Математическая логика

О теории Куайна, которую иногда называют «Математической логикой», см. « Новые основы ». Чтобы узнать о других значениях, см. Логика (значения) .

Математическая логика — это изучение формальной логики в математике . Основные разделы включают теорию моделей , теорию доказательств , теорию множеств и теорию рекурсии (также известную как теория вычислимости). Исследования в области математической логики обычно обращаются к математическим свойствам формальных систем логики, таким как их выразительная или дедуктивная сила. Однако оно также может включать использование логики для характеристики правильных математических рассуждений или установления основ математики .

С момента своего создания математическая логика способствовала изучению основ математики и была мотивирована им. Это исследование началось в конце 19 века с разработки аксиоматических основ геометрии , арифметики и анализа . В начале 20 века она была сформирована Дэвида Гильберта , программой направленной на доказательство непротиворечивости фундаментальных теорий. Результаты Курта Гёделя , Герхарда Генцена и других частично разрешили программу и прояснили проблемы, связанные с доказательством последовательности. Работы в области теории множеств показали, что почти вся обычная математика может быть формализована в терминах множеств, хотя есть некоторые теоремы, которые невозможно доказать в обычных системах аксиом теории множеств. Современные работы по основам математики часто фокусируются на установлении того, какие части математики могут быть формализованы в определенных формальных системах (как в обратной математике ), а не на попытках найти теории, в которых можно развивать всю математику.

Подполя и область действия

Справочник по математической логике в 1977 году проводит грубое разделение современной математической логики на четыре области:

1. теория множеств
2. теория моделей
3. теория рекурсии и
4. теория доказательств и конструктивная математика (рассматриваются как части единого направления).

Кроме того, иногда область теории сложности вычислений также включается в состав математической логики. Каждая область имеет свою конкретную направленность, хотя многие методы и результаты являются общими для нескольких областей. Границы между этими областями и линии, разделяющие математическую логику и другие области математики, не всегда четкие. Теорема Гёделя о неполноте знаменует собой не только важную веху в теории рекурсии и теории доказательств, но также привела к теореме Лёба в модальной логике. Метод принуждения используется в теории множеств, теории моделей и теории рекурсии, а также при изучении интуиционистской математики.

Математическая область теории категорий использует множество формальных аксиоматических методов и включает изучение категориальной логики , но теория категорий обычно не считается подобластью математической логики. Из-за ее применимости в различных областях математики математики, в том числе Сондерс Мак Лейн, предложили теорию категорий в качестве основополагающей системы математики, независимой от теории множеств. Эти основы используют топосы , которые напоминают обобщенные модели теории множеств, которые могут использовать классическую или неклассическую логику.

История

Математическая логика возникла в середине 19 века как раздел математики, отражающий слияние двух традиций: формальной философской логики и математики. Математическая логика, также называемая «логистикой», «символической логикой», « алгеброй логики », а в последнее время просто «формальной логикой», представляет собой набор логических теорий, разработанных в течение девятнадцатого века с помощью искусственные обозначения и строго дедуктивный метод. До этого появления логика изучалась с помощью риторики , с расчетами , через силлогизм и с помощью философии . В первой половине 20-го века произошел взрыв фундаментальных результатов, сопровождавшийся энергичными дискуссиями по поводу оснований математики.

Ранняя история

Дополнительная информация: История логики.

Теории логики развивались во многих культурах в истории, включая Китай , Индию , Грецию и исламский мир . Греческие методы, особенно аристотелевская логика (или логика терминов), найденная в « Органоне» , на протяжении тысячелетий находили широкое применение и признание в западной науке и математике. Стоики Хрисипп , особенно , начали разработку логики предикатов . В Европе XVIII века попытки трактовать операции формальной логики символическим или алгебраическим способом предпринимались математиками-философами, включая Лейбница и Ламберта , но их работы оставались изолированными и малоизвестными.

19 век

В середине девятнадцатого века Джордж Буль , а затем Огастес Де Морган представили систематическую математическую трактовку логики. Их работа, основанная на работах алгебраистов, таких как Джордж Пикок , расширила традиционную аристотелевскую доктрину логики до достаточной основы для изучения основ математики . В 1847 году Ватрослав Бертич независимо от Буля проделал значительную работу по алгебраизации логики. Позже Чарльз Сандерс Пирс, опираясь на работы Буля, разработал логическую систему отношений и кванторов, которую он опубликовал в нескольких статьях с 1870 по 1885 год.

Готтлоб Фреге представил независимое развитие логики с помощью кванторов в своей работе Begriffsschrift , опубликованной в 1879 году, работе, которую обычно считают поворотным моментом в истории логики. Однако работа Фреге оставалась малоизвестной до тех пор, пока Бертран Рассел не начал продвигать ее на рубеже веков. Двумерная нотация, разработанная Фреге, никогда не получила широкого распространения и не используется в современных текстах.

С 1890 по 1905 год Эрнст Шредер опубликовал «Vorlesungen über die Algebra der Logik» в трёх томах. Эта работа обобщила и расширила работы Буля, Де Моргана и Пирса и представляла собой всеобъемлющую ссылку на символическую логику, как ее понимали в конце XIX века.

Фундаментальные теории

Опасения по поводу того, что математика не была построена на надлежащем фундаменте, привели к разработке аксиоматических систем для фундаментальных областей математики, таких как арифметика, анализ и геометрия.

В логике термин арифметика относится к теории натуральных чисел . Джузеппе Пеано опубликовал набор аксиом арифметики, который стал носить его имя ( аксиомы Пеано ), используя вариант логической системы Буля и Шредера, но добавляя кванторы. В то время Пеано не знал о работах Фреге. Примерно в то же время Ричард Дедекинд показал, что натуральные числа однозначно характеризуются своими индукционными свойствами. Дедекинд предложил иную характеристику, лишенную формально-логического характера аксиом Пеано. Работа Дедекинда, однако, доказала теоремы, недоступные в системе Пеано, включая уникальность набора натуральных чисел (с точностью до изоморфизма) и рекурсивные определения сложения и умножения из функции-последователя и математической индукции.

В середине XIX века стали известны недостатки аксиом Евклида в геометрии. Помимо самостоятельности постулата параллельности , установленного Николаем Лобачевским в 1826 г., математики обнаружили, что некоторые теоремы, которые Евклид считал само собой разумеющимися, на самом деле не доказуемы на основе его аксиом. Среди них есть теорема о том, что линия содержит по крайней мере две точки или что круги одного радиуса, центры которых разделены этим радиусом, должны пересекаться. Гильберт разработал полный набор аксиом геометрии , основываясь на предыдущих работах Паша. Успех в аксиоматизации геометрии побудил Гильберта искать полную аксиоматизацию других областей математики, таких как натуральные числа и действительная прямая . Это оказалось основной областью исследований в первой половине 20 века.

