Теория множеств

Эта статья о разделе математики. Чтобы узнать о других значениях, см. Теорию множеств (значения) .

Не путать с теорией множеств (музыка) .

Диаграмма Венна, иллюстрирующая пересечение двух множеств.

Теория множеств — это раздел математической логики , изучающий множества , которые неформально можно описать как коллекции объектов. Хотя объекты любого типа можно собрать в набор, теория множеств — как раздел математики — в основном занимается теми, которые имеют отношение к математике в целом.

Современное исследование теории множеств было инициировано немецкими математиками Рихардом Дедекиндом и Георгом Кантором в 1870-х годах. В частности, Георга Кантора обычно считают основателем теории множеств. Неформализованные системы, исследованные на этом раннем этапе, называются наивной теорией множеств . После открытия парадоксов в рамках наивной теории множеств (таких как парадокс Рассела , парадокс Кантора и парадокс Бурали-Форти ) различные аксиоматические системы в начале двадцатого века были предложены , из которых теория множеств Цермело-Френкеля (с аксиомой выбор ) до сих пор является самым известным и наиболее изученным.

Теория множеств обычно используется в качестве основополагающей системы для всей математики, особенно в форме теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора. Помимо своей основополагающей роли, теория множеств также обеспечивает основу для разработки математической теории бесконечности и имеет различные приложения в информатике (например, в теории реляционной алгебры ), философии , формальной семантике и эволюционной динамике . Ее основополагающая привлекательность вместе с ее парадоксами , ее последствиями для концепции бесконечности и ее многочисленными приложениями сделали теорию множеств областью большого интереса для логиков и философов математики . Современные исследования теории множеств охватывают широкий спектр тем, начиная от структуры прямой числовой прямой и заканчивая изучением непротиворечивости больших кардиналов .

История

Георг Кантор

Математические темы обычно возникают и развиваются в результате взаимодействия многих исследователей. Теория множеств, однако, была основана в единственной статье Георга Кантора в 1874 году : « О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ».

Начиная с V века до нашей эры, начиная с греческого математика Зенона Элейского на Западе и ранних индийских математиков на Востоке, математики боролись с понятием бесконечности . Особенно примечательны работы Бернара Больцано в первой половине XIX века. Современное понимание бесконечности началось в 1870–1874 годах и было мотивировано работами Кантора в области реального анализа .

Основные понятия и обозначения

Основные статьи: Множество (математика) и Алгебра множеств.

начинается с фундаментального бинарного отношения между объектом o и множеством A. Теория множеств Если o является членом (или элементом ) A обозначение o ∈ A. , используется Набор описывается путем перечисления элементов, разделенных запятыми, или характеризующего свойства его элементов в фигурных скобках { }. Поскольку множества являются объектами, отношение принадлежности также может связывать множества.

Производное бинарное отношение между двумя множествами — это отношение подмножества, также называемое включением множества . Если все члены множества также являются членами множества B то A является подмножеством B A , обозначаемым A ⊆ B. , Например, {1, 2} является подмножеством {1, 2, 3} , как и {2} , но {1, 4} — нет. Как следует из этого определения, множество является подмножеством самого себя. Для случаев, когда эта возможность непригодна или имеет смысл ее отвергнуть, термин «надлежащее подмножество» определяется . A называется подмножеством B собственным тогда и только тогда, когда является подмножеством B , но A не равно B. A Кроме того, 1, 2 и 3 являются членами (элементами) набора {1, 2, 3} , но не являются его подмножествами; и, в свою очередь, подмножества, такие как {1} , не являются членами набора {1, 2, 3} .

Точно так же, как арифметика предполагает двоичные операции с числами , теория множеств предполагает двоичные операции с множествами. Ниже приводится неполный их список:

• Объединение множеств A и B , обозначаемое A ∪ B , представляет собой набор всех объектов, которые являются членами A , B или обоих. Например, объединение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} представляет собой набор {1, 2, 3, 4} .
• Пересечение множеств A и B , обозначаемое A ∩ B , представляет собой множество всех объектов, которые являются членами как , так и B. A Например, пересечение {1, 2, 3} и {2, 3, 4} — это набор {2, 3} .
• Разность множеств U и A , обозначаемая U \ A , представляет собой набор всех членов U которые не являются членами A. , Разность наборов {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} равна {1} , и наоборот, разность наборов {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} равна {4} . Когда A подмножеством U , разность множеств U \ A называется дополнением A также в U. является В этом случае, если выбор U ясен из контекста, обозначение A ^с иногда используется вместо U \ A , особенно если U — универсальное множество , как при изучении диаграмм Венна .
• Симметричная разность множеств A и B , обозначаемая A △ B или A ⊖ B , представляет собой множество всех объектов, которые являются членами ровно одного из A и B (элементы, которые находятся в одном из множеств, но не в обоих). Например, для наборов {1, 2, 3} и {2, 3, 4} набор симметричных разностей равен {1, 4} . Это разность множеств объединения и пересечения ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) или ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
• Декартово произведение A и B , обозначаемое A × B , представляет собой множество, членами которого являются все возможные пары ( a , b ) , где a является членом A , а b является членом B. упорядоченные Например, декартово произведение {1, 2} и {красный, белый} равно {(1, красный), (1, белый), (2, красный), (2, белый)}.
• Степенное множество множества A , обозначаемое ${\mathcal {P}}(A)$, — это набор, членами которого являются все возможные подмножества A . Например, набор мощности {1, 2} равен { {}, {1}, {2}, {1, 2} } .

Некоторыми базовыми наборами первостепенной важности являются набор натуральных чисел , набор действительных чисел и пустой набор — уникальный набор, не содержащий элементов. Пустой набор также иногда называют нулевым набором . хотя это имя неоднозначно и может привести к нескольким интерпретациям.

Онтология

Основная статья: вселенная фон Неймана

Начальный сегмент иерархии фон Неймана

Множество является чистым , если все его члены являются множествами, все его члены являются множествами и так далее. Например, множество, содержащее только пустое множество, является непустым чистым множеством. В современной теории множеств принято ограничивать внимание вселенной чистых множеств фон Неймана , и многие системы аксиоматической теории множеств предназначены для аксиоматизации только чистых множеств. У этого ограничения есть много технических преимуществ, и при этом теряется небольшая общность, поскольку по существу все математические концепции могут быть смоделированы чистыми множествами. Множества во вселенной фон Неймана организованы в совокупную иерархию , основанную на том, насколько глубоко вложены их члены, члены членов и т. д. Каждому множеству в этой иерархии присваивается (посредством трансфинитной рекурсии ) порядковый номер . $\alpha$, известный как его ранг. Ранг чистого множества $X$ определяется как наименьший порядковый номер, который строго больше ранга любого из его элементов. Например, пустому набору присваивается ранг 0, а набору {{}}, содержащему только пустой набор, присваивается ранг 1. Для каждого порядкового номера $\alpha$, набор $V_{\alpha }$ определяется как состоящее из всех чистых множеств ранга меньше $\alpha$. Вся вселенная фон Неймана обозначается $V$.

Формализованная теория множеств

Элементарную теорию множеств можно изучать неформально и интуитивно, поэтому ее можно преподавать в начальных школах с использованием диаграмм Венна . Интуитивный подход молчаливо предполагает, что множество может быть сформировано из класса всех объектов, удовлетворяющих любому конкретному определяющему условию. Это предположение порождает парадоксы, простейшими и известными из которых являются парадокс Рассела и парадокс Бурали-Форти . Аксиоматическая теория множеств изначально была разработана для того, чтобы избавить теорию множеств от таких парадоксов.

Наиболее широко изученные системы аксиоматической теории множеств предполагают, что все множества образуют кумулятивную иерархию . которых Такие системы бывают двух видов: онтология состоит из:

• Устанавливается один . Сюда входит наиболее распространенная аксиоматическая теория множеств — – Френкеля с теория множеств аксиомой выбора ( Цермело ZFC). Фрагменты ZFC включают:
  • Теория множеств Цермело , которая заменяет схему аксиом замены схемой разделения ;
  • Общая теория множеств — небольшой фрагмент теории множеств Цермело, достаточный для аксиом Пеано и конечных множеств ;
  • Теория множеств Крипке-Платека , которая опускает аксиомы бесконечности, набора степеней и выбора , а также ослабляет схемы аксиом разделения и замены .
• Множества и собственные классы . К ним относятся теория множеств Фон Неймана-Бернейса-Гёделя , которая имеет ту же силу, что и ZFC, только для теорем о множествах, а также теория множеств Морса-Келли и теория множеств Тарского-Гротендика , обе из которых сильнее, чем ZFC.

