Число Вудала

В теории чисел число Вудала ( Wn _{) — это} любое натуральное число вида

W_{n}=n\cdot 2^{n}-1

для некоторого натурального числа n . Первые несколько чисел Вудала:

1, 7, 23, 63, 159, 383, 895, … (последовательность A003261 в OEIS ).

История

Числа Вудала были впервые изучены Алланом Дж. К. Каннингемом и Х. Дж. Вудаллом в 1917 году. ^[1] вдохновлено более ранним исследованием Джеймсом Калленом определенных аналогичным образом чисел Каллена, .

Простые числа Вудала

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел Вудала?

(еще нерешенные задачи по математике)

Числа Вудала, которые также являются простыми числами, называются простыми числами Вудала ; первые несколько показателей степени n, для которых соответствующие числа Вудала W _n являются простыми, равны 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, ... (последовательность A002234 в OEIS ); Сами простые числа Вудала начинаются с 7, 23, 383, 32212254719, ... (последовательность A050918 в OEIS ).

В 1976 году Кристофер Хули показал, что почти все числа Каллена составные . ^[2] В октябре 1995 года Уилфред Келлер опубликовал статью, в которой обсуждались несколько новых простых чисел Каллена и попытки факторизации других чисел Каллена и Вудолла. В эту статью включено личное сообщение Келлеру от Хироми Суямы , в котором утверждается, что метод Хули можно переформулировать, чтобы показать, что он работает для любой последовательности чисел $n \cdot 2. н + а + b$ , где a и b — целые числа , и, в частности, что почти все числа Вудала являются составными. ^[3] остается открытым Вопрос о том, бесконечно ли много простых чисел Вудала, . По состоянию на октябрь 2018 г. ^[update]самое большое известное простое число Вудала равно 17016602 × 2. ^17016602 − 1. ^[4] Он имеет 5 122 515 цифр и был найден Диего Бертолотти в марте 2018 года в распределенных вычислений проекте PrimeGrid . ^[5]

Ограничения

Начиная с W ₄ = 63 и W ₅ = 159, каждое шестое число Вудала делится на 3; таким образом, чтобы W _n было простым, индекс n не может быть равен 4 или 5 (по модулю 6). Кроме того, для натурального числа m число Вудала W _{2 ^м} может быть простым, только если 2 ^м + m — простое число. По состоянию на январь 2019 года единственными известными простыми числами, которые являются одновременно простыми числами Вудала и простыми числами Мерсенна, являются W ₂ = M ₃ = 7 и W ₅₁₂ = M ₅₂₁ .

Свойства делимости

Как и числа Каллена, числа Вудала обладают многими свойствами делимости. Например, если p — простое число, то p делит

W _{( p + 1)/2,} если символ Якоби

\left({\frac {2}{p}}\right)

+1 и

W _{(3 p − 1)/2,} если символ Якоби

\left({\frac {2}{p}}\right)

равен −1. ^{[ нужна ссылка ]}

Обобщение

Обобщенная система счисления Вудала b определяется как число вида n × b ^н − 1, где n + 2 > b ; если простое число можно записать в такой форме, оно называется обобщенным простым числом Вудала .

Наименьшее значение n такое, что n × b ^н − 1 простое число, а b = 1, 2, 3, ... являются ^[6]

3, 2, 1, 1, 8, 1, 2, 1, 10, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 167, 2, 1, 12, 1, 2, 2, 29028, 1, 2, 3, 10, 2, 26850, 1, 8, 1, 42, 2, 6, 2, 24, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 140, 1, 2, 2, 22, 2, 8, 1, 2064, 2, 468, 6, 2, 1, 362, 1, 2, 2, 6, 3, 26, 1, 2, 3, 20, 1, 2, 1, 28, 2, 38, 5, 3024, 1, 2, 81, 858, 1, 2, 3, 2, 8, 60, 1, 2, 2, 10, 5, 2, 7, 182, 1, 17782, 3, ... (последовательность A240235 в OEIS )

По состоянию на ноябрь 2021 г. ^[update]самое большое известное обобщенное простое число Вудала с основанием больше 2 равно 2740879 × 32. ^2740879 − 1. ^[7]

См. также

Простое число Мерсенна - Простые числа формы 2 ^н − 1.

