Jump to content

Обычный номер

Это хорошая статья. Нажмите здесь для получения дополнительной информации.
(Перенаправлено с номеров Хэмминга )

Диаграмма Хассе отношений делимости обычных чисел до 400. Вертикальная шкала логарифмическая . [1]

Обычные числа — это числа, которые равномерно делят степени 60 (или, что то же самое, степени 30 ). Эквивалентно, это числа, единственные простые делители которых равны 2 , 3 и 5 . Например, 60 2 = 3600 = 48 × 75, так что как делители степени 60, так и 48, и 75 являются правильными.

Эти числа встречаются в нескольких областях математики и ее приложений и имеют разные названия, исходя из разных областей исследования.

Теория чисел

[ редактировать ]

Формально регулярное число — это целое число вида , для неотрицательных целых чисел , , и . Такое число является делителем . Обычные числа также называются 5- гладкими , что указывает на то, что их наибольший простой делитель не превосходит 5. [2] В более общем смысле, k -гладкое число — это число, наибольший простой делитель которого не превышает k . [3]

Первые несколько обычных чисел [2]

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, ... (последовательность A051037 в OEIS )

Некоторые другие последовательности в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей имеют определения, включающие 5-гладкие числа. [4]

Хотя обычные числа кажутся плотными в диапазоне от 1 до 60, они довольно редки среди больших целых чисел. Обычный номер меньше или равно некоторому порогу тогда и только тогда, когда точка принадлежит тетраэдру, ограниченному координатными плоскостями и плоскостью в чем можно убедиться, логарифмируя обе части неравенства .Следовательно, количество правильных чисел, не превосходящих можно оценить как объем этого тетраэдра, который Еще точнее, используя обозначение big O , количество регулярных чисел до является и было высказано предположение, что погрешность этого приближения на самом деле равна . [2] Аналогичная формула для числа 3-гладких чисел до приводится Шринивасой Рамануджаном в его первом письме Г.Х. Харди . [5]

Вавилонская математика

[ редактировать ]
АО 6456, таблица обратных чисел регулярным числам из Селевкидского Урука , скопированная из неизвестного более раннего источника.

В вавилонской шестидесятеричной записи обратное регулярному числу имеет конечное представление. Если делит , то шестидесятеричное представление это только для , сдвинутый на некоторое количество мест. Это позволяет легко делить эти числа: делить на , умножить на , затем сдвиньте. [6]

Например, рассмотрим деление на обычное число 54 = 2. 1 3 3 . 54 делитель 60 3 , и 60 3 /54 = 4000, поэтому шестидесятеричное деление на 54 можно выполнить путем умножения на 4000 и сдвига на три позиции. В шестидесятеричном формате 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1 или (как указано Джойсом) 1:6:40. Таким образом, 1/54 в шестидесятеричной системе равна 1/60 + 6/60. 2 + 40/60 3 , также обозначаемый 1:6:40, поскольку вавилонские обозначения не определяли степень начальной цифры. И наоборот 1/4000 = 54/60. 3 , поэтому деление на 1:6:40 = 4000 можно выполнить, умножив на 54 и сдвинув три шестидесятеричных знака.

Вавилоняне использовали таблицы обратных чисел, некоторые из которых сохранились до сих пор. [7] Эти таблицы существовали относительно неизменными на протяжении вавилонских времен. [6] Одна табличка времен Селевкидов , сделанная кем-то по имени Инакибит-Ану, содержит обратные значения 136 из 231 шестизначного регулярного числа, первое место которого равно 1 или 2, перечисленные по порядку. Он также включает в себя обратные числа некоторых чисел, состоящих более чем из шести знаков, например 3. 23 (2 1 4 8 3 0 7 в шестидесятеричном формате), обратная величина которого имеет 17 шестидесятеричных цифр. Отмечая сложность как вычисления этих чисел, так и их сортировки, Дональд Кнут в 1972 году приветствовал Инакибит-Ану как «первого человека в истории, решившего вычислительную задачу, которая занимает на современном электронном компьютере более одной секунды времени!» (Известны также две таблицы, дающие приближения обратных величин нерегулярных чисел, одна из которых дает обратные величины для всех чисел от 56 до 80.) [8] [9]

Хотя основная причина предпочтения правильных чисел другим числам связана с конечностью их обратных величин, некоторые вавилонские вычисления, отличные от обратных чисел, также включали регулярные числа. Например, были найдены таблицы правильных квадратов. [6] а сломанная табличка Plimpton 322 была интерпретирована Нойгебауэром как перечисление пифагорейских троек. созданный и как обычные, так и менее 60. [10] Фаулер и Робсон обсуждают вычисление квадратных корней, например, как вавилоняне нашли приближение к квадратному корню из 2 , возможно, используя обычные числовые аппроксимации дробей, таких как 17/12. [9]

Теория музыки

[ редактировать ]

В теории музыки правильная интонация диатонической гаммы включает в себя правильные числа: высоты звука в одной октаве этой гаммы имеют частоты, пропорциональные числам в последовательности 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 почти последовательные регулярные числа. [11] Таким образом, для инструмента с такой настройкой все высоты тона представляют собой гармоники регулярного номера одной основной частоты . Эта шкала называется 5- предельной настройкой, что означает, что интервал между любыми двумя тонами можно описать как произведение 2 я 3 дж 5 к степеней простых чисел до 5 или, что то же самое, как отношение обычных чисел. [12]

5-предельные музыкальные гаммы, отличные от знакомой диатонической гаммы западной музыки, также использовались как в традиционной музыке других культур, так и в современной экспериментальной музыке: Хонингх и Бод (2005) перечисляют 31 различную 5-предельную гамму, взятую из более крупной база данных музыкальных гамм. Каждая из этих 31 гамм разделяет с диатонической интонацией то свойство, что все интервалы представляют собой отношения правильных чисел. [12] обеспечивает Тоннец Эйлера плоскую удобное графическое представление высоты звука в любой 5-предельной настройке путем вынесения октавных соотношений (степеней двойки) так, чтобы оставшиеся значения образовывали сетку . [12] Некоторые теоретики музыки в более общем плане заявили, что регулярные числа имеют фундаментальное значение для самой тональной музыки и что отношения высоты звука, основанные на простых числах больше 5, не могут быть согласными . [13] Однако ровная темперация современных фортепиано – это не пятилимитная настройка. [14] а некоторые современные композиторы экспериментировали с настройками, основанными на простых числах больше пяти. [15]

В связи с применением правильных чисел к теории музыки представляет интерес найти пары правильных чисел, отличающихся на единицу. Таких пар ровно десять. и каждая такая пара определяет суперчастное отношение это имеет значение как музыкальный интервал. Эти интервалы: 2/1 ( октава ), 3/2 ( идеальная квинта ), 4/3 ( идеальная кварта ), 5/4 ( мажорная треть ), 6/5 ( мажорная треть ), 9 /8 ( только мажорный тон ), 10/9 ( только минорный тон ), 16/15 ( только диатонический полутон ), 25/24 ( только хроматический полутон ) и 81/80 ( синтоническая запятая ). [16]

В теории всеобщей гармонии эпохи Возрождения музыкальные соотношения использовались и в других приложениях, включая архитектуру зданий. В связи с анализом этих общих музыкальных и архитектурных соотношений, например, в архитектуре Палладио , регулярные числа также были названы гармоническими целыми числами . [17]

Алгоритмы

[ редактировать ]

Алгоритмы вычисления обычных чисел в порядке возрастания были популяризированы Эдсгером Дейкстрой . Дейкстра ( 1976 , 1981 ) приписывает Хэммингу проблему построения бесконечной возрастающей последовательности всех 5-гладких чисел; эта проблема теперь известна как проблема Хэмминга , а полученные таким образом числа также называются числами Хэмминга . Идеи Дейкстры по вычислению этих чисел заключаются в следующем:

  • Последовательность чисел Хэмминга начинается с цифры 1.
  • Остальные значения в последовательности имеют вид , , и , где — любое число Хэмминга.
  • Следовательно, последовательность может быть сгенерировано путем вывода значения 1 и последующего слияния последовательностей , , и .

Этот алгоритм часто используется для демонстрации возможностей ленивого функционального языка программирования , поскольку (неявно) параллельные эффективные реализации, использующие постоянное количество арифметических операций на сгенерированное значение, легко создаются, как описано выше. аналогичные эффективные строгие функциональные или императивные Также возможны последовательные реализации, тогда как явно параллельные порождающие решения могут быть нетривиальными. [18]

В языке программирования Python ленивый функциональный код генерации регулярных чисел используется как один из встроенных тестов правильности реализации языка. [19]

