Искаженное обобщенное t распределение

В теории вероятности и статистике искаженное обобщенное распределение «t» представляет собой семейство непрерывных распределений вероятностей . Распределение было впервые представлено Панайотисом Теодоссиу. в 1998 году. С тех пор этот дистрибутив использовался в различных приложениях. Существуют разные параметризации асимметричного обобщенного распределения t.

Определение

Функция плотности вероятности

$f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)={\frac {p}{2v\sigma q^{\frac {1}{p}}B({\frac {1}{p}},q)\left[1+{\frac {|x-\mu +m|^{p}}{q(v\sigma )^{p}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))^{p}}}\right]^{{\frac {1}{p}}+q}}}$

где $B$ это бета-функция , $\mu$ параметр местоположения, $\sigma >0$ параметр масштаба, $-1<\lambda <1$ – параметр асимметрии, а $p>0$ и $q>0$ — параметры, управляющие эксцессом . $m$ и $v$ являются не параметрами, а функциями других параметров, которые используются здесь для масштабирования или смещения распределения соответствующим образом, чтобы соответствовать различным параметризациям этого распределения.

В исходной параметризации асимметричного обобщенного распределения t,

$m=\lambda v\sigma {\frac {2q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}$

и

$v={\frac {q^{-{\frac {1}{p}}}}{\sqrt {(1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}}}}}$.

Эти значения для $m$ и $v$ получить распределение со средним значением $\mu$ если $pq>1$ и вариация $\sigma ^{2}$ если $pq>2$. Для того, чтобы $m$ однако, чтобы принять это значение, должно быть так, что $pq>1$. Аналогично, для $v$ чтобы равняться указанному выше значению, $pq>2$.

Параметризация, которая дает простейшую функциональную форму наборов функций плотности вероятности $m=0$ и $v=1$. Это дает среднее значение

$\mu +{\frac {2v\sigma \lambda q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}$

и вариация

$\sigma ^{2}q^{\frac {2}{p}}((1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}})$

The $\lambda$ параметр контролирует асимметрию распределения. Чтобы увидеть это, позвольте $M$ обозначают режим распределения, а

$\int _{-\infty }^{M}f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)\mathrm {d} x={\frac {1-\lambda }{2}}$

С $-1<\lambda <1$, вероятность слева от моды, а следовательно, и справа от моды, может равняться любому значению в (0,1) в зависимости от значения $\lambda$. Таким образом, искаженное обобщенное распределение t может быть как сильно искаженным, так и симметричным. Если $-1<\lambda <0$, то распределение имеет отрицательный перекос. Если $0<\lambda <1$, то распределение имеет положительный сдвиг. Если $\lambda =0$, то распределение симметрично.

Окончательно, $p$ и $q$ контролировать эксцесс распределения. Как $p$ и $q$ уменьшаются, эксцесс увеличивается (т.е. становится более лептокуртическим). Большие значения $p$ и $q$ дают более платикуртное распределение.

Моменты

Позволять $X$ быть случайной величиной, распределенной по асимметричному обобщенному t-распределению. $h^{th}$ момент (т.е. $E[(X-E(X))^{h}]$), для $pq>h$, является: $\sum _{r=0}^{h}{\binom {h}{r}}((1+\lambda )^{r+1}+(-1)^{r}(1-\lambda )^{r+1})(-\lambda )^{h-r}{\frac {(v\sigma )^{h}q^{\frac {h}{p}}B({\frac {r+1}{p}},q-{\frac {r}{p}})B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{h-r}}{2^{r-h+1}B({\frac {1}{p}},q)^{h-r+1}}}$

Среднее, для $pq>1$, является:

$\mu +{\frac {2v\sigma \lambda q^{\frac {1}{p}}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-m$

Дисперсия (т.е. $E[(X-E(X))^{2}]$), для $pq>2$, является:

