Модель волатильности SABR

В математических финансах модель SABR представляет собой модель стохастической волатильности , которая пытается уловить улыбку волатильности на рынках деривативов. Название расшифровывается как « стохастическая альфа , бета , ро », что относится к параметрам модели. Модель SABR широко используется практиками финансовой отрасли, особенно на рынках процентных деривативов . Его разработали Патрик С. Хаган, Дип Кумар, Эндрю Лесневски и Дайана Вудворд.

Динамика

Модель SABR описывает одиночный форвардный $F$, например LIBOR форвардная ставка , форвардная ставка свопа или форвардная цена акций. Это один из рыночных стандартов, используемых участниками рынка для котирования волатильности. Волатильность форварда $F$ описывается параметром $\sigma$. SABR — это динамическая модель, в которой оба $F$ и $\sigma$ представлены стохастическими переменными состояния, эволюция которых во времени задается следующей системой стохастических дифференциальных уравнений :

$dF_{t}=\sigma _{t}\left(F_{t}\right)^{\beta }\,dW_{t},$

$d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}^{}\,dZ_{t},$

с заданными нулевыми (наблюдаемыми в данный момент) значениями времени $F_{0}$ и $\sigma _{0}$. Здесь, $W_{t}$ и $Z_{t}$ представляют собой два коррелированных винеровских процесса с коэффициентом корреляции $-1<\rho <1$:

$dW_{t}\,dZ_{t}=\rho \,dt$

Постоянные параметры $\beta ,\;\alpha$ удовлетворять условиям $0\leq \beta \leq 1,\;\alpha \geq 0$. $\alpha$ — параметр волатильности, аналогичный волатильности. $\rho$ Это мгновенная корреляция между базовым активом и его волатильностью. Начальная волатильность $\sigma _{0}$ контролирует высоту уровня подразумеваемой волатильности банкомата . Обе корреляции $\rho$ и $\beta$ контролирует наклон подразумеваемого перекоса. Волатильность волатильности $\alpha$ контролирует его кривизну.

Вышеуказанная динамика представляет собой стохастическую версию модели CEV с асимметрии . параметром $\beta$: фактически, это сводится к модели CEV, если $\alpha =0$ Параметр $\alpha$ часто называют вольволом , и его значение заключается в логнормальной волатильности параметра волатильности. $\sigma$.

Асимптотическое решение

Рассматриваем европейский вариант (скажем, колл) на форвард $F$ ударил $K$, срок действия которого истекает $T$ лет спустя. Стоимость этого опциона равна соответственно дисконтированной ожидаемой стоимости выигрыша. $\max(F_{T}-K,\;0)$ при распределении вероятностей процесса $F_{t}$.

За исключением особых случаев $\beta =0$ и $\beta =1$, выражение в замкнутой форме для этого распределения вероятностей неизвестно. Общий случай приближенно решается с помощью асимптотического разложения по параметру $\varepsilon =T\alpha ^{2}$. В типичных рыночных условиях этот параметр невелик, и приближенное решение на самом деле довольно точное. Также важно то, что это решение имеет довольно простую функциональную форму, его очень легко реализовать в компьютерном коде и хорошо подходит для управления рисками больших портфелей опционов в режиме реального времени.

Удобно выразить решение через подразумеваемую волатильность. $\sigma _{\textrm {impl}}$ варианта. А именно, мы заставляем цену опциона по модели SABR приводить к формуле оценки модели Блэка . Тогда подразумеваемая волатильность, которая представляет собой значение логарифмически нормального параметра волатильности в модели Блэка, который заставляет ее соответствовать цене SABR, приблизительно определяется как:

$\sigma _{\text{impl}}=\alpha \;{\frac {\log(F_{0}/K)}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}+1/\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\},$

где для наглядности мы установили $C\left(F\right)=F^{\beta }$. Значение $F_{\text{mid}}$ обозначает удобно выбранную среднюю точку между $F_{0}$ и $K$ (например, среднее геометрическое ${\sqrt {F_{0}K}}$ или среднее арифметическое $\left(F_{0}+K\right)/2$). Мы также установили

