Методы частиц среднего поля

Методы частиц среднего поля представляют собой широкий класс взаимодействующего типа алгоритмов Монте-Карло для моделирования на основе последовательности распределений вероятностей, удовлетворяющих нелинейному уравнению эволюции. Эти потоки вероятностных мер всегда можно интерпретировать как распределения случайных состояний марковского процесса, вероятности перехода которого зависят от распределений текущих случайных состояний. Естественный способ смоделировать эти сложные нелинейные марковские процессы — выбрать большое количество копий процесса, заменив в уравнении эволюции неизвестные распределения случайных состояний выборочными эмпирическими показателями . В отличие от традиционных методов Монте-Карло и цепей Маркова Монте-Карло, эти методы частиц среднего поля полагаются на последовательные взаимодействующие образцы . Терминологическое среднее поле отражает тот факт, что каждый из образцов (также известный как частицы, люди, ходоки, агенты, существа или фенотипы) взаимодействует с эмпирическими показателями процесса. Когда размер системы стремится к бесконечности, эти случайные эмпирические меры сходятся к детерминированному распределению случайных состояний нелинейной цепи Маркова, так что статистическое взаимодействие между частицами исчезает. Другими словами, начиная с хаотической конфигурации, основанной на независимых копиях начального состояния модели нелинейной цепи Маркова, хаос распространяется на любом временном горизонте по мере того, как размер системы стремится к бесконечности; то есть конечные блоки частиц сводятся к независимым копиям нелинейного марковского процесса. Этот результат называется распространением свойства хаоса. Терминология «распространение хаоса» возникла в результате работы Марка Каца в 1976 году по модели сталкивающегося кинетического газа среднего поля.

История

Теория моделей взаимодействующих частиц среднего поля, безусловно, началась в середине 1960-х годов с работы Генри П. Маккина-младшего по марковским интерпретациям класса нелинейных параболических уравнений в частных производных, возникающих в механике жидкостей. Математические основы этих классов моделей разрабатывались с середины 1980-х до середины 1990-х годов несколькими математиками, в том числе Вернером Брауном, Клаусом Хеппом, Карл Эльшлегер, Жерар Бен Арус и Марк Брюно, Дональд Доусон, Жан Вайянкур и Юрген Гертнер, Кристиан Леонард, Сильви Мелеар , Сильви Рулли , Ален-Соль Шнитман и Хироши Танака для моделей диффузионного типа; Ф. Альберто Грюнбаум, Токузо Сига, Хироши Танака, Сильви Мелеар и Карл Грэм для общих классов взаимодействующих скачко-диффузионных процессов.

Мы также цитируем более раннюю новаторскую статью Теодора Э. Харриса и Германа Кана , опубликованную в 1951 году, в которой использовались генетические методы среднего поля, но эвристические для оценки энергии передачи частиц. Методы частиц генетического типа среднего поля также используются в качестве эвристических алгоритмов естественного поиска (также известных как метаэвристика ) в эволюционных вычислениях. Истоки этих вычислительных методов среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 годов, когда были работы Алана Тьюринга над обучающими машинами с мутационным отбором генетического типа. и статьи Нильса Алла Барричелли из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси . Австралийский генетик Алекс Фрейзер также опубликовал в 1957 году серию статей по моделированию генетического типа искусственного отбора организмов.

Квантовые методы Монте-Карло и, более конкретно, диффузионные методы Монте-Карло также можно интерпретировать как аппроксимацию интегралов по траекториям Фейнмана-Каца частицами среднего поля. Истоки квантовых методов Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые в 1948 году разработали интерпретацию нейтронных цепных реакций частицами среднего поля. но первый алгоритм частиц эвристического и генетического типа (также известный как методы Монте-Карло с повторной выборкой или реконфигурацией) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в моделях с уменьшенной матрицей) принадлежит Джеку Х. Хетерингтону в 1984 году. В молекулярной химии использование генетических эвристических методов частиц (также известных как стратегии обрезки и обогащения) можно проследить до 1955 года, когда появилась плодотворная работа Маршалла. Н. Розенблют и Арианна. В. Розенблют.

Первыми новаторскими статьями о применении этих эвристических методов частиц в задачах нелинейной фильтрации были независимые исследования Нила Гордона, Дэвида Салмона и Адриана Смита (бутстреп-фильтр), Генширо Китагава (фильтр Монте-Карло), и работа Химилькона Карвальо, Пьера Дель Мораля, Андре Монена и Жерара Салюта. опубликовано в 1990-х годах. Термин «взаимодействующие фильтры частиц» был впервые введен в 1996 году Дель Моралем. Фильтры частиц также были разработаны для обработки сигналов в начале 1989–1992 годов П. Дель Моралем, Дж. К. Нойером, Г. Ригалом и Г. Салютом в LAAS-CNRS в серии ограниченных и засекреченных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), ИТ-компания DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов RADAR/SONAR и GPS.

Основы и первый строгий анализ сходимости моделей генетического типа и методов частиц среднего поля Фейнмана-Каца принадлежат Пьеру Дель Моралю. в 1996 году. Методы частиц разветвленного типа с различными размерами популяции были также разработаны в конце 1990-х годов Дэном Крисаном, Джессикой Гейнс и Терри Лайонсом, и Дэн Крисан, Пьер Дель Мораль и Терри Лайонс. Первые результаты равномерной сходимости по временному параметру для моделей частиц среднего поля были получены в конце 1990-х годов Пьером Дель Моралем и Алисой Гионне. для взаимодействующих процессов скачкообразного типа и Флорана Мальье для процессов нелинейного диффузионного типа.

Новые классы методов моделирования частиц среднего поля для задач интеграции путей Фейнмана-Каца включают модели на основе генеалогического дерева, модели обратных частиц, адаптивные модели частиц среднего поля, модели частиц островного типа, и методы Монте-Карло для цепей Маркова

Приложения

В физике и, в частности, в статистической механике , эти нелинейные эволюционные уравнения часто используются для описания статистического поведения микроскопических взаимодействующих частиц в жидкости или в каком-либо конденсированном веществе. В этом контексте случайная эволюция виртуальной жидкости или частицы газа представлена ​​диффузионными процессами Маккина-Власова , системами реакции-диффузии или процессами столкновений типа Больцмана . Как следует из названия, модель частиц среднего поля представляет собой коллективное поведение микроскопических частиц, слабо взаимодействующих со своими мерами заполнения. Макроскопическое поведение этих систем многих тел заключено в предельной модели, полученной, когда размер популяции стремится к бесконечности. Уравнения Больцмана представляют макроскопическую эволюцию сталкивающихся частиц в разреженных газах, а диффузия Маккина-Власова представляет макроскопическое поведение жидких частиц и гранулированных газов.

В вычислительной физике и, более конкретно, в квантовой механике , энергии основного состояния квантовых систем связаны с вершиной спектра операторов Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера — это квантовомеханическая версия второго закона движения Ньютона классической механики (масса, умноженная на ускорение, равна сумме сил). Это уравнение представляет собой эволюцию волновой функции (так называемого квантового состояния) некоторой физической системы, включая молекулярные, атомные или субатомные системы, а также макроскопические системы, такие как Вселенная. Решение уравнения Шредингера во мнимом времени (также известного как уравнение теплопроводности) дается распределением Фейнмана-Каца, связанным с марковским процессом свободной эволюции (часто представляемым броуновскими движениями) в наборе электронных или макромолекулярных конфигураций и некоторой функции потенциальной энергии. Поведение этих нелинейных полугрупп в длительном времени связано с верхними собственными значениями и энергиями основного состояния операторов Шредингера. Интерпретация среднего поля генетического типа этих моделей Фейнмана-Каца называется методами Resample Monte Carlo или Diffusion Monte Carlo. Эти эволюционные алгоритмы ветвящегося типа основаны на мутационных и селекционных переходах. Во время мутационного перехода ходоки эволюционируют случайным образом и независимо в ландшафте потенциальной энергии конфигураций частиц. Процесс выбора среднего поля (он же квантовая телепортация, реконфигурация популяции, переход с повторной выборкой) связан с функцией приспособленности, которая отражает поглощение частиц в энергетической яме. Конфигурации с низкой относительной энергией дублируются с большей вероятностью. В молекулярной химии и статистической физике методы среднего поля частиц также используются для выборки мер Больцмана-Гиббса , связанных с некоторым графиком охлаждения, и для вычисления их нормализующих констант (также известных как свободные энергии или статистические суммы).

В вычислительной биологии и, более конкретно, в популяционной генетике , пространственные ветвящиеся процессы с механизмами конкурентного отбора и миграции также могут быть представлены моделями динамики популяций генетического типа среднего поля . Первые моменты мер занятости пространственного ветвящегося процесса задаются потоками распределения Фейнмана-Каца. Аппроксимация этих потоков генетического типа среднего поля предлагает интерпретацию этих ветвящихся процессов с фиксированным размером популяции. Вероятности вымирания можно интерпретировать как вероятности поглощения некоторого марковского процесса, развивающегося в некоторой поглощающей среде. Эти модели поглощения представлены моделями Фейнмана-Каца. Долговременное поведение этих процессов, обусловленное неугасанием, можно эквивалентным образом выразить с помощью квазиинвариантных мер , Яглома пределов или инвариантные меры нелинейных нормированных потоков Фейнмана-Каца.

В компьютерных науках , и, в частности, в искусственном интеллекте, эти генетические алгоритмы типа среднего поля используются в качестве эвристики случайного поиска, которая имитирует процесс эволюции для генерации полезных решений сложных задач оптимизации. Эти алгоритмы стохастического поиска относятся к классу эволюционных моделей . Идея состоит в том, чтобы распространить популяцию возможных решений-кандидатов, используя механизмы мутации и отбора. Взаимодействие среднего поля между особями заключено в механизмах отбора и перекрестного взаимодействия.

В играх среднего поля и теориях многоагентных взаимодействующих систем процессы среднего поля частиц используются для представления коллективного поведения сложных систем с взаимодействующими индивидуумами. В этом контексте взаимодействие среднего поля инкапсулируется в процессе принятия решений взаимодействующими агентами. Предельную модель, поскольку число агентов стремится к бесконечности, иногда называют моделью континуума агентов.

В теории информации и, более конкретно, в статистическом машинном обучении и обработке сигналов , методы средних частиц поля используются для последовательной выборки из условных распределений некоторого случайного процесса относительно последовательности наблюдений или каскада редких событий . В задачах нелинейной фильтрации с дискретным временем условные распределения случайных состояний сигнала с учетом частичных и зашумленных наблюдений удовлетворяют нелинейному уравнению эволюции прогнозирования обновления. Шаг обновления задается правилом Байеса , а шаг прогнозирования представляет собой уравнение переноса Чепмена-Колмогорова . Интерпретация этих уравнений нелинейной фильтрации частицами среднего поля представляет собой алгоритм частиц выбора-мутации генетического типа. На этапе мутации частицы развиваются независимо друг от друга в соответствии с марковскими переходами сигнала. На этапе отбора частицы с малыми значениями относительной вероятности уничтожаются, а частицы с высокими относительными значениями умножаются. Эти методы среднего поля частиц также используются для решения задач отслеживания нескольких объектов, а точнее, для оценки мер ассоциации.

Версия этих моделей частиц с непрерывным временем представляет собой интерпретацию частиц типа Морана в среднем поле уравнений эволюции робастных оптимальных фильтров или стохастического уравнения в частных производных Кушнера-Стратонотича. Эти алгоритмы среднего поля частиц генетического типа, также называемые фильтрами частиц и последовательными методами Монте-Карло, широко и регулярно используются в исследованиях операций и статистических выводах.. Термин «фильтры частиц» впервые был предложен в 1996 году Дель Моралем. и термин «последовательный Монте-Карло» Лю и Чена в 1998 году. Моделирование подмножества и разделение Монте-Карло. методы являются частными примерами схем генетических частиц и моделей частиц Фейнмана-Каца, оснащенных Монте-Карло цепи Маркова. мутационными переходами

Иллюстрации метода моделирования среднего поля

Счётные модели пространства состояний

Чтобы мотивировать алгоритм моделирования среднего поля, мы начинаем с S, , или счетного пространства состояний и позволяем P ( S ) обозначать набор всех вероятностных мер на S. конечного Рассмотрим последовательность вероятностных распределений $(\eta _{0},\eta _{1},\cdots )$ на S, удовлетворяющем эволюционному уравнению:

$\eta _{n+1}=\Phi (\eta _{n})$ ( 1 )

для некоторого, возможно, нелинейного отображения $\Phi :P(S)\to P(S).$ Эти распределения задаются векторами

$\eta _{n}=(\eta _{n}(x))_{x\in S},$

которые удовлетворяют:

$0\leqslant \eta _{n}(x)\leqslant 1,\qquad \sum \nolimits _{x\in S}\eta _{n}(x)=1.$

Поэтому, $\Phi$ представляет собой отображение из $(s-1)$- симплекс единицы в себя, где s обозначает мощность множества S . Когда s слишком велико, решение уравнения ( 1 ) затруднительно или требует очень больших вычислительных затрат. Одним из естественных способов аппроксимации этих эволюционных уравнений является последовательное сокращение пространства состояний с использованием модели частиц среднего поля. Одна из простейших схем моделирования среднего поля определяется цепью Маркова.

$\xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)$

на продуктовом пространстве $S^{N}$, начиная с N независимых случайных величин с распределением вероятностей $\eta _{0}$ и элементарные переходы

$\mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)\left(y^{i}\right),$

с эмпирической мерой

$\eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}$

где $1_{x}$ – индикаторная функция состояния x .

Другими словами, учитывая $\xi _{n}^{(N)}$ образцы $\xi _{n+1}^{(N)}$ являются независимыми случайными величинами с распределением вероятностей $\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)$. Обоснование этого метода моделирования среднего поля следующее: мы ожидаем, что когда $\eta _{n}^{N}$ является хорошим приближением $\eta _{n}$, затем $\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)$ является приближением $\Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}$. Таким образом, поскольку $\eta _{n+1}^{N}$ — эмпирическая мера N условно независимых случайных величин с общим распределением вероятностей. $\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)$, мы ожидаем $\eta _{n+1}^{N}$ быть хорошим приближением $\eta _{n+1}$.

Другая стратегия — найти коллекцию

$K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}$

стохастических матриц, индексированных $\eta _{n}\in P(S)$ такой, что

$\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)K_{\eta _{n}}(x,y)=\Phi (\eta _{n})(y)=\eta _{n+1}(y)$ ( 2 )

Эта формула позволяет интерпретировать последовательность $(\eta _{0},\eta _{1},\cdots )$ как распределения вероятностей случайных состояний $\left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)$ модели нелинейной цепи Маркова с элементарными переходами

$\mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}=y\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=K_{\eta _{n}}(x,y),\qquad {\text{Law}}({\overline {X}}_{n})=\eta _{n}.$

Коллекция марковских переходов $K_{\eta _{n}}$ удовлетворяющая уравнению ( 1 ), называется маккиновской интерпретацией последовательности мер $\eta _{n}$.Интерпретация ( 2 ) частицами среднего поля теперь определяется цепью Маркова

$\xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)$

на продуктовом пространстве $S^{N}$, начиная с N независимых случайных копий $X_{0}$ и элементарные переходы

$\mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y^{i}\right),$

с эмпирической мерой

$\eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}$

При некоторых слабых условиях регулярности на картографировании $\Phi$ для любой функции $f:S\to \mathbf {R}$, мы имеем почти уверенную сходимость

${\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)$

Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на неоднородные по времени модели в общих измеримых пространствах состояний.

Модели Фейнмана-Каца

Для иллюстрации абстрактных моделей, представленных выше, рассмотрим стохастическую матрицу $M=(M(x,y))_{x,y\in S}$ и некоторая функция $G:S\to (0,1)$. Сопоставим этим двум объектам отображение

${\begin{cases}\Phi :P(S)\to P(S)\\(\eta _{n}(x))_{x\in S}\mapsto \left(\Phi (\eta _{n})(y)\right)_{y\in S}\end{cases}}\qquad \Phi (\eta _{n})(y)=\sum _{x\in S}\Psi _{G}(\eta _{n})(x)M(x,y)$

и меры Больцмана-Гиббса $\Psi _{G}(\eta _{n})(x)$ определяется

$\Psi _{G}(\eta _{n})(x)={\frac {\eta _{n}(x)G(x)}{\sum _{z\in S}\eta _{n}(z)G(z)}}.$

Обозначим через $K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}$ совокупность стохастических матриц, индексированных $\eta _{n}\in P(S)$ данный

$K_{\eta _{n}}(x,y)=\epsilon G(x)M(x,y)+(1-\epsilon G(x))\Phi (\eta _{n})(y)$

по какому-то параметру $\epsilon \in [0,1]$. Легко проверить, что уравнение ( 2 ) удовлетворяется. Кроме того, мы можем также показать (см., например, ), что решение ( 1 ) дается формулой Фейнмана-Каца

$\eta _{n}(x)={\frac {E\left(1_{x}(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}},$

с цепью Маркова $X_{n}$ с первоначальным распространением $\eta _{0}$ и марковский переход М .

Для любой функции $f:S\to \mathbf {R}$ у нас есть

$\eta _{n}(f):=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)={\frac {E\left(f(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}}$

Если $G(x)=1$ - единичная функция и $\epsilon =1$, тогда мы имеем

$K_{\eta _{n}}(x,y)=M(x,y)=\mathbf {P} \left(\left.X_{n+1}=y\right|X_{n}=x\right),\qquad \eta _{n}(x)=E\left(1_{x}(X_{n})\right)=\mathbf {P} (X_{n}=x).$

И уравнение ( 2 ) сводится к уравнению Чепмена-Колмогорова

$\eta _{n+1}(y)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)M(x,y)\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {P} \left(X_{n+1}=y\right)=\sum _{x\in S}\mathbf {P} (X_{n+1}=y|X_{n}=x)\mathbf {P} \left(X_{n}=x\right)$

Интерпретация этой модели Фейнмана-Каца для частиц среднего поля определяется путем последовательной выборки N условно независимых случайных величин. $\xi _{n+1}^{(N,i)}$ с распределением вероятностей

$K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)=\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)\sum _{j=1}^{N}{\frac {G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}{\sum _{k=1}^{N}G\left(\xi _{n}^{(N,k)}\right)}}M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right)$

Другими словами, с вероятностью $\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)$ частица $\xi _{n}^{(N,i)}$ переходит в новое состояние $\xi _{n+1}^{(N,i)}=y$ случайно выбранный с распределением вероятностей $M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)$; в противном случае, $\xi _{n}^{(N,i)}$ прыгает в новое место $\xi _{n}^{(N,j)}$ выбрано случайно с вероятностью, пропорциональной $G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)$ и переходит в новое состояние $\xi _{n+1}^{(N,i)}=y$ случайно выбранный с распределением вероятностей $M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right).$ Если $G(x)=1$ - единичная функция и $\epsilon =1$взаимодействие между частицей исчезает и модель частицы сводится к последовательности независимых копий цепи Маркова $X_{n}$. Когда $\epsilon =0$ Описанная выше модель частиц среднего поля сводится к простому генетическому алгоритму выбора мутации с функцией приспособленности G и мутационным переходом M . Эти нелинейные модели цепей Маркова и их интерпретация частиц среднего поля могут быть расширены до неоднородных по времени моделей в общих измеримых пространствах состояний (включая переходные состояния, пространства путей и пространства случайных отклонений) и моделей с непрерывным временем.

Гауссовы нелинейные модели пространства состояний

Мы рассматриваем последовательность действительных случайных величин $\left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)$ определяется последовательно уравнениями

${\overline {X}}_{n+1}=E\left(a\left({\overline {X}}_{n}\right)\right)b\left({\overline {X}}_{n}\right)+c\left({\overline {X}}_{n}\right)+\sigma W_{n}$ ( 3 )

с коллекцией $W_{n}$ независимых стандартных гауссовских случайных величин, положительного параметра σ , некоторых функций $a,b,c:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,$ и некоторое стандартное гауссово начальное случайное состояние ${\overline {X}}_{0}$. Мы позволяем $\eta _{n}$ быть распределением вероятностей случайного состояния ${\overline {X}}_{n}$; то есть для любой ограниченной измеримой функции f имеем

$E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(x)\eta _{n}(dx),$

с

$\mathbf {P} \left({\overline {X}}_{n}\in dx\right)=\eta _{n}(dx)$

Интеграл является интегралом Лебега , а dx обозначает бесконечно малую окрестность состояния x . Марковский переход цепи задается для любых ограниченных измеримых функций f формулой

$E\left(\left.f\left({\overline {X}}_{n+1}\right)\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=\int _{\mathbf {R} }K_{\eta _{n}}(x,dy)f(y),$

с

$K_{\eta _{n}}(x,dy)=\mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}\in dy\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\left[b(x)\int _{\mathbf {R} }a(z)\eta _{n}(dz)+c(x)\right]\right)^{2}\right\}}dy$

Используя свойство башни условных ожиданий, мы доказываем, что распределения вероятностей $\eta _{n}$ удовлетворяют нелинейному уравнению

$\int _{\mathbf {R} }\eta _{n+1}(dy)f(y)=\int _{\mathbf {R} }\left[\int _{\mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)\right]f(y)$

для любых ограниченных измеримых функций f . Иногда это уравнение записывают в более синтетической форме

$\eta _{n+1}=\Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n}K_{\eta _{n}}\quad \Leftrightarrow \quad \eta _{n+1}(dy)=\left(\eta _{n}K_{\eta _{n}}\right)(dy)=\int _{x\in \mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)$

Интерпретация этой модели частицами среднего поля определяется цепью Маркова.

$\xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)$

на продуктовом пространстве $\mathbf {R} ^{N}$ к

$\xi _{n+1}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+c\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+\sigma W_{n}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N$

где

$\xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left(W_{n}^{1},\cdots ,W_{n}^{N}\right)$

обозначают N независимых копий ${\overline {X}}_{0}$ и $W_{n};n\geqslant 1,$ соответственно. Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций a , b , c ) мы имеем сходимость почти наверняка

${\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}(dy),$

с эмпирической мерой

$\eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{(N,i)}}$

для любых ограниченных измеримых функций f (ср., например, ). На приведенном выше дисплее $\delta _{x}$ обозначает меру Дирака в состоянии x .

Модели среднего поля в непрерывном времени

Рассмотрим стандартное броуновское движение ${\overline {W}}_{t_{n}}$ (он же Винеровский процесс ), оцениваемый на временной сетке $t_{0}=0<t_{1}<\cdots <t_{n}<\cdots$ с заданным шагом по времени $t_{n}-t_{n-1}=h$. Мы выбираем $c(x)=x$ в уравнении ( 1 ) заменим $b(x)$ и σ через $b(x)\times h$ и $\sigma \times {\sqrt {h}}$, и мы пишем ${\overline {X}}_{t_{n}}$ вместо ${\overline {X}}_{n}$ значения случайных состояний, оцененные на временном шаге $t_{n}.$ напоминая, что $\left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)$ являются независимыми центрированными гауссовскими случайными величинами с дисперсией $t_{n}-t_{n-1}=h,$ полученное уравнение можно переписать в следующем виде

${\overline {X}}_{t_{n+1}}-{\overline {X}}_{t_{n}}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t_{n}}\right)\right)b({\overline {X}}_{t_{n}})h+\sigma \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)$ ( 4 )

Когда h → 0, приведенное выше уравнение сходится к нелинейному процессу диффузии

$d{\overline {X}}_{t}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t}\right)\right)b({\overline {X}}_{t})dt+\sigma d{\overline {W}}_{t}$

Модель среднего поля с непрерывным временем, связанная с этими нелинейными диффузиями, представляет собой (взаимодействующий) процесс диффузии. $\xi _{t}^{(N)}=\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}$ на продуктовом пространстве $\mathbf {R} ^{N}$ определяется

$d\xi _{t}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)+\sigma d{\overline {W}}_{t}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N$

где

$\xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left({\overline {W}}_{t}^{1},\cdots ,{\overline {W}}_{t}^{N}\right)$

являются N независимыми копиями ${\overline {X}}_{0}$ и ${\overline {W}}_{t}.$ Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций a , b ) мы имеем сходимость почти наверняка

${\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{t})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}(dy)$,

с $\eta _{t}={\text{Law}}\left({\overline {X}}_{t}\right),$ и эмпирическая мера

$\eta _{t}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{t}^{(N,i)}}$

для любых ограниченных измеримых функций f (см., например. ). Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на взаимодействующие процессы скачкообразной диффузии.

Внешние ссылки

• Модели Фейнмана-Каца и взаимодействующие системы частиц , теоретические аспекты и список областей применения методов частиц Фейнмана-Каца
• Ресурсы о последовательном методе Монте-Карло и фильтрах частиц
• Ресурсы «Взаимодействующие системы частиц»
• QMC в Кембридже и по всему миру , общая информация о Quantum Monte Carlo
• Программный комплекс EVOLVER для стохастической оптимизации с использованием генетических алгоритмов
• Программа CASINO Quantum Monte Carlo, разработанная группой теории конденсированного состояния Кавендишской лаборатории в Кембридже.
• Biips — это программное обеспечение для вероятностного программирования для байесовского вывода с взаимодействующими системами частиц.