$(v\sigma )^{2}q^{\frac {2}{p}}((1+3\lambda ^{2}){\frac {B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}{B({\frac {1}{p}},q)}}-4\lambda ^{2}{\frac {B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}}{B({\frac {1}{p}},q)^{2}}})$

Асимметрия (т. $E[(X-E(X))^{3}]$), для $pq>3$, является:

${\frac {2q^{3/p}\lambda (v\sigma )^{3}}{B({\frac {1}{p}},q)^{3}}}{\Bigg (}8\lambda ^{2}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{3}-3(1+3\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)$

$\times B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})+2(1+\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)^{2}B({\frac {4}{p}},q-{\frac {3}{p}}){\Bigg )}$

Эксцесс (т.е. $E[(X-E(X))^{4}]$), для $pq>4$, является:

${\frac {q^{4/p}(v\sigma )^{4}}{B({\frac {1}{p}},q)^{4}}}{\Bigg (}-48\lambda ^{4}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{4}+24\lambda ^{2}(1+3\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})^{2}$

$\times B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})-32\lambda ^{2}(1+\lambda ^{2})B({\frac {1}{p}},q)^{2}B({\frac {2}{p}},q-{\frac {1}{p}})B({\frac {4}{p}},q-{\frac {3}{p}})$

$+(1+10\lambda ^{2}+5\lambda ^{4})B({\frac {1}{p}},q)^{3}B({\frac {5}{p}},q-{\frac {4}{p}}){\Bigg )}$

Особые случаи

Особые и предельные случаи перекошенного обобщенного распределения t включают перекошенное обобщенное распределение ошибок, обобщенное распределение t, введенное Макдональдом и Ньюи, искаженное t, предложенное Хансеном, перекошенное распределение Лапласа, обобщенное распределение ошибок (также известное как обобщенное нормальное распределение ), перекошенное нормальное распределение, распределение Стьюдента , перекошенное распределение Коши, распределение Лапласа , равномерное распределение , нормальное распределение и распределение Коши . Рисунок ниже, адаптированный из работ Хансена, Макдональда и Ньюи: показывает, какие параметры следует установить, чтобы получить некоторые из различных специальных значений искаженного обобщенного распределения t.

Искаженное обобщенное дерево распределения t

Искаженное распределение обобщенных ошибок

Скошенное обобщенное распределение ошибок (SGED) имеет PDF-файл:

$\lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)$

$=f_{\text{SGED}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p)={\frac {p}{2v\sigma \Gamma ({\frac {1}{p}})}}e^{-\left({\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma [1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m)]}}\right)^{p}}$

где

$m=\lambda v\sigma {\frac {2^{\frac {2}{p}}\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{p}})}{\sqrt {\pi }}}$

дает среднее значение $\mu$. Также

$v={\sqrt {\frac {\pi \Gamma ({\frac {1}{p}})}{\pi (1+3\lambda ^{2})\Gamma ({\frac {3}{p}})-16^{\frac {1}{p}}\lambda ^{2}\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{p}})^{2}\Gamma ({\frac {1}{p}})}}}$

дает дисперсию $\sigma ^{2}$.

Обобщенное t -распределение

Обобщенное t -распределение (GT) имеет PDF-файл:

$f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p,q)$

$=f_{\text{GT}}(x;\mu ,\sigma ,p,q)={\frac {p}{2v\sigma q^{\frac {1}{p}}B({\frac {1}{p}},q)\left[1+{\frac {\left|x-\mu \right|^{p}}{q(v\sigma )^{p}}}\right]^{{\frac {1}{p}}+q}}}$

где

$v={\frac {1}{q^{\frac {1}{p}}}}{\sqrt {\frac {B({\frac {1}{p}},q)}{B({\frac {3}{p}},q-{\frac {2}{p}})}}}$

дает дисперсию $\sigma ^{2}$.

