Платоново твердое тело

В геометрии Платоново тело — это выпуклый правильный многогранник в трёхмерном евклидовом пространстве . Правильный многогранник означает, что грани представляют собой конгруэнтные (одинаковые по форме и размеру) правильные многоугольники (все углы равны и все ребра сходится одинаковое количество граней конгруэнтны), и в каждой вершине . Таких многогранников всего пять:

Тетраэдр	Куб	Октаэдр	Додекаэдр	Икосаэдр
Четыре лица	Шесть лиц	Восемь лиц	Двенадцать лиц	Двадцать лиц
( Animation , 3D model )	( Animation , 3D model )	( Animation , 3D model )	( Animation , 3D model )	( Animation , 3D model )

Геометры изучали Платоновы тела на протяжении тысячелетий. Они названы в честь древнегреческого философа Платона , который в одном из своих диалогов « Тимей» выдвинул гипотезу , что классические элементы состоят из этих правильных твердых тел.

История

Платоновы тела известны с античных времен. Было высказано предположение, что определенные резные каменные шары, созданные жителями неолита Шотландии позднего эти формы представляют собой ; однако эти шары имеют закругленные выступы, а не многогранники, число выступов часто отличалось от числа вершин платоновых тел, не существует шара, выступы которого соответствовали бы 20 вершинам додекаэдра, и расположение выступов не было всегда симметрично.

Древние греки широко изучали Платоновы тела. Некоторые источники (например, Прокл ) приписывают Пифагору свое открытие . Другие данные свидетельствуют о том, что он, возможно, был знаком только с тетраэдром, кубом и додекаэдром и что открытие октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету , современнику Платона. В любом случае Теэтет дал математическое описание всех пяти и, возможно, был ответственным за первое известное доказательство того, что других выпуклых правильных многогранников не существует.

Отнесение к элементам в «Harmonices Mundi» Кеплера.

Платоновые тела занимают видное место в философии Платона , их тезки. Платон писал о них в диалоге «Тимей» ок. 360 г. до н.э., в котором он связал каждый из четырех классических элементов ( землю , воздух , воду и огонь ) с правильным твердым телом. Земля ассоциировалась с кубом, воздух — с октаэдром, вода — с икосаэдром, а огонь — с тетраэдром. О пятом платоновском теле, додекаэдре, Платон неясно заметил: «...бог использовал [его] для расположения созвездий на всем небе». Аристотель добавил пятый элемент, аитер (эфир по латыни, «эфир» по-английски) и постулировал, что небеса состоят из этого элемента, но он не был заинтересован в сопоставлении его с пятым телом Платона.

Евклид полностью математически описал Платоновы тела в « Началах» , последняя книга (книга XIII) которых посвящена их свойствам. Предложения 13–17 в книге XIII описывают построение тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в указанном порядке. Для каждого твердого тела Евклид находит отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В предложении 18 он утверждает, что больше не существует выпуклых правильных многогранников. Андреас Спейзер отстаивал точку зрения, согласно которой построение пяти правильных тел является главной целью дедуктивной системы, канонизированной в « Элементах» . Большая часть информации в Книге XIII, вероятно, заимствована из работ Теэтета.

Кеплера Платоническая твердотельная модель Солнечной системы из Mysterium Cosmographicum (1596 г.)

В 16 веке немецкий астроном Иоганн Кеплер попытался связать пять известных в то время внеземных планет с пятью Платоновыми телами. В книге «Mysterium Cosmographicum» , опубликованной в 1596 году, Кеплер предложил модель Солнечной системы , в которой пять твердых тел помещены друг в друга и разделены серией вписанных и описанных сфер. Кеплер предположил, что отношения расстояний между шестью планетами, известными в то время, можно было понять с точки зрения пяти платоновых тел, заключенных в сферу, которая представляла орбиту Сатурна . Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет ( Меркурию , Венере , Земле , Марсу , Юпитеру и Сатурну). Твердые тела были упорядочены так, что самым внутренним был октаэдр, за ним следовали икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб, тем самым диктуя структуру Солнечной системы и отношения расстояний между планетами с помощью платоновых тел. В конце концов от первоначальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но в результате его исследований родилась его идея. три закона орбитальной динамики , первый из которых заключался в том, что орбиты планет представляют собой эллипсы, а не круги, изменив ход физики и астрономии. Он также открыл тела Кеплера , представляющие собой два невыпуклых правильных многогранника.

