Тесселяция

плитка Zellige Терракотовая в Марракеше , образующая сплошную, регулярную и другие мозаики.

Настенная скульптура в Леувардене, прославляющая художественные мозаики М. К. Эшера.

Пример непериодичности из-за другой ориентации одной плитки из бесконечного числа одинаковых плиток.

Мозаика — или мозаика это покрытие поверхности , часто плоскости , с использованием одной или нескольких геометрических фигур , называемых плитками , без перекрытий и пробелов. В математике тесселяцию можно обобщить на более высокие измерения и различные геометрии.

Периодическая мозаика имеет повторяющийся узор. Некоторые специальные виды включают в себя регулярные плитки с правильными многоугольными плитками одинаковой формы и полуправильные плитки с правильными плитками более чем одной формы и с одинаковым расположением всех углов. Узоры, образованные периодическими плитками, можно разделить на 17 групп обоев . Мозаика, в которой отсутствует повторяющийся узор, называется «непериодической». Апериодическая мозаика использует небольшой набор фигур плитки, которые не могут образовывать повторяющийся узор ( апериодический набор прототипов ). Мозаика пространства , также известная как заполнение пространства или соты, может быть определена в геометрии более высоких измерений.

Настоящая физическая мозаика — это плитка, сделанная из таких материалов, как склеенные керамические квадраты или шестиугольники. Такие плитки могут представлять собой декоративные узоры или выполнять такие функции, как создание прочных и водостойких покрытий для тротуаров , полов или стен. Исторически мозаика использовалась в Древнем Риме и в исламском искусстве , например, в марокканской архитектуре и декоративной геометрической плитке дворца Альгамбра . В двадцатом веке работы М. К. Эшера часто использовали мозаику, как в обычной евклидовой геометрии , так и в гиперболической геометрии , для художественного эффекта. Мозаика иногда используется для декоративного эффекта при выстегивании . Тесселяции образуют класс узоров в природе , например, в массивах шестиугольных ячеек, встречающихся в сотах .

История

Мозаику использовали шумеры ( около 4000 г. до н. э.) при отделке стен зданий, образованных узорами глиняных плиток. ^{[ 1 ]}

Декоративные мозаичные плитки из небольших квадратных блоков, называемых тессерами, широко использовались в классической античности . ^{[ 2 ]} иногда отображая геометрические узоры. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

В 1619 году Иоганн Кеплер провел первое документально подтвержденное исследование мозаики. Он писал о правильных и полуправильных мозаиках в своей книге «Harmonices Mundi» ; возможно, он был первым, кто исследовал и объяснил шестиугольную структуру сот и снежинок . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Примерно двести лет спустя, в 1891 году, русский кристаллограф Евграф Федоров доказал, что каждое периодическое замощение плоскости содержит одну из семнадцати различных групп изометрий. ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Работа Федорова положила неофициальное начало математическому изучению мозаик. Среди других выдающихся авторов — Алексей Васильевич Шубников и Николай Белов в своей книге «Цветная симметрия» (1964). ^{[ 10 ]} и Генрих Хиш и Отто Кинцле (1963). ^{[ 11 ]}

Этимология

На латыни тесселла — это небольшой кубический кусок глины , камня или стекла , используемый для изготовления мозаики. ^{[ 12 ]} Слово «тесселла» означает «маленький квадрат» (от tessera — квадрат, что, в свою очередь, происходит от греческого слова τέσσερα — четыре ). Это соответствует повседневному термину «черепица» , который относится к применению мозаики, часто выполненной из глазурованной глины.

Обзор

Ромбитри -шестиугольная плитка : плиточный пол в Археологическом музее Севильи , Испания, с использованием квадратных, треугольных и шестиугольных прототипов.

Тесселяция в двух измерениях, также называемая плоской мозаикой, — это раздел геометрии, изучающий, как фигуры, известные как плитки , могут быть расположены так, чтобы заполнить плоскость без каких-либо зазоров, в соответствии с заданным набором правил. Эти правила могут быть разнообразными. Общие из них заключаются в том, что между плитками не должно быть зазоров и ни один угол одной плитки не может лежать на краю другой. ^{[ 13 ]} Мозаика, созданная склеенной кирпичной кладкой, этому правилу не подчиняется. Среди тех, которые это делают, обычная тесселяция имеет как идентичные ^{[ а ]} правильные плитки и одинаковые правильные углы или вершины, имеющие одинаковый угол между соседними краями для каждой плитки. ^{[ 14 ]} Есть только три фигуры, которые могут образовывать такие правильные мозаики: равносторонний треугольник , квадрат и правильный шестиугольник . Любую из этих трех фигур можно дублировать бесконечно, чтобы заполнить плоскость без пробелов. ^{[ 6 ]}

Многие другие типы тесселяции возможны при различных ограничениях. Например, существует восемь типов полуправильной мозаики, состоящей из более чем одного вида правильных многоугольников, но имеющих одинаковое расположение многоугольников в каждом углу. ^{[ 15 ]} Неправильные мозаики также можно создавать из других фигур, таких как пятиугольники , полимино и практически любые геометрические фигуры. Художник М. К. Эшер известен созданием мозаики из неправильно переплетенных плиток в форме животных и других природных объектов. ^{[ 16 ]} Если для плиток разной формы выбраны подходящие контрастные цвета, образуются яркие узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы. ^{[ 17 ]}

Более формально, мозаика или тайлинг — это покрытие евклидовой плоскости счетным числом замкнутых наборов, называемых тайлами , таких, что тайлы пересекаются только на своих границах . Эти плитки могут быть многоугольниками или любой другой формой. ^{[ б ]} Многие мозаики формируются из конечного числа прототипов , в которых все плитки в тесселяции конгруэнтны данным прототипам. Если геометрическую фигуру можно использовать в качестве прототипа для создания мозаики, говорят, что эта форма мозаично образует мозаику или мозаику плоскости . Критерий Конвея — это достаточный, но не обязательный набор правил для определения того, закрывает ли данная фигура плоскость периодически без отражений: некоторые плитки не соответствуют критерию, но все равно закрывают плоскость. ^{[ 19 ]} Не найдено общего правила для определения того, может ли данная фигура замостить плоскость или нет, а это означает, что существует много нерешенных проблем, касающихся мозаики. ^{[ 18 ]}

Математически мозаику можно распространить на пространства, отличные от евклидовой плоскости. ^{[ 6 ]} Швейцарский первым сделал это , геометр Людвиг Шлефли определив полисхемы , которые сегодня математики называют многогранниками . Это аналоги многоугольников и многогранников в пространствах большего размера. Он далее определил обозначение символов Шлефли , чтобы упростить описание многогранников. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника — {3}, а для квадрата — {4}. ^{[ 20 ]} Обозначение Шлефли позволяет компактно описывать мозаики. Например, мозаика из правильных шестиугольников имеет три шестисторонних многоугольника в каждой вершине, поэтому ее символ Шлефли — {6,3}. ^{[ 21 ]}

Существуют и другие методы описания многоугольных мозаик. Когда мозаика состоит из правильных многоугольников, наиболее распространенным обозначением является конфигурация вершин , которая представляет собой просто список количества сторон многоугольников вокруг вершины. Квадратная мозаика имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 4. ⁴. Замощение правильных шестиугольников отмечено 6.6.6 или 6. ³. ^{[ 18 ]}

По математике

Введение в тесселяции

При обсуждении мозаики математики используют некоторые технические термины. Край — это пересечение двух граничащих плиток; часто это прямая линия. Вершина — это точка пересечения трех или более граничащих плиток. Используя эти термины, изогональная или вершинно-транзитивная мозаика — это мозаика, в которой каждая вершинная точка идентична; то есть расположение многоугольников вокруг каждой вершины одинаково. ^{[ 18 ]} Фундаментальная область представляет собой форму, например прямоугольник, которая повторяется, образуя мозаику. ^{[ 22 ]} встречаются Например, при регулярном замощении плоскости квадратами в каждой вершине четыре квадрата . ^{[ 18 ]}