Скошенное t -распределение

Асимметричное t -распределение (ST) имеет PDF-файл:

$f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q)$

$=f_{\text{ST}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,q)={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+q)}{v\sigma (\pi q)^{\frac {1}{2}}\Gamma (q)\left[1+{\frac {\left|x-\mu +m\right|^{2}}{q(v\sigma )^{2}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))^{2}}}\right]^{{\frac {1}{2}}+q}}}$

где

$m=\lambda v\sigma {\frac {2q^{\frac {1}{2}}\Gamma (q-{\frac {1}{2}})}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma (q)}}$

дает среднее значение $\mu$. Также

$v={\frac {1}{q^{\frac {1}{2}}{\sqrt {(1+3\lambda ^{2}){\frac {1}{2q-2}}-{\frac {4\lambda ^{2}}{\pi }}\left({\frac {\Gamma (q-{\frac {1}{2}})}{\Gamma (q)}}\right)^{2}}}}}$

дает дисперсию $\sigma ^{2}$.

Перекошенное распределение Лапласа

Асимметричное распределение Лапласа (SLaplace) имеет PDF-файл:

$\lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}1,q)$

$=f_{\text{SLaplace}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{2v\sigma }}e^{-{\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma (1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))}}}$

где

$m=2v\sigma \lambda$

дает среднее значение $\mu$. Также

$v=[2(1+\lambda ^{2})]^{-{\frac {1}{2}}}$

дает дисперсию $\sigma ^{2}$.

Обобщенное распределение ошибок

Обобщенное распределение ошибок (GED, также известное как обобщенное нормальное распределение ) имеет формат pdf:

$\lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p,q)$

$=f_{\text{GED}}(x;\mu ,\sigma ,p)={\frac {p}{2v\sigma \Gamma ({\frac {1}{p}})}}e^{-\left({\frac {|x-\mu |}{v\sigma }}\right)^{p}}$

где

$v={\sqrt {\frac {\Gamma ({\frac {1}{p}})}{\Gamma ({\frac {3}{p}})}}}$

дает дисперсию $\sigma ^{2}$.

Искаженное нормальное распределение

Искаженное нормальное распределение (SNormal) имеет PDF-файл:

$\lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q)$

$=f_{\text{SNormal}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{v\sigma {\sqrt {\pi }}}}e^{-\left[{\frac {|x-\mu +m|}{v\sigma (1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu +m))}}\right]^{2}}$

где

$m=\lambda v\sigma {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}$

дает среднее значение $\mu$. Также

$v={\sqrt {\frac {2\pi }{\pi -8\lambda ^{2}+3\pi \lambda ^{2}}}}$

дает дисперсию $\sigma ^{2}$.

Распределение не следует путать с асимметричным нормальным распределением или другой асимметричной версией . Действительно, распределение здесь представляет собой частный случай бигауссова распределения, левая и правая ширины которого пропорциональны $1-\lambda$ и $1+\lambda$.

Стьюдента t -распределение

( T-распределение Стьюдента T) имеет PDF-файл:

$f_{\text{SGT}}(x;\mu {=}0,\sigma {=}1,\lambda {=}0,p{=}2,q{=}{\tfrac {d}{2}})$

$=f_{\text{T}}(x;d)={\frac {\Gamma ({\frac {d+1}{2}})}{(\pi d)^{\frac {1}{2}}\Gamma ({\frac {d}{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{d}}\right)^{-{\frac {d+1}{2}}}$

$v={\sqrt {2}}$ был заменен.

Неравномерное распределение Коши

Асимметричное распределение Коши (SCauchy) имеет PDF-файл:

$f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p{=}2,q{=}{\tfrac {1}{2}})$

$=f_{\text{SCauchy}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda )={\frac {1}{\sigma \pi \left[1+{\frac {\left|x-\mu \right|^{2}}{\sigma ^{2}(1+\lambda \operatorname {sgn}(x-\mu ))^{2}}}\right]}}$

$v={\sqrt {2}}$ и $m=0$ был заменен.

Среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс асимметричного распределения Коши не определены.

Распределение Лапласа

Распределение Лапласа имеет PDF-файл:

$\lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}1,q)$

$=f_{\text{Laplace}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2\sigma }}e^{-{\frac {|x-\mu |}{\sigma }}}$

$v=1$ был заменен.

Равномерное распределение

В равномерном дистрибутиве есть pdf:

$\lim _{p\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda ,p,q)$

$=f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2v\sigma }}&|x-\mu |<v\sigma \\0&\mathrm {otherwise} \end{cases}}$

Таким образом, стандартная равномерная параметризация получается, если $\mu ={\frac {a+b}{2}}$, $v=1$, и $\sigma ={\frac {b-a}{2}}$.

Нормальное распределение

Нормальный дистрибутив имеет pdf:

$\lim _{q\to \infty }f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}2,q)$

$=f_{\text{Normal}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {e^{-\left({\frac {|x-\mu |}{v\sigma }}\right)^{2}}}{v\sigma {\sqrt {\pi }}}}$

где

$v={\sqrt {2}}$

дает дисперсию $\sigma ^{2}$.

Распределение Коши

Распределение Коши имеет PDF-файл:

$f_{\text{SGT}}(x;\mu ,\sigma ,\lambda {=}0,p{=}2,q{=}{\tfrac {1}{2}})$

$=f_{\text{Cauchy}}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma \pi \left[1+\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}}$

$v={\sqrt {2}}$ был заменен.

Ссылки

• Хансен, Б. (1994). «Авторегрессионная оценка условной плотности». Международное экономическое обозрение . 35 (3): 705–730. дои : 10.2307/2527081 . JSTOR   2527081 .
• Хансен, К.; Макдональд, Дж.; Ньюи, В. (2010). «Оценка инструментальных переменных с помощью гибких распределений». Журнал деловой и экономической статистики . 28 : 13–25. дои : 10.1198/jbes.2009.06161 . hdl : 10419/79273 . S2CID   11370711 .
• Хансен, К.; Макдональд, Дж.; Теодоссиу, П. (2007). «Некоторые гибкие параметрические модели для частично адаптивных оценок эконометрических моделей» . Экономика: электронный журнал открытого доступа и открытой оценки . 1 (2007–7): 1. doi : 10.5018/ Economics-ejournal.ja.2007-7 . hdl : 20.500.14279/1024 .
• Макдональд, Дж.; Мичефельдер, Р.; Теодоссиу, П. (2009). «Оценка надежных методов регрессионной оценки и смещения перехвата: применение модели ценообразования капитальных активов» (PDF) . Многонациональный финансовый журнал . 15 (3/4): 293–321. дои : 10.17578/13-3/4-6 . S2CID   15012865 .
• Макдональд, Дж.; Мишельфельдер, Р.; Теодоссиу, П. (2010). «Надежная оценка с гибкими параметрическими распределениями: оценка бета-версий акций коммунальных предприятий». Количественные финансы . 10 (4): 375–387. дои : 10.1080/14697680902814241 . S2CID   11130911 .
• Макдональд, Дж.; Ньюи, В. (1988). «Частично адаптивная оценка регрессионных моделей с помощью обобщенного t-распределения». Эконометрическая теория . 4 (3): 428–457. дои : 10.1017/s0266466600013384 . S2CID   120305707 .
• Савва, С.; Теодоссиу, П. (2015). «Асимметрия и связь между риском и доходностью». Наука управления .
• Теодоссиу, П. (1998). «Финансовые данные и асимметричное обобщенное распределение T». Наука управления . 44 (12 – часть – 1): 1650–1661. дои : 10.1287/mnsc.44.12.1650 .

Внешние ссылки

• описывает асимметричное обобщенное распределение t, его частные случаи и программу для расчета его значений pdf, cdf и критических значений.
• онлайн-демо https://www.desmos.com/calculator/hfb11etkeq