Интеграл Лебега

Интеграл от положительной функции можно интерпретировать как площадь под кривой.

В математике интеграл площадь неотрицательной функции одной переменной в простейшем случае можно рассматривать как между графиком этой функции и X. осью Интеграл Лебега , названный в честь французского математика Анри Лебега , — это один из способов сделать эту концепцию строгой и распространить ее на более общие функции.

Интеграл Лебега является более общим, чем интеграл Римана , который он в значительной степени заменил в математическом анализе с первой половины 20-го века. Он может учитывать функции с разрывами, возникающими во многих приложениях, которые являются патологическими с точки зрения интеграла Римана. Интеграл Лебега также обычно имеет лучшие аналитические свойства. Например, в мягких условиях можно поменять местами пределы и интегрирование по Лебегу, а условия для этого с интегралом Римана сравнительно барочные. Более того, интеграл Лебега можно напрямую обобщить на более общие пространства, пространства с мерой , например те, которые возникают в теории вероятностей .

Термин «интеграция Лебега» может означать либо общую теорию интегрирования функции относительно общей меры , введенную Лебегом, либо частный случай интегрирования функции, определенной в подобласти действительной прямой относительно Мера Лебега .

Введение

Интеграл положительной вещественной функции f между границами a и b можно интерпретировать как площадь под графиком f между a и b . Это понятие площади соответствует некоторым функциям, в основном кусочно- непрерывным функциям, включая элементарные функции , например полиномы . Однако графики других функций, например функции Дирихле , плохо вписываются в понятие площади. Графики, подобные последнему, поднимают вопрос: для какого класса функций имеет смысл «площадь под кривой»? Ответ на этот вопрос имеет большое теоретическое значение.

В рамках общего движения к строгости математики в девятнадцатом веке математики попытались поставить интегральное исчисление на прочный фундамент. предложенный Интеграл Римана, Бернхардом Риманом (1826–1866), представляет собой широко успешную попытку обеспечить такую ​​основу. Определение Римана начинается с построения последовательности легко вычисляемых областей, сходящихся к интегралу заданной функции. Это определение удачно в том смысле, что оно дает ожидаемый ответ на многие уже решенные проблемы и дает полезные результаты для многих других проблем.

Однако интегрирование по Риману плохо взаимодействует с определением пределов последовательностей функций, что затрудняет анализ таких предельных процессов. Это важно, например, при изучении рядов Фурье , преобразований Фурье и других тем. Интеграл Лебега лучше описывает, как и когда можно брать пределы под знаком интеграла (с помощью теоремы о монотонной сходимости и теоремы о доминируемой сходимости ).

В то время как интеграл Римана рассматривает площадь под кривой как состоящую из вертикальных прямоугольников, определение Лебега рассматривает горизонтальные плиты, которые не обязательно являются просто прямоугольниками, и поэтому оно более гибкое. По этой причине определение Лебега позволяет вычислять интегралы для более широкого класса функций. Например, функция Дирихле, равная 1, если ее аргумент рационален , и 0 в противном случае, имеет интеграл Лебега, но не имеет интеграла Римана. Более того, интеграл Лебега этой функции равен нулю, что согласуется с интуицией, согласно которой при равномерном случайном выборе действительного числа из единичного интервала вероятность выбора рационального числа должна быть равна нулю.

Лебег резюмировал свой подход к интеграции в письме Полю Монтелю :

Я должен заплатить определенную сумму, которую я накопил в кармане. Я достаю из кармана купюры и монеты и передаю их кредитору в том порядке, в котором нахожу их, пока не наберу общую сумму. Это интеграл Римана. Но я могу поступить иначе. После того, как я вынул все деньги из кармана, я заказываю купюры и монеты одинакового достоинства и затем выплачиваю несколько пачек одну за другой кредитору. Это мой интеграл.

— Источник : ( Зигмунд-Шульце, 2008 г. )

Идея состоит в том, что нужно иметь возможность свободно переставлять значения функции, сохраняя при этом значение интеграла. Этот процесс перестройки может превратить очень патологическую функцию в «хорошую» с точки зрения интеграции и, таким образом, позволить таким патологическим функциям интегрироваться.

Интуитивная интерпретация

Показана измеримая функция вместе с множеством { x : f ( x ) > t } (на оси x ). Интеграл Лебега получается путем разрезания по оси y с использованием одномерной меры Лебега для измерения «ширины» срезов.

Фолланд (1999) суммирует разницу между подходами Римана и Лебега следующим образом: «чтобы вычислить интеграл Римана от f , нужно разбить область [ a , b ] на подинтервалы», тогда как в интеграле Лебега «фактически разделяют диапазон f ."

Для интеграла Римана область разбивается на интервалы, а столбцы строятся в соответствии с высотой графика. Площади этих полос складываются, и это аппроксимирует интеграл, по сути, путем суммирования площадей формы f ( x ) dx , где f ( x ) — высота прямоугольника, а dx — его ширина.

Для интеграла Лебега диапазон разбивается на интервалы, поэтому область под графиком разбивается на горизонтальные «плиты» (которые могут не быть связными множествами). Площадь небольшой горизонтальной «плиты» под графиком f высотой dy равна произведению ширины плиты на dy : $$\mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.$$Затем интеграл Лебега можно определить путем сложения площадей этих горизонтальных плит. С этой точки зрения ключевое отличие от интеграла Римана состоит в том, что «плиты» больше не являются прямоугольными (декартовы произведения двух интервалов), а представляют собой декартовы произведения измеримого множества с интервалом.

Простые функции

Интеграция по Риману (вверху) и Лебегу (внизу) сглаженных ежедневных данных о случаях заболевания COVID-19 в Сербии (лето-осень 2021 г.).

Эквивалентный способ введения интеграла Лебега — использовать так называемые простые функции , которые обобщают ступенчатые функции интегрирования Римана. Рассмотрим, например, определение совокупного числа случаев COVID-19 по графику сглаженных случаев каждый день (справа).

Подход Римана-Дарбу

Разделите домен (период времени) на интервалы (восемь в примере справа) и постройте столбцы с высотой, соответствующей графику. Совокупное количество определяется путем суммирования по всем столбцам произведения ширины интервала (время в днях) и высоты столбца (случаев в день).

Подход Лебега

Выберите конечное число целевых значений (восемь в примере) в диапазоне функции. Построив столбцы с высотой, равной этим значениям, но ниже функции, подразумевают разбиение области на одинаковое количество подмножеств (подмножества, обозначенные в примере цветом, соединять не обязательно). Это «простая функция», как описано ниже. Совокупное количество определяется путем суммирования по всем подмножествам домена произведения показателя в этом подмножестве (общее время в днях) и высоты столбца (случаев в день).

Связь между точками зрения

Интеграл Лебега можно представить либо в терминах плит , либо в виде простых функций . Интуитивно понятно, что область под простой функцией можно разделить на плиты на основе (конечного) набора значений в диапазоне простой функции (действительного интервала). И наоборот, (конечный) набор плит в нижнем графике функции может быть перестроен после конечного перераспределения, чтобы стать нижним графиком простой функции.

Точка зрения плит позволяет легко определить интеграл Лебега с точки зрения базового исчисления. Предположим, что $f$ представляет собой (измеримую по Лебегу) функцию, принимающую неотрицательные значения (возможно, включая $+\infty$). Определим функцию распределения $f$ как «ширина плиты», т. е. $$F(y)=\mu \{x|f(x)>y\}.$$Затем $F(y)$ монотонно убывает и неотрицательен и, следовательно, имеет (несобственный) интеграл Римана по $(0,\infty )$. Тогда интеграл Лебега можно определить формулой $$\int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }F(y)\,dy$$где интеграл справа представляет собой обычный несобственный интеграл Римана от неотрицательной функции (интерпретируемый соответствующим образом как $+\infty$ если $F(y)=+\infty$ в окрестности 0).

Однако в большинстве учебников упор делается на точку зрения простых функций , поскольку тогда проще доказать основные теоремы об интеграле Лебега.

Теория меры

Дополнительная информация: Мера (математика).

Теория меры изначально была создана для того, чтобы дать полезную абстракцию понятия длины подмножеств реальной линии и, в более общем смысле, площади и объема подмножеств евклидовых пространств. В частности, это дало систематический ответ на вопрос, какие подмножества R имеют длину. Как теории множеств показали более поздние разработки (см. «Неизмеримое множество »), на самом деле невозможно присвоить длину всем подмножествам R таким образом, чтобы сохранить некоторые естественные свойства аддитивности и трансляционной инвариантности. Это говорит о том, что выбор подходящего класса измеримых подмножеств является важной предпосылкой.

Интеграл Римана явно использует понятие длины. Действительно, элементом расчета интеграла Римана является прямоугольник [ a , b ] × [ c , d ] , площадь которого рассчитывается как ( b - a )( d - c ) . Величина b − a — это длина основания прямоугольника, а d — c — высота прямоугольника. Риман мог использовать только плоские прямоугольники для аппроксимации площади под кривой, поскольку не существовало адекватной теории для измерения более общих множеств.

В развитии теории в большинстве современных учебников (после 1950 г.) подход к измерению и интегрированию является аксиоматическим . Это означает, что мерой является любая функция µ, определенная на определенном классе X подмножеств множества E , которая удовлетворяет определенному списку свойств. Можно показать, что эти свойства сохраняются во многих различных случаях.

Измеримые функции

Мы начнем с пространства меры ( E , X , µ ), где E — множество , X — σ-алгебра подмножеств E , а µ — (неотрицательная ) мера на E , на множествах X. определенная

Например, E может быть евклидовым n -пространством R ^н или некоторое измеримое по Лебегу его подмножество, X — σ-алгебра всех измеримых по Лебегу подмножеств E , а µ — мера Лебега. В математической теории вероятностей мы ограничиваем наше исследование вероятностной мерой µ , которая удовлетворяет условию µ ( E ) = 1 .

Теория Лебега определяет интегралы для класса функций, называемых измеримыми функциями . Действительная функция f на E измерима, если прообраз каждого интервала формы ( t , ∞) находится в X :

$$\{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .$$

Мы можем показать, что это эквивалентно требованию, чтобы прообраз любого борелевского подмножества R находился в X . Множество измеримых функций замкнуто относительно алгебраических операций, но, что более важно, оно замкнуто относительно различных видов поточечных последовательных пределов :

$$\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}$$

измеримы, если исходная последовательность fk ) ₍ , где k ∈ N , состоит из измеримых функций.

Существует несколько подходов к определению интеграла для измеримых вещественных функций f, определенных на E , и для обозначения такого интеграла используются несколько обозначений.

$$\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f(x)\,d\mu (x)=\int _{E}f(x)\,\mu (dx).$$

После отождествления в теории распределения мер с распределениями порядка 0 или с мерами Радона можно также использовать двойственное парное обозначение и записать интеграл по µ в виде

$$\langle \mu ,f\rangle .$$

Определение

Теория интеграла Лебега требует теории измеримых множеств и мер на этих множествах, а также теории измеримых функций и интегралов от этих функций.

Через простые функции

Приближение функции простой функцией.

Один из подходов к построению интеграла Лебега состоит в использовании так называемых простых функций : конечных вещественных линейных комбинаций индикаторных функций . Простые функции, которые лежат непосредственно под заданной функцией f, могут быть построены путем разделения диапазона f на конечное число слоев. Пересечение графика f со слоем идентифицирует набор интервалов в области f , которые, вместе взятые, определяются как прообраз нижней границы этого слоя под простой функцией. Таким образом, разделение диапазона f подразумевает разделение его области определения. Интеграл от простой функции находится суммированием по этим (не обязательно связным) подмножествам области произведения меры подмножества и его образа под простой функцией (нижняя граница соответствующего слоя); интуитивно это произведение представляет собой сумму площадей всех столбцов одинаковой высоты. Тогда интеграл неотрицательной общей измеримой функции определяется как подходящая супремум приближений простыми функциями, а интеграл от (не обязательно положительной) измеримой функции — это разность двух интегралов от неотрицательных измеримых функций.

Функции индикатора

Чтобы присвоить значение интегралу индикаторной функции 1 _S измеримого множества S, согласующееся с заданной мерой µ , единственный разумный выбор состоит в том, чтобы установить:

$$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).$$

Обратите внимание, что результат может быть равен +∞ , если только µ не является конечной мерой.

Простые функции

Конечная линейная комбинация индикаторных функций

$$\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}$$

коэффициенты ak _— действительные числа, а Sk _где — непересекающиеся измеримые множества, называется измеримой простой функцией . Распространим интеграл по линейности на неотрицательные измеримые простые функции. Когда коэффициенты a _k положительны, полагаем

$$\int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})$$

конечна ли эта сумма или +∞. Простую функцию можно по-разному записать как линейную комбинацию индикаторных функций, но интеграл будет одинаковым в силу аддитивности мер.

При определении интеграла простой функции с действительным знаком необходима некоторая осторожность , чтобы избежать неопределенного выражения ∞ − ∞ : предполагается, что представление

$$f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}$$

таков, что µ( S _k ) < ∞ всякий раз, когда a _k ≠ 0 . Тогда приведенная выше формула для интеграла от f имеет смысл, и результат не зависит от конкретного представления f, удовлетворяющего предположениям.

Если B — измеримое подмножество E , а s — измеримая простая функция, определяют

$$\int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).$$

Неотрицательные функции

Пусть f — неотрицательная измеримая функция на E , которой мы позволяем достичь значения +∞ , другими словами, f принимает неотрицательные значения в расширенной строке действительных чисел . Мы определяем

$$\int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.$$

Нам нужно показать, что этот интеграл совпадает с предыдущим, определенным на множестве простых функций, когда E является отрезком [ a , b ] . Возникает также вопрос, соответствует ли это каким-либо образом римановскому понятию интеграции. Можно доказать, что ответ на оба вопроса – да.

Мы определили интеграл от f для любой неотрицательной расширенной измеримой функции с действительным знаком на E . Для некоторых функций этот интеграл ${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$ бесконечен.

Часто бывает полезно иметь определенную последовательность простых функций, которая хорошо аппроксимирует интеграл Лебега (аналогично сумме Римана). Для неотрицательной измеримой функции f пусть ${\textstyle s_{n}(x)}$ — простая функция, значение которой равно ${\textstyle k/2^{n}}$ в любое время ${\textstyle k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}}$, для k - целое неотрицательное число, меньшее, скажем, ${\textstyle 4^{n}}$. Тогда можно непосредственно доказать, что $$\int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu$$и что предел в правой части существует как расширенное действительное число. Это соединяет связь между подходом к интегралу Лебега с использованием простых функций и мотивацией для интеграла Лебега с использованием разделения диапазона.

Знаковые функции

Для обработки подписанных функций нам нужно еще несколько определений. Если f — измеримая функция множества E относительно действительных чисел (включая ±∞ ), то мы можем написать $$f=f^{+}-f^{-},$$

где $${\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{if }}f(x)>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что оба f ⁺ и е ⁻ являются неотрицательными измеримыми функциями. Также обратите внимание, что

$$|f|=f^{+}+f^{-}.$$

Будем говорить, что интеграл Лебега измеримой функции f существует или определен , если хотя бы один из ${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$ и ${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$ конечно:

$$\min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .$$

В этом случае мы определяем

$$\int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .$$

Если

$$\int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,$$

мы говорим, что f интегрируема по Лебегу .

Оказывается, это определение дает желаемые свойства интеграла.

Через несобственный интеграл Римана

См. Также: Представление слоеного торта.

Предполагая, что f измерима и неотрицательна, функция $$f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right).$$монотонно не возрастает. Тогда интеграл Лебега можно определить как несобственный интеграл Римана от f ^∗ : $$\int _{E}f\,d\mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt.$$Этот интеграл несобственен в верхнем пределе ∞ и, возможно, также в нуле. Оно существует, с той лишь разницей, что оно может быть бесконечным.

Как и выше, интеграл интегрируемой по Лебегу (не обязательно неотрицательной) функции определяется путем вычитания интеграла из ее положительной и отрицательной частей.

Комплексные функции

Комплексные функции можно интегрировать аналогичным образом, рассматривая действительную и мнимую части отдельно.

Если h = f + ig для вещественнозначных интегрируемых функций f , g , то интеграл от h определяется формулой $$\int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu .$$

Функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда ее абсолютное значение интегрируемо по Лебегу (см. Абсолютно интегрируемая функция ).

Пример

Рассмотрим индикаторную функцию рациональных чисел 1 _Q , также известную как функция Дирихле. Эта функция нигде не непрерывна .

• $1_{\mathbf {Q} }$ не интегрируется по Риману на [0, 1] : независимо от того, как множество [0, 1] разделено на подинтервалы, каждое разделение содержит по крайней мере одно рациональное и хотя бы одно иррациональное число, поскольку рациональные и иррациональные числа плотны в Реалы. Таким образом, все верхние суммы Дарбу равны единице, а все нижние суммы Дарбу равны нулю.
• $1_{\mathbf {Q} }$ интегрируема по Лебегу на [0, 1] с использованием меры Лебега : действительно, это индикаторная функция рациональных чисел, поэтому по определению $$\int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,$$ потому Q счетно что .

Область интеграции

Техническая проблема интеграции Лебега заключается в том, что область интегрирования определяется как множество (подмножество пространства меры) без понятия ориентации. В элементарном исчислении интегрирование определяется по ориентации : $$\int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.$$Обобщение этого на более высокие измерения дает интеграцию дифференциальных форм . Напротив, интеграция Лебега обеспечивает альтернативное обобщение, интегрирование по подмножествам по мере; это можно обозначить как $$\int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu$$чтобы указать интегрирование по подмножеству A . Подробную информацию о связи между этими обобщениями см. в разделе «Дифференциальная форма § Связь с мерами» . Основная теория, связывающая эти идеи, — это теория гомологической интеграции (иногда называемая теорией геометрической интеграции), впервые разработанная Жоржем де Рамом и Хасслером Уитни .

Ограничения интеграла Римана

С появлением рядов Фурье возникло множество аналитических задач, связанных с интегралами, удовлетворительное решение которых требовало замены предельных процессов и знаков интегралов. Однако условия, при которых интегралы

$$\sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx,\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx$$

равны, что оказалось весьма неуловимым в рамках теории Римана. Есть и другие технические трудности с интегралом Римана. Они связаны с обсуждавшейся выше трудностью принятия лимитов.

Нарушение монотонной сходимости

Как было показано выше, индикаторная функция 1 _Q на рациональных числах не интегрируема по Риману. В частности, не работает теорема о монотонной сходимости . Чтобы понять почему, пусть { a _k } будет перечислением всех рациональных чисел в [0, 1] (они счетны, поэтому это можно сделать ). Тогда пусть $$g_{k}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=a_{j},j\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Функция gk _равна нулю всюду, кроме конечного множества точек. Следовательно, его интеграл Римана равен нулю. Каждая g _k неотрицательна, и эта последовательность функций монотонно возрастает, но ее предел при k → ∞ равен 1 _Q , что не интегрируется по Риману.

Непригодность для неограниченных интервалов

Интеграл Римана может интегрировать функции только на ограниченном интервале. Однако его можно расширить до неограниченных интервалов, взяв пределы, если это не дает ответа, такого как ∞ − ∞ .

Интеграция в структурах, отличных от евклидова пространства

Интеграл Римана неразрывно связан с порядковой структурой действительной линии.

Основные теоремы интеграла Лебега

Говорят, что две функции равны почти всюду ( $f\ {\stackrel {\text{a.e.}}{=}}\ g$ короче) если $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ является подмножеством нулевого множества . Измеримость множества $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ не требуется .

Следующие теоремы доказаны в большинстве учебников по теории меры и интегрированию Лебега.

• Если f и g — неотрицательные измеримые функции (возможно, принимающие значение +∞ ) такие, что f = g почти всюду, то $$\int f\,d\mu =\int g\,d\mu .$$ А именно, интеграл соблюдает отношение эквивалентности равенства почти всюду.
• Если f и g — такие функции, что f = g почти всюду, то f интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда g интегрируема по Лебегу, а интегралы от f и g одинаковы, если они существуют.
• Линейность : если f и g — интегрируемые по Лебегу функции, а a и b — действительные числа, то af + bg интегрируемо по Лебегу и $$\int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .$$
• Монотонность : если f ≤ g , то $$\int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .$$
• Теорема о монотонной сходимости : предположим, что { f _k } _{k ∈ N} — последовательность неотрицательных измеримых функций такая, что $$f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.$$ Тогда поточечный предел f функции fk _и измерим по Лебегу $$\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .$$ Значение любого из интегралов может быть бесконечным.
• Лемма Фату : если { f _k } _{k ∈ N} — последовательность неотрицательных измеримых функций, то $$\int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .$$ Опять же, значение любого из интегралов может быть бесконечным.
• Теорема о доминируемой сходимости : предположим, что { f _k } _{k ∈ N} — последовательность комплексных измеримых функций с поточечным пределом f и существует интегрируемая по Лебегу функция g (т. е. g принадлежит пространству L ¹ ) такой, что | ж _к | ≤ g для всех k . Тогда f интегрируемо по Лебегу и $$\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .$$

Необходимые и достаточные условия замены пределов и интегралов были доказаны Кафьеро. обобщая ранние работы Ренато Каччиопполи, Владимира Дубровского и Гаэтано Фичера.

Альтернативные составы

Интеграл по мере Лебега можно построить, не опираясь на весь аппарат теории меры. Один из таких подходов обеспечивается интегралом Даниэля .

Существует также альтернативный подход к разработке теории интегрирования методами функционального анализа . Интеграл Римана существует для любой непрерывной функции f с компактным носителем, определенной на R ^н (или фиксированное открытое подмножество). На основе этих интегралов можно построить интегралы от более общих функций.

Пусть C _c — пространство всех вещественных непрерывных функций R с компактным носителем . Определим норму на C _c формулой $$\left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.$$

Тогда C _c является нормированным векторным пространством (и, в частности, метрическим пространством). Все метрические пространства имеют хаусдорфовые пополнения , поэтому пусть L ¹ быть его завершением. Это пространство изоморфно пространству интегрируемых по Лебегу функций по модулю подпространства функций с целым нулем. Более того, интеграл Римана ∫ является равномерно непрерывным функционалом по норме на C _c , который плотен в L ¹ . Следовательно, ∫ имеет единственное расширение на все L ¹ . Этот интеграл и есть интеграл Лебега.

В более общем смысле, когда пространство с мерой, на котором определены функции, также является локально компактным топологическим пространством (как в случае с действительными числами R ), меры, совместимые с топологией в подходящем смысле ( меры Радона , из которых мера Лебега является примером) интеграл по ним можно определить таким же образом, исходя из интегралов от непрерывных функций с компактным носителем . Точнее, функции с компактным носителем образуют векторное пространство , несущее естественную топологию , а мера (Радона) определяется как непрерывный линейный функционал на этом пространстве. Тогда значение меры функции с компактным носителем также по определению является интегралом функции. Затем меру (интеграл) расширяют до более общих функций по непрерывности и определяют меру множества как интеграл от его индикаторной функции. Именно такого подхода придерживается Николя Бурбаки. и некоторое количество других авторов. Подробности см. в разделе «Радоновые меры» .

Ограничения интеграла Лебега

Основная цель интеграла Лебега - предоставить понятие интеграла, при котором пределы интегралов соблюдаются при мягких предположениях. Нет никакой гарантии, что каждая функция интегрируема по Лебегу. Но может случиться так, что несобственные интегралы существуют для функций, не интегрируемых по Лебегу. Одним из примеров может быть функция sinc : $$\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}$$по всей реальной линии. Эта функция не интегрируема по Лебегу, так как $$\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .$$С другой стороны, ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$ существует как несобственный интеграл и может быть вычислен как конечный; он вдвое превышает интеграл Дирихле и равен $\pi$.

См. также

• Анри Лебег за нетехническое описание интеграции Лебега.
• Нулевой набор
• Интеграция
• Мера
• Сигма-алгебра
• Лебеговое пространство
• Интеграция Лебега – Стилтьеса
• Интеграл Римана
• Интеграл Хенстока – Курцвейла

Ссылки

• Бартл, Роберт Г. (1995). Элементы интегрирования и мера Лебега . Библиотека классической литературы Уайли. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN  0-471-04222-6 . МР   1312157 .
• Бауэр, Хайнц (2001). Теория измерения и интегрирования . Исследования Де Грюйтера по математике 26. Берлин: Де Грюйтер. 236. ИСБН  978-3-11-016719-1 .
• Бурбаки, Николя (2004). Интеграция. I. Главы 1–6. Переведено с французских оригиналов 1959, 1965 и 1967 годов Стерлингом К. Берберианом . Элементы математики (Берлин). Берлин: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN  3-540-41129-1 . МР   2018901 .
• Дадли, Ричард М. (1989). Реальный анализ и вероятность . Серия по математике Уодсворта и Брукса / Коула. Пасифик Гроув, Калифорния: Книги и программное обеспечение Wadsworth & Brooks/Cole Advanced. xii+436. ISBN  0-534-10050-3 . МР   0982264 . Очень тщательное рассмотрение, особенно для вероятностных специалистов с хорошими заметками и историческими ссылками.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: Современные методы и их применение . Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк) (второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN  0-471-31716-0 . МР   1681462 .
• Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: D. Van Nostand Company, Inc., стр. xi+304. МР   0033869 . Классическое, хотя и несколько устаревшее изложение.
• «Интеграл Лебега» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Лебег, Анри (1904), Уроки интегрирования и поиска примитивных функций , Париж: Готье-Виллар
• Лебег, Анри (1972). Научные труды (в пяти томах) (на французском языке). Женева: Институт математики Женевского университета. п. 405. МР   0389523 .
• Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике . Том. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN  978-0821827833 .
• Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ . Торонто-Нью-Йорк-Лондон: D. Van Nostand Company, Inc., стр. x+190. МР   0054173 . Включает представление интеграла Дэниела.
• Марсден (1974), Элементарный классический анализ , WH Freeman .
• Манро, Мэн (1953). Введение в измерение и интегрирование . Кембридж, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company Inc., стр. x+310. МР   0053186 . Хорошее изложение теории внешних мер.
• Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Издательская компания Macmillan. стр. хх+444. ISBN  0-02-404151-3 . МР   1013117 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (Третье изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., стр. x +342. МР   0385023 . Известная как «Маленький Руден» , содержит основы теории Лебега, но не рассматривает такой материал, как теорема Фубини .
• Рудин, Вальтер (1966). Реальный и комплексный анализ . Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co., стр. xi+412. МР   0210528 . Известен как Большой Рудин . Полное и тщательное изложение теории. Хорошее изложение теорем о продолжении Рисса. Однако имеется небольшой недостаток (в первом издании) в доказательстве одной из теорем продолжения, обнаружение которого составляет упражнение 21 главы 2.
• Сакс, Станислав (1937). Теория интеграла . Математические монографии. Том 7 (2-е изд.). Варшава – Львов : GE Stechert & Co. ЖФМ   63.0183.05 . Збл   0017.30004 . . Английский перевод Лоуренса Чизхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха .
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1977). Интеграл, мера и производная: единый подход. Переведено с русского и отредактировано Ричардом А. Сильверманом . Дуврские книги по высшей математике. Нью-Йорк: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN  0-486-63519-8 . МР   0466463 . Подчеркивает интеграл Даниэля .
• Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2008), «Анри Лебег», Тимоти Гауэрс; Джун Барроу-Грин; Имре Лидер (ред.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press .
• Тешл, Джеральд . Темы реального и функционального анализа . (конспекты лекций).
• Уитни, Х. (1957), Теория геометрического интегрирования , Принстонская математическая серия, том. 21, Принстон, Нью-Джерси и Лондон: Princeton University Press и Oxford University Press , стр. XV+387, MR   0087148 , Zbl   0083.28204 .
• Да, Джеймс (2006). Реальный анализ: теория меры и интеграл 2-й. Издание в мягкой обложке . Сингапур: World Scientific Publishing Company Pte. ООО с. 760. ИСБН  978-981-256-6 .