История логики

История логики занимается изучением развития науки о достоверном умозаключении ( логики ). Формальная логика развивалась в древние времена в Индии , Китае и Греции . Греческие методы, особенно аристотелевская логика (или логика терминов), найденная в « Органоне» , на протяжении тысячелетий находили широкое применение и признание в западной науке и математике. Стоики Хрисипп , особенно , начали разработку логики предикатов .

Христианские и исламские философы, такие как Боэций (умер в 524 г.), Авиценна (умер в 1037 г.), Фома Аквинский (умер в 1274 г.) и Уильям Оккам (умер в 1347 г.), продолжили развитие логики Аристотеля в средние века , достигнув высшей точки в середине четырнадцатого века. века, с Жаном Буриданом . Период между четырнадцатым и началом девятнадцатого века был периодом упадка и забвения, и по крайней мере один историк логики считает это время бесплодным. Эмпирические методы господствовали, о чем свидетельствует Бэкона сэра Фрэнсиса «Новый Органон» 1620 года.

Логика возродилась в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда этот предмет превратился в строгую и формальную дисциплину, взявшую в качестве образца точный метод доказательства, используемый в математике , — возвращение к греческой традиции. Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период такими людьми, как Буль , Фреге , Рассел и Пеано, является самым значительным в двухтысячелетней истории логики и, возможно, одним из самых значительных. важные и замечательные события в интеллектуальной истории человечества .

Прогресс в математической логике в первые несколько десятилетий двадцатого века, особенно возникший благодаря работам Гёделя и Тарского , оказал значительное влияние на аналитическую философию и философскую логику , особенно с 1950-х годов, в таких предметах, как модальная логика , темпоральная логика. , деонтическая логика и логика релевантности .

Логика на Востоке

Логика в Индии

Основная статья: индийская логика

Происхождение

Насадия сукта Ригведы - ( RV 10.129) содержит онтологические спекуляции в терминах различных логических подразделений, которые позже были формально преобразованы в четыре круга катускоти : «А», «не А», «А» и «не А». , и «не А и не не А».

Кто на самом деле знает?
Кто здесь провозгласит это?
Откуда оно было произведено? Откуда это творение?
Боги пришли позже, с созданием этой вселенной.
Кто тогда знает, откуда оно возникло?

- Насадия Сукта , касается происхождения вселенной , Риг Веда , 10:129-6.

Логика зародилась независимо в древней Индии и продолжала развиваться до начала нового времени без какого-либо известного влияния греческой логики.

До Гаутамы

Хотя происхождение в Индии публичных дебатов ( паришад ), одной из форм рациональных исследований, неясно, мы знаем, что публичные дебаты были обычным явлением в доклассической Индии, поскольку на них часто ссылаются в различных Упанишадах и ранней буддийской литературе. Публичные дебаты — не единственная форма публичных дискуссий в доклассической Индии. Собрания ( паришад или сабха ) различного рода, в состав которых входили соответствующие эксперты, регулярно созывались для обсуждения различных вопросов, включая административные, юридические и религиозные вопросы.

Даттатрея

говорится, что философ по имени Даттатрея В « Бхагавата-пуране» преподавал Анвикшики Айарке, Прахладе и другим. следует Из «Маркандея-пураны» , что изложенная им Анвикшики-видья представляла собой простое исследование души в соответствии с философией йоги. Даттатрея излагал философскую сторону Анвлкики, а не ее логический аспект.

Медхатити Гаутама

Хотя упомянутые выше учителя занимались некоторыми конкретными темами Анвикшики, заслуга основания Анвикшики в ее особом смысле науки принадлежит Медхатити Гаутаме (ок. 6 век до н. э.). Гуатама основал анвиксики . логическую школу Махабхарата ( 12.173.45 ), написанная примерно в V веке до нашей эры, относится к анвикшики и тарка логическим школам .

Панини

Панини (ок. 5 век до н. э.) разработал форму логики (с которой булева логика имеет некоторое сходство) для формулировки санскритской грамматики . Логика описана Чанакьей (ок. 350–283 до н. э.) в его «Арташастре» как независимая область исследования.

История-Вайшешика

Две из шести индийских философских школ занимаются логикой: Ньяя и Вайшешика . Ньяя -сутры Аксапады Гаутамы (около 2 века нашей эры) составляют основные тексты школы Ньяя, одной из шести ортодоксальных школ индуистской философии. Эта реалистическая школа разработала жесткую пятичленную схему вывода , включающую исходную посылку, причину, пример, применение и вывод. Идеалистическая буддийская философия стала главным противником наяйиков.

Джайнская логика

Умасвати (2 век нашей эры), автор первого джайнского труда на санскрите « Таттвартхасутра» , излагающего джайнскую философию в наиболее систематизированной форме, приемлемой для всех сект джайнизма.

Джайны внесли свой уникальный вклад в это основное направление развития логики, занимаясь также основными эпистемологическими проблемами, а именно вопросами, касающимися природы знания, того, как оно получается и каким образом знание можно назвать надежным.

У джайнов есть доктрины относительности, используемые для логики и рассуждений:

• Анекантавада – теория относительного плюрализма или многообразия;
• Сьядвада – теория условного предикации и;
• Наявада - Теория частичных точек зрения.

Эти джайнские философские концепции внесли наиболее важный вклад в древнеиндийскую философию , особенно в области скептицизма и теории относительности. [4]

Нагарджуна

Нагарджуна (ок. 150–250 гг. н.э.), основатель Мадхьямаки ( «Срединный путь»), разработал анализ, известный как чатушкоти (санскрит), «четырёхугольную» систему аргументации, которая включает систематическое рассмотрение и отвержение каждой точки зрения. из 4-х возможностей предложения P :

1. П ; то есть быть.
2. не П ; то есть не быть.

3. 

   Изображение Нагарджуны из Сингон Хассодзо , серии свитков, созданных Сингон буддийской школой . Япония, период Камакура (13–14 века).

   П, а не П ; то есть быть и не быть.
4. нет ( П или не П ); то есть ни быть, ни не быть.
   Согласно пропозициональной логике , законы Де Моргана подразумевали бы, что этот случай эквивалентен третьему случаю ( P , а не P ), и, следовательно, был бы излишним, поскольку нужно было бы рассмотреть только 3 фактических случая.

Дигнага

Однако иногда говорят, что Дигнага (ок. 480–540 гг. Н.э.) разработал формальный силлогизм: и именно благодаря ему и его преемнику Дхармакирти буддийская логика достигла своего апогея; оспаривается, действительно ли их анализ представляет собой формальную силлогистическую систему. В частности, их анализ был сосредоточен на определении отношения, гарантирующего вывод, « вьяпти », также известного как неизменное сопутствующее явление или проникновение. С этой целью была разработана доктрина, известная как «апоха» или дифференциация. Это включало в себя то, что можно было бы назвать включением и исключением определяющих свойств.

Знаменитое «колесо разума» Дигнаги ( Хетукакра ) — это метод указания, когда одну вещь (например, дым) можно воспринимать как неизменный признак другой вещи (например, огня), но вывод часто носит индуктивный характер и основан на прошлых наблюдениях. Матилал отмечает, что анализ Дигнаги во многом похож на индуктивный метод Джона Стюарта Милля «Совместный метод согласия и различия».

Логика в Китае

Основная статья: Логика в Китае

В Китае современнику Конфуция , Мо-цзы «Учителю Мо», приписывают основание мохистской школы , каноны которой касались вопросов, касающихся обоснованного вывода и условий правильных выводов. В частности, одна из школ, выросших из мохизма, «Логики» , получила признание некоторых ученых за раннее исследование формальной логики . Из-за сурового правления легализма в последующей династии Цинь не представили индийскую философию это направление исследований исчезло в Китае до тех пор, пока буддисты .

Логика на Западе

Предыстория логики

Обоснованные рассуждения применялись во все периоды человеческой истории. Однако логика изучает принципы обоснованного рассуждения, вывода и демонстрации. Вероятно, идея доказательства вывода впервые возникла в связи с геометрией , которая первоначально означала то же, что и «земельное измерение». Древние египтяне открыли геометрию , в том числе формулу объёма усеченной пирамиды . Древний Вавилон также был искусен в математике. Эсагил-кин-апли Медицинский диагностический справочник в XI веке до нашей эры был основан на логическом наборе аксиом и предположений: в то время как вавилонские астрономы в 8-м и 7-м веках до нашей эры использовали внутреннюю логику в своих предсказывающих планетных системах, что стало важным вкладом в философию науки .

Древняя Греция до Аристотеля

Хотя древние египтяне эмпирически открыли некоторые истины геометрии, великим достижением древних греков была замена эмпирических методов наглядными доказательствами . И Фалес , и Пифагор из философов-досократиков, похоже, знали о геометрических методах.

Фрагменты ранних доказательств сохранились в трудах Платона и Аристотеля. а идея дедуктивной системы была, вероятно, известна в школе Пифагора и Платоновской академии . Доказательства Евклида Александрийского представляют собой парадигму греческой геометрии. Три основных принципа геометрии заключаются в следующем:

• Некоторые положения должны быть приняты как истинные без доказательства; такое положение известно как аксиома геометрии.
• Всякое положение, не являющееся аксиомой геометрии, должно быть продемонстрировано как следующее из аксиом геометрии; такая демонстрация известна как доказательство или «вывод» предложения.
• Доказательство должно быть формальным ; то есть вывод предложения должен быть независимым от конкретного рассматриваемого предмета.

Еще одно свидетельство того, что ранние греческие мыслители интересовались принципами рассуждения, можно найти во фрагменте под названием dissoi logoi , написанном, вероятно, в начале четвертого века до нашей эры. Это часть затянувшейся дискуссии об истине и лжи. В случае классических греческих городов-государств интерес к аргументации также стимулировался деятельностью риторов или ораторов и софистов , которые использовали аргументы для защиты или критики тезиса как в юридическом, так и в политическом контексте.

Теорема Фалеса

Фалес

Говорят, что Фалес, наиболее широко известный как первый философ греческой традиции , измерил высоту пирамид по их теням в тот момент, когда его собственная тень сравнялась с его ростом. Говорят, что Фалес принес жертву в честь открытия теоремы Фалеса, так же как Пифагор имел теорему Пифагора .

Фалес — первый известный человек, применивший дедуктивные рассуждения применительно к геометрии, выведя четыре следствия из своей теоремы, и первый известный человек, которому приписали математическое открытие. Индийские и вавилонские математики знали эту теорему для особых случаев еще до того, как он ее доказал. Считается, что Фалес узнал, что угол, вписанный в полукруг, является прямым углом во время своего путешествия в Вавилон .

Pythagoras

Евклида Доказательство теоремы Пифагора в элементах

До 520 г. до н.э. во время одного из своих визитов в Египет или Грецию Пифагор, возможно, встретил ок. Фалес на 54 года старше. Систематическое изучение доказательства, по-видимому, началось со школы Пифагора (т. е. пифагорейцев) в конце шестого века до нашей эры. Действительно, пифагорейцы, верившие, что все было числом, были первыми философами, сделавшими упор на форму, а не на материю .

Гераклит и Парменид

Сочинение Гераклита (ок. 535 – ок. 475 до н. э.) было первым местом, где слову логос было уделено особое внимание в древнегреческой философии. Гераклит считал, что все меняется и все представляет собой огонь и конфликтующие противоположности, казалось бы, объединенные только этим Логосом . Он известен своими малоизвестными высказываниями.

Этот логос верен всегда, но люди всегда оказываются неспособными понять его, как до того, как услышали его, так и тогда, когда они впервые услышали его. Ибо хотя все вещи происходят в соответствии с этим логосом , люди подобны неопытным, когда они испытывают такие слова и дела, как я излагаю, различая каждое в соответствии с его природой и говоря, как оно есть. Но другие люди не замечают, что они делают, когда бодрствуют, точно так же, как они забывают, что они делают во время сна.

— Дильс-Кранц , 22Б1

Парменида называют первооткрывателем логики.

В отличие от Гераклита, Парменид считал, что все едино и ничто не меняется. Возможно, он был диссидентом-пифагорейцем, не согласным с тем, что Одно (число) порождает множество. «X не есть» всегда должно быть ложным или бессмысленным. То, что существует, ни в коем случае не может не существовать. Наше чувственное восприятие с его восприятием зарождения и разрушения глубоко ошибочно. Вместо чувственного восприятия Парменид выступал за логос как средство достижения Истины. Его называют первооткрывателем логики.

Согласно этой точке зрения, То, чего нет, никогда не может преобладать. Вы должны отстранить свою мысль от этого пути поиска и не позволять обычному опыту во всем его многообразии толкать вас на этом пути (а именно, позволить) глазу, хотя и незрячему, и уху, полному звука, и языку. , править; но (вы должны) судить посредством Разума ( Логоса ) столь спорное доказательство, которое изложено мною.

— Б 7,1–8,2

Зенон Элейский , ученик Парменида, имел идею стандартной модели аргументации, найденной в методе доказательства, известном как доведение до абсурда . Это техника получения заведомо ложного (то есть «абсурдного») вывода из предположения, демонстрируя тем самым, что предположение ложно. Таким образом, Зенон и его учитель считаются первыми, кто применил искусство логики. В диалоге Платона «Парменид» Зенон утверждает, что написал книгу, защищающую монизм Парменида, демонстрируя абсурдные последствия предположения о существовании множественности. Зенон, как известно, использовал этот метод для развития своих парадоксов в своих аргументах против движения. Подобные диалектические рассуждения впоследствии стали популярными. Членов этой школы называли «диалектиками» (от греческого слова, означающего «обсуждать»).

Платон

Пусть никто, несведущий в геометрии, не войдет сюда.

- Надпись над входом в Академию Платона.

Мозаика Академии Платона

Ни одна из сохранившихся работ великого философа четвертого века Платона (428–347 до н.э.) не содержит какой-либо формальной логики. но они включают важный вклад в область философской логики . Платон ставит три вопроса:

• Что же можно правильно назвать истинным или ложным?
• Какова природа связи между предположениями действительного аргумента и его заключением?
• Какова природа определения?

Первый вопрос возникает в диалоге «Теэтет» , где Платон отождествляет мысль или мнение с речью или дискурсом ( логосом ). Второй вопрос является результатом теории форм Платона . Формы не являются вещами в обычном смысле слова и не являются строго идеями в уме, но они соответствуют тому, что философы позже назвали универсалиями , а именно абстрактной сущности, общей для каждого набора вещей, имеющих одно и то же имя. И в « Государстве» , и в « Софисте» Платон предполагает, что необходимая связь между предположениями действительного аргумента и его заключением соответствует необходимой связи между «формами». Третий вопрос касается определения . Многие диалоги Платона касаются поиска определения какого-то важного понятия (справедливости, истины, добра), и вполне вероятно, что Платон был впечатлен важностью определения в математике. В основе каждого определения лежит Платоническая Форма, общая природа, присутствующая в различных частных вещах. Таким образом, определение отражает конечный объект понимания и является основой всех достоверных выводов. Это оказало большое влияние на ученика Платона Аристотеля , в частности на представление Аристотеля о сущности вещи.

Аристотель

Основная статья: Терминальная логика

Аристотель

Логика Аристотеля и особенно его теория силлогизма оказали огромное влияние на западную мысль . Аристотель был первым логиком, предпринявшим попытку систематического анализа логического синтаксиса существительного (или термина ) и глагола. Он был первым формальным логиком , продемонстрировавшим принципы рассуждения, используя переменные, чтобы показать основную логическую форму аргумента. Он искал отношения зависимости, которые характеризуют необходимый вывод, и отличал обоснованность этих отношений от истинности посылок. рассмотрел принципы противоречия и исключения третьего . Он был первым, кто систематически

Логика Аристотеля все еще имела влияние в эпоху Возрождения.

Органон

Его логические труды, названные « Органон» , представляют собой самое раннее формальное исследование логики, дошедшее до наших дней. Хотя даты определить трудно, вероятный порядок написания логических работ Аристотеля таков:

• Категории — исследование десяти видов примитивных терминов.
• «Темы» (с приложением « О софистических опровержениях ») — обсуждение диалектики.
• Об интерпретации — анализ простых категориальных суждений с помощью простых терминов, отрицания и знаков количества.
• Предварительная аналитика — формальный анализ того, что составляет силлогизм ( действительный аргумент, согласно Аристотелю).
• «Постериорная аналитика» — исследование научных демонстраций, содержащее зрелые взгляды Аристотеля на логику.

На этой диаграмме показаны противоречивые отношения между категорическими суждениями в квадрате оппозиции аристотелевской логики .

Эти работы имеют выдающееся значение в истории логики. В «Категориях» он пытается различить все возможные вещи, к которым может относиться термин; эта идея лежит в основе его философской работы «Метафизика» , которая сама по себе оказала глубокое влияние на западную мысль.

Он также разработал теорию неформальной логики ( т. е. теорию заблуждений ), которая представлена ​​в «Темах и софистических опровержениях» .

«В интерпретации» содержит всестороннее рассмотрение понятий оппозиции и обращения; глава 7 находится в начале квадрата оппозиции (или логического квадрата); Глава 9 содержит начало модальной логики .

« Предварительная аналитика» содержит его изложение «силлогизма», в котором впервые в истории применяются три важных принципа: использование переменных, чисто формальная трактовка и использование аксиоматической системы.

Стоики

Основная статья: Стоическая логика

Другая великая школа греческой логики — школа стоиков . Стоическая логика уходит своими корнями к философу конца V века до нашей эры Евклиду из Мегары , ученику Сократа и чуть более старшему современнику Платона, вероятно, следовавшему традиции Парменида и Зенона. Его учеников и последователей называли « мегарцами », или «эристиками», а позднее «диалектиками». Двумя наиболее важными диалектиками мегарской школы были Диодор Кронос и Филон , которые действовали в конце 4 века до нашей эры.

Хрисипп из Соли

Стоики переняли мегарскую логику и систематизировали ее. Самым важным членом школы был Хрисипп (ок. 278–206 до н. э.), который был ее третьим главой и формализовал большую часть стоической доктрины. Предполагается, что он написал более 700 работ, в том числе не менее 300 по логике, почти ни одна из которых не сохранилась. В отличие от Аристотеля, у нас нет полных сочинений мегарян или ранних стоиков, и нам приходится полагаться в основном на сообщения (иногда враждебные) более поздних источников, в том числе Диогена Лаэртия , Секста Эмпирика , Галена , Авла Геллия , Александра Афродисийского и Цицерон .

Тремя значительными вкладами школы стоиков были (i) их объяснение модальности , (ii) их теория Материального условного и (iii) их объяснение смысла и истины .

• Модальность . Согласно Аристотелю, мегарцы его времени утверждали, что не существует различия между потенциальностью и действительностью . Диодор Кронос определял возможное как то, что либо есть, либо будет, невозможное — как то, что не будет истинным, а случайное — как то, что либо уже есть, либо будет ложным. Диодор также известен тем, что известно как его Главный аргумент , который утверждает, что каждая пара из следующих трех предложений противоречит третьему утверждению:

• Все, что прошло, истинно и необходимо.
• Невозможное не следует из возможного.
• То, чего нет и не будет, возможно.

Диодор использовал правдоподобие первых двух, чтобы доказать, что ничего невозможно, если это не является и не будет правдой. Хрисипп, напротив, отрицал вторую посылку и говорил, что невозможное может следовать из возможного.

• Условные утверждения . Первыми логиками, которые обсудили условные утверждения, были Диодор и его ученик Филон из Мегары. Секст Эмпирик трижды упоминает спор между Диодором и Филоном. Филон считал условное выражение истинным, если оно не имеет одновременно истинного антецедента и ложного следствия . Точнее, пусть T ₀ и T ₁ — истинные высказывания, а F ₀ и F ₁ — ложные высказывания; тогда, согласно Филону, каждое из следующих условных предложений является истинным утверждением, потому что это не тот случай, когда консеквент ложен, в то время как антецедент истинен (это не тот случай, когда утверждается, что ложное утверждение следует из истинного утверждения ):

• Если Т ₀ , то Т ₁
• Если F ₀ , то T ₀
• Если F ₀ , то F ₁

Следующее условное выражение не отвечает этому требованию и, следовательно, по мнению Филона, является ложным утверждением:

• Если Т ₀ , то F ₀

Действительно, Секст говорит: «Согласно [Филону], есть три способа, которыми условное выражение может быть истинным, и один, в котором оно может быть ложным». Критерий истины Филона — это то, что сейчас назвали бы функционально-истинным определением «если… то»; это определение используется в современной логике .

Напротив, Диодор допускал действительность условных предложений только в том случае, если предшествующее предложение никогда не могло привести к неверному выводу. Столетие спустя стоик философ- Хрисипп подверг критике предположения Филона и Диодора.

• Смысл и истина . Самое важное и поразительное различие между мегарианско-стоической логикой и аристотелевской логикой состоит в том, что мегаро-стоическая логика касается предложений, а не терминов, и, таким образом, ближе к современной логике высказываний . Стоики различали высказывание ( phone ), которое может быть шумом, речь ( lexis ), которая артикулирована, но может быть бессмысленной, и речь ( logos ), которая представляет собой осмысленное высказывание. Самой оригинальной частью их теории является идея о том, что то, что выражено предложением, называемым лектоном , является чем-то реальным; это соответствует тому, что теперь называется предложением . Секст говорит, что, по мнению стоиков, три вещи связаны друг с другом: то, что означает, то, что означает, и объект; например, то, что означает, - это слово Дион , и то, что означает, - это то, что понимают греки, но не понимают варвары, а объектом является сам Дион.

Средневековая логика

Логика на Ближнем Востоке

Основная статья: Логика в исламской философии

Смотрите также: Авиценнианская логика

Текст Авиценны , основателя авиценнианской логики.

Работы Аль-Кинди , Аль-Фараби , Авиценны , Аль-Газали , Аверроэса и других мусульманских логиков основывались на аристотелевской логике и сыграли важную роль в передаче идей древнего мира средневековому Западу. Аль-Фараби (Альфараби) (873–950) был аристотелевским логиком, обсуждавшим темы будущих контингентов , числа и соотношения категорий, отношения между логикой и грамматикой , а также неаристотелевских форм вывода . Аль-Фараби также рассматривал теории условных силлогизмов и вывода по аналогии , которые были частью стоической традиции логики, а не аристотелевской.

Маймонид (1138-1204) написал « Трактат о логике» (араб. «Макала Фи-Синат аль-Мантик» ), называя Аль-Фараби «вторым мастером», первым из которых был Аристотель.

Ибн Сина (Авиценна) (980–1037) был основателем авиценнианской логики , пришедшей на смену аристотелевской логике в качестве доминирующей системы логики в исламском мире. а также оказал важное влияние на западных средневековых писателей, таких как Альберт Великий . Авиценна писал о гипотетическом силлогизме. и об исчислении высказываний , которые оба были частью стоической логической традиции. Он разработал оригинальную силлогистическую теорию «временной модализации», включающую темпоральную и модальную логику . Он также использовал индуктивную логику , такую ​​как методы согласия, различия и сопутствующих вариаций, которые имеют решающее значение для научного метода . Одна из идей Авиценны оказала особенно важное влияние на западных логиков, таких как Уильям Оккам : слово Авиценны, обозначающее значение или понятие ( ма'на ), было переведено схоластическими логиками как латинское Intentio ; в средневековой логике и эпистемологии это знак в сознании, естественным образом представляющий вещь. Оккама Это имело решающее значение для развития концептуализма : универсальный термин ( например, «человек») не означает вещь, существующую в реальности, а, скорее, знак в уме ( intentio in intellectu ), который представляет многие вещи в реальности; Оккам цитирует комментарий Авиценны к «Метафизике V» в поддержку этой точки зрения.

Фахр ад-Дин ар-Рази » Аристотеля (р. 1149) раскритиковал « первую фигуру и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхитив систему индуктивной логики, разработанную Джоном Стюартом Миллем (1806–1873). Более поздние исламские ученые рассматривали работу Ар-Рази как обозначение нового направления исламской логики, к поставиценнианской логике . Это было далее развито его учеником Афдаладдином аль-Хунаджи (ум. 1249), который разработал форму логики, вращающуюся вокруг предмета концепций и согласий . В ответ на эту традицию Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) положил начало традиции неоавиценнианской логики, которая осталась верной работам Авиценны и существовала как альтернатива более доминирующей поставиценнианской школе на протяжении следующих столетий.

Школа Иллюминатов была основана Шахаб ад-Дином Сухраварди (1155–1191), который развил идею «решающей необходимости», которая относится к сведению всех модальностей (необходимости, возможности , случайности и невозможности ) к единому виду необходимости. . Ибн ан-Нафис (1213–1288) написал книгу по авиценнианской логике, которая представляла собой комментарий к книгам Авиценны «Аль-Ишарат» ( «Знамения ») и «Аль-Хидая» ( «Путеводение »). Ибн Таймия (1263–1328) написал « Ар-Радд ала аль-Мантикийин» , в котором выступал против полезности, но не обоснованности силлогизма . и в пользу индуктивного рассуждения . Ибн Таймия также выступал против достоверности силлогистических аргументов и в пользу аналогии ; его аргумент состоит в том, что понятия, основанные на индукции, сами по себе не точны, а лишь вероятны, и, таким образом, силлогизм, основанный на таких понятиях, не более надежен, чем аргумент, основанный на аналогии. Далее он утверждал, что сама индукция основана на процессе аналогии. Его модель рассуждений по аналогии была основана на модели юридических аргументов. Эта модель аналогии была использована в недавней работе Джона Ф. Сова .

Шарх ат-такмил фил-мантик, написанный Мухаммадом ибн Файд Аллахом ибн Мухаммадом Амином аш-Шарвани в 15 веке, является последней крупной арабской работой по логике, которая была изучена. Однако «тысячи и тысячи страниц» по логике были написаны между 14 и 19 веками, хотя лишь часть текстов, написанных в этот период, была изучена историками, поэтому мало что известно об оригинальных работах по исламской логике, созданных в период этот более поздний период.

Логика в средневековой Европе

Вопросы Брито по Старой Логике

«Средневековая логика» (также известная как «Схоластическая логика») обычно означает форму аристотелевской логики, разработанную в средневековой Европе примерно в период 1200–1600 годов. На протяжении столетий после того, как была сформулирована логика стоиков, она была доминирующей системой логики в классическом мире. Когда изучение логики возобновилось после Темных веков , основным источником стали работы христианского философа Боэция , который был знаком с некоторыми элементами логики Аристотеля, но почти ни с какими работами стоиков. До двенадцатого века единственными работами Аристотеля, доступными на Западе, были « Категории» , «Об интерпретации» и перевод Боэция «Исагоги Порфирия » ( комментарий к «Категориям»). Эти работы были известны как «Старая логика» ( Logica Vetus или Ars Vetus ). Важной работой в этой традиции была Logica Ingredientibus Петра Абеляра (1079–1142). Его прямое влияние было невелико. но его влияние через таких учеников, как Джон Солсберийский, было велико, а его метод применения строгого логического анализа к богословию определил путь развития богословской критики в последующий период. Доказательство принципа взрыва , также известного как принцип Псевдо-Скота, закона, согласно которому любое предложение может быть доказано из противоречия (включая его отрицание), было впервые дано французским логиком XII века Вильгельмом Суассонским .

К началу тринадцатого века оставшиеся работы Аристотеля « Органон» , в том числе « Предварительная аналитика» , «Постериорная аналитика» и «Софистические опровержения» (вместе известные как Logica Nova или «Новая логика»), были обнаружены на Западе. До тех пор логические работы представляли собой в основном парафразы или комментарии к работам Аристотеля. Период с середины тринадцатого до середины четырнадцатого века был периодом значительного развития логики, особенно в трех областях, которые были оригинальными и имели мало оснований в предшествующей аристотелевской традиции. Это были:

• Теория предположения . Теория предположений занимается тем, как предикаты ( например, «человек») распространяются на область индивидов ( например, всех мужчин). В предложении «каждый человек есть животное» термин «человек» охватывает или «предполагает» людей, существующих только в настоящем, или же этот диапазон включает прошлых и будущих людей? Может ли термин предполагать несуществующую личность? Некоторые медиевисты утверждают, что эта идея является предшественником современной логики первого порядка . «Теория предположения и связанные с ней теории копуляции (знаковой емкости прилагательных), амплиатио (расширения референциальной области) и распределения представляют собой одно из самых оригинальных достижений западной средневековой логики».
• Теория синкатегорем . Синкатегорематы — это термины, которые необходимы для логики, но которые, в отличие от категорематических терминов, не означают сами по себе, а «со-означают» с другими словами. Примерами синкатегорем являются «и», «не», «каждый», «если» и т. д.
• Теория последствий . Следствием является гипотетическое условное суждение: два суждения, соединенные терминами «если… то». Например, «если человек бежит, значит, Бог существует» ( Si homo currit, Deus est ). Полностью развитая теория следствий изложена в третьей книге Уильяма Оккама труда «Сумма логики» . Там Оккам проводит различие между «материальными» и «формальными» последствиями, которые примерно эквивалентны современным материальным и логическим импликациям соответственно. Подобные отчеты дают Жан Буридан и Альберт Саксонский .

Последними великими произведениями этой традиции являются « Логика » Джона Пуансо (1589–1644, известная как «Иоанн Святого Фомы» ), «Метафизические диспуты» Франсиско Суареса (1548–1617) и « Демонстративная логика» Джованни Джироламо Саккери (1667–1733) . ).

Традиционная логика

Учебная традиция

Дадли Феннера ( Искусство логики 1584)

Традиционная логика обычно означает школьную традицию, которая начинается с «Логики» Антуана Арно и Пьера Николя , или «Искусства мышления» , более известной как « Логика Пор-Рояля» . Опубликованная в 1662 году, это была самая влиятельная работа по логике после Аристотеля до девятнадцатого века. Книга представляет в общих чертах картезианскую доктрину (например, что это утверждение представляет собой комбинацию идей, а не терминов) в рамках, которые в целом заимствованы из аристотелевской и средневековой терминологической логики . Между 1664 и 1700 годами вышло восемь изданий, и после этого книга имела значительное влияние. Пор-Рояль вводит понятия протяженности и интенсионала . Изложение предложений , которое Локк дает в «Опыте» , по сути, соответствует описанию Пор-Рояля: «Вербальные предложения, являющиеся словами, [являются] знаками наших идей, соединенных или разделенных в утвердительных или отрицательных предложениях. Таким образом, это предложение состоит в соединении или разделении этих знаков в зависимости от того, совпадают или не совпадают вещи, которые они обозначают».

Дадли Феннер помог популяризировать рамистскую логику, реакцию на Аристотеля. Еще одной влиятельной работой стал Novum Organum Фрэнсиса Бэкона , опубликованный в 1620 году. Название переводится как «новый инструмент». Это отсылка к Аристотеля работе , известной как «Органон» . В этой работе Бэкон отвергает силлогистический метод Аристотеля в пользу альтернативной процедуры, «которая медленным и усердным трудом собирает информацию из вещей и приводит ее к пониманию». Этот метод известен как индуктивное рассуждение , метод, который начинается с эмпирического наблюдения и переходит к низшим аксиомам или утверждениям; из этих нижних аксиом можно вывести более общие. Например, при нахождении причины феноменального характера, такой как тепло, следует составить 3 списка:

• Список присутствия: список всех ситуаций, в которых обнаруживается тепло.
• Список отсутствия: список каждой ситуации, которая аналогична хотя бы одной из ситуаций из списка присутствия, за исключением отсутствия тепла.
• Список изменчивости: список всех ситуаций, в которых температура может меняться.

Тогда природа формы (или причина) тепла может быть определена как то, что является общим для каждой ситуации из списка присутствия, чего не хватает в каждой ситуации из списка отсутствия, и что варьируется по степени в каждой ситуации изменчивости. список.

Другие работы в традициях учебников включают Исаака Уоттса ( «Логику: или правильное использование разума» 1725 г.), Ричарда Уэйтли » «Логику (1826 г.) и Джона Стюарта Милля ( «Систему логики» 1843 г.). Хотя последняя была одной из последних великих работ в этой традиции, взгляд Милля на то, что основы логики лежат в самоанализе повлиял на точку зрения, согласно которой логику лучше всего понимать как раздел психологии, точку зрения, которая доминировала в следующие пятьдесят лет ее развития, особенно в Германии.

Логика в философии Гегеля

Георг Вильгельм Фридрих Гегель

Г.В.Ф. Гегель указал на важность логики для своей философской системы, когда он объединил свою обширную «Науку логики» в более короткую работу, опубликованную в 1817 году в качестве первого тома своей «Энциклопедии философских наук». «Краткая» или «Энциклопедия» Логика , как ее часто называют, намечает ряд переходов, ведущих от самой пустой и абстрактной категории — Гегель начинает с «Чистого Бытия» и «Чистого Ничто» — к « Абсолютному ». ", категория, которая содержит и разрешает все категории, которые ей предшествовали. Несмотря на название, «Логика» Гегеля на самом деле не является вкладом в науку о достоверных умозаключениях. Вместо того, чтобы делать выводы о понятиях посредством обоснованного вывода из посылок, Гегель стремится показать, что размышление об одном понятии вынуждает думать о другом понятии (нельзя, утверждает он, обладать понятием «Качество» без понятия «Количество»); это принуждение, по-видимому, не является делом индивидуальной психологии, ибо оно вытекает почти органически из содержания самих понятий. Его цель — показать рациональную структуру «Абсолюта» — фактически, саму рациональность. Метод, с помощью которого мысль перемещается от одного понятия к противоположному, а затем к дальнейшим понятиям, известен как гегелевский метод. диалектика .

» Гегеля Хотя «Логика не оказала большого влияния на основные логические исследования, ее влияние можно увидеть и в других местах:

• Карла фон Прантля ( «История логики на Западе» 1855–1867).
• Работы британских идеалистов Ф.Х. Брэдли , такие как «Принципы логики» (1883).
• Экономические, политические и философские исследования Карла Маркса и различных школ марксизма .

Логика и психология

Между работами Милля и Фреге прошло полвека, в течение которых логика широко рассматривалась как описательная наука, эмпирическое исследование структуры рассуждений и, таким образом, по существу как раздел психологии . Немецкий психолог Вильгельм Вундт , например, обсуждал вывод «логического из психологических законов мышления», подчеркивая, что «психологическое мышление всегда является более всеобъемлющей формой мышления». Эта точка зрения была широко распространена среди немецких философов того периода:

• Теодор Липпс описал логику как «особую дисциплину психологии».
• Кристоф фон Зигварт понимал логическую необходимость, основанную на принуждении человека думать определенным образом.
• Бенно Эрдманн утверждал, что «логические законы действуют только в пределах нашего мышления».

Таков был доминирующий взгляд на логику в годы, последовавшие за работами Милля. Этот психологический подход к логике был отвергнут Готтлобом Фреге . Он также подвергся обширной и разрушительной критике со стороны Эдмунда Гуссерля в первом томе его «Логических исследований» (1900), нападение, которое было описано как «ошеломляющее». Гуссерль решительно утверждал, что обоснование логики психологическими наблюдениями подразумевает, что все логические истины остаются недоказанными и что скептицизм и релятивизм являются неизбежными последствиями.

Такая критика не сразу искоренила то, что называется « психологизмом ». Например, американский философ Джозайя Ройс , признавая силу критики Гуссерля, оставался «неспособным сомневаться», что прогресс в психологии будет сопровождаться прогрессом в логике, и наоборот.

Расцвет современной логики

Период между четырнадцатым веком и началом девятнадцатого века был в основном периодом упадка и забвения, и историки логики обычно считают его бесплодным. Возрождение логики произошло в середине девятнадцатого века, в начале революционного периода, когда этот предмет превратился в строгую и формалистическую дисциплину, образцом которой стал точный метод доказательства, используемый в математике . Развитие современной «символической» или «математической» логики в этот период является самым значительным в 2000-летней истории логики и, возможно, одним из самых важных и замечательных событий в интеллектуальной истории человечества.

Ряд особенностей отличает современную логику от старой аристотелевской или традиционной логики, наиболее важные из которых заключаются в следующем: Современная логика, по сути, представляет собой исчисление , правила работы которого определяются только формой , а не значением используемых символов, как в математике. Многие логики были впечатлены «успехом» математики, поскольку не было продолжительных споров о каком-либо истинно математическом результате. К.С. Пирс отметил в вычислении определенного интеграла что, хотя ошибка Лапласа привела к ошибке относительно орбиты Луны, которая сохранялась почти 50 лет, ошибка, однажды обнаруженная, была исправлена ​​без каких-либо серьезных споров. Пирс противопоставил это спорам и неопределенности, окружающим традиционную логику и особенно рассуждения в метафизике . Он утверждал, что по-настоящему «точная» логика будет зависеть от математического, т. е. «диаграммного» или «иконического» мышления. «Те, кто следует таким методам, ... избегут всех ошибок, за исключением тех, которые будут быстро исправлены после того, как они будут заподозрены». Современная логика также «конструктивна», а не «абстрактивна»; т.е. вместо того, чтобы абстрагировать и формализовать теоремы, полученные из обычного языка (или из психологических интуиций относительно их достоверности), он конструирует теоремы формальными методами, а затем ищет интерпретацию на обычном языке. Это совершенно символично, т. е. даже логические константы (которые средневековые логики называли « синкатегорематы »), а категориальные термины выражаются в символах.

Современная логика

Смотрите также: История математической логики

Развитие современной логики делится примерно на пять периодов:

• Эмбриональный период от Лейбница до 1847 года, когда понятие логического исчисления обсуждалось и развивалось, особенно Лейбницем, но не было сформировано никаких школ, а отдельные периодические попытки были оставлены или остались незамеченными.
• Алгебраический период от Буля «Анализа» Шрёдера » до «Vorlesungen . В этот период было больше практиков и большая непрерывность развития.
• Логистический ​ период от Begriffsschrift Фреге ​ до Mathematica Рассела Уайтхеда и Principia . Целью «логицистской школы» было объединить логику всего математического и научного дискурса в единую систему, которая, принимая в качестве основного принципа логику всех математических истин, не принимала никакой нелогической терминологии. Основными логиками были Фреге , Рассел и ранний Витгенштейн . Кульминацией его являются «Начала» , важная работа, которая включает в себя тщательное исследование и попытку решения антиномий, которые были препятствием на пути предыдущего прогресса.
• Метаматематический период с 1910 по 1930-е годы, который видел развитие металогики , в финитистской системе Гильберта , и нефинитистской системы Лёвенгейма и Скулема , соединения логики и металогики в творчестве Гёделя и Тарского . Гёделя Теорема о неполноте 1931 года была одним из величайших достижений в истории логики. Позже, в 1930-х годах, Гёдель разработал понятие теоретико -множественной конструктивности .
• Период после Второй мировой войны , когда математическая логика разделилась на четыре взаимосвязанные, но отдельные области исследований: теорию моделей , теорию доказательств , теорию вычислимости и теорию множеств , а ее идеи и методы начали влиять на философию .

Эмбриональный период

Лейбниц

Идея о том, что вывод может быть представлен чисто механическим процессом, встречается еще у Раймона Луллия , который предложил (несколько эксцентричный) метод получения заключений с помощью системы концентрических колец. Работа логиков, таких как Оксфордские калькуляторы привело к способу употребления букв вместо записи логических вычислений ( расчетов ) словами, методу, использованному, например, в Logica magna Павла Венецианского . Через триста лет после Луллия английский философ и логик Томас Гоббс предположил, что вся логика и рассуждения могут быть сведены к математическим операциям сложения и вычитания. Та же идея встречается в работах Лейбница , который читал и Луллия, и Гоббса и который утверждал, что логику можно представить через комбинаторный процесс или исчисление. Но, как и Луллию и Гоббсу, ему не удалось разработать детальную и всеобъемлющую систему, и его работа по этой теме была опубликована лишь спустя много времени после его смерти. Лейбниц говорит, что обычные языки подвержены «бесчисленным двусмысленностям» и непригодны для исчисления, задача которого состоит в том, чтобы выявить ошибки вывода, возникающие из форм и структур слов; следовательно, он предложил определить алфавит человеческого мышления , включающий фундаментальные понятия, которые можно было бы составить для выражения сложных идей. и создать рационалист исчисления , который сделал бы все аргументы «столь же осязаемыми, как аргументы математиков, чтобы мы могли с первого взгляда найти нашу ошибку, а когда между людьми возникают споры, мы могли бы просто сказать: давайте посчитаем».

Жергонн (1816) сказал, что рассуждения не обязательно должны касаться объектов, о которых человек имеет совершенно ясные представления, поскольку алгебраические операции можно выполнять, не имея никакого представления о значении задействованных символов. Больцано предвосхитил фундаментальную идею современной теории доказательств, когда определил логическое следствие или «выводимость» в терминах переменных:

Поэтому я говорю, что предложения $M$, $N$, $O$,... выводятся из предложений $A$, $B$, $C$, $D$,... относительно переменных частей $i$, $j$,..., если каждый класс идей, замена которых на $i$, $j$,... делает все из $A$, $B$, $C$, $D$,... правда, тоже делает все из $M$, $N$, $O$,... истинный. Иногда, по традиции, я буду говорить, что предложения $M$, $N$, $O$,... следуют могут выведены или быть из $A$, $B$, $C$, $D$,.... Предложения $A$, $B$, $C$, $D$,...я позвоню в помещение , $M$, $N$, $O$,... выводы.

Теперь это известно как семантическая достоверность .

Алгебраический период

Джордж Буль

Современная логика начинается с так называемой «алгебраической школы», берущей свое начало от Буля и включающей Пирса , Джевонса , Шредера и Венна . Их целью была разработка исчисления, позволяющего формализовать рассуждения в области классов, предложений и вероятностей. Школа начинается с основополагающей работы Буля «Математический анализ логики» , которая появилась в 1847 году, хотя Де Морган (1847) является ее непосредственным предшественником. Фундаментальная идея системы Буля заключается в том, что алгебраические формулы можно использовать для выражения логических отношений. Эта идея пришла Булю в подростковые годы, когда он работал швейцаром в частной школе в Линкольне, Линкольншир . Например, пусть x и y обозначают классы, пусть символ = означает, что классы имеют одни и те же члены, xy обозначает класс, содержащий все и только члены x и y, и так далее. Буль называет эти выборные символы , т.е. символы, которые выбирают для рассмотрения определенные объекты. Выражение, в котором используются выборные символы, называется выборной функцией , а уравнение, членами которого являются выборные функции, является выборным уравнением . Теория выборных функций и их «развития» по существу представляет собой современную идею функций истинности и их выражения в дизъюнктивной нормальной форме .

Система Буля допускает две интерпретации: в логике классов и в логике высказываний. Буль различал «первичные предложения», являющиеся предметом силлогистики, и «вторичные предложения», являющиеся предметом логики высказываний, и показал, как при разных «интерпретациях» одна и та же алгебраическая система может представлять и то, и другое. Пример первичного предложения: «Все жители либо европейцы, либо азиаты». Пример вторичного предложения: «Либо все жители — европейцы, либо все они — азиаты». Их легко отличить в современной логике предикатов, где также можно показать, что первое следует из второго, но существенным недостатком является отсутствие способа представить это в булевой системе.

В своей «Символической логике» (1881) Джон Венн использовал диаграммы перекрывающихся областей для выражения логических отношений между классами или условий истинности предложений. продемонстрировал Королевскому обществу . В 1869 году Джевонс понял, что методы Буля можно механизировать, и сконструировал «логическую машину», которую в следующем году В 1885 году Аллан Маркванд предложил электрическую версию машины, которая сохранилась до сих пор ( фотография в библиотеке Файерстоун ).

Чарльз Сандерс Пирс

Все недостатки системы Буля (например, использование буквы v для экзистенциальных суждений) были исправлены его последователями. Джевонс опубликовал «Чистую логику», или «Логику качества отдельно от количества» , в 1864 году, где он предложил символ, обозначающий исключительность или , что позволило значительно упростить систему Буля. Это было полезно использовано Шредером, когда он изложил теоремы в параллельных колонках в своей книге «Vorlesungen» (1890–1905). Пирс (1880) показал, как все булевы выборные функции могут быть выражены с помощью одной примитивной двоичной операции « ни... ни... » и одинаково хорошо « не то и другое... и... », однако, как и многие инновации Пирса, это оставалось неизвестным или незамеченным, пока Шеффер не открыл его заново в 1913 году. В ранних работах Буля также отсутствует идея логической суммы , берущая свое начало у Пирса (1867), Шредера (1877) и Джевонса (1890). и концепция включения , впервые предложенная Жергонном (1816 г.) и четко сформулированная Пирсом (1870 г.).

Логические кратные

Успех алгебраической системы Буля показал, что всякая логика должна быть способна к алгебраическому представлению, и были попытки выразить логику отношений в такой форме, из которых наиболее амбициозной была монументальная работа Шредера « Vorlesungen über die Algebra der Logik» («Лекции по алгебре логики»). Алгебра логики», том III 1895), хотя первоначальная идея снова была предвосхищена Пирсом.

Непоколебимое принятие Булем логики Аристотеля подчеркивается историком логики Джоном Коркораном в доступном введении к «Законам мышления». Коркоран также написал детальное сравнение предшествующей аналитики и законов мышления . По мнению Коркорана, Буль полностью принял и одобрил логику Аристотеля. Целью Буля было «пройти под, над и за пределы» логики Аристотеля, 1) предоставив ей математические основы, включающие уравнения, 2) расширив класс проблем, которые она могла решать — от оценки обоснованности до решения уравнений — и 3) расширив диапазон приложений, с которыми он мог бы справиться — например, от предложений, имеющих только два термина, до предложений, имеющих сколь угодно много членов.

Точнее, Буль согласился с тем, что Аристотель сказал ; «Разногласия» Буля, если их можно так назвать, касаются того, чего не сказал Аристотель. Во-первых, в области оснований Буль свел четыре пропозициональные формы аристотелевской логики к формулам в форме уравнений — что само по себе является революционной идеей. Во-вторых, в области логических задач добавление Булем решения уравнений к логике — еще одна революционная идея — включало в себя доктрину Буля о том, что правила вывода Аристотеля («совершенные силлогизмы») должны быть дополнены правилами решения уравнений. В-третьих, в области приложений система Буля могла обрабатывать многочленные предложения и аргументы, тогда как Аристотель мог обрабатывать только двухчленные предложения и аргументы субъект-предикат. Например, система Аристотеля не могла вывести «Ни один четырехугольник, являющийся квадратом, не является прямоугольником, являющимся ромбом» из «Ни один квадрат, являющийся четырехугольником, не является ромбом, являющимся прямоугольником» или из «Ни один ромб, являющийся прямоугольником, не является прямоугольником». квадрат, который является четырехугольником».

Период логиста

Слава Богу, Фреге.

После Буля следующие большие успехи были сделаны немецким математиком Готтлобом Фреге . Целью Фреге была программа логицизма , т.е. демонстрация того, что арифметика идентична логике. Фреге пошел гораздо дальше, чем любой из его предшественников, в своем строгом и формальном подходе к логике, и его исчисление, или Begriffsschrift, важно. Фреге также пытался показать, что понятие числа можно определить чисто логическими средствами, так что (если он был прав) логика включает в себя арифметику и все разделы математики, сводимые к арифметике. Он был не первым писателем, предложившим это. В своей новаторской работе Die Grundlagen der Arithmetik («Основы арифметики»), разделы 15–17, он признает усилия Лейбница, Дж. С. Милля , а также Джевонса, цитируя утверждение последнего о том, что «алгебра — это высокоразвитая логика, и число, но логическая дискриминация».

Первая работа Фреге, Begriffsschrift («сценарий понятий»), представляет собой строго аксиоматизированную систему логики высказываний, опирающуюся всего на две связки (отрицательную и условную), два правила вывода ( modus ponens и подстановка) и шесть аксиом. Фреге ссылался на «полноту» этой системы, но не смог этого доказать. Однако наиболее значительным нововведением было его объяснение квантора с точки зрения математических функций. Традиционная логика рассматривает предложение «Цезарь — человек» как имеющее по сути ту же форму, что и «все люди смертны». Предложения с подлежащим имени собственного считались универсальными по своему характеру, интерпретируемыми как «каждый Цезарь — человек». Вначале Фреге отказывается от традиционных «понятий субъекта и предиката », заменяя их аргументом и функцией соответственно, которые, по его мнению, «выдержат испытание временем». Легко увидеть, как рассмотрение содержания как функции аргумента приводит к образование понятий, кроме того, заслуживает внимания демонстрация связи между значениями слов если и, не или, есть, некоторые, все и т. д.». Фреге утверждал, что кванторное выражение «все люди» не имеет той же логической или семантической формы, что и «все люди», и что универсальное предложение «каждый А есть В» представляет собой сложное предложение, включающее две функции , а именно: «- есть А». и «- является B» таким, что все, что удовлетворяет первому, удовлетворяет и второму. В современных обозначениях это будет выражаться как

$\forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}$

По-английски «для всех x, если Ax, то Bx». Таким образом, только сингулярные предложения имеют форму субъекта-предиката, и они неприводимо сингулярны, т. е. не сводятся к общему предложению. Всеобщие и частные предложения, напротив, вовсе не имеют простой формы субъект-предикат. Если бы «все млекопитающие» были логическим подлежащим предложения «все млекопитающие являются наземными обитателями», то для отрицания всего предложения нам пришлось бы отрицать предикат «все млекопитающие не являются наземными обитателями». Но это не так. Этот функциональный анализ предложений обычного языка позже оказал большое влияние на философию и лингвистику .

Это означает, что в исчислении Фреге «первичные» предложения Буля могут быть представлены иначе, чем «вторичные» предложения. «Все жители либо мужчины, либо женщины»

Фреге . «Концептуальный сценарий»

$\forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}$

тогда как «Все жители — мужчины или все жители — женщины»

$\forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}$

Как заметил Фреге в критике исчисления Буля:

«Настоящая разница в том, что я избегаю [булева] деления на две части… и даю однородное представление партии. В булевском методе две части идут рядом друг с другом, так что одна является зеркальным отражением другой, но именно по этой причине не находится с ним в органическом отношении».

Исчисление Фреге не только предоставило единую и всеобъемлющую систему логики, но и решило древнюю проблему множественной общности . Двусмысленность фразы «каждая девочка поцеловала мальчика» трудно выразить в традиционной логике, но логика Фреге разрешает это через различный объем кванторов. Таким образом

$\forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}$

Пеано

означает, что каждой девушке соответствует какой-то мальчик (подойдет любой), которого девушка поцеловала. Но

$\exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}$

означает, что есть какой-то конкретный мальчик, которого целовала каждая девочка. Без этого приема проект логицизма был бы сомнителен или невозможен. Используя его, Фреге дал определение родового отношения , отношения «многие к одному » и математической индукции .

Эрнст Цермело

Этот период совпадает с работой так называемой «математической школы», в которую входили Дедекинд , Паш , Пеано , Гильберт , Цермело , Хантингтон , Веблен и Хейтинг . Их целью была аксиоматизация таких разделов математики, как геометрия, арифметика, анализ и теория множеств. Наиболее примечательной была Программа Гильберта , которая стремилась обосновать всю математику на конечном наборе аксиом, доказывая ее непротиворечивость «финитистскими» средствами и предоставляя процедуру, которая определяла бы истинность или ложность любого математического утверждения. Стандартная аксиоматизация натуральных чисел одноименно названа аксиомами Пеано . Пеано проводил четкое различие между математическими и логическими символами. Не зная о работах Фреге, он самостоятельно воссоздал свой логический аппарат на основе работ Буля и Шредера.

парадокса Логистический проект потерпел почти фатальную неудачу с открытием в 1901 году Бертраном Расселом . Фреге Это доказало, что наивная теория множеств привела к противоречию. Теория Фреге содержала аксиому, согласно которой для любого формального критерия существует множество всех объектов, удовлетворяющих этому критерию. Рассел показал, что множество, содержащее именно те множества, которые не являются членами самих себя, будет противоречить своему собственному определению (если оно не является членом самого себя, оно является членом самого себя, а если оно является членом самого себя, то это не так). . Это противоречие теперь известно как парадокс Рассела . Один важный метод разрешения этого парадокса был предложен Эрнстом Цермело . Теория множеств Цермело была первой аксиоматической теорией множеств . Она была развита в ныне каноническую теорию множеств Цермело – Френкеля (ZF). Парадокс Рассела символически выглядит следующим образом:

${\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R$

Монументальный Principia Mathematica , трёхтомный труд по основам математики , написанный Расселом и Альфредом Норт Уайтхедом и опубликованный в 1910–1913 годах, также включал попытку разрешить парадокс посредством сложной системы типов : набора элементов. имеет другой тип, чем каждый из его элементов (множество не является элементом; один элемент не является множеством), и нельзя говорить о « множестве всех множеств ». « Начала» были попыткой вывести все математические истины из четко определенного набора аксиом и правил вывода в символической логике .

Метаматематический период

Курт Гёдель

Имена Гёделя и Тарского доминируют в 1930-х годах. решающий период в развитии метаматематики – изучение математики с использованием математических методов для создания метатеорий или математических теорий на основе других математических теорий. Ранние исследования метаматематики были основаны на программе Гильберта. Работа по метаматематике достигла кульминации в работе Гёделя, который в 1929 году показал, что данное предложение первого порядка выводимо тогда и только тогда , когда оно логически достоверно, т. е. оно истинно в каждой структуре своего языка. Это известно как теорема Гёделя о полноте . Год спустя он доказал две важные теоремы, показавшие недостижимость программы Хиберта в ее первоначальном виде. Во-первых, ни одна последовательная система аксиом, теоремы которой могут быть перечислены с помощью эффективной процедуры, такой как алгоритм или компьютерная программа, не способна доказать все факты о натуральных числах . Для любой такой системы всегда будут утверждения о натуральных числах, которые верны, но недоказуемы внутри системы. Во-вторых, если такая система способна доказать некоторые основные факты о натуральных числах, то она не сможет доказать непротиворечивость самой системы. Эти два результата известны как Теоремы Гёделя о неполноте , или просто Теорема Гёделя . Позже в том же десятилетии Гёдель разработал концепцию теоретико-множественной конструктивности как часть своего доказательства того, что аксиома выбора и гипотеза континуума согласуются с теорией множеств Цермело-Френкеля .В теории доказательств Герхард Генцен разработал естественную дедукцию и секвенциальное исчисление . Первый представляет собой попытку смоделировать логические рассуждения в том виде, в котором они «естественно» возникают на практике и наиболее легко применимы к интуиционистской логике , тогда как второй был разработан для разъяснения вывода логических доказательств в любой формальной системе. Со времени работы Генцена естественная дедукция и секвенционные исчисления широко применялись в области теории доказательств, математической логики и информатики. Генцен также доказал теоремы о нормализации и исключении разрезов для интуиционистской и классической логики, которые можно было использовать для приведения логических доказательств к нормальной форме.

Альфред Тарский

Альфред Тарский , ученик Лукасевича , наиболее известен своим определением истины и логических следствий , а также семантической концепцией логического удовлетворения . В 1933 году он опубликовал (на польском языке) «Понятие истины на формализованных языках », в котором предложил свою семантическую теорию истины : такое предложение, как «снег бел», истинно тогда и только тогда, когда снег бел. Теория Тарского отделила метаязык , делающий утверждение об истине, от предметного языка, содержащего предложение, истинность которого утверждается, и дала соответствие ( Т-схему ) между фразами предметного языка и элементами интерпретации . Подход Тарского к сложной идее объяснения истины оказал непреходящее влияние на логику и философию, особенно на развитие теории моделей . Тарский также произвел важную работу по методологии дедуктивных систем и по фундаментальным принципам, таким как полнота , разрешимость , непротиворечивость и определимость . По словам Аниты Феферман, Тарский «изменил облик логики двадцатого века».

Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг предложили формальные модели вычислимости, дав независимые отрицательные решения проблемы Гильберта Entscheidungs ​​в 1936 и 1937 годах соответственно. Проблема Entscheidungs ​​требовала процедуры, которая по любому формальному математическому утверждению алгоритмически определяла бы, истинно ли это утверждение. Чёрч и Тьюринг доказали, что такой процедуры не существует; В статье Тьюринга проблема остановки представлена ​​как ключевой пример математической проблемы, не имеющей алгоритмического решения.

Система вычислений Чёрча превратилась в современное λ-исчисление , а машина Тьюринга стала стандартной моделью вычислительного устройства общего назначения. Вскоре было показано, что многие другие предложенные модели вычислений по мощности эквивалентны моделям, предложенным Чёрчем и Тьюрингом. Эти результаты привели к тезису Чёрча-Тьюринга о том, что любой детерминированный алгоритм , который может выполнить человек, может быть выполнен машиной Тьюринга. Чёрч доказал дополнительные результаты о неразрешимости, показав, что и Пеано , и логика первого порядка неразрешимы арифметика . Более поздние работы Эмиля Поста и Стивена Коула Клини в 1940-х годах расширили сферу применения теории вычислимости и ввели концепцию степеней неразрешимости .

Результаты первых нескольких десятилетий двадцатого века также оказали влияние на аналитическую философию и философскую логику , особенно с 1950-х годов, в таких предметах, как модальная логика , темпоральная логика , деонтическая логика и логика релевантности .

Логика после Второй Мировой войны

Саул Крипке

После Второй мировой войны математическая логика разделилась на четыре взаимосвязанные, но отдельные области исследований: теорию моделей , теорию доказательств , теорию вычислимости и теорию множеств .

В теории множеств метод принуждения произвел революцию в этой области, предоставив надежный метод построения моделей и получения результатов независимости. Пол Коэн представил этот метод в 1963 году, чтобы доказать независимость гипотезы континуума и аксиомы выбора от теории множеств Цермело – Френкеля . Его техника, которая была упрощена и расширена вскоре после ее появления, с тех пор применялась ко многим другим задачам во всех областях математической логики.

Теория вычислимости уходит корнями в работы Тьюринга, Чёрча, Клини и Поста в 1930-х и 40-х годах. Оно переросло в исследование абстрактной вычислимости, которое стало известно как теория рекурсии . Метод приоритетов , открытый независимо Альбертом Мучником и Ричардом Фридбергом в 1950-х годах, привел к значительному прогрессу в понимании степеней неразрешимости и связанных с ними структур. Исследования теории вычислимости высшего порядка продемонстрировали ее связь с теорией множеств. Области конструктивного анализа и вычислимого анализа были разработаны для изучения эффективного содержания классических математических теорем; это, в свою очередь, вдохновило программу обратной математики . Отдельная ветвь теории вычислимости — теория сложности вычислений — также была охарактеризована в логических терминах в результате исследований дескриптивной сложности .

Теория моделей применяет методы математической логики для изучения моделей конкретных математических теорий. Альфред Тарский опубликовал множество новаторских работ в этой области, названной в честь серии статей, которые он опубликовал под названием « Вклад в теорию моделей» . В 1960-х годах Абрахам Робинсон использовал теоретико-модельные методы для разработки исчисления и анализа на основе бесконечно малых — проблема, которая впервые была предложена Лейбницем.

В теории доказательств связь между классической математикой и интуиционистской математикой была прояснена с помощью таких инструментов, как метод реализуемости, изобретенный Георгом Крейзелем Гёделя диалектики , и интерпретация . Эта работа вдохновила современную область доказательной добычи . Соответствие Карри-Ховарда возникло как глубокая аналогия между логикой и вычислениями, включая соответствие между системами естественной дедукции и типизированными лямбда-исчислениями, используемыми в информатике. В результате исследования этого класса формальных систем начали затрагивать как логические, так и вычислительные аспекты; эта область исследований стала известна как современная теория типов. Прогресс был также достигнут в порядковом анализе и изучении результатов независимости в арифметике, таких как теорема Пэрис-Харрингтона .

Это также был период, особенно в 1950-е годы и позже, когда идеи математической логики начинают влиять на философское мышление. Например, временная логика — это формализованная система представления и рассуждения предложений, ограниченных во времени. философ Артур Прайор В его развитии в 1960-е годы значительную роль сыграл . Модальная логика расширяет сферу формальной логики, включая элементы модальности ( например, возможность и необходимость ). Идеи Саула Крипке , особенно о возможных мирах , и формальная система, которая теперь называется семантикой Крипке, оказали глубокое влияние на аналитическую философию . Его самая известная и влиятельная работа — «Именование и необходимость» (1980). Деонтическая логика тесно связана с модальной логикой: они пытаются уловить логические особенности обязательства , разрешения и связанных с ними концепций. Хотя некоторые основные новинки, синкретизирующие математическую и философскую логику, были показаны Больцано в начале 1800-х годов, именно Эрнст Малли , ученик Алексиуса Мейнонга , должен был предложить первую формальную деонтическую систему в его Grundgesetze des Sollens , основанную на синтаксисе Уайтхеда. Рассела и исчисление высказываний .

Другой логической системой, основанной после Второй мировой войны, была нечеткая логика азербайджанского математика Лютфи Аскера-Заде в 1965 году.

См. также

• История дедуктивного рассуждения
• История индуктивного рассуждения
• История абдуктивного рассуждения
• История концепции функции
• История математики
• История философии
• Платоновая борода
• Хронология математической логики

Ссылки

Первичные источники

• Александр Афродисийский , У Аристотеля Ан. Пр. Либ. Я Комментарий , изд. Уоллис, Берлин, CIAG vol. II/1, 1882 г.
• Авиценна, Опера Авиценны в Венеции, 1508 год.
• Комментарий Боэция к перигермениям , второе издание, изд. Мейзер, Лейпциг, Тойбнер, 1880 г.
• Больцано, Бернар Виссенсшафтслере , (1837) 4 Bde, Neudr., hrsg. В. Шульц, Лейпциг I – II 1929, III 1930, IV 1931 ( Теория науки , четыре тома, перевод Рольфа Джорджа и Пола Руснока, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2014).
• Бернарда Больцано, Теория науки (под редакцией Яна Берга с введением. Перевод с немецкого Бернхэма Террелла - Издательство D. Reidel Publishing Company , Дордрехт и Бостон, 1973).
• Буль, Джордж (1847) Математический анализ логики (Кембридж и Лондон); представитель в исследованиях по логике и теории вероятностей , под ред. Р. Рис (Лондон, 1952).
• Буль, Джордж (1854 г.) Законы мышления (Лондон и Кембридж); представитель как собрание логических сочинений . Том. 2 (Чикаго и Лондон: Открытый суд , 1940).
• Эпиктет , Эпиктет Диссертации, переработанные Аррианом , под редакцией Генриха Шенкля, Лейпциг, Тойбнера. 1894 г.
• Фреге, Г., «Логическое исчисление Буля и концептуальный сценарий» , 1882, в «Посмертных сочинениях» , пер. П. Лонг и Р. Уайт, 1969, стр. 9–46.
• Жергонн, Жозеф Диас , (1816) Очерк рациональной диалектики , в Annals of Pure and Applied Mathematics 7, 1816/1817, 189–228.
• Джевонс, В.С. Принципы науки , Лондон, 1879 г.
• Теория терминов Оккама : Часть I Summa Logicae , переведенная и представленная Майклом Дж. Лу (Нотр-Дам, Индиана: University of Notre Dame Press, 1974). Перепечатано: Саут-Бенд, Индиана: St. Augustine's Press, 1998.
• Теория предложений Оккама : Часть II Summa Logicae, переведенная Альфредом Дж. Фреддосо и Генри Шурманом и представленная Альфредом Дж. Фреддосо (Нотр-Дам, Индиана: University of Notre Dame Press, 1980). Перепечатано: Саут-Бенд, Индиана: St. Augustine's Press, 1998.
• Пирс, CS , (1896), «Возрожденная логика», The Monist , vol. VII , № 1, стр . 19–40 , The Open Court Publishing Co., Чикаго, Иллинойс, 1896 г., для Института Гегелера. Перепечатано (CP 3.425–455). Интернет-архив Монист 7 .
• Секст Эмпирик , Против логиков . (Adversus Mathematicos VII и VIII). Ричард Бетт (пер.) Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 2005. ISBN   0-521-53195-0 .
• Цермело, Эрнст (1908). «Исследования оснований теории множеств I» . Математические летописи . 65 (2): 261–281. дои : 10.1007/BF01449999 . S2CID   120085563 . английский перевод в ван Хейеноорт, Жан (1967). «Исследования по основам теории множеств». От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879–1931 . Справочники по истории наук. Гарвардский университет. Нажимать. стр. 199–215. ISBN  978-0-674-32449-7 . .
• Фреге, Готтлоб (1879). Begriffsschrift, язык формул, созданный по образцу языка арифметики, для чистого мышления . переведено ван Хейеноортом в 1967 году.

Вторичные источники

• Барвайз, Джон (редактор), Справочник по математической логике , Исследования по логике и основам математики, Амстердам, Северная Голландия, 1982 г. ISBN   978-0-444-86388-1 .
• Бини, Майкл, Читатель Фреге , Лондон: Блэквелл, 1997.
• Боченски , И.М., История формальной логики , Индиана, Издательство Университета Нотр-Дам, 1961.
• Бонер, Филофей , Средневековая логика , Манчестер, 1950.
• Бойер, CB (1991) [1989], История математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-54397-8
• Бурокер, Джилл Вэнс (перевод и введение), А. Арно, П. Николь Логика или искусство мышления , Cambridge University Press , 1996, ISBN   0-521-48249-6 .
• Черч, Алонсо , 1936–1938 гг. «Библиография символической логики». Журнал символической логики 1 : 121–218; 3 :178–212.
• де Йонг, Эверард (1989), Галилео Галилея «Логические трактаты» Джакомо Забареллы и «Логическая опера» : сравнение , докторская диссертация, Вашингтон, округ Колумбия: Католический университет Америки.
• Эббесен, Стен «Ранняя теория предположений (12–13 века)» История, эпистемология, язык 3/1: 35–48 (1981).
• Фаррингтон Б., Философия Фрэнсиса Бэкона , Ливерпуль, 1964.
• Феферман, Анита Б. (1999). «Альфред Тарский». Американская национальная биография . 21. Издательство Оксфордского университета . стр. 330–332. ISBN   978-0-19-512800-0 .
• Феферман, Анита Б.; Феферман, Соломон (2004). Альфред Тарский: Жизнь и логика . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-80240-6 . OCLC   54691904 .
• Габбай, Дов и Джон Вудс , ред., «Справочник по истории логики» , 2004 г. 1. Греческая, индийская и арабская логика; 2. Логика Средневековья и Возрождения; 3. Возникновение современной логики: от Лейбница до Фреге; 4. Британская логика XIX века; 5. Логика от Рассела до Чёрча; 6. Наборы и пристройки в ХХ веке; 7. Логика и модальности в двадцатом веке; 8. Многозначный и немонотонный поворот в логике; 9. Вычислительная логика; 10. Индуктивная логика; 11. Логика: история ее центральных понятий; Эльзевир , ISBN   0-444-51611-5 .
• Гич, PT Logic Matters , Блэквелл, 1972.
• Гудман, Ленн Эван (2003). Исламский гуманизм . Издательство Оксфордского университета, ISBN   0-19-513580-6 .
• Гудман, Ленн Эван (1992). Авиценна . Рутледж, ISBN   0-415-01929-X .
• Граттан-Гиннесс, Айвор , 2000. В поисках математических корней 1870–1940 . Издательство Принстонского университета .
• Грасиа, Дж. Г. и Нун, ТБ, Спутник философии в средние века , Лондон, 2003 г.
• Хаапаранта, Лейла (редактор) 2009. Развитие современной логики Oxford University Press.
• Хит, ТЛ , 1949. Математика у Аристотеля , Oxford University Press.
• Хит, ТЛ, 1931, Руководство по греческой математике , Оксфорд ( Clarendon Press ).
• Хондерих, Тед (ред.). Оксфордский спутник философии (Нью-Йорк: Oxford University Press, 1995) ISBN   0-19-866132-0 .
• Нил, Уильям и Марта, 1962. Развитие логики . Издательство Оксфордского университета, ISBN   0-19-824773-7 .
• Лукасевич , Силлогистика Аристотеля , Oxford University Press, 1951.
• Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия , Oxford University Press.

Внешние ссылки

• История логики от Аристотеля до Гёделя с аннотированной библиографией по истории логики.
• Бобзиен, Сюзанна. «Древняя логика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Чатти, Салуа. «Авиценна (Ибн Сина): Логика» . Интернет-энциклопедия философии .
• Спрайт, Шутка. «Петр Испанский» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• «Мысли, слова и вещи» Пола Спейда - введение в позднесредневековую логику и семантическую теорию (PDF)
• Загрузка PDF-файла в открытом доступе; Информация, изображения, биографии и ссылки для 178 логиков Дэвида Маранса