки из-за критического замедления. Для разрешения модели вблизи критической точки необходимы другие методы, такие как многосеточные методы, алгоритм Нидермайера, алгоритм Свендсена-Ванга или алгоритм Вольфа; требование определения критических показателей системы.

Доступны пакеты с открытым исходным кодом, реализующие эти алгоритмы.

Спецификация

Конкретно для модели Изинга и с использованием динамики одиночного спин-флипа можно установить следующее.

Поскольку всего на решетке имеется L узлов, и использование одиночного спин-флипа как единственного способа перехода в другое состояние, мы можем видеть, что всего существует L новых состояний ν из нашего нынешнего состояния µ. Алгоритм предполагает, что вероятности выбора равны L состояниям: g (μ, ν) = 1/ L . Подробный баланс говорит нам, что должно выполняться следующее уравнение:

$${\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.$$

Таким образом, мы хотим выбрать вероятность принятия для нашего алгоритма, чтобы удовлетворить $${\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.$$

Если H _ν > H _µ , то A (ν, µ) > A (µ, ν). Metropolis устанавливает большее из значений A (μ, ν) или A (ν, μ) равным 1. По этой причине алгоритм принятия следующий:

$$A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Основная форма алгоритма следующая:

1. Выберите место спина, используя вероятность выбора g (μ, ν), и рассчитайте вклад в энергию, связанную с этим спином.
2. Переверните значение спина и рассчитайте новый вклад.
3. Если новая энергия меньше, сохраните перевернутое значение.
4. Если новая энергия больше, сохраняйте только с вероятностью $e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.$
5. Повторить.

Изменение энергии H _ν − H _µ зависит только от значения спина и его ближайших соседей по графу. Поэтому, если граф не слишком связен, алгоритм работает быстро. Этот процесс в конечном итоге приведет к выбору из дистрибутива.

Рассматривая модель Изинга как цепь Маркова

Модель Изинга можно рассматривать как цепь Маркова , поскольку непосредственная вероятность P _β (ν) перехода в будущее состояние ν зависит только от настоящего состояния µ. Алгоритм Метрополиса на самом деле является версией симуляции Монте-Карло цепей Маркова , и поскольку в алгоритме Метрополиса мы используем динамику одиночного спин-флипа, каждое состояние можно рассматривать как имеющее связи ровно с L другими состояниями, где каждый переход соответствует перевороту. один спиновый сайт на противоположное значение. Более того, поскольку изменение уравнения энергии H _σ зависит только от силы взаимодействия ближайших соседей J , модель Изинга и ее варианты, такие как модель Шнайда, можно рассматривать как форму модели избирателя для динамики мнений.

Одно измерение

Термодинамический предел существует до тех пор, пока затухание взаимодействия $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ с α > 1.

• В случае ферромагнитного взаимодействия $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ при 1 < α < 2 Дайсон доказал, по сравнению с иерархическим случаем, что фазовый переход имеет место при достаточно малой температуре.
• В случае ферромагнитного взаимодействия $J_{ij}\sim |i-j|^{-2}$, Фрелих и Спенсер доказали, что фазовый переход имеет место при достаточно малой температуре (в отличие от иерархического случая).
• В случае взаимодействия $J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }$ при α > 2 (включая случай конечнодействующих взаимодействий) фазовый переход отсутствует при любой положительной температуре (т. е. при конечном β), поскольку свободная энергия аналитична по термодинамическим параметрам.
• В случае взаимодействий ближайших соседей Э. Изинг дал точное решение модели. При любой положительной температуре (т.е. конечном β) свободная энергия является аналитической по параметрам термодинамики, и усеченная двухточечная спиновая корреляция затухает экспоненциально быстро. При нулевой температуре (т.е. бесконечном β) происходит фазовый переход второго рода: свободная энергия бесконечна, а усеченная двухточечная спиновая корреляция не затухает (остается постоянной). Следовательно, T = 0 является критической температурой в этом случае. Формулы масштабирования выполняются.

Точное решение Изинга

В случае ближайшего соседа (с периодическими или свободными граничными условиями) имеется точное решение. Гамильтониан одномерной модели Изинга на решетке из L узлов с периодическими граничными условиями имеет вид $$H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i},$$где J и h могут быть любым числом, поскольку в этом упрощенном случае J — константа, представляющая силу взаимодействия между ближайшими соседями, а h — постоянное внешнее магнитное поле, приложенное к узлам решетки. Тогда свободная энергия это $$f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right),$$и спин-спиновая корреляция (т.е. ковариация) равна $$\langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|},$$где C (β) и c (β) — положительные функции при T > 0. Однако при T → 0 обратная корреляционная длина c (β) обращается в нуль.

Доказательство

Доказательством этого результата является простое вычисление.

Если h = 0, то очень легко получить свободную энергию в случае свободного граничного условия, т.е. когда $$H(\sigma )=-J\left(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}\right).$$Затем модель факторизуется при замене переменных $$\sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.$$

Это дает $$Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.$$

Следовательно, свободная энергия

$$f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].$$

При той же замене переменных

$$\langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N},$$

следовательно, он экспоненциально затухает, как только T ≠ 0; но при T = 0, т.е. в пределе β → ∞, затухания нет.

Если h ≠ 0, нам нужен метод матрицы переноса. Для периодических граничных условий случай следующий. Функция разделения $$Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.$$Коэффициенты $V_{\sigma ,\sigma '}$ можно рассматривать как элементы матрицы. Возможны разные варианты: удобный (поскольку матрица симметрична) $$V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}$$или $$V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.$$В матричном формализме $$Z(\beta )=\operatorname {Tr} \left(V^{L}\right)=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right],$$где λ ₁ — высшее собственное значение V , а λ ₂ — другое собственное значение: $$\lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}},$$и |λ ₂ | < λ ₁ . Это дает формулу свободной энергии.

Комментарии

Энергия низшего состояния равна − JL , когда все спины одинаковы. Для любой другой конфигурации дополнительная энергия равна 2 Дж , умноженному на количество смен знака, которые встречаются при сканировании конфигурации слева направо.

Если мы обозначим число смен знака в конфигурации как k , то разница в энергии от состояния с наименьшей энергией составит 2 k . Поскольку энергия аддитивна по количеству переворотов, вероятность p наличия спин-флипа в каждой позиции независима. Отношение вероятности найти подброс к вероятности не найти его и есть фактор Больцмана:

$${\frac {p}{1-p}}=e^{-2\beta J}.$$

Задача сводится к независимым необъективным подбрасываниям монеты . Это, по существу, завершает математическое описание.

Из описания с точки зрения независимых бросков можно понять статистику модели для длинных линий. Линия разбивается на домены. Каждый домен имеет среднюю длину exp(2β). Длина домена распределяется экспоненциально, поскольку на любом шаге существует постоянная вероятность встретить флип. Домены никогда не становятся бесконечными, поэтому длинная система никогда не намагничивается. Каждый шаг уменьшает корреляцию между спином и его соседом на величину, пропорциональную p , поэтому корреляции падают экспоненциально.

$$\langle S_{i}S_{j}\rangle \propto e^{-p|i-j|}.$$

Статистическая сумма представляет собой объем конфигураций, каждая конфигурация взвешивается по своему весу Больцмана. Поскольку каждая конфигурация описывается сменой знаков, функция статистической суммы факторизует:

$$Z=\sum _{\text{configs}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}.$$

Логарифм, разделенный на L, представляет собой плотность свободной энергии:

$$\beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\beta J}}{1+e^{-2\beta J}}}\right),$$

которое аналитично вдали от β = ∞. Признаком фазового перехода является неаналитическая свободная энергия, поэтому в одномерной модели фазовый переход отсутствует.

Одномерное решение с поперечным полем

Чтобы выразить гамильтониан Изинга с использованием квантовомеханического описания спинов, мы заменяем спиновые переменные соответствующими матрицами Паули . Однако в зависимости от направления магнитного поля мы можем создать гамильтониан поперечного или продольного поля. Гамильтониан поперечного поля имеет вид

$$H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.$$

В модели поперечного поля происходит фазовый переход между упорядоченным и неупорядоченным режимом при J ~ h . Это можно показать путем отображения матриц Паули

$$\sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},$$

$$\sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.$$

Переписав гамильтониан через эту матрицу замены базиса, получим

$$H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.$$

Поскольку роли h и J поменялись местами, гамильтониан претерпевает переход при J = h .

Перенормировка

В случае отсутствия внешнего поля мы можем вывести функциональное уравнение, которое $f(\beta ,0)=f(\beta )$ удовлетворяет использованию перенормировки. Конкретно, пусть $Z_{N}(\beta ,J)$ быть статистической суммой с $N$ сайты. Теперь у нас есть: $$Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }e^{K\sigma _{2}(\sigma _{1}+\sigma _{3})}e^{K\sigma _{4}(\sigma _{3}+\sigma _{5})}\cdots$$где $K:=\beta J$. Суммируем по каждому из $\sigma _{2},\sigma _{4},\cdots$, чтобы получить $$Z_{N}(\beta ,J)=\sum _{\sigma }(2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3})))\cdot (2\cosh(K(\sigma _{3}+\sigma _{5})))\cdots$$Теперь, поскольку функция cosh четная, мы можем решить $Ae^{K'\sigma _{1}\sigma _{3}}=2\cosh(K(\sigma _{1}+\sigma _{3}))$ как ${\textstyle A=2{\sqrt {\cosh(2K)}},K'={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2K)}$. Теперь у нас есть соотношение самоподобия: $${\frac {1}{N}}\ln Z_{N}(K)={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {1}{N/2}}\ln Z_{N/2}(K')$$Переходя к пределу, получаем $$f(\beta )={\frac {1}{2}}\ln \left(2{\sqrt {\cosh(2K)}}\right)+{\frac {1}{2}}f(\beta ')$$где $\beta 'J={\frac {1}{2}}\ln \cosh(2\beta J)$.