$\zeta ={\frac {\alpha }{\sigma _{0}}}\;\int _{K}^{F_{0}}{\frac {dx}{C(x)}}={\frac {\alpha }{\sigma _{0}(1-\beta )}}\;\left(F_{0}{}^{1-\beta }-K^{1-\beta }\right),$

и

$\gamma _{1}={\frac {C'(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}={\frac {\beta }{F_{\text{mid}}}}\;,$

$\gamma _{2}={\frac {C''(F_{\text{mid}})}{C(F_{\text{mid}})}}=-{\frac {\beta (1-\beta )}{\left(F_{\text{mid}}\right)^{2}}}\;,$

Функция $D\left(\zeta \right)$ ввод приведенной выше формулы определяется выражением

$D(\zeta )=\log \left({\frac {{\sqrt {1-2\rho \zeta +\zeta ^{2}}}+\zeta -\rho }{1-\rho }}\right).$

В качестве альтернативы можно выразить цену SABR через модель Башелье . Тогда подразумеваемую нормальную волатильность можно асимптотически вычислить с помощью следующего выражения:

$\sigma _{\text{impl}}^{\text{n}}=\alpha \;{\frac {F_{0}-K}{D(\zeta )}}\;\left\{1+\left[{\frac {2\gamma _{2}-\gamma _{1}^{2}}{24}}\;\left({\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}\right)^{2}+{\frac {\rho \gamma _{1}}{4}}\;{\frac {\sigma _{0}C(F_{\text{mid}})}{\alpha }}+{\frac {2-3\rho ^{2}}{24}}\right]\varepsilon \right\}.$

Стоит отметить, что нормальная подразумеваемая волатильность SABR обычно несколько более точна, чем логнормальная подразумеваемая волатильность.

Точность аппроксимации и степень арбитража могут быть дополнительно улучшены, если эквивалентная волатильность по модели CEV с той же $\beta$ используется для вариантов ценообразования.

SABR для отрицательных ставок

Расширением модели SABR для отрицательных процентных ставок , которое приобрело популярность в последние годы, является смещенная модель SABR, в которой предполагается, что сдвинутая форвардная ставка соответствует процессу SABR.

$dF_{t}=\sigma _{t}(F_{t}+s)^{\beta }\,dW_{t},$

$d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},$

для какого-то положительного изменения $s$.Поскольку сдвиги включены в рыночные котировки и существует интуитивно понятная мягкая граница того, как могут стать отрицательные ставки, сдвиг SABR стал лучшей рыночной практикой для адаптации к отрицательным ставкам.

Модель SABR также может быть модифицирована для покрытия отрицательных процентных ставок путем:

$dF_{t}=\sigma _{t}|F_{t}|^{\beta }\,dW_{t},$

$d\sigma _{t}=\alpha \sigma _{t}\,dZ_{t},$

для $0\leq \beta \leq 1/2$ и свободное граничное условие для $F=0$. Его точное решение для нулевой корреляции, а такжеимеются эффективные аппроксимации для общего случая. Очевидным недостатком этого подхода является априорное предположение о потенциальных крайне отрицательных процентных ставках через свободную границу.

Задача арбитража в формуле подразумеваемой волатильности

Хотя асимптотическое решение очень легко реализовать, плотность, подразумеваемая приближением, не всегда свободна от арбитража, особенно для очень низких страйков (она становится отрицательной или плотность не интегрируется до единицы).

Одна из возможностей «исправить» формулу — использовать стохастический метод коллокации и спроецировать соответствующую подразумеваемую некорректную модель на полином от безарбитражных переменных, например, на нормальный. Это будет гарантировать равенство вероятностей в точках коллокации, а сгенерированная плотность будет безарбитражной. Используя метод проекции, можно получить аналитические цены европейских опционов, а подразумеваемая волатильность остается очень близкой к первоначально полученной по асимптотической формуле.

Другая возможность — положиться на быстрый и надежный решатель УЧП на эквивалентном расширении прямого УЧП, который численно сохраняет нулевой и первый момент, тем самым гарантируя отсутствие арбитража.

