Число

Чтобы узнать о других значениях, см. Число (значения) .

Установите включения между натуральными числами (ℕ), целыми числами (ℤ), рациональными числами (ℚ), действительными числами (ℝ) и комплексными числами (ℂ).

Число используемый – это математический объект, для подсчета , измерения и обозначения . Самыми простыми примерами являются натуральные числа 1 , 2 , 3 , 4 и т. д. Числа могут быть представлены в языке с помощью числовых слов . В более широком смысле отдельные числа могут быть представлены символами , называемыми цифрами ; например, «5» — это цифра, обозначающая число пять . Поскольку запомнить можно лишь относительно небольшое количество символов, основные цифры обычно организованы в систему счисления , которая представляет собой организованный способ представления любого числа. Наиболее распространенной системой счисления является индийско-арабская система счисления , которая позволяет представлять любое неотрицательное целое число с помощью комбинации десяти основных числовых символов, называемых цифрами . Помимо использования при подсчете и измерении, цифры часто используются для меток (например, телефонных номеров ), для заказа (например, серийных номеров ) и кодов (например, ISBN ). В обычном использовании цифра не отличается четко от числа , которое она представляет.

В математике понятие числа на протяжении веков расширялось и теперь включает ноль (0), отрицательные числа , рациональные числа, такие как половина $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$, действительные числа, такие как квадратный корень из 2 $\left({\sqrt {2}}\right)$ и π , и комплексные числа которые расширяют действительные числа квадратным корнем из −1 (и его комбинациями с действительными числами путем добавления или вычитания их кратных). Вычисления с числами выполняются с помощью арифметических операций, наиболее известными из которых являются сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень . Их изучение или использование называется арифметикой , термином, который также может относиться к теории чисел , изучению свойств чисел.

Помимо практического использования, числа имеют культурное значение во всем мире. Например, в западном обществе число 13 часто считается несчастливым , а « миллион » может означать «много», а не точное количество. Хотя сейчас это считается лженаукой , вера в мистическое значение чисел, известная как нумерология , пронизывала древнюю и средневековую мысль. Нумерология сильно повлияла на развитие греческой математики , стимулируя исследование многих проблем теории чисел, которые до сих пор представляют интерес.

В XIX веке математики начали разрабатывать множество различных абстракций, которые разделяют определенные свойства чисел и могут рассматриваться как расширение этой концепции. Среди первых были гиперкомплексные числа , которые состоят из различных расширений или модификаций комплексной системы счисления . В современной математике системы счисления считаются важными частными примерами более общих алгебраических структур, таких как кольца и поля , а применение термина «число» является условностью, не имеющей фундаментального значения.

История

Первое использование чисел

Основная статья: История древних систем счисления

Были обнаружены кости и другие артефакты с вырезанными на них отметками, которые многие считают метками . Эти метки могли использоваться для подсчета прошедшего времени, например количества дней, лунных циклов или ведения учета количества, например животных.

В системе подсчета нет понятия разрядности (как в современной десятичной системе счисления), что ограничивает ее представление больших чисел. Тем не менее, системы подсчета считаются первым видом абстрактной системы счисления.

Первой известной системой с числовым значением была месопотамская система с основанием 60 ( ок. 3400 г. до н.э.), а самая ранняя известная система с основанием 10 датируется 3100 г. до н.э. в Египте .

Цифры

Основная статья: Система счисления

Числа следует отличать от цифр — символов, используемых для обозначения чисел. Египтяне изобрели первую зашифрованную систему счисления, а затем греки нанесли свои счетные числа на ионический и дорический алфавиты. Римские цифры, система, в которой использовались комбинации букв римского алфавита, оставались доминирующими в Европе до распространения превосходящей индуистско-арабской системы счисления примерно в конце 14 века, а индуистско-арабская система счисления остается наиболее распространенной системой для обозначения. цифры в современном мире. Ключом к эффективности системы был символ нуля , который был разработан древнеиндийскими математиками около 500 года нашей эры.

Ноль

Первое известное документальное использование нуля датируется 628 годом нашей эры и появилось в «Брахмаспхутасиддханте» , основной работе индийского математика Брахмагупты . Он рассматривал 0 как число и обсуждал связанные с ним операции, включая деление . К этому времени (7 век) эта концепция явно достигла Камбоджи в виде кхмерских цифр , и документация показывает, что идея позже распространилась на Китай и исламский мир .

Число 605 кхмерскими цифрами из надписи 683 года нашей эры. Раннее использование нуля в качестве десятичной цифры.

» Брахмагупты «Брахмаспхутасиддханта - первая книга, в которой ноль упоминается как число, поэтому Брахмагупта обычно считается первым, кто сформулировал концепцию нуля. Он дал правила использования нуля с отрицательными и положительными числами, например: «ноль плюс положительное число — это положительное число, а отрицательное число плюс ноль — это отрицательное число». «Брахмасфутасиддханта » — самый ранний известный текст, в котором ноль рассматривается как самостоятельное число, а не просто как цифра-заполнитель для обозначения другого числа, как это было у вавилонян, или как символ отсутствия количества, как это было у Птолемея и римляне.