Декартовы координаты

Для платоновых тел с центром в начале координат простые декартовы координаты вершин приведены ниже. Греческая буква φ используется для обозначения золотого сечения. ⁠ 1 + √ 5 / 2 ⁠ ≈ 1.6180.

Параметры

Фигура	Тетраэдр		Октаэдр	Куб	Икосаэдр		Додекаэдр
Лица	4		8	6	20		12
Вершины	4		6 (2 × 3)	8	12 (4 × 3)		20 (8 + 4 × 3)
Позиция	1	2			1	2	1	2
Вертекс координаты	(1, 1, 1) (1, −1, −1) (−1, 1, −1) (−1, −1,  1)	(−1, −1, −1) (−1, 1, 1) (  1, −1,  1) (  1,  1, −1)	(±1,  0,  0) (  0, ±1,  0) (  0,  0, ±1)	(±1, ±1, ±1)	(  0, ±1, ± φ ) (±1, ± φ ,  0) (± φ ,  0, ±1)	(  0, ± φ , ±1) (± φ , ±1,  0) (±1,  0, ± φ )	(±1, ±1, ±1) (  0, ± ⁠ 1 / φ ⁠ , ± φ ) (± ⁠ 1 / φ ⁠ , ± φ ,  0) (± φ ,  0, ± ⁠ 1 / φ ⁠ )	(±1, ±1, ±1) (  0, ± φ , ± ⁠ 1 / φ ⁠ ) (± φ , ± ⁠ 1 / φ ⁠ ,  0) (± ⁠ 1 / φ ⁠ ,   0, ± φ )

Координаты тетраэдра, додекаэдра и икосаэдра заданы в двух положениях так, что каждая может быть выведена из другой: в случае тетраэдра - путем изменения всех координат знака ( центральная симметрия ) или, в остальных случаях, путем обмена двумя координатами ( отражение относительно любой из трех диагональных плоскостей).

Эти координаты раскрывают определенные отношения между платоновыми телами: вершины тетраэдра представляют половину вершин куба, как {4,3} или , один из двух наборов из 4 вершин в двойных положениях, например h{4,3} или . Обе позиции тетраэдра образуют составной звездчатый октаэдр .

Координаты икосаэдра связаны с двумя чередующимися наборами координат неоднородного усеченного октаэдра t{3,4} или , также называемый курносым октаэдром , как s{3,4} или , и виден в соединении двух икосаэдров .

Восемь вершин додекаэдра являются общими с кубом. Выполнение всех ориентаций приводит к соединению пяти кубов .

Комбинаторные свойства

Выпуклый многогранник является платоновым телом тогда и только тогда, когда выполняются все три следующих требования.

• Все его грани представляют собой конгруэнтные выпуклые правильные многоугольники .
• Ни одна из его граней не пересекается, кроме как по краям.
• сходится одинаковое количество граней В каждой его вершине .

Таким образом, каждому Платонову телу можно присвоить пару { p , q целых чисел }, где p — количество ребер (или, что то же самое, вершин) каждой грани, а q — количество граней (или, что то же самое, ребер), которые встречаются в каждой вершине. Эта пара { p , q }, называемая символом Шлефли , дает комбинаторное описание многогранника. Символы Шлефли пяти Платоновых тел приведены в таблице ниже.

Свойства платоновых тел

Многогранник		Вершины	Края	Лица	Символ Шлефли	Конфигурация вершин
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}	3.3.3
куб		8	12	6	{4, 3}	4.4.4
октаэдр		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}	5.5.5
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3

Вся остальная комбинаторная информация об этих телах, такая как общее количество вершин ( V ), ребер ( E ) и граней ( F ), может быть определена из p и q . Поскольку любое ребро соединяет две вершины и имеет две смежные грани, мы должны иметь:

$$pF=2E=qV.\,$$

Другая связь между этими значениями определяется формулой Эйлера :

$$V-E+F=2.\,$$

Это можно доказать многими способами. Вместе эти три отношения полностью определяют V , E и F :

$$V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},\quad E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},\quad F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.$$

Замена p и q меняет местами F и V, оставляя E неизменным. Геометрическую интерпретацию этого свойства см. в § Двойственные многогранники .

В качестве конфигурации

Элементы многогранника можно выразить в виде матрицы конфигурации . Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем многограннике. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Матрицы конфигураций двойных пар многогранников повернуты на 180 градусов друг от друга.

{п, д}	Платонические конфигурации
Групповой заказ : g = 8 pq /(4 - ( p - 2)( q - 2))	г = 24	г = 48		г = 120
v и ж v г /2 г д д и 2 г /4 2 ж п п г /2 р	{3,3} 4 3 3 2 6 2 3 3 4	{3,4} 6 4 4 2 12 2 3 3 8	{4,3} 8 3 3 2 12 2 4 4 6	{3,5} 12 5 5 2 30 2 3 3 20	{5,3} 20 3 3 2 30 2 5 5 12

Классификация

Классический результат состоит в том, что существует только пять выпуклых правильных многогранников. Два общих аргумента, приведенных ниже, показывают, что может существовать не более пяти Платоновых тел, но положительная демонстрация существования любого данного твердого тела - это отдельный вопрос, требующий явной конструкции.

Геометрическое доказательство

Полигональные сети вокруг вершины

{3,3} Дефект 180°	{3,4} Дефект 120°	{3,5} Дефект 60°	{3,6} Дефект 0°
{4,3} Дефект 90°	{4,4} Дефект 0°	{5,3} Дефект 36°	{6,3} Дефект 0°
Для вершины необходимо как минимум 3 грани и дефект угла . Дефект угла 0° заполнит евклидову плоскость правильной мозаикой. По теореме Декарта число вершин равно 720°/ дефект .

Следующий геометрический аргумент очень похож на тот, который приводит Евклид в « Началах» :

1. Каждая вершина тела должна быть вершиной как минимум трёх граней.
2. В каждой вершине твердого тела сумма углов между смежными гранями между соответствующими смежными сторонами должна быть строго меньше 360°. Величина менее 360° называется угловым дефектом .
3. Правильные многоугольники с шестью и более сторонами имеют только углы 120° и более, поэтому общей гранью должен быть треугольник, квадрат или пятиугольник. Для этих разных форм лиц справедливо следующее:

   Треугольные лица

   Каждая вершина правильного треугольника имеет угол 60°, поэтому фигура может иметь три, четыре или пять треугольников, сходящихся в вершине; это тетраэдр, октаэдр и икосаэдр соответственно.

   Квадратные лица

   Каждая вершина квадрата равна 90°, поэтому возможно только одно расположение с тремя гранями в вершине - куб.

   Пятиугольные лица

   Каждая вершина равна 108°; опять-таки возможно только одно расположение трех граней в вершине — додекаэдр.

   В общей сложности это дает пять возможных платоновых тел.

Топологическое доказательство

Чисто топологическое доказательство можно провести, используя только комбинаторную информацию о твердых телах. Ключевым моментом является наблюдение Эйлера о том, что V − E + F = 2, и тот факт, что pF = 2 E = qV , где p обозначает количество ребер каждой грани, а q — количество ребер, встречающихся в каждой вершине. Объединяя эти уравнения, получаем уравнение

Ортографические проекции и диаграммы Шлегеля с гамильтоновыми циклами вершин пяти платоновых тел - только октаэдр имеет эйлеров путь или цикл, расширяя его путь пунктиром.

$${\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2.$$

Тогда простая алгебраическая манипуляция дает

$${1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over E}.$$

Поскольку E строго положительно, мы должны иметь

$${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.$$

Используя тот факт, что p и q должны быть не менее 3, можно легко увидеть, что существует только пять возможностей для { p , q }:

{3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Геометрические свойства

Углы

С каждым платоновым телом связано несколько углов . Двугранный угол — это внутренний угол между любыми двумя плоскостями граней. Двугранный угол θ твердого тела { p , q } определяется формулой

$$\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}.$$

Иногда это удобнее выражать через тангенс :

$$\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\cos \left({\frac {\pi }{q}}\right)}{\sin \left({\frac {\pi }{h}}\right)}}.$$

Величина h (называемая числом Кокстера ) равна 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

в Недостаток угла вершине многогранника — это разница между суммой углов граней в этой вершине и 2 π . Дефект δ в любой вершине платоновых тел { p , q } равен

$$\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).$$

По теореме Декарта это равно 4 π, делённому на количество вершин (т.е. общий дефект во всех вершинах равен 4 π ).

Трехмерным аналогом плоского угла является телесный угол . Телесный угол Ω в вершине платонова тела определяется через двугранный угол выражением

$$\Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,$$

Это следует из сферического избытка формулы сферического многоугольника и того факта, что вершинная фигура многогранника { p , q } является правильным q -угольником.

Телесный угол грани, вытянутой из центра платонового тела, равен телесному углу полной сферы (4 π стерадиана), разделенному на количество граней. Это равно угловому недостатку его двойника.

Различные углы, связанные с Платоновыми телами, сведены в таблицу ниже. Численные значения телесных углов приведены в стерадианах . Константа φ = ⁠ 1 √ 5/2 + ⁠ — золотое сечение .

Многогранник	двугранный угол ( я )	загар ⁠ θ / 2 ⁠	Дефект ( д )	при вершине Телесный угол ( Ω )	Лицо твердый угол
тетраэдр	70.53°	$1 \over {\sqrt {2}}$	$\pi$	$\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)\quad \approx 0.551286$	$\pi$
куб	90°	$1$	$\pi \over 2$	${\frac {\pi }{2}}\quad \approx 1.57080$	$2\pi \over 3$
октаэдр	109.47°	${\sqrt {2}}$	${2\pi } \over 3$	$4\arcsin \left({1 \over 3}\right)\quad \approx 1.35935$	$\pi \over 2$
додекаэдр	116.57°	$\varphi$	$\pi \over 5$	$\pi -\arctan \left({\frac {2}{11}}\right)\quad \approx 2.96174$	$\pi \over 3$
икосаэдр	138.19°	$\varphi ^{2}$	$\pi \over 3$	$2\pi -5\arcsin \left({2 \over 3}\right)\quad \approx 2.63455$	$\pi \over 5$

Радиусы, площади и объёмы

Еще одним достоинством регулярности является то, что все Платоновы тела обладают тремя концентрическими сферами:

• , описанная сфера проходящая через все вершины,
• , средняя сфера касающаяся каждого края в средней точке края, и
• , вписанная сфера касающаяся каждой грани в центре грани.

Радиусы и этих сфер называются описанным радиусом , средним радиусом внутренним радиусом . Это расстояния от центра многогранника до вершин, середин ребер и центров граней соответственно. Радиус описанной окружности R и внутренний радиус r твердого тела { p , q } с длиной ребра a определяются выражением

$${\begin{aligned}R&={\frac {a}{2}}\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\[3pt]r&={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$$

где θ — двугранный угол. Средний радиус ρ определяется выражением

$$\rho ={\frac {a}{2}}\cos \left({\frac {\pi }{p}}\right)\,{\csc }{\biggl (}{\frac {\pi }{h}}{\biggr )}$$

где h — величина, использованная выше при определении двугранного угла ( h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношение радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу симметрично относительно p и q :

$${\frac {R}{r}}=\tan \left({\frac {\pi }{p}}\right)\tan \left({\frac {\pi }{q}}\right)={\frac {\sqrt {{\csc ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}-{\cos ^{2}}{\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}{\sin {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}}}.$$

Площадь поверхности A -угольника на платонова тела { p , q } легко вычисляется как произведение площади правильного p количество F. граней Это:

$$A={\biggl (}{\frac {a}{2}}{\biggr )}^{2}Fp\cot \left({\frac {\pi }{p}}\right).$$

Объем умноженный вычисляется как F, на объем пирамиды , основанием которой является правильный p -угольник, а высотой – внутренний радиус r . То есть,

$$V={\frac {1}{3}}rA.$$

В следующей таблице перечислены различные радиусы платоновых тел, а также их площадь поверхности и объем. Общий размер фиксируется путем принятия длины ребра a равной 2.

Многогранник, а = 2	Радиус			Площадь поверхности, А	Объем
	В-, р	Середина-, р	Около-, R		V	Края блока
тетраэдр	$1 \over {\sqrt {6}}$	$1 \over {\sqrt {2}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {8}}{3}}\approx 0.942809$	$\approx 0.117851$
куб	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24\,$	$8\,$	$1\,$
октаэдр	${\sqrt {2 \over 3}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {128}}{3}}\approx 3.771236$	$\approx 0.471404$
додекаэдр	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt {3}}\,\varphi$	$12{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$	${\frac {20\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}\approx 61.304952$	$\approx 7.663119$
икосаэдр	${\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt {3}}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}\approx 17.453560$	$\approx 2.181695$

Константы φ и ξ, указанные выше, определяются выражением

$$\varphi =2\cos {\pi \over 5}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\qquad \xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}={\sqrt {3-\varphi }}.$$

Среди платоновых тел додекаэдр или икосаэдр можно рассматривать как лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее количество граней и наибольший двугранный угол, он наиболее плотно охватывает вписанную сферу, а соотношение площади поверхности к объему наиболее близко к соотношению сферы того же размера (т. е. либо той же площади поверхности, либо тот же объем). С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, самый большой телесный угол при вершине и больше всего заполняет описанную сферу.