Когда $\beta$ маленький, у нас есть $f(\beta )\approx \ln 2$, поэтому мы можем численно оценить $f(\beta )$ повторяя функциональное уравнение до тех пор, пока $K$ мал.

Два измерения

• В ферромагнитном случае происходит фазовый переход. При низкой температуре аргумент Пайерлса доказывает положительную намагниченность для случая ближайшего соседа, а затем, согласно неравенству Гриффитса , также и при добавлении более дальнодействующих взаимодействий. Между тем, при высокой температуре расширение кластеров дает аналитичность термодинамических функций.
• В случае ближайшего соседа свободная энергия была точно рассчитана Онзагером посредством эквивалентности модели со свободными фермионами на решетке. Спин-спиновые корреляционные функции были вычислены Маккоем и Ву.

Точное решение Онзагера

Основная статья: Модель Изинга с квадратной решеткой

Онзагер (1944) получил следующее аналитическое выражение для свободной энергии модели Изинга на анизотропной квадратной решетке, когда магнитное поле $h=0$ в термодинамическом пределе в зависимости от температуры и энергий горизонтального и вертикального взаимодействия $J_{1}$ и $J_{2}$, соответственно

$$-\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].$$

Из этого выражения для свободной энергии можно рассчитать все термодинамические функции модели, используя соответствующую производную. Двумерная модель Изинга была первой моделью, продемонстрировавшей непрерывный фазовый переход при положительной температуре. Это происходит при температуре $T_{c}$ которое решает уравнение

$$\sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1.$$

В изотропном случае, когда энергии горизонтального и вертикального взаимодействия равны $J_{1}=J_{2}=J$, критическая температура $T_{c}$ происходит в следующей точке

$$T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}=(2.269185\cdots ){\frac {J}{k}}$$

Когда энергии взаимодействия $J_{1}$, $J_{2}$ оба отрицательны, модель Изинга становится антиферромагнетиком. Поскольку квадратная решетка двудольная, она инвариантна относительно этого изменения, когда магнитное поле $h=0$, поэтому свободная энергия и критическая температура для антиферромагнитного случая одинаковы. Для треугольной решетки, которая не является двудольной, ферромагнитная и антиферромагнитная модель Изинга ведут себя заметно по-разному. В частности, вокруг треугольника невозможно сделать все три пары спинов антипараллельными, поэтому антиферромагнитная модель Изинга не может достичь минимального энергетического состояния. Это пример геометрического разочарования .

Матрица переноса

Начнем с аналогии с квантовой механикой. Модель Изинга на длинной периодической решетке имеет статистическую сумму

$$\sum _{\{S\}}\exp {\biggl (}\sum _{ij}S_{i,j}\left(S_{i,j+1}+S_{i+1,j}\right){\biggr )}.$$

Думайте о направлении i как о пространстве , а о направлении j как о времени . Это независимая сумма всех значений, которые спины могут принимать в каждом временном интервале. Это разновидность интеграла по путям , это сумма по всем историям вращения.

Интеграл по путям можно переписать как гамильтонову эволюцию. Гамильтониан шагает во времени, выполняя унитарное вращение между временем t и временем t + Δ t : $$U=e^{iH\Delta t}$$

Произведение одной за другой матриц U представляет собой оператор полной временной эволюции, который представляет собой интеграл по путям, с которого мы начали.

$$U^{N}=(e^{iH\Delta t})^{N}=\int DXe^{iL}$$

где N — количество временных интервалов. Сумма по всем путям представляет собой произведение матриц, каждый элемент матрицы представляет собой вероятность перехода от одного среза к другому.

Аналогичным образом можно разделить сумму по всем конфигурациям статистической суммы на срезы, где каждый срез представляет собой одномерную конфигурацию в момент времени 1. Это определяет передаточную матрицу : $$T_{C_{1}C_{2}}.$$

Конфигурация каждого среза представляет собой одномерный набор спинов. В каждом временном интервале T имеет матричные элементы между двумя конфигурациями спинов: одной в ближайшем будущем и одной в ближайшем прошлом. Этими двумя конфигурациями являются C ₁ и C ₂ , и все они являются одномерными спиновыми конфигурациями. Мы можем думать о векторном пространстве, на которое действует T , как о всех их сложных линейных комбинациях. Используя квантовомеханические обозначения: $$|A\rangle =\sum _{S}A(S)|S\rangle$$

где каждый базисный вектор $|S\rangle$ представляет собой спиновую конфигурацию одномерной модели Изинга.

Как и гамильтониан, трансфер-матрица действует на все линейные комбинации состояний. Статистическая сумма представляет собой матричную функцию от T, которая определяется суммой по всем историям, которые возвращаются к исходной конфигурации после N шагов: $$Z=\mathrm {tr} (T^{N}).$$

Поскольку это матричное уравнение, его можно вычислять в любом базисе. если мы сможем диагонализировать матрицу T , мы сможем найти Z. Итак ,

T через матрицы Паули

Вклад в статистическую сумму для каждой пары конфигураций прошлого/будущего на срезе представляет собой сумму двух членов. Существует количество спин-флипов в прошлом срезе, а также количество спин-флипов между прошлым и будущим срезами. Определите оператор в конфигурациях, который меняет вращение на узле i:

$$\sigma _{i}^{x}.$$

В обычном базисе Изинга, действуя на любую линейную комбинацию прошлых конфигураций, он создает ту же линейную комбинацию, но со спином в позиции i каждого базисного вектора перевернутым.

Определим второй оператор, который умножает базисный вектор на +1 и -1 в соответствии со вращением в позиции i :

$$\sigma _{i}^{z}.$$

T можно записать в таких терминах:

$$\sum _{i}A\sigma _{i}^{x}+B\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}$$

где A и B — константы, которые необходимо определить так, чтобы воспроизвести статистическую сумму. Интерпретация заключается в том, что статистическая конфигурация в этом срезе влияет как на количество переворотов спина в срезе, так и на то, или нет спин в позиции i перевернулся .

Операторы создания и уничтожения спин-флипов

Как и в одномерном случае, перенесем внимание со спинов на спин-флипы. σ ^С член в T подсчитывает количество спин-флипов, которые мы можем записать в терминах операторов создания и уничтожения спин-флипов:

$$\sum C\psi _{i}^{\dagger }\psi _{i}.\,$$

Первый член меняет спин, поэтому в зависимости от базисного состояния он либо:

1. перемещает спин-флип на одну единицу вправо
2. перемещает спин-флип на одну единицу влево
3. производит два спин-флипа на соседних сайтах
4. уничтожает два спин-флипа на соседних сайтах.

Записав это с точки зрения операторов создания и уничтожения: $$\sigma _{i}^{x}=D{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i+1}+D^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i-1}+C\psi _{i}\psi _{i+1}+C^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}{\psi ^{\dagger }}_{i+1}.$$

Не обращайте внимания на постоянные коэффициенты и сосредоточьте внимание на форме. Все они квадратичные. Поскольку коэффициенты постоянны, это означает, что матрицу T можно диагонализовать с помощью преобразований Фурье.

Проведение диагонализации дает свободную энергию Онзагера.

Формула Онзагера для спонтанного намагничивания.

Онзагер, как известно, объявил следующее выражение для спонтанной намагниченности M двумерного ферромагнетика Изинга на квадратной решетке на двух разных конференциях в 1948 году, хотя и без доказательства. $$M=\left(1-\left[\sinh 2\beta J_{1}\sinh 2\beta J_{2}\right]^{-2}\right)^{\frac {1}{8}}$$где $J_{1}$ и $J_{2}$ – горизонтальная и вертикальная энергии взаимодействия.

Полный вывод был дан только в 1951 году Янгом (1952) с использованием предельного процесса собственных значений матрицы переноса. Впоследствии в 1963 году доказательство было значительно упрощено Монтроллом, Поттсом и Уордом. используя Сегё предельную формулу для определителей Теплица, рассматривая намагниченность как предел корреляционных функций.

Минимальная модель

Основная статья: Двумерная критическая модель Изинга

В критической точке двумерная модель Изинга представляет собой двумерную конформную теорию поля . Корреляционные функции спина и энергии описываются минимальной моделью , которая была точно решена.

Три измерения

В трехмерном, как и в двухмерном, наиболее изученном случае модели Изинга является трансляционно-инвариантная модель на кубической решетке со связью ближайших соседей в нулевом магнитном поле. Многие теоретики на протяжении многих десятилетий искали аналитическое трехмерное решение, которое было бы аналогично решению Онзагера в двумерном случае. Такое решение до сих пор не найдено, хотя нет никаких доказательств того, что оно может не существовать.

показали, что в трех измерениях модель Изинга имеет представление в терминах невзаимодействующих фермионных струн Александр Поляков и Владимир Доценко . Эта конструкция была проведена на решетке, и предел континуума , предположительно описывающий критическую точку, неизвестен.

Фазовый переход

В трех измерениях, как и в двух измерениях, аргумент Пайерла показывает, что существует фазовый переход. Строго известно, что этот фазовый переход является непрерывным (в том смысле, что корреляционная длина расходится и намагниченность стремится к нулю) и называется критической точкой . Считается, что критическая точка может быть описана неподвижной точкой ренормгруппы преобразования ренормгруппы Вильсона-Каданова. Также считается, что фазовый переход может быть описан трехмерной унитарной конформной теорией поля, о чем свидетельствует моделирование Монте-Карло : точные результаты диагонализации в квантовых моделях, и аргументы квантовой теории поля. Хотя строго установить картину ренормгруппы или картину конформной теории поля остается открытой проблемой, физики-теоретики использовали эти два метода для расчета критических показателей фазового перехода, которые согласуются с экспериментами и моделированием Монте-Карло.

Эта конформная теория поля, описывающая трехмерную критическую точку Изинга, активно исследуется с использованием метода конформного бутстрепа . Этот метод в настоящее время дает наиболее точную информацию о структуре критической теории (см. Критические показатели Изинга ).

Результат NP-полноты Истраила для общей модели спинового стекла

В 2000 году Сорин Истраил из Sandia National Laboratories доказал, что модель Изинга спинового стекла на неплоской решетке является NP-полной . То есть, предполагая P ≠ NP, общая модель Изинга спинового стекла точно разрешима только в плоских случаях, поэтому решения для размерностей больше двух также трудноразрешимы. Результат Истраила касается только модели спинового стекла с пространственно изменяющимися связями и ничего не говорит об исходной ферромагнитной модели Изинга с равными связями.

Четыре измерения и выше

В любом измерении модель Изинга может быть продуктивно описана локально меняющимся средним полем. Поле определяется как среднее значение спина по большой области, но не настолько большое, чтобы охватить всю систему. Поле по-прежнему медленно меняется от точки к точке по мере перемещения усредняющего объема. Эти флуктуации поля описываются теорией непрерывного поля в пределе бесконечной системы.

Локальное поле

Поле H определяется как длинноволновые компоненты Фурье спиновой переменной в пределе, когда длины волн длинные. Есть много способов получить среднее значение длинноволнового диапазона, в зависимости от того, как отсекаются высокие длины волн. Детали не слишком важны, поскольку цель — найти статистику H , а не спинов. Как только корреляции в H станут известны, корреляции на дальних расстояниях между спинами будут пропорциональны корреляциям на дальних расстояниях в H .

Для любого значения медленно меняющегося поля H свободная энергия (логарифмическая вероятность) является локальной аналитической функцией H и ее градиентов. Свободная энергия F ( H ) определяется как сумма всех конфигураций Изинга, которые согласуются с длинноволновым полем. Поскольку H является грубым описанием, существует множество конфигураций Изинга, соответствующих каждому значению H , при условии, что для сопоставления не требуется слишком большая точность.

Поскольку разрешенный диапазон значений спина в любой области зависит только от значений H в пределах одного усредняющего объема из этой области, вклад свободной энергии из каждой области зависит только от значения H в ней и в соседних областях. Таким образом, F представляет собой сумму по всем областям локального вклада, который зависит только от H и его производных.

По симметрии в H вклад вносят только четные степени. Благодаря симметрии отражения на квадратной решетке вклад вносят только четные степени градиентов. Записав первые несколько членов свободной энергии:

$$\beta F=\int d^{d}x\left[AH^{2}+\sum _{i=1}^{d}Z_{i}(\partial _{i}H)^{2}+\lambda H^{4}+\cdots \right].$$

На квадратной решетке симметрии гарантируют, что все коэффициенты Z _i производных членов равны. Но даже для анизотропной модели Изинга, где Z _i в разных направлениях различны, флуктуации H изотропны в системе координат, где различные направления пространства масштабируются.

На любой решетке производный член $$Z_{ij}\,\partial _{i}H\,\partial _{j}H$$является положительно определенной квадратичной формой и может использоваться для определения метрики пространства. Таким образом, любая трансляционно-инвариантная модель Изинга инвариантна относительно вращения на больших расстояниях в координатах, которые делают Z _ij = δ _ij . Вращательная симметрия возникает спонтанно на больших расстояниях просто потому, что членов низкого порядка не так много. В мультикритических точках более высокого порядка эта случайная симметрия теряется.

Поскольку β F является функцией медленно меняющегося в пространстве поля, вероятность любой конфигурации поля равна (без учета членов более высокого порядка):

$$P(H)\propto e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}=e^{-\beta F[H]}.$$

Статистическое среднее любого произведения H членов равно:

$$\langle H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n})\rangle ={\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n}) \over \int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}.$$

Знаменатель в этом выражении называется статистической суммой : $$Z=\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}$$а интеграл по всем возможным значениям H является статистическим интегралом по путям. Он интегрирует exp(β F ) по всем значениям H , по всем длинноволновым компонентам Фурье спинов. F лагранжиан поля H. — «евклидов » Он похож на лагранжиан скалярного поля в квантовой теории поля , с той разницей, что все производные члены входят с положительным знаком и нет общего коэффициента i (таким образом, «евклидова»).

Размерный анализ

Форму F можно использовать для прогнозирования того, какие термины наиболее важны с помощью анализа размерностей. масштаб H. Анализ размерностей не совсем прост, поскольку необходимо определить

В общем случае выбрать закон масштабирования для H легко, поскольку единственный член, который вносит вклад, - это первый,

$$F=\int d^{d}x\,AH^{2}.$$

Этот термин является наиболее значимым, но он дает тривиальное поведение. Эта форма свободной энергии является ультралокальной, то есть представляет собой сумму независимых вкладов каждой точки. Это похоже на спин-флипы в одномерной модели Изинга. Каждое значение H в любой точке колеблется совершенно независимо от значения в любой другой точке.

Масштаб поля можно переопределить, чтобы поглотить коэффициент A , и тогда станет ясно, что A определяет только общий масштаб флуктуаций. Ультралокальная модель описывает длинноволновое поведение модели Изинга при высоких температурах, поскольку в этом пределе средние колебания независимы от точки к точке.

Чтобы найти критическую точку, понизьте температуру. При понижении температуры колебания H возрастают, поскольку они более коррелированы. Это означает, что среднее значение большого количества спинов не становится малым так быстро, как если бы они были некоррелированными, поскольку они имеют тенденцию быть одинаковыми. Это соответствует уменьшению А в системе единиц, где не поглощает А. Н Фазовый переход может произойти только тогда, когда вклад вносят ведущие члены в F , но поскольку первый член доминирует на больших расстояниях, коэффициент A должен быть настроен на ноль. Вот расположение критической точки:

$$F=\int d^{d}x\left[tH^{2}+\lambda H^{4}+Z(\nabla H)^{2}\right],$$

где t — параметр, который при переходе проходит через ноль.

Поскольку t обращается в нуль, фиксация масштаба поля с помощью этого члена приводит к раздутию остальных членов. Если t мало, масштаб поля можно либо установить так, чтобы зафиксировать коэффициент H ⁴ термин или (∇ H ) ² срок до 1.

Намагниченность

Чтобы найти намагниченность, зафиксируйте масштаб H так, чтобы λ было единицей. Теперь поле H имеет размерность − d /4, так что H ⁴ д ^д x безразмерен, а Z имеет размерность 2 − d /2. В этом масштабировании градиентный член важен только на больших расстояниях для d ≤ 4. Выше четырех измерений, на длинных волнах, на общую намагниченность влияют только ультралокальные члены.

Есть один тонкий момент. Поле H статистически флуктуирует, и флуктуации могут сдвинуть нулевую точку t . Чтобы увидеть, как это сделать, рассмотрим H ⁴ разделить следующим образом:

$$H(x)^{4}=-\langle H(x)^{2}\rangle ^{2}+2\langle H(x)^{2}\rangle H(x)^{2}+\left(H(x)^{2}-\langle H(x)^{2}\rangle \right)^{2}$$

Первый член представляет собой постоянный вклад в свободную энергию, и его можно игнорировать. Второй член представляет собой конечный сдвиг по t . Третий член — это величина, которая стремится к нулю на больших расстояниях. Это означает, что при анализе масштабирования t именно сдвинутое t с помощью анализа размерностей важно . Исторически это было очень запутанно, потому что сдвиг t при любом конечном λ конечен, но вблизи перехода t очень мал. Дробное изменение t очень велико, а в единицах, где t фиксировано, сдвиг выглядит бесконечным.

Намагниченность находится на минимуме свободной энергии, и это аналитическое уравнение. С точки зрения сдвинутого t ,

$${\partial \over \partial H}\left(tH^{2}+\lambda H^{4}\right)=2tH+4\lambda H^{3}=0$$

Для t <0 минимумы в H пропорциональны квадратному корню из t . Таким образом, аргумент Ландау о катастрофе верен в размерностях больше 5. Показатель степени намагничивания в размерностях больше 5 равен значению среднего поля.