Использование 0 в качестве числа следует отличать от его использования в качестве цифры-заполнителя в системах разрядных значений . Во многих древних текстах использовалось число 0. Его использовали в вавилонских и египетских текстах. Египтяне использовали слово nfr для обозначения нулевого баланса при двойной записи . используется санскритское слово Шунье или Шунья В индийских текстах для обозначения концепции пустоты . В текстах по математике это слово часто относится к числу ноль. Подобным же образом Панини (5 век до н.э.) использовал нулевой (нулевой) оператор в Аштадхьяи , раннем примере алгебраической грамматики для санскритского языка (см. также Пингала ).

До «Брахмагупты» ноль использовался и по-другому, хотя документация не такая полная, как в « Брахмаспхутасиддханте» .

Записи показывают, что древние греки , казалось, не были уверены в статусе 0 как числа: они задавались вопросом: «Как «ничто» может быть чем-то?» что привело к интересным философским , а к периоду Средневековья и религиозным аргументам о природе и существовании О и вакуума . Парадоксы 1 Зенона Элейского частично зависят от неопределенной интерпретации 0. (Древние греки даже сомневались, является ли числом .)

Поздние ольмеки на юге центральной Мексики начали использовать символ нуля, глиф ракушки , в Новом Свете, возможно, к 4 веку до нашей эры , но определенно к 40 году до нашей эры, который стал неотъемлемой частью цифр майя и календаря майя. . В арифметике майя использовалось основание 4 и основание 5, записанное как основание 20. Джордж И. Санчес в 1961 году сообщил о «пальцевых» счетах с основанием 4 и основанием 5.

К 130 году нашей эры Птолемей , под влиянием Гиппарха и вавилонян, использовал символ 0 (маленький круг с длинной чертой) в шестидесятеричной системе счисления, в противном случае используя алфавитные греческие цифры . Поскольку он использовался отдельно, а не просто как заполнитель, этот эллинистический ноль был первым задокументированным использованием настоящего нуля в Старом Свете. В более поздних византийских рукописях его Syntaxis Mathematica ( Альмагест ) эллинистический ноль трансформировался в греческую букву Омикрон (иначе означающую 70).

Еще один истинный ноль использовался в таблицах вместе с римскими цифрами в 525 году (первое известное использование Дионисием Эксигуусом ), но как слово, nulla означающее ничего не , а не как символ. Когда при делении в остатке получается 0, nihil , также ничего не используется означающий. Эти средневековые нули использовались всеми будущими средневековыми компьютеристами (вычислителями Пасхи ). Изолированное использование их инициала N было использовано в таблице римских цифр Бедой или его коллегой около 725 года, символа истинного нуля.

Отрицательные числа

Дополнительная информация: История отрицательных чисел.

Абстрактная концепция отрицательных чисел была признана еще в 100–50 гг. до н.э. в Китае. Девять глав математического искусства содержат методы нахождения площадей фигур; красные стержни использовались для обозначения положительных коэффициентов , черные – для отрицательных. Первое упоминание в западном труде относится к III веку нашей эры в Греции. Диофант ссылался на уравнение, эквивалентное 4 x + 20 = 0 (решение отрицательное) в «Арифметике» , говоря, что уравнение дало абсурдный результат.

В 600-х годах в Индии для обозначения долгов использовались отрицательные числа. Предыдущее упоминание Диофанта более подробно обсуждалось индийским математиком Брахмагуптой в « Брахмаспхутасиддханте» общей формы в 628 году, который использовал отрицательные числа для получения квадратичной формулы , которая используется и сегодня. Однако в XII веке в Индии Бхаскара дает отрицательные корни для квадратных уравнений, но говорит, что отрицательное значение «в данном случае не следует принимать, поскольку оно недостаточно; люди не одобряют отрицательные корни».

Европейские математики по большей части сопротивлялись концепции отрицательных чисел вплоть до 17 века, хотя Фибоначчи допускал отрицательные решения в финансовых задачах, где их можно было интерпретировать как долги (глава 13 Liber Abaci , 1202), а позднее как потери (в Flos ). Рене Декарт называл их ложными корнями, поскольку они возникали в алгебраических многочленах, но он также нашел способ поменять местами истинные и ложные корни. В то же время китайцы обозначали отрицательные числа, проводя диагональную черту через крайнюю правую ненулевую цифру соответствующего положительного числа. Впервые отрицательные числа в европейской работе использовал Николя Шюке в 15 веке. Он использовал их в качестве показателей степени , но называл их «абсурдными числами».

Еще в 18 веке было обычной практикой игнорировать любые отрицательные результаты, возвращаемые уравнениями, полагая, что они бессмысленны.

Рациональные числа

Вполне вероятно, что понятие дробных чисел восходит к доисторическим временам . Древние египтяне использовали свои египетские обозначения дробей для рациональных чисел в математических текстах, таких как Математический папирус Ринда и Папирус Кахуна . Классические греческие и индийские математики изучали теорию рациональных чисел как часть общего изучения теории чисел . Самым известным из них являются » Евклида «Начала , датируемые примерно 300 годом до нашей эры. Из индийских текстов наиболее актуальной является « Стхананга-сутра» , в которой также рассматривается теория чисел как часть общего изучения математики.