Точка в пространстве

Для произвольной точки пространства платонова тела с радиусом описанной окружности R , расстояния которой до центра тяжести платонова тела и его n вершин равны L и d _i соответственно, и

$$S_{[n]}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}$$,

у нас есть

$${\begin{aligned}S_{[4]}^{(2)}=S_{[6]}^{(2)}=S_{[8]}^{(2)}=S_{[12]}^{(2)}=S_{[20]}^{(2)}&=R^{2}+L^{2},\\[4px]S_{[4]}^{(4)}=S_{[6]}^{(4)}=S_{[8]}^{(4)}=S_{[12]}^{(4)}=S_{[20]}^{(4)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {4}{3}}R^{2}L^{2},\\[4px]S_{[6]}^{(6)}=S_{[8]}^{(6)}=S_{[12]}^{(6)}=S_{[20]}^{(6)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+4R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right),\\[4px]S_{[12]}^{(8)}=S_{[20]}^{(8)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{4}+8R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+{\frac {16}{5}}R^{4}L^{4},\\[4px]S_{[12]}^{(10)}=S_{[20]}^{(10)}&=\left(R^{2}+L^{2}\right)^{5}+{\frac {40}{3}}R^{2}L^{2}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{3}+16R^{4}L^{4}\left(R^{2}+L^{2}\right).\end{aligned}}$$Для всех пяти Платоновых тел мы имеем

$$S_{[n]}^{(4)}+{\frac {16}{9}}R^{4}=\left(S_{[n]}^{(2)}+{\frac {2}{3}}R^{2}\right)^{2}.$$

Если d _i — расстояния от n вершин платонова тела до любой точки описанной им сферы, то

$$4\left(\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}\right)^{2}=3n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}.$$

Руперт недвижимость

многогранник P Говорят, что обладает свойством Руперта , если многогранник того же или большего размера и той же формы, что и P, пройти через отверстие в P. может Этим свойством обладают все пять Платоновых тел.

Симметрия

Двойные многогранники

Двойные соединения

Каждый многогранник имеет двойственный (или «полярный») многогранник с перепутанными гранями и вершинами . Двойником каждого Платонова тела является другое Платоново тело, так что мы можем расположить пять тел в двойственные пары.

• Тетраэдр самодуален (т.е. ему двойственным является другой тетраэдр).
• Куб и октаэдр образуют двойственную пару.
• Додекаэдр и икосаэдр образуют двойственную пару.

Если многогранник имеет символ Шлефли { p , q }, то его двойственный многогранник имеет символ { q , p }. Действительно, каждое комбинаторное свойство одного Платонова тела можно интерпретировать как другое комбинаторное свойство двойственного.

Двойственный многогранник можно построить, приняв вершины двойственного многогранника за центры граней исходной фигуры. Соединение центров соседних граней в оригинале образует ребра двойственной и тем самым меняет местами количество граней и вершин, сохраняя при этом количество ребер.

В более общем смысле, можно дуализировать платоново тело относительно сферы радиуса d, концентрической с телом. Радиусы ( R , ρ , r ) твердого тела и радиусы двойственного ему тела ( R *, ρ *, r *) связаны соотношением

$$d^{2}=R^{\ast }r=r^{\ast }R=\rho ^{\ast }\rho .$$

Дуализация по средней сфере ( d = ρ ) часто удобна, поскольку средняя сфера имеет одинаковое отношение к обоим многогранникам. Принимая д ² = Rr дает двойное твердое тело с одинаковым радиусом описанной и внутренней окружности (т.е. R * = R и r * = r ).

Группы симметрии

В математике понятие симметрии изучается с помощью понятия математической группы . Каждый многогранник имеет связанную с ним группу симметрии , которая представляет собой набор всех преобразований ( евклидовых изометрий ), которые оставляют многогранник инвариантным. Порядок группы симметрии — это число симметрий многогранника. Часто различают полную группу симметрии , включающую отражения , и собственную группу симметрии , включающую только вращения .

Группы симметрии Платоновых тел представляют собой особый класс трехмерных точечных групп, известных как многогранные группы . Высокую степень симметрии Платоновых тел можно интерпретировать по-разному. Самое главное, что вершины каждого тела эквивалентны под действием группы симметрии, как и ребра и грани. Говорят, что действие группы симметрии транзитивно на вершинах, ребрах и гранях. Фактически, это еще один способ определения правильности многогранника: многогранник является правильным тогда и только тогда, когда он однороден по вершинам , однороден по ребрам и однороден по граням .

С платоновыми телами связаны только три группы симметрии, а не пять, поскольку группа симметрии любого многогранника совпадает с группой симметрии двойственного ему многогранника. В этом легко убедиться, рассмотрев конструкцию двойственного многогранника. Любая симметрия оригинала должна быть симметрией двойственного и наоборот. Три многогранные группы:

• тетраэдрическая группа Т ,
• октаэдрическая группа O (которая также является группой симметрии куба) и
• группа икосаэдра I (которая также является группой симметрии додекаэдра).

Порядки собственных групп (вращения) равны 12, 24 и 60 соответственно — ровно в два раза больше числа ребер в соответствующих многогранниках. Порядки полных групп симметрии снова вдвое больше (24, 48 и 120). См. (Coxeter 1973) вывод этих фактов. Все Платоновы тела, за исключением тетраэдра, центрально симметричны, то есть сохраняются при отражении через начало координат .

В следующей таблице перечислены различные свойства симметрии платоновых тел. Перечисленные группы симметрии представляют собой полные группы с подгруппами вращения, указанными в скобках (аналогично количеству симметрий). Конструкция калейдоскопа Витгофа — это метод построения многогранников непосредственно из их групп симметрии. Они перечислены для справки с символом Витхоффа для каждого из Платоновых тел.

Многогранник	Шлефли символ	Витхофф символ	Двойной многогранник	Группа симметрии (отражение, вращение)
				Многогранник	Хороший.	Кокс.	Орб.	Заказ
тетраэдр	{3, 3}	3 | 2 3	тетраэдр	Тетраэдрический	Т д Т	[3,3] [3,3] +	*332 332	24 12
куб	{4, 3}	3 | 2 4	октаэдр	Октаэдрический	Ой ​ ТО	[4,3] [4,3] +	*432 432	48 24
октаэдр	{3, 4}	4 | 2 3	куб
додекаэдр	{5, 3}	3 | 2 5	икосаэдр	икосаэдрический	I h я	[5,3] [5,3] +	*532 532	120 60
икосаэдр	{3, 5}	5 | 2 3	додекаэдр

В природе и технике

Тетраэдр, куб и октаэдр естественным образом встречаются в кристаллических структурах . Этим ни в коем случае не исчерпывается число возможных форм кристаллов. Однако среди них нет ни правильного икосаэдра, ни правильного додекаэдра. Одна из форм, названная пиритоэдром (по имени группы минералов , для которой она типична), имеет двенадцать пятиугольных граней, расположенных по тому же принципу, что и грани правильного додекаэдра. Однако грани пиритоэдра неправильные, поэтому пиритоэдр тоже неправильный. Аллотропы бора и многих соединений бора , таких как карбид бора , включают в себя дискретные икосаэдры B ₁₂ внутри своих кристаллических структур. Карборановые кислоты также имеют молекулярную структуру, приближающуюся к правильным икосаэдрам.

Циргониевые икосаэдры — разновидность радиолярий , по форме напоминающая правильный икосаэдр .

В начале 20 века Эрнст Геккель описал (Haeckel, 1904) ряд видов радиолярий , скелеты некоторых из которых имеют форму различных правильных многогранников. Примеры включают Circoporus октаэдр , Circogonia икосаэдры , Lithocubus геометрический и Circorregma dodecahedra . Формы этих существ должны быть очевидны из их названий.

Многие вирусы , такие как герпес вирус, имеют форму правильного икосаэдра. Вирусные структуры построены из повторяющихся идентичных белковых субъединиц, и икосаэдр — самая простая форма для сборки с использованием этих субъединиц. Правильный многогранник используется потому, что его можно построить из одной базовой единицы белка, используемой снова и снова; это экономит место в вирусном геноме .

В метеорологии и климатологии все больший интерес вызывают глобальные численные модели атмосферных потоков, в которых используются геодезические сетки , основанные на икосаэдре (уточненном триангуляцией ) вместо более часто используемой сетки долготы / широты . Преимущество этого метода состоит в равномерном распределении пространственного разрешения без сингулярностей (т.е. полюсов) за счет несколько большей вычислительной сложности.

Икосаэдр как часть памятника Спинозе в Амстердаме

Геометрия пространственных рамок часто основана на платоновых телах. В системе MERO Платоновы тела используются для обозначения различных конфигураций пространственных рамок. Например, ⁠ 1 / 2 ⁠ O+T относится к конфигурации, состоящей из половины октаэдра и тетраэдра.

несколько платоновых углеводородов Было синтезировано , в том числе кубан и додекаэдр , но не тетраэдран .

• 
  Тетраэдр
• 
  Кубинский
• 
  Додекаэдр

Набор многогранных игральных костей.

Платоновы тела часто используются для изготовления игральных костей , поскольку игральные кости такой формы можно сделать справедливыми . Шестигранные игральные кости очень распространены, но в ролевых играх обычно используются и другие числа . Такие игральные кости обычно обозначаются как d n, где n — количество граней (d8, d20 и т. д.); см . в обозначении кубиков более подробную информацию .

Эти формы часто встречаются в других играх или головоломках. Головоломки, похожие на кубик Рубика, бывают всех пяти форм – см. волшебные многогранники .

Жидкие кристаллы с симметрией платоновых тел.

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами , существование такой симметрии было впервые предложено в 1981 году Х. Кляйнертом и К. Маки. В алюминии икосаэдрическая структура была открыта через три года после этого Дэном Шехтманом , что принесло ему Нобелевскую премию по химии в 2011 году.

Связанные многогранники и многогранники

Однородные многогранники

Существуют четыре правильных многогранника, которые не являются выпуклыми, которые называются многогранниками Кеплера – Пуансо . Все они обладают икосаэдрической симметрией и могут быть получены как звездочки додекаэдра и икосаэдра.

кубооктаэдр

икосододекаэдр

Следующими по правильности выпуклыми многогранниками после Платоновых тел являются кубооктаэдр , являющийся спрямлением куба и октаэдра, и икосододекаэдр , являющийся спрямлением додекаэдра и икосаэдра (спрямление самодвойственного тетраэдра - это правильный октаэдр). Оба они квазирегулярны , что означает, что они однородны по вершинам и ребрам и имеют правильные грани, но не все грани конгруэнтны (относятся к двум разным классам). Они образуют два из тринадцати архимедовых тел , которые представляют собой выпуклые однородные многогранники с многогранной симметрией. Их двойники, ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр , транзитивны по ребрам и граням, но их грани не являются правильными, и каждая из их вершин бывает двух типов; это два из тринадцати каталонских тел .

Однородные многогранники образуют гораздо более широкий класс многогранников. Эти фигуры являются однородными по вершинам и имеют один или несколько типов правильных или звездчатых многоугольников для граней. К ним относятся все упомянутые выше многогранники вместе с бесконечным набором призм , бесконечным набором антипризм и 53 другими невыпуклыми формами.

Твердые тела Джонсона представляют собой выпуклые многогранники с правильными гранями, но не однородные. Среди них пять из восьми выпуклых дельтаэдров , имеющих одинаковые правильные грани (все равносторонние треугольники), но не однородные. (Другие три выпуклых дельтаэдра — это платонов тетраэдр, октаэдр и икосаэдр.)

Регулярные тесселяции

Регулярные сферические мозаики

Платонический
{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Правильный двугранник
{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}...
Правильный одногранник
{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}...

Три регулярных мозаики плоскости тесно связаны с Платоновыми телами. Действительно, можно рассматривать Платоновы тела как регулярные мозаики сферы . Это делается путем проецирования каждого твердого тела на концентрическую сферу. Грани проецируются на правильные сферические многоугольники , которые точно покрывают сферу. Сферические мозаики обеспечивают два бесконечных дополнительных набора правильных мозаик: осоэдры {2, n } с двумя вершинами в полюсах и лунными гранями, а также двойственные диэдры { n ,2} с двумя полусферическими гранями и регулярно расположенными вершинами на экватор. Такие мозаики были бы вырождены в истинном трехмерном пространстве как многогранники.

Каждое регулярное замощение сферы характеризуется парой целых чисел { p , q } с ⁠ 1 / p ⁠  +  ⁠ 1 / q ⁠ > ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Аналогично регулярное замощение плоскости характеризуется условием ⁠ 1 / p ⁠  +  ⁠ 1 / q ⁠  =  ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Есть три возможности:

Три правильных мозаики евклидовой плоскости

{4, 4}	{3, 6}	{6, 3}

Аналогичным образом можно рассматривать регулярные мозаики гиперболической плоскости . Для них характерно состояние ⁠ 1 / p ⁠  +  ⁠ 1 / q ⁠ < ⁠ 1/2 ​ ⁠ ​ . Существует бесконечное семейство таких мозаик.

Пример регулярных мозаик гиперболической плоскости

{5, 4}	{4, 5}	{7, 3}	{3, 7}

Высшие измерения

Дополнительная информация: Список правильных многогранников.

Количество измерений	Количество выпуклых правильных многогранников
0	1
1	1
2	∞
3	5
4	6
> 4	3

В более чем трех измерениях многогранники обобщаются до многогранников , причем многомерные выпуклые правильные многогранники являются эквивалентами трехмерных Платоновых тел.

В середине 19 века швейцарский математик Людвиг Шлефли открыл четырехмерные аналоги Платоновых тел, названные выпуклыми правильными 4-многогранниками . Таких фигур ровно шесть; пять аналогичны Платоновым телам: 5-ячеечное как {3,3,3}, 16-ячеечное как {3,3,4}, 600-ячеечное как {3,3,5}, тессеракт как {4,3 ,3}, и 120-ячеечный как {5,3,3}, и шестой, самодвойственный 24-клеточный , {3,4,3}.

Во всех измерениях выше четырех существует только три выпуклых правильных многогранника: симплекс { 3,3,...,3}, гиперкуб {4,3,...,3} и перекрестный многогранник . как {3,3,...,4}. В трех измерениях они совпадают с тетраэдром как {3,3}, кубом как {4,3} и октаэдром как {3,4}.

См. также

• Архимедово тело
• Каталонский солид
• Дельтаэдр
• Джонсон твердый
• Многогранник Гольдберга
• Многогранник Кеплера-Пуансо
• Список правильных многогранников
• Куб принца Руперта
• Правильный многогранник
• Правильный косой многогранник
• Тороидальный многогранник

Общие и цитируемые источники

• Атья, Майкл ; Сатклифф, Пол (2003). «Многогранники в физике, химии и геометрии». Милан Дж. Математика . 71 : 33–58. arXiv : math-ph/0303071 . Бибкод : 2003math.ph...3071A . дои : 10.1007/s00032-003-0014-1 . S2CID   119725110 .
• Бойер, Карл ; Мерцбах, Ута (1989). История математики (2-е изд.). Уайли. ISBN  0-471-54397-7 .
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-61480-8 .
• Евклид (1956). Хит, Томас Л. (ред.). Тринадцать книг «Элементов Евклида», книги 10–13 (2-е неизданное изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-60090-4 .
• Гарднер, Мартин (1987). 2-я книга математических головоломок и развлечений Scientific American , University of Chicago Press, Глава 1: Пять Платоновых тел, ISBN   0226282538
• Геккель, Эрнст , Э. (1904). Художественные формы природы . Доступно как Геккель, Э. (1998); Формы искусства в природе , Престель США. ISBN   3-7913-1990-6 .
• Кеплер. Йоханнес Стрена seu de nive sexangula (О шестиугольной снежинке) , статья Кеплера 1611 года, в которой обсуждается причина шестиугольной формы снежных кристаллов, а также формы и симметрии в природе. Рассказывает о платоновых телах.
• Кляйнерт, Хаген и Маки, К. (1981). «Решеточные текстуры в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Достижения физики . 29 (5): 219–259. Бибкод : 1981ForPh..29..219K . дои : 10.1002/prop.19810290503 .
• Ллойд, Дэвид Роберт (2012). «Сколько лет Платоновым Телам?». Бюллетень BSHM: Журнал Британского общества истории математики . 27 (3): 131–140. дои : 10.1080/17498430.2012.670845 . S2CID   119544202 .
• Пью, Энтони (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN  0-520-03056-7 .
• Вейль, Герман (1952). Симметрия . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02374-3 .
• Вильдберг, Кристиан (1988). Критика Иоанном Филопоном теории эфира Аристотеля . Вальтер де Грюйтер. стр. 11–12. ISBN   9783110104462 .

Внешние ссылки

• Платоновые тела в Математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Платоновое тело» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . Математический мир .
• Книга XIII Евклида «Начал» .
• Интерактивные 3D-многогранники на Java
• Платоновые тела в визуальных многогранниках
• Solid Body Viewer — это интерактивная программа просмотра 3D-многогранников, которая позволяет сохранять модель в формате svg, stl или obj.
• Интерактивное складывание/разворачивание платоновых тел. Архивировано 9 февраля 2007 г. на Wayback Machine на Java.
• Бумажные модели Платоновых тел, созданные с использованием сетей, созданных в Stella . программном обеспечении
• Платоновые тела Бесплатные бумажные модели (сетки)
• Грайм, Джеймс; Стеклс, Кэти. «Платоновые тела» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 23 октября 2018 г. Проверено 13 апреля 2013 г.
• Преподавание математики с помощью моделей искусства, созданных учащимися
• Обучение математике с инструкциями учителя рисования по изготовлению моделей
• Фреймы изображений платоновых тел алгебраических поверхностей
• Платоновые тела с некоторыми выводами формул
• Как сделать из куба четыре платоновых тела