Алгебраическая геометрия

Эта статья о разделе математики. Чтобы узнать о книге Робина Хартшорна, см. «Алгебраическая геометрия» (книга) . Информацию о журнале см. в разделе «Алгебраическая геометрия» (журнал) . Чтобы узнать об алгебраической структуре, см. Геометрическую алгебру .

Эта поверхность Тольятти является алгебраической поверхностью пятой степени. Картина представляет собой часть своего реального локуса .

Алгебраическая геометрия — это раздел математики , который использует абстрактные алгебраические методы, в основном из коммутативной алгебры , для решения геометрических задач . Классически он изучает нули многомерных многочленов ; современный подход обобщает это в нескольких различных аспектах.

Основным объектом изучения алгебраической геометрии являются алгебраические многообразия , являющиеся геометрическими проявлениями решений систем полиномиальных уравнений . Примерами наиболее изученных классов алгебраических многообразий являются прямые , окружности , параболы , эллипсы , гиперболы , кубические кривые типа эллиптических кривых и кривые четвертой степени типа лемнискат и овалов Кассини . Это плоские алгебраические кривые . Точка плоскости лежит на алгебраической кривой, если ее координаты удовлетворяют заданному полиномиальному уравнению . Основные вопросы включают изучение точек особого интереса, таких как особые точки , точки перегиба и точки на бесконечности . Более сложные вопросы связаны с топологией кривой и взаимосвязью между кривыми, определяемыми различными уравнениями.

Алгебраическая геометрия занимает центральное место в современной математике и имеет многочисленные концептуальные связи с такими разнообразными областями, как комплексный анализ , топология и теория чисел . Как изучение систем полиномиальных уравнений с несколькими переменными, предмет алгебраической геометрии начинается с поиска конкретных решений посредством решения уравнений , а затем переходит к пониманию внутренних свойств совокупности решений системы уравнений. Это понимание требует как концептуальной теории, так и вычислительной техники.

В 20 веке алгебраическая геометрия распалась на несколько подобластей.

• Основное направление алгебраической геометрии посвящено изучению комплексных точек алгебраических многообразий и, в более общем плане, точек с координатами в алгебраически замкнутом поле .
• Настоящая алгебраическая геометрия - это изучение действительных алгебраических многообразий.
• Диофантова геометрия и, в более общем смысле, арифметическая геометрия — это изучение алгебраических многообразий над полями, которые не являются алгебраически замкнутыми, и, в частности, над областями, представляющими интерес в теории алгебраических чисел , такими как поле рациональных чисел , числовые поля , конечные поля , функции поля и p -адические поля .
• Большая часть теории особенностей посвящена особенностям алгебраических многообразий.
• Вычислительная алгебраическая геометрия — это область, которая возникла на стыке алгебраической геометрии и компьютерной алгебры с появлением компьютеров. Он состоит в основном из проектирования алгоритмов и разработки программного обеспечения для изучения свойств явно заданных алгебраических многообразий.

Большая часть развития основного направления алгебраической геометрии в 20-м веке происходила в рамках абстрактной алгебраической структуры, при этом все большее внимание уделялось «внутренним» свойствам алгебраических многообразий, не зависящим от какого-либо конкретного способа встраивания многообразия в окружающее координатное пространство; это соответствует развитию топологии, дифференциальной и комплексной геометрии . Одним из ключевых достижений этой абстрактной алгебраической геометрии является , Гротендика теория схем которая позволяет использовать теорию пучков для изучения алгебраических многообразий способом, который очень похож на ее использование при изучении дифференциальных и аналитических многообразий . Это достигается путем расширения понятия точки: в классической алгебраической геометрии точка аффинного многообразия может быть отождествлена ​​с помощью Nullstellensatz Гильберта с максимальным идеалом координатного кольца , в то время как все точки соответствующей аффинной схемы являются простыми идеалами. этого кольца. Это означает, что точка такой схемы может быть как обычной точкой, так и подмногообразием. Этот подход также позволяет унифицировать язык и инструменты классической алгебраической геометрии, в основном связанной с комплексными точками, и теории алгебраических чисел. Доказательство Уайлса давней гипотезы, называемой Великой теоремой Ферма, является примером силы этого подхода.

Основные понятия

Дополнительная информация: Алгебраическое разнообразие.

Нули одновременных полиномов

Сфера и наклонный круг

В классической алгебраической геометрии основными объектами интереса являются исчезающие множества наборов полиномов , то есть совокупность всех точек, которые одновременно удовлетворяют одному или нескольким полиномиальным уравнениям . Например, двумерная сфера радиуса 1 в трехмерном евклидовом пространстве R ³ может быть определен как набор всех точек ( x , y , z ) с

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,$

«Наклонный» круг в R ³ может быть определен как набор всех точек ( x , y , z ), которые удовлетворяют двум полиномиальным уравнениям

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,$

$x+y+z=0.\,$

Аффинные сорта

Основная статья: Аффинный сорт

Сначала мы начнем с поля k . В классической алгебраической геометрии этим полем всегда были комплексные числа C , но многие из тех же результатов верны, если мы предположим только, что k замкнуто алгебраически . Рассмотрим аффинное пространство размерности n над k , обозначаемое A ^н ( k ) (или проще A ^н , когда k ясно из контекста). Зафиксировав систему координат, можно определить A ^н ( к ) с к ^н . Цель не работать с k ^н состоит в том, чтобы подчеркнуть, что мы «забываем» структуру векторного пространства, которую k ^н несет.

Функция f : A ^н → А ¹ называется полиномиальным (или регулярным ), если его можно записать в виде многочлена, то есть если существует многочлен p от k [ x ₁ ,..., x _n ] такой, что f ( M ) = p ( t ₁ ,..., t _n ) для каждой точки M с координатами ( t ₁ ,..., t _n ) в A ^н . Свойство функции быть полиномиальной (или регулярной) не зависит от выбора системы координат в A ^н .

При выборе системы координат регулярные функции в аффинном n -пространстве можно отождествить с кольцом полиномиальных функций от n переменных над k . Следовательно, множество регулярных функций на A ^н — кольцо, которое обозначается k [ A ^н ].

Мы говорим, что многочлен обращается в нуль в какой-то точке, если его вычисление в этой точке дает ноль. Пусть S — набор полиномов от k [ A ^н ]. Исчезающее множество S (или исчезающее локус или нулевое множество ) — это множество V ( S ) всех точек в A. ^н где каждый многочлен из S обращается в нуль. Символически,

$V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}.\,$

Подмножество A ^н которое является V ( S ) для некоторого S , называется алгебраическим множеством . Буква V означает разнообразие (определенный тип алгебраического множества будет определен ниже).

Учитывая подмножество U из A ^н , можно ли восстановить набор полиномов, которые его порождают? Если U — любое подмножество A ^н , определите I ( U ) как набор всех полиномов, чье исчезающее множество содержит U . I U означает идеал : если два многочлена f и g обращаются в нуль на U , то f + g обращается в нуль на , а если h — любой многочлен, то hf исчезает на U , поэтому I ( U ) всегда является идеалом полинома. кольцо к [ А ^н ].

Два естественных вопроса, которые следует задать:

• Учитывая подмножество U из A ^н , когда U = V ( I ( U ))?
• Когда задан набор S полиномов, S = I ( V ( S ))?

Ответ на первый вопрос дает введение топологии Зарисского — топологии на A ^н чьи замкнутые множества являются алгебраическими множествами и которые непосредственно отражают алгебраическую структуру k [ A ^н ]. Тогда U = V ( I ( U )) тогда и только тогда, когда U — алгебраическое множество или, что то же самое, замкнутое по Зарисскому множество. Ответ на второй вопрос дает Nullstellensatz Гильберта . В одной из своих форм оно говорит, что I ( V ( S )) — радикал идеала, S. порожденного Говоря более абстрактным языком, существует связь Галуа , порождающая два оператора замыкания ; их можно идентифицировать, и они, естественно, играют основную роль в теории; пример . развит при подключении Галуа

соответствующим алгебраическому множеству U. По разным причинам мы не всегда можем захотеть работать со всем идеалом , Из базовой теоремы Гильберта следует, что идеалы из k [ A ^н ] всегда конечно порождены.

Алгебраическое множество называется неприводимым , если его нельзя представить в виде объединения двух меньших алгебраических множеств. Любое алгебраическое множество представляет собой конечное объединение неприводимых алгебраических множеств, и это разложение единственно. Поэтому его элементы называются неприводимыми компонентами алгебраического множества. Неприводимое алгебраическое множество также называют многообразием . Оказывается, алгебраическое множество является многообразием тогда и только тогда, когда его можно определить как исчезающее множество простого идеала кольца многочленов.

Некоторые авторы не проводят четкого различия между алгебраическими множествами и многообразиями и при необходимости используют неприводимое разнообразие , чтобы провести различие.

Обычные функции

Основная статья: Обычная функция

Подобно тому, как непрерывные функции являются естественными отображениями на топологических пространствах , а гладкие функции — естественными отображениями на дифференцируемых многообразиях , существует естественный класс функций на алгебраическом множестве, называемый регулярными функциями или полиномиальными функциями . Регулярная функция на алгебраическом множестве V, содержащемся в A ^н — ограничение на V регулярной функции на A ^н . Для алгебраического множества, определенного в поле комплексных чисел, регулярные функции гладкие и даже аналитические .

Требование, чтобы регулярная функция всегда распространялась на объемлющее пространство, может показаться неестественно ограничительным, но это очень похоже на ситуацию в нормальном топологическом пространстве , где теорема о расширении Титце гарантирует, что непрерывная функция на замкнутом подмножестве всегда распространяется на окружающее топологическое пространство.

Как и регулярные функции в аффинном пространстве, регулярные функции на V образуют кольцо, которое мы обозначаем k [ V ]. называется координатным кольцом V. Это кольцо

Поскольку регулярные функции на V происходят от регулярных функций на A ^н , существует связь между кольцами координат. В частности, если регулярная функция на V является ограничением двух функций f и g в k [ A ^н ], то f − g — полиномиальная функция, равная нулю на V и, следовательно, принадлежащая I ( V ). Таким образом, k [ V ] можно отождествить с k [ A ^н ]/ I ( V ).

Морфизм аффинных многообразий

Используя регулярные функции из аффинного многообразия в A ¹ , мы можем определить регулярные отображения одного аффинного многообразия в другое. Сначала мы определим регулярное отображение многообразия в аффинное пространство: пусть V — многообразие, содержащееся в A ^н . Выберите m регулярных функций на V и назовите их f ₁ , ..., f _m . Определим регулярное отображение f из V в A ^м положив f знак равно ( ж ₁ , ..., ж _м ) . Другими словами, каждый i _{определяет} одну координату диапазона f . f

Если V ′ — многообразие, содержащееся в A ^м , мы говорим, что f является регулярным отображением из V в V ′, если диапазон f содержится в V ′.

Определение регулярных отображений применимо и к алгебраическим множествам.Регулярные карты также называются морфизмами , поскольку они превращают совокупность всех аффинных алгебраических множеств в категорию , где объектами являются аффинные алгебраические множества, а морфизмы — регулярные карты. Аффинные многообразия — это подкатегория категории алгебраических множеств.

Учитывая регулярное отображение g из V в V ′ и регулярную функцию f от k [ V ′ ], то f ∘ g ∈ k [ V ] . Отображение f → f ∘ g является кольцевым гомоморфизмом из k [ V ′] в k [ V ]. И наоборот, каждый гомоморфизм колец из k [ V ′] в k [ V ] определяет регулярное отображение из V в V ′. Это определяет эквивалентность категорий между категорией алгебраических множеств и противоположной категорией конечно порожденных приведенных k -алгебр. Эта эквивалентность является одной из отправных точек теории схем .

Рациональная функция и бирациональная эквивалентность

Основная статья: Рациональное картографирование

В отличие от предыдущих разделов, этот раздел касается только многообразий, а не алгебраических множеств. С другой стороны, определения естественным образом распространяются на проективные многообразия (следующий раздел), поскольку аффинное многообразие и его проективное пополнение имеют одно и то же поле функций.

Если V — аффинное многообразие, его координатное кольцо является областью целостности имеет поле частных , которое обозначается k ( V ) и называется полем рациональных функций на V или, короче, функциональным полем V. таким образом , и , Его элементами являются ограничения на V рациональных функций в аффинном пространстве, содержащем V . Областью определения рациональной функции f является не V, а дополнение подмногообразия (гиперповерхности), где знаменатель f обращается в нуль.

Как и в случае с обычными картами, можно определить рациональное отображение многообразия V в многообразие V '. Как и в случае с регулярными отображениями, рациональные отображения из V в V ' можно отождествить с гомоморфизмами полей из k ( V ') в k ( V ).

Два аффинных многообразия бирационально эквивалентны, если между ними существуют две рациональные функции, обратные друг другу в областях, где обе определены. Эквивалентно, они бирационально эквивалентны, если их функциональные поля изоморфны.

Аффинное многообразие называется рациональным многообразием, если оно бирационально эквивалентно аффинному пространству. Это означает, что многообразие допускает рациональную параметризацию , т. е. параметризацию рациональными функциями . Например, круг уравнения $x^{2}+y^{2}-1=0$ является рациональной кривой, так как имеет параметрическое уравнение

$x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}$

$y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,$

которую также можно рассматривать как рациональное отображение линии в круг.

Проблема разрешения особенностей состоит в том, чтобы узнать, каждое ли алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, проективное пополнение которого неособо (см. также гладкое пополнение ). Она была положительно решена в характеристике 0 Хейсуке Хиронакой в ​​1964 году и до сих пор не решена в конечной характеристике.

Проективное разнообразие

Основная статья: Алгебраическая геометрия проективных пространств

Парабола ( y = x ² , красный) и кубический ( y = x ³ , синий) в проективном пространстве

Точно так же, как формулы для корней многочленов второй, третьей и четвертой степени предполагают расширение действительных чисел до более алгебраически полного набора комплексных чисел, многие свойства алгебраических многообразий предполагают расширение аффинного пространства до более геометрически полного проективного пространства. В то время как комплексные числа получаются сложением числа i , корня многочлена x ² + 1 , проективное пространство получается добавлением соответствующих точек «на бесконечности», точек, где могут пересекаться параллельные прямые.

Чтобы понять, как это может произойти, рассмотрим многообразие V ( y − x ² ) . Если мы нарисуем ее, то получим параболу . Когда x стремится к положительной бесконечности, наклон линии от начала координат до точки ( x , x ² ) также стремится к положительной бесконечности. Когда x стремится к отрицательной бесконечности, наклон той же линии стремится к отрицательной бесконечности.

Сравните это с многообразием V ( y − x ³ ). Это кубическая кривая . Когда x стремится к положительной бесконечности, наклон линии от начала координат до точки ( x , x ³ ) уходит в положительную бесконечность, как и раньше. Но в отличие от предыдущего случая, когда x стремится к отрицательной бесконечности, наклон той же линии также стремится к положительной бесконечности; полная противоположность параболе. Таким образом, поведение «на бесконечности» V ( y − x ³ ) отличается от поведения «на бесконечности» V ( y − x ² ).

Рассмотрение проективного завершения двух кривых, которое является их продолжением «на бесконечности» в проективной плоскости , позволяет количественно оценить это различие: точка на бесконечности параболы является правильной точкой , касательной к которой является линия, находящаяся на бесконечности. , а точка на бесконечности кубической кривой является точкой возврата . Кроме того, обе кривые рациональны, поскольку они параметризованы x , а из теоремы Римана-Роха следует, что кубическая кривая должна иметь особенность, которая должна находиться на бесконечности, поскольку все ее точки в аффинном пространстве регулярны.

Таким образом, многие свойства алгебраических многообразий, включая бирациональную эквивалентность и все топологические свойства, зависят от поведения «на бесконечности», и поэтому естественно изучать многообразия в проективном пространстве. Кроме того, введение проективной техники сделало многие теоремы алгебраической геометрии проще и точнее: например, теорема Безу о количестве точек пересечения двух многообразий может быть сформулирована в наиболее точной форме только в проективном пространстве. По этим причинам проективное пространство играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии.

В настоящее время проективное пространство P ^н размерности n обычно определяется как набор линий, проходящих через точку, считающуюся началом координат, в аффинном пространстве размерности n + 1 или, что эквивалентно, набор векторных линий в векторном пространстве размерности n + 1. . Когда система координат выбрана в пространстве размерности n + 1 , все точки линии имеют одинаковый набор координат с точностью до умножения на элемент k . Это определяет однородные координаты точки P ^н как последовательность из n + 1 элементов основного поля k , определенную с точностью до умножения на ненулевой элемент поля k (то же самое для всей последовательности).

Многочлен от n + 1 переменных обращается в нуль во всех точках прямой, проходящей через начало координат, тогда и только тогда, когда он однороден . В этом случае говорят, что полином обращается в нуль в соответствующей точке P ^н . Это позволяет нам определить проективное алгебраическое множество в P ^н как множество V ( f ₁ , ..., f _k ) , где конечное множество однородных многочленов { f ₁ , ..., f _k } обращается в нуль. Как и в случае с аффинными алгебраическими множествами, существует биекция между проективными алгебраическими множествами и приведенными однородными идеалами определяющими их . Проективные многообразия — это проективные алгебраические множества, определяющий идеал которых является простым. Другими словами, проективное многообразие — это проективное алгебраическое множество, однородное координатное кольцо которого является областью целостности , причем кольцо проективных координат определяется как частное градуированного кольца или многочленов от n + 1 переменных по однородному (приведенному) идеалу. определение сорта. Каждое проективное алгебраическое множество однозначно разлагается в конечное объединение проективных многообразий.

Единственные регулярные функции, которые могут быть правильно определены на проективном многообразии, — это постоянные функции. Таким образом, это понятие не используется в проективных ситуациях. С другой стороны, полезным понятием является поле рациональных функций или функциональное поле , которое, как и в аффинном случае, определяется как множество частных двух однородных элементов одной степени в однородном координатном кольце.

Настоящая алгебраическая геометрия

Основная статья: Настоящая алгебраическая геометрия

Настоящая алгебраическая геометрия — это изучение вещественных алгебраических многообразий.

тот факт, что поле действительных чисел является упорядоченным полем В таком исследовании нельзя игнорировать . Например, кривая уравнения $x^{2}+y^{2}-a=0$ это круг, если $a>0$, но не имеет действительных точек, если $a<0$. Реальная алгебраическая геометрия также исследует, в более широком смысле, полуалгебраические множества , которые являются решениями систем полиномиальных неравенств. Например, ни одна ветвь гиперболы уравнения $xy-1=0$ является действительным алгебраическим многообразием. Однако ветвь в первом квадранте представляет собой полуалгебраическое множество, определяемое формулой $xy-1=0$ и $x>0$.

Одной открытой проблемой реальной алгебраической геометрии является следующая часть шестнадцатой проблемы Гильберта : решить, какие соответствующие положения возможны для овалов неособой плоской кривой степени 8.

Вычислительная алгебраическая геометрия

Зарождение вычислительной алгебраической геометрии можно датировать встречей EUROSAM'79 (Международным симпозиумом по символическим и алгебраическим манипуляциям), проходившей в Марселе , Франция, в июне 1979 года. На этой встрече

• Деннис С. Арнон показал, что (CAD) Джорджа Э. Коллинза позволяет Цилиндрическая алгебраическая декомпозиция вычислять топологию полуалгебраических множеств:
• Бруно Бухбергер представил базы Грёбнера и свой алгоритм их вычисления:
• Дэниел Лазард представил новый алгоритм решения систем однородных полиномиальных уравнений с вычислительной сложностью , которая по существу полиномиальна по ожидаемому числу решений и, следовательно, просто экспоненциальна по числу неизвестных. Этот алгоритм тесно связан с Маколея алгоритмом многомерным результирующим .

С тех пор большинство результатов в этой области связаны с одним или несколькими из этих пунктов либо путем использования или улучшения одного из этих алгоритмов, либо путем поиска алгоритмов, сложность которых просто экспоненциально зависит от числа переменных.

корпус математической теории, дополняющий символические методы, называемый численной алгебраической геометрией За последние несколько десятилетий был разработан . Основным методом вычислений является продолжение гомотопии . Это поддерживает, например, модель вычислений с плавающей запятой для решения задач алгебраической геометрии.

База Грёбнер

Основная статья: базис Грёбнера

Базис Грёбнера — это система генераторов полиномиального идеала , вычисление которой позволяет вывести многие свойства аффинного алгебраического многообразия, определяемого идеалом.

Учитывая идеал I, определяющий алгебраическое множество V :

• V пусто (над алгебраически замкнутым расширением базисного поля) тогда и только тогда, когда базис Грёбнера для любого мономиального порядка сводится к {1}.
• С помощью ряда Гильберта можно вычислить размерность и степень V I по любому базису Грёбнера . для мономиального порядка, уточняющего полную степень
• Если размерность V равна 0, можно вычислить точки (конечное число) V из любого базиса Грёбнера I (см. Системы полиномиальных уравнений ).
• Вычисление в базисе Грёбнера позволяет удалить из V все неприводимые компоненты, содержащиеся в данной гиперповерхности.
• Базисное вычисление Грёбнера позволяет вычислить замыкание Зариского образа V посредством проекции на первые k координат и подмножество изображения, где проекция не является правильной.
• В более общем плане базисные вычисления Грёбнера позволяют вычислить замыкание Зарисского изображения и критические точки рациональной функции от V в другое аффинное многообразие.

