Сила двух

Степень двойки – это число вида $2 н$ где $n$ — целое число , то есть результат возведения в степень с номером два в качестве основания и целым числом $n$ в качестве показателя степени .

Степени двойки с неотрицательными показателями являются целыми числами: $20 = 1$ , $21 = 2$ и $2 н$ равно двум, умноженным само на себя $n$ раз. ^[1]^[2] Первые десять степеней двойки для неотрицательных значений $n$ :

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (последовательность A000079 в OEIS )

сравнения, степени двойки с отрицательными показателями являются дробями : для отрицательного целого числа $n$ 2 $Для н$ умножается половина сама на себя $n$ раз. Таким образом, первые несколько степеней двойки, где $n$ отрицательно, равны ⁠ 1 / 2 ⁠ , ⁠ 1 / 4 ⁠ , ⁠ 1 / 8 ⁠ , ⁠ 1/16 из , потому что каждая ⁠ и т. д. Иногда их называют обратными степенями двойки них является мультипликативной инверсией положительной степени двойки.

Основание двоичной системы счисления

Поскольку двойка является основой двоичной системы счисления , степени двойки широко распространены в информатике . Записанная в двоичном формате, степень двойки всегда имеет вид 100...000 или 0,00...001, точно так же, как степень 10 в десятичной системе.

Информатика

Два в показателе степени $n$ , записанном как $2 н$ , — количество способов битов в двоичном слове длины $n$ расположения . Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( $000...000 2$ ) до $2. н - 1$ ( $111...111 2$ ) включительно. Соответствующие со знаком целые числа могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. представления чисел со знаком . В любом случае, единица меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа этой формы часто встречаются в компьютерном программном обеспечении. Например, видеоигра, работающая на 8-битной системе, может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может удерживать, до 255 — результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение $28 - 1 = 255$ . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой мог иметь при себе только 255 рупий (валюту игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man , как известно, есть экран убийства на уровне 256.

Степени двойки часто используются для измерения памяти компьютера. Байт теперь считается восемью битами ( октет ), что дает возможность иметь 256 значений (2 ⁸). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях до сих пор означает) набор битов , обычно от 5 до 32 бит, а не только 8-битную единицу.) Префикс kilo в сочетании с byte может быть и традиционно используется для обозначения 1024 (2 ¹⁰). Однако в целом термин «килограмм» используется в Международной системе единиц для обозначения 1000 (10 ³). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби (Ки), что означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, являющиеся степенями двойки, чаще всего 32 или 64.

Степени двойки встречаются и в ряде других мест. Для многих дисковых накопителей по крайней мере одно из следующих значений: размер сектора, количество секторов на дорожку и количество дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.

Числа, не являющиеся степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, при разрешении видео, но часто они представляют собой сумму или произведение только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус одна. Например, $640 = 32 \times 20$ и $480 = 32 \times 15$ . Другими словами, у них довольно регулярные битовые комбинации.

Бонусы Мерсенна и Ферма

Простое число , которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, поскольку оно на 1 меньше 32 (2 ⁵). Точно так же простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма — показатель степени сам по себе является степенью двойки. Дробь , которой имеет степень двойки, знаменатель называется двоично-рациональной . Числа, которые можно представить в виде суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.

Евклида «Начала» , книга IX.

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) важна в теории чисел . Книга IX, Предложение 36 « Элементов» доказывает, что если сумма первых $n$ членов этой прогрессии является простым числом (и, следовательно, является простым числом Мерсенна, как упоминалось выше), то эта сумма, умноженная на $n$ -й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (пятый член ряда), равна 496, что является совершенным числом.

