Сила двух
Степень двойки – это число вида 2 н где n — целое число , то есть результат возведения в степень с номером два в качестве основания и целым числом n в качестве показателя степени .
Степени двойки с неотрицательными показателями являются целыми числами: 2 0 = 1 , 2 1 = 2 и 2 н равно двум, умноженным само на себя n раз. [1] [2] Первые десять степеней двойки для неотрицательных значений n :
сравнения, степени двойки с отрицательными показателями являются дробями : для отрицательного целого числа n 2 Для н умножается половина сама на себя n раз. Таким образом, первые несколько степеней двойки, где n отрицательно, равны 1 / 2 , 1 / 4 , 1 / 8 , 1/16 из , потому что каждая и т. д. Иногда их называют обратными степенями двойки них является мультипликативной инверсией положительной степени двойки.
Основание двоичной системы счисления
[ редактировать ]Поскольку двойка является основой двоичной системы счисления , степени двойки широко распространены в информатике . Записанная в двоичном формате, степень двойки всегда имеет вид 100...000 или 0,00...001, точно так же, как степень 10 в десятичной системе.
Информатика
[ редактировать ]Два в показателе степени n , записанном как 2 н , — количество способов битов в двоичном слове длины n расположения . Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( 000...000 2 ) до 2. н − 1 ( 111...111 2 ) включительно. Соответствующие со знаком целые числа могут быть положительными, отрицательными и нулевыми; см. представления чисел со знаком . В любом случае, единица меньше степени двойки часто является верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа этой формы часто встречаются в компьютерном программном обеспечении. Например, видеоигра, работающая на 8-битной системе, может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может удерживать, до 255 — результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение 2 8 − 1 = 255 . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой мог иметь при себе только 255 рупий (валюту игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man , как известно, есть экран убийства на уровне 256.
Степени двойки часто используются для измерения памяти компьютера. Байт теперь считается восемью битами ( октет ), что дает возможность иметь 256 значений (2 8 ). (Термин байт когда-то означал (а в некоторых случаях до сих пор означает) набор битов , обычно от 5 до 32 бит, а не только 8-битную единицу.) Префикс kilo в сочетании с byte может быть и традиционно используется для обозначения 1024 (2 10 ). Однако в целом термин «килограмм» используется в Международной системе единиц для обозначения 1000 (10 3 ). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби (Ки), что означает 1024. Почти все регистры процессора имеют размеры, являющиеся степенями двойки, чаще всего 32 или 64.
Степени двойки встречаются и в ряде других мест. Для многих дисковых накопителей по крайней мере одно из следующих значений: размер сектора, количество секторов на дорожку и количество дорожек на поверхность является степенью двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.
Числа, не являющиеся степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, при разрешении видео, но часто они представляют собой сумму или произведение только двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус одна. Например, 640 = 32 × 20 и 480 = 32 × 15 . Другими словами, у них довольно регулярные битовые комбинации.
Бонусы Мерсенна и Ферма
[ редактировать ]Простое число , которое на единицу меньше степени двойки, называется простым числом Мерсенна . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, поскольку оно на 1 меньше 32 (2 5 ). Точно так же простое число (например, 257 ), которое на единицу больше положительной степени двойки, называется простым числом Ферма — показатель степени сам по себе является степенью двойки. Дробь , которой имеет степень двойки, знаменатель называется двоично-рациональной . Числа, которые можно представить в виде суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.
Евклида «Начала» , книга IX.
[ редактировать ]Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32,... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000,...) важна в теории чисел . Книга IX, Предложение 36 « Элементов» доказывает, что если сумма первых n членов этой прогрессии является простым числом (и, следовательно, является простым числом Мерсенна, как упоминалось выше), то эта сумма, умноженная на n -й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (пятый член ряда), равна 496, что является совершенным числом.
Книга IX, предложение 35, доказывает, что в геометрической прогрессии, если первый член вычесть из второго и последнего члена последовательности, то как превышение второго относительно первого, так и превышение последнего по отношению ко всем этим перед этим. (Это повторение нашей формулы для геометрического ряда, приведенной выше.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31) , мы видим, что 62 минус 31 равно 31, как 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Следовательно, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются. до 496 и далее — это все числа, делящие 496. Предположим, что р делит 496 и его нет среди этих чисел. Предположим, что p q равно 16 × 31 или 31 соответствует q , как p равно 16. Теперь p не может делить 16, иначе оно было бы среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16.Следовательно, 31 не может делить q . А поскольку 31 не делит q , а q измеряет 496, из фундаментальной теоремы арифметики следует, что q должно делить 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть q равно 4, тогда p должно быть 124, что невозможно, поскольку по гипотезе p не входит в число чисел 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.
Таблица значений
[ редактировать ](последовательность A000079 в OEIS )
н | 2 н | н | 2 н | н | 2 н | н | 2 н | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 16 | 65,536 | 32 | 4,294,967,296 | 48 | 281,474,976,710,656 | |||
1 | 2 | 17 | 131,072 | 33 | 8,589,934,592 | 49 | 562,949,953,421,312 | |||
2 | 4 | 18 | 262,144 | 34 | 17,179,869,184 | 50 | 1,125,899,906,842,624 | |||
3 | 8 | 19 | 524,288 | 35 | 34,359,738,368 | 51 | 2,251,799,813,685,248 | |||
4 | 16 | 20 | 1,048,576 | 36 | 68,719,476,736 | 52 | 4,503,599,627,370,496 | |||
5 | 32 | 21 | 2,097,152 | 37 | 137,438,953,472 | 53 | 9,007,199,254,740,992 | |||
6 | 64 | 22 | 4,194,304 | 38 | 274,877,906,944 | 54 | 18,014,398,509,481,984 | |||
7 | 128 | 23 | 8,388,608 | 39 | 549,755,813,888 | 55 | 36,028,797,018,963,968 | |||
8 | 256 | 24 | 16,777,216 | 40 | 1,099,511,627,776 | 56 | 72,057,594,037,927,936 | |||
9 | 512 | 25 | 33,554,432 | 41 | 2,199,023,255,552 | 57 | 144,115,188,075,855,872 | |||
10 | 1,024 | 26 | 67,108,864 | 42 | 4,398,046,511,104 | 58 | 288,230,376,151,711,744 | |||
11 | 2,048 | 27 | 134,217,728 | 43 | 8,796,093,022,208 | 59 | 576,460,752,303,423,488 | |||
12 | 4,096 | 28 | 268,435,456 | 44 | 17,592,186,044,416 | 60 | 1,152,921,504,606,846,976 | |||
13 | 8,192 | 29 | 536,870,912 | 45 | 35,184,372,088,832 | 61 | 2,305,843,009,213,693,952 | |||
14 | 16,384 | 30 | 1,073,741,824 | 46 | 70,368,744,177,664 | 62 | 4,611,686,018,427,387,904 | |||
15 | 32,768 | 31 | 2,147,483,648 | 47 | 140,737,488,355,328 | 63 | 9,223,372,036,854,775,808 |
Последние цифры
[ редактировать ]Начиная с 2, последняя цифра является периодической с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры являются периодическими с периодом 20. Эти закономерности в целом справедливы для любой степени, относительно любая база . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку 2. к , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю 5 к , что есть φ (5 к ) = 4 × 5 к -1 (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). [ нужна ссылка ]
Полномочия 1024
[ редактировать ](последовательность A140300 в OEIS )
Первые несколько степеней 2 10 несколько больше, чем те же степени 1000 (10 3 ). Полномочия 2 10 значения, которые имеют отклонение менее 27%, перечислены ниже:
2 0 | = | 1 | = 1000 0 | (отклонение 0%) |
2 10 | = | 1 024 | ≈ 1000 1 | (отклонение 2,4%) |
2 20 | = | 1 048 576 | ≈ 1000 2 | (отклонение 4,9%) |
2 30 | = | 1 073 741 824 | ≈ 1000 3 | (отклонение 7,4%) |
2 40 | = | 1 099 511 627 776 | ≈ 1000 4 | (отклонение 10,0%) |
2 50 | = | 1 125 899 906 842 624 | ≈ 1000 5 | (отклонение 12,6%) |
2 60 | = | 1 152 921 504 606 846 976 | ≈ 1000 6 | (отклонение 15,3%) |
2 70 | = | 1 180 591 620 717 411 303 424 | ≈ 1000 7 | (отклонение 18,1%) |
2 80 | = | 1 208 925 819 614 629 174 706 176 | ≈ 1000 8 | (отклонение 20,9%) |
2 90 | = | 1 237 940 039 285 380 274 899 124 224 | ≈ 1000 9 | (отклонение 23,8%) |
2 100 | = | 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 | ≈ 1000 10 | (отклонение 26,8%) |
Требуется примерно 17 степеней 1024, чтобы достичь отклонения 50%, и примерно 29 степеней 1024, чтобы достичь 100% отклонения тех же степеней 1000. [3] Также см. Двоичные префиксы и IEEE 1541-2002 .
Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки.
[ редактировать ]Поскольку данные (в частности, целые числа) и адреса данных хранятся с использованием одного и того же оборудования, а данные хранятся в одном или нескольких октетах ( 2 3 ), двойные экспоненты из двух являются обычным явлением. Первые 20 из них:
н | 2 н | 2 2 н (последовательность A001146 в OEIS ) | цифры |
---|---|---|---|
0 | 1 | 2 | 1 |
1 | 2 | 4 | 1 |
2 | 4 | 16 | 2 |
3 | 8 | 256 | 3 |
4 | 16 | 65,536 | 5 |
5 | 32 | 4,294,967,296 | 10 |
6 | 64 | 18, | 20 |
7 | 128 | 340, | 39 |
8 | 256 | 115, | 78 |
9 | 512 | 13, | 155 |
10 | 1,024 | 179, | 309 |
11 | 2,048 | 32, | 617 |
12 | 4,096 | 1, | 1,234 |
13 | 8,192 | 1, | 2,467 |
14 | 16,384 | 1, | 4,933 |
15 | 32,768 | 1, | 9,865 |
16 | 65,536 | 2, | 19,729 |
17 | 131,072 | 4, | 39,457 |
18 | 262,144 | 16, | 78,914 |
19 | 524,288 | 259, | 157,827 |
Также см. число Ферма , тетрацию и нижние гипероперации .
Последние цифры степеней двойки, показатели степени которых являются степенями двойки.
[ редактировать ]Все эти числа оканчиваются на 6. Начиная с 16, последние две цифры являются периодическими с периодом 4, с циклом 16–56–36–96–, а начиная с 16 последние три цифры являются периодическими с периодом 20. Эти шаблоны вообще верно для любой власти, по отношению к любой базе . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку 2. к , а период равен мультипликативному порядку 2 по модулю 5 к , что есть φ (5 к ) = 4 × 5 к -1 (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ). [ нужна ссылка ]
Факты о степенях двойки, показатели которых являются степенями двойки.
[ редактировать ]В связи с нимберами эти числа часто называют Ферма 2-степенями .
Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности положительных целых чисел , ряд
сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленнорастущая из известных последовательностей иррациональности. [4]
Степени двойки, показатели которых являются степенями двойки в информатике
[ редактировать ]обычно Поскольку компьютерные типы данных имеют размер , равный степени двойки, эти числа подсчитывают количество представимых значений этого типа. Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять 2 32 отдельные значения, которые можно рассматривать либо как простые битовые комбинации, либо чаще интерпретировать как беззнаковые числа от 0 до 2. 32 − 1 или как диапазон чисел со знаком между −2 31 и 2 31 − 1 . Дополнительные сведения о представлении чисел со знаком см. в дополнении до двух .
Избранные степени двойки
[ редактировать ]- 2 2 = 4
- Число, которое является квадратом двух. Также первая степень двойки, тетрация двойки.
- 2 8 = 256
- Количество значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемом октетом . (Термин «байт» часто определяют как набор битов, а не как строгое определение 8-битной величины, как демонстрирует термин « килобайт» .)
- 2 10 = 1,024
- Двоичная аппроксимация множителя кило- или 1000, вызывающая изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайту (или кибибайту ).
- 2 12 = 4,096
- аппаратной страницы Размер процессора, совместимого с Intel x86 .
- 2 15 = 32,768
- Количество неотрицательных значений для 16-битного целого числа со знаком .
- 2 16 = 65,536
- Количество различных значений, представленных в одном слове на 16-битном процессоре, например исходных процессорах x86 . [5]
- Максимальный диапазон короткой целочисленной переменной в языках программирования C# , Java и SQL . Максимальный диапазон переменной Word или Smallint в языке программирования Паскаль .
- Количество бинарных отношений в 4-элементном множестве.
- 2 20 = 1,048,576
- Двоичная аппроксимация мега- или множителя 1 000 000, вызывающая изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мебибайт ).
- 2 24 = 16,777,216
- Число уникальных цветов , которые могут отображаться в истинном цвете , который используется обычными компьютерными мониторами .
- Это число является результатом использования трехканальной системы RGB , где цвета определяются тремя значениями (красный, зеленый и синий) независимо в диапазоне от 0 (
00
) до 255 (FF
) включительно. Это дает 8 бит для каждого канала или всего 24 бита; например, чистый черный#000000
, чистый белый#FFFFFF
. Пространство всех возможных цветов, 16 777 216, можно определить с помощью 16 6 (6 цифр по 16 возможных значений для каждой), 256 3 (3 канала по 256 возможных значений для каждого) или 2 24 (24 бита по 2 возможных значения для каждого). - Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
- 2 30 = 1,073,741,824
- Двоичная аппроксимация гига- или множителя 1 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1 гигабайту (или гибибайту ).
- 2 31 = 2,147,483,648
- Количество неотрицательных значений для 32-битного целого числа со знаком . Поскольку время Unix измеряется в секундах с 1 января 1970 года, во вторник, 19 января 2038 года, на 32-разрядных компьютерах под управлением Unix оно закончится на уровне 2 147 483 647 секунд или 03:14:07 UTC. Эта проблема известна как проблема 2038 года .
- 2 32 = 4,294,967,296
- Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 32-битном процессоре. [6] Или количество значений, представленных в двойном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . [5]
- Диапазон
int
переменная в языках программирования Java , C# и SQL . - Диапазон
Cardinal
илиInteger
переменная в языке программирования Паскаль . - Минимальный диапазон длинной целочисленной переменной в языках программирования C и C++ .
- Общее количество IP-адресов в рамках IPv4 . Хотя это, казалось бы, большое количество, количество доступных 32-битных адресов IPv4 исчерпано (но не для IPv6 ). адресов
- Количество бинарных операций с доменом, равным любому набору из 4 элементов, например GF (4).
- 2 40 = 1,099,511,627,776
- Двоичная аппроксимация тера- или множителя 1 000 000 000 000, вызывающая изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт или тебибайт.
- 2 50 = 1,125,899,906,842,624
- Двоичная аппроксимация пета- , или множителя 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 байт = 1 петабайт или пебибайт.
- 2 53 = 9,007,199,254,740,992
- Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате двойной точности с плавающей запятой IEEE . Также первая степень 2 начинается с цифры 9 в десятичном формате.
- 2 56 = 72,057,594,037,927,936
- Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
- 2 60 = 1,152,921,504,606,846,976
- Двоичная аппроксимация множителя exa- или 1 000 000 000 000 000 000. 1 152 921 504 606 846 976 байт = 1 эксабайт или эксбибайт.
- 2 63 = 9,223,372,036,854,775,808
- Количество неотрицательных значений для 64-битного целого числа со знаком.
- 2 63 − 1, общее максимальное значение (эквивалентное количеству положительных значений) для 64-битного целого числа со знаком в языках программирования.
- 2 64 = 18,446,744,073,709,551,616
- Количество различных значений, которые можно представить в одном слове на 64-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в четверном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 . [5]
- Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C# .
- Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Паскаль .
- Общее количество адресов IPv6, обычно выделяемых одной локальной сети или подсети.
- 2 64 − 1, количество рисовых зерен на шахматной доске, согласно старой истории , где в первом квадрате содержится одно рисовое зернышко, а в каждом последующем квадрате их в два раза больше, чем в предыдущем. По этой причине это число иногда называют «шахматным числом».
- 2 64 − 1 — это также количество ходов, необходимое для прохождения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
- 2 68 = 295,147,905,179,352,825,856
- Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
- 2 70 = 1,180,591,620,717,411,303,424
- Двоичная аппроксимация зетта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 байт = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
- 2 80 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176
- Двоичная аппроксимация йотта- , или множителя 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 208 925 819 614 629 174 706 176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
- 2 86 = 77,371,252,455,336,267,181,195,264
- 2 86 Предполагается , что это наибольшая степень двойки, не содержащая нуля в десятичной дроби. [7]
- 2 96 = 79,228,162,514,264,337,593,543,950,336
- Общее количество IPv6-адресов, обычно записываемых в локальный реестр Интернета . В нотации CIDR интернет-провайдерам присваивается значение / 32 , что означает, что для адресов доступны 128-32=96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2 96 адреса.
- 2 108 = 324,
518, 553, 658, 426, 726, 783, 156, 020, 576, 256 - Самая большая известная степень 2, не содержащая 9 в десятичной дроби. (последовательность A035064 в OEIS )
- 2 126 = 85,
070, 591, 730, 234, 615, 865, 843, 651, 857, 942, 052, 864 - Самая большая известная степень двойки, не содержащая пары последовательных одинаковых цифр. (последовательность A050723 в OEIS )
- 2 128 = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456
- Общее количество IP-адресов, доступных в рамках IPv6 . Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID) .
- 2 168 = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856
- Самая большая известная степень двойки, не содержащая всех десятичных цифр (в данном случае цифра 2 отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
- 2 192 = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896
- Общее количество различных возможных ключей в AES 192-битном пространстве ключей (симметричный шифр).
- 2 229 = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912
- 2 229 - это наибольшая известная степень двойки, содержащая наименьшее количество нулей относительно своей степени. Метин Сарияр предположил, что каждая цифра от 0 до 9 имеет тенденцию появляться одинаковое количество раз в десятичном разложении степени двойки по мере увеличения степени. (последовательность A330024 в OEIS )
- 2 256 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936
- Общее количество различных возможных ключей в AES 256-битном пространстве ключей (симметричный шифр).
- 2 1,024 = 1.79 × 10 308
- Максимальное число, которое может поместиться в 64-битном формате с плавающей запятой двойной точности IEEE (следовательно, максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel ).
- 2 16,384 = 1.19 × 10 4,932
- Максимальное число, которое может поместиться в 128-битном формате IEEE с плавающей запятой четырехкратной точности.
- 2 262,144 = 1.61 × 10 78,913
- Максимальное число, которое может поместиться в 256-битном формате IEEE с плавающей запятой восьмерной точности.
- 2 82,589,933 = 1.49 × 10 24,862,047
- На одно больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на июнь 2023 г. [update]. [8]
Степени двойки в теории музыки.
[ редактировать ]В нотной записи все неизмененные значения нот имеют длительность, равную целой ноте, разделенной на степень двойки; например, половинная нота (1/2), четвертная нота (1/4), восьмая нота (1/8) и шестнадцатая нота (1/16). Ноты с точками или иным образом измененные ноты имеют другую продолжительность. В тактовых размерах нижняя цифра, единица доли , которую можно рассматривать как знаменатель дроби, почти всегда представляет собой степень двойки.
Если соотношение частот двух тонов является степенью двойки, то интервал между этими тонами равен целым октавам . В этом случае соответствующие заметки имеют одно и то же имя.
Математическое совпадение , от , тесно связывает интервал в 7 полутонов с равной темперации идеальной квинтой чистой интонации : , поправка примерно на 0,1%. Пятая часть является основой пифагорейской настройки ; разница между двенадцатью всего лишь пятыми и семью октавами — это пифагорейская запятая . [9]
Другие объекты недвижимости
[ редактировать ]Сумма всех n -выбираемых биномиальных коэффициентов равна 2 н . Рассмотрим набор всех n -значных двоичных целых чисел. Его мощность равна 2 н . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножества целых чисел без единиц (состоящих из одного числа, записанного как n нулей), подмножества с одной единицей, подмножества с двумя единицами и так далее до подмножество с n 1 (состоящее из числа, записанного как n 1). Каждый из них, в свою очередь, равен биномиальному коэффициенту, индексированному n , и количеству рассматриваемых единиц (например, существуют двоичные числа с 10 вариантами выбора-3 и десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).
В настоящее время степени двойки — единственные известные почти совершенные числа .
Мощность . набора степеней множества a всегда равна 2 | а | , где | а | это мощность a .
Число вершин гиперкуба n -мерного равно 2 н . Аналогично, количество ( n - 1) -граней n -мерного перекрестного многогранника также равно 2. н а формула для количества x -граней n -мерного перекрестного многогранника имеет вид
Сумма первого степени двойки (начиная с ) определяется выражением,
для любое положительное целое число.
Таким образом, сумма полномочий
можно вычислить, просто вычислив: (что является «шахматным номером»).
Сумма обратных степеней двойки равна 1 . Сумма обратных квадратов степеней двойки (степени четырех) равна 1/3.
Наименьшая натуральная степень двойки, десятичное представление которой начинается с 7, равна [10]
Любую степень 2 (кроме 1) можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел 24 способами . Степени 2 — это натуральные числа, большие 1, которые можно записать в виде суммы четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.
вещественного многочлена качестве В н + б н неприводимо n тогда и только тогда, когда — степень двойки. (Если n нечетно, то a н + б н делится на a + b , и если n четное, но не степень 2, то n можно записать как n = mp , где m нечетное, и, таким образом, , который делится на п + б п .)Но в области комплексных чисел многочлен (где n >= 1) всегда можно факторизовать как , даже если n — степень двойки.
Отрицательные степени двойки
[ редактировать ]Коды Хаффмана обеспечивают оптимальное сжатие данных без потерь , когда вероятности исходных символов являются отрицательными степенями двойки. [11]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Липшуц, Сеймур (1982). Очерк теории и проблем существенной компьютерной математики Шаума . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 3. ISBN 0-07-037990-4 .
- ^ Сьюэлл, Майкл Дж. (1997). Мастер-классы по математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 78 . ISBN 0-19-851494-8 .
- ^
- ^ Гай, Ричард К. (2004), «Последовательности иррациональности E24», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag , стр. 346, ISBN 0-387-20860-7 , Zbl 1058.11001 , заархивировано из оригинала 28 апреля 2016 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Хотя они различаются по размеру слова, все процессоры x86 используют термин «слово» для обозначения 16 бит; таким образом, 32-разрядный процессор x86 обращается к своему собственному размеру слова как к двойному слову.
- ^ «Степень 2 таблицы — — — — — — Резюме Вона» . www.vaughns-1-pagers.com . Архивировано из оригинала 12 августа 2015 года.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Ноль». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. «Ноль» . Архивировано из оригинала 1 июня 2013 г. Проверено 29 мая 2013 г.
- ^ «Мерсенн Прайм Дискавери — 2^82589933-1 — это Прайм!» . www.mersenne.org .
- ^ Манфред Роберт Шредер (2008). Теория чисел в науке и коммуникации (2-е изд.). Спрингер. стр. 26–28. ISBN 978-3-540-85297-1 .
- ^ Павел Стшелецкий (1994). «О степенях двойки» (на польском языке). Дельта. Архивировано из оригинала 9 мая 2016 г.
- ^ Кодирование Хаффмана , из: Фундаментальное сжатие данных , 2006.