Вычисления на основе Грёбнера не позволяют напрямую вычислить первичное разложение I или простые идеалы, определяющие неприводимые компоненты V , но большинство алгоритмов для этого включают вычисление на основе Грёбнера. Алгоритмы, не основанные на базисах Грёбнера, используют регулярные цепочки , но в некоторых исключительных ситуациях могут нуждаться в базисах Грёбнера.

Базисы Грёбнера считаются трудными для вычисления. Фактически они могут содержать, в худшем случае, многочлены, степень которых является дважды экспоненциальной по числу переменных, и число многочленов, которое также является дважды экспоненциальным. Однако это лишь наихудший случай сложности, и часто может применяться оценка сложности алгоритма Лазарда 1979 года. Алгоритм Фожера F5 реализует эту сложность, поскольку его можно рассматривать как улучшение алгоритма Лазара 1979 года. Отсюда следует, что лучшие реализации позволяют почти рутинно выполнять вычисления с алгебраическими наборами степени более 100. Это означает, что в настоящее время сложность вычисления базиса Грёбнера сильно связана с внутренней сложностью проблемы.

Цилиндрическое алгебраическое разложение (САПР)

CAD — это алгоритм, который был предложен в 1973 году Дж. Коллинзом для реализации с приемлемой сложностью теоремы Тарского–Зейденберга об исключении кванторов над действительными числами.

Эта теорема касается формул логики первого порядка которых , атомарные формулы представляют собой полиномиальные равенства или неравенства между многочленами с действительными коэффициентами. Таким образом, эти формулы являются формулами, которые могут быть составлены из атомарных формул с помощью логических операторов и (∧), или (∨), а не (¬), для всех (∀) и существования (∃). Теорема Тарского утверждает, что по такой формуле можно вычислить эквивалентную формулу без квантора (∀, ∃).

Сложность САПР вдвойне экспоненциальна по количеству переменных. Это означает, что САПР теоретически позволяет решить любую проблему реальной алгебраической геометрии, которая может быть выражена такой формулой, то есть почти любую проблему, касающуюся явно заданных многообразий и полуалгебраических множеств.

В то время как вычисления на основе Грёбнера имеют двойную экспоненциальную сложность лишь в редких случаях, CAD почти всегда имеет такую ​​высокую сложность. Это означает, что, если большинство полиномов, появляющихся во входных данных, не являются линейными, он не может решить проблемы с более чем четырьмя переменными.

С 1973 года большая часть исследований по этой теме посвящена либо совершенствованию САПР, либо поиску альтернативных алгоритмов в частных случаях, представляющих общий интерес.

В качестве примера современного уровня техники можно привести эффективные алгоритмы, позволяющие найти хотя бы точку в каждом связном компоненте полуалгебраического набора и, таким образом, проверить, пусто ли полуалгебраическое множество. С другой стороны, САПР на практике пока остается лучшим алгоритмом для подсчета количества связанных компонентов.

Асимптотическая сложность против практической эффективности

Основные общие алгоритмы вычислительной геометрии имеют двойную экспоненциальную сложность в худшем случае . Точнее, если d — максимальная степень входных полиномов, а n — количество переменных, их сложность не превышает $d^{2^{cn}}$ для некоторой константы c и для некоторых входных данных сложность не менее $d^{2^{c'n}}$ для другой константы c ′.

За последние 20 лет 20-го века были введены различные алгоритмы для решения конкретных подзадач большей сложности. Большинство из этих алгоритмов имеют сложность $d^{O(n^{2})}$.

Среди этих алгоритмов, которые решают подзадачу задач, решаемых базисами Грёбнера, можно упомянуть проверку пустости аффинного многообразия и решение неоднородных полиномиальных систем, которые имеют конечное число решений. Такие алгоритмы редко реализуются, поскольку для большинства записей алгоритмы Фожера F4 и F5 имеют более высокую практическую эффективность и, вероятно, аналогичную или лучшую сложность ( вероятно, потому, что оценка сложности алгоритмов на основе Грёбнера для определенного класса записей является сложной задачей, которую делалось лишь в нескольких особых случаях).

Основные алгоритмы реальной алгебраической геометрии, решающие задачи, решаемые САПР, связаны с топологией полуалгебраических множеств. Можно сослаться на подсчет количества связных компонентов , проверку того, входят ли две точки в одни и те же компоненты , или вычисление стратификации Уитни реального алгебраического множества . Они имеют сложность $d^{O(n^{2})}$, но константа, входящая в обозначение O, настолько велика, что использовать их для решения любой нетривиальной задачи, эффективно решаемой САПР, невозможно, даже если бы можно было использовать всю существующую в мире вычислительную мощность. Таким образом, эти алгоритмы никогда не были реализованы, и это активная область исследований для поиска алгоритмов, обладающих хорошей асимптотической сложностью и хорошей практической эффективностью.

Абстрактная современная точка зрения

Современные подходы к алгебраической геометрии переопределяют и эффективно расширяют круг базовых объектов на различных уровнях общности до схем, формальных схем , инд-схем , алгебраических пространств , алгебраических стеков и так далее. Необходимость в этом возникает уже из полезных идей теории многообразий, например, формальные функции Зарисского могут быть реализованы путем введения нильпотентных элементов в структурные кольца; рассмотрение пространств петель и дуг, построение факторов по групповым действиям и разработка формальных основ теории естественного пересечения и теории деформации приводят к некоторым дальнейшим расширениям.

