Число с высоким коэффициентом

В теории чисел , разделе математики , число с высокой степенью дробности представляет собой положительное целое число. $k$ который больше 1 и имеет больше решений уравнения

x-\phi (x)=k

чем любое другое целое число ниже $k$ и выше 1. Здесь $\phi$ — это полная функция Эйлера . Решений уравнения для

k

= 1

поэтому это значение исключено из определения. Первые несколько чисел с высокой степенью коэффициента: ^{[ 1 ]}

2 , 4 , 8 , 23 , 35 , 47 , 59 , 63 , 83 , 89 , 113 , 119 , 167 , 209 , 269 , 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, ... (последовательность A100827 в OEIS )

Многие из чисел с высокой степенью коэффициента являются нечетными. ^{[ 1 ]}

Эта концепция в некоторой степени аналогична концепции сложных чисел . Точно так же, как существует бесконечно много чисел с высокой степенью составных, существует также бесконечно много чисел с высокой степенью коэффициента. Вычисления становятся сложнее, поскольку факторизация целых чисел становится сложнее по мере увеличения чисел.

Пример

Коэффициент $x$ определяется как $x-\phi (x)$ , т.е. количество натуральных чисел, меньших или равных $x$ которые имеют хотя бы один общий простой делитель с $x$ . Например, коэффициент 6 равен 4, поскольку эти четыре положительных целых числа имеют общий простой делитель с 6: 2, 3, 4, 6. Коэффициент 8 также равен 4, на этот раз с этими целыми числами: 2, 4, 6. , 8. Ровно два числа, 6 и 8, имеют кототент 4. Число, имеющее кототент 2 и кототент 3, меньше (одно число в каждом случае), поэтому 4 — число с высокой степенью коэффициента.

(последовательность A063740 в OEIS )

k (высокие коэффициенты k выделены жирным шрифтом)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Количество решений x – φ( x ) = k	1	∞	1	1	2	1	1	2	3	2	0	2	3	2	1	2	3	3	1	3	1	3	1	4	4	3	0	4	1	4	3

н	k такое, что $k-\phi (k)=n$	количество k таких, что $k-\phi (k)=n$ (последовательность A063740 в OEIS )
0	1	1
1	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... (все простые числа)	∞
2	4	1
3	9	1
4	6, 8	2
5	25	1
6	10	1
7	15, 49	2
8	12, 14, 16	3
9	21, 27	2
10		0
11	35, 121	2
12	18, 20, 22	3
13	33, 169	2
14	26	1
15	39, 55	2
16	24, 28, 32	3
17	65, 77, 289	3
18	34	1
19	51, 91, 361	3
20	38	1
21	45, 57, 85	3
22	30	1
23	95, 119, 143, 529	4
24	36, 40, 44, 46	4
25	69, 125, 133	3
26		0
27	63, 81, 115, 187	4
28	52	1
29	161, 209, 221, 841	4
30	42, 50, 58	3
31	87, 247, 961	3
32	48, 56, 62, 64	4
33	93, 145, 253	3
34		0
35	75, 155, 203, 299, 323	5
36	54, 68	2
37	217, 1369	2
38	74	1
39	99, 111, 319, 391	4
40	76	1
41	185, 341, 377, 437, 1681	5
42	82	1
43	123, 259, 403, 1849	4
44	60, 86	2
45	117, 129, 205, 493	4
46	66, 70	2
47	215, 287, 407, 527, 551, 2209	6
48	72, 80, 88, 92, 94	5
49	141, 301, 343, 481, 589	5
50		0

Простые числа

Первые несколько простых чисел с высокой степенью дробности : ^{[ 2 ]}

2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, ... (последовательность A105440 в OEIS )

См. также

Очень внимательный номер

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A100827 (Числа с высоким коэффициентом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС. .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A105440 (простые числа с высоким коэффициентом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[a100827-1] Перейти обратно: ^а ^б Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A100827 (Числа с высоким коэффициентом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС. .

[2] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A105440 (простые числа с высоким коэффициентом)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[ 1 ]

[ 2 ]

v т и Классы простых чисел
By formula	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Double Mersenne ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Factorial ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 m \cdot3 n + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 m \pm 2 n \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Williams ( $(b -1)\cdot b n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
By integer sequence	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin
By property	Wieferich (pair) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson Lucky Fortunate Ramanujan Pillai Regular Strong Stern Supersingular (elliptic curve) Supersingular (moonshine theory) Good Super Higgs Highly cototient Unique
Base-dependent	Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Permutable Circular Truncatable Minimal Delicate Primeval Full reptend Unique Happy Self Smarandache–Wellin Strobogrammatic Dihedral Tetradic
Patterns	Twin ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Triplet ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Quadruplet ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k-tuple Cousin ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain/Safe ( $p, 2 p + 1$ ) Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, 4 p \pm 3, 8 p \pm 7, ...$ ) Arithmetic progression ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Balanced ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
By size	Mega (1,000,000+ digits) Largest known list
Complex numbers	Eisenstein prime Gaussian prime
Composite numbers	Pseudoprime Catalan Elliptic Euler Euler–Jacobi Fermat Frobenius Lucas Perrin Somer–Lucas Strong Carmichael number Almost prime Semiprime Sphenic number Interprime Pernicious
Related topics	Probable prime Industrial-grade prime Illegal prime Formula for primes Prime gap
First 60 primes	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
List of prime numbers