Jump to content

Сила двух

(Перенаправлено с 9 223 372 036 854 775 807 )
Визуализация степеней двойки от 1 до 1024 (2 0 до 2 10 с основанием 2 ) как блоки Динеса

Степень двойки – это число вида 2 н где n — целое число , то есть результат возведения в степень с номером два в качестве основания и целым числом n в качестве показателя степени .

Степени двойки с неотрицательными показателями являются целыми числами: 2 0 = 1 , 2 1 = 2 и 2 н равно двум, умноженным само на себя n раз. [1] [2] Первые десять степеней двойки для неотрицательных значений n :

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , ... (последовательность A000079 в OEIS )

сравнения, степени двойки с отрицательными показателями являются дробями : для отрицательного целого числа n 2 Для н умножается половина сама на себя n раз. Таким образом, первые несколько степеней двойки, где n отрицательно, равны 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 8 , 1/16 из , потому что каждая и т. д. Иногда их называют обратными степенями двойки них является мультипликативной инверсией положительной степени двойки.

Основание двоичной системы счисления

[ редактировать ]

Поскольку двойка является основой двоичной системы счисления , степени двойки широко распространены в информатике . Записанная в двоичном формате, степень двойки всегда имеет вид 100...000 или 0,00...001, точно так же, как степень 10 в десятичной системе.

Информатика

[ редактировать ]

Два в показателе степени n , записанном как 2 н , — количество способов битов в двоичном слове длины n расположения . Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( 000...000 2 ) до 2. н − 1 ( 111...111 2 ) включительно. Соответствующие со знаком целые числа могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. представления чисел со знаком . В любом случае, единица меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа этой формы часто встречаются в компьютерном программном обеспечении. Например, видеоигра, работающая на 8-битной системе, может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может удерживать, до 255 — результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение 2 8 − 1 = 255 . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой мог иметь при себе только 255 рупий (валюту игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man , как известно, есть экран убийства на уровне 256.

Степени двойки часто используются для измерения памяти компьютера. Байт теперь считается восемью битами ( октет ), что дает возможность иметь 256 значений (2 8 ). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях до сих пор означает) набор битов , обычно от 5 до 32 бит, а не только 8-битную единицу.) Префикс kilo в сочетании с byte может быть и традиционно используется для обозначения 1024 (2 10 ). Однако в целом термин «килограмм» используется в Международной системе единиц для обозначения 1000 (10 3 ). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби (Ки), что означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, являющиеся степенями двойки, чаще всего 32 или 64.

Степени двойки встречаются и в ряде других мест. Для многих дисковых накопителей по крайней мере одно из следующих значений: размер сектора, количество секторов на дорожку и количество дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.

Числа, не являющиеся степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, при разрешении видео, но часто они представляют собой сумму или произведение только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус одна. Например, 640 = 32 × 20 и 480 = 32 × 15 . Другими словами, у них довольно регулярные битовые комбинации.

Бонусы Мерсенна и Ферма

[ редактировать ]

Простое число , которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, поскольку оно на 1 меньше 32 (2 5 ). Точно так же простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма — показатель степени сам по себе является степенью двойки. Дробь , которой имеет степень двойки, знаменатель называется двоично-рациональной . Числа, которые можно представить в виде суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.

Евклида «Начала» , книга IX.

[ редактировать ]

Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) важна в теории чисел . Книга IX, Предложение 36 « Элементов» доказывает, что если сумма первых n членов этой прогрессии является простым числом (и, следовательно, является простым числом Мерсенна, как упоминалось выше), то эта сумма, умноженная на n -й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (пятый член ряда), равна 496, что является совершенным числом.

Книга IX, предложение 35, доказывает, что в геометрической прогрессии, если первый член вычесть из второго и последнего члена последовательности, то как превышение второго относительно первого, так и превышение последнего по отношению ко всем этим перед этим. (Это повторение нашей формулы для геометрического ряда, приведенной выше.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31) , мы видим, что 62 минус 31 равно 31, как 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются. до 496 и далее — это все числа, делящие 496. Предположим, что р делит 496 и его нет среди этих чисел. Предположим, что p q равно 16 × 31 или 31 соответствует q , как p равно 16. Теперь p не может делить 16, иначе оно было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16.Следовательно, 31 не может делить q . А поскольку 31 не делит q , а q измеряет 496, из фундаментальной теоремы арифметики следует, что q должно делить 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть q равно 4, тогда p должно быть 124, что невозможно, поскольку по гипотезе p не входит в число чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.

Таблица значений

[ редактировать ]

(последовательность A000079 в OEIS )

н 2 н н 2 н н 2 н н 2 н
0 1 16 65,536 32 4,294,967,296 48 281,474,976,710,656
1 2 17 131,072 33 8,589,934,592 49 562,949,953,421,312
2 4 18 262,144 34 17,179,869,184 50 1,125,899,906,842,624
3 8 19 524,288 35 34,359,738,368 51 2,251,799,813,685,248
4 16 20 1,048,576 36 68,719,476,736 52 4,503,599,627,370,496
5 32 21 2,097,152 37 137,438,953,472 53 9,007,199,254,740,992
6 64 22 4,194,304 38 274,877,906,944 54 18,014,398,509,481,984
7 128 23 8,388,608 39 549,755,813,888 55 36,028,797,018,963,968
8 256 24 16,777,216 40 1,099,511,627,776 56 72,057,594,037,927,936
9 512 25 33,554,432 41 2,199,023,255,552 57 144,115,188,075,855,872
10 1,024 26 67,108,864 42 4,398,046,511,104 58 288,230,376,151,711,744
11 2,048 27 134,217,728 43 8,796,093,022,208 59 576,460,752,303,423,488
12 4,096 28 268,435,456 44 17,592,186,044,416 60 1,152,921,504,606,846,976
13 8,192 29 536,870,912 45 35,184,372,088,832 61 2,305,843,009,213,693,952
14 16,384 30 1,073,741,824 46 70,368,744,177,664 62 4,611,686,018,427,387,904
15 32,768 31 2,147,483,648 47 140,737,488,355,328 63 9,223,372,036,854,775,808

Последние цифры

[ редактировать ]

Начиная с 2, последняя цифра является периодической с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры являются периодическими с периодом 20. Эти закономерности в целом справедливы для любой степени, относительно любая база . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку 2. к , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю 5 к , что есть φ (5 к ) = 4 × 5 к -1 (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). [ нужна ссылка ]

Полномочия 1024

[ редактировать ]

(последовательность A140300 в OEIS )

Первые несколько степеней 2 10 несколько больше, чем те же степени 1000 (10 3 ). Полномочия 2 10 значения, которые имеют отклонение менее 27%, перечислены ниже:

2 0 = 1 = 1000 0 (отклонение 0%)
2 10 = 1 024 ≈ 1000 1 (отклонение 2,4%)
2 20 = 1 048 576 ≈ 1000 2 (отклонение 4,9%)
2 30 = 1 073 741 824 ≈ 1000 3 (отклонение 7,4%)
2 40 = 1 099 511 627 776 ≈ 1000 4 (отклонение 10,0%)
2 50 = 1 125 899 906 842 624 ≈ 1000 5 (отклонение 12,6%)
2 60 = 1 152 921 504 606 846 976 ≈ 1000 6 (отклонение 15,3%)
2 70 = 1 180 591 620 717 411 303 424 ≈ 1000 7 (отклонение 18,1%)
2 80 = 1 208 925 819 614 629 174 706 176 ≈ 1000 8 (отклонение 20,9%)
2 90 = 1 237 940 039 285 380 274 899 124 224 ≈ 1000 9 (отклонение 23,8%)
2 100 = 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 ≈ 1000 10 (отклонение 26,8%)

Требуется примерно 17 степеней 1024, чтобы достичь отклонения 50%, и примерно 29 степеней 1024, чтобы достичь 100% отклонения тех же степеней 1000. [3] Также см. Двоичные префиксы и IEEE 1541-2002 .

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки.

[ редактировать ]

Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( 2 3 ), двойные экспоненты из двух являются обычным явлением. Первые 20 из них:

н 2 н 2 2 н (последовательность A001146 в OEIS ) цифры
0 1 2 1
1 2 4 1
2 4 16 2
3 8 256 3
4 16 65,536 5
5 32 4,294,967,296 10
6 64 18, 446, 744, 073, 709, 551, 616 20
7 128 340, 282, 366, 920, 938, 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456 39
8 256 115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 9...4, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639, 936 78
9 512 13, 407, 807, 929, 942, 597, 099, 574, 02...1, 946, 569, 946, 433, 649, 006, 084, 096 155
10 1,024 179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930, 5...6, 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137, 216 309
11 2,048 32, 317, 006, 071, 311, 007, 300, 714, 87...8, 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230, 656 617
12 4,096 1, 044, 388, 881, 413, 152, 506, 691, 752, ...0, 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336 1,234
13 8,192 1, 090, 748, 135, 619, 415, 929, 462, 984, ...1, 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896 2,467
14 16,384 1, 189, 731, 495, 357, 231, 765, 085, 759, ...2, 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816 4,933
15 32,768 1, 415, 461, 031, 044, 954, 789, 001, 553, ...7, 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856 9,865
16 65,536 2, 003, 529, 930, 406, 846, 464, 979, 072, ...2, 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736 19,729
17 131,072 4, 014, 132, 182, 036, 063, 039, 166, 060, ...1, 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696 39,457
18 262,144 16, 113, 257, 174, 857, 604, 736, 195, 72...0, 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300, 416 78,914
19 524,288 259, 637, 056, 783, 100, 077, 612, 659, 6...1, 369, 814, 364, 528, 226, 185, 773, 056 157,827

Также см. число Ферма , тетрацию и нижние гипероперации .

Последние цифры степеней двойки, показатели степени которых являются степенями двойки.

[ редактировать ]

Все эти числа оканчиваются на 6. Начиная с 16, последние две цифры являются периодическими с периодом 4, с циклом 16–56–36–96–, а начиная с 16 последние три цифры являются периодическими с периодом 20. Эти шаблоны вообще верно для любой власти, по отношению к любой базе . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку 2. к , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю 5 к , что есть φ (5 к ) = 4 × 5 к -1 (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). [ нужна ссылка ]

Факты о степенях двойки, показатели которых являются степенями двойки.

[ редактировать ]

В связи с нимберами эти числа часто называют Ферма 2-степенями .

Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности положительных целых чисел , ряд

сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленнорастущая из известных последовательностей иррациональности. [4]

Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки в информатике

[ редактировать ]

обычно Поскольку компьютерные типы данных имеют размер , равный степени двойки, эти числа подсчитывают количество представимых значений этого типа. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять 2 32 отдельные значения, которые можно рассматривать либо как простые битовые комбинации, либо чаще интерпретировать как беззнаковые числа от 0 до 2. 32 − 1 или как диапазон чисел со знаком между −2 31 и 2 31 − 1 . Дополнительные сведения о представлении чисел со знаком см. в дополнении до двух .

Избранные степени двойки

[ редактировать ]
2 2 = 4
Число, которое является квадратом двух. Также первая степень двойки, тетрация двойки.
2 8 = 256
Количество значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемом октетом . (Термин «байт» часто определяют как набор битов, а не как строгое определение 8-битной величины, как демонстрирует термин « килобайт» .)
2 10 = 1,024
Двоичная аппроксимация множителя кило- или 1000, вызывающая изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайту (или кибибайту ).
2 12 = 4,096
аппаратной страницы Размер процессора, совместимого с Intel x86 .
2 15 = 32,768
Количество неотрицательных значений для 16-битного целого числа со знаком .
2 16 = 65,536
Количество различных значений, представленных в одном слове на 16-битном процессоре, например исходных процессорах x86 . [5]
Максимальный диапазон короткой целочисленной переменной в языках программирования C# , Java и SQL . Максимальный диапазон переменной Word или Smallint в языке программирования Паскаль .
Количество бинарных отношений в 4-элементном множестве.
2 20 = 1,048,576
Двоичная аппроксимация мега- или множителя 1 000 000, вызывающая изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мебибайт ).
2 24 = 16,777,216
Число уникальных цветов , которые могут отображаться в истинном цвете , который используется обычными компьютерными мониторами .
Это число является результатом использования трехканальной системы RGB , где цвета определяются тремя значениями (красный, зеленый и синий) независимо в диапазоне от 0 ( 00) до 255 ( FF) включительно. Это дает 8 бит для каждого канала или всего 24 бита; например, чистый черный #000000, чистый белый #FFFFFF. Пространство всех возможных цветов, 16 777 216, можно определить с помощью 16 6 (6 цифр по 16 возможных значений для каждой), 256 3 (3 канала по 256 возможных значений для каждого) или 2 24 (24 бита по 2 возможных значения для каждого).
Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
2 30 = 1,073,741,824
Двоичная аппроксимация гига- или множителя 1 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1 гигабайту (или гибибайту ).
2 31 = 2,147,483,648
Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком . Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, во вторник, 19 января 2038 года, на 32-разрядных компьютерах под управлением Unix оно закончится на уровне 2 147 483 647 секунд или 03:14:07 UTC. Эта проблема известна как проблема 2038 года .
2 32 = 4,294,967,296
Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 32-битном процессоре. [6] Или количество значений, представленных в двойном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . [5]
Диапазон int переменная в языках программирования Java , C# и SQL .
Диапазон Cardinal или Integer переменная в языке программирования Паскаль .
Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++ .
Общее количество IP-адресов в рамках IPv4 . Хотя это, казалось бы, большое количество, количество доступных 32-битных адресов IPv4 исчерпано (но не для IPv6 ). адресов
Количество бинарных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
2 40 = 1,099,511,627,776
Двоичная аппроксимация тера- или множителя 1 000 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт или тебибайт.
2 50 = 1,125,899,906,842,624
Двоичная аппроксимация пета- , или множителя 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байт = 1 петабайт или пебибайт.
2 53 = 9,007,199,254,740,992
Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате двойной точности с плавающей запятой IEEE . Также первая степень 2 начинается с цифры 9 в десятичном формате.
2 56 = 72,057,594,037,927,936
Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
2 60 = 1,152,921,504,606,846,976
Двоичная аппроксимация множителя exa- или 1 000 000 000 000 000 000. 1 152 921 504 606 846 976 байт = 1 эксабайт или эксбибайт.
2 63 = 9,223,372,036,854,775,808
Количество неотрицательных значений для 64-битного целого числа со знаком.
2 63 − 1, общее максимальное значение (эквивалентное количеству положительных значений) для 64-битного целого числа со знаком в языках программирования.
2 64 = 18,446,744,073,709,551,616
Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 64-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в четверном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . [5]
Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C# .
Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Паскаль .
Общее количество адресов IPv6, обычно выделяемых одной локальной сети или подсети.
2 64 − 1, количество рисовых зерен на шахматной доске, согласно старой истории , где в первом квадрате содержится одно рисовое зернышко, а в каждом последующем квадрате их в два раза больше, чем в предыдущем. По этой причине это число иногда называют «шахматным числом».
2 64 − 1 — это также количество ходов, необходимое для прохождения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
2 68 = 295,147,905,179,352,825,856
Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
2 70 = 1,180,591,620,717,411,303,424
Двоичная аппроксимация зетта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 байт = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
2 80 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176
Двоичная аппроксимация йотта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 208 925 819 614 629 174 706 176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
2 86 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264
2 86 Предполагается , что это наибольшая степень двойки, не содержащая нуля в десятичной дроби. [7]
2 96 = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
Общее количество IPv6-адресов, обычно записываемых в локальный реестр Интернета . В нотации CIDR интернет-провайдерам присваивается значение / 32 , что означает, что для адресов доступны 128-32=96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2 96 адреса.
2 108 = 324, 518, 553, 658, 426, 726, 783, 156, 020, 576, 256
Самая большая известная степень 2, не содержащая 9 в десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )
2 126 = 85, 070, 591, 730, 234, 615, 865, 843, 651, 857, 942, 052, 864
Самая большая известная степень двойки, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )
2 128 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456
Общее количество IP-адресов, доступных в рамках IPv6 . Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID) .
2 168 = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856
Самая большая известная степень двойки, не содержащая всех десятичных цифр (в данном случае цифра 2 отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
2 192 = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896
Общее количество различных возможных ключей в AES 192-битном пространстве ключей (симметричный шифр).
2 229 = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912
2 229 - это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно своей степени. Метин Сарияр предположил, что каждая цифра от 0 до 9 имеет тенденцию появляться одинаковое количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )
2 256 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936
Общее количество различных возможных ключей в AES 256-битном пространстве ключей (симметричный шифр).
2 1,024 = 1.79 × 10 308
Максимальное число, которое может поместиться в 64-битном формате с плавающей запятой двойной точности IEEE (следовательно, максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel ).
2 16,384 = 1.19 × 10 4,932
Максимальное число, которое может поместиться в 128-битном формате IEEE с плавающей запятой четырехкратной точности.
2 262,144 = 1.61 × 10 78,913
Максимальное число, которое может поместиться в 256-битном формате IEEE с плавающей запятой восьмерной точности.
2 82,589,933 = 1.49 × 10 24,862,047
На одно больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на июнь 2023 г. . [8]

Степени двойки в теории музыки.

[ редактировать ]

В нотной записи все неизмененные значения нот имеют длительность, равную целой ноте, разделенной на степень двойки; например, половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точками или иным образом измененные ноты имеют другую продолжительность. В тактовых размерах нижняя цифра, единица доли , которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда представляет собой степень двойки.

Если соотношение частот двух тонов является степенью двойки, то интервал между этими тонами равен целым октавам . В этом случае соответствующие заметки имеют одно и то же имя.

Математическое совпадение , от , тесно связывает интервал в 7 полутонов с равной темперации идеальной квинтой чистой интонации : , поправка примерно на 0,1%. Пятая часть является основой пифагорейской настройки ; разница между двенадцатью всего лишь пятыми и семью октавами — это пифагорейская запятая . [9]

Другие объекты недвижимости

[ редактировать ]
Поскольку каждое увеличение размера удваивает количество фигур, сумма коэффициентов в каждой строке треугольника Паскаля равна степени двойки.
Сумма степеней двойки от нуля до заданной степени включительно на 1 меньше следующей степени двойки, тогда как сумма степеней двойки от минус бесконечности до заданной степени включительно равна следующей степени двойки.

Сумма всех n -выбираемых биномиальных коэффициентов равна 2 н . Рассмотрим набор всех n -значных двоичных целых чисел. Его мощность равна 2 н . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножества целых чисел без единиц (состоящих из одного числа, записанного как n нулей), подмножества с одной единицей, подмножества с двумя единицами и так далее до подмножество с n 1 (состоящее из числа, записанного как n 1). Каждый из них, в свою очередь, равен биномиальному коэффициенту, индексированному n , и количеству рассматриваемых единиц (например, существуют двоичные числа с 10 вариантами выбора-3 и десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).

В настоящее время степени двойки — единственные известные почти совершенные числа .

Мощность . набора степеней множества a всегда равна 2 | а | , где | а | это мощность a .

Число вершин гиперкуба n -мерного равно 2 н . Аналогично, количество ( n - 1) -граней n -мерного перекрестного многогранника также равно 2. н а формула для количества x -граней n -мерного перекрестного многогранника имеет вид

Сумма первого степени двойки (начиная с ) определяется выражением,

для любое положительное целое число.

Таким образом, сумма полномочий

можно вычислить, просто вычислив: (что является «шахматным номером»).

Сумма обратных степеней двойки равна 1 . Сумма обратных квадратов степеней двойки (степени четырех) равна 1/3.

Наименьшая натуральная степень двойки, десятичное представление которой начинается с 7, равна [10]

Любую степень 2 (кроме 1) можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел 24 способами . Степени 2 — это натуральные числа, большие 1, которые можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.

вещественного многочлена качестве В н + б н неприводимо n тогда и только тогда, когда степень двойки. (Если n нечетно, то a н + б н делится на a + b , и если n четное, но не степень 2, то n можно записать как n = mp , где m нечетное, и, таким образом, , который делится на п + б п .)Но в области комплексных чисел многочлен (где n >= 1) всегда можно факторизовать как , даже если n — степень двойки.

Отрицательные степени двойки

[ редактировать ]

Коды Хаффмана обеспечивают оптимальное сжатие данных без потерь , когда вероятности исходных символов являются отрицательными степенями двойки. [11]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем существенной компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 3. ISBN  0-07-037990-4 .
  2. ^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 78 . ISBN  0-19-851494-8 .
  3. ^
  4. ^ Гай, Ричард К. (2004), «Последовательности иррациональности E24», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN  0-387-20860-7 , Zbl   1058.11001 , заархивировано из оригинала 28 апреля 2016 г.
  5. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 обращается к своему собственному размеру слова как к двойному слову.
  6. ^ «Степень 2 таблицы — — — — — — Резюме Вона» . www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2015 года.
  7. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Ноль». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Ноль» . Архивировано из оригинала 1 июня 2013 г. Проверено 29 мая 2013 г.
  8. ^ «Мерсенн Прайм Дискавери — 2^82589933-1 — это Прайм!» . www.mersenne.org .
  9. ^ Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Спрингер. стр. 26–28. ISBN  978-3-540-85297-1 .
  10. ^ Павел Стшелецкий (1994). «О степенях двойки» (на польском языке). Дельта. Архивировано из оригинала 9 мая 2016 г.
  11. ^ Кодирование Хаффмана , из: Фундаментальное сжатие данных , 2006.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 9ec05b589978d33a97490be409d08279__1721681640
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/9e/79/9ec05b589978d33a97490be409d08279.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Power of two - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)