Правильный многоугольник

Правильные звездчатые многоугольники
2 < 2q < p, НОД (p, q) = 1
Символ Шлефли	{п/к}
Вершины и ребра	п
Плотность	д
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Диэдральный (Д п )
Двойной полигон	Самодвойственный
Внутренний угол ; ( градусы )

Правильный многоугольник
Ребра и вершины
Символ Шлефли
Диаграмма Коксетера – Дынкина
Группа симметрии	Д н , порядок 2н
Двойной полигон	Самодвойственный
Область ; (при длине стороны )
Внутренний угол
Сумма внутренних углов
Диаметр вписанной окружности
Диаметр описанной окружности
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В евклидовой геометрии правильный многоугольник — это , многоугольник прямоугольный (все углы равны) и равносторонний (все стороны имеют одинаковую длину). Правильные многоугольники могут быть выпуклыми , звездообразными или косыми . В пределе последовательность правильных многоугольников с возрастающим числом сторон приближается к кругу , если периметр или площадь фиксированы, или к правильному апейрогону (фактически прямой линии ), если длина ребра фиксирована.

Общие свойства

Эти свойства применяются ко всем правильным многоугольникам, как выпуклым, так и звездообразным .

Правильный n -сторонний многоугольник обладает вращательной симметрией порядка n .

Все вершины правильного многоугольника лежат на общей окружности ( описанной окружности ); т. е. они являются конциклическими точками. То есть правильный многоугольник — это циклический многоугольник .

Вместе со свойством сторон одинаковой длины это означает, что в каждом правильном многоугольнике также есть вписанная окружность или вписанная окружность , касающаяся каждой стороны в средней точке. Таким образом, правильный многоугольник является касательным многоугольником .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда нечетные простые множители числа n являются различными простыми числами Ферма . См. Конструируемый многоугольник .

Правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью оригами тогда и только тогда, когда $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ для некоторых $r\in \mathbb {N}$ , где каждый отдельный $p_{i}$ является простым числом Пьерпона . ^[1]

Симметрия

Группа симметрии - стороннего n правильного многоугольника представляет собой группу диэдра D _n (порядка 2 n ): D ₂ , D ₃ , D ₄ , ... Она состоит из вращений в C _n вместе с симметрией отражения в n осях. которые проходят через центр. Если n четно, то половина этих осей проходит через две противоположные вершины, а другая половина — через середины противоположных сторон. Если n нечетно, то все оси проходят через вершину и середину противоположной стороны.

Правильные выпуклые многоугольники

Все правильные простые многоугольники (простым многоугольником называется тот, который нигде не пересекается) являются выпуклыми. Те, у которых одинаковое число сторон, также подобны .

- сторонний n выпуклый правильный многоугольник обозначается символом Шлефли { n }. При n < 3 имеем два вырожденных случая:

Моногон {1}: Вырождение в обычном пространстве . (Большинство авторитетов не считают моногон настоящим многоугольником, отчасти из-за этого, а также потому, что приведенные ниже формулы не работают, и его структура не похожа на структуру какого-либо абстрактного многоугольника .)
Дигон {2}; «двойной отрезок»: Вырождение в обычном пространстве . (Из-за этого некоторые авторитеты не считают дигон настоящим многоугольником.)

В определенных контекстах все рассматриваемые многоугольники будут правильными. В таких случаях принято отбрасывать префикс Regular. Например, все грани однородных многогранников должны быть правильными, и грани будут описываться просто как треугольник, квадрат, пятиугольник и т. д.

Углы

Для правильного выпуклого n -угольника каждый внутренний угол имеет меру:

{\frac {180(n-2)}{n}}

степени;

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

радианы; или

{\frac {(n-2)}{2n}}

полные обороты ,

и каждый внешний угол (т. е. дополнительный к внутреннему углу) имеет меру ${\tfrac {360}{n}}$ градусов, при этом сумма внешних углов равна 360 градусам или 2π радиан или одному полному обороту.

Когда n приближается к бесконечности, внутренний угол приближается к 180 градусам. У правильного многоугольника с 10 000 сторон ( мириагона ) внутренний угол равен 179,964°. По мере увеличения числа сторон внутренний угол может приблизиться к 180°, а форма многоугольника приближается к форме круга. Однако многоугольник никогда не сможет стать кругом. Значение внутреннего угла никогда не может стать точно равным 180°, поскольку окружность фактически станет прямой линией (см. Апейрогон ). По этой причине круг не является многоугольником с бесконечным числом сторон.

Диагонали

При n > 2 число диагоналей равно ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ ; т. е. 0, 2, 5, 9, ... для треугольника, квадрата, пятиугольника, шестиугольника, ... . Диагонали делят многоугольник на 1, 4, 11, 24, ... части OEIS : A007678 .

Для правильного n -угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, произведение расстояний от данной вершины до всех остальных вершин (включая соседние вершины и вершины, соединенные диагональю) равно n .

Точки на плоскости

Для правильного простого n -угольника с радиусом описанной окружности R и расстояниями d _i от произвольной точки плоскости до вершин имеем ^[2]

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.

Для высших степеней расстояний $d_{i}$ из произвольной точки плоскости к вершинам регулярного $n$ -гон, если

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

,

затем ^[3]

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

,

и

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

,

где $m$ целое положительное число, меньшее $n$ .

Если $L$ расстояние от произвольной точки плоскости до центра тяжести регулярного $n$ -угольник с радиусом описанной окружности $R$ , затем ^[3]

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n{\Biggl (}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}{\Biggr )}

,

где $m$ = 1, 2, …, $n-1$ .

Внутренние точки

Для правильного n -угольника сумма расстояний по перпендикулярам от любой внутренней точки до n сторон в n раз превышает апофему. ^[4]^{: с. 72} (апофема — расстояние от центра до любой стороны). Это обобщение теоремы Вивиани для случая n = 3. ^[5]^[6]

Окружность

Правильный пятиугольник ( n = 5) со стороной s , радиусом описанной окружности R и апофемой a.

Радиус описанной окружности R от центра правильного многоугольника до одной из вершин связан с длиной стороны s или с апофемой a соотношением

R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}

Для конструируемых многоугольников существуют алгебраические выражения для этих отношений. (см. Бицентрический многоугольник § Правильные многоугольники ) .

Сумма перпендикуляров из вершин правильного n -угольника к любой прямой, касательной к описанной окружности, равна n умноженному на радиус описанной окружности. ^[4]^{: с. 73}

Сумма квадратов расстояний от вершин правильного n -угольника до любой точки описанной вокруг него окружности равна 2 nR. ² где R — радиус описанной окружности. ^[4]^{: стр.73}

Сумма квадратов расстояний от середин сторон правильного n -угольника до любой точки описанной окружности равна 2 nR. ² − ⁠ 1 / 4 ⁠ ns ², где s — длина стороны, а R — радиус описанной окружности. ^[4]^{: с. 73}

Если $d_{i}$ — расстояния от вершин регулярного $n$ -гон в любую точку описанной окружности, то ^[3]

3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

.

Разрезы

Коксетер утверждает, что любой зоногон (2 -метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и имеют одинаковую длину) можно разрезать на ${\tbinom {m}{2}}$ или ⁠ 1/2 ⁠ ( − m параллелограммов m 1) . Эти мозаики содержатся как подмножества вершин, ребер и граней в ортогональных проекциях m -кубов . ^[7] В частности, это верно для любого правильного многоугольника с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Список OEIS : A006245 дает количество решений для меньших многоугольников.

Пример разреза выбранных правильных многоугольников с четными сторонами
22м	6	8	10	12	14	16	18	20	24	30	40	50
Изображение
ромбы	3	6	10	15	21	28	36	45	66	105	190	300

Область

Площадь A выпуклого правильного n- стороннего многоугольника, имеющего сторону s , радиус описанной окружности R , апофему a и периметр p, определяется выражением ^[8]^[9]

A={\tfrac {1}{2}}nsa={\tfrac {1}{2}}pa={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)

Для правильных многоугольников со стороной s = 1, радиусом описанной окружности R = 1 или апофемой a = 1 получается следующая таблица: ^[10] ( С $\cot x\rightarrow 1/x$ как $x\rightarrow 0$ , площадь, когда $s=1$ имеет тенденцию $n^{2}/4\pi$ как $n$ вырастает большим.)

Число сторон	Площадь, когда сторона s = 1		Площадь при радиусе описанной окружности R = 1			Площадь, когда апофема a = 1
Число сторон	Точный	Приближение	Точный	Приближение	относительно описанной окружности площадь	Точный	Приближение	относительно обвести область
н	${\tfrac {n}{4}}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		${\tfrac {n}{2}}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$		${\tfrac {n}{2\pi }}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)$	$n\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$		${\tfrac {n}{\pi }}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)$
3	⁠ ${\tfrac {\sqrt {3}}{4}}$ ⁠	0.433012702	⁠ ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{4}}$ ⁠	1.299038105	0.4134966714	⁠ $3{\sqrt {3}}$ ⁠	5.196152424	1.653986686
4	1	1.000000000	2	2.000000000	0.6366197722	4	4.000000000	1.273239544
5	⁠ ${\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$ ⁠	1.720477401	⁠ ${\tfrac {5}{4}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}$ ⁠	2.377641291	0.7568267288	⁠ $5{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ ⁠	3.632712640	1.156328347
6	⁠ ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$ ⁠	2.598076211	⁠ ${\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}$ ⁠	2.598076211	0.8269933428	⁠ $2{\sqrt {3}}$ ⁠	3.464101616	1.102657791
7		3.633912444		2.736410189	0.8710264157		3.371022333	1.073029735
8	⁠ $2+2{\sqrt {2}}$ ⁠	4.828427125	⁠ $2{\sqrt {2}}$ ⁠	2.828427125	0.9003163160	⁠ $8\left({\sqrt {2}}-1\right)$ ⁠	3.313708500	1.054786175
9		6.181824194		2.892544244	0.9207254290		3.275732109	1.042697914
10	⁠ ${\tfrac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$ ⁠	7.694208843	⁠ ${\tfrac {5}{2}}{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}$ ⁠	2.938926262	0.9354892840	⁠ $2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}$ ⁠	3.249196963	1.034251515
11		9.365639907		2.973524496	0.9465022440		3.229891423	1.028106371
12	⁠ $6+3{\sqrt {3}}$ ⁠	11.19615242	3	3.000000000	0.9549296586	⁠ $12\left(2-{\sqrt {3}}\right)$ ⁠	3.215390309	1.023490523
13		13.18576833		3.020700617	0.9615188694		3.204212220	1.019932427
14		15.33450194		3.037186175	0.9667663859		3.195408642	1.017130161
15	^[11]	17.64236291	^[12]	3.050524822	0.9710122088	^[13]	3.188348426	1.014882824
16	^[14]	20.10935797	⁠ $4{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ ⁠	3.061467460	0.9744953584	^[15]	3.182597878	1.013052368
17		22.73549190		3.070554163	0.9773877456		3.177850752	1.011541311
18		25.52076819		3.078181290	0.9798155361		3.173885653	1.010279181
19		28.46518943		3.084644958	0.9818729854		3.170539238	1.009213984
20	^[16]	31.56875757	^[17]	3.090169944	0.9836316430	^[18]	3.167688806	1.008306663
100		795.5128988		3.139525977	0.9993421565		3.142626605	1.000329117
1000		79577.20975		3.141571983	0.9999934200		3.141602989	1.000003290
10,000		7957746.893		3.141592448	0.9999999345		3.141592757	1.000000033
1,000,000		79577471545		3.141592654	1.000000000		3.141592654	1.000000000

Из всех n -угольников заданного периметра правильным является тот, у которого наибольшая площадь. ^[19]

Сборный многоугольник

Некоторые правильные многоугольники легко построить с помощью циркуля и линейки ; другие правильные многоугольники вообще невозможно построить. Древнегреческие математики знали, как построить правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами. ^[20]^{:с. xi} и они знали, как построить правильный многоугольник, у которого число сторон в два раза больше, чем у данного правильного многоугольника. ^[20]^{: стр. 49–50.} Это привело к заданию вопроса: можно ли построить все правильные n с помощью циркуля и линейки -угольники? Если нет, то какие n -угольников можно построить, а какие нет?

Карл Фридрих Гаусс доказал конструктивность правильного 17-угольника в 1796 году. Пять лет спустя он разработал теорию гауссовских периодов в своих Disquisitiones Arithmeticae . Эта теория позволила ему сформулировать достаточное условие конструктивности правильных многоугольников:

Правильный n -угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если n является произведением степени двойки и любого количества различных простых чисел Ферма (включая ни одного).

(Простое число Ферма — это простое число вида $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$ ) Гаусс без доказательства заявил, что это условие также необходимо , но так и не опубликовал своего доказательства. Полное доказательство необходимости было дано Пьером Ванцелем в 1837 году. Результат известен как теорема Гаусса – Ванцеля .

Эквивалентно, правильный n -угольник можно построить тогда и только тогда, когда косинус его общего угла является конструктивным числом , то есть может быть записан с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней.

Правильные косые многоугольники

Куб содержит косой правильный шестиугольник , который выглядит как 6 красных ребер, зигзагообразно идущих между двумя плоскостями, перпендикулярными диагональной оси куба.	Зигзагообразные боковые края n - антипризмы представляют собой правильный косой 2n - угольник, как показано на этой 17-угольной антипризме.

Правильный в трехмерном пространстве можно рассматривать как неплоские пути, идущие зигзагами между двумя параллельными косой многоугольник плоскостями, определяемыми как боковые края однородной антипризмы . Все ребра и внутренние углы равны.

Платоновы тела ( тетраэдр , куб , октаэдр , додекаэдр и икосаэдр ) имеют многоугольники Петри, показанные здесь красным, со сторонами 4, 6, 6, 10 и 10 соответственно.

В более общем смысле, правильные косые многоугольники могут быть определены в n -пространстве. Примеры включают многоугольники Петри , многоугольные пути ребер, которые делят правильный многогранник на две половины и выглядят как правильный многоугольник в ортогональной проекции.

В бесконечном пределе правильные косые многоугольники становятся косыми апейрогонами .

Правильные звездчатые многоугольники

Невыпуклый правильный многоугольник — это правильный звездчатый многоугольник . Самый распространенный пример — пентаграмма , имеющая те же вершины, что и пятиугольник , но соединяющая чередующиеся вершины.

Для n -стороннего звездчатого многоугольника символ Шлефли модифицируется, чтобы указать плотность или «звездность» m многоугольника, как { n / m }. если m Например, равно 2, то каждая вторая точка соединяется. Если m равно 3, то соединяется каждая третья точка. Граница многоугольника обходит центр m раз.

(Невырожденные) правильные звезды до 12 сторон:

Пентаграмма – {5/2}
Гептаграмма – {7/2} и {7/3}.
Октаграмма – {8/3}
Эннеаграмма – {9/2} и {9/4}.
Декаграмма – {10/3}
Хендекаграмма – {11/2}, {11/3}, {11/4} и {11/5}.
Додекаграмма – {12/5}

m и n должны быть взаимно простыми , иначе фигура выродится.

Вырожденные правильные звезды до 12 сторон:

Тетрагон – {4/2}
Шестиугольники – {6/2}, {6/3}
Восьмиугольники – {8/2}, {8/4}
Эннеагон – {9/3}
Десятиугольники — {10/2}, {10/4} и {10/5}.
Додекагоны — {12/2}, {12/3}, {12/4} и {12/6}.

Две интерпретации {6/2}
Грюнбаум {6/2} или 2{3} ^[22]	Коксетер 2 {3} или {6}[2{3}]{6}

Шестигранник с двойной обмоткой	Гексаграмма как соединение из двух треугольников

В зависимости от точного происхождения символа Шлефли мнения относительно природы выродившейся фигуры различаются. Например, {6/2} можно обрабатывать одним из двух способов:

На протяжении большей части 20-го века (см., например, Коксетер (1948) ) мы обычно использовали /2 для обозначения соединения каждой вершины выпуклого {6} с ее ближайшими соседями на расстоянии двух шагов, чтобы получить правильное соединение двух треугольников. или гексаграмма .
Коксетер поясняет это регулярное соединение с помощью обозначения {kp}[k{p}]{kp} для соединения {p/k}, поэтому гексаграмма представляется как {6}[2{3}]{6}. ^[23] Более компактно Коксетер также пишет 2 {n/2}, как 2 {3} для гексаграммы, состоящей из чередований правильных четных многоугольников, с курсивом на ведущем факторе, чтобы отличить ее от совпадающей интерпретации. ^[24]
Многие современные геометры, такие как Грюнбаум (2003), ^[22] сочтите это неправильным. Они используют /2 для обозначения перемещения на два места вокруг {6} на каждом шаге, получая треугольник с «двойной обмоткой», который имеет две вершины, наложенные друг на друга в каждой угловой точке, и два края вдоль каждого сегмента линии. Это не только лучше согласуется с современными теориями абстрактных многогранников , но и более точно копирует способ, которым Пуансо (1809) создавал свои звездчатые многоугольники – беря один отрезок проволоки и сгибая его в последовательных точках под одним и тем же углом. пока фигура не закроется.

Двойственность правильных многоугольников

Все правильные многоугольники самодуальны по отношению к конгруэнтности, а при нечетном n они самодуальны по отношению к единице.

Кроме того, самодвойственными являются и правильные звездные фигуры (составные), состоящие из правильных многоугольников.

Правильные многоугольники как грани многогранников

Однородный многогранник имеет в качестве граней правильные многоугольники, так что для каждых двух вершин существует изометрия , отображающая одну в другую (так же, как и для правильного многоугольника).

Квазиправильный многогранник — это однородный многогранник, у которого вокруг каждой вершины чередуются только два вида граней.

— Правильный многогранник это однородный многогранник, имеющий только одну грань.

Остальные (неоднородные) выпуклые многогранники с правильными гранями известны как тела Джонсона .

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, называется дельтаэдром .

См. также

Примечания

^ Хва, Янг Ли (2017). Числа, конструируемые оригами (PDF) (магистерская диссертация). Университет Джорджии. стр. 55–59.
^ Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).
^ Пиковер, Клиффорд А., Книга математики , Стерлинг, 2009: стр. 150
^ Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратное утверждение теоремы Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.
^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
^ «Открытый справочник по математике» . Проверено 4 февраля 2014 г.
^ «Математические слова» .

^ Результаты для R = 1 и a = 1, полученные с помощью Maple с использованием определения функции:

f := proc (n)
options operator, arrow;
[
 [convert(1/4*n*cot(Pi/n), radical), convert(1/4*n*cot(Pi/n), float)],
 [convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), radical), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), float), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n)/Pi, float)],
 [convert(n*tan(Pi/n), radical), convert(n*tan(Pi/n), float), convert(n*tan(Pi/n)/Pi, float)]
]
end proc

Выражения для n = 16 получены двойным применением формулы тангенса полуугла к tan(π/4)

^ ⁠ ${\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)$ ⁠
^ ⁠ ${\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠
^ ⁠ ${\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)$ ⁠
^ ⁠ $4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)$ ⁠
^ ⁠ $16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)$ ⁠
^ ⁠ $5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠
^ ⁠ ${\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ ⁠
^ ⁠ $20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠
^ Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Смелый, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).
^ Каппрафф, Джей (2002). За пределами меры: экскурсия по природе, мифам и числам . Всемирная научная. п. 258. ИСБН 978-981-02-4702-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис. 3.
^ Правильные многогранники, стр.95
^ Коксетер, Плотности правильных многогранников II, 1932, стр.53

Ссылки

Ли, Хва Ён; «Числа, собираемые в технике оригами».
Коксетер, HSM (1948). Правильные многогранники . Метуэн и Ко.
Грюнбаум, Б.; Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Дискретны и вычисляемы. geom: Фестиваль Гудмана-Полака , Эд. Аронов и др., Springer (2003), стр. 461–488.
Пуансо, Л .; Память на многоугольники и многогранники. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), стр. 16–48.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Правильный многоугольник» . Математический мир .
Описание обычного многоугольника С интерактивной анимацией
Окружность правильного многоугольника с интерактивной анимацией
Площадь правильного многоугольника Три разные формулы с интерактивной анимацией
Конструкции правильных многоугольников художниками эпохи Возрождения в Конвергенции

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Хва, Янг Ли (2017). Числа, конструируемые оригами (PDF) (магистерская диссертация). Университет Джорджии. стр. 55–59.

[2] Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf

[Mamuka-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел» . Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355.

[Johnson-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (исходник: 1929).

[5] Пиковер, Клиффорд А., Книга математики , Стерлинг, 2009: стр. 150

[6] Чен, Чжибо и Лян, Тянь. «Обратное утверждение теоремы Вивиани», The College Mathematics Journal 37 (5), 2006, стр. 390–391.

[7] Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141

[8] «Открытый справочник по математике» . Проверено 4 февраля 2014 г.

[9] «Математические слова» .

[10] Результаты для R = 1 и a = 1, полученные с помощью Maple с использованием определения функции:
f := proc (n) options operator, arrow; [ [convert(1/4*n*cot(Pi/n), radical), convert(1/4*n*cot(Pi/n), float)], [convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), radical), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n), float), convert(1/2*n*sin(2*Pi/n)/Pi, float)], [convert(n*tan(Pi/n), radical), convert(n*tan(Pi/n), float), convert(n*tan(Pi/n)/Pi, float)] ] end proc
Выражения для n = 16 получены двойным применением формулы тангенса полуугла к tan(π/4)

[11] ⁠ ${\tfrac {15}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)$ ⁠

[12] ⁠ ${\tfrac {15}{16}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠

[13] ⁠ ${\tfrac {15}{2}}\left(3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\right)$ ⁠

[14] ⁠ $4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\right)$ ⁠

[15] ⁠ $16\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}-1\right)$ ⁠

[16] ⁠ $5\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠

[17] ⁠ ${\tfrac {5}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ ⁠

[18] ⁠ $20\left(1+{\sqrt {5}}-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)$ ⁠

[19] Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.

[Bold-20] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Смелый, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (оригинал 1969).

[21] Каппрафф, Джей (2002). За пределами меры: экскурсия по природе, мифам и числам . Всемирная научная. п. 258. ИСБН 978-981-02-4702-7 .

[Branko-22] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум (2003), рис. 3.

[23] Правильные многогранники, стр.95

[24] Коксетер, Плотности правильных многогранников II, 1932, стр.53

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]