Когда t отрицательно, колебания около нового минимума описываются новым положительным квадратичным коэффициентом. Поскольку этот член всегда доминирует, при температурах ниже перехода флуктуации снова становятся ультралокальными на больших расстояниях.

Колебания

Чтобы найти поведение флуктуаций, измените масштаб поля, чтобы зафиксировать градиентный член. Тогда размерность поля по длине равна 1 - d /2. Теперь поле имеет постоянные квадратичные пространственные флуктуации при всех температурах. Размер шкалы H ² член равен 2, а размерность H ⁴ срок 4 - d . При d < 4 H ⁴ термин имеет положительную масштабную размерность. В размерах выше 4 он имеет отрицательные масштабные размеры.

Это существенное различие. В размерностях выше 4 фиксация масштаба градиентного члена означает, что коэффициент H ⁴ Этот термин становится все менее и менее важным на все более и более длинных волнах. Размерность, при которой неквадратичные вклады начинают давать вклад, известна как критическая размерность. В модели Изинга критическая размерность равна 4.

В размерностях выше 4 критические флуктуации описываются чисто квадратичной свободной энергией на длинных волнах. Это означает, что все корреляционные функции вычислимы как средние по Гауссу :

$$\langle S(x)S(y)\rangle \propto \langle H(x)H(y)\rangle =G(x-y)=\int {dk \over (2\pi )^{d}}{e^{ik(x-y)} \over k^{2}+t}$$

действительно, когда x - y велико. Функция G ( x − y ) является аналитическим продолжением фейнмановского пропагатора в мнимое время , поскольку свободная энергия является аналитическим продолжением действия квантового поля для свободного скалярного поля. Для размерностей 5 и выше все остальные корреляционные функции на больших расстояниях определяются по теореме Вика . Все нечетные моменты равны нулю в силу ± симметрии. Четные моменты представляют собой сумму по всем разбиениям на пары произведения G ( x − y ) для каждой пары.

$$\langle S(x_{1})S(x_{2})\cdots S(x_{2n})\rangle =C^{n}\sum G(x_{i1},x_{j1})G(x_{i2},x_{j2})\ldots G(x_{in},x_{jn})$$

где C – константа пропорциональности. Так что знания G достаточно. Он определяет все многоточечные корреляции поля.

Критическая двухточечная функция

Чтобы определить форму G , учтите, что поля в интеграле по траекториям подчиняются классическим уравнениям движения, полученным путем изменения свободной энергии:

$${\begin{aligned}&&\left(-\nabla _{x}^{2}+t\right)\langle H(x)H(y)\rangle &=0\\\rightarrow {}&&\nabla ^{2}G(x)+tG(x)&=0\end{aligned}}$$

Это справедливо только для несовпадающих точек, поскольку корреляции H сингулярны при столкновении точек. H подчиняется классическим уравнениям движения по той же причине, по которой им подчиняются квантово-механические операторы: ее флуктуации определяются интегралом по путям.

В критической точке t = 0 это уравнение Лапласа , которое можно решить методом Гаусса из электростатики. Определите аналог электрического поля по формуле

$$E=\nabla G$$

Вдали от источника:

$$\nabla \cdot E=0$$

поскольку G сферически симметричен в измерениях d , а — радиальный градиент G. E Интегрируя по большой d - 1-мерной сфере,

$$\int d^{d-1}SE_{r}=\mathrm {constant}$$

Это дает:

$$E={C \over r^{d-1}}$$

и G можно найти путем интегрирования по r .

$$G(r)={C \over r^{d-2}}$$

Константа C фиксирует общую нормировку поля.

G ( r ) от критической точки

Когда t не равно нулю, так что H колеблется при температуре, немного отличающейся от критической, двухточечная функция затухает на больших расстояниях. Уравнение, которому он подчиняется, изменяется:

$$\nabla ^{2}G+tG=0\to {1 \over r^{d-1}}{d \over dr}\left(r^{d-1}{dG \over dr}\right)+tG(r)=0$$

Для r небольшого по сравнению с ${\sqrt {t}}$, решение расходится точно так же, как и в критическом случае, но поведение на больших расстояниях изменяется.

Чтобы увидеть, как это происходит, удобно представить двухточечную функцию в виде интеграла, введенного Швингером в контексте квантовой теории поля:

$$G(x)=\int d\tau {1 \over \left({\sqrt {2\pi \tau }}\right)^{d}}e^{-{x^{2} \over 4\tau }-t\tau }$$

Это G , поскольку преобразование Фурье этого интеграла легко. Каждый фиксированный вклад τ является гауссианом по x , преобразование Фурье которого является другим гауссианом обратной ширины по k .

$$G(k)=\int d\tau e^{-(k^{2}-t)\tau }={1 \over k^{2}-t}$$

Это обратный оператору ∇ ² − t в k -пространстве, действующий на единичную функцию в k -пространстве, которая представляет собой преобразование Фурье источника дельта-функции, локализованного в начале координат. Таким образом, он удовлетворяет тому же уравнению, что и G, с теми же граничными условиями, которые определяют силу расхождения в точке 0.

Интерпретация интегрального представления по собственному времени τ заключается в том, что двухточечная функция представляет собой сумму по всем путям случайного блуждания, которые связывают позицию 0 с позицией x во времени τ. Плотность этих путей в момент времени τ в позиции x является гауссовой, но случайные блуждающие люди исчезают с постоянной скоростью, пропорциональной t , так что гауссиан в момент времени τ уменьшается по высоте в коэффициент, который постоянно уменьшается экспоненциально. В контексте квантовой теории поля это пути релятивистски локализованных квантов в формализме, который повторяет пути отдельных частиц. В чисто статистическом контексте эти пути по-прежнему появляются в результате математического соответствия с квантовыми полями, но их интерпретация менее прямо физическая.

Интегральное представление сразу показывает, что G ( r ) положительна, поскольку она представлена ​​как взвешенная сумма положительных гауссианов. Это также дает скорость затухания при больших r, поскольку собственное время для случайного блуждания, чтобы достичь положения τ, равно r ² и за это время гауссова высота уменьшилась на $e^{-t\tau }=e^{-tr^{2}}$. Таким образом, коэффициент затухания, соответствующий положению r, равен $e^{-{\sqrt {t}}r}$.

Эвристическая аппроксимация для G ( r ):

$$G(r)\approx {e^{-{\sqrt {t}}r} \over r^{d-2}}$$

Это не точная форма, за исключением трёхмерных измерений, где взаимодействие между путями становится важным. Точные формы в больших размерностях являются вариантами функций Бесселя .

Интерпретация полимера Symanzik

Интерпретация корреляций как квантов фиксированного размера, путешествующих по случайным блужданиям, дает возможность понять, почему критическая размерность H ⁴ взаимодействие равно 4. Член H ⁴ можно рассматривать как квадрат плотности случайных блуждающих в любой точке. Для того чтобы такой член изменил корреляционные функции конечного порядка, которые вводят лишь несколько новых случайных блужданий в меняющуюся среду, новые пути должны пересечься. В противном случае квадрат плотности просто пропорционален плотности и только смещает H ² коэффициент по константе. Но вероятность пересечения случайных блужданий зависит от размерности, а случайные блуждания в размерности выше 4 не пересекаются.

Фрактальная размерность обычного случайного блуждания равна 2. Количество шаров размера ε, необходимых для прохождения пути, увеличивается с увеличением ε. ⁻² . Два объекта фрактальной размерности 2 будут пересекаться с разумной вероятностью только в пространстве размерности 4 или меньше, то же самое условие, что и для обычной пары плоскостей. Курт Симанзик утверждал, что это означает, что критические флуктуации Изинга в размерностях выше 4 должны описываться свободным полем. Этот аргумент в конечном итоге стал математическим доказательством.

4 − ε измерения – ренормгруппа

Модель Изинга в четырех измерениях описывается пульсирующим полем, но теперь флуктуации взаимодействуют. В полимерном представлении пересечения случайных блужданий минимально возможны. В продолжении квантового поля кванты взаимодействуют.

Отрицательный логарифм вероятности любой конфигурации поля H представляет собой свободной энергии функцию .

$$F=\int d^{4}x\left[{Z \over 2}|\nabla H|^{2}+{t \over 2}H^{2}+{\lambda \over 4!}H^{4}\right]\,$$

Численные коэффициенты нужны для упрощения уравнений движения. Цель состоит в том, чтобы понять статистические колебания. Как и любой другой неквадратичный интеграл по пути, корреляционные функции имеют разложение Фейнмана как частицы, перемещающиеся по случайным блужданиям, разделяющиеся и воссоединяющиеся в вершинах. Сила взаимодействия параметризуется классически безразмерной величиной λ.

Хотя анализ размерностей показывает, что и λ, и Z безразмерны, это вводит в заблуждение. Длинноволновые статистические флуктуации не совсем масштабно-инвариантны и становятся масштабно-инвариантными только тогда, когда сила взаимодействия исчезает.