Понятие десятичных дробей тесно связано с десятичной записью разрядов; эти два, кажется, развивались в тандеме. обычно Например, джайнская математическая сутра включает вычисления приближений десятичной дроби к числу Пи или квадратному корню из 2 . Точно так же в вавилонских математических текстах очень часто использовались шестидесятеричные дроби (по основанию 60).

Иррациональные числа

Дополнительная информация: История иррациональных чисел.

Самое раннее известное использование иррациональных чисел было в индийских Сульба-сутрах, составленных между 800 и 500 годами до нашей эры. Первые доказательства существования иррациональных чисел обычно приписывают Пифагору , точнее, пифагорейцу Гиппасу из Метапонта , который представил (скорее всего, геометрическое) доказательство иррациональности квадратного корня из 2 . История гласит, что Гиппас обнаружил иррациональные числа, пытаясь представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не мог признать существование иррациональных чисел. Он не мог опровергнуть их существование с помощью логики, но он не мог принять иррациональные числа, и поэтому, как утверждается и часто сообщалось, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление, чтобы помешать распространению этой сбивающей с толку новости.

В 16 веке европейцы окончательно приняли отрицательные целые и дробные числа. К 17 веку математики обычно использовали десятичные дроби в современных обозначениях. Однако только в XIX веке математики разделили иррациональные числа на алгебраическую и трансцендентную части и снова взялись за научное исследование иррациональных чисел. оно оставалось почти бездействующим Со времен Евклида . В 1872 году вышла в свет теория Карла Вейерштрасса (его ученика Э. Коссака), Эдуарда Гейне , Георг Кантор , и Ричард Дедекинд было осуществлено. В 1869 году Шарль Мере взял ту же отправную точку, что и Гейне, но теорию обычно относят к 1872 году. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинчерле (1880), а метод Дедекинда получил дополнительную известность благодаря более поздним работам автора. (1888 г.) и одобрение Пола Таннери (1894 г.). Вейерштрасс, Кантор и Гейне основывают свои теории на бесконечных рядах, а Дедекинд — на идее разреза (Шнитта) в системе действительных чисел , разделяющего все рациональные числа на две группы, обладающие определёнными характеристическими свойствами. Эта тема получила более поздние вклады от Вейерштрасса, Кронекера , и Мерей.

Поиск корней уравнений пятой и более высокой степени был важным достижением: теорема Абеля-Руффини ( Руффини 1799, Абель 1824) показала, что их нельзя решить с помощью радикалов (формул, включающих только арифметические операции и корни). Следовательно, необходимо было рассмотреть более широкий набор алгебраических чисел (все решения полиномиальных уравнений). Галуа (1832) связал полиномиальные уравнения с теорией групп, дав начало теории Галуа .

Цепные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (и благодаря Катальди, 1613), привлекли внимание со стороны Эйлера , и в начале 19 века получили известность благодаря трудам Жозефа Луи Лагранжа . Другие заслуживающие внимания вклады были внесены Друкенмюллером (1837 г.), Кунце (1857 г.), Лемке (1870 г.) и Гюнтером (1872 г.). Рамус впервые связал предмет с определителями , в результате чего, с последующими вкладами Гейне, Мёбиус и Гюнтер в теории Кеттенбрухдетерминантен .

Трансцендентные числа и действительные числа

Дополнительная информация: История π.

Существование трансцендентных чисел Впервые был установлен Лиувиллем (1844, 1851). Эрмит доказал в 1873 году, что е трансцендентно, а Линдеманн доказал в 1882 году, что π трансцендентно. Наконец, Кантор показал, что множество всех действительных чисел несчетно бесконечно, но множество всех алгебраических чисел счетно бесконечно , поэтому существует несчетно бесконечное количество трансцендентных чисел.

Бесконечность и бесконечно малые

Дополнительная информация: История бесконечности.

Самая ранняя известная концепция математической бесконечности появляется в Яджурведе , древнем индийском письме, в котором в какой-то момент говорится: «Если вы уберете часть бесконечности или добавите часть к бесконечности, все равно останется бесконечность». Бесконечность была популярной темой философских исследований среди математиков- джайнов ок. 400 г. до н.э. Они различали пять типов бесконечности: бесконечную в одном и двух направлениях, бесконечную по площади, бесконечную повсюду и бесконечную вечно. Символ ${\text{∞}}$ часто используется для обозначения бесконечной величины.

Аристотель определил традиционное западное понятие математической бесконечности. Он различал актуальную бесконечность и потенциальную бесконечность — по общему мнению, только последняя имела истинную ценность. В книге Галилео Галилея « Две новые науки» обсуждалась идея взаимно однозначного соответствия между бесконечными множествами. Но следующий крупный прогресс в теории был сделан Георгом Кантором ; в 1895 году он опубликовал книгу о своей новой теории множеств , введя, среди прочего, трансфинитные числа и сформулировав гипотезу континуума .

В 1960-х годах Абрахам Робинсон показал, как можно строго определить бесконечно большие и бесконечно малые числа и использовать их для развития области нестандартного анализа. Система гипердействительных чисел представляет собой строгий метод рассмотрения идей о бесконечных и бесконечно малых числах, которые случайно использовались математиками, учёными и инженерами со времени изобретения исчисления бесконечно Ньютоном малых и Лейбницем .

Современную геометрическую версию бесконечности представляет собой проективная геометрия , которая вводит «идеальные точки на бесконечности», по одной для каждого пространственного направления. Предполагается, что каждое семейство параллельных линий в заданном направлении сходится к соответствующей идеальной точке. Это тесно связано с идеей точек схода в перспективном рисунке.

Комплексные числа

Дополнительная информация: История комплексных чисел.

упоминание о квадратных корнях из отрицательных чисел произошло в работе математика и изобретателя Герона Александрийского в I веке нашей эры , когда он рассматривал объем невозможной усеченной пирамиды Самое раннее мимолетное . Они стали более заметными, когда в 16 веке закрытые формулы для корней многочленов третьей и четвертой степени были открыты итальянскими математиками, такими как Никколо Фонтана Тарталья и Джероламо Кардано . Вскоре стало понятно, что эти формулы, даже если кого-то интересовали только реальные решения, иногда требуют манипуляций с квадратными корнями из отрицательных чисел.

Это тревожило вдвойне, поскольку в то время они даже не считали, что отрицательные числа находятся на твердой почве. Когда Рене Декарт в 1637 году ввел термин «мнимые» для этих величин, он посчитал его уничижительным. ( см. в разделе «Мнимое число Обсуждение «реальности» комплексных чисел ».) Еще одним источником путаницы было то, что уравнение

$\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1$

казалось капризно несовместимым с алгебраическим тождеством

${\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},$

который справедлив для положительных действительных чисел a и b , а также использовался в вычислениях комплексных чисел, где одно из a , b положительное, а другое отрицательное. Неправильное использование этого удостоверения и связанного с ним удостоверения.

${\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}$

в случае, когда и a, и b отрицательны, даже Эйлера смутило . Эта трудность в конечном итоге привела его к соглашению использовать специальный символ i вместо ${\sqrt {-1}}$ чтобы не допустить этой ошибки.

В 18 веке появились работы Авраама де Муавра и Леонарда Эйлера . Формула Де Муавра (1730 г.) гласит:

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

а Эйлера формула комплексного анализа (1748 г.) дала нам:

$\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.$

Существование комплексных чисел не было полностью признано до тех пор, пока Каспар Вессель не описал геометрическую интерпретацию в 1799 году. Карл Фридрих Гаусс заново открыл и популяризировал ее несколько лет спустя, и в результате теория комплексных чисел получила заметное расширение. Однако идея графического изображения комплексных чисел появилась еще в 1685 году в Уоллиса « трактате О алгебре» .

В том же году Гаусс предоставил первое общепринятое доказательство фундаментальной теоремы алгебры , показав, что каждый многочлен над комплексными числами имеет полный набор решений в этой области. Гаусс изучал комплексные числа вида a + bi , где a и b — целые числа (теперь называемые целыми числами Гаусса ) или рациональные числа. Его ученик Готхольд Эйзенштейн изучал тип a + bω , где ω — комплексный корень из x ³ − 1 = 0 (теперь называемые целыми числами Эйзенштейна ). Другие такие классы (называемые круговыми полями ) комплексных чисел происходят от корней из единицы x. ^к − 1 = 0 для более высоких значений k . Это обобщение во многом связано с Эрнстом Куммером , который также изобрел идеальные числа , которые были выражены в виде геометрических сущностей Феликсом Кляйном в 1893 году.

В 1850 году Виктор Александр Пюизо сделал ключевой шаг в различении полюсов и точек ветвления и ввел понятие существенных особых точек . В конечном итоге это привело к концепции расширенной комплексной плоскости .

Простые числа

Простые числа изучались на протяжении всей письменной истории. Это положительные целые числа, которые делятся только на 1 и на себя. Евклид посвятил одну книгу « Начал» теории простых чисел; в нем он доказал бесконечность простых чисел и основную теорему арифметики , а также представил алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел.

В 240 году до нашей эры Эратосфен использовал «Решето Эратосфена», чтобы быстро изолировать простые числа. Но дальнейшее развитие теории простых чисел в Европе относится к эпохе Возрождения и более поздним эпохам.

В 1796 году Адриен-Мари Лежандр выдвинул гипотезу о теореме о простых числах , описывающей асимптотическое распределение простых чисел. Другие результаты, касающиеся распределения простых чисел, включают доказательство Эйлера о том, что сумма обратных простых чисел расходится, и гипотезу Гольдбаха , которая утверждает, что любое достаточно большое четное число является суммой двух простых чисел. Еще одна гипотеза, связанная с распределением простых чисел, - это гипотеза Римана , сформулированная Бернхардом Риманом в 1859 году. Теорема о простых числах была окончательно доказана Жаком Адамаром и Шарлем де ла Валле-Пуссеном в 1896 году. Гипотезы Гольдбаха и Римана остаются недоказанными и не опровергнутыми. .

Основная классификация

«Система счисления» перенаправляется сюда. Информацию о системах, выражающих числа, см. в разделе «Система счисления» .

См. также: Список типов чисел.