В 19 веке произошли большие успехи в теории реального анализа , включая теории сходимости функций и рядов Фурье . Математики, такие как Карл Вейерштрасс, начали конструировать функции, расширяющие интуицию, например, нигде не дифференцируемые непрерывные функции . Предыдущие представления о функции как правиле вычислений или о гладком графике уже не были адекватными. Вейерштрасс начал выступать за арифметизацию анализа , стремясь аксиоматизировать анализ с использованием свойств натуральных чисел. Современное (ε, δ)-определение предельных и непрерывных функций было разработано Больцано уже в 1817 году: но остался относительно неизвестным. Коши в 1821 году определил непрерывность в терминах бесконечно малых (см. «Кур анализа», стр. 34). В 1858 году Дедекинд предложил определение действительных чисел с точки зрения дедекиндовских разрезов рациональных чисел, определение, которое до сих пор используется в современных текстах.

Георг Кантор разработал фундаментальные концепции теории бесконечных множеств. Его ранние результаты развили теорию мощности и доказали , что действительные и натуральные числа имеют разную мощность. В течение следующих двадцати лет Кантор разработал теорию трансфинитных чисел в серии публикаций. В 1891 году он опубликовал новое доказательство несчетности действительных чисел, которое ввело диагональный аргумент , и использовал этот метод для доказательства теоремы Кантора о том, что ни одно множество не может иметь ту же мощность, что и его набор степеней . Кантор считал, что каждое множество может быть хорошо упорядочено , но не смог доказать этот результат, оставив его открытой проблемой в 1895 году.

20 век

В первые десятилетия 20 века основными областями исследования были теория множеств и формальная логика. Открытие парадоксов в неформальной теории множеств заставило некоторых задуматься о том, непротиворечива ли сама математика, и искать доказательства непротиворечивости.

В 1900 году Гильберт сформулировал знаменитый список из 23 проблем на следующее столетие. Первые два из них должны были разрешить гипотезу континуума и доказать непротиворечивость элементарной арифметики соответственно; десятым было создание метода, который мог бы определить, многомерное полиномиальное уравнение над целыми числами имеет ли решение . Последующая работа по решению этих проблем сформировала направление математической логики, как и попытка решить проблему Гильберта Entscheidungsproblem , поставленную в 1928 году. Эта проблема требовала процедуры, которая могла бы решить, учитывая формализованное математическое утверждение, является ли это утверждение истинным или ложным.

Теория множеств и парадоксы

Эрнст Цермело доказал, что каждое множество может быть хорошо упорядочено этого результата . , но Георг Кантор не смог получить Чтобы добиться доказательства, Цермело ввел аксиому выбора , которая вызвала горячие споры и исследования среди математиков и пионеров теории множеств. Немедленная критика метода побудила Цермело опубликовать второе изложение своего результата, непосредственно отвечая на критику его доказательства. Эта статья привела к всеобщему признанию аксиомы выбора в математическом сообществе.

Скептицизм в отношении аксиомы выбора был усилен недавно обнаруженными парадоксами в наивной теории множеств . Чезаре Бурали-Форти был первым, кто сформулировал парадокс: парадокс Бурали-Форти показывает, что совокупность всех порядковых чисел не может образовывать множество. Вскоре после этого Бертран Рассел открыл парадокс Рассела в 1901 году, а Жюль Ришар открыл парадокс Ришара .

Цермело предоставил первый набор аксиом теории множеств. Эти аксиомы вместе с дополнительной аксиомой замены, предложенной Абрахамом Френкелем , теперь называются теорией множеств Цермело – Френкеля (ZF). Аксиомы Цермело включали принцип ограничения размера , чтобы избежать парадокса Рассела.

первый том «Принципов математики» Рассела и Альфреда Норт Уайтхедов В 1910 году был опубликован . Эта плодотворная работа разработала теорию функций и мощности в совершенно формальной структуре теории типов , которую Рассел и Уайтхед разработали, пытаясь избежать парадоксов. Principia Mathematica считается одной из самых влиятельных работ 20-го века, хотя теория типов не оказалась популярной в качестве основополагающей теории математики.

Френкель доказал, что аксиома выбора не может быть доказана из аксиом теории множеств Цермело с урэлементами . Более поздняя работа Пола Коэна показал, что добавление urelements не требуется и аксиома выбора недоказуема в ZF. Доказательство Коэна развило метод принуждения , который сейчас является важным инструментом для установления результатов независимости в теории множеств.

Символическая логика

Леопольд Левенхайм и Торальф Скулем получил теорему Левенхайма-Скулема , которая гласит, что логика первого порядка не может контролировать мощности бесконечных структур. Скулем понял, что эта теорема применима к формализациям теории множеств первого порядка и что из нее следует, что любая такая формализация имеет счетную модель . Этот противоречивый факт стал известен как парадокс Скулема .

В своей докторской диссертации Курт Гёдель доказал теорему о полноте , устанавливающую соответствие между синтаксисом и семантикой в ​​логике первого порядка. Гёдель использовал теорему о полноте для доказательства теоремы о компактности первого порядка , демонстрируя финитную природу логического следствия . Эти результаты помогли установить логику первого порядка как доминирующую логику, используемую математиками.

В 1931 году Гёдель опубликовал книгу «О формально неразрешимых положениях принципов математики и родственных систем» , в которой доказал неполноту (в другом смысле слова) всех достаточно сильных, эффективных теорий первого порядка. Этот результат, известный как теорема Гёделя о неполноте , устанавливает серьезные ограничения на аксиоматические основы математики, нанося сильный удар по программе Гильберта. Он показал невозможность обеспечить доказательство непротиворечивости арифметики в рамках какой-либо формальной теории арифметики. Гильберт, однако, некоторое время не признавал важности теоремы о неполноте.

Теорема Гёделя показывает, что доказательство непротиворечивости любой достаточно сильной и эффективной системы аксиом не может быть получено ни в самой системе, если она непротиворечива, ни в какой-либо более слабой системе. Это оставляет открытой возможность доказательств непротиворечивости, которые не могут быть формализованы в рамках рассматриваемой системы. Генцен доказал непротиворечивость арифметики, используя финитистскую систему вместе с принципом трансфинитной индукции . Результат Генцена представил идеи исключения разрезов и теоретико-доказательных ординалов , которые стали ключевыми инструментами в теории доказательств. Гёдель дал другое доказательство непротиворечивости, которое сводит непротиворечивость классической арифметики к интуиционистской арифметике высших типов.

Первый учебник по символической логике для обывателя написал Льюис Кэрролл , автор книги «Приключения Алисы в стране чудес» , 1896 год.

Начало других ветвей

Альфред Тарский разработал основы теории моделей .

Начиная с 1935 года группа выдающихся математиков под псевдонимом Николя Бурбаки опубликовала Éléments de mathématique» серию энциклопедических математических текстов « . Эти тексты, написанные в строгом и аксиоматическом стиле, подчеркивали строгое изложение и теоретико-множественные основы. Терминология, придуманная в этих текстах, такая как слова «биекция» , «инъекция » и «сюръекция» , а также теоретико-множественные основы, используемые в этих текстах, получили широкое распространение в математике.

Изучение вычислимости стало известно как теория рекурсии или теория вычислимости , поскольку ранние формализации Гёделя и Клини основывались на рекурсивных определениях функций. Когда эти определения были эквивалентны формализации Тьюринга с использованием машин Тьюринга , стало ясно, что новая концепция – вычислимая функция была открыта – и что это определение было достаточно надежным, чтобы допускать многочисленные независимые характеристики. В своей работе над теоремами о неполноте в 1931 году Гёделю не хватало строгой концепции эффективной формальной системы; он сразу понял, что для этой цели можно использовать новые определения вычислимости, что позволит ему сформулировать теоремы о неполноте в общем виде, которые могли только подразумеваться в исходной статье.

Многочисленные результаты в теории рекурсии были получены в 1940-х годах Стивеном Коулом Клини и Эмилем Леоном Постом . Клини ввел концепции относительной вычислимости, предложенные Тьюрингом, и арифметическая иерархия . Позже Клини обобщил теорию рекурсии на функционалы более высокого порядка. Клини и Георг Крайзель изучали формальные версии интуиционистской математики, особенно в контексте теории доказательств.

Формальные логические системы

По своей сути математическая логика имеет дело с математическими понятиями, выраженными с помощью формальных логических систем . Эти системы, хотя и различаются во многих деталях, имеют общее свойство рассматривать только выражения на фиксированном формальном языке . Системы логики высказываний и логики первого порядка сегодня наиболее широко изучаются из-за их применимости к основам математики и из-за их желательных теоретико-доказательных свойств. более сильные классические логики, такие как логика второго порядка или бесконечная логика Также изучаются , а также неклассические логики, такие как интуиционистская логика .

Логика первого порядка

Основная статья: Логика первого порядка

Логика первого порядка — это особая формальная система логики . Его синтаксис включает в себя только конечные выражения в виде правильно построенных формул , в то время как его семантика характеризуется ограничением всех кванторов фиксированной областью дискурса .

Ранние результаты формальной логики установили ограничения логики первого порядка. Теорема Левенхайма-Скулема (1919) показала, что если набор предложений счетного языка первого порядка имеет бесконечную модель, то он имеет хотя бы одну модель каждой бесконечной мощности. Это показывает, что набор аксиом первого порядка не может характеризовать натуральные числа, действительные числа или любую другую бесконечную структуру с точностью до изоморфизма . Поскольку целью ранних фундаментальных исследований было создание аксиоматических теорий для всех разделов математики, это ограничение было особенно резким.

Теорема Гёделя о полноте установила эквивалентность между семантическими и синтаксическими определениями логического следствия в логике первого порядка. Он показывает, что если конкретное предложение истинно в каждой модели, удовлетворяющей определенному набору аксиом, то должен быть конечный вывод предложения из аксиом. Теорема о компактности впервые появилась как лемма в доказательстве Гёделя теоремы о полноте, и потребовалось много лет, прежде чем логики осознали ее значение и начали применять ее регулярно. Он говорит, что набор предложений имеет модель тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество имеет модель, или, другими словами, несовместимый набор формул должен иметь конечное несовместимое подмножество. Теоремы о полноте и компактности позволяют проводить сложный анализ логических следствий в логике первого порядка и развивать теорию моделей , а также являются ключевой причиной выдающегося положения логики первого порядка в математике.

Теоремы Гёделя о неполноте устанавливают дополнительные ограничения на аксиоматизации первого порядка. Первая теорема о неполноте утверждает, что для любой непротиворечивой, эффективно заданной (определенной ниже) логической системы, способной интерпретировать арифметику, существует утверждение, которое истинно (в том смысле, что оно справедливо для натуральных чисел), но не доказуемо в рамках этой логической системы. системе (и которая действительно может потерпеть неудачу в некоторых нестандартных моделях арифметики , которые могут быть совместимы с логической системой). Например, в каждой логической системе, способной выразить аксиомы Пеано , предложение Гёделя справедливо для натуральных чисел, но не может быть доказано.

Здесь говорят, что логическая система эффективно задана, если по любой формуле на языке системы можно решить, является ли эта формула аксиомой, а та, которая может выразить аксиомы Пеано, называется «достаточно сильной». Применительно к логике первого порядка первая теорема о неполноте подразумевает, что любая достаточно сильная, непротиворечивая и эффективная теория первого порядка имеет модели, которые не являются элементарно эквивалентными , что является более сильным ограничением, чем ограничение, установленное теоремой Левенхайма – Скулема. Вторая теорема о неполноте утверждает, что ни одна достаточно сильная, непротиворечивая и эффективная система аксиом арифметики не может доказать свою собственную непротиворечивость, что было интерпретировано как доказательство программы Гильберта невозможности достижения .

Другая классическая логика

Помимо логики первого порядка, изучаются многие логики. К ним относятся бесконечные логики , которые позволяют формулам предоставлять бесконечное количество информации, и логики более высокого порядка , которые включают часть теории множеств непосредственно в свою семантику.

Наиболее хорошо изученной бесконечной логикой является $L_{\omega _{1},\omega }$. В этой логике кванторы могут быть вложены только на конечную глубину, как в логике первого порядка, но формулы могут иметь внутри себя конечные или счетно бесконечные соединения и дизъюнкции. Так, например, можно сказать, что объект представляет собой целое число, используя формулу $L_{\omega _{1},\omega }$ такой как

$(x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor \cdots .$

Логика высшего порядка позволяет проводить количественную оценку не только элементов области дискурса , но и подмножеств области дискурса, наборов таких подмножеств и других объектов более высокого типа. Семантика определена таким образом, что вместо того, чтобы иметь отдельный домен для каждого квантора более высокого типа, кванторы вместо этого варьируются по всем объектам соответствующего типа. Логики, изучавшиеся до разработки логики первого порядка, например логика Фреге, имели схожие теоретико-множественные аспекты. Хотя логики более высокого порядка более выразительны, допуская полную аксиоматизацию таких структур, как натуральные числа, они не удовлетворяют аналогам теорем о полноте и компактности из логики первого порядка и, следовательно, менее поддаются теоретико-доказательному анализу.

Другой тип логики с фиксированной точкой логика , допускающая индуктивные определения , как это делается для примитивных рекурсивных функций .

Можно формально определить расширение логики первого порядка — понятие, которое охватывает все логики в этом разделе, поскольку они ведут себя как логика первого порядка в определенных фундаментальных отношениях, но не охватывает все логики в целом, например, оно не включает интуиционистскую, модальная или нечеткая логика .

Теорема Линдстрема подразумевает, что единственным расширением логики первого порядка, удовлетворяющим как теореме о компактности , так и нисходящей теореме Левенхайма – Скулема, является логика первого порядка.

Неклассическая и модальная логика

Основная статья: Неклассическая логика

Модальная логика включает дополнительные модальные операторы, такие как оператор, который утверждает, что конкретная формула не только верна, но и обязательно верна. Хотя модальная логика не часто используется для аксиоматизации математики, она использовалась для изучения свойств доказуемости первого порядка. и теоретико-множественное воздействие.

Интуиционистская логика была разработана Гейтингом для изучения программы интуиционизма Брауэра, в которой сам Брауэр избегал формализации. Интуиционистская логика специально не включает в себя закон исключенного третьего , который утверждает, что каждое предложение либо истинно, либо его отрицание истинно. Работа Клини с теорией доказательств интуиционистской логики показала, что конструктивная информация может быть получена из интуиционистских доказательств. Например, любая доказуемо полная функция в интуиционистской арифметике вычислима ; это не так в классических теориях арифметики, таких как арифметика Пеано .

Алгебраическая логика

Алгебраическая логика использует методы абстрактной алгебры для изучения семантики формальных логик. Фундаментальным примером является использование булевых алгебр для представления значений истинности в классической логике высказываний и использование алгебр Гейтинга для представления значений истинности в интуиционистской логике высказываний. Более сильные логики, такие как логика первого порядка и логика высшего порядка, изучаются с использованием более сложных алгебраических структур, таких как цилиндрические алгебры .

Теория множеств

Основная статья: Теория множеств

Теория множеств — это изучение множеств , которые представляют собой абстрактные коллекции объектов. Многие из основных понятий, таких как порядковые и кардинальные числа, были неформально разработаны Кантором до того, как были разработаны формальные аксиоматизации теории множеств. Первая такая аксиоматизация , принадлежащая Цермело, была немного расширена и стала теорией множеств Цермело – Френкеля (ZF), которая в настоящее время является наиболее широко используемой фундаментальной теорией математики.

Были предложены и другие формализации теории множеств, в том числе теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя (NBG), теория множеств Морса-Келли (МК) и Новые основы (NF). Из них ZF, NBG и MK схожи в описании кумулятивной иерархии множеств. New Foundations использует другой подход; он допускает такие объекты, как множество всех множеств, за счет ограничений на его аксиомы существования множеств. Система теории множеств Крипке–Платека тесно связана с обобщенной теорией рекурсии.

Два известных утверждения теории множеств — это аксиома выбора и гипотеза континуума . Аксиома выбора, впервые сформулированная Цермело, была доказана независимость от ZF Френкелем, но получил широкое признание среди математиков. Он утверждает, что для набора непустых множеств существует единственный набор C , содержащий ровно один элемент из каждого набора в коллекции. Говорят, что набор C «выбирает» один элемент из каждого набора в коллекции. Хотя некоторые считают возможность сделать такой выбор очевидной, поскольку каждое множество в коллекции непусто, отсутствие общего, конкретного правила, по которому можно сделать выбор, делает аксиому неконструктивной. Стефан Банах и Альфред Тарский показали, что выбранную аксиому можно использовать для разложения сплошного шара на конечное число частей, которые затем можно переставить без масштабирования, чтобы получить два сплошных шара исходного размера. Эта теорема, известная как парадокс Банаха-Тарского , является одним из многих противоречивых результатов аксиомы выбора.

Гипотеза континуума, впервые предложенная Кантором как гипотеза, была включена Дэвидом Гильбертом в список его 23 проблем в 1900 году. Гёдель показал, что гипотезу континуума нельзя опровергнуть на основании аксиом теории множеств Цермело – Френкеля (с аксиомой или без нее). по выбору), развивая конструктивную вселенную теории множеств, в которой должна выполняться гипотеза континуума. В 1963 году Пол Коэн показал, что гипотезу континуума нельзя доказать на основе аксиом теории множеств Цермело – Френкеля. Однако этот результат о независимости не полностью решил вопрос Гильберта, поскольку вполне возможно, что новые аксиомы теории множеств могли бы разрешить эту гипотезу. Недавнюю работу в этом направлении провел У. Хью Вудин , хотя ее важность еще не ясна.

Современные исследования в области теории множеств включают изучение больших кардиналов и детерминированности . Большие кардиналы — это кардинальные числа с особыми свойствами, настолько сильными, что существование таких кардиналов невозможно доказать в ZFC. Существование наименьшего большого кардинала, который обычно изучается, недоступного кардинала , уже предполагает непротиворечивость ZFC. Несмотря на то, что большие кардиналы обладают чрезвычайно высокой мощностью , их существование имеет множество последствий для структуры реальной линии. Определенность относится к возможному существованию выигрышных стратегий для определенных игр с двумя игроками (игры называются детерминированными ). Существование этих стратегий предполагает структурные свойства реальной линии и других польских пространств .

Теория моделей

Основная статья: Теория моделей

Теория моделей изучает модели различных формальных теорий. Здесь теория — это набор формул в определенной формальной логике и сигнатуре , а модель — это структура, дающая конкретную интерпретацию теории. Теория моделей тесно связана с универсальной алгеброй и алгебраической геометрией , хотя методы теории моделей больше ориентированы на логические соображения, чем на эти области.

Совокупность всех моделей конкретной теории называется элементарным классом ; Классическая теория моделей стремится определить свойства моделей в определенном элементарном классе или определить, образуют ли определенные классы структур элементарные классы.

Метод исключения кванторов можно использовать, чтобы показать, что определимые множества в конкретных теориях не могут быть слишком сложными. Тарский установил устранение кванторов для вещественно-замкнутых полей , результат, который также показывает, что теория поля действительных чисел разрешима . Он также отметил, что его методы в равной степени применимы и к алгебраически замкнутым полям произвольной характеристики. Современное подразделение, развивающееся на основе этого, связано с o-минимальными структурами .

Теорема о категоричности Морли , доказанная Майклом Д. Морли , утверждает, что если теория первого порядка в счетном языке категорична в некоторой несчетной мощности, т. е. все модели этой мощности изоморфны, то она категорична во всех несчетных мощностях.

Тривиальным следствием гипотезы континуума является то, что полная теория с количеством неизоморфных счетных моделей, меньшим, чем континуум, может иметь только счетное количество. Гипотеза Вота , названная в честь Роберта Лоусона Вота , утверждает, что это верно даже независимо от гипотезы континуума. Установлено множество частных случаев этой гипотезы.

Теория рекурсии

Основная статья: Теория рекурсии

Теория рекурсии , также называемая теорией вычислимости , изучает свойства вычислимых функций и степени Тьюринга , которые делят невычислимые функции на множества, имеющие одинаковый уровень невычислимости. Теория рекурсии также включает изучение обобщенной вычислимости и определимости. Теория рекурсии выросла из работ Рожи Петера , Алонсо Чёрча и Алана Тьюринга в 1930-х годах, которые были значительно расширены Клини и Постом в 1940-х.

Классическая теория рекурсии фокусируется на вычислимости функций от натуральных чисел к натуральным числам. Фундаментальные результаты устанавливают надежный канонический класс вычислимых функций с многочисленными независимыми эквивалентными характеризациями с использованием машин Тьюринга , λ-исчисления и других систем. Более продвинутые результаты касаются структуры степеней Тьюринга и решетки рекурсивно перечислимых множеств .

Обобщенная теория рекурсии расширяет идеи теории рекурсии на вычисления, которые больше не обязательно являются конечными. Он включает в себя изучение вычислимости высших типов, а также таких областей, как теория гиперарифметики и теория α-рекурсии .

Современные исследования в области теории рекурсии включают изучение таких приложений, как алгоритмическая случайность , теория вычислимых моделей и обратная математика , а также новые результаты в чистой теории рекурсии.

Алгоритмически неразрешимые задачи

Важная область теории рекурсии изучает алгоритмическую неразрешимость; Проблема решения или функция функции если алгоритмически неразрешимы, не существует возможного вычислимого алгоритма, который возвращает правильный ответ для всех допустимых входных данных проблемы. Первые результаты о неразрешимости, полученные независимо Черчем и Тьюрингом в 1936 году, показали, что проблема Entscheidungs ​​является алгоритмически неразрешимой. Тьюринг доказал это, установив неразрешимость проблемы остановки , что имело далеко идущие последствия как для теории рекурсии, так и для информатики.

Известно много примеров неразрешимых задач из обычной математики. Алгоритмическая неразрешимость проблемы слов для групп была доказана Петром Новиковым в 1955 году и независимо У. Буном в 1959 году. Еще одним хорошо известным примером является проблема занятого бобра , разработанная Тибором Радо в 1962 году.

Десятая проблема Гильберта требовала алгоритма, позволяющего определить, имеет ли многомерное полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами решение в целых числах. Частичного прогресса добились Джулия Робинсон , Мартин Дэвис и Хилари Патнэм . Алгоритмическую неразрешимость задачи доказал Юрий Матиясевич в 1970 году.

Теория доказательств и конструктивная математика

Основная статья: Теория доказательств

Теория доказательств — это изучение формальных доказательств в различных системах логической дедукции. Эти доказательства представляются как формальные математические объекты, что облегчает их анализ математическими методами. Обычно рассматриваются несколько систем дедукции, в том числе системы дедукции в стиле Гильберта , системы естественной дедукции и секвенциальное исчисление, разработанное Генценом.

Изучение конструктивной математики в контексте математической логики включает изучение систем неклассической логики, таких как интуиционистская логика, а также изучение предикативных систем. Одним из первых сторонников предикативизма был Герман Вейль , который показал, что большую часть реального анализа можно разработать, используя только предикативные методы.

Поскольку доказательства полностью финитны, а истина в структуре — нет, в работах по конструктивной математике обычно делается упор на доказуемость. Особый интерес представляет связь между доказуемостью в классических (или неконструктивных) системах и доказуемостью в интуиционистских (или конструктивных) системах. Такие результаты, как отрицательный перевод Гёделя-Гентцена, показывают, что можно встроить (или перевести ) классическую логику в интуиционистскую логику, позволяя перенести некоторые свойства интуиционистских доказательств обратно в классические доказательства.

Недавние разработки в теории доказательств включают исследование добычи доказательств Ульрихом Коленбахом и исследование теоретико-доказательных ординалов Майклом Ратьеном .

Приложения

«Математическая логика успешно применялась не только к математике и ее основаниям ( Г. Фреге , Б. Рассел , Д. Гильберт , П. Бернейс , Х. Шольц , Р. Карнап , С. Лесневский , Т. Сколем ), но и к физике (Р. Карнап, А. Диттрих, Б. Рассел, К. Э. Шеннон , А. Н. Уайтхед , Х. Райхенбах , П. Феврие), к биологии ( Дж. Х. Вуджер , А. Тарский ), к психологии ( Ф. Б. Фитч , К. Г. Хемпель ) , к праву и морали ( К. Менгер , У. Клюг, П. Оппенгейм), к экономике ( Й. Нейман , О. Моргенштерн ), к практическим вопросам ( ЭК Беркли , Э. Штамм) и даже к метафизике (Дж. [Ян] Саламуха, Х. Шольц, Дж. М. Боченски ). Его приложения к истории логики оказались чрезвычайно плодотворными ( Дж. Лукасевич , Х. Шольц, Б. Мейтс , А. Беккер, Э. Муди , Дж. Саламуча, К. Дюрр, З. Джордан, П. Бонер , Дж. М. Боченски, С. [Станислав] Т. Шайер, Д. Ингаллс )». «Приложения были также сделаны в богословии (Ф. Древновский, Дж. Саламуча, И. Томас)».

Связи с информатикой

Основная статья: Логика в информатике

Изучение теории вычислимости в информатике тесно связано с изучением вычислимости в математической логике. Однако есть разница в акцентах. Ученые-компьютерщики часто сосредотачивают внимание на конкретных языках программирования и возможной вычислимости , в то время как исследователи математической логики часто сосредотачиваются на вычислимости как теоретической концепции и на невычислимости.

Теория семантики языков программирования связана с теорией моделей , как и верификация программ (в частности, проверка моделей ). Соответствие Карри-Ховарда между доказательствами и программами относится к теории доказательств , особенно к интуиционистской логике . Формальные исчисления, такие как лямбда-исчисление и комбинаторная логика , теперь изучаются как идеализированные языки программирования .

Информатика также вносит свой вклад в математику, разрабатывая методы автоматической проверки или даже поиска доказательств, такие как автоматическое доказательство теорем и логическое программирование .

Описательная теория сложности связывает логику со сложностью вычислений . Первый значительный результат в этой области, теорема Феджина (1974), установила, что NP — это именно набор языков, выражаемых предложениями экзистенциальной логики второго порядка .

Основы математики

Основная статья: Основы математики

В XIX веке математики осознали логические пробелы и противоречия в своей области. Было показано, что аксиомы геометрии Евклида , которые веками преподавали как пример аксиоматического метода, были неполными. Использование бесконечно малых величин и само определение функции непрерывная функция Вейерштрасса патологические примеры, такие как нигде не дифференцируемая оказались под вопросом в анализе, поскольку были открыты .

Исследование Кантора произвольных бесконечных множеств также вызвало критику. Леопольд Кронекер, как известно, заявил: «Бог создал целые числа; все остальное — дело рук человека», одобряя возвращение к изучению конечных, конкретных объектов в математике. Хотя аргумент Кронекера был развит конструктивистами в 20 веке, математическое сообщество в целом отвергло их. Дэвид Гильберт выступал за изучение бесконечного, говоря: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».

Математики начали искать системы аксиом, которые можно было бы использовать для формализации больших разделов математики. Была надежда, что эта аксиоматизация не только устранит двусмысленность из ранее наивных терминов, таких как функция, но и позволит обеспечить доказательства непротиворечивости. В XIX веке основным методом доказательства непротиворечивости набора аксиом было создание для него модели. Так, например, неевклидовой геометрии можно доказать непротиворечивость , определив точку как точку на фиксированной сфере, а линию как большой круг на сфере. Полученная структура, модель эллиптической геометрии , удовлетворяет аксиомам плоской геометрии, за исключением постулата параллельности.

С развитием формальной логики Гильберт задался вопросом, можно ли доказать, что система аксиом непротиворечива, анализируя структуру возможных доказательств в системе и показывая посредством этого анализа невозможность доказать противоречие. Эта идея привела к изучению теории доказательств . Более того, Гильберт предлагал, чтобы анализ был полностью конкретным, используя термин финитный для обозначения методов, которые он допускал, но не определяя их точно. На этот проект, известный как программа Гильберта , серьезно повлияли теоремы Гёделя о неполноте, которые показывают, что непротиворечивость формальных теорий арифметики не может быть установлена ​​с использованием методов, формализуемых в этих теориях. Генцен показал, что возможно произвести доказательство непротиворечивости арифметики в финитной системе, дополненной аксиомами трансфинитной индукции , и методы, которые он разработал для этого, были плодотворными в теории доказательств.

Вторая нить в истории оснований математики связана с неклассической логикой и конструктивной математикой . Изучение конструктивной математики включает в себя множество различных программ с различными определениями конструктивной математики . С самой снисходительной точки зрения, доказательства в теории множеств ZF, которые не используют аксиому выбора, многие математики называют конструктивными. Более ограниченные версии конструктивизма ограничиваются натуральными числами , теоретико-числовыми функциями и наборами натуральных чисел (которые можно использовать для представления действительных чисел, что облегчает изучение математического анализа ). Распространенная идея состоит в том, что конкретные средства вычисления значений функции должны быть известны, прежде чем можно будет сказать, что сама функция существует.

В начале 20 века Луицен Эгберт Ян Брауэр основал интуиционизм как часть философии математики . Эта философия, поначалу плохо понимаемая, утверждала, что для того, чтобы математическое утверждение было верным для математика, этот человек должен быть способен интуитивно понимать это утверждение, не только верить в его истинность, но и понимать причину его истинности. Следствием такого определения истины стал отказ от закона исключенного третьего , поскольку существуют утверждения, которые, по мнению Брауэра, не могут считаться истинными, в то время как их отрицания также не могут быть признаны истинными. Философия Брауэра имела большое влияние и стала причиной ожесточенных споров среди выдающихся математиков. Клини и Крайзель позже изучали формализованные версии интуиционистской логики (Брауэр отверг формализацию и представил свою работу на неформализованном естественном языке). С появлением интерпретации БГК и моделей Крипке интуиционизм стало легче согласовать с классической математикой.

См. также

• Аргумент
• Неформальная логика
• Универсальная логика
• Представление знаний и рассуждения
• Логика
• Список тем по вычислимости и сложности
• Список теорий первого порядка
• Список логических символов
• Список тем математической логики
• Список тем теории множеств
• Мереология
• Пропозициональное исчисление
• Правильно составленная формула

Ссылки

Тексты бакалавриата

• Валицкий, Михал (2011). Введение в математическую логику . Сингапур : Мировое научное издательство . ISBN  9789814343879 .
• Булос, Джордж ; Берджесс, Джон; Джеффри, Ричард (2002). Вычислимость и логика (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  9780521007580 .
• Кроссли, JN; Эш, CJ; Брикхилл, CJ; Стиллвелл, Джей Си; Уильямс, Нью-Хэмпшир (1972). Что такое математическая логика? . Лондон, Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета . ISBN  9780198880875 . Збл   0251.02001 .
• Эндертон, Герберт (2001). Математическое введение в логику (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . ISBN  978-0-12-238452-3 .
• Фишер, Алек (1982). Теория формальных чисел и вычислимость: Учебное пособие . (подходит в качестве первого курса для самостоятельного изучения) (1-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853188-3 .
• Гамильтон, АГ (1988). Логика для математиков (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-36865-0 .
• Эббингауз, Х.-Д.; Флум, Дж.; Томас, В. (1994). Математическая логика (2-е изд.). Нью-Йорк : Спрингер . ISBN  9780387942582 .
• Кац, Роберт (1964). Аксиоматический анализ . Бостон, Массачусетс: округ Колумбия, Хит и компания .
• Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику (4-е изд.). Лондон: Чепмен и Холл . ISBN  978-0-412-80830-2 .
• Раутенберг, Вольфганг (2010). Краткое введение в математическую логику (3-е изд.). Нью-Йорк : Спрингер . дои : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN  9781441912206 .
• Швихтенберг, Хельмут (2003–2004). Математическая логика (PDF) . Мюнхен : Математический институт Мюнхенского университета . Проверено 24 февраля 2016 г.
• Шон Хедман, Первый курс логики: введение в теорию моделей, теорию доказательств, вычислимость и сложность , Oxford University Press , 2004, ISBN   0-19-852981-3 . Охватывает логику, тесно связанную с теорией вычислимости и теорией сложности.
• ван Дален, Дирк (2013). Логика и структура . Университетский текст Берлин: Шпрингер . дои : 10.1007/978-1-4471-4558-5 . ISBN  978-1-4471-4557-8 .

Тексты для выпускников

• Хинман, Питер Г. (2005). Основы математической логики . АК Петерс, ООО ISBN  1-56881-262-0 .
• Эндрюс, Питер Б. (2002). Введение в математическую логику и теорию типов: к истине через доказательство (2-е изд.). Бостон : Издательство Kluwer Academic Publishers. ISBN  978-1-4020-0763-7 .
• Барвайз, Джон , изд. (1989). Справочник по математической логике . Исследования по логике и основам математики. Амстердам : Эльзевир . ISBN  9780444863881 .
• Ходжес, Уилфрид (1997). Более короткая модель теории . Издательство Кембриджского университета . ISBN  9780521587136 .
• Джех, Томас (2003). Теория множеств: издание тысячелетия . Монографии Спрингера по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer . ISBN  9783540440857 .
• Клини, Стивен Коул (1952), Введение в метаматематику. Нью-Йорк: Ван Ностранд. (Ishi Press: перепечатка 2009 г.).
• Клини, Стивен Коул . (1967), Математическая логика. Джон Уайли. Переиздание Дувра, 2002 г. ISBN   0-486-42533-9 .
• Шенфилд, Джозеф Р. (2001) [1967]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN  9781568811352 .
• Троэльстра, Энн Шерп ; Швихтенберг, Гельмут (2000). Основная теория доказательств . Кембриджские трактаты по теоретической информатике (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-77911-1 .

Научные статьи, монографии, тексты и обзоры

• Аугусто, Луис М. (2017). Логические последствия. Теория и приложения: Введение . Лондон: Публикации колледжа. ISBN  978-1-84890-236-7 .
• Бонер, Филофей (1950). Средневековая логика . Манчестер. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Коэн, Пол Дж . (1966). Теория множеств и гипотеза континуума . Менло-Парк, Калифорния : Вашингтон, Бенджамин.
• Коэн, Пол Дж. (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, штат Нью-Йорк : Dover Publications. ISBN  9780486469218 .
• Дж. Д. Снид, Логическая структура математической физики . Рейдель, Дордрехт, 1971 г. (переработанное издание 1979 г.).
• Дэвис, Мартин (1973). « Десятая проблема Гильберта неразрешима». Американский математический ежемесячник . 80 (3): 233–269. дои : 10.2307/2318447 . JSTOR   2318447 .
  Перепечатано в качестве приложения в Мартин Дэвис (1985). Вычислимость и неразрешимость . Дувр. ISBN  9780486614717 .
• Фельшер, Уолтер (2000). «Больцано, Коши, Эпсилон, Дельта». Американский математический ежемесячник . 107 (9): 844–862. дои : 10.2307/2695743 . JSTOR   2695743 .
• Феррейрос, Хосе (2001). «Дорога к современной логике – интерпретация» (PDF) . Бюллетень символической логики . 7 (4): 441–484. дои : 10.2307/2687794 . hdl : 11441/38373 . JSTOR   2687794 . S2CID   43258676 .
• Хэмкинс, Джоэл Дэвид; Лёве, Бенедикт (2007). «Модальная логика принуждения». Труды Американского математического общества . 360 (4): 1793–1818. arXiv : math/0509616 . дои : 10.1090/s0002-9947-07-04297-3 . S2CID   14724471 .
• Кац, Виктор Дж. (1998). История математики . Аддисон-Уэсли. ISBN  9780321016188 .
• Морли, Майкл (1965). «Категоричность во власти» . Труды Американского математического общества . 114 (2): 514–538. дои : 10.2307/1994188 . JSTOR   1994188 .
• Соаре, Роберт И. (1996). «Вычислимость и рекурсия». Бюллетень символической логики . 2 (3): 284–321. CiteSeerX   10.1.1.35.5803 . дои : 10.2307/420992 . JSTOR   420992 . S2CID   5894394 .
• Соловей, Роберт М. (1976). «Интерпретации доказуемости модальной логики». Израильский математический журнал . 25 (3–4): 287–304. дои : 10.1007/BF02757006 . S2CID   121226261 .
• Вудин, В. Хью (2001). «Гипотеза континуума, часть I» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 48 (6).

Классические статьи, тексты и сборники

• Банах, Стивен ; Тарский, Альфред (1924). «О разложении множеств точек на соответственно конгруэнтные части» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на французском языке). 6 : 244–277. дои : 10.4064/fm-6-1-244-277 .

Боченски, Юзеф Мария, изд. (1959). Краткое изложение математической логики . Синтетическая библиотека, Vol. 1. Перевод Отто Берда. Дордрехт : Спрингер . дои : 10.1007/978-94-017-0592-9 . ISBN  9789048183296 .

• Бурали-Форти, Чезаре (1897). Вопрос о трансфинитных числах . Перепечатано в van Heijenoort 1976 , стр. 104–111.

Кантор, Джордж (1874). «О свойстве воплощения всех действительных алгебраических чисел» (PDF) . Журнал чистой и прикладной математики . 1874 (77): 258–262. дои : 10.1515/crll.1874.77.258 . S2CID   199545885 . Кэрролл, Льюис (1896). Символическая логика . Перепечатки наследия Кессинджера. ISBN  9781163444955 .

• Дедекинд, Ричард (1872). Непрерывность и иррациональные числа (на немецком языке). Английский перевод как: «Последовательность и иррациональные числа».
• Дедекинд, Ричард (1888). Что такое числа и для чего они нужны? . Два английских перевода:
  • 1963 (1901). Очерки по теории чисел . Беман, WW, изд. и транс. Дувр.
  • 1996. В книге «От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики» , 2 тома, Эвальд, Уильям Б., изд., Oxford University Press : 787–832.
• Френкель, Авраам А. (1922). «Термин« определенный »и независимость аксиомы выбора». Протоколы заседаний Прусской академии наук, физико-математического класса (на немецком языке). стр. 253–257. Перепечатано в английском переводе как «Понятие «определенного» и независимость аксиомы выбора» в van Heijenoort 1976 , стр. 284–289.
• Фреге, Готтлоб (1879), концептуальное письмо , язык формул чистого мышления, созданный по образцу арифметики . Холл А. С.: Луи Неберт. Перевод: Концептуальный сценарий, формальный язык чистой мысли, созданный по образцу языка арифметики , С. Бауэр-Менгельберг в Ван Хейеноорте, 1976 .
• Фреге, Готтлоб (1884), Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа . Бреслау: В. Кебнер. Перевод: Дж. Л. Остин , 1974. Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа , 2-е изд.
• Генцен, Герхард (1936). «Непротиворечивость чистой теории чисел». Математические летописи . 112 : 132–213. дои : 10.1007/BF01565428 . S2CID   122719892 . Генцена Перепечатано в английском переводе в Собрании сочинений , М. Е. Сабо, изд., Северная Голландия, Амстердам, 1969.
• Гёдель, Курт (1929). О полноте исчисления логического . докторская диссертация. Венский университет.
• Гёдель, Курт (1930). «Полнота аксиом исчисления логических функций». Ежемесячные журналы по математике и физике (на немецком языке). 37 : 349–360. дои : 10.1007/BF01696781 . S2CID   123343522 .
• Гёдель, Курт (1931). «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных системах I» [ О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных системах ]. Ежемесячные журналы по математике и физике (на немецком языке). 38 (1): 173–198. дои : 10.1007/BF01700692 . S2CID   197663120 .
• Гёдель, Курт (1958). «О неиспользованном до сих пор расширении конечной точки зрения» . Диалектика (на немецком языке). 12 (3–4): 280–287. дои : 10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x . Гёделя Перепечатано в английском переводе в Собрании сочинений , том II, Соломон Феферман и др., Под ред. Издательство Оксфордского университета, 1993.
• ван Хейеноорт, Жан , изд. (1976) [1967]. От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 (3-е изд.). Кембридж, Массачусетс : Издательство Гарвардского университета . ISBN  9780674324497 . (пбк.).
• Гильберт, Дэвид (1899). Основы геометрии (на немецком языке). Лейпциг : Тойбнер. Английское издание 1902 года ( «Основы геометрии ») переиздано в 1980 году, Открытый суд, Чикаго.
• Гильберт, Дэвид (1929). «Проблема основных положений математики» . Математические Аннален . 102 : 1–9. дои : 10.1007/BF01782335 . S2CID   122870563 . Лекция, прочитанная на Международном конгрессе математиков, 3 сентября 1928 г. Опубликовано в английском переводе под названием «Обоснование элементарной теории чисел» в Манкосу, 1998 г., стр. 266–273.
• Гильберт, Дэвид ; Бернейс, Пол (1934). Основы математики. Я. Основные положения математических наук. Том 40. Берлин, Нью-Йорк: Springer . ISBN  9783540041344 . ЖФМ   60.0017.02 . МР   0237246 .
• Клини, Стивен Коул (1943). «Рекурсивные предикаты и квантификаторы» . Труды Американского математического общества . 53 (1): 41–73. дои : 10.2307/1990131 . JSTOR   1990131 .
• Лобачевский, Николай (1840). Геометрические исследования по теории параллельных прямых (на немецком языке). Перепечатано в английском переводе как Роберт Бонола, изд. (1955). «Геометрические исследования по теории параллельных прямых». Неевклидова геометрия . Дувр. ISBN  0-486-60027-0 .
• Левенхайм, Леопольд (1915). «О возможностях относительного исчисления» . Математические анналы (на немецком языке). 76 (4): 447–470. дои : 10.1007/BF01458217 . ISSN   0025-5831 . S2CID   116581304 . Переводится как «О возможностях исчисления родственников». Жан ван Хейеноорт (1967). Справочник по математической логике, 1879–1931 гг . Гарвардский университет. Нажимать. стр. 228–251.
• Манкосу, Паоло , изд. (1998). От Брауэра до Гильберта. Споры об основаниях математики в 1920-е годы . Издательство Оксфордского университета.
• Паш, Мориц (1882). Лекции по современной геометрии .
• Пеано, Джузеппе (1889). Arithmetices principia, nova Methodo Exposita (на литовском языке). Отрывок перепечатан в английском переводе как «Принципы арифметики, представленные новым методом» в van Heijenoort 1976 , стр. 83–97.
• Ричард, Жюль (1905). «Основы математики и проблема множеств». Общий обзор чистых и прикладных наук (на французском языке). 16 : 541. Перепечатано в английском переводе как «Принципы математики и проблемы множеств» в van Heijenoort 1976 , стр. 142–144.
• Скулем, Торальф (1920). «Логико-комбинаторные исследования выполнимости или доказуемости математических предложений вместе с теоремой о плотных множествах». Videnskapsselskapet Skrifter, I. Класс Матеатиск-натурвиденскабелиг (на немецком языке). 6 :1–36.

Соаре, Роберт Ирвинг (22 декабря 2011 г.). «Теория и приложения вычислимости: искусство классической вычислимости» (PDF) . Кафедра математики . Чикагский университет . Проверено 23 августа 2017 г. Суайнсхед, Ричард (1498 г.). Suiseth английские расчеты (на литовском языке). Папье: Пер Франциск Гирарденгум.

• Тарский, Альфред (1948). Метод решения элементарной алгебры и геометрии . Санта-Моника, Калифорния : Корпорация RAND .
• Тьюринг, Алан М. (1939). «Системы логики, основанные на ординалах». Труды Лондонского математического общества . 45 (2): 161–228. дои : 10.1112/plms/s2-45.1.161 . hdl : 21.11116/0000-0001-91CE-3 .
• Вейль, Герман (1918). Континуум. Критические исследования основ анализа (на немецком языке). Лейпциг. {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Цермело, Эрнст (1904). «Доказательство того, что любое множество может быть упорядочено» . Математические анналы (на немецком языке). 59 (4): 514–516. дои : 10.1007/BF01445300 . S2CID   124189935 . Перепечатано в английском переводе как «Доказательство того, что каждое множество может быть хорошо упорядочено» в van Heijenoort 1976 , стр. 139–141.
• Цермело, Эрнст (1908а). «Новые доказательства возможности хорошего порядка» . Математические анналы (на немецком языке). 65 : 107–128. дои : 10.1007/BF01450054 . ISSN   0025-5831 . S2CID   119924143 . Перепечатано в английском переводе как «Новое доказательство возможности хорошего порядка» в van Heijenoort 1976 , стр. 183–198.
• Цермело, Эрнст (1908b). «Исследования по основам теории множеств» . Математические летописи . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/BF01449999 . S2CID   120085563 .

Внешние ссылки

• «Математическая логика» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Многозначная логика и логика количественных отношений
• forall x: введение в формальную логику , бесплатный учебник П.Д. Магнуса .
• Проблемный курс математической логики , бесплатный учебник Стефана Биланюка.
• Детловс, Вилнис и Подниекс, Карлис (Латвийский университет), Введение в математическую логику. (гиперучебник).
• В Стэнфордской энциклопедии философии :

  Классическая логика Стюарта Шапиро .

  Теория моделей первого порядка Уилфрида Ходжеса .

• В лондонском «Руководстве по изучению философии» :

  Математическая логика

  Теория множеств и дальнейшая логика

  Философия математики

• Школа математики Манчестерского университета, «Математическая логика» профессора Джеффа Пэрис (материалы курса и неопубликованные статьи)