Самое примечательное, что в конце 1950-х годов алгебраические многообразия были включены в Гротендика концепцию схемы Александра . Их локальными объектами являются аффинные схемы или простые спектры, которые представляют собой локально окольцованные пространства, образующие категорию, антиэквивалентную категории коммутативных колец с единицей, расширяющую двойственность между категорией аффинных алгебраических многообразий над полем k и категорией конечно порожденных колец. редуцированные k -алгебры. Склейка осуществляется по топологии Зарисского; можно склеить внутри категории локально окольцованных пространств, но также, используя вложение Йонеды, в более абстрактную категорию предпучков множеств над категорией аффинных схем. Топология Зарисского в теоретико-множественном смысле заменяется тогда топологией Гротендика . Гротендик представил топологии Гротендика, имея в виду более экзотические, но геометрически более тонкие и более чувствительные примеры, чем грубая топология Зариского, а именно этальная топология , и две плоские топологии Гротендика: fppf и fpqc; в настоящее время стали заметны и другие примеры, в том числе Топология Нисневича . Кроме того, пучки могут быть обобщены на стопки в смысле Гротендика, обычно с некоторыми дополнительными условиями представимости, приводящими к стопкам Артина и, что еще лучше, стопкам Делиня-Мамфорда , которые часто называются алгебраическими стопками.

Иногда категорию аффинных схем заменяют другие алгебраические узлы. Например, Николай Дуров ввел коммутативные алгебраические монады как обобщение локальных объектов в обобщенной алгебраической геометрии. В этой установке были реализованы варианты тропической геометрии , абсолютной геометрии над одноэлементным полем и алгебраический аналог геометрии Аракелова .

Другое формальное обобщение возможно на универсальную алгебраическую геометрию , в которой каждое многообразие алгебр имеет свою собственную алгебраическую геометрию. Термин «многообразие алгебр» не следует путать с алгебраическим многообразием .

Язык схем, стеков и обобщений оказался ценным способом работы с геометрическими концепциями и стал краеугольным камнем современной алгебраической геометрии.

Алгебраические стеки можно далее обобщать, и для многих практических вопросов, таких как теория деформаций и теория пересечений, это часто является наиболее естественным подходом. Можно расширить сайт Гротендика аффинных схем до более высокого категориального сайта производных аффинных схем , заменив коммутативные кольца бесконечной категорией дифференциально-градуированных коммутативных алгебр или симплициальных коммутативных колец или аналогичной категории подходящим вариантом группы Гротендика. топология. Можно также заменить предпучки множеств предпучками симплициальных множеств (или бесконечных группоидов). Тогда, при наличии соответствующего гомотопического механизма, можно разработать понятие производного стека как такого предпучка в категории бесконечности производных аффинных схем, который удовлетворяет определенной бесконечной категориальной версии аксиомы пучка (и, если быть алгебраическим, индуктивно, последовательностью условий представимости). Категории модели Квиллена , категории Сигала и квазикатегории являются одними из наиболее часто используемых инструментов для формализации этого процесса. производная алгебраическая геометрия , введенная школой Карлоса Симпсона , в том числе Андре Хиршовица, Бертрана Тёна , Габриэль Веццози, Мишеля Вакье и других; и развитый далее Якобом Лурье , Бертраном Тёном и Габриэле Веццози . Другая (некоммутативная) версия производной алгебраической геометрии, использующая категории A-бесконечности, была разработана в начале 1990-х годов Максимом Концевичем и его последователями.

История

До 16 века

Некоторые корни алгебраической геометрии восходят к работам эллинистических греков V века до нашей эры. Задача Делоса , например, заключалась в том, чтобы построить длину x так, чтобы куб со стороной x содержал тот же объем, что и прямоугольный ящик a. ² b для данных сторон a и b . Менехм ( ок. 350 г. до н. э. ) рассмотрел проблему геометрически, пересекая пару плоских коник ay = x. ² и ху = аб . В III веке до нашей эры Архимед и Аполлоний систематически изучали дополнительные задачи о конических сечениях с использованием координат. Аполлоний в «Кониках» развил метод, настолько похожий на аналитическую геометрию, что иногда полагают, что его работа опередила работы Декарта примерно на 1800 лет. Его применение опорных линий, диаметра и касательной по существу ничем не отличается от нашего современного использования системы координат, где расстояния, измеренные по диаметру от точки касания, представляют собой абсциссы, а отрезки, параллельные касательной и пересекаемые между ними. ось и кривая являются ординатами. Далее он развил отношения между абсциссами и соответствующими координатами, используя геометрические методы, такие как использование парабол и кривых. Средневековые математики, в том числе Омар Хайям , Леонардо Пизанский , Герсонид и Николь Орем в средневековый период , решал некоторые кубические и квадратные уравнения чисто алгебраическими средствами, а затем интерпретировал результаты геометрически. Персидский (родился в 1048 году нашей эры) считал , математик Омар Хайям что существует связь между арифметикой , алгеброй и геометрией . Это подверглось критике со стороны Джеффри Оукса, который утверждает, что изучение кривых с помощью уравнений началось с Декарта в семнадцатом веке.

Ренессанс

Такие методы применения геометрических конструкций к алгебраическим задачам были также приняты рядом математиков эпохи Возрождения, таких как Джероламо Кардано и Никколо Фонтана «Тарталья» при изучении кубического уравнения. Геометрический подход к решению задач построения, а не алгебраический, отдавал предпочтение большинству математиков 16 и 17 веков, особенно Блезу Паскалю , который выступал против использования алгебраических и аналитических методов в геометрии. Французские математики Франциск Виета , а затем Рене Декарт и Пьер де Ферма произвели революцию в традиционном подходе к решению задач строительства, введя координатную геометрию . Их интересовали прежде всего свойства алгебраических кривых , например, определяемых диофантовыми уравнениями (в случае Ферма), и алгебраическая переформулировка классических греческих работ по коникам и кубикам (в случае Декарта).

В тот же период Блез Паскаль и Жерар Дезарг подошли к геометрии с другой точки зрения, разработав синтетические понятия проективной геометрии . Паскаль и Дезарг также изучали кривые, но с чисто геометрической точки зрения: аналог греческой линейки и конструкции циркуля . В конечном итоге аналитическая геометрия Декарта и Ферма победила, поскольку она снабдила математиков XVIII века конкретными количественными инструментами, необходимыми для изучения физических проблем с использованием нового исчисления Ньютона и Лейбница . к концу XVIII века большая часть алгебраического характера координатной геометрии была поглощена исчислением бесконечно малых Лагранжа Однако и Эйлера .

19 и начало 20 века

Потребовалось одновременное развитие неевклидовой геометрии и абелевых интегралов в XIX веке , чтобы вернуть старые алгебраические идеи обратно в геометрическую сферу. Первое из этих новых разработок было подхвачено Эдмоном Лагерром и Артуром Кэли , которые попытались установить обобщенные метрические свойства проективного пространства. Кэли представил идею однородных полиномиальных форм , а точнее квадратичных форм , в проективном пространстве. Впоследствии Феликс Кляйн изучал проективную геометрию (наряду с другими видами геометрии) с точки зрения того, что геометрия пространства кодируется в определенном классе преобразований пространства. К концу XIX века проективные геометры изучали более общие виды преобразований фигур в проективном пространстве. Вместо проективных линейных преобразований, которые обычно считались дающими фундаментальную клейновскую геометрию в проективном пространстве, они занимались также бирациональными преобразованиями более высокой степени. . Это более слабое понятие конгруэнтности позже привело членов итальянской школы алгебраической геометрии 20-го века к классификации алгебраических поверхностей с точностью до бирационального изоморфизма .

Второе развитие в начале 19-го века, развитие абелевых интегралов, привело Бернхарда Римана к развитию римановых поверхностей .

В этот же период началась алгебраизация алгебраической геометрии посредством коммутативной алгебры . Выдающимися результатами в этом направлении являются базисная теорема Гильберта и Nullstellensatz Гильберта , которые являются основой связи между алгебраической геометрией и коммутативной алгеброй, а также Маколея многомерный результант , который является основой теории исключения . Вероятно, из-за объема вычислений, подразумеваемых многомерными результирующими, теория исключения была забыта в середине 20-го века, пока она не была обновлена ​​​​теорией особенностей и вычислительной алгебраической геометрией.

20 век

Б. Л. ван дер Варден , Оскар Зариски и Андре Вейль разработали основы алгебраической геометрии, основанные на современной коммутативной алгебре , включая теорию нормирования и теорию идеалов . Одной из целей было дать строгую основу для доказательства результатов итальянской школы алгебраической геометрии . В частности, эта школа систематически использовала понятие родовой точки без какого-либо точного определения, которое впервые было дано этими авторами в 1930-е годы.

В 1950-х и 1960-х годах Жан-Пьер Серр и Александр Гротендик переработали основы, используя теорию снопов . Позже, примерно с 1960 года, во многом под руководством Гротендика, идея схем была разработана в сочетании с очень усовершенствованным аппаратом гомологических методов . После десятилетия быстрого развития эта область стабилизировалась в 1970-х годах, и были сделаны новые приложения как к теории чисел , так и к более классическим геометрическим вопросам об алгебраических многообразиях, особенностях , модулях и формальных модулях .

Важным классом многообразий, который нелегко понять непосредственно из их определяющих уравнений, являются абелевы многообразия , которые представляют собой проективные многообразия, точки которых образуют абелеву группу . Прототипическими примерами являются эллиптические кривые , имеющие богатую теорию. Они сыграли важную роль в доказательстве Великой теоремы Ферма , а также используются в криптографии с эллиптическими кривыми .

Параллельно с абстрактным направлением алгебраической геометрии, занимающимся общими утверждениями о многообразиях, развивались и методы эффективных вычислений с конкретно заданными многообразиями, которые привели к новой области вычислительной алгебраической геометрии. Одним из основополагающих методов этой области является теория базисов Грёбнера , представленная Бруно Бухбергером в 1965 году. Другой основополагающий метод, более специально посвященный реальной алгебраической геометрии, - это цилиндрическое алгебраическое разложение , введенное Джорджем Э. Коллинзом в 1973 году.

См. также: производная алгебраическая геометрия .

Аналитическая геометрия

Аналитическое многообразие над полем действительных или комплексных чисел локально определяется как множество общих решений нескольких уравнений, включающих аналитические функции . Оно аналогично понятию алгебраического многообразия в том смысле, что оно несет в себе структурный пучок аналитических функций вместо регулярных функций. Любое комплексное многообразие является комплексным аналитическим многообразием. Поскольку аналитические многообразия могут иметь особые точки , не все комплексные аналитические многообразия являются многообразиями. Аналитическая геометрия над неархимедовым полем изучается через жесткие аналитические пространства .