Числа можно разделить на наборы , называемые наборами чисел или системами счисления , такие как натуральные числа и действительные числа . Основные системы счисления следующие:

Основные системы счисления

$\mathbb {N}$	Натуральные числа	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... или 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ или $\mathbb {N} _{1}$ иногда используются.
$\mathbb {Z}$	Целые числа	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	Рациональные числа	⁠ a / b ⁠ где a и b — целые числа, а b не равно 0
$\mathbb {R}$	Реальные числа	Предел сходящейся последовательности рациональных чисел
$\mathbb {C}$	Комплексные числа	a + bi , где a и b — действительные числа, а i — формальный квадратный корень из −1

Каждая из этих систем счисления является подмножеством следующей. Так, например, рациональное число также является действительным числом, а каждое действительное число также является комплексным числом. Это можно выразить символически как

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$.

Более полный список наборов номеров показан на следующей диаграмме.

Системы счисления Сложный $:\;\mathbb {C}$ Настоящий $:\;\mathbb {R}$ Рациональный $:\;\mathbb {Q}$ Целое число $:\;\mathbb {Z}$ Естественный $:\;\mathbb {N}$ Ноль : 0 Один : 1 Простые числа Составные числа Отрицательные целые числа Фракция Конечная десятичная дробь Диадический (конечный бинарный) Повторяющаяся десятичная дробь иррациональный Алгебраическая иррациональность трансцендентный Воображаемый

Натуральные числа

Основная статья: Натуральное число

Натуральные числа, начиная с 1

Наиболее знакомые числа — это натуральные числа (иногда называемые целыми числами или счетными числами): 1, 2, 3 и так далее. Традиционно последовательность натуральных чисел начиналась с 1 (0 у древних греков даже не считался числом ). Однако в 19 веке теоретики множеств и другие математики начали включать 0 ( мощность , пустого множества т.е. 0 элементов, где 0, таким образом, является наименьшим кардинальным числом ) в наборе натуральных чисел. Сегодня разные математики используют этот термин для описания обоих наборов, включая 0 или нет. Математический символ множества всех натуральных чисел — N , также пишется $\mathbb {N}$, а иногда $\mathbb {N} _{0}$ или $\mathbb {N} _{1}$ когда необходимо указать, должен ли набор начинаться с 0 или 1 соответственно.

В системе счисления с основанием 10 , которая сегодня почти повсеместно используется для математических операций, символы натуральных чисел записываются с использованием десяти цифр : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Система счисления или основание — это количество уникальных числовых цифр, включая ноль, которые система счисления использует для представления чисел (для десятичной системы основание системы счисления равно 10). В этой десятичной системе самая правая цифра натурального числа имеет разрядность 1 , а разряд каждой второй цифры в десять раз превышает разрядность цифры справа от нее.

В теории множеств , которая способна выступать в качестве аксиоматического основания современной математики, натуральные числа могут быть представлены классами эквивалентных множеств. Например, число 3 можно представить как класс всех множеств, состоящих ровно из трех элементов. Альтернативно, в арифметике Пеано число 3 представлено как sss0, где s — функция «преемника» (т. е. 3 — третий преемник 0). Возможны многие различные представления; все, что нужно для формального представления числа 3, — это трижды вписать определенный символ или набор символов.

Целые числа

Основная статья: Целое число

Отрицательное число положительного целого числа определяется как число, которое дает 0 при добавлении к соответствующему положительному целому числу. Отрицательные числа обычно пишутся со знаком минус ( знак минус ). Например, отрицательное число 7 записывается как −7, а 7 + (−7) = 0 . Когда набор отрицательных чисел объединяется с набором натуральных чисел (включая 0), результат определяется как набор целых чисел , Z также пишется $\mathbb {Z}$. Здесь буква Z происходит от немецкого Zahl «число». Множество целых чисел образует кольцо с операциями сложения и умножения.

Натуральные числа образуют подмножество целых чисел. Поскольку не существует общего стандарта включения или отсутствия нуля в натуральные числа, натуральные числа без нуля обычно называются положительными целыми числами , а натуральные числа с нулем называются неотрицательными целыми числами .

Рациональные числа

Основная статья: Рациональное число

Рациональное число — это число, которое можно выразить в виде дроби с целым числителем и целым положительным знаменателем. Отрицательные знаменатели допускаются, но их обычно избегают, поскольку каждое рациональное число равно дроби с положительным знаменателем. Дроби записываются в виде двух целых чисел: числителя и знаменателя, с разделительной чертой между ними. Фракция ⁠ m / n ⁠ представляет собой m частей целого, разделенного на n равных частей. Одному и тому же рациональному числу могут соответствовать две разные дроби; например ⁠ 1/2 ​ ⁠ и ​ ⁠ 2/4 : есть ⁠ равны, то

${1 \over 2}={2 \over 4}.$

В общем,

${a \over b}={c \over d}$ тогда и только тогда, когда ${a\times d}={c\times b}.$

Если абсолютное значение m n больше , (предположительно положительное), то абсолютное значение дроби больше 1. Дроби могут быть больше, меньше или равны 1, а также могут быть положительными, отрицательными или 0. Набор всех рациональных чисел включает целые числа, поскольку каждое целое число можно записать в виде дроби со знаменателем 1. Например, −7 можно записать ⁠ -7 / 1 ⁠ . Символ рациональных чисел — Q ( частное ), также пишется $\mathbb {Q}$.

Реальные числа

Основная статья: Действительное число

Символ действительных чисел — R , также пишется как $\mathbb {R} .$ Они включают в себя все измерительные цифры. Каждому вещественному числу соответствует точка на числовой прямой . В следующем параграфе основное внимание будет уделено положительным реальным числам. Обработка отрицательных действительных чисел осуществляется в соответствии с общими правилами арифметики, и их обозначением является просто добавление к соответствующему положительному числу знака минус , например -123,456.

Большинство действительных чисел можно аппроксимировать только десятичными . цифрами, в которых десятичная точка ставится справа от цифры со значением 1. Каждая цифра справа от десятичной точки имеет значение, составляющее одну десятую от значения места цифра слева от нее. Например, 123,456 представляет ⁠ 123456/1000 . тысячных ⁠ , или прописью сто, два десятка, три единицы, четыре десятых, пять сотых и шесть Действительное число может быть выражено конечным числом десятичных цифр только в том случае, если оно рационально и его дробная часть имеет знаменатель, простые множители которого равны 2 или 5, или оба, потому что это простые множители 10, основания десятичной системы. . Так, например, половина равна 0,5, одна пятая — 0,2, одна десятая — 0,1 и одна пятидесятая — 0,02. Представление других действительных чисел в виде десятичных дробей потребовало бы бесконечной последовательности цифр справа от десятичной точки. Если эта бесконечная последовательность цифр следует шаблону, ее можно записать с помощью многоточия или другой записи, указывающей на повторяющийся шаблон. Такая десятичная дробь называется повторяющейся десятичной дробью . Таким образом ⁠ 1/3 . ⁠ можно записать как 0,333 ... с многоточием, указывающим на продолжение шаблона Вечно повторяющиеся тройки также записываются как 0.3 .

Оказывается, эти повторяющиеся десятичные дроби (включая повторение нулей ) обозначают именно рациональные числа, т. е. все рациональные числа также являются действительными числами, но это не тот случай, когда каждое действительное число является рациональным. Действительное число, не являющееся рациональным, называется иррациональным . Знаменитое иррациональное действительное число — это π , отношение длины окружности любого круга к его диаметру . Когда число Пи записывается как

$\pi =3.14159265358979\dots ,$

как это иногда бывает, многоточие означает не то, что десятичные дроби повторяются (это не так), а, скорее, то, что им нет конца. Доказано, что π иррационально . Другое известное число, оказавшееся иррациональным действительным числом, — это

${\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,$

квадратный корень из 2 , то есть уникальное положительное действительное число, квадрат которого равен 2. Оба эти числа были аппроксимированы (компьютером) до триллионов (1 триллион = 10 ¹² = 1 000 000 000 000) цифр.

Не только эти известные примеры, но и почти все действительные числа иррациональны и, следовательно, не имеют повторяющихся шаблонов и, следовательно, не имеют соответствующих десятичных чисел. Их можно аппроксимировать только десятичными цифрами, обозначающими округленные или усеченные действительные числа. Любое округленное или усеченное число обязательно является рациональным числом, которых всего лишь счетное число . Все измерения по своей природе являются приблизительными и всегда имеют погрешность . Таким образом, 123,456 считается приближением любого действительного числа, большего или равного. ⁠ 1234555/10000 ⁠ меньше и строго ⁠ 1234565 / 10000 ⁠ (округление до 3 десятичных знаков) или любого действительного числа, большего или равного ⁠ 123456/1000 ⁠ строго и меньше ⁠ 123457/1000 ( . ⁠ усечение после 3-й десятичной точки) Цифры, которые предполагают большую точность, чем само измерение, следует удалить. Остальные цифры тогда называются значащими цифрами . Например, измерения с помощью линейки редко могут быть выполнены без погрешности не менее 0,001 м . Если стороны прямоугольника измерены как 1,23 м и 4,56 м, то умножение дает площадь прямоугольника между 5,614591 м. ² и 5,603011 м ² . Поскольку не сохраняется даже вторая цифра после запятой, следующие цифры не имеют значения . Поэтому результат обычно округляют до 5,61.

Точно так же, как одну и ту же дробь можно записать несколькими способами, одно и то же действительное число может иметь более одного десятичного представления. Например, 0,999... , 1,0, 1,00, 1,000,... все представляют натуральное число 1. Данное действительное число имеет только следующие десятичные представления: приближение к некоторому конечному числу десятичных знаков, приближение, в котором устанавливается шаблон, который продолжается для неограниченного числа десятичных знаков или точного значения только с конечным числом десятичных знаков. В этом последнем случае последняя ненулевая цифра может быть заменена цифрой на единицу меньше, за которой следует неограниченное количество девяток, или за последней ненулевой цифрой может следовать неограниченное количество нулей. Таким образом, точное действительное число 3,74 также можно записать как 3,7399999999... и 3,74000000000... Аналогичным образом десятичное число с неограниченным числом нулей можно переписать, отбросив нули справа от самой правой ненулевой цифры, и десятичное число Число с неограниченным количеством девяток можно переписать, увеличив на единицу самую правую цифру, меньшую, чем 9, и заменив все девятки справа от этой цифры на 0. Наконец, можно отбросить неограниченную последовательность нулей справа от десятичного знака. Например, 6,849999999999... = 6,85 и 6,850000000000... = 6,85. Наконец, если все цифры числа равны 0, то число равно 0, и если все цифры числа представляют собой бесконечную строку девяток, вы можете отбросить девятки справа от десятичного знака и добавить единицу. к строке девяток слева от десятичного знака. Например, 99,999... = 100.

Действительные числа также обладают важным, но весьма техническим свойством, называемым свойством наименьшей верхней границы .

Можно показать, что любое упорядоченное поле , которое также является полным , изоморфно действительным числам. Однако действительные числа не являются алгебраически замкнутым полем , поскольку они не включают в себя решение (часто называемое квадратным корнем из минус единицы ) алгебраического уравнения. $x^{2}+1=0$.

Комплексные числа

Основная статья: Комплексное число

Переходя на более высокий уровень абстракции, действительные числа можно расширить до комплексных чисел . Этот набор чисел исторически возник в результате попыток найти замкнутые формулы для корней кубических и квадратных многочленов. Это привело к выражениям, включающим квадратные корни отрицательных чисел, и, в конечном итоге, к определению нового числа: квадратный корень из −1, обозначаемый i , символ, присвоенный Леонардом Эйлером , и называемый мнимой единицей . Комплексные числа состоят из всех чисел вида

$\,a+bi$

где a и b — действительные числа. Из-за этого комплексные числа соответствуют точкам на комплексной плоскости , векторном пространстве двух действительных измерений . В выражении a + bi действительное число a называется действительной частью , а b — мнимой частью . Если действительная часть комплексного числа равна 0, то число называется мнимым или чисто мнимым ; если мнимая часть равна 0, то число действительное. Таким образом, действительные числа являются подмножеством комплексных чисел. Если действительная и мнимая части комплексного числа являются целыми числами, то это число называется гауссовским целым числом . Символ комплексных чисел — C или $\mathbb {C}$.

Основная теорема алгебры утверждает, что комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле , а это означает, что каждый многочлен с комплексными коэффициентами имеет корень в комплексных числах. Как и действительные числа, комплексные числа образуют поле , которое является полным , но в отличие от действительных чисел оно не упорядочено . То есть не существует какого-либо последовательного значения, которое можно было бы приписать утверждению, что i больше 1, и нет никакого смысла в утверждении, что i меньше 1. С технической точки зрения комплексным числам не хватает общего порядка , совместимого с полевыми операциями .

Подклассы целых чисел

Четные и нечетные числа

Основная статья: Четные и нечетные числа

Четное число — это целое число, которое «делится без остатка» на два, то есть делится на два ; нечетное число — это целое число, которое не является четным. (Старомодный термин «делимый без остатка» теперь почти всегда сокращается до « делимый ».) Любое нечетное число n можно построить по формуле n = 2 k + 1 для подходящего целого числа k . Начиная с k = 0, первые неотрицательные нечетные числа — это {1, 3, 5, 7, ...}. Любое четное число m имеет вид m = 2 k , где k снова является целым числом . Аналогично, первые неотрицательные четные числа — это {0, 2, 4, 6, ...}.

Простые числа

Основная статья: Простое число

Простое число , часто сокращаемое до простого простого числа , — это целое число больше 1, которое не является произведением двух меньших положительных целых чисел. Первые несколько простых чисел — это 2, 3, 5, 7 и 11. Не существует такой простой формулы для получения простых чисел, как для нечетных и четных чисел. Простые числа широко изучались на протяжении более 2000 лет и породили множество вопросов, лишь на некоторые из которых были даны ответы. Исследование этих вопросов принадлежит теории чисел . Гипотеза Гольдбаха является примером вопроса, на который до сих пор нет ответа: «Является ли каждое четное число суммой двух простых чисел?»

Был подтвержден один ответ на вопрос о том, является ли каждое целое число, большее единицы, произведением простых чисел только одним способом, за исключением перестановки простых чисел; это доказанное утверждение называется основной теоремой арифметики . Доказательство содержится в «Началах» Евклида .

Другие классы целых чисел

Многие подмножества натуральных чисел были предметом специальных исследований и были названы, часто в честь первого математика, который их изучил. Примером таких наборов целых чисел являются числа Фибоначчи и совершенные числа . Дополнительные примеры см. в разделе Целочисленная последовательность .

Подклассы комплексных чисел

Алгебраические, иррациональные и трансцендентные числа

Алгебраические числа – это числа, являющиеся решением полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными числами . Комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными числами . Алгебраические числа, являющиеся решениями монического полиномиального уравнения с целыми коэффициентами, называются целыми алгебраическими числами .

Конструируемые числа

По мотивам классических проблем построения с линейкой и циркулем , конструктивные числа — это те комплексные числа, действительная и мнимая части которых могут быть построены с помощью линейки и циркуля, начиная с заданного отрезка единичной длины, за конечное число шагов.

Вычислимые числа

Основная статья: Вычислимое число

Вычислимое число , также известное как рекурсивное число , — это действительное число , такое, что существует алгоритм , который, учитывая положительное число n в качестве входных данных, выдает первые n цифр десятичного представления вычислимого числа. Эквивалентные определения могут быть даны с использованием µ-рекурсивных функций , машин Тьюринга или λ-исчисления . Вычислимые числа стабильны для всех обычных арифметических операций, включая вычисление корней многочлена , и, таким образом, образуют действительное замкнутое поле , содержащее действительные алгебраические числа .