используется граница Причина в том, что для определения H , которая определяет самую короткую длину волны. Флуктуации H на длинах волн вблизи границы могут влиять на более длинноволновые флуктуации. Если система масштабируется вместе с отсечкой, параметры будут масштабироваться с помощью анализа размерностей, но тогда сравнение параметров не сравнивает поведение, потому что перемасштабированная система имеет больше режимов. Если система масштабируется таким образом, что коротковолновая граница остается фиксированной, длинноволновые флуктуации изменяются.

Перенормировка Вильсона

Быстрый эвристический способ изучения масштабирования — отрезать волновые числа H в точке λ. Моды Фурье H с волновыми числами больше λ не могут колебаться. Изменение масштаба длины, которое делает всю систему меньше, увеличивает все волновые числа и перемещает некоторые колебания выше порогового значения.

Чтобы восстановить старое обрезание, выполните частичное интегрирование по всем волновым числам, которые раньше были запрещены, но теперь колеблются. В диаграммах Фейнмана интегрирование по флуктуирующей моде с волновым числом k связывает линии, несущие импульс k в корреляционной функции, попарно с коэффициентом обратного пропагатора.

При изменении масштаба, когда система уменьшается в раз (1+ b ), коэффициент t увеличивается в раз (1+ b ). ² с помощью размерного анализа. Изменение t для бесконечно малого b составляет 2 bt . Остальные два коэффициента безразмерны и вообще не изменяются.

Эффект интегрирования низшего порядка можно рассчитать из уравнений движения:

$$\nabla ^{2}H+tH=-{\lambda \over 6}H^{3}.$$

Это уравнение представляет собой тождество внутри любой корреляционной функции вдали от других вставок. После интегрирования мод с Λ < k < (1+ b )Λ это будет немного другое тождество.

Поскольку форма уравнения сохранится, для нахождения изменения коэффициентов достаточно проанализировать изменение H ³ срок. В расширении диаграммы Фейнмана H ³ Член корреляционной функции внутри корреляции имеет три висячие линии. Соединение двух из них при больших волновых числах k дает изменение H ³ с одной свисающей линией, пропорциональной H :

$$\delta H^{3}=3H\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over (k^{2}+t)}$$

Коэффициент 3 обусловлен тем, что цикл можно замкнуть тремя разными способами.

Интеграл следует разбить на две части:

$$\int dk{1 \over k^{2}}-t\int dk{1 \over k^{2}(k^{2}+t)}=A\Lambda ^{2}b+Bbt$$

Первая часть не пропорциональна t , и в уравнении движения она может быть поглощена постоянным сдвигом t . Это вызвано тем, что H ³ термин имеет линейную часть. Только второй член, который варьируется от t до t , вносит вклад в критическое масштабирование.

Этот новый линейный член добавляется к первому члену в левой части, изменяя t на величину, пропорциональную t . Общее изменение t представляет собой сумму слагаемого из анализа размерностей и этого второго слагаемого из произведений оператора :

$$\delta t=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)bt$$

Таким образом, t масштабируется, но его размерность аномальна , она изменяется на величину, пропорциональную значению λ.

Но λ тоже меняется. Изменение λ требует учета разделения линий, а затем быстрого воссоединения. Процесс низшего порядка — это процесс, в котором одна из трех строк из H ³ разделяется на три, которые быстро соединяются с одной из других линий из той же вершины. Поправка к вершине равна

$$\delta \lambda =-{3\lambda ^{2} \over 2}\int _{k}dk{1 \over (k^{2}+t)^{2}}=-{3\lambda ^{2} \over 2}b$$

Численный коэффициент в три раза больше, поскольку при выборе того, какую из трех новых линий заключить контракт, используется дополнительный коэффициент в три. Так

$$\delta \lambda =-3B\lambda ^{2}b$$

Эти два уравнения вместе определяют уравнения ренормгруппы в четырех измерениях:

$${\begin{aligned}{dt \over t}&=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)b\\{d\lambda \over \lambda }&={-3B\lambda \over 2}b\end{aligned}}$$

Коэффициент B определяется по формуле $$Bb=\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over k^{4}}$$

и пропорционален площади трехмерной сферы радиуса λ, умноженной на ширину области интегрирования b Λ, деленной на Λ ⁴ : $$B=(2\pi ^{2}\Lambda ^{3}){1 \over (2\pi )^{4}}{b\Lambda }{1 \over b\Lambda ^{4}}={1 \over 8\pi ^{2}}$$

В других измерениях константа B меняется, но одна и та же константа появляется и в t- потоке, и в потоке связи. Причина в том, что производная по t замкнутого контура с одной вершиной представляет собой замкнутый контур с двумя вершинами. Это означает, что единственная разница между масштабированием связи и t — это комбинаторные факторы объединения и разделения.

Фиксированная точка Уилсона – Фишера

Исследование трёх измерений, начиная с четырёхмерной теории, должно быть возможным, поскольку вероятности пересечения случайных блужданий непрерывно зависят от размерности пространства. На языке графов Фейнмана связь не сильно меняется при изменении размерности.

Процесс выхода из измерения 4 не вполне определен без рецепта того, как это сделать. Рецепт четко определен только на диаграммах. Он заменяет представление Швингера в размерности 4 представлением Швингера в размерности 4 - ε, определяемом следующим образом: $$G(x-y)=\int d\tau {1 \over t^{d \over 2}}e^{{x^{2} \over 2\tau }+t\tau }$$

В размерности 4 − ε связь λ имеет положительную масштабную размерность ε, и ее необходимо добавить к потоку.

$${\begin{aligned}{d\lambda \over \lambda }&=\varepsilon -3B\lambda \\{dt \over t}&=2-\lambda B\end{aligned}}$$

Коэффициент B зависит от размера, но он будет отменен. Неподвижная точка для λ больше не равна нулю, а равна: $$\lambda ={\varepsilon \over 3B}$$где масштабные размеры t изменяются на величину λ B = ε/3.

Показатель намагничивания изменяется пропорционально: $${\tfrac {1}{2}}\left(1-{\varepsilon \over 3}\right)$$

что составляет 0,333 в 3-мерном измерении (ε = 1) и 0,166 в 2-мерном (ε = 2). Это не так уж далеко от измеренного показателя степени 0,308 и двумерного показателя Онзагера 0,125.

Бесконечные размеры – среднее поле

Основная статья: Теория среднего поля

Поведение модели Изинга на полностью связном графе можно полностью понять с помощью теории среднего поля . Этот тип описания подходит для квадратных решеток очень большой размерности, поскольку тогда каждый узел имеет очень большое количество соседей.

Идея состоит в том, что если каждый спин связан с большим количеством спинов, важно только среднее отношение + спинов к - спинам, поскольку колебания вокруг этого среднего значения будут небольшими. Среднее поле H представляет собой среднюю долю спинов, имеющих значение +, минус среднюю долю спинов, имеющих значение -. Энергетическая стоимость переворота одного спина в среднем поле H составляет ±2 JNH . Удобно переопределить J , чтобы поглотить множитель N , чтобы предел N → ∞ был гладким. С точки зрения нового J , затраты энергии на переворот вращения составляют ±2 JH .

Эта стоимость энергии дает отношение вероятности p того, что спин равен +, к вероятности 1− p того, что спин равен −. Это соотношение является фактором Больцмана: $${p \over 1-p}=e^{2\beta JH}$$

так что $$p={1 \over 1+e^{-2\beta JH}}$$

Среднее значение спина определяется путем усреднения 1 и −1 с весами p и 1 − p , поэтому среднее значение равно 2 p − 1. Но это среднее одинаково для всех спинов и, следовательно, равно H . $$H=2p-1={1-e^{-2\beta JH} \over 1+e^{-2\beta JH}}=\tanh(\beta JH)$$

Решениями этого уравнения являются возможные согласованные средние поля. Для β J < 1 существует только одно решение при H = 0. Для больших значений β существует три решения, и решение при H = 0 неустойчиво.

Нестабильность означает, что небольшое увеличение среднего поля выше нуля приводит к появлению статистической доли спинов со знаком +, которая больше значения среднего поля. Таким образом, среднее поле, которое колеблется выше нуля, будет создавать еще большее среднее поле и в конечном итоге установится на устойчивом решении. Это означает, что при температурах ниже критического значения β J = 1 модель Изинга среднего поля претерпевает фазовый переход в пределе больших N .

Выше критической температуры флуктуации H затухают, поскольку среднее поле восстанавливает флуктуацию до нулевого поля. Ниже критической температуры среднее поле приводится к новому равновесному значению, которое является либо положительным H, либо отрицательным H решением уравнения.

Для β J = 1 + ε, чуть ниже критической температуры, значение H можно рассчитать из разложения Тейлора гиперболического тангенса: $$H=\tanh(\beta JH)\approx (1+\varepsilon )H-{(1+\varepsilon )^{3}H^{3} \over 3}$$

Разделив на H, чтобы отбросить нестабильное решение при H = 0, устойчивыми решениями будут: $$H={\sqrt {3\varepsilon }}$$

Спонтанная намагниченность H растет вблизи критической точки как квадратный корень из изменения температуры. Это верно всякий раз, когда H можно вычислить из решения аналитического уравнения, симметричного между положительными и отрицательными значениями, что привело Ландау к подозрению, что все фазовые переходы типа Изинга во всех измерениях должны подчиняться этому закону.

Показатель среднего поля является универсальным , поскольку изменения характера решений аналитических уравнений всегда описываются катастрофами в ряду Тейлора , который представляет собой полиномиальное уравнение. По симметрии уравнение для H должно иметь только нечетные степени H в правой части. Изменение β должно лишь плавно изменять коэффициенты. Переход происходит, когда коэффициент H в правой части равен 1. Рядом с переходом: $$H={\partial (\beta F) \over \partial h}=(1+A\varepsilon )H+BH^{3}+\cdots$$

Какими бы ни были A и B , пока ни один из них не настроен на ноль, спонтанная намагниченность будет расти как квадратный корень из ε. Этот аргумент может оказаться несостоятельным только в том случае, если свободная энергия β F является либо неаналитической, либо нетиповой в точном значении β, где происходит переход.

Но спонтанная намагниченность в магнитных системах и плотность газов вблизи критической точки измеряются очень точно. Плотность и намагниченность в трех измерениях имеют одинаковую степенную зависимость от температуры вблизи критической точки, но экспериментальное поведение следующее: $$H\propto \varepsilon ^{0.308}$$

Показатель степени также является универсальным, поскольку он в модели Изинга тот же, что и в экспериментальных магните и газе, но не равен значению среднего поля. Это было большим сюрпризом.

Это также верно в двух измерениях, где $$H\propto \varepsilon ^{0.125}$$

Но и здесь это не было неожиданностью, поскольку это было предсказано Онсагером .

Низкие размеры – вращение блоков

В трех измерениях ряд пертурбативов из теории поля представляет собой разложение по константе связи λ, которая не особенно мала. Эффективный размер связи в фиксированной точке равен единице коэффициента ветвления траекторий частиц, поэтому параметр расширения составляет около 1/3. В двух измерениях параметр пертурбативного разложения равен 2/3.

Но перенормировку можно продуктивно применить и непосредственно к спинам, не переходя к среднему полю. Исторически этот подход принадлежит Лео Каданову и предшествовал пертурбативному расширению ε.

Идея состоит в том, чтобы итеративно интегрировать спины решетки, создавая поток в связях. Но теперь связи представляют собой коэффициенты энергии решетки. Тот факт, что существует континуальное описание, гарантирует, что эта итерация будет сходиться к фиксированной точке, когда температура будет настроена на критическую величину.

Перенормировка Мигдала – Каданова

Напишите двумерную модель Изинга с бесконечным числом возможных взаимодействий более высокого порядка. Чтобы сохранить симметрию спинового отражения, вклад вносят только четные степени: $$E=\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}+\sum J_{ijkl}S_{i}S_{j}S_{k}S_{l}\ldots .$$

В силу трансляционной инвариантности J _ij является только функцией ij. Из-за случайной вращательной симметрии при больших i и j его размер зависит только от величины двумерного вектора i - j . Коэффициенты более высокого порядка также ограничены аналогичным образом.

Итерация перенормировки делит решетку на две части – четные и нечетные спины. Нечетные вращения живут на позициях решетки нечетной шахматной доски, а четные — на позициях четной шахматной доски. Когда спины индексируются позицией ( i , j ), нечетными сайтами являются сайты с нечетным i + j , а четными сайтами - те, у которых i + j четный, а четные сайты связаны только с нечетными сайтами.

Два возможных значения нечетных вращений будут интегрированы путем суммирования обоих возможных значений. Это создаст новую функцию свободной энергии для оставшихся четных вращений с новыми отрегулированными связями. Четные вращения снова расположены в решетке, с осями, наклоненными на 45 градусов к старым. Отмена ротации системы восстанавливает старую конфигурацию, но с новыми параметрами. Эти параметры описывают взаимодействие спинов на расстояниях ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ больше.

Начиная с модели Изинга и повторяя эту итерацию, в конечном итоге изменяются все связи. При температуре выше критической температуры связи будут сходиться к нулю, поскольку спины на больших расстояниях некоррелированы. Но когда температура становится критической, будут ненулевые коэффициенты, связывающие спины всех порядков. Поток можно аппроксимировать, рассматривая только первые несколько членов. Этот усеченный поток будет давать все лучшие и лучшие аппроксимации критических показателей при включении большего количества членов.

Самое простое приближение — оставить только обычный J -член и отбросить все остальное. Это создаст поток в J , аналогичный потоку в t в фиксированной точке λ в разложении ε.

Чтобы найти изменение J , рассмотрим четырех соседей нечетного сайта. Это единственные спины, которые с ним взаимодействуют. Мультипликативный вклад в статистическую сумму суммы двух значений спина в нечетном узле: $$e^{J(N_{+}-N_{-})}+e^{J(N_{-}-N_{+})}=2\cosh(J[N_{+}-N_{-}])$$

где N _± — количество соседей, являющихся ±. Если пренебречь коэффициентом 2, то вклад свободной энергии от этого нечетного узла составит: $$F=\log(\cosh[J(N_{+}-N_{-})]).$$

Как и ожидалось, сюда входят взаимодействия ближайшего соседа и следующего ближайшего соседа, а также четырехспиновое взаимодействие, которое следует отбросить. Чтобы сократить взаимодействие до ближайших соседей, учтите, что разница в энергии между всеми спинами одинаковых и равных чисел + и – равна: $$\Delta F=\ln(\cosh[4J]).$$

Из связей ближайших соседей разница в энергии между всеми спинами равными и шахматными спинами составляет 8 Дж . Разница в энергии между всеми спинами, равными и не расположенными в шахматном порядке, но чистым нулевым спином, составляет 4 Дж . Если игнорировать четырехспиновые взаимодействия, разумным усечением будет среднее значение этих двух энергий или 6 Дж . Поскольку каждая ссылка будет способствовать двум нечетным вращениям, правильное значение для сравнения с предыдущим составляет половину этого: $$3J'=\ln(\cosh[4J]).$$

При малых J это быстро приводит к нулевой связи. Большие J перетекают в большие муфты. Показатель намагничивания определяется по наклону уравнения в фиксированной точке.

Варианты этого метода дают хорошие численные аппроксимации критических показателей, когда включено много членов, как в двух, так и в трех измерениях.

Приложения

Магнетизм

Первоначальной мотивацией для модели было явление ферромагнетизма . Железо магнитно; как только он намагничен, он остается намагниченным в течение длительного времени по сравнению с любым атомным временем.

В 19 веке считалось, что магнитные поля возникают из-за токов в веществе, а Ампер постулировал, что постоянные магниты возникают из-за постоянных атомных токов. , движение классических заряженных частиц не могло объяснить постоянные токи Однако, как показал Лармор . Чтобы иметь ферромагнетизм, атомы должны иметь постоянные магнитные моменты , которые не связаны с движением классических зарядов.

Когда спин электрона был открыт, стало ясно, что магнетизм должен возникать благодаря большому количеству спинов электронов, ориентированных в одном направлении. Было естественно задаться вопросом, откуда спины электронов знают, в каком направлении им указывать, ведь электроны на одной стороне магнита не взаимодействуют напрямую с электронами на другой стороне. Они могут влиять только на своих соседей. Модель Изинга была разработана для исследования того, может ли большая часть спинов электронов быть ориентирована в одном направлении, используя только локальные силы.

Решетчатый газ

Модель Изинга можно интерпретировать как статистическую модель движения атомов. Поскольку кинетическая энергия зависит только от импульса, а не от положения, а статистика положений зависит только от потенциальной энергии, термодинамика газа зависит только от потенциальной энергии для каждой конфигурации атомов.

Грубая модель состоит в том, чтобы превратить пространство-время в решетку и представить, что каждая позиция либо содержит атом, либо нет. Пространство конфигурации представляет собой пространство независимых битов B _i , где каждый бит равен 0 или 1 в зависимости от того, занята позиция или нет. Притягивающее взаимодействие уменьшает энергию двух соседних атомов. Если притяжение происходит только между ближайшими соседями, энергия уменьшается на -4 JB _i B _j для каждой занятой соседней пары.

Плотностью атомов можно управлять, добавляя химический потенциал , который представляет собой мультипликативную стоимость вероятности добавления еще одного атома. Мультипликативный коэффициент вероятности можно интерпретировать как аддитивный член логарифма – энергии. Дополнительная энергия конфигурации с N атомами изменяется на µN . Вероятностная стоимость появления еще одного атома равна exp(− βμ ).

Тогда энергия решеточного газа равна: $$E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}$$

Переписывая биты в терминах вращений, $B_{i}=(S_{i}+1)/2.$$$E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}$$

Для решеток, где каждый узел имеет одинаковое количество соседей, это модель Изинга с магнитным полем h = ( zJ − µ )/2, где z — количество соседей.

В биологических системах модифицированные версии модели решеточного газа использовались для понимания ряда вариантов поведения связывания. К ним относятся связывание лигандов с рецепторами на поверхности клетки, связывание белков хемотаксиса с жгутиковым мотором, и конденсация ДНК.

Нейронаука

Активность нейронов головного мозга можно моделировать статистически. Каждый нейрон в любой момент времени либо активен +, либо неактивен –. Активные нейроны — это те, которые посылают потенциал действия по аксону в любом заданном временном окне, а неактивные — это те, которые этого не делают. Поскольку нейронная активность в любой момент времени моделируется независимыми битами, Хопфилд в 1982 году предположил, что динамическая модель Изинга обеспечит первое приближение к нейронной сети, способной к обучению . Эта обучающаяся рекуррентная нейронная сеть была опубликована Шуничи Амари в 1972 году.

Следуя общему подходу Джейнса, более поздняя интерпретация Шнейдмана, Берри, Сегева и Бялека, заключается в том, что модель Изинга полезна для любой модели нейронной функции, поскольку статистическую модель нейронной активности следует выбирать с использованием принципа максимальной энтропии . Учитывая набор нейронов, статистическая модель, которая может воспроизвести среднюю скорость срабатывания для каждого нейрона, вводит множитель Лагранжа для каждого нейрона: $$E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}$$Но активность каждого нейрона в этой модели статистически независима. Чтобы учесть парные корреляции, когда один нейрон имеет тенденцию срабатывать (или не срабатывать) вместе с другим, введите парные множители Лагранжа: $$E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}$$где $J_{ij}$ не ограничиваются соседями. Обратите внимание, что это обобщение модели Изинга иногда называют квадратичным экспоненциальным двоичным распределением в статистике.Эта энергетическая функция вносит вероятностные отклонения только для спина, имеющего значение, и для пары спинов, имеющих одно и то же значение. Корреляции более высокого порядка не ограничены множителями. Шаблон активности, выбранный из этого распределения, требует наибольшего количества битов для хранения в компьютере и в наиболее эффективной схеме кодирования, которую только можно себе представить, по сравнению с любым другим распределением с такой же средней активностью и парными корреляциями. Это означает, что модели Изинга применимы к любой системе, которая описывается как можно более случайными битами, с ограничениями на парные корреляции и среднее количество единиц, что часто встречается как в физических, так и в социальных науках.

Спиновые очки

С помощью модели Изинга можно также описать так называемые спиновые стекла обычным гамильтонианом ${\textstyle H=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$ где S -переменные описывают спины Изинга, а J _i,k берутся из случайного распределения. Для спиновых стекол типичное распределение выбирает антиферромагнитные связи с вероятностью p и ферромагнитные связи с вероятностью 1 − p (также известное как модель Изинга со случайными связями). Эти связи остаются фиксированными или «закаленными» даже при наличии температурных колебаний. Когда p = 0, мы имеем исходную модель Изинга. Эта система сама по себе заслуживает интереса; в частности, он обладает «неэргодическими» свойствами, приводящими к странному релаксационному поведению. Большое внимание также привлекла связанная с ней модель Изинга связи и разбавления сайтов, особенно в двух измерениях, что привело к интригующему критическому поведению.

Морской лед

Двухмерные аппроксимации плавильного пруда можно создать с использованием модели Изинга; Данные о топографии морского льда довольно сильно влияют на результаты. Переменная состояния является двоичной для простого двумерного приближения и представляет собой воду или лед.

Топологии дерева Кэли и большие нейронные сети

Открытое дерево Кэли или ветвь с коэффициентом ветвления = 2 и k поколений

Чтобы исследовать модель Изинга, потенциально применимую для больших (например, с $10^{4}$ или $10^{5}$ взаимодействий на узел) нейронных сетей, по предложению Кризана в 1979 году Барт (1981) получил точное аналитическое выражение для свободной энергии модели Изинга на замкнутом дереве Кэли (со сколь угодно большим коэффициентом ветвления) для нулевого внешнего магнитное поле (в термодинамическом пределе) с применением методологий Глассера (1970) и Джеллито (1979)

$$-\beta f=\ln 2+{\frac {2\gamma }{(\gamma +1)}}\ln(\cosh J)+{\frac {\gamma (\gamma -1)}{(\gamma +1)}}\sum _{i=2}^{z}{\frac {1}{\gamma ^{i}}}\ln J_{i}(\tau )$$

Замкнутое дерево Кэли с коэффициентом ветвления = 4. (Для соединенных деревьев показаны только сайты для поколений k, k-1 и k=1 (перекрывающиеся в одну строку)

где $\gamma$ — произвольный коэффициент ветвления (больше или равный 2), $t\equiv \tanh J$, $\tau \equiv t^{2}$, $J\equiv \beta \epsilon$ (с $\epsilon$ представляющая энергию взаимодействия ближайшего соседа), и в каждой из ветвей дерева имеется k (→ ∞ в термодинамическом пределе) поколений (образующих замкнутую древовидную архитектуру, как показано на данной замкнутой древовидной диаграмме Кэли). Сумма в последнем члене можно показать, что она сходится равномерно и быстро (т. е. при z → ∞ она остается конечной), давая непрерывную и монотонную функцию, устанавливая, что при $\gamma$ если она больше или равна 2, то свободная энергия является непрерывной функцией температуры T. Дальнейший анализ свободной энергии показывает, что она демонстрирует необычную разрывную первую производную при критической температуре ( Кризан, Барт и Глассер (1983) , Глассер и Голдберг). (1983) .)

Было обнаружено, что спин-спиновая корреляция между узлами (в общем, m и n) на дереве имеет точку перехода, если рассматривать вершины (например, A и À, его отражение), их соответствующие соседние узлы (такие как B и его отражение). отражение), а также между участками, прилегающими к верхним и нижним крайним вершинам двух деревьев (например, A и B), что можно определить из $$\langle s_{m}s_{n}\rangle ={Z_{N}}^{-1}(0,T)[\cosh J]^{N_{b}}2^{N}\sum _{l=1}^{z}g_{mn}(l)t^{l}$$где $N_{b}$ равен числу облигаций, $g_{mn}(l)t^{l}$ - количество графов, подсчитанных для нечетных вершин с четными промежуточными узлами (подробные расчеты см. В цитируемых методологиях и ссылках), $2^{N}$ - это кратность, возникающая из двузначных возможностей спина и статистической суммы ${Z_{N}}$ получено из $\sum _{\{s\}}e^{-\beta H}$. (Примечание: $s_{i}$ соответствует литературе, на которую ссылаются в этом разделе, и эквивалентно $S_{i}$ или $\sigma _{i}$ использовался выше и в предыдущих разделах; оно оценивается в $\pm 1$.) Критическая температура $T_{C}$ дается $$T_{C}={\frac {2\epsilon }{k_{\text{B}}[\ln({\sqrt {\gamma }}+1)-\ln({\sqrt {\gamma }}-1)]}}.$$

Критическая температура для этой модели определяется только коэффициентом ветвления $\gamma$ и энергия взаимодействия между сайтами $\epsilon$, факт, который может иметь прямые последствия, связанные с нейронной структурой и ее функцией (поскольку он связывает энергии взаимодействия и коэффициент ветвления с ее переходным поведением). Например, связь между переходным поведением активности нейронных сетей между спящими и состояния бодрствования (которые могут коррелировать со спин-спиновым типом фазового перехода) с точки зрения изменений в нейронной взаимосвязи ( $\gamma$) и/или взаимодействия между соседями ( $\epsilon$), с течением времени, является лишь одним из возможных путей дальнейшего экспериментального исследования такого явления. Во всяком случае, для этой модели Изинга было установлено, что «устойчивость дальней корреляции возрастает с увеличением $\gamma$ или увеличение $\epsilon$.”

Для этой топологии спин-спиновая корреляция оказалась равной нулю между крайними вершинами и центральными узлами, в которых два дерева (или ветви) соединяются (т. е. между A и индивидуально C, D или E). Такое поведение является Это объясняется тем, что с увеличением k количество связей увеличивается экспоненциально (между крайними вершинами), и поэтому, даже несмотря на то, что вклад в спиновые корреляции уменьшаются экспоненциально, корреляция между узлами, такими как крайняя вершина (A) в одно дерево, и крайняя вершина в соединенном дереве (À) остается конечной (выше критической температуры). Кроме того, A и B также демонстрируют неисчезающую корреляцию (как и их отражения), что позволяет для сайтов уровня B (с уровнем А), которые считаются «группами», которые имеют тенденцию демонстрировать синхронность стрельбы.

На основе обзора других классических сетевых моделей в качестве сравнения модель Изинга на закрытом дереве Кэли была определена как первая классическая статистическая механическая модель, демонстрирующая как локальные, так и удаленные участки с неисчезающими спин-спиновыми корреляциями, в то время как в то же время демонстрируя промежуточные сайты с нулевой корреляцией, что действительно было актуальным вопросом для больших нейронных сетей на момент его рассмотрения. Поведение модели также актуально для любой другой дивергентно-сходящейся древовидной физической (или биологической) системы, демонстрирующей закрытую топологию дерева Кэли с взаимодействием типа Изинга. Эту топологию не следует игнорировать, поскольку ее поведение для моделей Изинга было точно решено, и, по-видимому, природа нашла способ воспользоваться преимуществами таких простых симметрий на многих уровнях своих проектов.

Барт (1981) рано отметил возможность взаимосвязи между (1) классической моделью большой нейронной сети (с аналогичными связанными дивергентно-конвергентными топологиями) и (2) базовой статистической квантово-механической моделью (независимой от топологии и с сохранением фундаментальных квантовых говорится):

Наиболее значимый результат, полученный с помощью модели закрытого дерева Кэли, заключается в возникновении корреляции дальнего действия при отсутствии корреляции промежуточного диапазона. Этот результат не был продемонстрирован другими классическими моделями. Неспособность классического взгляда на передачу импульсов объяснить это явление была названа многими исследователями (Ricciardi and Umezawa, 1967, Hokkyo 1972, Stuart, Takahashi and Umezawa 1978, 1979) как достаточно существенная, чтобы оправдать радикально новые предположения по очень на фундаментальном уровне и предположили существование квантовых кооперативных режимов внутри мозга… Кроме того, интересно отметить, что (моделирование)… голдстоуновских частиц или бозонов (согласно Умезаве и др.)… внутри мозга демонстрирует длительную -диапазонная корреляция квантовых чисел, сохраняющихся в основном состоянии… В закрытой модели дерева Кэли основные состояния пар узлов, а также переменная состояния отдельных узлов (могут) демонстрировать дальнодействующую корреляцию.

Среди ранних нейрофизиков (например, Умезавы, Кризана, Барта и т. д.) было естественным и распространенным убеждением, что классические нейронные модели (в том числе со статистико-механическими аспектами) однажды придется интегрировать с квантовой физикой (с квантово-статистическими аспектами), Возможно, это похоже на то, как область химии исторически интегрировалась в квантовую физику посредством квантовой химии.

Еще предстоит решить несколько дополнительных статистически-механических задач, представляющих интерес для закрытого дерева Кэли, включая случай, зависящий от времени, и ситуацию с внешним полем, а также теоретические усилия, направленные на понимание взаимосвязей с основными квантовыми составляющими и их физикой.

См. также

• Модель АНННИ
• Параметр связующего
• Машина Больцмана
• Конформный бутстрап
• Построение неприводимой цепи Маркова в модели Изинга
• Геометрически неудовлетворительный магнит
• Классическая модель Гейзенберга
• Квантовая модель Гейзенберга
• Сеть Хопфилда
• Критические показатели Изинга
• Джей Си Уорд
• Модель Курамото
• Максимальная ровность
• Оператор заказа
• Модель Поттса (общая с моделью Эшкина – Теллера )
• Спиновые модели
• Модель Изинга с квадратной решеткой
• Алгоритм Свендсена – Ванга
• модель tJ
• Двумерная критическая модель Изинга
• Алгоритм Вольфа
• XY-модель
• Модель ZN

Ссылки

• Барт, П.Ф. (1981), «Кооперативность и переходное поведение больших нейронных сетей», магистерская диссертация , Берлингтон: Университет Вермонта: 1–118, OCLC   8231704
• Бакстер, Родни Дж. (1982), Точно решенные модели в статистической механике , Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN  978-0-12-083180-7 , МР   0690578
• К. Биндер (2001) [1994], «Модель Изинга» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Браш, Стивен Г. (1967). «История модели Ленца-Изинга». Обзоры современной физики . 39 (4): 883–893. Бибкод : 1967РвМП...39..883Б . дои : 10.1103/RevModPhys.39.883 .
• Байерляйн, Р. (1999), Теплофизика , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-59082-2
• Галлавотти, Г. (1999), Статистическая механика , Тексты и монографии по физике, Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-662-03952-6 , ISBN  978-3-540-64883-3 , МР   1707309
• Хуанг, Керсон (1987), Статистическая механика (2-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-471-81518-1
• Изинг, Э. (1925), «Вклад в теорию ферромагнетизма», Z. Phys. , 31 (1): 253–258, Бибкод : 1925ZPhy...31..253I , doi : 10.1007/BF02980577 , S2CID   122157319
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1 , Современные знания ( CNRS ), EDP Sciences Editions, ISBN  978-2-86883-360-0
• Ицыксон, Клод; Друфф, Жан-Мишель (1989), Статистическая теория поля, Том 1: От броуновского движения к перенормировке и калибровочной теории решетки , Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-40805-9
• Фридли, С.; Веленик, Ю. (2017). Статистическая механика решетчатых систем: конкретное математическое введение . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9781107184824 .
• Росс Киндерманн и Дж. Лори Снелл (1980), Марковские случайные поля и их приложения . Американское математическое общество. ISBN   0-8218-3381-2 .
• Кляйнерт, Х. (1989), Калибровочные поля в конденсированном состоянии , Vol. I, «Сверхпоток и вихревые линии», стр. 1–742, Том. II, «Напряжения и дефекты», стр. 743–1456, World Scientific (Сингапур) ; Мягкая обложка ISBN   9971-5-0210-0 (также доступен онлайн: Том I и Том II )
• Кляйнерт Х. и Шульте-Фролинде В. (2001), Критические свойства φ ⁴ -Теории , World Scientific (Сингапур) ; Мягкая обложка ISBN   981-02-4658-7 (также доступен в Интернете )
• Ленц, В. (1920), «Вклад в понимание магнитных свойств твердых тел», Physical Journal , 21 : 613–615.
• Барри М. Маккой и Тай Цун Ву (1973), Двумерная модель Изинга . Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, ISBN   0-674-91440-6
• Монтролл, Эллиот В.; Поттс, Ренфри Б.; Уорд, Джон К. (1963), «Корреляции и спонтанная намагниченность двумерной модели Изинга» , Журнал математической физики , 4 (2): 308–322, Бибкод : 1963JMP.....4..308M , doi : 10.1063/1.1703955 , ISSN   0022-2488 , MR   0148406 , заархивировано из оригинала 12 января 2013 г. , получено 25 октября 2009 г.
• Онсагер, Ларс (1944), «Статистика кристаллов. I. Двумерная модель с переходом порядок-беспорядок», Physical Review , Series II, 65 (3–4): 117–149, Бибкод : 1944PhRv...65 ..117O , doi : 10.1103/PhysRev.65.117 , MR   0010315
• Онсагер, Ларс (1949), «Дискуссия», Приложение к Nuovo Cimento , 6 : 261
• Джон Палмер (2007), Плоские корреляции Изинга . Биркхойзер, Бостон, ISBN   978-0-8176-4248-8 .
• Истраил, Сорин (2000), «Статистическая механика, трехмерность и NP-полнота. I. Универсальность трудноразрешимости статистической суммы модели Изинга по неплоским поверхностям (расширенный аннотация)» (PDF) , Proceedings of the Thirty -Второй ежегодный симпозиум ACM по теории вычислений , ACM, стр. 87–96, doi : 10.1145/335305.335316 , ISBN  978-1581131840 , МР   2114521 , S2CID   7944336
• Ян, CN (1952), «Спонтанное намагничивание двумерной модели Изинга», Physical Review , Series II, 85 (5): 808–816, Bibcode : 1952PhRv...85..808Y , doi : 10.1103/ ФизРев.85.808 , МР   0051740
• Глассер, ML (1970), «Точная статистическая сумма для двумерной модели Изинга», American Journal of Physics , 38 (8): 1033–1036, Bibcode : 1970AmJPh..38.1033G , doi : 10.1119/1.1976530
• Джеллито, Р.Дж. (1979), «Модель Изинга на закрытом дереве Кэли», Physica , 99A (1): 268–280, Бибкод : 1979PhyA...99..268J , doi : 10.1016/0378-4371(79) 90134-1
• Кризан, Дж. Э.; Барт, ПФ ; Глассер, М.Л. (1983), «Точные фазовые переходы для модели Изинга на замкнутом дереве Кэли», Physica , 119A , North-Holland Publishing Co.: 230–242, doi : 10.1016/0378-4371(83)90157-7
• Глассер, ML; Гольдберг, М. (1983), «Модель Изинга на замкнутом дереве Кэли», Physica , 117A (2): 670–672, Bibcode : 1983PhyA..117..670G , doi : 10.1016/0378-4371(83) 90138-3
• Сюзен, Мехмет (2014), «Эффективная эргодичность в динамике одиночного спин-флипа», Physical Review E , 90 (3): 032141, arXiv : 1405.4497 , doi : 10.1103/PhysRevE.90.032141

Внешние ссылки

• Модель Изинга в The Net Advance of Physics
• Барри Артур Ципра , «Модель Изинга NP-полна », SIAM News , Vol. 33, № 6; онлайн-издание (.pdf)
• Статья Science World о модели Изинга
• Динамический Java-апплет 2D Ising от UCSC.
• Динамический Java-апплет 2D Ising.
• Более крупный/сложный Java-апплет 2D Ising.
• «Я пою хорошо» Модель Изинга: Простая модель критического поведения в системе вращений Дирка Брокмана представляет собой интерактивное моделирование, позволяющее пользователям экспортировать рабочий код на слайд презентации.
• Моделирование модели Изинга Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram
• Фазовые переходы на решетках
• Трехмерное доказательство модели Изинга невозможно, утверждает исследователь Сандиа
• Интерактивное моделирование Монте-Карло моделей Изинга, XY и Гейзенберга с 3D-графикой (требуется браузер, совместимый с WebGL)
• Код модели Изинга , пример шумоподавления изображения с помощью модели Изинга
• Конспекты лекций Дэвида Тонга служат хорошим введением.
• Мультяшное изображение магнитов, изменивших науку - статья в журнале Quanta о модели Изинга
• Моделирование двухмерной модели Изинга в Julia: https://github.com/cossio/SquareIsingModel.jl