Связанная с этим проблема, обсуждавшаяся Кнутом (1972) , состоит в том, чтобы составить список всех -значные шестидесятеричные числа в порядке возрастания (см. #Вавилонская математика выше). С алгоритмической точки зрения это эквивалентно генерированию (по порядку) подпоследовательности бесконечной последовательности регулярных чисел, начиная от к . [8] См . Gingerich (1965) для раннего описания компьютерного кода, который генерирует эти числа в неправильном порядке, а затем сортирует их; [20] Кнут описывает специальный алгоритм, который он приписывает Брюинсу (1970) , для более быстрого генерирования шестизначных чисел, но который не обобщает прямым способом на большие значения . [8] Эппштейн (2007) описывает алгоритм вычисления таблиц этого типа за линейное время для произвольных значений . [21]

Другие приложения

[ редактировать ]

Хенингер, Рейнс и Слоан (2006) показывают, что, когда является регулярным числом и делится на 8, производящая функция -мерная экстремальная четная унимодулярная решетка – это -я степень многочлена. [22]

Как и в случае с другими классами гладких чисел , регулярные числа важны как размеры проблем в компьютерных программах для выполнения быстрого преобразования Фурье — метода анализа доминирующих частот сигналов в изменяющихся во времени данных . Например, метод Темпертона (1992) требует, чтобы длина преобразования была регулярным числом. [23]

Книга VIII « включает » Платона Государства в себя аллегорию брака, сосредоточенную на весьма регулярном числе 60. 4 = 12 960 000 и его делители (см. число Платона ). Более поздние ученые использовали как вавилонскую математику, так и теорию музыки, пытаясь объяснить этот отрывок. [24]

Некоторые виды бамбука выпускают большое количество семян синхронно (процесс, называемый мастированием ) с интервалами, которые оцениваются как регулярное количество лет, с разными интервалами для разных видов, включая примеры с интервалами в 10, 15, 16, 30, 32 года. , 48, 60 и 120 лет. [25] Была выдвинута гипотеза, что биологический механизм определения времени и синхронизации этого процесса позволяет использовать гладкие числа, в частности, в данном случае, 5-гладкие числа. Хотя расчетные интервалы между сборками некоторых других видов бамбука не являются регулярными числами лет, это можно объяснить ошибкой измерений. [25]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Вдохновлено аналогичными диаграммами Эркки Куренниеми в «Аккорды, гаммы и решетки делителей» .
  2. ^ Перейти обратно: а б с Слоан «A051037» .
  3. ^ Померанс (1995) .
  4. ^ Поиск OEIS последовательностей с 5-гладкостью .
  5. ^ Берндт и Рэнкин (1995) .
  6. ^ Перейти обратно: а б с Абое (1965) .
  7. ^ Сакс (1947) .
  8. ^ Перейти обратно: а б с Кнут (1972) .
  9. ^ Перейти обратно: а б Фаулер и Робсон (1998) .
  10. См. Conway & Guy (1996), где представлена ​​популярная трактовка этой интерпретации. У Plimpton 322 есть и другие интерпретации, см. статью, но все они включают обычные числа.
  11. ^ Кларк (1877) .
  12. ^ Перейти обратно: а б с Хонинг и Бод (2005) .
  13. ^ Асмуссен (2001) , например, утверждает, что «внутри любого произведения тональной музыки» все интервалы должны быть отношениями регулярных чисел, перекликаясь с аналогичными утверждениями гораздо более ранних авторов, таких как Хабенс (1889) . В современной литературе по теории музыки это утверждение часто приписывают Лонге-Хиггинсу (1962) , который использовал графическую аранжировку, тесно связанную с тоннецом, для организации высоты звука в 5 пределов.
  14. ^ Копьез (2003) .
  15. ^ Вольф (2003) .
  16. ^ Хэлси и Хьюитт (1972) отмечают, что это следует из теоремы Стормера ( Størmer 1897 ), и приводят доказательство этого случая; см. также Сильвер (1971) .
  17. ^ Ховард и Лонгэр (1982) .
  18. ^ См., например, Hemmendinger (1988) или Yuen (1992) .
  19. ^ Функция m235 в test_generators.py .
  20. ^ Джинджерич (1965) .
  21. ^ Эппштейн (2007) .
  22. ^ Хенингер, Рейнс и Слоан (2006) .
  23. ^ Темпертон (1992) .
  24. ^ Бартон (1908) ; Макклейн (1974) .
  25. ^ Перейти обратно: а б Веллер, Новак и Дэвис (2015) .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: bfe2ba35c263af395d43ab881e59a95d__1709467200
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/bf/5d/bfe2ba35c263af395d43ab881e59a95d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Regular number - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)