Книга IX, предложение 35, доказывает, что в геометрической прогрессии, если первый член вычесть из второго и последнего члена последовательности, то как превышение второго относительно первого, так и превышение последнего по отношению ко всем этим перед этим. (Это повторение нашей формулы для геометрической прогрессии, приведенной выше.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31) , мы видим, что 62 минус 31 равно 31, как 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются. до 496 и далее, это все числа, которые делят 496. Предположим, что $p$ делит 496 и его нет среди этих чисел. Предположим, что $p q$ равно $16 \times 31$ или 31 равно $q$ , как $p$ равно 16. Теперь $p$ не может делить 16, иначе оно было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16.Следовательно, 31 не может делить $q$ . А поскольку 31 не делит $q$ , а $q$ измеряет 496, из фундаментальной теоремы арифметики следует, что $q$ должно делить 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть $q$ равно 4, тогда $p$ должно быть 124, что невозможно, поскольку по гипотезе $p$ не входит в число чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений

(последовательность A000079 в OEIS )


$н$	$2 н$	$н$	$2 н$	$н$	$2 н$	$н$	$2 н$
0	1	16	65,536	32	4,294,967,296	48	281,474,976,710,656
1	2	17	131,072	33	8,589,934,592	49	562,949,953,421,312
2	4	18	262,144	34	17,179,869,184	50	1,125,899,906,842,624
3	8	19	524,288	35	34,359,738,368	51	2,251,799,813,685,248
4	16	20	1,048,576	36	68,719,476,736	52	4,503,599,627,370,496
5	32	21	2,097,152	37	137,438,953,472	53	9,007,199,254,740,992
6	64	22	4,194,304	38	274,877,906,944	54	18,014,398,509,481,984
7	128	23	8,388,608	39	549,755,813,888	55	36,028,797,018,963,968
8	256	24	16,777,216	40	1,099,511,627,776	56	72,057,594,037,927,936
9	512	25	33,554,432	41	2,199,023,255,552	57	144,115,188,075,855,872
10	1,024	26	67,108,864	42	4,398,046,511,104	58	288,230,376,151,711,744
11	2,048	27	134,217,728	43	8,796,093,022,208	59	576,460,752,303,423,488
12	4,096	28	268,435,456	44	17,592,186,044,416	60	1,152,921,504,606,846,976
13	8,192	29	536,870,912	45	35,184,372,088,832	61	2,305,843,009,213,693,952
14	16,384	30	1,073,741,824	46	70,368,744,177,664	62	4,611,686,018,427,387,904
15	32,768	31	2,147,483,648	47	140,737,488,355,328	63	9,223,372,036,854,775,808

Последние цифры

Начиная с 2, последняя цифра является периодической с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры являются периодическими с периодом 20. Эти закономерности в целом верны для любой степени, относительно любая база . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку $2. к$ , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю $5 к$ , что есть $φ (5 к) = 4 \times 5 к -1$ (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ нужна ссылка ]}

Полномочия 1024

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней 2 ¹⁰ несколько больше, чем те же степени 1000 (10 ³). Полномочия 2 ¹⁰ значения, которые имеют отклонение менее 27%, перечислены ниже:


2 ⁰	=	1	= 1000 ⁰	(отклонение 0%)
2 ¹⁰	=	1 024	≈ 1000 ¹	(отклонение 2,4%)
2 ²⁰	=	1 048 576	≈ 1000 ²	(отклонение 4,9%)
2 ³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(отклонение 7,4%)
2 ⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	(отклонение 10,0%)
2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	(отклонение 12,6%)
2 ⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(отклонение 15,3%)
2 ⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000 ⁷	(отклонение 18,1%)
2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	(отклонение 20,9%)
2 ⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	(отклонение 23,8%)
2 ¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	(отклонение 26,8%)

Требуется примерно 17 степеней 1024, чтобы достичь отклонения 50%, и примерно 29 степеней 1024, чтобы достичь 100% отклонения тех же степеней 1000. ^[3] Также см. Двоичные префиксы и IEEE 1541-2002 .

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки.

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( $23$ ), двойные экспоненты из двух являются обычным явлением. Первые 20 из них:


$н$	$2 н$	$2 2 н$ (последовательность A001146 в OEIS )	цифры
0	1	2	1
1	2	4	1
2	4	16	2
3	8	256	3
4	16	65,536	5
5	32	4,294,967,296	10
6	64	18, 446, 744, 073, 709, 551, 616	20
7	128	340, 282, 366, 920, 938, 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456	39
8	256	115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 9...4, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639, 936	78
9	512	13, 407, 807, 929, 942, 597, 099, 574, 02...1, 946, 569, 946, 433, 649, 006, 084, 096	155
10	1,024	179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930, 5...6, 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137, 216	309
11	2,048	32, 317, 006, 071, 311, 007, 300, 714, 87...8, 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230, 656	617
12	4,096	1, 044, 388, 881, 413, 152, 506, 691, 752, ...0, 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336	1,234
13	8,192	1, 090, 748, 135, 619, 415, 929, 462, 984, ...1, 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896	2,467
14	16,384	1, 189, 731, 495, 357, 231, 765, 085, 759, ...2, 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816	4,933
15	32,768	1, 415, 461, 031, 044, 954, 789, 001, 553, ...7, 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856	9,865
16	65,536	2, 003, 529, 930, 406, 846, 464, 979, 072, ...2, 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736	19,729
17	131,072	4, 014, 132, 182, 036, 063, 039, 166, 060, ...1, 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696	39,457
18	262,144	16, 113, 257, 174, 857, 604, 736, 195, 72...0, 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300, 416	78,914
19	524,288	259, 637, 056, 783, 100, 077, 612, 659, 6...1, 369, 814, 364, 528, 226, 185, 773, 056	157,827

Также см. число Ферма , тетрацию и нижние гипероперации .

Последние цифры степеней двойки, показатели степени которых являются степенями двойки.

Все эти числа оканчиваются на 6. Начиная с 16, последние две цифры являются периодическими с периодом 4, с циклом 16–56–36–96–, а начиная с 16 последние три цифры являются периодическими с периодом 20. Эти шаблоны вообще верно для любой власти, по отношению к любой базе . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку $2. к$ , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю $5 к$ , что есть $φ (5 к) = 4 \times 5 к -1$ (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). ^{[ нужна ссылка ]}

Факты о степенях двойки, показатели которых являются степенями двойки.

В связи с нимберами эти числа часто называют Ферма 2-степенями .

Числа $2^{2^{n}}$ образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности $x_{i}$ положительных целых чисел , ряд

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{i}}x_{i}}}={\frac {1}{2x_{0}}}+{\frac {1}{4x_{1}}}+{\frac {1}{16x_{2}}}+\cdots

сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленнорастущая из известных последовательностей иррациональности. ^[4]

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки в информатике

обычно Поскольку компьютерные типы данных имеют размер , равный степени двойки, эти числа подсчитывают количество представимых значений этого типа. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять $232$ отдельные значения, которые можно рассматривать либо как простые битовые комбинации, либо чаще интерпретировать как беззнаковые числа от 0 до $2. 32 - 1$ или как диапазон чисел со знаком между $-2 31$ и $231 - 1$ . Дополнительные сведения о представлении чисел со знаком см. в дополнении до двух .

Избранные степени двойки

2 ² = 4: Число, которое является квадратом двух. Также первая степень двойки, тетрация двойки.
2 ⁸ = 256: Количество значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемом октетом . (Термин «байт» часто определяют как набор битов, а не как строгое определение 8-битной величины, как демонстрирует термин « килобайт» .)
2 ¹⁰ = 1,024: Двоичная аппроксимация множителя кило- или 1000, вызывающая изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайту (или кибибайту ).
2 ¹² = 4,096: аппаратной страницы Размер процессора, совместимого с Intel x86 .
2 ¹⁵ = 32,768: Количество неотрицательных значений для 16-битного целого числа со знаком .
2 ¹⁶ = 65,536

Количество различных значений, представленных в одном слове на 16-битном процессоре, например исходных процессорах x86 . ^[5]; Максимальный диапазон короткой целочисленной переменной в языках программирования C# , Java и SQL . Максимальный диапазон переменной Word или Smallint в языке программирования Паскаль .; Количество бинарных отношений в 4-элементном множестве.
2 ²⁰ = 1,048,576: Двоичная аппроксимация мега- или множителя 1 000 000, вызывающая изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мебибайт ).
2 ²⁴ = 16,777,216: Число уникальных цветов , которые могут отображаться в истинном цвете , который используется обычными компьютерными мониторами .; Это число является результатом использования трехканальной системы RGB , где цвета определяются тремя значениями (красным, зеленым и синим) независимо в диапазоне от 0 ( 00) до 255 ( FF) включительно. Это дает 8 бит для каждого канала или всего 24 бита; например, чистый черный #000000, чистый белый #FFFFFF. Пространство всех возможных цветов, 16 777 216, можно определить с помощью 16 ⁶ (6 цифр по 16 возможных значений для каждой), 256 ³ (3 канала по 256 возможных значений для каждого) или 2 ²⁴ (24 бита по 2 возможных значения для каждого).; Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
2 ³⁰ = 1,073,741,824: Двоичная аппроксимация гига- или множителя 1 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1 гигабайту (или гибибайту ).
2 ³¹ = 2,147,483,648

Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком . Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, во вторник, 19 января 2038 года, на 32-разрядных компьютерах под управлением Unix оно закончится на уровне 2 147 483 647 секунд или 03:14:07 UTC. Эта проблема известна как проблема 2038 года .
2 ³² = 4,294,967,296

Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 32-битном процессоре. ^[6] Или количество значений, представленных в двойном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . ^[5]; Диапазон int переменная в языках программирования Java , C# и SQL .; Диапазон Cardinal или Integer переменная в языке программирования Паскаль .; Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++ .; Общее количество IP-адресов в рамках IPv4 . Хотя это, казалось бы, большое количество, количество доступных 32-битных адресов IPv4 исчерпано (но не для IPv6 ). адресов; Количество бинарных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2 ⁴⁰ = 1,099,511,627,776: Двоичная аппроксимация тера- или множителя 1 000 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт или тебибайт.
2 ⁵⁰ = 1,125,899,906,842,624: Двоичная аппроксимация пета- или множителя 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байта = 1 петабайт или пебибайт.
2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992: Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате двойной точности с плавающей запятой IEEE . Также первая степень 2 начинается с цифры 9 в десятичном формате.
2 ⁵⁶ = 72,057,594,037,927,936: Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
2 ⁶⁰ = 1,152,921,504,606,846,976: Двоичная аппроксимация экза- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000. 1 152 921 504 606 846 976 байт = 1 эксабайт или эксбибайт.
2 ⁶³ = 9,223,372,036,854,775,808: Количество неотрицательных значений для 64-битного целого числа со знаком.; 2 ⁶³ − 1, общее максимальное значение (эквивалентное количеству положительных значений) для 64-битного целого числа со знаком в языках программирования.
2 ⁶⁴ = 18,446,744,073,709,551,616: Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 64-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в четверном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . ^[5]; Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C# .; Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Паскаль .; Общее количество адресов IPv6, обычно выделяемых одной локальной сети или подсети.; 2 ⁶⁴ − 1, количество рисовых зерен на шахматной доске, согласно старой истории , где в первом квадрате содержится одно рисовое зернышко, а в каждом последующем квадрате в два раза больше, чем в предыдущем. По этой причине это число иногда называют «шахматным числом».; 2 ⁶⁴ − 1 — это также количество ходов, необходимое для прохождения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
2 ⁶⁸ = 295,147,905,179,352,825,856: Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2 ⁷⁰ = 1,180,591,620,717,411,303,424: Двоичная аппроксимация зетта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 байт = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
2 ⁸⁰ = 1,208,925,819,614,629,174,706,176: Двоичная аппроксимация йотта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 208 925 819 614 629 174 706 176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
2 ⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: 2 ⁸⁶ Предполагается , что это наибольшая степень двойки, не содержащая нуля в десятичной дроби. ^[7]
2 ⁹⁶ = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336: Общее количество IPv6-адресов, обычно записываемых в локальный реестр Интернета . В нотации CIDR интернет-провайдерам присваивается значение / 32 , что означает, что для адресов доступны 128-32=96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2 ⁹⁶ адреса.
2 ¹⁰⁸ = 324, 518, 553, 658, 426, 726, 783, 156, 020, 576, 256: Самая большая известная степень 2, не содержащая 9 в десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )
2 ¹²⁶ = 85, 070, 591, 730, 234, 615, 865, 843, 651, 857, 942, 052, 864: Самая большая известная степень двойки, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )
2 ¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456: Общее количество IP-адресов, доступных в рамках IPv6 . Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID) .
2 ¹⁶⁸ = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856: Наибольшая известная степень двойки, не содержащая всех десятичных цифр (в данном случае цифра 2 отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2 ¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: Общее количество различных возможных ключей в AES 192-битном пространстве ключей (симметричный шифр).
2 ²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912: 2 ²²⁹ - это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно своей степени. Метин Сарияр предположил, что каждая цифра от 0 до 9 имеет тенденцию появляться одинаковое количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936: Общее количество различных возможных ключей в AES 256-битном пространстве ключей (симметричный шифр).
2 ^1,024 = 1.79 × 10 ³⁰⁸: Максимальное число, которое может поместиться в 64-битном формате с плавающей запятой двойной точности IEEE (следовательно, максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel ).
2 ^16,384 = 1.19 × 10 ^4,932: Максимальное число, которое может поместиться в 128-битном формате IEEE с плавающей запятой четырехкратной точности.
2 ^262,144 = 1.61 × 10 ^78,913: Максимальное число, которое может поместиться в 256-битном формате IEEE с плавающей запятой восьмерной точности.
2 ^82,589,933 = 1.49 × 10 ^24,862,047: На одно больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на июнь 2023 г. ^[update]. ^[8]

Степени двойки в теории музыки.

В нотной записи все неизмененные значения нот имеют длительность, равную целой ноте, разделенной на степень двойки; например, половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точками или иным образом измененные ноты имеют другую продолжительность. В тактовых размерах нижняя цифра, единица доли , которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда представляет собой степень двойки.

Если соотношение частот двух тонов является степенью двойки, то интервал между этими тонами равен целым октавам . В этом случае соответствующие заметки имеют одно и то же имя.

Математическое совпадение $2^{7}\approx ({\tfrac {3}{2}})^{12}$ , от ${\frac {\log 3}{\log 2}}=1.5849\ldots \approx {\frac {19}{12}}$ , тесно связывает интервал в 7 полутонов с равной темперации идеальной квинтой чистой интонации : $2^{7/12}\approx 3/2$ , поправка примерно на 0,1%. Пятая часть является основой пифагорейской настройки ; разница между двенадцатью всего лишь пятыми и семью октавами — это пифагорейская запятая . ^[9]

Другие объекты недвижимости

Сумма всех $n$ -выбираемых биномиальных коэффициентов равна $2 н$ . Рассмотрим набор всех $n$ -значных двоичных целых чисел. Его мощность равна $2 н$ . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножества целых чисел без единиц (состоящих из одного числа, записанного как $n$ нулей), подмножества с одной единицей, подмножества с двумя единицами и так далее до подмножество с $n$ 1 (состоящее из числа, записанного как $n$ 1). Каждое из них, в свою очередь, равно биномиальному коэффициенту, индексированному $n$ , и количеству рассматриваемых единиц (например, существуют двоичные числа с 10 вариантами выбора-3 и десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время степени двойки — единственные известные почти совершенные числа .

Мощность . набора степеней множества $a$ всегда равна $2 | а |$ , где $| а |$ это мощность $a$ .

Число вершин гиперкуба $n$ -мерного равно $2 н$ . Аналогично, количество $(n - 1)$ -граней $n$ -мерного перекрестного многогранника также равно $2. н$ а формула для количества $x$ -граней $n$ -мерного перекрестного многогранника имеет вид $2^{x}{\tbinom {n}{x}}.$

Сумма первого $n$ степени двойки (начиная с $1=2^{0}$ ) определяется выражением,

\sum _{k=0}^{n-1}2^{k}=2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1

для $n$ любое положительное целое число.

Таким образом, сумма полномочий

1+2^{1}+2^{2}+\cdots +2^{63}

можно вычислить, просто вычислив: $2^{64}-1$ (что является «шахматным номером»).

Сумма обратных степеней двойки равна 1 . Сумма обратных квадратов степеней двойки (степени четырех) равна 1/3.

Наименьшая натуральная степень двойки, десятичное представление которой начинается с 7, равна ^[10]

2^{46}=70\ 368\ 744\ 177\ 664.

Любую степень 2 (кроме 1) можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел 24 способами . Степени 2 — это натуральные числа, большие 1, которые можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

вещественного многочлена качестве В ^н + б ^н неприводимо n тогда и только тогда, когда — степень двойки. (Если n нечетно, то a ^н + б ^н делится на a + b , и если n четное, но не степень 2, то n можно записать как n = mp , где m нечетное, и, таким образом, $a^{n}+b^{n}=(a^{p})^{m}+(b^{p})^{m}$ , который делится на ^п + б ^п.)Но в области комплексных чисел многочлен $a^{2n}+b^{2n}$ (где n >= 1) всегда можно факторизовать как $a^{2n}+b^{2n}=(a^{n}+b^{n}i)\cdot (a^{n}-b^{n}i)$ , даже если n — степень двойки.

Отрицательные степени двойки

Коды Хаффмана обеспечивают оптимальное сжатие данных без потерь , когда вероятности исходных символов являются отрицательными степенями двойки. ^[11]

См. также

Ссылки

^ Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем существенной компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 3. ISBN 0-07-037990-4 .
^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 78 . ISBN 0-19-851494-8 .
^ $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$
^ Гай, Ричард К. (2004), «Последовательности иррациональности E24», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN 0-387-20860-7 , Zbl 1058.11001 , заархивировано из оригинала 28 апреля 2016 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 обращается к своему собственному размеру слова как к двойному слову.
^ «Степень 2 таблицы — — — — — — Резюме Вона» . www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2015 года.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ноль». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Ноль» . Архивировано из оригинала 1 июня 2013 г. Проверено 29 мая 2013 г.
^ «Мерсенн Прайм Дискавери — 2^82589933-1 — это Прайм!» . www.mersenne.org .
^ Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Спрингер. стр. 26–28. ISBN 978-3-540-85297-1 .
^ Павел Стшелецкий (1994). «О степенях двойки» (на польском языке). Дельта. Архивировано из оригинала 9 мая 2016 г.
^ Кодирование Хаффмана , из: Фундаментальное сжатие данных , 2006.

[1] Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем существенной компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 3. ISBN 0-07-037990-4 .

[2] Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 78 . ISBN 0-19-851494-8 .

[3] $\log _{1024/1000}1.5\approx 17.1,$ $\log _{1024/1000}2\approx 29.2.$

[4] Гай, Ричард К. (2004), «Последовательности иррациональности E24», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN 0-387-20860-7 , Zbl 1058.11001 , заархивировано из оригинала 28 апреля 2016 г.

[iword-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 обращается к своему собственному размеру слова как к двойному слову.

[6] «Степень 2 таблицы — — — — — — Резюме Вона» . www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2015 года.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Ноль». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Ноль» . Архивировано из оригинала 1 июня 2013 г. Проверено 29 мая 2013 г.

[8] «Мерсенн Прайм Дискавери — 2^82589933-1 — это Прайм!» . www.mersenne.org .

[schroeder-9] Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Спрингер. стр. 26–28. ISBN 978-3-540-85297-1 .

[o_potegach_dwojki-10] Павел Стшелецкий (1994). «О степенях двойки» (на польском языке). Дельта. Архивировано из оригинала 9 мая 2016 г.

[11] Кодирование Хаффмана , из: Фундаментальное сжатие данных , 2006.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]