Вышеупомянутые системы могут быть изменены, чтобы разрешить urelements — объекты, которые могут быть членами наборов, но сами не являются наборами и не имеют никаких членов.

Системы Новых Основ NFU ( разрешающие ureelements ) и NF (отсутствующие), связанные с Уиллардом Ван Орманом Куайном , не основаны на кумулятивной иерархии. НФ и НФУ включают в себя «множество всего», относительно которого каждое множество имеет дополнение. В этих системах элементы имеют значение, поскольку NF, а не NFU, создает множества, для которых аксиома выбора не выполняется. Несмотря на то, что онтология NF не отражает традиционную кумулятивную иерархию и нарушает обоснованность, Томас Форстер утверждает, что она действительно отражает итеративную концепцию set .

Системы конструктивной теории множеств , такие как CST, CZF и IZF, встраивают свои аксиомы множеств в интуиционистскую, а не классическую логику . Другие системы принимают классическую логику, но имеют нестандартное отношение членства. К ним относятся грубая теория множеств и теория нечетких множеств , в которых значение атомарной формулы, воплощающей отношение принадлежности, не является просто «Истина» или «Ложь» . Логические модели ZFC — это смежная тема.

Расширение ZFC , названное теорией внутренних множеств, было предложено Эдвардом Нельсоном в 1977 году.

Приложения

Многие математические понятия можно точно определить, используя только теоретико-множественные понятия. Например, такие разнообразные математические структуры, как графы , многообразия , кольца , векторные пространства и реляционные алгебры , могут быть определены как множества, удовлетворяющие различным (аксиоматическим) свойствам. эквивалентности и Отношения порядка широко распространены в математике, а теорию математических отношений можно описать в теории множеств.

Теория множеств также является многообещающей фундаментальной системой для большей части математики. С момента публикации первого тома Principia Mathematica утверждалось, что большинство (или даже все) математических теорем могут быть выведены с использованием удачно разработанного набора аксиом теории множеств, дополненного множеством определений, с использованием логики первого или второго порядка. . Например, свойства натуральных и действительных чисел можно получить в рамках теории множеств, поскольку каждую из этих систем счисления можно определить, представляя ее элементы как наборы определенных форм.

Теория множеств как основа математического анализа , топологии , абстрактной алгебры и дискретной математики также не вызывает сомнений; математики признают (в принципе), что теоремы в этих областях могут быть выведены из соответствующих определений и аксиом теории множеств. Однако остается лишь несколько полных выводов сложных математических теорем из теории множеств, которые были формально проверены, поскольку такие формальные выводы часто намного длиннее, чем доказательства на естественном языке, которые обычно представляют математики. Один проект проверки, Metamath , включает в себя написанные человеком и проверенные на компьютере выводы более чем 12 000 теорем, начиная с теории множеств ZFC , логики первого порядка и логики высказываний . ZFC и аксиома выбора недавно нашли применение в эволюционной динамике . улучшение понимания устоявшихся моделей эволюции и взаимодействия.

Области обучения

Теория множеств — основная область исследований в математике, имеющая множество взаимосвязанных подполей.

Комбинаторная теория множеств

Основная статья: Бесконечная комбинаторика

Комбинаторная теория множеств касается расширения конечной комбинаторики на бесконечные множества. Это включает изучение кардинальной арифметики и изучение расширений теоремы Рамсея, таких как теорема Эрдеша-Радо .

Описательная теория множеств

Основная статья: Описательная теория множеств

Описательная теория множеств — это изучение подмножеств действительной прямой и, в более общем плане, подмножеств польских пространств . Оно начинается с изучения точечных классов в иерархии Бореля и распространяется на изучение более сложных иерархий, таких как проективная иерархия и иерархия Ваджа . Многие свойства борелевских множеств могут быть установлены в ZFC, но доказательство того, что эти свойства справедливы для более сложных множеств, требует дополнительных аксиом, связанных с определенностью и большими кардиналами.

Область эффективной описательной теории множеств находится между теорией множеств и теорией рекурсии . Оно включает изучение точечных классов световых граней и тесно связано с гиперарифметической теорией . Во многих случаях результаты классической дескриптивной теории множеств имеют эффективные версии; в некоторых случаях новые результаты получаются путем сначала доказательства эффективной версии, а затем ее расширения («релятивизации»), чтобы сделать ее более широко применимой.

Недавняя область исследований касается борелевских отношений эквивалентности и более сложных определимых отношений эквивалентности . Это имеет важные приложения к изучению инвариантов во многих областях математики.

Теория нечетких множеств

Основная статья: Теория нечетких множеств

В теории множеств, как ее определил Кантор и аксиоматизировали Цермело и Френкель, объект либо является членом множества, либо нет. В теории нечетких множеств это условие было смягчено Лотфи А. Заде , поэтому объект имеет степень принадлежности множеству, число от 0 до 1. Например, степень принадлежности человека к множеству «высоких людей». является более гибким, чем простой ответ «да» или «нет», и может быть действительным числом, например 0,75.

Теория внутренней модели

Основная статья: Теория внутренней модели

Внутренняя модель теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) представляет собой транзитивный класс , который включает все ординалы и удовлетворяет всем аксиомам ZF. Каноническим примером является конструктивная вселенная L, разработанная Гёделем.Одна из причин, по которой изучение внутренних моделей представляет интерес, заключается в том, что их можно использовать для доказательства согласованности результатов. Например, можно показать, что независимо от того, удовлетворяет ли модель V из ZF гипотезе континуума или аксиоме выбора , внутренняя модель L, построенная внутри исходной модели, будет удовлетворять как обобщенной гипотезе континуума, так и аксиоме выбора. Таким образом, предположение о том, что ZF непротиворечив (имеет хотя бы одну модель), подразумевает, что ZF вместе с этими двумя принципами непротиворечив.

Исследование внутренних моделей распространено при изучении детерминированности и больших кардиналов , особенно при рассмотрении таких аксиом, как аксиома детерминированности, которые противоречат аксиоме выбора. Даже если фиксированная модель теории множеств удовлетворяет аксиоме выбора, внутренняя модель может не удовлетворять аксиоме выбора. Например, существование достаточно больших кардиналов подразумевает, что существует внутренняя модель, удовлетворяющая аксиоме детерминированности (и, следовательно, не удовлетворяющая аксиоме выбора).

Большие кардиналы

Основная статья: Большая кардинальная собственность

Большой кардинал — это кардинальное число с дополнительным свойством. Изучаются многие такие свойства, в том числе недоступные кардиналы , измеримые кардиналы и многие другие. Эти свойства обычно подразумевают, что кардинальное число должно быть очень большим, а существование кардинала с указанным свойством недоказуемо в теории множеств Цермело – Френкеля .

Определенность

Основная статья: Решимость

Определенность относится к тому факту, что при соответствующих предположениях некоторые игры для двух игроков с полной информацией определены с самого начала в том смысле, что один игрок должен иметь выигрышную стратегию. Существование этих стратегий имеет важные последствия в дескриптивной теории множеств, поскольку предположение о том, что более широкий класс игр определен, часто подразумевает, что более широкий класс множеств будет обладать топологическим свойством. Аксиома детерминированности (AD) является важным объектом исследования; хотя и несовместимо с выбранной аксиомой, AD подразумевает, что все подмножества действительной прямой ведут себя хорошо (в частности, измеримы и обладают свойством идеального множества). AD можно использовать, чтобы доказать, что степени Ваджа имеют элегантную структуру.

Принуждение

Основная статья: Принуждение (математика)

Пол Коэн изобрел метод принуждения при поиске модели ZFC , в которой не работает гипотеза континуума , или модели ZF, в которой не работает аксиома выбора . Форсирование присоединяется к некоторой данной модели теории множеств дополнительными множествами с целью создания более крупной модели со свойствами, определяемыми (т.е. «вынужденными») конструкцией и исходной моделью. Например, конструкция Коэна присоединяется к дополнительным подмножествам натуральных чисел , не меняя ни одного из кардинальных чисел исходной модели. Форсирование также является одним из двух методов доказательства относительной согласованности с помощью финитистских методов, второй метод — это булевы модели .

Кардинальные инварианты

Основная статья: Кардинальные характеристики континуума

Кардинальный инвариант — это свойство вещественной прямой, измеряемое кардинальным числом. Например, хорошо изученный инвариант — это наименьшая мощность набора скудных множеств действительных чисел, объединение которых составляет всю вещественную прямую. Это инварианты в том смысле, что любые две изоморфные модели теории множеств должны давать один и тот же кардинал для каждого инварианта. Многие кардинальные инварианты были изучены, и отношения между ними часто сложны и связаны с аксиомами теории множеств.

Теоретико-множественная топология

Основная статья: Теоретико-множественная топология

Теоретико-множественная топология изучает вопросы общей топологии , которые являются теоретико-множественными по своей природе или требуют для своего решения передовых методов теории множеств. Многие из этих теорем не зависят от ZFC, поэтому для их доказательства требуются более сильные аксиомы. Известная проблема — это нормальный вопрос о пространстве Мура , вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Возражения против теории множеств

С самого начала теории множеств некоторые математики возражали против нее как основы математики : см. «Споры по поводу теории Кантора» . Наиболее распространенное возражение против теории множеств, высказанное Кронекером в первые годы существования теории множеств, исходит из конструктивистской точки зрения, согласно которой математика слабо связана с вычислениями. Если эта точка зрения принята, то трактовка бесконечных множеств как в наивной , так и в аксиоматической теории множеств вводит в математику методы и объекты, которые не являются вычислимыми даже в принципе. Возможность конструктивизма как альтернативной основы математики была значительно увеличена Эррета Бишопа влиятельной книгой «Основы конструктивного анализа» .

Другое возражение, выдвинутое Анри Пуанкаре , заключается в том, что определение множеств с использованием схем аксиом спецификации и замены , а также аксиомы степенного множества , вводит непредикативность , тип цикличности , в определения математических объектов. Объем предикативно обоснованной математики, хотя и меньше, чем у общепринятой теории Цермело-Френкеля, гораздо шире, чем у конструктивной математики, до такой степени, что Соломон Феферман сказал, что «весь научно применимый анализ может быть развит [с использованием предикативного анализа]». методы]».

Людвиг Витгенштейн философски осудил теорию множеств за ее оттенок математического платонизма . Он писал, что «теория множеств ошибочна», поскольку она построена на «бессмыслице» вымышленной символики, имеет «пагубные идиомы» и что бессмысленно говорить обо «всех числах». Витгенштейн отождествлял математику с алгоритмической человеческой дедукцией; необходимость надежного фундамента математики казалась ему бессмысленной. Более того, поскольку человеческие усилия неизбежно конечны, философия Витгенштейна требовала онтологической приверженности радикальному конструктивизму и финитизму . Метаматематические утверждения, которые для Витгенштейна включали в себя любое утверждение, определяющее количество в бесконечных областях, и, следовательно, почти всю современную теорию множеств, — не являются математикой. Лишь немногие современные философы приняли взгляды Витгенштейна после впечатляющей ошибки в «Замечаниях об основаниях математики» : Витгенштейн попытался опровергнуть теоремы Гёделя о неполноте, прочитав только аннотацию. рецензенты Крайзель , Бернейс , Даммет и Гудстейн Как отметили , многие из его критических замечаний не относились к статье в полной мере. Лишь недавно такие философы, как Криспин Райт, начали реабилитировать аргументы Витгенштейна.

Теоретики категорий предложили теорию топоса как альтернативу традиционной аксиоматической теории множеств. Теория топоса может интерпретировать различные альтернативы этой теории, такие как конструктивизм , теория конечных множеств и теория вычислимых множеств. Топои также создают естественную среду для навязывания и обсуждения независимости выбора от ZF, а также обеспечивают основу для бессмысленной топологии и пространств Стоуна .

Активным направлением исследований являются унивалентные основания и связанная с ними теория гомотопических типов . В рамках теории гомотопических типов множество можно рассматривать как гомотопический 0-тип с универсальными свойствами множеств, возникающими из индуктивных и рекурсивных свойств более высоких индуктивных типов . Такие принципы, как аксиома выбора и закон исключенного третьего, могут быть сформулированы способом, соответствующим классической формулировке теории множеств, или, возможно, спектром различных способов, уникальных для теории типов. Некоторые из этих принципов могут оказаться следствием других принципов. Разнообразие формулировок этих аксиоматических принципов позволяет провести детальный анализ формулировок, необходимых для получения различных математических результатов.

Теория множеств в математическом образовании

Поскольку теория множеств приобрела популярность как основа современной математики, получила поддержку идея введения основ наивной теории множеств на ранних этапах математического образования .

В США в 1960-х годах эксперимент «Новая математика» был направлен на преподавание базовой теории множеств, среди других абстрактных концепций, ученикам начальной школы , но был встречен большой критикой. Программа по математике в европейских школах следовала этой тенденции и в настоящее время включает этот предмет на разных уровнях во всех классах. Диаграммы Венна широко используются для объяснения основных теоретико-множественных отношений учащимся начальной школы (хотя Джон Венн разработал их как часть процедуры оценки достоверности выводов изначально в терминологической логике ).

Теория множеств используется для ознакомления учащихся с логическими операторами (НЕ, И, ИЛИ), а также семантическим описанием или описанием правил (технически интенсиональное определение) . ) наборов (например, «месяцы, начинающиеся на букву А »), которые могут быть полезны при изучении компьютерного программирования , поскольку булева логика используется в различных языках программирования . Аналогично, множества и другие объекты, подобные коллекциям, такие как мультимножества и списки , являются распространенными типами данных в информатике и программировании .

Кроме того, множества часто упоминаются в преподавании математики, когда речь идет о разных типах чисел (множества $\mathbb {N}$ натуральных чисел , $\mathbb {Z}$ целых чисел , $\mathbb {R}$ действительных чисел и т. д.), а также при определении математической функции как отношения одного набора ( области определения ) к другому набору ( диапазону ).

См. также

• Глоссарий теории множеств
• Класс (теория множеств)
• Список тем теории множеств
• Реляционная модель - заимствована из теории множеств.
• Диаграмма друзей

Ссылки

• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN  0-444-85401-0
• Джонсон, Филип (1972), История теории множеств , Приндл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-87150-154-6

Дальнейшее чтение

• Девлин, Кейт (1993), Радость множеств: основы современной теории множеств , Тексты для студентов по математике (2-е изд.), Springer Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-0903-4 , ISBN  0-387-94094-4
• Феррейрос, Хосе (2001), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в современной математике , Берлин: Springer, ISBN  978-3-7643-5749-8
• Монк, Дж. Дональд (1969), Введение в теорию множеств , Книжная компания McGraw-Hill, ISBN  978-0-898-74006-6
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия: критическое введение , Oxford University Press , ISBN  978-0-191-55643-2
• Смалльян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010), Теория множеств и проблема континуума , Dover Publications , ISBN  978-0-486-47484-7
• Тайлз, Мэри (2004), Философия теории множеств: историческое введение в канторовский рай , Dover Publications , ISBN  978-0-486-43520-6

Внешние ссылки

• Дэниел Каннингем, статья о теории множеств в Интернет-энциклопедии философии .
• Хосе Феррейрос, статья «Раннее развитие теории множеств» в [Стэнфордской энциклопедии философии] .
• Форман, Мэтью , Акихиро Канамори , ред. Справочник по теории множеств . 3 тома, 2010. В каждой главе рассматривается какой-либо аспект современных исследований в области теории множеств. Не охватывает устоявшуюся элементарную теорию множеств, о которой см. Devlin (1993).
• «Аксиоматическая теория множеств» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Теория множеств» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Шенфлис, Артур (1898). Теория множеств в энциклопедии Кляйна .
• Интернет-книги и библиотечные ресурсы в вашей и других библиотеках по теории множеств.
• Рудин, Уолтер Б. (6 апреля 1990 г.), «Теория множеств: потомок анализа» , Лекция Мардена по математике , Университет Висконсин-Милуоки , заархивировано из оригинала 31 октября 2021 г. - через YouTube