Расширения

Модель SABR можно расширить, предположив, что ее параметры зависят от времени. Однако это усложняет процедуру калибровки. Усовершенствованный метод калибровки нестационарной модели SABR основан на так называемых «эффективных параметрах».

Альтернативно, Герреро и Орландо. показывают, что зависящая от времени модель локальной стохастической волатильности (SLV) может быть сведена к системе автономных УЧП, которые можно решить с использованием теплового ядра с помощью метода факторизации Вей-Нормана и алгебраических методов Ли. Явные решения, полученные с помощью указанных методов, сопоставимы с традиционным моделированием Монте-Карло, что позволяет сократить время численных расчетов.

Моделирование

Поскольку стохастический процесс волатильности следует за геометрическим броуновским движением , его точное моделирование не представляет труда. Однако моделирование процесса форвардного актива не является тривиальной задачей. Обычно рассматриваются схемы моделирования на основе Тейлора, такие как Эйлер-Маруяма или Мильштейн . Недавно были предложены новые методы для почти точного моделирования модели SABR методом Монте-Карло. Недавно были рассмотрены обширные исследования модели SABR. Для обычной модели SABR ( $\beta =0$ без граничных условий при $F=0$), известен метод моделирования в замкнутой форме.

См. также

• Волатильность (финансы)
• Стохастическая волатильность
• Риск-нейтральная мера

Дальнейшее чтение

• Хаган, Патрик; Лесневский, Андрей; Вудворд, Диана (22 марта 2005 г.). «Распределение вероятностей в модели стохастической волатильности SABR» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 8 марта 2021 г. Проверено 30 апреля 2022 г.
• Бартлетт, Брюс (февраль 2006 г.). «Хеджирование по модели SABR» (PDF) . Уилмотт . Архивировано из оригинала (PDF) 30 декабря 2020 г. Проверено 30 апреля 2022 г.
• Хаган, Патрик; Лесневский, Эндрю (30 апреля 2008 г.). «Рыночная модель LIBOR со стохастической волатильностью в стиле SABR» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 03 марта 2022 г. Проверено 30 апреля 2022 г.
• Хаган, Патрик С.; Кумар, Дип; Лесневский, Эндрю С.; Вудворд, Диана Э. (29 января 2014 г.). «САБР без арбитража» . Уилмотт . Том. 2014, нет. 69. С. 60–75. дои : 10.1002/wilm.10290 . Проверено 30 апреля 2022 г.
• Облой, Ян (18 марта 2008 г.). «Настройте свою улыбку – поправка к Хагану и др.». arXiv : 0708.0998 [ q-fin.CP ].
• Уэст, Грэм. «Краткое описание подходов к модели SABR для производных инструментов на акции» . Рискворкс . Архивировано из оригинала 14 сентября 2015 г. Проверено 30 апреля 2022 г.
• Анри-Лабордер, Пьер (15 февраля 2005 г.). «Объединение моделей BGM и SABR: небольшой экскурс в гиперболическую геометрию». arXiv : физика/0602102 .
• Джордан, Ричард; Таер, Чарльз (17 мая 2011 г.). «Асимптотические аппроксимации моделей CEV и SABR». ССНР   1850709 .
• «Калибровка САБР» . 26 декабря 2012 г. Архивировано из оригинала 27 мая 2016 г. Проверено 30 апреля 2022 г.
• Антонов, Александр; Спектор, Майкл (23 марта 2012 г.). «Расширенная аналитика для модели SABR». ССНН   2026350 .
• Антонов, Александр; Коников, Михаил; Спектор, Майкл (2 мая 2019 г.). Современная аналитика SABR: формулы и идеи для квантов, бывших физиков и математиков (Springer Briefs in Quantitative Finance), 1-е изд . дои : 10.1007/978-3-030-10656-0 . ISBN  978-3-030-10655-3 . ISSN   2192-7014 . S2CID   182484805 . / Пресс-релиз , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк – 24 июня 2019 г.
• Гулисашвили, Арчил; Хорват, Бланка; Жакье, Антуан (Джек) (22 ноября 2016 г.). «Масса в нуле в некоррелированной модели SABR и асимптотика подразумеваемой волатильности». ССНН   2563510 .