Современная аналитическая геометрия над полем комплексных чисел тесно связана с комплексной алгебраической геометрией, как было показано Жаном-Пьером Серром в его статье GAGA . название которого по-французски означает «Алгебраическая геометрия» и «Аналитическая геометрия» . Результаты GAGA над полем комплексных чисел могут быть распространены на жесткие аналитические пространства над неархимедовыми полями.

Приложения

Алгебраическая геометрия теперь находит применение в статистике . теория управления , робототехника , коды, исправляющие ошибки , филогенетика и геометрическое моделирование . Есть также связи с теорией струн . теория игр , графические соответствия , солитоны и целочисленное программирование .

См. также

• Глоссарий классической алгебраической геометрии
• Важные публикации по алгебраической геометрии.
• Список алгебраических поверхностей
• Некоммутативная алгебраическая геометрия

Ссылки

Источники

• Кляйн, М. (1972). Математическая мысль от древности до современности . Том. 1. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0195061357 .

Дальнейшее чтение

Некоторые классические учебники, которые появились раньше схем

• ван дер Варден, БЛ (1945). Введение в алгебраическую геометрию . Дувр .
• Ходж, Западная Вирджиния ; Педо, Дэниел (1994). Методы алгебраической геометрии Том 1 . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-46900-5 . Збл   0796.14001 .
• Ходж, Западная Вирджиния ; Педо, Дэниел (1994). Методы алгебраической геометрии Том 2 . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-46901-2 . Збл   0796.14002 .
• Ходж, Западная Вирджиния ; Педо, Дэниел (1994). Методы алгебраической геометрии Том 3 . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-46775-9 . Збл   0796.14003 .

Современные учебники, не использующие язык схем

• Гаррити, Томас ; и др. (2013). Алгебраическая геометрия: подход к решению проблем . Американское математическое общество . ISBN  978-0-821-89396-8 .
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джо (1994). Основы алгебраической геометрии . Уайли-Интерсайенс . ISBN  978-0-471-05059-9 . Збл   0836.14001 .
• Харрис, Джо (1995). Алгебраическая геометрия. Первый курс . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-97716-4 . Збл   0779.14001 .
• Мамфорд, Дэвид (1995). Алгебраическая геометрия I. Комплексные проективные многообразия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-58657-9 . Збл   0821.14001 .
• Рид, Майлз (1988). Бакалавриат по алгебраической геометрии . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-35662-6 . Збл   0701.14001 .
• Шафаревич, Игорь (1995). Основная алгебраическая геометрия I. Многообразия в проективном пространстве (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-54812-8 . Збл   0797.14001 .

Учебники по вычислительной алгебраической геометрии

• Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (1997). Идеалы, разновидности и алгоритмы (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-94680-1 . Збл   0861.13012 .
• Шенк, Хэл (2003). Вычислительная алгебраическая геометрия . Издательство Кембриджского университета .
• Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза (2006). Алгоритмы реальной алгебраической геометрии . Спрингер-Верлаг .
• Гонсалес-Вега, Лауреано; Ресио, Томас (1996). Алгоритмы в алгебраической геометрии и приложения . Биркхаузер.
• Элькади, Мохамед; Муррен, Бернар; Пиене, Рагни, ред. (2006). Алгебраическая геометрия и геометрическое моделирование . Спрингер-Верлаг .
• Дикенштейн, Алисия ; Шрайер, Франк-Олаф; Соммесе, Эндрю Дж., ред. (2008). Алгоритмы в алгебраической геометрии . Тома IMA по математике и ее приложениям. Том. 146. Спрингер . ISBN  9780387751559 . LCCN   2007938208 .
• Кокс, Дэвид А .; Литтл, Джон Б.; О'Ши, Донал (1998). Использование алгебраической геометрии . Спрингер-Верлаг .
• Кавинесс, Боб Ф.; Джонсон, Джереми Р. (1998). Элиминация кванторов и цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Спрингер-Верлаг .

Учебники и справочники по схемам

• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (1998). Геометрия схем . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-98637-1 . Збл   0960.14002 .
• Гротендик, Александр (1960). Элементы алгебраической геометрии . Публикации IHÉS по математике . Збл   0118.36206 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан Александр (1971). Элементы алгебраической геометрии . Полет. 1 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-05113-8 . Збл   0203.23301 .
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-90244-9 . Збл   0367.14001 .
• Мамфорд, Дэвид (1999). Красная книга разновидностей и схем включает Мичиганские лекции о кривых и их якобианах (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-63293-1 . Збл   0945.14001 .
• Шафаревич, Игорь (1995). Основная алгебраическая геометрия II Схемы и комплексные многообразия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-540-57554-2 . Збл   0797.14002 .

Внешние ссылки

• Основы алгебраической геометрии Рави Вакила, 808 стр.
• Запись по алгебраической геометрии на PlanetMath
• Английский перевод учебника Ван дер Вардена
• Дьедонне, Жан (3 марта 1972 г.). «История алгебраической геометрии» . Беседа на факультете математики Университета Висконсин-Милуоки . Архивировано из оригинала 22 ноября 2021 г. – на YouTube .
• The Stacks Project — учебник и справочник с открытым исходным кодом по алгебраическим стекам и алгебраической геометрии.
• Adjectives Project — онлайн-база данных для поиска примеров схем и морфизмов на основе их свойств.