Вычислимые числа можно рассматривать как действительные числа, которые можно точно представить в компьютере: вычислимое число точно представлено его первыми цифрами и программой для вычисления дальнейших цифр. Однако на практике вычислимые числа используются редко. Одна из причин заключается в том, что не существует алгоритма проверки равенства двух вычислимых чисел. Точнее, не может существовать алгоритм, который принимает на вход любое вычислимое число и в каждом случае решает, равно это число нулю или нет.

Множество вычислимых чисел имеет ту же мощность, что и натуральные числа. Следовательно, почти все действительные числа невычислимы. Однако очень сложно явно получить действительное число, которое не поддается вычислению.

Расширение концепции

p -адические числа

Основная статья: p -адическое число

-адические числа p могут иметь бесконечно длинные расширения слева от десятичной точки, точно так же, как действительные числа могут иметь бесконечно длинные расширения справа. Полученная в результате система счисления зависит от того, какое основание используется для цифр: возможно любое основание, но основание простых чисел обеспечивает наилучшие математические свойства. Множество p -адических чисел содержит рациональные числа, но не содержится в комплексных числах.

Элементы поля алгебраических функций над конечным полем и алгебраическими числами имеют много схожих свойств (см. Аналогию с функциональным полем ). Поэтому теоретики чисел часто рассматривают их как числа. -адические числа p В этой аналогии важную роль играют .

Гиперкомплексные числа

Основная статья: гиперкомплексное число

Некоторые системы счисления, не входящие в комплексные числа, могут быть построены из действительных чисел таким образом, чтобы обобщить конструкцию комплексных чисел. Их иногда называют гиперкомплексными числами . К ним относятся кватернионы H , введенные сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном , в которых умножение не является коммутативным , октонионы , в которых умножение не является ассоциативным и не является коммутативным, и седенионы , в которых умножение не является альтернативным , ни ассоциативным, ни коммутативный.

Трансфинитные числа

Основная статья: трансфинитное число

Для работы с бесконечными множествами натуральные числа были обобщены до порядковых и кардинальных чисел . Первый дает порядок набора, а второй - его размер. Для конечных множеств как порядковые, так и кардинальные числа отождествляются с натуральными числами. В бесконечном случае одному и тому же кардинальному числу соответствует множество порядковых чисел.

Нестандартные номера

Гипердействительные числа используются в нестандартном анализе . Гиперреалистические числа, или нестандартные действительные числа (обычно обозначаемые как * R ), обозначают упорядоченное поле , которое является собственным расширением упорядоченного поля действительных чисел R и удовлетворяет принципу переноса . Этот принцип позволяет первого порядка истинные утверждения о R переинтерпретировать как истинные утверждения первого порядка о * R .

Сверхреальные и сюрреалистические числа расширяют действительные числа, добавляя бесконечно малые числа и бесконечно большие числа, но по-прежнему образуют поля .

См. также

• Конкретное число
• Список номеров
• Список типов номеров
• Математическая константа – фиксированное число, получившее имя.
• Комплексные числа
• Числовое познание
• Порядки величины
• Физическая константа – универсальная и неизменная физическая величина.
• Физическая величина - измеримое свойство материала или системы.
• Пи – число, примерно 3,14.
• Позиционное обозначение - метод представления или кодирования чисел.
• Простое число – число, которое делится только на 1 или само на себя.
• Скаляр (математика) - элементы поля, например действительные числа, в контексте линейной алгебры.
• Суббитизация и подсчет

Ссылки

• Тобиас Данциг , Число, язык науки; критический обзор, написанный для культурного нематематика , Нью-Йорк, The Macmillan Company, 1930.
• Эрих Фридман, Что особенного в этом числе? Архивировано 23 февраля 2018 г. в Wayback Machine.
• Стивен Галович, Введение в математические структуры , Харкорт Брейс Джаванович, 1989, ISBN   0-15-543468-3 .
• Пол Халмос , Наивная теория множеств , Springer, 1974, ISBN   0-387-90092-6 .
• Моррис Клайн , Математическая мысль от древних до наших дней , Oxford University Press, 1990. ISBN   978-0195061352
• Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел , Principia Mathematica до *56, Cambridge University Press, 1910.
• Лео Кори, Краткая история чисел , Oxford University Press, 2015, ISBN   978-0-19-870259-7 .

Внешние ссылки

• Нечаев, В.И. (2001) [1994]. "Число" . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .
• Таллант, Джонатан. «Существуют ли числа» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 8 марта 2016 года . Проверено 6 апреля 2013 г.
• В наше время: отрицательные числа . BBC Radio 4. 9 марта 2006 г. Архивировано из оригинала 31 мая 2022 г.
• Робин Уилсон (7 ноября 2007 г.). «4000 лет чисел» . Грешем-колледж . Архивировано из оригинала 8 апреля 2022 года.
• Крулвич, Роберт (22 июля 2011 г.). «Какое самое любимое число в мире?» . ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР . Архивировано из оригинала 18 мая 2021 года . Проверено 17 сентября 2011 г. ; «Обниматься с 9, целоваться с 8, подмигивать 7» . ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ЯДЕРНЫЙ РЕАКТОР . 21 августа 2011 г. Архивировано из оригинала 6 ноября 2018 г. . Проверено 17 сентября 2011 г.
• Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей