Модель постоянной эластичности отклонения

В математических финансах CEV , хотя технически или постоянной эластичности дисперсии модель представляет собой модель стохастической волатильности ее можно было бы классифицировать точнее как модель локальной волатильности , которая пытается отразить стохастическую волатильность и эффект кредитного плеча . Модель широко используется практиками финансовой отрасли, особенно для моделирования акций и товаров . Он был разработан Джоном Коксом в 1975 году. ^[1]

Динамический

Модель CEV описывает процесс, который развивается в соответствии со следующим стохастическим дифференциальным уравнением :

\mathrm {d} S_{t}=\mu S_{t}\mathrm {d} t+\sigma S_{t}^{\gamma }\mathrm {d} W_{t}

где S — спотовая цена, t — время, μ — параметр, характеризующий дрейф, σ и γ — параметры волатильности, а W — броуновское движение. ^[2]В общих обозначениях для модели локальной волатильности , записанной как

\mathrm {d} S_{t}=\mu S_{t}\mathrm {d} t+v(t,S_{t})S_{t}\mathrm {d} W_{t}

мы можем записать волатильность возврата цены как

v(t,S_{t})=\sigma S_{t}^{\gamma -1}

Постоянные параметры $\sigma ,\;\gamma$ удовлетворять условиям $\sigma \geq 0,\;\gamma \geq 0$ .

Параметр $\gamma$ контролирует взаимосвязь между волатильностью и ценой и является центральной особенностью модели. Когда $\gamma <1$ мы видим эффект, обычно наблюдаемый на фондовых рынках, когда волатильность акций увеличивается по мере падения их цены и увеличения коэффициента левереджа. ^[3] И наоборот, на товарных рынках мы часто наблюдаем $\gamma >1$ , ^[4]^[5] при этом волатильность цены товара имеет тенденцию увеличиваться по мере роста его цены и уменьшения коэффициента левереджа. Если мы наблюдаем $\gamma =1$ эта модель становится геометрическим броуновским движением , как в модели Блэка-Шоулза , тогда как если $\gamma =0$ и либо $\mu =0$ или дрейф $\mu S$ заменяется на $\mu$ Эта модель становится арифметическим броуновским движением , моделью, предложенной Луи Башелье в его докторской диссертации «Теория спекуляций», известной как модель Башелье .

См. также

Ссылки

^ Кокс, Дж. «Заметки о ценообразовании опционов I: постоянная эластичность диффузии». Неопубликованный проект, Стэнфордский университет, 1975 г.
^ Вадим Линецкий и Рафаэль Мендосас, «Модель постоянной эластичности дисперсии», 13Июль 2009 года . (Проверено 20 февраля 2018 г.)
^ Ю, Дж., 2005. О кредитном плече в модели стохастической волатильности. Журнал эконометрики 127, 165–178.
^ Эмануэль, округ Колумбия, и Дж. Д. Макбет, 1982. «Дальнейшие результаты модели ценообразования опциона колл с постоянной эластичностью дисперсии». Журнал финансового и количественного анализа, 4: 533–553.
^ Геман, Х. и Ши, Ю.Ф. 2009. «Моделирование цен на сырьевые товары в рамках модели CEV». Журнал альтернативных инвестиций 11 (3): 65–84. дои : 10.3905/JAI.2009.11.3.065

Внешние ссылки

[1] Кокс, Дж. «Заметки о ценообразовании опционов I: постоянная эластичность диффузии». Неопубликованный проект, Стэнфордский университет, 1975 г.

[2] Вадим Линецкий и Рафаэль Мендосас, «Модель постоянной эластичности дисперсии», 13Июль 2009 года . (Проверено 20 февраля 2018 г.)

[3] Ю, Дж., 2005. О кредитном плече в модели стохастической волатильности. Журнал эконометрики 127, 165–178.

[4] Эмануэль, округ Колумбия, и Дж. Д. Макбет, 1982. «Дальнейшие результаты модели ценообразования опциона колл с постоянной эластичностью дисперсии». Журнал финансового и количественного анализа, 4: 533–553.

[5] Геман, Х. и Ши, Ю.Ф. 2009. «Моделирование цен на сырьевые товары в рамках модели CEV». Журнал альтернативных инвестиций 11 (3): 65–84. дои : 10.3905/JAI.2009.11.3.065

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Волатильность
Modelling volatility	Implied volatility Volatility smile Volatility clustering Local volatility Stochastic volatility Jump-diffusion models ARCH and GARCH
Trading volatility	Volatility arbitrage Straddle Volatility swap IVX VIX

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category