Стороны многоугольников не обязательно совпадают с краями плиток. Мозаика от края до края — это любая многоугольная мозаика, в которой соседние плитки имеют только одну полную сторону, т. е. ни одна плитка не разделяет частичную сторону или более одной стороны с любой другой плиткой. В мозаике от края до края стороны многоугольников и края плиток одинаковы. Знакомая плитка «кирпичная стена» не имеет стыковки от края до края, потому что длинная сторона каждого прямоугольного кирпича является общей с двумя соседними кирпичами. ^{[ 18 ]}

Нормальный тайлинг — это мозаика, для которой каждый тайл топологически эквивалентен диску равномерно , пересечение любых двух тайлов представляет собой связное множество или пустое множество , а все тайлы ограничены . Это означает, что один окружной радиус и один радиус вписывания могут использоваться для всех плиток во всей мозаике; условие не позволяет использовать плитки, которые являются патологически длинными или тонкими. ^{[ 23 ]}

Моноэдральная мозаика — это мозаика, в которой все плитки конгруэнтны ; у него есть только один прототип. Особенно интересным типом моноэдральной мозаики является спиральная моноэдральная мозаика. Первая спиральная моноэдральная мозаика была открыта Хайнцем Водербергом в 1936 году; имеет мозаика Водерберга единичную плитку, которая представляет собой невыпуклый восьмиугольник . ^{[ 1 ]} Мозаика Хиршхорна , опубликованная Майклом Д. Хиршхорном и Д.С. Хантом в 1985 году, представляет собой мозаику пятиугольников с использованием неправильных пятиугольников: правильные пятиугольники не могут замостить евклидову плоскость как внутренний угол правильного пятиугольника. ⁠ 3 $π$ / 5 ⁠ , не является делителем 2 $π$ . ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}

Изоэдральная мозаика — это особый вариант моноэдральной мозаики, в которой все плитки принадлежат одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одной и той же протоплитки относительно группы симметрии мозаики. ^{[ 23 ]} Если прототайл допускает замощение, но ни одно такое замощение не является изоэдральным, то прототайл называется анизоэдральным и образует анизоэдральные замощения .

Правильная мозаика — это высокосимметричная мозаика от края до края, состоящая из правильных многоугольников одинаковой формы. Существует только три правильных мозаики: состоящие из равносторонних треугольников , квадратов или правильных шестиугольников . Все три этих мозаики изогональны и моноэдральны. ^{[ 26 ]}

Полуправильная (или архимедова) мозаика использует более одного типа правильного многоугольника в изогональном расположении. Имеется восемь полуправильных мозаик (или девять, если пара зеркальных изображений считается за две). ^{[ 27 ]} Их можно описать конфигурацией их вершин ; например, полуправильная мозаика с использованием квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4,8. ² (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника). ^{[ 28 ]} Возможны многие мозаики евклидовой плоскости без ребер, включая семейство мозаик Пифагора , мозаики, в которых используются квадраты двух (параметризованных) размеров, каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера. ^{[ 29 ]} Краевая тесселяция — это такая тесселяция, при которой каждая плитка может отражаться от края, занимая позицию соседней плитки, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников. ^{[ 30 ]}

Группы обоев

Плитки с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях можно разделить на группы обоев , которых существует 17. ^{[ 31 ]} Утверждалось, что все семнадцать из этих групп представлены во дворце Альгамбра в Гранаде , Испания . Хотя это и оспаривается, ^{[ 32 ]} Разнообразие и сложность облицовки Альгамбры заинтересовали современных исследователей. ^{[ 33 ]} Из трех обычных плиток два находятся в p6m группе обоев , а один — в группе p4m . Двумерные плитки с трансляционной симметрией только в одном направлении можно разделить на семь групп фризов, описывающих возможные узоры фризов . ^{[ 34 ]} Обозначение орбифолда можно использовать для описания групп обоев евклидовой плоскости. ^{[ 35 ]}

Апериодические мозаики

Плитки Пенроуза , в которых используются два разных четырехугольных прототипа, являются самым известным примером плиток, которые принудительно создают непериодические узоры. Они принадлежат к общему классу апериодических мозаик , в которых используются плитки, которые не могут периодически замощяться. Рекурсивный процесс - замощения замен это метод создания апериодических замощений. Одним из классов, который можно создать таким образом, является Rep-tiles ; эти мозаики обладают неожиданными самовоспроизводящимися свойствами. ^{[ 36 ]} Мозаики-вертушки непериодичны и используют конструкцию повторяющихся плиток; плитки появляются в бесконечном количестве направлений. ^{[ 37 ]} Можно было бы подумать, что непериодическая картина будет совершенно лишена симметрии, но это не так. Апериодические мозаики, хотя и лишены трансляционной симметрии , обладают симметрией других типов благодаря бесконечному повторению любого ограниченного участка мозаики и в некоторых конечных группах вращений или отражений этих участков. ^{[ 38 ]} Правило замены, например, которое можно использовать для создания шаблонов Пенроуза с использованием наборов плиток, называемых ромбами, иллюстрирует симметрию масштабирования. ^{[ 39 ]} Слово Фибоначчи можно использовать для построения апериодической мозаики и для изучения квазикристаллов , которые представляют собой структуры с апериодическим порядком. ^{[ 40 ]}

Набор из 13 плиток Ванга , которые закрашивают плоскость только апериодически.

Плитки Ванга представляют собой квадраты, окрашенные по каждому краю и расположенные так, чтобы примыкающие края соседних плиток имели одинаковый цвет; поэтому их иногда называют домино Ванга . Подходящий набор домино Ванга может замостить плоскость, но только апериодически. Это известно, поскольку любую машину Тьюринга можно представить как набор домино Ванга, которые замостили плоскость тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не остановилась. Поскольку проблема остановки неразрешима, проблема определения того, сможет ли набор домино Ванга замостить плоскость, также неразрешима. ^{[ 41 ]}^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}

Плитки Труше представляют собой квадратные плитки, украшенные узорами, поэтому они не имеют вращательной симметрии ; в 1704 году Себастьян Трюше использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут закрывать плоскость плиткой периодически или случайным образом. ^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}

Плитка Эйнштейна — это единая форма, которая обеспечивает апериодическую мозаику. Первую такую плитку, получившую название «шляпа», обнаружил в 2023 году Дэвид Смит, математик-любитель. ^{[ 48 ]}^{[ 49 ]} Открытие находится на профессиональной экспертизе и после подтверждения будет считаться решением давней математической проблемы . ^{[ 50 ]}

Тесселяции и цвет

Иногда цвет плитки понимается как часть плитки; в других случаях произвольные цвета могут быть применены позже. При обсуждении мозаики, отображаемой в цветах, во избежание двусмысленности необходимо указать, являются ли цвета частью мозаики или просто частью ее иллюстрации. Это влияет на то, будут ли плитки одинаковой формы, но разного цвета считаться идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. Теорема о четырех цветах утверждает, что для каждой мозаики нормальной евклидовой плоскости с набором из четырех доступных цветов каждая плитка может быть окрашена в один цвет так, чтобы ни одна плитка одинакового цвета не встречалась на кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная теоремой о четырех цветах, обычно не учитывает симметрию мозаики. Чтобы создать такую раскраску, необходимо рассматривать цвета как часть тесселяции. Здесь может потребоваться до семи цветов, как показано на изображении слева. ^{[ 51 ]}

Мозаика с полигонами

Помимо различных замощений правильными многоугольниками изучались также замощения другими многоугольниками.

Любой треугольник или четырехугольник (даже невыпуклый ) можно использовать в качестве прототипа для формирования моноэдральной мозаики, часто несколькими способами. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать мозаику с трансляционной симметрией и 2-кратной вращательной симметрией с центрами в середине всех сторон. Для асимметричного четырехугольника эта мозаика принадлежит группе обоев p2 . В качестве фундаментальной области у нас есть четырехугольник. Эквивалентно, мы можем построить параллелограмм, опирающийся на минимальный набор векторов перемещения, начиная с центра вращения. Мы можем разделить это на одну диагональ и взять половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет ту же площадь, что и четырёхугольник, и его можно построить путём вырезания и склеивания. ^{[ 52 ]}

Если разрешена только одна форма плитки, существуют плитки с выпуклыми N -угольниками для N , равных 3, 4, 5 и 6. Для N = 5 см . Пятиугольная плитка , для N = 6 см . Шестиугольная плитка , для N = 7 , см. семиугольную мозаику , а для N = 8 см. восьмиугольную мозаику .

У невыпуклых многоугольников гораздо меньше ограничений на количество сторон, даже если разрешена только одна форма.

Полимино — это примеры плиток, которые являются либо выпуклыми, либо невыпуклыми, для которых можно использовать различные комбинации, повороты и отражения для мозаики плоскости. Результаты по мозаике плоскости полимино см. в разделе Полимино § Использование полимино .

Разбиения Вороного

Мозаики Вороного или Дирихле представляют собой мозаику, в которой каждая плитка определяется как набор точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Представьте себе географические регионы, где каждый регион определяется как все точки, ближайшие к данному городу или почтовому отделению.) ^{[ 53 ]}^{[ 54 ]} Ячейка Вороного для каждой определяющей точки представляет собой выпуклый многоугольник. Триангуляция Делоне — это мозаика, которая является двойственным графом мозаики Вороного. Триангуляции Делоне полезны при численном моделировании, отчасти потому, что среди всех возможных триангуляций определяющих точек триангуляции Делоне максимизируют минимум углов, образованных краями. ^{[ 55 ]} Разбиения Вороного со случайно расположенными точками можно использовать для построения случайных разбиений плоскости. ^{[ 56 ]}

Тесселяции в более высоких измерениях

Тесселяцию можно расширить до трех измерений. Определенные многогранники могут быть сложены в обычный кристаллический узор , чтобы заполнить (или выложить плиткой) трехмерное пространство, включая куб (единственный платоновский многогранник, который может это сделать), ромбдодекаэдр , усеченный октаэдр , а также треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы. , среди других. ^{[ 57 ]} Любой многогранник, соответствующий этому критерию, известен как плезиоэдр и может иметь от 4 до 38 граней. ^{[ 58 ]} в природе ромбические додекаэдры встречаются в виде кристаллов андрадита флюорита (разновидность граната ) и Встречающиеся . ^{[ 59 ]}^{[ 60 ]}

Тесселяции в трех и более измерениях называются сотами . В трех измерениях существует только одна правильная сотовая структура, в каждой вершине многогранника имеется по восемь кубов. Аналогично, в трех измерениях существует только один квазирегулярный объект. ^{[ с ]} соты, состоящие из восьми тетраэдров и шести октаэдров в каждой вершине многогранника. Однако существует множество возможных полуправильных сот в трех измерениях. ^{[ 61 ]} Однородные соты можно построить с помощью конструкции Витхоффа . ^{[ 62 ]}

Бипризма Шмитта-Конвея представляет собой выпуклый многогранник, обладающий свойством замощения пространства только апериодически. ^{[ 63 ]}

Треугольник Шварца — это сферический треугольник , который можно использовать для создания мозаики сферы . ^{[ 64 ]}

Тесселяции в неевклидовой геометрии

Можно выполнить мозаику в неевклидовых геометриях, таких как гиперболическая геометрия . Равномерное замощение на гиперболической плоскости (которое может быть правильным, квазиправильным или полуправильным) представляет собой заполнение гиперболической плоскости от края до края с правильными многоугольниками в качестве граней ; они вершинно-транзитивны ( транзитивны по своим вершинам ) и изогональны (существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). ^{[ 65 ]}^{[ 66 ]}

Однородные соты в гиперболическом пространстве — это равномерная мозаика однородных многогранных ячеек . В трехмерном (3-D) гиперболическом пространстве существует девять семейств Кокстера компактных выпуклых однородных сот , порожденных как конструкции Витхоффа и представленных перестановками колец групповых диаграмм Кокстера для каждого семейства. ^{[ 67 ]}

В искусстве

В архитектуре тесселяции использовались для создания декоративных мотивов с древних времен. Мозаика часто имела геометрический узор. ^{[ 4 ]} Более поздние цивилизации также использовали плитку большего размера, как простую, так и индивидуально украшенную. Одними из самых декоративных были мавританские настенные плитки исламской архитектуры с использованием плиток Гириха и Зеллиге в таких зданиях, как Альгамбра. ^{[ 68 ]} и Мечеть . ^{[ 69 ]}

Тесселяции часто появлялись в графике М.К. Эшера ; его вдохновило мавританское использование симметрии в таких местах, как Альгамбра, когда он посетил Испанию в 1936 году. ^{[ 70 ]} Эшер сделал четыре « Предел круга », в которых используется гиперболическая геометрия. рисунка мозаики ^{[ 71 ]}^{[ 72 ]} Для своей гравюры на дереве «Предел круга IV» (1960) Эшер подготовил рисунок карандашом и тушью, показывающий необходимую геометрию. ^{[ 73 ]} Эшер объяснил, что «ни один компонент всей серии, которые из бесконечно далекого расстояния поднимаются, как ракеты, перпендикулярно пределу и наконец теряются в нем, никогда не достигает пограничной линии». ^{[ 74 ]}

Мозаичные узоры часто появляются на тканях, будь то тканые, вышитые или напечатанные. Узоры тесселяции использовались для создания переплетающихся мотивов лоскутных одеял . ^{[ 75 ]}^{[ 76 ]}

Тесселяция также является основным жанром оригами (складывания бумаги), где складки используются для повторяющегося соединения молекул, таких как складки, вместе. ^{[ 77 ]}

В производстве

Тесселяция используется в обрабатывающей промышленности для уменьшения потерь материала (потери производительности), например листового металла, при вырезании фигур для таких объектов, как автомобильные двери или банки для напитков . ^{[ 78 ]}

Тесселяция проявляется в трещины . грязевые растрескивании напоминающем тонких пленок, ^{[ 79 ]}^{[ 80 ]} степень самоорганизации – при этом наблюдается с использованием микро- и нанотехнологий . ^{[ 81 ]}

На природе

Соты являются хорошо известным примером мозаики в природе с ее шестиугольными ячейками. ^{[ 82 ]}

В ботанике термин «мозаика» описывает клетчатый узор, например, на лепестке цветка, коре дерева или фрукте. Цветы, в том числе рябчики , ^{[ 83 ]} и некоторые виды безвременника имеют характерную мозаичную форму. ^{[ 84 ]}

Многие узоры в природе образуются из-за трещин в листах материалов. Эти шаблоны можно описать мозаикой Гилберта , ^{[ 85 ]} также известные как сети случайного взлома. ^{[ 86 ]} Тесселяция Гилберта — это математическая модель образования грязевых трещин , игольчатых кристаллов и подобных структур. Модель, названная в честь Эдгара Гилберта , позволяет трещинам образовываться, начиная с хаотического разброса по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях вдоль линии, проходящей через точку зарождения, ее наклон выбирается случайным образом, создавая мозаику неправильных выпуклых многоугольников. ^{[ 87 ]} базальтовой Потоки лавы часто имеют столбчатую трещиноватость в результате сил сжатия, вызывающих трещины по мере остывания лавы. Развивающиеся обширные сети трещин часто образуют шестиугольные столбы лавы. Одним из примеров такого массива колонн является Дорога гигантов в Северной Ирландии. ^{[ 88 ]} Мозаичное покрытие , характерный пример которого находится в районе Иглхок-Нек на полуострове Тасман в Тасмании , представляет собой редкое образование осадочных пород, в котором порода раскололась на прямоугольные блоки. ^{[ 89 ]}

встречаются и другие естественные узоры В пенопластах ; они упакованы в соответствии с законами Плато , которые требуют минимальных поверхностей . Такие пены представляют собой проблему, связанную с максимально плотной упаковкой ячеек: в 1887 году лорд Кельвин предложил упаковку, использующую только одно твердое вещество - кубические соты с усеченными кусочками и очень слегка изогнутыми гранями. В 1993 году Денис Вейре и Роберт Фелан предложили структуру Вейра-Фелана , которая использует меньшую площадь поверхности для разделения ячеек равного объема, чем пена Кельвина. ^{[ 90 ]}

В головоломках и развлекательной математике

Мозаика породила множество типов мозаичных головоломок , от традиционных головоломок (с кусочками дерева или картона неправильной формы) ^{[ 91 ]} и танграм , ^{[ 92 ]} к более современным головоломкам, которые часто имеют математическую основу. Например, полиромбы и полимино — это фигуры правильных треугольников и квадратов, часто используемые в мозаике. ^{[ 93 ]}^{[ 94 ]} Такие авторы, как Генри Дюдени и Мартин Гарднер, неоднократно использовали тесселяцию в развлекательной математике . Например, Дьюдени изобрел шарнирную диссекцию . ^{[ 95 ]} в то время как Гарднер писал о « рептилии », форме, которую можно разделить на более мелкие копии той же формы. ^{[ 96 ]}^{[ 97 ]} Вдохновленная статьями Гарднера в Scientific American , математик-любитель Марджори Райс обнаружила четыре новых мозаики с пятиугольниками. ^{[ 98 ]}^{[ 99 ]} Возведение квадрата в квадрат — это задача замощения целого квадрата (того, стороны которого имеют целую длину) с использованием только других целых квадратов. ^{[ 100 ]}^{[ 101 ]} Расширение — это возведение плоскости в квадрат, замощение ее квадратами, размеры которых представляют собой натуральные числа без повторений; Джеймс и Фредерик Хенле доказали, что это возможно. ^{[ 102 ]}

Примеры

Треугольная мозаика , одна из трёх правильных мозаик плоскости.
Плосконосая шестиугольная мозаика , полуправильная мозаика плоскости.
Пятиугольная плитка Флоре , двойственная полуправильной плитке и одна из 15 моноэдральных пятиугольных плиток.
Все элементы мозаики представляют собой одинаковые псевдотреугольники, несмотря на их цвета и орнаменты.
Плитка Водерберга — спиральная моноэдральная мозаика, состоящая из восьмиугольников.
Чередованная восьмиугольная или тритетрагональная мозаика - это равномерная мозаика гиперболической плоскости.
Топологическая квадратная мозаика, изоэдрически искаженная в I-образную форму.

См. также

Пояснительные сноски

^ Математический термин для обозначения одинаковых фигур — «конгруэнтный» — в математике «идентичный» означает, что это одна и та же плитка.
^ Плитки обычно должны быть гомеоморфны (топологически эквивалентны) замкнутому диску , что означает, что причудливые формы с отверстиями, висячие отрезки линий или бесконечные области исключаются. ^{[ 18 ]}
^ В данном контексте квазирегулярность означает, что ячейки являются правильными (сплошными), а фигуры вершин полуправильными.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики . Стерлинг . п. 372. ИСБН 978-1-4027-5796-9 .
^ Данбабин, Кэтрин, доктор медицины (2006). Мозаики греческого и римского мира . Издательство Кембриджского университета. п. 280.
^ «Геометрическая мозаика Брантингема» . Городской совет Халла. 2008 год . Проверено 26 мая 2015 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Филд, Роберт (1988). Геометрические узоры римской мозаики . Тарквиний. ISBN 978-0-906-21263-9 .
^ Кеплер, Иоганн (1619). Harmonices Mundi (« Гармония миров »).
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Гуллберг 1997 , стр. 395.
^ Стюарт 2001 , с. 13.
^ Джиджев, Христос; Потконьяк, Миодраг (2012). «Проблемы динамического покрытия в сенсорных сетях» (PDF) . Лос-Аламосская национальная лаборатория п. 2 . Получено 6 апреля.
^ Fyodorov, Y. (1891). "Simmetrija na ploskosti [Symmetry in the plane]". Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society] . 2 (in Russian). 28 : 245–291.
^ Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich; Belov, Nikolaĭ Vasilʹevich (1964). Colored Symmetry . Macmillan .
^ Хиш, Х.; Кинцле, О. (1963). Замыкание поверхности: система форм плавно соединяющихся частей поверхности (на немецком языке). Спрингер .
^ «Тесселат» . Мерриам-Вебстер Онлайн . Проверено 26 мая 2015 г.
^ Конвей, Р.; Бургель, Х.; Гудман-Штраусс, Г. (2008). Симметрии вещей . Питерс.
^ Коксетер 1973 .
^ Канди и Роллетт (1961). Математические модели (2-е изд.). Оксфорд. стр. 61–62.
^ Эшер 1974 , стр. 11–12, 15–16.
^ «Собор Святого Марка» . Раздел: Мозаичный пол . Базилика Сан-Марко . Проверено 26 апреля 2013 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Грюнбаум и Шепард 1987 , с. 59.
^ Шатшнайдер, Дорис (сентябрь 1980 г.). «Будет ли это плитка? Попробуйте критерий Конвея!». Журнал «Математика» . Том. 53, нет. 4. С. 224–233. дои : 10.2307/2689617 . JSTOR 2689617 .
^ Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн . стр. 14, 69, 149. ISBN. 978-0-486-61480-9 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция» . Математический мир .
^ Эммер, Мишель; Шатшнайдер, Дорис (8 мая 2007 г.). Наследие MC Эшера: празднование столетия . Берлин Гейдельберг: Springer. п. 325. ИСБН 978-3-540-28849-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хорн, Клэр Э. (2000). Геометрическая симметрия в узорах и плитках . Издательство Вудхед. стр. 172, 175. ISBN. 978-1-85573-492-0 .
^ Датч, Стивен (29 июля 1999 г.). «Некоторые специальные радиальные и спиральные мозаики» . Университет Висконсина. Архивировано из оригинала 4 апреля 2013 года . Проверено 6 апреля 2013 г.
^ Хиршхорн, доктор медицины; Хант, округ Колумбия (1985). «Равносторонние выпуклые пятиугольники, замощающие плоскость» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 39 (1): 1–18. дои : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Регулярные тесселяции» . Математический мир .
^ Стюарт 2001 , с. 75.
^ NRICH (Математический проект тысячелетия) (1997–2012). «Тесселяции Шлефли» . Кембриджский университет . Проверено 26 апреля 2013 г.
^ Уэллс, Дэвид (1991). «мозаика двумя квадратами». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 260–261 . ISBN 978-0-14-011813-1 .
^ Кирби, Мэтью; Амбл, Рональд (2011). «Мозаика по краям и головоломки с марками». Журнал «Математика» . 84 (4): 283–89. дои : 10.4169/math.mag.84.4.283 . S2CID 123579388 .
^ Армстронг, Массачусетс (1988). Группы и симметрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-96675-3 .
^ Грюнбаум, Бранко (июнь – июль 2006 г.). «Какие группы симметрии присутствуют в Альгамбре?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (6): 670–673.
^ Лу, Питер Дж.; Стейнхардт (23 февраля 2007 г.). «Декагональные и квазикристаллические плитки в средневековой исламской архитектуре». Наука . 315 (5815): 1106–10. Бибкод : 2007Sci...315.1106L . дои : 10.1126/science.1135491 . ПМИД 17322056 . S2CID 10374218 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Frieze Group» . Математический мир .
^ Хьюсон, Дэниел Х. (1991). «Мутация двумерной симметрии» . Принстонский университет. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 – через CiteSeerX.
^ Гарднер 1989 , стр. 1–18.
^ Радин, К. (май 1994 г.). «Вертушка плоскости». Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . дои : 10.2307/2118575 . JSTOR 2118575 .
^ Остин, Дэвид. «Плитки Пенроуза говорят на многие мили» . Американское математическое общество . Проверено 29 мая 2015 г.
^ Харрисс, Е.О. «Апериодическая черепица» (PDF) . Лондонский университет и EPSRC. Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 года . Проверено 29 мая 2015 г.
^ Дхарма-вардана, MWC; Макдональд, АХ; Локвуд, диджей; Барибо, Ж.-М.; Хоутон, округ Колумбия (1987). «Комбинационное рассеяние света в сверхрешетках Фибоначчи». Письма о физических отзывах . 58 (17): 1761–1765. Бибкод : 1987PhRvL..58.1761D . doi : 10.1103/physrevlett.58.1761 . ПМИД 10034529 .
^ Ван, Хао (1961). «Доказательство теорем методом распознавания образов — II». Технический журнал Bell System . 40 (1): 1–41. дои : 10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x .
^ Ван, Хао (ноябрь 1965 г.). «Игры, логика и компьютеры». Научный американец . стр. 98–106.
^ Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества . 66 (66): 72. дои : 10.1090/memo/0066 .
^ Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность разбиений плоскости». Математические изобретения . 12 (3): 177–209. Бибкод : 1971InMat..12..177R . дои : 10.1007/bf01418780 . МР 0297572 . S2CID 14259496 .
^ Чулик, Карел II (1996). «Апериодический набор из 13 плиток Ванга» . Дискретная математика . 160 (1–3): 245–251. дои : 10.1016/S0012-365X(96)00118-5 . МР 1417576 .
^ Браун, Кэмерон (2008). «Кривые и поверхности Трюше». Компьютеры и графика . 32 (2): 268–281. дои : 10.1016/j.cag.2007.10.001 .
^ Смит, Сирил Стэнли (1987). «Мозаичные узоры Себастьяна Труше и топология структурной иерархии». Леонардо . 20 (4): 373–385. дои : 10.2307/1578535 . JSTOR 1578535 . S2CID 192944820 .
^ Коновер, Эмили (24 марта 2023 г.). «Математики наконец-то обнаружили неуловимую плитку Эйнштейна» . Новости науки . Проверено 25 марта 2023 г. с изображением узора
^ Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (март 2023 г.). «Апериодический монотиль». arXiv:2303.10798
↑ Робертс, Сойбхан, Неуловимый «Эйнштейн» решает давнюю математическую задачу , New York Times, 28 марта 2023 г., с изображением закономерности.
^ «Задача четырех цветов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ Джонс, Оуэн (1910) [1856]. Грамматика орнамента (изд. фолио). Бернард Куоритч .
^ Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (3): 345–405. дои : 10.1145/116873.116880 . S2CID 4613674 .
^ Окабе, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные замощения - концепции и применение диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0-471-98635-5 .
^ Джордж, Пол Луи; Боручаки, Хоуман (1998). Триангуляция Делоне и создание сеток: применение к конечным элементам . Гермес . стр. 34–35. ISBN 978-2-86601-692-0 .
^ Моллер, Джеспер (1994). Лекции по случайным мозаикам Вороного . Спрингер. ISBN 978-1-4612-2652-9 .
^ Грюнбаум, Бранко (1994). «Равномерные замощения трехмерного пространства». Геомбинаторика . 4 (2): 49–56.
^ Энгель, Питер (1981). «О делениях областей кубической симметрии». Журнал кристаллографии, кристаллической геометрии, кристаллофизики, кристаллохимии . 154 (3–4): 199–215. Бибкод : 1981ZK....154..199E . дои : 10.1524/zkri.1981.154.3-4.199 . МР 0598811 . .
^ Олдершоу, Кэлли (2003). Путеводитель Firefly по драгоценным камням . Книги Светлячка. п. 107 . ISBN 978-1-55297-814-6 .
^ Киркалди, Дж. Ф. (1968). Минералы и камни в цвете (2-е изд.). Блэндфорд. стр. 138–139.
^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Шерк, Ф. Артур; Канадское математическое общество (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Джон Уайли и сыновья. п. 3 и пассим. ISBN 978-0-471-01003-6 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Строительство Витхоффа» . Математический мир .
^ Сенешаль, Марджори (26 сентября 1996 г.). Квазикристаллы и геометрия . Архив Кубка. п. 209 . ISBN 978-0-521-57541-6 .
^ Блэк, Х.А. (1873). «О тех случаях, когда гауссов гипергеометрический ряд представляет собой алгебраическую функцию своего четвертого элемента» . Журнал чистой и прикладной математики . 1873 (75): 292–335. дои : 10.1515/crll.1873.75.292 . ISSN 0075-4102 . S2CID 121698536 .
^ Маргенштерн, Морис (4 января 2011 г.). «Координаты нового треугольного замощения гиперболической плоскости». arXiv : 1101.0530 [ cs.FL ].
^ Задник, Гашпер. «Замощение гиперболической плоскости правильными многоугольниками» . Вольфрам . Проверено 27 мая 2015 г.
^ Коксетер, HSM (1999). «Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации . стр. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1 .
^ «Математика в искусстве и архитектуре» . Национальный университет Сингапура . Проверено 17 мая 2015 г.
^ Уиттакер, Эндрю (2008). Говори культуру: Испания . Издательство Торогуд . п. 153. ИСБН 978-1-85418-605-8 .
^ Эшер 1974 , стр. 5, 17.
^ Герстен, С.М. «Введение в гиперболические и автоматические группы» (PDF) . Университет Юты . Проверено 27 мая 2015 г. Рисунок 1 является частью мозаики евклидовой плоскости, которую мы представляем продолжающейся во всех направлениях, а Рисунок 2 [Ограничение круга IV] представляет собой красивую мозаику модели единичного диска Пуанкаре гиперболической плоскости белыми плитками, изображающими ангелов и черных. плитки, изображающие дьяволов. Важной особенностью второго варианта является то, что все белые плитки, как и все черные плитки, конгруэнтны друг другу; конечно, это неверно для евклидовой метрики, но справедливо для метрики Пуанкаре
^ Лейс, Джос (2015). «Гиперболический Эшер» . Проверено 27 мая 2015 г.
^ Эшер 1974 , стр. 142–143.
^ Эшер 1974 , с. 16.
^ Портер, Кристина (2006). Одеяла с тесселяцией: сенсационные дизайны из переплетающихся узоров . Ф+В Медиа. стр. 4–8. ISBN 978-0-7153-1941-3 .
^ Бейер, Джинни (1999). Проектирование тесселяций: секреты переплетения узоров . Современная книга . пп. гл. 7. ISBN 978-0-8092-2866-9 .
^ Гьерде, Эрик (2008). Мозаика оригами . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-1-568-81451-3 .
^ «Снижение потерь урожая: использование меньшего количества металла для производства того же самого продукта» . Университет ИТ Кембриджа . Архивировано из оригинала 29 мая 2015 года . Проверено 29 мая 2015 г.
^ Таулесс, доктор медицины (1990). «Расстояние между трещинами в хрупких пленках на эластичных подложках». Дж. Ам. хим. Соц . 73 (7): 2144–2146. дои : 10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x .
^ Ся, ZC; Хатчинсон, JW (2000). «Трещины в тонких пленках». Дж. Мех. Физ. Твердые тела . 48 (6–7): 1107–1131. Бибкод : 2000JMPSo..48.1107X . дои : 10.1016/S0022-5096(99)00081-2 .
^ Сегир, Р.; Арскотт, С. (2015). «Контролируемое образование грязевых трещин и самоорганизованное растрескивание поверхностей полидиметилсилоксанового эластомера» . наук. Представитель . 5 : 14787. Бибкод : 2015NatSR...514787S . дои : 10.1038/srep14787 . ПМК 4594096 . ПМИД 26437880 .
^ Болл, Филип (2013). «Как соты могут строиться сами» . Природа . дои : 10.1038/nature.2013.13398 . S2CID 138195687 . Проверено 7 ноября 2014 г.
^ Краткий Оксфордский словарь английского языка (6-е изд.). Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. 2007. с. 3804. ИСБН 978-0-19-920687-2 .
^ Перди, Кэти (2007). «Безвременники: самый сокровенный секрет осени». Американский садовник (сентябрь/октябрь): 18–22.
^ Шрайбер, Томаш; Соя, Наталья (2010). «Теория пределов для плоских мозаик Гилберта». arXiv : 1005.0023 [ мат.PR ].
^ Грей, Нью-Хэмпшир; Андерсон, Дж. Б.; Дивайн, Джей Ди; Квасник, Дж. М. (1976). «Топологические свойства случайных сетей трещин». Математическая геология . 8 (6): 617–626. дои : 10.1007/BF01031092 . S2CID 119949515 .
^ Гилберт, EN (1967). «Случайные плоские сети и игольчатые кристаллы». В Нобл, Б. (ред.). Применение бакалавриата по математике в инженерном деле . Нью-Йорк: Макмиллан.
^ Вейре, Д. ; Ривье, Н. (1984). «Мыло, клетки и статистика: случайные закономерности в двух измерениях». Современная физика . 25 (1): 59–99. Бибкод : 1984ConPh..25...59W . дои : 10.1080/00107518408210979 .
^ Бранаган, Д.Ф. (1983). Янг, RW; Нансон, GC (ред.). Мозаичные тротуары . Особенности ландшафтов австралийского песчаника. Специальная публикация № 1, Геоморфология Австралии и Новой Зеландии. Вуллонгонг, Новый Южный Уэльс: Университет Вуллонгонга . стр. 11–20. ISBN 978-0-864-18001-8 . OCLC 12650092 .
^ Болл, Филип (2009). Формы . Издательство Оксфордского университета . стр. 73–76. ISBN 978-0-199-60486-9 .
^ МакАдам, Дэниел. «История пазлов» . Американское общество головоломок. Архивировано из оригинала 11 февраля 2014 года . Проверено 28 мая 2015 г.
^ Слокам, Джерри (2001). Дао Танграма . Барнс и Ноубл. п. 9. ISBN 978-1-4351-0156-2 .
^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-02444-8 .
^ Мартин, Джордж Э. (1991). Полимино: Путеводитель по головоломкам и задачам по мозаике . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-501-0 .
^ Фредериксон, Грег Н. (2002). Шарнирное рассечение: качание и скручивание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-81192-7 .
^ Гарднер, Мартин (май 1963 г.). «О «рептилиях» - полигонах, которые могут создавать большие и меньшие копии самих себя». Научный американец . Том. 208, нет. Может. стр. 154–164.
^ Гарднер, Мартин (14 декабря 2006 г.). Ага! Двухтомный сборник: Ага! Попался Ага! Понимание . МАА. п. 48. ИСБН 978-0-88385-551-5 .
^ Сури, Мани (12 октября 2015 г.). «Важность развлекательной математики» . Нью-Йорк Таймс .
^ Шатшнайдер, Дорис (1978). «Облицовка плоскости равными пятиугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . 51 (1). МАА: 29–44. дои : 10.2307/2689644 . JSTOR 2689644 .
^ Тутте, В.Т. «Квадрат квадрата» . Квадрат.нет . Проверено 29 мая 2015 г.
^ Гарднер, Мартин; Тутт, Уильям Т. (ноябрь 1958 г.). «Математические игры». Научный американец .
^ Хенле, Фредерик В.; Хенле, Джеймс М. (2008). «Квадрат плоскости» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 115 (1): 3–12. дои : 10.1080/00029890.2008.11920491 . JSTOR 27642387 . S2CID 26663945 . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июня 2006 года.

Источники

Коксетер, HSM (1973). «Раздел IV: Мозаика и соты». Правильные многогранники . Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-61480-9 .
Эшер, MC (1974). Дж. Л. Лочер (ред.). Мир MC Эшера (Новое краткое изд. NAL). Абрамс. ISBN 978-0-451-79961-6 .
Гарднер, Мартин (1989). Плитки Пенроуза к шифрам с люками . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-88385-521-8 .
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . У. Х. Фриман. ISBN 978-0-7167-1193-3 .
Галлберг, Ян (1997). Математика от рождения чисел . Нортон. ISBN 978-0-393-04002-9 .
Стюарт, Ян (2001). Какой формы снежинка? . Вайденфельд и Николсон. ISBN 978-0-297-60723-6 .

Внешние ссылки

Tegula (программное обеспечение с открытым исходным кодом для исследования двумерных мозаик плоскости, сферы и гиперболической плоскости; включает базы данных, содержащие миллионы мозаик)
Wolfram MathWorld: Tessellation (хорошая библиография, рисунки правильных, полуправильных и полуправильных тесселяций)
Дирк Фреттло и Эдмунд Харрисс . « Энциклопедия плиток » (подробная информация о плитках-заменителях, включая рисунки, людей и ссылки)
Tessellations.org (практические руководства, галерея мозаики Эшера, галереи мозаик других художников, планы уроков, история)
Эппштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: гиперболическая черепица» . (список веб-ресурсов, включая статьи и галереи)

[14] Математический термин для обозначения одинаковых фигур — «конгруэнтный» — в математике «идентичный» означает, что это одна и та же плитка.

[20] Плитки обычно должны быть гомеоморфны (топологически эквивалентны) замкнутому диску , что означает, что причудливые формы с отверстиями, висячие отрезки линий или бесконечные области исключаются. ^{[ 18 ]}

[63] В данном контексте квазирегулярность означает, что ячейки являются правильными (сплошными), а фигуры вершин полуправильными.

[Pickover2009-1] Перейти обратно: ^а ^б Пиковер, Клиффорд А. (2009). Книга по математике: от Пифагора до 57-го измерения, 250 вех в истории математики . Стерлинг . п. 372. ИСБН 978-1-4027-5796-9 .

[2] Данбабин, Кэтрин, доктор медицины (2006). Мозаики греческого и римского мира . Издательство Кембриджского университета. п. 280.

[3] «Геометрическая мозаика Брантингема» . Городской совет Халла. 2008 год . Проверено 26 мая 2015 г.

[Field1988-4] Перейти обратно: ^а ^б Филд, Роберт (1988). Геометрические узоры римской мозаики . Тарквиний. ISBN 978-0-906-21263-9 .

[5] Кеплер, Иоганн (1619). Harmonices Mundi (« Гармония миров »).

[FOOTNOTEGullberg1997395-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Гуллберг 1997 , стр. 395.

[FOOTNOTEStewart200113-7] Стюарт 2001 , с. 13.

[8] Джиджев, Христос; Потконьяк, Миодраг (2012). «Проблемы динамического покрытия в сенсорных сетях» (PDF) . Лос-Аламосская национальная лаборатория п. 2 . Получено 6 апреля.

[9] Fyodorov, Y. (1891). "Simmetrija na ploskosti [Symmetry in the plane]". Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society] . 2 (in Russian). 28 : 245–291.

[ShubnikovBelov1964-10] Shubnikov, Alekseĭ Vasilʹevich; Belov, Nikolaĭ Vasilʹevich (1964). Colored Symmetry . Macmillan .

[11] Хиш, Х.; Кинцле, О. (1963). Замыкание поверхности: система форм плавно соединяющихся частей поверхности (на немецком языке). Спрингер .

[12] «Тесселат» . Мерриам-Вебстер Онлайн . Проверено 26 мая 2015 г.

[13] Конвей, Р.; Бургель, Х.; Гудман-Штраусс, Г. (2008). Симметрии вещей . Питерс.

[FOOTNOTECoxeter1973-15] Коксетер 1973 .

[16] Канди и Роллетт (1961). Математические модели (2-е изд.). Оксфорд. стр. 61–62.

[FOOTNOTEEscher197411–12,_15–16-17] Эшер 1974 , стр. 11–12, 15–16.

[18] «Собор Святого Марка» . Раздел: Мозаичный пол . Базилика Сан-Марко . Проверено 26 апреля 2013 г.

[FOOTNOTEGrünbaumShephard198759-19] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Грюнбаум и Шепард 1987 , с. 59.

[21] Шатшнайдер, Дорис (сентябрь 1980 г.). «Будет ли это плитка? Попробуйте критерий Конвея!». Журнал «Математика» . Том. 53, нет. 4. С. 224–233. дои : 10.2307/2689617 . JSTOR 2689617 .

[22] Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн . стр. 14, 69, 149. ISBN. 978-0-486-61480-9 .

[MathWorldTessellation-23] Вайсштейн, Эрик В. «Тесселяция» . Математический мир .

[EmmerSchattschneider2007-24] Эммер, Мишель; Шатшнайдер, Дорис (8 мая 2007 г.). Наследие MC Эшера: празднование столетия . Берлин Гейдельберг: Springer. п. 325. ИСБН 978-3-540-28849-7 .

[Horne2000-25] Перейти обратно: ^а ^б Хорн, Клэр Э. (2000). Геометрическая симметрия в узорах и плитках . Издательство Вудхед. стр. 172, 175. ISBN. 978-1-85573-492-0 .

[26] Датч, Стивен (29 июля 1999 г.). «Некоторые специальные радиальные и спиральные мозаики» . Университет Висконсина. Архивировано из оригинала 4 апреля 2013 года . Проверено 6 апреля 2013 г.

[Hirschhorn1985-27] Хиршхорн, доктор медицины; Хант, округ Колумбия (1985). «Равносторонние выпуклые пятиугольники, замощающие плоскость» . Журнал комбинаторной теории . Серия А. 39 (1): 1–18. дои : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 .

[threeregular-28] Вайсштейн, Эрик В. «Регулярные тесселяции» . Математический мир .

[FOOTNOTEStewart200175-29] Стюарт 2001 , с. 75.

[30] NRICH (Математический проект тысячелетия) (1997–2012). «Тесселяции Шлефли» . Кембриджский университет . Проверено 26 апреля 2013 г.

[31] Уэллс, Дэвид (1991). «мозаика двумя квадратами». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 260–261 . ISBN 978-0-14-011813-1 .

[32] Кирби, Мэтью; Амбл, Рональд (2011). «Мозаика по краям и головоломки с марками». Журнал «Математика» . 84 (4): 283–89. дои : 10.4169/math.mag.84.4.283 . S2CID 123579388 .

[armstrong-33] Армстронг, Массачусетс (1988). Группы и симметрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-96675-3 .

[34] Грюнбаум, Бранко (июнь – июль 2006 г.). «Какие группы симметрии присутствуют в Альгамбре?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 53 (6): 670–673.

[35] Лу, Питер Дж.; Стейнхардт (23 февраля 2007 г.). «Декагональные и квазикристаллические плитки в средневековой исламской архитектуре». Наука . 315 (5815): 1106–10. Бибкод : 2007Sci...315.1106L . дои : 10.1126/science.1135491 . ПМИД 17322056 . S2CID 10374218 .

[36] Вайсштейн, Эрик В. «Frieze Group» . Математический мир .

[37] Хьюсон, Дэниел Х. (1991). «Мутация двумерной симметрии» . Принстонский университет. CiteSeerX 10.1.1.30.8536 – через CiteSeerX.

[FOOTNOTEGardner19891–18-38] Гарднер 1989 , стр. 1–18.

[39] Радин, К. (май 1994 г.). «Вертушка плоскости». Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . дои : 10.2307/2118575 . JSTOR 2118575 .

[Austin-40] Остин, Дэвид. «Плитки Пенроуза говорят на многие мили» . Американское математическое общество . Проверено 29 мая 2015 г.

[41] Харрисс, Е.О. «Апериодическая черепица» (PDF) . Лондонский университет и EPSRC. Архивировано из оригинала (PDF) 29 августа 2017 года . Проверено 29 мая 2015 г.

[42] Дхарма-вардана, MWC; Макдональд, АХ; Локвуд, диджей; Барибо, Ж.-М.; Хоутон, округ Колумбия (1987). «Комбинационное рассеяние света в сверхрешетках Фибоначчи». Письма о физических отзывах . 58 (17): 1761–1765. Бибкод : 1987PhRvL..58.1761D . doi : 10.1103/physrevlett.58.1761 . ПМИД 10034529 .

[43] Ван, Хао (1961). «Доказательство теорем методом распознавания образов — II». Технический журнал Bell System . 40 (1): 1–41. дои : 10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x .

[44] Ван, Хао (ноябрь 1965 г.). «Игры, логика и компьютеры». Научный американец . стр. 98–106.

[45] Бергер, Роберт (1966). «Неразрешимость проблемы домино». Мемуары Американского математического общества . 66 (66): 72. дои : 10.1090/memo/0066 .

[46] Робинсон, Рафаэль М. (1971). «Неразрешимость и непериодичность разбиений плоскости». Математические изобретения . 12 (3): 177–209. Бибкод : 1971InMat..12..177R . дои : 10.1007/bf01418780 . МР 0297572 . S2CID 14259496 .

[47] Чулик, Карел II (1996). «Апериодический набор из 13 плиток Ванга» . Дискретная математика . 160 (1–3): 245–251. дои : 10.1016/S0012-365X(96)00118-5 . МР 1417576 .

[48] Браун, Кэмерон (2008). «Кривые и поверхности Трюше». Компьютеры и графика . 32 (2): 268–281. дои : 10.1016/j.cag.2007.10.001 .

[49] Смит, Сирил Стэнли (1987). «Мозаичные узоры Себастьяна Труше и топология структурной иерархии». Леонардо . 20 (4): 373–385. дои : 10.2307/1578535 . JSTOR 1578535 . S2CID 192944820 .

[50] Коновер, Эмили (24 марта 2023 г.). «Математики наконец-то обнаружили неуловимую плитку Эйнштейна» . Новости науки . Проверено 25 марта 2023 г. с изображением узора

[51] Смит, Дэвид; Майерс, Джозеф Сэмюэл; Каплан, Крейг С.; Гудман-Штраус, Хаим (март 2023 г.). «Апериодический монотиль». arXiv:2303.10798

[52] Робертс, Сойбхан, Неуловимый «Эйнштейн» решает давнюю математическую задачу , New York Times, 28 марта 2023 г., с изображением закономерности.

[Hazewinkel2001-53] «Задача четырех цветов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[54] Джонс, Оуэн (1910) [1856]. Грамматика орнамента (изд. фолио). Бернард Куоритч .

[55] Ауренхаммер, Франц (1991). «Диаграммы Вороного - обзор фундаментальной геометрической структуры данных». Обзоры вычислительной техники ACM . 23 (3): 345–405. дои : 10.1145/116873.116880 . S2CID 4613674 .

[56] Окабе, Ацуюки; Бутс, Барри; Сугихара, Кокичи; Чиу, Сунг Нок (2000). Пространственные замощения - концепции и применение диаграмм Вороного (2-е изд.). Джон Уайли. ISBN 978-0-471-98635-5 .

[George1998-57] Джордж, Пол Луи; Боручаки, Хоуман (1998). Триангуляция Делоне и создание сеток: применение к конечным элементам . Гермес . стр. 34–35. ISBN 978-2-86601-692-0 .

[58] Моллер, Джеспер (1994). Лекции по случайным мозаикам Вороного . Спрингер. ISBN 978-1-4612-2652-9 .

[59] Грюнбаум, Бранко (1994). «Равномерные замощения трехмерного пространства». Геомбинаторика . 4 (2): 49–56.

[60] Энгель, Питер (1981). «О делениях областей кубической симметрии». Журнал кристаллографии, кристаллической геометрии, кристаллофизики, кристаллохимии . 154 (3–4): 199–215. Бибкод : 1981ZK....154..199E . дои : 10.1524/zkri.1981.154.3-4.199 . МР 0598811 . .

[Oldershaw2003-61] Олдершоу, Кэлли (2003). Путеводитель Firefly по драгоценным камням . Книги Светлячка. п. 107 . ISBN 978-1-55297-814-6 .

[62] Киркалди, Дж. Ф. (1968). Минералы и камни в цвете (2-е изд.). Блэндфорд. стр. 138–139.

[CoxeterSherk1995-64] Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Шерк, Ф. Артур; Канадское математическое общество (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Джон Уайли и сыновья. п. 3 и пассим. ISBN 978-0-471-01003-6 .

[65] Вайсштейн, Эрик В. «Строительство Витхоффа» . Математический мир .

[Senechal1996-66] Сенешаль, Марджори (26 сентября 1996 г.). Квазикристаллы и геометрия . Архив Кубка. п. 209 . ISBN 978-0-521-57541-6 .

[67] Блэк, Х.А. (1873). «О тех случаях, когда гауссов гипергеометрический ряд представляет собой алгебраическую функцию своего четвертого элемента» . Журнал чистой и прикладной математики . 1873 (75): 292–335. дои : 10.1515/crll.1873.75.292 . ISSN 0075-4102 . S2CID 121698536 .

[68] Маргенштерн, Морис (4 января 2011 г.). «Координаты нового треугольного замощения гиперболической плоскости». arXiv : 1101.0530 [ cs.FL ].

[69] Задник, Гашпер. «Замощение гиперболической плоскости правильными многоугольниками» . Вольфрам . Проверено 27 мая 2015 г.

[70] Коксетер, HSM (1999). «Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации . стр. 212–213. ISBN 978-0-486-40919-1 .

[71] «Математика в искусстве и архитектуре» . Национальный университет Сингапура . Проверено 17 мая 2015 г.

[72] Уиттакер, Эндрю (2008). Говори культуру: Испания . Издательство Торогуд . п. 153. ИСБН 978-1-85418-605-8 .

[FOOTNOTEEscher19745,_17-73] Эшер 1974 , стр. 5, 17.

[74] Герстен, С.М. «Введение в гиперболические и автоматические группы» (PDF) . Университет Юты . Проверено 27 мая 2015 г. Рисунок 1 является частью мозаики евклидовой плоскости, которую мы представляем продолжающейся во всех направлениях, а Рисунок 2 [Ограничение круга IV] представляет собой красивую мозаику модели единичного диска Пуанкаре гиперболической плоскости белыми плитками, изображающими ангелов и черных. плитки, изображающие дьяволов. Важной особенностью второго варианта является то, что все белые плитки, как и все черные плитки, конгруэнтны друг другу; конечно, это неверно для евклидовой метрики, но справедливо для метрики Пуанкаре

[75] Лейс, Джос (2015). «Гиперболический Эшер» . Проверено 27 мая 2015 г.

[FOOTNOTEEscher1974142–143-76] Эшер 1974 , стр. 142–143.

[FOOTNOTEEscher197416-77] Эшер 1974 , с. 16.

[78] Портер, Кристина (2006). Одеяла с тесселяцией: сенсационные дизайны из переплетающихся узоров . Ф+В Медиа. стр. 4–8. ISBN 978-0-7153-1941-3 .

[79] Бейер, Джинни (1999). Проектирование тесселяций: секреты переплетения узоров . Современная книга . пп. гл. 7. ISBN 978-0-8092-2866-9 .

[80] Гьерде, Эрик (2008). Мозаика оригами . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-1-568-81451-3 .

[81] «Снижение потерь урожая: использование меньшего количества металла для производства того же самого продукта» . Университет ИТ Кембриджа . Архивировано из оригинала 29 мая 2015 года . Проверено 29 мая 2015 г.

[82] Таулесс, доктор медицины (1990). «Расстояние между трещинами в хрупких пленках на эластичных подложках». Дж. Ам. хим. Соц . 73 (7): 2144–2146. дои : 10.1111/j.1151-2916.1990.tb05290.x .

[83] Ся, ZC; Хатчинсон, JW (2000). «Трещины в тонких пленках». Дж. Мех. Физ. Твердые тела . 48 (6–7): 1107–1131. Бибкод : 2000JMPSo..48.1107X . дои : 10.1016/S0022-5096(99)00081-2 .

[84] Сегир, Р.; Арскотт, С. (2015). «Контролируемое образование грязевых трещин и самоорганизованное растрескивание поверхностей полидиметилсилоксанового эластомера» . наук. Представитель . 5 : 14787. Бибкод : 2015NatSR...514787S . дои : 10.1038/srep14787 . ПМК 4594096 . ПМИД 26437880 .

[85] Болл, Филип (2013). «Как соты могут строиться сами» . Природа . дои : 10.1038/nature.2013.13398 . S2CID 138195687 . Проверено 7 ноября 2014 г.

[86] Краткий Оксфордский словарь английского языка (6-е изд.). Соединенное Королевство: Издательство Оксфордского университета. 2007. с. 3804. ИСБН 978-0-19-920687-2 .

[87] Перди, Кэти (2007). «Безвременники: самый сокровенный секрет осени». Американский садовник (сентябрь/октябрь): 18–22.

[88] Шрайбер, Томаш; Соя, Наталья (2010). «Теория пределов для плоских мозаик Гилберта». arXiv : 1005.0023 [ мат.PR ].

[89] Грей, Нью-Хэмпшир; Андерсон, Дж. Б.; Дивайн, Джей Ди; Квасник, Дж. М. (1976). «Топологические свойства случайных сетей трещин». Математическая геология . 8 (6): 617–626. дои : 10.1007/BF01031092 . S2CID 119949515 .

[90] Гилберт, EN (1967). «Случайные плоские сети и игольчатые кристаллы». В Нобл, Б. (ред.). Применение бакалавриата по математике в инженерном деле . Нью-Йорк: Макмиллан.

[91] Вейре, Д. ; Ривье, Н. (1984). «Мыло, клетки и статистика: случайные закономерности в двух измерениях». Современная физика . 25 (1): 59–99. Бибкод : 1984ConPh..25...59W . дои : 10.1080/00107518408210979 .

[92] Бранаган, Д.Ф. (1983). Янг, RW; Нансон, GC (ред.). Мозаичные тротуары . Особенности ландшафтов австралийского песчаника. Специальная публикация № 1, Геоморфология Австралии и Новой Зеландии. Вуллонгонг, Новый Южный Уэльс: Университет Вуллонгонга . стр. 11–20. ISBN 978-0-864-18001-8 . OCLC 12650092 .

[93] Болл, Филип (2009). Формы . Издательство Оксфордского университета . стр. 73–76. ISBN 978-0-199-60486-9 .

[94] МакАдам, Дэниел. «История пазлов» . Американское общество головоломок. Архивировано из оригинала 11 февраля 2014 года . Проверено 28 мая 2015 г.

[95] Слокам, Джерри (2001). Дао Танграма . Барнс и Ноубл. п. 9. ISBN 978-1-4351-0156-2 .

[96] Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-02444-8 .

[97] Мартин, Джордж Э. (1991). Полимино: Путеводитель по головоломкам и задачам по мозаике . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-501-0 .

[98] Фредериксон, Грег Н. (2002). Шарнирное рассечение: качание и скручивание . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-81192-7 .

[99] Гарднер, Мартин (май 1963 г.). «О «рептилиях» - полигонах, которые могут создавать большие и меньшие копии самих себя». Научный американец . Том. 208, нет. Может. стр. 154–164.

[Gardner2006-100] Гарднер, Мартин (14 декабря 2006 г.). Ага! Двухтомный сборник: Ага! Попался Ага! Понимание . МАА. п. 48. ИСБН 978-0-88385-551-5 .

[101] Сури, Мани (12 октября 2015 г.). «Важность развлекательной математики» . Нью-Йорк Таймс .

[102] Шатшнайдер, Дорис (1978). «Облицовка плоскости равными пятиугольниками» (PDF) . Журнал «Математика» . 51 (1). МАА: 29–44. дои : 10.2307/2689644 . JSTOR 2689644 .

[103] Тутте, В.Т. «Квадрат квадрата» . Квадрат.нет . Проверено 29 мая 2015 г.

[104] Гарднер, Мартин; Тутт, Уильям Т. (ноябрь 1958 г.). «Математические игры». Научный американец .

[105] Хенле, Фредерик В.; Хенле, Джеймс М. (2008). «Квадрат плоскости» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 115 (1): 3–12. дои : 10.1080/00029890.2008.11920491 . JSTOR 27642387 . S2CID 26663945 . Архивировано из оригинала (PDF) 20 июня 2006 года.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ а ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ б ]

[ 19 ]

[ 18 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ с ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]

[ 94 ]

[ 95 ]

[ 96 ]

[ 97 ]

v т и Узоры в природе
Patterns	Crack Dune Foam Meander Parastichy Phyllotaxis Soap bubble Symmetry in crystals Quasicrystals in flowers in biology Tessellation Vortex street Wave Widmanstätten pattern
Causes	Pattern formation Biology Natural selection Camouflage Mimicry Sexual selection Mathematics Chaos theory Fractal Logarithmic spiral Physics Crystal Fluid dynamics Plateau's laws Self-organization
People	Plato Pythagoras Empedocles Fibonacci Liber Abaci Adolf Zeising Ernst Haeckel Joseph Plateau Wilson Bentley D'Arcy Wentworth Thompson On Growth and Form Alan Turing The Chemical Basis of Morphogenesis Aristid Lindenmayer Benoît Mandelbrot How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension
Related	Pattern recognition Emergence Mathematics and art