Ссылки

^ Каннингем, AJ C ; Вудалл, Х.Дж. (1917), «Факторизация $Q=(2^{q}\mp q)$ и $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ », «Вестник математики» , 47 :1–38 .
^ Эверест, Грэм; ван дер Портен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. Том. 104. Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 94. ИСБН 0-8218-3387-1 . Збл 1033.11006 .
^ Келлер, Уилфрид (январь 1995 г.). «Новые простые числа Каллена» . Математика вычислений . 64 (212): 1739. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN 0025-5718 . Келлер, Уилфрид (декабрь 2013 г.). «Уилфрид Келлер» . www.fermatsearch.org . Гамбург. Архивировано из оригинала 28 февраля 2020 года . Проверено 1 октября 2020 г.
^ «База данных простых чисел: 8508301*2^17016603-1» , Самая большая известная база данных простых чисел Криса Колдуэлла , получено 24 марта 2018 г.
^ PrimeGrid , Объявление 17016602*2^17016602 - 1 (PDF) , получено 1 апреля 2018 г.
^ Список обобщенных простых чисел Вудала по основанию от 3 до 10000
^ «Двадцатка лучших: обобщенный Вудол» . primes.utm.edu . Проверено 20 ноября 2021 г.

Дальнейшее чтение

Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. раздел B20, ISBN 0-387-20860-7 .
Келлер, Уилфрид (1995), «Новые простые числа Каллена» (PDF) , Mathematics of Computing , 64 (212): 1733–1741, doi : 10.2307/2153382 , JSTOR 2153382 .
Колдуэлл, Крис, «Двадцать лучших: Вудалл Праймы» , The Prime Pages , получено 29 декабря 2007 г.

Внешние ссылки

Крис Колдуэлл, «Глоссарий Prime: число Вудолла» , «Двадцатка лучших: Вудол» и «Двадцатка лучших: обобщенный Вудол » на сайте The Prime Pages .
Вайсштейн, Эрик В. «Число Вудала» . Математический мир .
Стивен Харви, Список обобщенных простых чисел Вудала .
Пол Лейланд, Обобщенные числа Каллена и Вудалла

[1] Каннингем, AJ C ; Вудалл, Х.Дж. (1917), «Факторизация $Q=(2^{q}\mp q)$ и $(q\cdot {2^{q}}\mp 1)$ », «Вестник математики» , 47 :1–38 .

[EPSW94-2] Эверест, Грэм; ван дер Портен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Повторяющиеся последовательности . Математические обзоры и монографии. Том. 104. Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 94. ИСБН 0-8218-3387-1 . Збл 1033.11006 .

[3] Келлер, Уилфрид (январь 1995 г.). «Новые простые числа Каллена» . Математика вычислений . 64 (212): 1739. doi : 10.1090/S0025-5718-1995-1308456-3 . ISSN 0025-5718 . Келлер, Уилфрид (декабрь 2013 г.). «Уилфрид Келлер» . www.fermatsearch.org . Гамбург. Архивировано из оригинала 28 февраля 2020 года . Проверено 1 октября 2020 г.

[4] «База данных простых чисел: 8508301*2^17016603-1» , Самая большая известная база данных простых чисел Криса Колдуэлла , получено 24 марта 2018 г.

[5] PrimeGrid , Объявление 17016602*2^17016602 - 1 (PDF) , получено 1 апреля 2018 г.

[tripod-6] Список обобщенных простых чисел Вудала по основанию от 3 до 10000

[7] «Двадцатка лучших: обобщенный Вудол» . primes.utm.edu . Проверено 20 ноября 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers