✖


Jump to content

Математика

Edit links
Страница полузащищена
«Математика» и «Математика» перенаправляются сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Математика (значения) и Математика (значения) .

Часть серии о
Математика
Области
Связь с науками
Математический портал

Математика — это область исследования, которая открывает и систематизирует методы, теории и теоремы , которые разрабатываются и доказываются для нужд эмпирических наук и самой математики. Существует множество областей математики, которые включают теорию чисел (изучение чисел), алгебру (изучение формул и связанных с ними структур), геометрию (изучение фигур и пространств, которые их содержат), анализ (изучение непрерывных изменений), и теория множеств (в настоящее время используемая в качестве основы всей математики).

Математика включает в себя описание и манипулирование абстрактными объектами , которые состоят либо из абстракций природы, либо – в современной математике – из чисто абстрактных сущностей, которым предписано обладать определенными свойствами, называемыми аксиомами . Математика использует чистый разум для доказательства свойств объектов, доказательство состоит из последовательности применений правил дедукции к уже установленным результатам. Эти результаты включают ранее доказанные теоремы , аксиомы и — в случае абстрагирования от природы — некоторые основные свойства, которые считаются истинными отправными точками рассматриваемой теории. [1]

Математика важна в естественных науках , технике , медицине , финансах , информатике и социальных науках . Хотя математика широко используется для моделирования явлений, фундаментальные истины математики не зависят от каких-либо научных экспериментов. Некоторые области математики, такие как статистика и теория игр , развиваются в тесной связи со своими приложениями и часто группируются в рамках прикладной математики . Другие области развиваются независимо от какого-либо приложения (и поэтому называются чистой математикой ), но часто позже находят практическое применение. [2] [3]

Исторически концепция доказательства и связанная с ним математическая строгость впервые появились в греческой математике , особенно в «Началах» Евклида . [4] С самого начала математика в основном разделялась на геометрию и арифметику (манипуляции с натуральными числами и дробями ), вплоть до 16 и 17 веков, когда алгебра [а] и исчисление бесконечно малых были введены как новые области. С тех пор взаимодействие математических инноваций и научных открытий привело к соответствующему росту развития и того, и другого. [5] В конце XIX века фундаментальный кризис математики привел к систематизации аксиоматического метода . [6] что ознаменовало резкий рост числа математических направлений и областей их применения. Современная предметная классификация математики насчитывает более шестидесяти областей математики первого уровня.

Этимология

Слово математика происходит от древнегреческого máthēma ( μάθημα ), что означает «то, что изучается». [7] «то, что познаешь», отсюда также «изучение» и «наука». Это слово стало иметь более узкое и техническое значение «математическое исследование» даже в классические времена . [б] Его прилагательное — mathēmatikós ( μαθηματικός ), что означает «связанный с обучением» или «прилежный», что в дальнейшем также стало означать «математический». [11] В частности, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθαμητικὴ τέχνη ; латынь : ars mathematica ) означало «математическое искусство». [7]

Точно так же одна из двух основных школ пифагорейства была известна как математика (μαθηματικοί), что в то время означало «ученики», а не «математики» в современном смысле. Пифагорейцы, вероятно, были первыми, кто ограничил использование этого слова только изучением арифметики и геометрии. Ко времени Аристотеля (384–322 гг. до н. э.) это значение полностью утвердилось. [12]

На латыни и английском языке примерно до 1700 года термин «математика» чаще означал « астрологию » (или иногда « астрономию »), а не «математику»; значение постепенно изменилось на нынешнее примерно с 1500 по 1800 год. Это изменение привело к нескольким неправильным переводам: например, Святого Августина предупреждение о том, что христианам следует остерегаться mathematici , что означает «астрологи», иногда неправильно переводится как осуждение математиков. . [13]

Очевидная форма множественного числа в английском языке восходит к латинскому среднему множественному числу mathematica ( Cicero ), основанному на греческом множественном числе ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ) и примерно означает «все математические вещи», хотя вполне вероятно, что английский язык заимствовал только прилагательное математика ( al) и образовал существительное математика заново, по образцу физики и метафизики , унаследованному от греческого. [14] В английском языке существительное математика имеет глагол в единственном числе. Его часто сокращают до математики. [15] или, в Северной Америке, математика . [16]

Области математики

До эпохи Возрождения математика была разделена на две основные области: арифметику, касающуюся манипуляций с числами, и геометрию , касающуюся изучения форм. [17] Некоторые виды лженауки , такие как нумерология и астрология, тогда еще не были четко отделены от математики. [18]

В эпоху Возрождения появились еще два направления. Математическая запись привела к алгебре и манипулирования ими , которая, грубо говоря, состоит из изучения формул . Исчисление , состоящее из двух подполей: дифференциальное исчисление и интегральное исчисление , представляет собой изучение непрерывных функций , которые моделируют обычно нелинейные отношения между различными величинами, представленными переменными . Это деление на четыре основные области – арифметику, геометрию, алгебру, исчисление. [19] – просуществовало до конца XIX века. Такие области, как небесная механика и механика твердого тела, тогда изучались математиками, но сейчас считаются принадлежащими физике. [20] Предмет комбинаторики изучался на протяжении большей части письменной истории, но не стал отдельной отраслью математики до семнадцатого века. [21]

В конце XIX века фундаментальный кризис математики и связанная с ним систематизация аксиоматического метода привели к взрыву новых областей математики. [22] [6] 2020 года Предметный классификатор математики содержит не менее шестидесяти трех областей первого уровня. [23] Некоторые из этих областей соответствуют старому разделу, как и в случае теории чисел (современное название высшей арифметики ) и геометрии. Некоторые другие области первого уровня имеют в своих названиях слово «геометрия» или по другим причинам обычно считаются частью геометрии. Алгебра и исчисление не относятся к областям первого уровня, а соответственно разделены на несколько областей первого уровня. Другие области первого уровня возникли в 20 веке или ранее не считались математикой, например математическая логика и основы . [24]

Теория чисел

Основная статья: Теория чисел
Это спираль Улама , которая иллюстрирует распределение простых чисел . Темные диагональные линии на спирали намекают на предполагаемую приблизительную независимость между тем, чтобы быть простым и быть значением квадратичного многочлена, гипотеза, теперь известная как гипотеза Харди и Литтлвуда F.

Теория чисел началась с манипуляций с числами , то есть натуральными числами. и позже расширен до целых чисел и рациональные числа Теорию чисел когда-то называли арифметикой, но в настоящее время этот термин в основном используется для числовых вычислений . [25] Теория чисел восходит к древнему Вавилону и, вероятно, к Китаю . Двумя выдающимися ранними теоретиками чисел были Евклид из Древней Греции и Диофант Александрийский. [26] Современное исследование теории чисел в ее абстрактной форме во многом приписывается Пьеру де Ферма и Леонарду Эйлеру . Эта область достигла полного развития благодаря вкладу Адриана-Мари Лежандра и Карла Фридриха Гаусса . [27]

Многие легко сформулированные числовые задачи имеют решения, требующие сложных методов, часто на основе математических методов. Ярким примером является Великая теорема Ферма . Эта гипотеза была высказана в 1637 году Пьером де Ферма, но доказана она была только в 1994 году Эндрю Уайлсом , который использовал такие инструменты, как теория схем из алгебраической геометрии , теория категорий и гомологическая алгебра . [28] Другим примером является гипотеза Гольдбаха , которая утверждает, что каждое четное целое число больше 2 является суммой двух простых чисел . Высказанная в 1742 году Кристианом Гольдбахом , она остается недоказанной, несмотря на значительные усилия. [29]

Теория чисел включает в себя несколько подразделов, включая аналитическую теорию чисел , теорию алгебраических чисел , геометрию чисел (методически-ориентированную), диофантовы уравнения и теорию трансцендентности (проблемно-ориентированную). [24]

Геометрия

Основная статья: Геометрия
На поверхности сферы евклидова геометрия применяется только как локальное приближение. Для больших масштабов сумма углов треугольника не равна 180°.

Геометрия – один из древнейших разделов математики. Все началось с эмпирических рецептов форм, таких как линии , углы и круги , которые были разработаны в основном для нужд геодезии и архитектуры , но с тех пор распространились на многие другие области. [30]

Фундаментальным нововведением было введение древними греками концепции доказательств , которая требует, чтобы каждое утверждение было доказано . Например, недостаточно проверить путем измерения , что, скажем, две длины равны; их равенство должно быть доказано посредством рассуждений на основе ранее принятых результатов ( теорем ) и нескольких основных утверждений. Основные утверждения не подлежат доказательству, поскольку они самоочевидны ( постулаты ), либо являются частью определения предмета исследования ( аксиомы ). Этот принцип, лежащий в основе всей математики, был впервые разработан для геометрии и систематизирован Евклидом около 300 г. до н.э. в его книге «Начала» . [31] [32]

Результирующая евклидова геометрия — это изучение форм и их расположений, построенных из линий, плоскостей и кругов на евклидовой плоскости ( плоская геометрия ) и трёхмерном евклидовом пространстве . [с] [30]

Евклидова геометрия развивалась без изменения методов и масштабов до 17 века, когда Рене Декарт ввел то, что сейчас называется декартовыми координатами . Это представляло собой серьезное изменение парадигмы : вместо определения действительных чисел как длин отрезков линий (см. числовую линию ) это позволило представлять точки, используя их координаты , которые являются числами. Таким образом, алгебру (а позже и исчисление) можно использовать для решения геометрических задач. Геометрия была разделена на два новых подполя: синтетическую геометрию , которая использует чисто геометрические методы, и аналитическую геометрию , которая использует координаты системно. [33]

Аналитическая геометрия позволяет изучать кривые, не связанные с кругами и линиями. Такие кривые можно определить как графики функций , изучение которых привело к дифференциальной геометрии . Их также можно определить как неявные уравнения , часто полиномиальные уравнения (которые породили алгебраическую геометрию ). Аналитическая геометрия также позволяет рассматривать евклидовы пространства более трех измерений. [30]

В 19 веке математики открыли неевклидовы геометрии , которые не следуют постулату параллельности . Ставя под сомнение истинность этого постулата, это открытие рассматривалось как присоединение к парадоксу Рассела в раскрытии фундаментального кризиса математики . Этот аспект кризиса был решен путем систематизации аксиоматического метода и принятия того, что истинность выбранных аксиом не является математической проблемой. [34] [6] В свою очередь, аксиоматический метод позволяет изучать различные геометрии, полученные либо путем изменения аксиом, либо путем рассмотрения свойств, не изменяющихся при конкретных преобразованиях пространства . [35]

Сегодняшние разделы геометрии включают: [24]

Алгебра

Основная статья: Алгебра
обратитесь к подписи
Квадратная формула , кратко выражающая решения всех квадратных уравнений
Перетасованный кубик Рубика 3х3.
— Группа кубика Рубика это конкретное применение теории групп . [36]

Алгебра – это искусство работы с уравнениями и формулами. Диофант (3 век) и аль-Хорезми (9 век) были двумя главными предшественниками алгебры. [37] [38] Диофант решал некоторые уравнения, включающие неизвестные натуральные числа, выводя новые соотношения, пока не получил решение. [39] Аль-Хорезми представил систематические методы преобразования уравнений, такие как перемещение члена из одной части уравнения в другую. [40] Термин «алгебра» происходит от арабского слова «аль-джабр» , означающего «воссоединение сломанных частей», которое он использовал для обозначения одного из этих методов в названии своего основного трактата . [41] [42]

Алгебра стала отдельной областью только после Франсуа Вьета (1540–1603), который ввел использование переменных для представления неизвестных или неуказанных чисел. [43] Переменные позволяют математикам описывать операции, которые необходимо проделать с числами, представленными с помощью математических формул . [44]

До 19 века алгебра состояла в основном из изучения линейных уравнений (ныне линейная алгебра ) и полиномиальных уравнений с одним неизвестным , которые назывались алгебраическими уравнениями (термин используется до сих пор, хотя он может быть неоднозначным). В 19 веке математики начали использовать переменные для представления вещей, отличных от чисел (таких как матрицы , модульные целые числа и геометрические преобразования ), над которыми часто справедливы обобщения арифметических операций. [45] концепция алгебраической структуры К этому относится , состоящей из набора , элементы которого не определены, операций, действующих над элементами набора, и правил, которым эти операции должны следовать. Таким образом, сфера алгебры расширилась и включила изучение алгебраических структур. Этот объект алгебры был назван современной алгеброй или абстрактной алгеброй , как установлено влиянием и работами Эмми Нётер . [46]

Некоторые типы алгебраических структур обладают полезными и часто фундаментальными свойствами во многих областях математики. Их изучение стало автономными частями алгебры и включает: [24]

Изучение типов алгебраических структур как математических объектов — цель универсальной алгебры и теории категорий . [47] Последнее применимо к любой математической структуре (не только алгебраической). Изначально она была введена вместе с гомологической алгеброй для обеспечения алгебраического исследования неалгебраических объектов, таких как топологические пространства ; эта конкретная область применения называется алгебраической топологией . [48]

Расчет и анализ

Основные статьи: Исчисление и математический анализ
Последовательность Коши состоит из таких элементов, что все последующие члены термина становятся сколь угодно близкими друг к другу по мере продвижения последовательности (слева направо).

Исчисление, ранее называвшееся исчислением бесконечно малых, было введено независимо и одновременно математиками 17-го века Ньютоном и Лейбницем . [49] По сути, это изучение взаимосвязей переменных, которые зависят друг от друга. Исчисление было расширено в 18 веке Эйлером с введением понятия функции и многими другими результатами. [50] В настоящее время «исчисление» относится главным образом к элементарной части этой теории, а «анализ» обычно используется для более сложных частей. [51]

Анализ далее подразделяется на реальный анализ , где переменные представляют собой действительные числа , и комплексный анализ , где переменные представляют собой комплексные числа . Анализ включает в себя множество подобластей, общих для других областей математики, в том числе: [24]

Дискретная математика

Основная статья: Дискретная математика
Диаграмма, представляющая цепь Маркова с двумя состояниями . Государства представлены буквами «А» и «Е». Числа — это вероятность переворота состояния.

Дискретная математика, вообще говоря, представляет собой исследование отдельных исчисляемых математических объектов. Примером может служить набор всех целых чисел. [52] Поскольку объекты исследования здесь дискретны, методы исчисления и математического анализа напрямую не применяются. [д] Алгоритмы , особенно их реализация и вычислительная сложность , играют важную роль в дискретной математике. [53]

Теорема о четырех цветах и ​​оптимальная упаковка сфер были двумя основными задачами дискретной математики, решенными во второй половине 20 века. [54] Проблема P и NP , которая остается открытой по сей день, также важна для дискретной математики, поскольку ее решение потенциально может повлиять на большое количество вычислительно сложных задач. [55]

Дискретная математика включает в себя: [24]

Математическая логика и теория множеств

Основные статьи: Математическая логика и теория множеств
Синий и розовый круг и их пересечение с надписью
Диаграмма Венна — широко используемый метод для иллюстрации отношений между множествами.

Два предмета — математическая логика и теория множеств — принадлежали математике с конца XIX века. [56] [57] До этого периода множества не считались математическими объектами, а логика , хотя и использовалась для математических доказательств, принадлежала философии и специально не изучалась математиками. [58]

До Кантором исследования бесконечных множеств математики неохотно рассматривали фактически бесконечные коллекции и считали бесконечность результатом бесконечного перечисления . Работа Кантора оскорбила многих математиков не только тем, что она рассматривала фактически бесконечные множества. [59] но показав, что это подразумевает разные размеры бесконечности, согласно диагональному аргументу Кантора . Это привело к спорам по поводу теории множеств Кантора . [60] В тот же период различные области математики пришли к выводу, что прежние интуитивные определения основных математических объектов недостаточны для обеспечения математической строгости . [61]

Это стало фундаментальным кризисом математики. [62] В конечном итоге она была решена в основной математике путем систематизации аксиоматического метода внутри формализованной теории множеств . Грубо говоря, каждый математический объект определяется совокупностью всех подобных объектов и свойствами, которыми эти объекты должны обладать. [22] Например, в арифметике Пеано натуральные числа определяются словами «ноль — это число», «каждое число имеет уникального преемника», «каждое число, кроме нуля, имеет уникального предшественника» и некоторыми правилами рассуждения. [63] Эта математическая абстракция от реальности воплощена в современной философии формализма , основанной Дэвидом Гильбертом около 1910 года. [64]

«Природа» объектов, определенных таким образом, — это философская проблема, которую математики оставляют философам, даже если многие математики имеют мнения об этой природе и используют свое мнение — иногда называемое «интуицией» — для руководства в своих исследованиях и доказательствах. Подход позволяет рассматривать «логики» (то есть наборы разрешенных правил вывода), теоремы, доказательства и т. д. как математические объекты и доказывать теоремы о них. Например, теоремы Гёделя о неполноте , грубо говоря, утверждают, что в каждой непротиворечивой формальной системе , содержащей натуральные числа, существуют теоремы, которые истинны (что доказуемо в более сильной системе), но не доказуемы внутри системы. [65] Этот подход к основам математики был оспорен в первой половине 20-го века математиками во главе с Брауэром , который продвигал интуиционистскую логику , в которой явно отсутствует закон исключенного третьего . [66] [67]

Эти проблемы и дебаты привели к широкому расширению математической логики с такими подобластями, как теория моделей (моделирование некоторых логических теорий внутри других теорий), теория доказательств , теория типов , теория вычислимости и теория сложности вычислений . [24] Хотя эти аспекты математической логики были представлены до появления компьютеров , их использование в разработке компиляторов , формальной проверке , анализе программ , помощниках по доказательству и других аспектах информатики , в свою очередь, способствовало расширению этих логических теорий. [68]

Статистика и другие науки о принятии решений

Основные статьи: Статистика и теория вероятностей
Какой бы ни была форма случайного распределения населения (μ), выборочное среднее (x̄) стремится к распределению Гаусса , а его дисперсия (σ) определяется центральной предельной теоремой теории вероятностей. [69]

Область статистики — это математическое приложение, которое используется для сбора и обработки выборок данных с использованием процедур, основанных на математических методах, особенно теории вероятностей . Статистики генерируют данные с помощью случайной выборки или рандомизированных экспериментов . [70]

Статистическая теория изучает проблемы принятия решений , такие как минимизация риска ( ожидаемых потерь ) статистического действия, например, использование процедуры , например, для оценки параметров , проверки гипотез и выбора лучшего . В этих традиционных областях математической статистики задача статистического принятия решения формулируется путем минимизации целевой функции , такой как ожидаемые потери или затраты , при определенных ограничениях. Например, разработка опроса часто предполагает минимизацию затрат на оценку среднего значения совокупности с заданным уровнем достоверности. [71] Из-за использования оптимизации математическая теория статистики пересекается с другими науками о принятии решений , такими как исследование операций , теория управления и математическая экономика . [72]

Вычислительная математика

Основная статья: Вычислительная математика

Вычислительная математика — это изучение математических задач , которые обычно слишком велики для человеческих вычислительных возможностей. [73] [74] Численный анализ изучает методы решения задач анализа с использованием функционального анализа и теории приближений ; Численный анализ в широком смысле включает изучение аппроксимации и дискретизации с особым упором на ошибки округления . [75] Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмических матриц и теорию графов . Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления .

История

Основная статья: История математики

Древний

Вавилонская математическая табличка Plimpton 322 , датированная 1800 годом до нашей эры.

Помимо умения считать физические объекты, доисторические народы, возможно, также умели считать абстрактные величины, такие как время — дни, времена года или годы. [76] [77] Доказательства более сложной математики появляются только примерно в 3000 году до нашей эры , когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметику, алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства и астрономии. [78] Самые старые математические тексты из Месопотамии и Египта датируются 2000–1800 годами до нашей эры. [79] Во многих ранних текстах упоминаются тройки Пифагора , и, как следствие, теорема Пифагора кажется самой древней и широко распространенной математической концепцией после основ арифметики и геометрии. Именно в вавилонской математике элементарная арифметика ( сложение , вычитание , умножение и деление впервые появляются в археологических записях ). Вавилоняне также владели разрядной системой и использовали шестидесятеричную систему счисления, которая используется до сих пор для измерения углов и времени. [80]

В VI веке до нашей эры греческая математика начала превращаться в отдельную дисциплину, и некоторые древние греки, такие как пифагорейцы, по-видимому, считали ее самостоятельным предметом. [81] Около 300 г. до н. э. Евклид организовал математическое знание посредством постулатов и первых принципов, которые превратились в аксиоматический метод, используемый сегодня в математике и состоящий из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. [82] Его книга «Элементы » широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. [83] Величайшим математиком древности часто считают Архимеда ( ок. 287 – ок. 212 до н. э. ) из Сиракуз . [84] Он разработал формулы для расчета площади поверхности и объема тел вращения и использовал метод истощения для расчета площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда , способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. [85] Другими заметными достижениями греческой математики являются конические сечения ( Аполлоний Пергский , 3 век до н. э.), [86] тригонометрия ( Гиппарх Никейский , II век до н. э.), [87] и начало алгебры (Диофант, 3 век нашей эры). [88]

Цифры, использованные в рукописи Бахшали , датированной II веком до нашей эры и II веком нашей эры.

Индо -арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западный мир через исламскую математику . [89] Другие известные достижения индийской математики включают современное определение и приближение синуса и косинуса , а также раннюю форму бесконечных рядов . [90] [91]

Средневековье и позже

Страница из аль-Хорезми книги «Аль-Джабр»

Во время Золотого века ислама , особенно в IX и X веках, в математике произошло много важных инноваций, основанных на греческой математике. Наиболее заметным достижением исламской математики было развитие алгебры . Другие достижения исламского периода включают достижения в сферической тригонометрии и добавление десятичной точки в арабскую систему счисления. [92] Многие известные математики этого периода были персами, например , Аль-Хорезми , Омар Хайям и Шараф ад-Дин аль-Туси . [93] Греческие и арабские математические тексты, в свою очередь, были переведены на латынь в средние века и стали доступны в Европе. [94]

В период раннего Нового времени математика начала развиваться ускоренными темпами в Западной Европе благодаря инновациям, которые произвели революцию в математике, таким как введение переменных и символьных обозначений ( Франсуа Вьета 1540–1603), введение логарифмов Джоном Нэпьером в 1614 г., что значительно упростило численные расчеты, особенно для астрономии и морской навигации , введение координат Рене Декартом (1596–1650) для сведения геометрии к алгебре, а также развитие исчисления Исааком Ньютоном (1643–1727) и Готфридом Лейбницем ( 1646–1716). Леонард Эйлер (1707–1783), крупнейший математик XVIII века, объединил эти нововведения в единый корпус с использованием стандартизированной терминологии и завершил их открытием и доказательством множества теорем. [95]

Карл Фридрих Гаусс

Возможно, выдающимся математиком XIX века был немецкий математик Карл Гаусс , внесший многочисленные вклады в такие области, как алгебра, анализ, дифференциальная геометрия , теория матриц , теория чисел и статистика . [96] В начале 20-го века Курт Гёдель изменил математику, опубликовав свои теоремы о неполноте, которые частично показывают, что любая непротиворечивая аксиоматическая система — если она достаточно мощна для описания арифметики — будет содержать истинные утверждения, которые невозможно доказать. [65]

произошло плодотворное взаимодействие Математика с тех пор значительно расширилась, и между математикой и наукой на благо обеих сторон. Математические открытия продолжают делаться и по сей день. По словам Михаила Б. Севрюка в январском выпуске Бюллетеня Американского математического общества за 2006 год : «Количество статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews с 1940 года (первого года работы MR), сейчас превышает 1,9. миллионов, и каждый год в базу данных добавляется более 75 тысяч элементов. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства». [97]

Символические обозначения и терминология

Основные статьи: Математические обозначения , Язык математики и Глоссарий математики.
Объяснение суммирования сигма (Σ) обозначения

Математические обозначения широко используются в науке и технике представления сложных понятий и свойств для краткого, однозначного и точного . Эта нотация состоит из символов, используемых для представления операций , неуказанных чисел, отношений и любых других математических объектов, а затем их сборки в выражения и формулы. [98] Точнее, числа и другие математические объекты представлены символами, называемыми переменными, которые обычно представляют собой латинские или греческие буквы и часто включают индексы . Операции и отношения обычно представляются определенными символами или глифами . [99] например + ( плюс ), × ( умножение ), ( целое ), = ( равно ) и < ( меньше чем ). [100] Все эти символы обычно группируются по определенным правилам для формирования выражений и формул. [101] Обычно выражения и формулы появляются не по отдельности, а включаются в предложения текущего языка, где выражения играют роль именной группы , а формулы — роль предложения .

Математика разработала богатую терминологию, охватывающую широкий спектр областей, изучающих свойства различных абстрактных идеализированных объектов и способы их взаимодействия. Он основан на строгих определениях , которые обеспечивают стандартную основу для общения. Аксиома или постулат — это математическое утверждение, которое считается истинным без необходимости доказательства. Если математическое утверждение еще не доказано (или опровергнуто), оно называется гипотезой . Благодаря серии строгих аргументов с использованием дедуктивного рассуждения утверждение, которого доказана истинность , становится теоремой. Специальная теорема, которая в основном используется для доказательства другой теоремы, называется леммой . Доказанный пример, который является частью более общего открытия, называется следствием . [102]

Многочисленные технические термины, используемые в математике, представляют собой неологизмы , такие как полиномиал и гомеоморфизм . [103] Другие технические термины — это слова общего языка, которые используются в точном значении, которое может немного отличаться от их общего значения. Например, в математике « или » означает «один, другой или оба», тогда как в обычном языке оно либо двусмысленно, либо означает «один или другой, но не оба» (в математике последнее называется « исключительным »). или "). Наконец, многие математические термины являются обычными словами, которые используются с совершенно другим значением. [104] Это может привести к появлению предложений, которые являются правильными и истинными математическими утверждениями, но кажутся бессмысленными людям, не имеющим необходимого опыта. Например, «каждый свободный модуль плоский » и « поле всегда является кольцом ».

Связь с науками

Математика используется в большинстве наук для моделирования явлений, что затем позволяет делать прогнозы на основе экспериментальных законов. [105] Независимость математической истины от любых экспериментов подразумевает, что точность таких предсказаний зависит только от адекватности модели. [106] Неточные предсказания вызваны не неверными математическими концепциями, а необходимостью изменения используемой математической модели. [107] Например, прецессию перигелия Меркурия можно было объяснить только после появления , Эйнштейна общей теории относительности которая заменила закон гравитации Ньютона как лучшую математическую модель. [108]

До сих пор ведутся философские споры о том, является ли математика наукой. Однако на практике математиков обычно объединяют с учеными, а математика имеет много общего с физическими науками. Как и они, она фальсифицируема . В математике это означает, что если результат или теория неверны, это можно доказать, приведя контрпример . Как и в науке, теории и результаты (теоремы) часто получаются в результате экспериментов . [109] В математике экспериментирование может состоять из вычислений на выбранных примерах или изучения фигур или других представлений математических объектов (часто представлений разума без физической поддержки). Например, когда его спросили, как он пришел к своим теоремам, Гаусс однажды ответил: «durch planmässiges Tattonieren» (путем систематических экспериментов). [110] Однако некоторые авторы подчеркивают, что математика отличается от современного понятия науки тем, что не опирается на эмпирические данные. [111] [112] [113] [114]

Чистая и прикладная математика

Основные статьи: Прикладная математика и Чистая математика
Исаак Ньютон
Готфрид Вильгельм фон Лейбниц
Исаак Ньютон (слева) и Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали исчисление бесконечно малых.

До 19 века развитие математики на Западе было мотивировано главным образом потребностями техники и науки, и не было четкого различия между чистой и прикладной математикой. [115] Например, натуральные числа и арифметика были введены для нужд счета, а геометрия была мотивирована геодезией, архитектурой и астрономией. Позже Исаак Ньютон ввел исчисление бесконечно малых для объяснения движения планет с помощью своего закона гравитации. Более того, большинство математиков были также учёными, и многие учёные также были математиками. [116] Однако заметное исключение произошло с традицией чистой математики в Древней Греции . [117] Например, проблема факторизации целых чисел , восходящая к Евклиду в 300 году до нашей эры, не имела практического применения до ее использования в криптосистеме RSA , которая сейчас широко используется для безопасности компьютерных сетей . [118]

В XIX веке такие математики, как Карл Вейерштрасс и Рихард Дедекинд, все больше сосредоточивали свои исследования на внутренних проблемах, то есть чистой математике . [115] [119] Это привело к разделению математики на чистую математику и прикладную математику , причем последняя часто считается имеющей меньшую ценность среди математических пуристов. Однако границы между ними часто размыты. [120]

Последствия Второй мировой войны привели к всплеску развития прикладной математики в США и других странах. [121] [122] Многие из теорий, разработанных для приложений, оказались интересными с точки зрения чистой математики, и было показано, что многие результаты чистой математики имеют приложения за пределами математики; в свою очередь, изучение этих приложений может дать новое понимание «чистой теории». [123] [124]

Примером первого случая является теория распределений , введенная Лораном Шварцем для проверки вычислений, выполненных в квантовой механике , которая сразу же стала важным инструментом (чистого) математического анализа. [125] Примером второго случая является разрешимость теории действительных чисел первого порядка , проблемы чистой математики, справедливость которой доказал Альфред Тарский , с алгоритмом, который невозможно реализовать из-за слишком высокой вычислительной сложности. высокий. [126] Чтобы получить алгоритм, который можно реализовать и решать системы полиномиальных уравнений и неравенств, Джордж Коллинз ввел цилиндрическое алгебраическое разложение , которое стало фундаментальным инструментом в реальной алгебраической геометрии . [127]

В настоящее время различие между чистой и прикладной математикой — это скорее вопрос личных исследовательских целей математиков, чем разделение математики на широкие области. [128] [129] В Предметной классификации математики есть раздел «Общая прикладная математика», но не упоминается «чистая математика». [24] Однако эти термины до сих пор используются в названиях некоторых факультетов университета , например, на математическом факультете университета Кембриджского .

Неоправданная эффективность

Необоснованная эффективность математики — это явление, которое было названо и впервые объяснено физиком Юджином Вигнером . [3] Дело в том, что многие математические теории (даже самые «чистые») имеют приложения за пределами своего первоначального объекта. Эти приложения могут совершенно выходить за рамки своей первоначальной области математики и могут касаться физических явлений, которые были совершенно неизвестны на момент появления математической теории. [130] Примеры неожиданных приложений математических теорий можно найти во многих областях математики.

Ярким примером является простая факторизация натуральных чисел, которая была открыта более чем за 2000 лет до ее повсеместного использования для безопасной интернет -связи посредством криптосистемы RSA . [131] Второй исторический пример — теория эллипсов . Они изучались древнегреческими математиками как конические сечения (т. е. пересечения конусов плоскостями). Почти 2000 лет спустя Иоганн Кеплер обнаружил, что траектории планет представляют собой эллипсы. [132]

В 19 веке внутреннее развитие геометрии (чистой математики) привело к определению и изучению неевклидовых геометрий, пространств размерности выше трёх и многообразий . В то время эти концепции казались совершенно оторванными от физической реальности, но в начале 20-го века Альберт Эйнштейн разработал теорию относительности , которая фундаментально использует эти концепции. В частности, пространство-время специальной теории относительности представляет собой неевклидово пространство четырехмерного измерения, а пространство-время общей теории относительности представляет собой (искривленное) многообразие четырехмерного измерения. [133] [134]

Поразительным аспектом взаимодействия математики и физики является то, что математика стимулирует исследования в области физики. Об этом свидетельствуют открытия позитрона и бариона . В обоих случаях уравнения теорий имели необъяснимые решения, что привело к предположению о существовании неизвестной частицы и поиску этих частиц. В обоих случаях эти частицы были открыты несколько лет спустя в результате конкретных экспериментов. [135] [136] [137]

Конкретные науки

Физика

Основная статья: Связь между математикой и физикой
Схема маятника

Математика и физика влияли друг на друга в своей современной истории. Современная физика широко использует математику. [138] а также считается мотивацией крупных математических разработок. [139]

Вычисление

Дополнительная информация: Теоретическая информатика и вычислительная математика.

Вычислительная техника тесно связана с математикой во многих отношениях. [140] Теоретическая информатика считается математической по своей природе. [141] В коммуникационных технологиях применяются разделы математики, которые могут быть очень старыми (например, арифметика), особенно в отношении безопасности передачи, в криптографии и теории кодирования . Дискретная математика полезна во многих областях информатики, таких как теория сложности , теория информации и теория графов . [142] В 1998 году гипотеза Кеплера об упаковке сфер также была частично доказана с помощью компьютера. [143]

Биология и химия

Основные статьи: Математическая и теоретическая биология и математическая химия.
Кожа этой гигантской рыбы-фугу демонстрирует узор Тьюринга , который можно смоделировать с помощью реакционно-диффузионных систем .

Биология широко использует вероятность в таких областях, как экология и нейробиология . [144] Большинство дискуссий о вероятности сосредоточено на концепции эволюционной приспособленности . [144] Экология широко использует моделирование для моделирования динамики популяций . [144] [145] изучать экосистемы, такие как модель хищник-жертва, измерять распространение загрязнения, [146] или для оценки изменения климата. [147] Динамику популяции можно смоделировать с помощью связанных дифференциальных уравнений, таких как уравнения Лотки-Вольтерра . [148]

Статистическая проверка гипотез проводится на основе данных клинических испытаний, чтобы определить, работает ли новое лечение. [149] С начала 20-го века химия использовала компьютеры для моделирования молекул в трех измерениях. [150]

Науки о Земле

Основная статья: Геомаматематика

Структурная геология и климатология используют вероятностные модели для прогнозирования риска природных катастроф. [151] Точно так же метеорология , океанография и планетология также используют математику из-за интенсивного использования моделей. [152] [153] [154]

Социальные науки

Дополнительная информация: Математическая экономика и историческая динамика.

Области математики, используемые в социальных науках, включают вероятность/статистику и дифференциальные уравнения. Они используются в лингвистике, экономике , социологии , [155] и психология . [156]

Кривые спроса и предложения , подобные этой, являются основой математической экономики.

Часто фундаментальным постулатом математической экономики является постулат о рациональном индивидуальном деятеле – Homo Economicus ( букв.   « экономический человек » ). [157] В этой модели человек стремится максимизировать свои собственные интересы . [157] и всегда делает оптимальный выбор, используя достоверную информацию . [158] Такой атомистический взгляд на экономику позволяет ей сравнительно легко математизировать свое мышление, поскольку отдельные расчеты трансформируются в математические расчеты. Такое математическое моделирование позволяет исследовать экономические механизмы. Некоторые отвергают или критикуют концепцию Homo Economicus . Экономисты отмечают, что реальные люди обладают ограниченной информацией, делают неправильный выбор и заботятся о справедливости, альтруизме, а не только о личной выгоде. [159]

Без математического моделирования трудно выйти за рамки статистических наблюдений или непроверяемых предположений. Математическое моделирование позволяет экономистам создавать структурированные основы для проверки гипотез и анализа сложных взаимодействий. Модели обеспечивают ясность и точность, позволяя переводить теоретические концепции в количественные прогнозы, которые можно проверить на реальных данных. [160]

В начале 20 века появилась возможность выражать исторические движения в формулах. В 1922 году Николай Кондратьев обнаружил ~50-летний цикл Кондратьева , который объясняет фазы экономического роста или кризиса. [161] К концу XIX века математики распространили свой анализ на геополитику . [162] Питер Турчин разрабатывал клиодинамику с 1990-х годов. [163]

Математизация социальных наук сопряжена с риском. В скандальной книге «Модная чушь» (1997) Сокал и Брикмонт осудили необоснованное или оскорбительное использование научной терминологии, особенно из математики и физики, в социальных науках. [164] При изучении сложных систем (эволюция безработицы, делового капитала, демографическая эволюция населения и т. д.) используются математические знания. Однако выбор критериев подсчета, особенно по безработице, или моделей может быть спорным. [165] [166]

Связь с астрологией и эзотерикой

Некоторые известные математики также считались известными астрологами ; например, Птолемей , арабские астрономы, Региомант , Кардано , Кеплер или Джон Ди . В средние века астрология считалась наукой, включающей в себя математику. В своей энциклопедии Теодор Цвингер писал, что астрология — математическая наука, изучающая «активное движение тел при их воздействии на другие тела». Он оставил за математикой необходимость «с вероятностью рассчитать влияния [звезд]», чтобы предвидеть их «соединения и противостояния». [167] С 2023 года астрология больше не считается наукой, а лженаукой . [168]

Философия

Основная статья: Философия математики

Реальность

Связь между математикой и материальной реальностью приводила к философским дебатам, по крайней мере, со времен Пифагора . Античный философ Платон утверждал, что абстракции, отражающие материальную реальность, сами по себе обладают реальностью, существующей вне пространства и времени. В результате философский взгляд на то, что математические объекты каким-то образом существуют сами по себе в абстракции, часто называют платонизмом . Независимо от возможных философских взглядов современных математиков в целом можно считать платонистами, поскольку они думают и говорят о своих объектах исследования как о реальных объектах. [169]

Арман Борель резюмировал этот взгляд на математическую реальность следующим образом и привел цитаты Г.Х. Харди , Шарля Эрмита , Анри Пуанкаре и Альберта Эйнштейна, подтверждающие его взгляды. [135]

Нечто становится объективным (в отличие от «субъективного»), как только мы убеждаемся, что оно существует в сознании других в той же форме, что и в нашем, и что мы можем думать об этом и обсуждать это вместе. [170] Поскольку язык математики настолько точен, он идеально подходит для определения понятий, по которым существует такой консенсус. По моему мнению, этого достаточно, чтобы дать нам ощущение объективного существования, реальности математики...

Тем не менее, платонизм и сопутствующие ему взгляды на абстракцию не объясняют необоснованную эффективность математики. [171]

Предлагаемые определения

Основная статья: Определения математики

Не существует общего согласия относительно определения математики или ее эпистемологического статуса , то есть ее места среди других видов человеческой деятельности. [172] [173] Очень многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают ее неопределимой. [172] Нет даже единого мнения о том, является ли математика искусством или наукой. [173] Некоторые просто говорят: «Математика – это то, чем занимаются математики». [172] Это имеет смысл, поскольку среди них существует твердое согласие относительно того, что является математикой, а что нет. Большинство предлагаемых определений пытаются определить математику по ее объекту изучения. [174]

Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18 века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение внимания только на количестве не может отличать математику от таких наук, как физика; по его мнению, абстракция и изучение количества как свойства, «отдельного в мышлении» от реальных примеров, отличают математику. [175] В XIX веке, когда математики начали заниматься такими темами, как бесконечные множества, которые не имеют четкого отношения к физической реальности, было дано множество новых определений. [176] При большом количестве новых областей математики, появившихся с начала XX века и продолжающих появляться, определение математики этим объектом изучения становится невыполнимой задачей. Например, вместо определения Сондерс Мак Лейн в книге «Математика, форма и функция» обобщает основы нескольких областей математики, подчеркивая их взаимосвязь, и отмечает: [177]

Развитие математики обеспечивает тесно связанную сеть формальных правил, концепций и систем. Узлы этой сети тесно связаны с процедурами, полезными в человеческой деятельности, и с вопросами, возникающими в науке. Переход от деятельности к формальным математическим системам направляется множеством общих представлений и идей.

Другой подход к определению математики — использовать ее методы. Итак, область исследования можно квалифицировать как математику, если можно доказать теоремы — утверждения, достоверность которых зависит от доказательства, то есть чисто логического вывода. [178] Другие придерживаются точки зрения, что математика — это исследование аксиоматической теории множеств, поскольку это исследование теперь является основополагающей дисциплиной для большей части современной математики. [179]

строгость

См. также: Логика

Математические рассуждения требуют строгости . Это означает, что определения должны быть абсолютно однозначными, а доказательства должны быть сведены к последовательному применению правил вывода . [и] без всякого использования эмпирических данных и интуиции . [ф] [180] Строгое рассуждение не характерно только для математики, но в математике стандарты строгости намного выше, чем где-либо еще. Несмотря на математическую краткость , строгие доказательства могут потребовать сотен страниц, как, например, 255-страничная теорема Фейта-Томпсона . [г] Появление компьютерных доказательств позволило еще больше расширить объем доказательств. [час] [181] Результатом этой тенденции является философия квазиэмпиристского доказательства , которое не может считаться непогрешимым, но с которым связана вероятность. [6]

Концепция строгости математики восходит к Древней Греции, где общество поощряло логические, дедуктивные рассуждения. Однако этот строгий подход, как правило, препятствует исследованию новых подходов, таких как иррациональные числа и концепции бесконечности. Метод демонстрации строгих доказательств был усовершенствован в шестнадцатом веке за счет использования символических обозначений. В 18 веке социальный переход привел к тому, что математики стали зарабатывать на жизнь преподаванием, что привело к более тщательному обдумыванию основных концепций математики. Это привело к более строгим подходам при переходе от геометрических методов к алгебраическим, а затем и арифметическим доказательствам. [6]

В конце XIX века оказалось, что определения основных понятий математики недостаточно точны, чтобы избежать парадоксов (неевклидовы геометрии и функция Вейерштрасса ) и противоречий (парадокс Рассела). Проблема была решена путем включения аксиом в аподиктические правила вывода математических теорий; повторное введение аксиоматического метода, впервые изобретенного древними греками. [6] В результате «строгость» больше не является актуальным понятием в математике, поскольку доказательство может быть либо правильным, либо ошибочным, а «строгое доказательство» — это просто плеоназм . Особая концепция строгости вступает в игру в социализированных аспектах доказательства, где оно может быть явно опровергнуто другими математиками. После того, как доказательство было принято в течение многих лет или даже десятилетий, его можно считать надежным. [182]

Тем не менее, концепция «строгости» может оставаться полезной для обучения новичков тому, что такое математическое доказательство. [183]

Обучение и практика

Образование

Основная статья: Математическое образование

Математика обладает замечательной способностью преодолевать культурные границы и временные периоды. Как человеческая деятельность , практика математики имеет социальную сторону, которая включает в себя образование , карьеру , признание , популяризацию и так далее. В образовании математика является основной частью учебной программы и важным элементом академических дисциплин STEM . Выдающиеся карьеры для профессиональных математиков включают учителя или профессора математики, статистика , актуария , финансового аналитика , экономиста , бухгалтера , торговца сырьевыми товарами или компьютерного консультанта . [184]

Археологические данные показывают, что обучение математике происходило еще во втором тысячелетии до нашей эры в древней Вавилонии. [185] Сопоставимые доказательства были обнаружены в отношении обучения писцов математике на древнем Ближнем Востоке , а затем в греко-римском мире, начиная примерно с 300 г. до н.э. [186] Самый старый известный учебник математики — папирус Ринда , датированный ок. 1650 г. до н. э. , Египет. [187] Из-за нехватки книг математические учения в древней Индии передавались с использованием заученной устной традиции , начиная с ведического периода ( ок. 1500 – ок. 500 г. до н. э. ). [188] В императорском Китае во времена династии Тан (618–907 гг. Н. Э.) была принята учебная программа по математике для сдачи экзамена на государственную службу для поступления на государственную бюрократию. [189]

После Средневековья математическое образование в Европе предоставлялось религиозными школами как часть Квадривиума . Формальное обучение педагогике началось в школах иезуитов в 16 и 17 веках. Большая часть математической учебной программы оставалась на базовом и практическом уровне до девятнадцатого века, когда она начала процветать во Франции и Германии. Старейшим журналом, посвященным обучению математике, был L'Enseignement Mathématique , который начал публиковаться в 1899 году. [190] Западные достижения в области науки и техники привели к созданию централизованных систем образования во многих национальных государствах с математикой в ​​качестве основного компонента — первоначально для ее военных приложений. [191] Хотя содержание курсов различается, в настоящее время почти во всех странах математика преподается студентам в течение значительного времени. [192]

В школьные годы математические способности и позитивные ожидания тесно связаны с карьерным интересом в этой области. Внешние факторы, такие как мотивация обратной связи со стороны учителей, родителей и групп сверстников, могут влиять на уровень интереса к математике. [193] У некоторых студентов, изучающих математику, могут возникнуть опасения или страх по поводу своей успеваемости по предмету. Это известно как математическая тревожность или математическая фобия и считается наиболее выраженным расстройством, влияющим на успеваемость. Математическая тревога может развиться из-за различных факторов, таких как отношение родителей и учителей, социальные стереотипы и личные качества. Помощь в противодействии тревоге может прийти за счет изменений в подходах к обучению, взаимодействия с родителями и учителями, а также путем индивидуального лечения. [194]

Психология (эстетика, творчество и интуиция)

Справедливость математической теоремы зависит только от строгости ее доказательства, которое теоретически может быть выполнено автоматически с помощью компьютерной программы . Это не означает, что в математической работе нет места творчеству. Напротив, многие важные математические результаты (теоремы) представляют собой решения проблем, которые не удалось решить другим математикам, и изобретение способа их решения может стать фундаментальным способом процесса решения. [195] [196] Крайним примером является теорема Апери : Роджер Апери предоставил только идеи для доказательства, а формальное доказательство было дано лишь несколько месяцев спустя тремя другими математиками. [197]

Творчество и строгость — не единственные психологические стороны деятельности математиков. Некоторые математики могут рассматривать свою деятельность как игру, точнее, как решение головоломок . [198] Этому аспекту математической деятельности уделяется особое внимание в развлекательной математике .

Математики могут найти в математике эстетическую ценность. Как и красоту , ее трудно определить, она обычно связана с элегантностью , которая включает в себя такие качества, как простота , симметрия , завершенность и общность. Г.Х. Харди в «Апологии математика» выразил убеждение, что эстетических соображений самих по себе достаточно, чтобы оправдать изучение чистой математики. Он также определил другие критерии, такие как значимость, неожиданность и неизбежность, которые способствуют математической эстетике. [199] Пауль Эрдеш выразил это мнение более иронично, говоря о «Книге», предполагаемом божественном собрании самых прекрасных доказательств. Книга « Доказательства из книги» , вышедшая в 1998 году и вдохновленная Эрдёшем, представляет собой сборник особенно кратких и откровенных математических аргументов. Некоторые примеры особенно элегантных результатов включают доказательство Евклида о том, что существует бесконечно много простых чисел, и быстрое преобразование Фурье для гармонического анализа . [200]

Некоторые считают, что считать математику наукой – значит преуменьшать ее художественность и историю в семи традиционных гуманитарных науках . [201] Одним из способов проявления этой разницы во взглядах являются философские дебаты о том, создаются ли математические результаты (как в искусстве) или открываются (как в науке). [135] Популярность развлекательной математики — еще один признак того удовольствия, которое многие получают от решения математических вопросов.

Культурное влияние

Художественное выражение

Основная статья: Математика и искусство

Ноты, которые хорошо звучат вместе для западного уха, — это звуки, основные частоты вибрации которых находятся в простых соотношениях. Например, октава удваивает частоту, а чистая квинта умножает ее на . [202] [203]

Фрактал с масштабной симметрией и центральной симметрией

Люди, как и некоторые другие животные, считают симметричные узоры более красивыми. [204] Математически симметрии объекта образуют группу, известную как группа симметрии . [205] Например, группа, лежащая в основе зеркальной симметрии, представляет собой циклическую группу двух элементов: . Тест Роршаха — это фигура, инвариантная благодаря этой симметрии: [206] как и тела бабочек и животных в целом (по крайней мере, на поверхности). [207] Волны на морской поверхности обладают трансляционной симметрией: перемещение точки зрения на расстояние между гребнями волн не меняет взгляд на море. [208] Фракталы обладают самоподобием . [209] [210]

Популяризация

Основная статья: Популярная математика

Популярная математика — это представление математики без технических терминов. [211] Изложение математики может быть трудным, поскольку широкая публика страдает от математической тревожности , а математические объекты очень абстрактны. [212] Однако популярные статьи по математике могут преодолеть эту проблему, используя приложения или культурные связи. [213] Несмотря на это, математика редко становится темой популяризации в печатных или телевизионных СМИ.

Награды и призовые проблемы

Основная категория: Награды по математике
Лицевая сторона Медали Филдса с изображением греческого эрудита Архимеда.

Самая престижная награда в области математики — Медаль Филдса . [214] [215] учрежден в 1936 году и присуждается каждые четыре года (за исключением периода Второй мировой войны ) максимум четырем лицам. [216] [217] Она считается математическим эквивалентом Нобелевской премии . [217]

Другие престижные награды в области математики включают: [218]

Знаменитый список из 23 открытых задач , получивший название « Проблемы Гильберта », был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом. [226] Этот список приобрел большую известность среди математиков. [227] и по крайней мере тринадцать проблем (в зависимости от того, как некоторые из них интерпретируются) были решены. [226]

Новый список из семи важных проблем, названный « Проблемы премии тысячелетия », был опубликован в 2000 году. Только одна из них, гипотеза Римана , дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем предполагает вознаграждение в 1 миллион долларов. [228] На сегодняшний день только одна из этих проблем — гипотеза Пуанкаре . решена [229]

См. также

Ссылки

Примечания

  1. ^ Здесь алгебра понимается в ее современном понимании, представляющем собой, грубо говоря, искусство манипулирования формулами .
  2. ↑ Это значение можно найти в «Государстве Платона» , книга 6, раздел 510c. [8] Однако Платон не использовал математическое слово; Аристотель так и сделал, комментируя это. [9] [ нужен лучший источник ] [10] [ нужен лучший источник ]
  3. ^ Сюда входят конические сечения , которые являются пересечениями круговых цилиндров и плоскостей.
  4. ^ Однако иногда используются некоторые продвинутые методы анализа; например, методы комплексного анализа, применяемые для генерации рядов .
  5. ^ Это не означает явного указания всех используемых правил вывода. Наоборот, это вообще невозможно без компьютеров и помощников по доказыванию . Даже при использовании этой современной технологии для написания подробного доказательства могут потребоваться годы человеческого труда.
  6. ^ Это не означает, что для выбора доказываемых теорем и их доказательства не нужны эмпирические данные и интуиция.
  7. ^ Это объем оригинальной статьи, не содержащей доказательств некоторых ранее опубликованных вспомогательных результатов. Книга, посвященная полному доказательству, насчитывает более 1000 страниц.
  8. ^ Чтобы считать надежными большие вычисления, происходящие в доказательстве, обычно требуется два вычисления с использованием независимого программного обеспечения.

Цитаты

  1. ^ Иполито, Инес Вьегас (9–15 августа 2015 г.). «Абстрактное познание и природа математического доказательства». По-канциански — христианин; Миттерер, Йозеф ; Негес, Катарина (ред.). Реализм - Релятивизм - Конструктивизм: Материалы 38-го Международного симпозиума Витгенштейна [ Реализм - Релятивизм - Конструктивизм: Материалы 38-го Международного симпозиума Витгенштейна ] (PDF) (на немецком и английском языках). Том 23. Кирхберг-ам-Векзель, Австрия: Австрийское общество Людвига Витгенштейна. стр. 132–134. ISSN   1022-3398 . OCLC   236026294 . Архивировано (PDF) из оригинала 7 ноября 2022 г. Проверено 17 января 2024 г. ( в ResearchGate Значок открытого доступа Архивировано 5 ноября 2022 года в Wayback Machine .
  2. ^ Петерсон 1988 , с. 12.
  3. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Вигнер, Юджин (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID   6112252 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2011 года.
  4. ^ Мудро, Дэвид. «Влияние Евдокса на «Элементы» Евклида с внимательным взглядом на «Метод исчерпания» . Университет Джорджии . Архивировано из оригинала 1 июня 2019 года . Проверено 18 января 2024 г.
  5. ^ Александр, Амир (сентябрь 2011 г.). «Скелет в шкафу: должны ли историки науки заботиться об истории математики?». Исида . 102 (3): 475–480. дои : 10.1086/661620 . ISSN   0021-1753 . МР   2884913 . ПМИД   22073771 . S2CID   21629993 .
  6. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж Кляйнер, Израиль (декабрь 1991 г.). «Строгость и доказательство в математике: историческая перспектива». Журнал «Математика» . 64 (5). Тейлор и Фрэнсис, ООО: 291–314. дои : 10.1080/0025570X.1991.11977625 . eISSN   1930-0980 . ISSN   0025-570X . JSTOR   2690647 . LCCN   47003192 . МР   1141557 . OCLC   1756877 . S2CID   7787171 .
  7. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Харпер, Дуглас (28 марта 2019 г.). «Математический (сущ.)» . Интернет-словарь этимологии . Архивировано из оригинала 7 марта 2013 года . Проверено 25 января 2024 г.
  8. ^ Платон. Республика, Книга 6, Раздел 510c . Архивировано из оригинала 24 февраля 2021 года . Проверено 2 февраля 2024 г.
  9. ^ Лидделл, Генри Джордж ; Скотт, Роберт (1940). «μαθηματική» . Греко-английский лексикон . Кларендон Пресс . Проверено 2 февраля 2024 г.
  10. ^ Харпер, Дуглас (20 апреля 2022 г.). «Математика (н.)» . Интернет-словарь этимологии . Проверено 2 февраля 2024 г.
  11. ^ Харпер, Дуглас (22 декабря 2018 г.). «Математический (прил.)» . Интернет-словарь этимологии . Архивировано из оригинала 26 ноября 2022 года . Проверено 25 января 2024 г.
  12. ^ Перишо, Маргарет В. (весна 1965 г.). «Этимология математических терминов». Журнал Пи Му Эпсилон . 4 (2): 62–66. ISSN   0031-952X . JSTOR   24338341 . LCCN   58015848 . OCLC   1762376 .
  13. ^ Боас, Ральф П. (1995). «Что Августин не говорил о математиках». В Александрсоне, Джеральд Л.; Мюглер, Дейл Х. (ред.). Охота на львов и другие математические занятия: Сборник математики, стихов и рассказов . Математическая ассоциация Америки . п. 257. ИСБН  978-0-88385-323-8 . LCCN   94078313 . OCLC   633018890 .
  14. ^ Оксфордский словарь английской этимологии , Оксфордский словарь английского языка , подразделы «математика», «математика», «математика».
  15. ^ «Математика (существительное)» . Оксфордский словарь английского языка . Издательство Оксфордского университета . Проверено 25 января 2024 г.
  16. ^ «Математика (Существительное³)» . Оксфордский словарь английского языка . Издательство Оксфордского университета . Архивировано из оригинала 4 апреля 2020 года . Проверено 25 января 2024 г.
  17. ^ Белл, ET (1945) [1940]. «Генеральный проспект». Развитие математики (2-е изд.). Дуврские публикации. п. 3. ISBN  978-0-486-27239-9 . LCCN   45010599 . OCLC   523284 . ... математика дошла до наших дней благодаря двум основным потокам числа и формы. Первый увлекался арифметикой и алгеброй, второй — геометрией.
  18. ^ Тивари, Сарджу (1992). «Зеркало цивилизации». Математика в истории, культуре, философии и науке (1-е изд.). Нью-Дели, Индия: Публикации Mittal. п. 27. ISBN  978-81-7099-404-6 . LCCN   92909575 . OCLC   28115124 . К сожалению, вместе с ней родились и два проклятия математики — нумерология и астрология, которые оказались более приемлемыми для масс, чем сама математика.
  19. ^ Рестиво, Сал (1992). «Математика с нуля». В Бунге, Марио (ред.). Математика в обществе и истории . Эпистема. Том. 20. Издательство Kluwer Academic Publishers . п. 14. ISBN  0-7923-1765-3 . LCCN   25709270 . OCLC   92013695 .
  20. ^ Мусиелак, Дора (2022). Леонард Эйлер и основы небесной механики . История физики. Международное издательство Спрингер . дои : 10.1007/978-3-031-12322-1 . eISSN   2730-7557 . ISBN  978-3-031-12321-4 . ISSN   2730-7549 . OCLC   1332780664 . S2CID   253240718 .
  21. ^ Биггс, Нидерланды (май 1979 г.). «Корни комбинаторики» . История Математики . 6 (2): 109–136. дои : 10.1016/0315-0860(79)90074-0 . eISSN   1090-249X . ISSN   0315-0860 . LCCN   75642280 . ОСЛК   2240703 .
  22. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Уорнер, Эван. «Всплеск: фундаментальный кризис математики» (PDF) . Колумбийский университет . Архивировано из оригинала (PDF) 22 марта 2023 года . Проверено 3 февраля 2024 г.
  23. ^ Данн, Эдвард; Хулек, Клаус (март 2020 г.). «Классификация предметов по математике 2020» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 67 (3): 410–411. дои : 10.1090/noti2052 . eISSN   1088-9477 . ISSN   0002-9920 . LCCN   sf77000404 . OCLC   1480366 . Архивировано (PDF) из оригинала 3 августа 2021 г. Проверено 3 февраля 2024 г. Новый MSC содержит 63 двузначных классификации, 529 трехзначных классификаций и 6006 пятизначных классификаций.
  24. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и ж г час «MSC2020-Система предметной классификации математики» (PDF) . zbMath . Заместители редактора журналов Mathematical Reviews и zbMATH. Архивировано (PDF) оригинала 2 января 2024 г. Проверено 3 февраля 2024 г.
  25. ^ Левек, Уильям Дж . (1977). "Введение". Основы теории чисел . Издательская компания Аддисон-Уэсли . стр. 1–30. ISBN  0-201-04287-8 . LCCN   76055645 . ОСЛК   3519779 . S2CID   118560854 .
  26. ^ Голдман, Джей Р. (1998). «Отцы-основатели». Королева математики: исторически мотивированное руководство по теории чисел . Уэлсли, Массачусетс: АК Питерс. стр. 2–3. дои : 10.1201/9781439864623 . ISBN  1-56881-006-7 . ЛЦН   94020017 . OCLC   30437959 . S2CID   118934517 .
  27. ^ Вейль, Андре (1983). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра . Биркхойзер Бостон. стр. 2–3. дои : 10.1007/978-0-8176-4571-7 . ISBN  0-8176-3141-0 . LCCN   83011857 ​​. OCLC   9576587 . S2CID   117789303 .
  28. ^ Кляйнер, Израиль (март 2000 г.). «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой» . Элементы математики . 55 (1): 19–37. дои : 10.1007/PL00000079 . eISSN   1420-8962 . ISSN   0013-6018 . LCCN   66083524 . OCLC   1567783 . S2CID   53319514 .
  29. ^ Ван, Юань (2002). Гипотеза Гольдбаха . Серия по чистой математике. Том. 4 (2-е изд.). Всемирная научная . стр. 1–18. дои : 10.1142/5096 . ISBN  981-238-159-7 . LCCN   2003268597 . OCLC   51533750 . S2CID   14555830 .
  30. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Страуме, Эльдар (4 сентября 2014 г.). «Обзор развития геометрии до 1870 года». arXiv : 1409.1140 [ math.HO ].
  31. ^ Гильберт, Дэвид (1902). Основы геометрии . Издательская компания «Открытый суд» . п. 1. дои : 10.1126/science.16.399.307 . LCCN   02019303 . OCLC   996838 . S2CID   238499430 . Проверено 6 февраля 2024 г. Значок бесплатного доступа
  32. ^ Хартшорн, Робин (2000). «Геометрия Евклида». Геометрия: Евклид и не только . Спрингер Нью-Йорк . стр. 9–13. ISBN  0-387-98650-2 . LCCN   99044789 . OCLC   42290188 . Проверено 7 февраля 2024 г.
  33. ^ Бойер, Карл Б. (2004) [1956]. «Ферма и Декарт». История аналитической геометрии . Дуврские публикации . стр. 74–102. ISBN  0-486-43832-5 . LCCN   2004056235 . OCLC   56317813 .
  34. ^ Стамп, Дэвид Дж. (1997). «Реконструкция единства математики около 1900 года» (PDF) . Перспективы науки . 5 (3): 383–417. дои : 10.1162/posc_a_00532 . eISSN   1530-9274 . ISSN   1063-6145 . LCCN   94657506 . ОСЛК   26085129 . S2CID   117709681 . Проверено 8 февраля 2024 г.
  35. ^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (февраль 1996 г.). «Неевклидова геометрия» . МакТурор . Шотландия, Великобритания: Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 6 ноября 2022 года . Проверено 8 февраля 2024 г.
  36. ^ Джойнер, Дэвид (2008). «(Юридическая) группа по сборке кубика Рубика». Приключения в теории групп: кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е изд.). Издательство Университета Джонса Хопкинса . стр. 219–232. ISBN  978-0-8018-9012-3 . LCCN   2008011322 . OCLC   213765703 .
  37. ^ Кристианидис, Жан; Оукс, Джеффри (май 2013 г.). «Практика алгебры в поздней античности: решение проблем Диофанта Александрийского» . История Математики . 40 (2): 127–163. дои : 10.1016/j.hm.2012.09.001 . eISSN   1090-249X . ISSN   0315-0860 . LCCN   75642280 . ОСЛК   2240703 . S2CID   121346342 .
  38. ^ Кляйнер 2007 , «История классической алгебры», стр. 3–5.
  39. ^ Шейн, Дэвид (2022). «Числа-фигуры: исторический обзор древней математики» (PDF) . Методистский университет . п. 20 . Проверено 13 июня 2024 г. В своей работе Диофант сосредоточился на выводе арифметических свойств фигурных чисел, таких как вычисление количества сторон, различные способы выражения числа в виде фигурного числа и формулировка арифметических прогрессий.
  40. ^ Овербей, Шон; Шорер, Джимми; Конгер, Хизер. «Аль-Хорезми» . Университет Кентукки . Проверено 13 июня 2024 г.
  41. ^ Лим, Лиза (21 декабря 2018 г.). «Откуда взялась буква x, которую мы используем в алгебре, и буква X в Рождество» . Южно-Китайская Морнинг Пост . Архивировано из оригинала 22 декабря 2018 года . Проверено 8 февраля 2024 г.
  42. ^ Бернтьес, Соня . «Алгебра» . Энциклопедия ислама онлайн (3-е изд.). ISSN   1573-3912 . LCCN   2007238847 . OCLC   56713464 . Проверено 13 июня 2024 г.
  43. ^ Оукс, Джеффри А. (2018). «Революция Франсуа Вьета в алгебре» (PDF) . Архив истории точных наук . 72 (3): 245–302. дои : 10.1007/s00407-018-0208-0 . eISSN   1432-0657 . ISSN   0003-9519 . LCCN   63024699 . ОСЛК   1482042 . S2CID   125704699 . Архивировано (PDF) из оригинала 8 ноября 2022 г. Проверено 8 февраля 2024 г.
  44. ^ «Переменная по математике» . Гики для Гиков . 24 апреля 2024 г. . Проверено 13 июня 2024 г.
  45. ^ Кляйнер 2007 , «История линейной алгебры», стр. 79–101.
  46. ^ Корри, Лео (2004). «Эмми Нётер: идеалы и структуры». Современная алгебра и появление математических структур (2-е исправленное изд.). Германия: Биркхойзер Базель. стр. 247–252. ISBN  3-7643-7002-5 . LCCN   2004556211 . OCLC   51234417 . Проверено 8 февраля 2024 г.
  47. ^ Риш, Жак (2007). «От универсальной алгебры к универсальной логике». В Безио, JY; Коста-Лейте, Александр (ред.). Перспективы универсальной логики . Милан, Италия: Международное научное издательство Polimetrica. стр. 3–39. ISBN  978-88-7699-077-9 . OCLC   647049731 . Проверено 8 февраля 2024 г.
  48. ^ Кремер, Ральф (2007). Инструмент и объект: история и философия теории категорий . Научные сети - исторические исследования. Том. 32. Германия: Springer Science & Business Media . стр. XXI–XXV, 1–91. ISBN  978-3-7643-7523-2 . LCCN   2007920230 . OCLC   85242858 . Проверено 8 февраля 2024 г.
  49. ^ Гвиччардини, Никколо (2017). «Спор об исчислении Ньютона-Лейбница, 1708–1730» (PDF) . В Шлиссере, Эрик; Сминк, Крис (ред.). Оксфордский справочник Ньютона . Оксфордские справочники. Издательство Оксфордского университета . дои : 10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9 . ISBN  978-0-19-993041-8 . OCLC   975829354 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 ноября 2022 г. Проверено 9 февраля 2024 г.
  50. ^ О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (сентябрь 1998 г.). «Леонард Эйлер» . МакТьютор . Шотландия, Великобритания: Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 9 ноября 2022 года . Проверено 9 февраля 2024 г.
  51. ^ «Исчисление (Дифференциальное и интегральное исчисление с примерами)» . Биджу . Проверено 13 июня 2024 г.
  52. ^ Франклин, Джеймс (июль 2017 г.). «Дискретное и непрерывное: фундаментальная дихотомия в математике» . Журнал гуманистической математики . 7 (2): 355–378. дои : 10.5642/jhummath.201702.18 . ISSN   2159-8118 . LCCN   2011202231 . OCLC   700943261 . S2CID   6945363 . Проверено 9 февраля 2024 г.
  53. ^ Маурер, Стивен Б. (1997). «Что такое дискретная математика? Множество ответов» . В Розенштейне, Джозеф Г.; Францблау, Дебора С.; Робертс, Фред С. (ред.). Дискретная математика в школе . DIMACS: Серия по дискретной математике и теоретической информатике. Том. 36. Американское математическое общество . стр. 121–124. дои : 10.1090/dimacs/036/13 . ISBN  0-8218-0448-0 . ISSN   1052-1798 . LCCN   97023277 . OCLC   37141146 . S2CID   67358543 . Проверено 9 февраля 2024 г.
  54. ^ Хейлз, Томас К. (2014). «Наследие Тьюринга: развитие идей Тьюринга в логике» . В Дауни, Род (ред.). Наследие Тьюринга . Конспект лекций по логике. Том. 42. Издательство Кембриджского университета . стр. 260–261. дои : 10.1017/CBO9781107338579.001 . ISBN  978-1-107-04348-0 . LCCN   2014000240 . OCLC   867717052 . S2CID   19315498 . Проверено 9 февраля 2024 г.
  55. ^ Сипсер, Майкл (июль 1992 г.). История и статус вопроса P и NP . STOC '92: Материалы двадцать четвертого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. стр. 603–618. дои : 10.1145/129712.129771 . S2CID   11678884 .
  56. ^ Эвальд, Уильям (17 ноября 2018 г.). «Появление логики первого порядка» . Стэнфордская энциклопедия философии . ISSN   1095-5054 . LCCN   sn97004494 . ОСЛК   37550526 . Проверено 14 июня 2024 г.
  57. ^ Феррейрос, Хосе (18 июня 2020 г.) [Впервые опубликовано 10 апреля 2007 г.]. «Раннее развитие теории множеств» . Стэнфордская энциклопедия философии . ISSN   1095-5054 . LCCN   sn97004494 . ОСЛК   37550526 . Проверено 14 июня 2024 г.
  58. ^ Феррейрос, Хосе (декабрь 2001 г.). «Дорога к современной логике — интерпретация» (PDF) . Бюллетень символической логики . 7 (4): 441–484. дои : 10.2307/2687794 . eISSN   1943-5894 . hdl : 11441/38373 . ISSN   1079-8986 . JSTOR   2687794 . LCCN   95652899 . OCLC   31616719 . S2CID   43258676 . Проверено 14 июня 2024 г.
  59. ^ Уолчовер, Натали , изд. (26 ноября 2013 г.). «Спор о бесконечности разделяет математиков» . Журнал Кванта . Проверено 14 июня 2024 г.
  60. ^ Чжуан, Чаохуэй. «Анализ Витгенштейна диагонального аргумента Кантора» (DOC) . ФилАрхив . Проверено 14 июня 2024 г.
  61. ^ Тансуэлл, Феннер Стэнли (2024). Математическая строгость и неформальное доказательство . Кембриджские элементы философии математики. Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/9781009325110 . eISSN   2399-2883 . ISBN  978-1-009-49438-0 . ISSN   2514-3808 . OCLC   1418750041 .
  62. ^ Авигад, Джереми ; Рек, Эрих Х. (11 декабря 2001 г.). « «Прояснение природы бесконечного»: развитие метаматематики и теории доказательств» (PDF) . Университет Карнеги-Меллон . Проверено 14 июня 2024 г.
  63. ^ Гамильтон, Алан Г. (1982). Числа, множества и аксиомы: аппарат математики . Издательство Кембриджского университета. стр. 3–4. ISBN  978-0-521-28761-6 . Проверено 12 ноября 2022 г.
  64. ^ Снаппер, Эрнст (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм». Журнал «Математика» . 52 (4): 207–216. дои : 10.2307/2689412 . ISSN   0025-570X . JSTOR   2689412 .
  65. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Раатикайнен, Пану (октябрь 2005 г.). «О философском значении теорем Гёделя о неполноте» . Международное ревю философии . 59 (4): 513–534. дои : 10.3917/rip.234.0513 . JSTOR   23955909 . S2CID   52083793 . Архивировано из оригинала 12 ноября 2022 года . Проверено 12 ноября 2022 г.
  66. ^ Мошовакис, Джоан (4 сентября 2018 г.). «Интуиционистская логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 16 декабря 2022 года . Проверено 12 ноября 2022 г.
  67. ^ Маккарти, Чарльз (2006). «В основе анализа: интуиционизм и философия» . Философия науки, Cahier Special 6 : 81–94. doi : 10.4000/philosophiascientiae.411 .
  68. ^ Халперн, Джозеф ; Харпер, Роберт ; Иммерман, Нил ; Колайтис, Фокион ; Варди, Моше ; Виану, Виктор (2001). «О необычной эффективности логики в информатике» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 3 марта 2021 г. Проверено 15 января 2021 г.
  69. ^ Руо, Матье (апрель 2017 г.) [Впервые опубликовано в июле 2013 г.]. Вероятность, статистика и оценка (PDF) . п. 10. Архивировано (PDF) оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 13 февраля 2024 г.
  70. ^ Рао, К. Радхакришна (1997) [1989]. Статистика и правда: использование шансов (2-е изд.). Всемирная научная. стр. 3–17, 63–70. ISBN  981-02-3111-3 . LCCN   97010349 . МР   1474730 . OCLC   36597731 .
  71. ^ Рао, К. Радхакришна (1981). «Предисловие» В Артханари, ТС; Додж, Ядола (ред.). Математическое программирование в статистике . Ряд Уайли по вероятности и математической статистике. Нью-Йорк: Уайли. стр. 100-1 vii-viii. ISBN  978-0-471-08073-2 . LCCN   80021637 . МР   0607328 . OCLC   6707805 .
  72. ^ Уиттл 1994 , стр. 10–11, 14–18.
  73. ^ Марчук Гурий Иванович (апрель 2020 г.). «Пленар Г.И. Марчука: ICM 1970» . МакТьютор . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 13 ноября 2022 года . Проверено 13 ноября 2022 г.
  74. ^ Джонсон, Гэри М.; Каваллини, Джон С. (сентябрь 1991 г.). Фуа, Кан Хо; Ло, Киа Фок (ред.). Грандиозные задачи, высокопроизводительные вычисления и вычислительная наука . Сингапурская конференция по суперкомпьютерам'90: Суперкомпьютеры для стратегического преимущества. Всемирная научная. п. 28. LCCN   91018998 . Проверено 13 ноября 2022 г.
  75. ^ Трефетен, Ллойд Н. (2008). «Численный анализ». В Гауэрсе, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский справочник по математике (PDF) . Издательство Принстонского университета . стр. 604–615. ISBN  978-0-691-11880-2 . LCCN   2008020450 . МР   2467561 . OCLC   227205932 . Архивировано (PDF) оригинала 7 марта 2023 г. Проверено 15 февраля 2024 г.
  76. ^ См., например, Уайлдер, Раймонд Л. Эволюция математических концепций; Элементарное исследование . пассим.
  77. ^ Заславский, Клавдия (1999). Африка имеет значение: число и закономерности в африканской культуре . Чикаго Ревью Пресс. ISBN  978-1-61374-115-3 . OCLC   843204342 .
  78. ^ Клайн 1990 , Глава 1.
  79. ↑ Месопотамия , стр. 10. Проверено 1 июня 2024 г.
  80. ^ Бойер 1991 , «Месопотамия», стр. 24–27.
  81. ^ Хит, Томас Литтл (1981) [1921]. История греческой математики: от Фалеса до Евклида . Нью-Йорк: Dover Publications. п. 1. ISBN  978-0-486-24073-2 .
  82. ^ Мюллер, И. (1969). «Элементы Евклида и аксиоматический метод». Британский журнал философии науки . 20 (4): 289–309. дои : 10.1093/bjps/20.4.289 . ISSN   0007-0882 . JSTOR   686258 .
  83. ^ Бойер 1991 , «Евклид Александрийский», с. 119.
  84. ^ Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», с. 120.
  85. ^ Бойер 1991 , «Архимед Сиракузский», с. 130.
  86. ^ Бойер 1991 , «Аполлоний Пергский», с. 145.
  87. ^ Бойер 1991 , «Греческая тригонометрия и измерение», с. 162.
  88. ^ Бойер 1991 , «Возрождение и упадок греческой математики», с. 180.
  89. ^ Оре, Эйстейн (1988). Теория чисел и ее история . Курьерская корпорация. стр. 19–24. ISBN  978-0-486-65620-5 . Проверено 14 ноября 2022 г.
  90. ^ Сингх, А.Н. (январь 1936 г.). «Об использовании рядов в индуистской математике». Осирис . 1 : 606–628. дои : 10.1086/368443 . JSTOR   301627 . S2CID   144760421 .
  91. ^ Колачана, А.; Махеш, К.; Рамасубраманиан, К. (2019). «Использование сериалов в Индии». Исследования по индийской математике и астрономии . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Сингапур: Спрингер. стр. 438–461. дои : 10.1007/978-981-13-7326-8_20 . ISBN  978-981-13-7325-1 . S2CID   190176726 .
  92. ^ Салиба, Джордж (1994). История арабской астрономии: планетарные теории в золотой век ислама . Издательство Нью-Йоркского университета. ISBN  978-0-8147-7962-0 . ОСЛК   28723059 .
  93. ^ Фаруки, Ясмин М. (2006). «Вклад исламских ученых в научное предприятие» . Международный образовательный журнал . 7 (4). Shannon Research Press: 391–399. Архивировано из оригинала 14 ноября 2022 года . Проверено 14 ноября 2022 г.
  94. ^ Лорх, Ричард (июнь 2001 г.). «Греко-арабско-латинский язык: передача математических текстов в средние века» (PDF) . Наука в контексте . 14 (1–2). Издательство Кембриджского университета: 313–331. дои : 10.1017/S0269889701000114 . S2CID   146539132 . Архивировано (PDF) оригинала 17 декабря 2022 г. Проверено 5 декабря 2022 г.
  95. ^ Кент, Бенджамин (2022). История науки (PDF) . Том. 2. Электронная библиотека «Библиотекс». ISBN  9781984668677 .
  96. ^ Арчибальд, Раймонд Клэр (январь 1949 г.). «История математики после шестнадцатого века». Американский математический ежемесячник . Часть 2: Очерк истории математики. 56 (1): 35–56. дои : 10.2307/2304570 . JSTOR   2304570 .
  97. ^ Севрюк 2006 , стр. 101–109.
  98. ^ Вольфрам, Стефан (октябрь 2000 г.). Математические обозначения: прошлое и будущее . MathML и математика в Интернете: Международная конференция MathML 2000, Урбана Шампейн, США. Архивировано из оригинала 16 ноября 2022 года . Проверено 3 февраля 2024 г.
  99. ^ Дуглас, Хизер; Хедли, Марсия Гейл; Хадден, Стефани; ЛеФевр, Жо-Анн (3 декабря 2020 г.). «Знание математических символов выходит за рамки чисел» . Журнал числового познания . 6 (3): 322–354. дои : 10.5964/jnc.v6i3.293 . eISSN   2363-8761 . S2CID   228085700 .
  100. ^ Летурно, Мэри; Райт Шарп, Дженнифер (октябрь 2017 г.). «Руководство по стилю AMS» (PDF) . Американское математическое общество . п. 75. Архивировано (PDF) из оригинала 8 декабря 2022 года . Проверено 3 февраля 2024 г.
  101. ^ Янсен, Энтони Р.; Марриотт, Ким; Йелланд, Грег В. (2000). «Структура составляющих математических выражений» (PDF) . Труды ежегодного собрания Общества когнитивных наук . 22 . Калифорнийский университет Мерсед . eISSN   1069-7977 . ОСЛК   68713073 . Архивировано (PDF) из оригинала 16 ноября 2022 г. Проверено 3 февраля 2024 г.
  102. ^ Росси, Ричард Дж. (2006). Теоремы, следствия, леммы и методы доказательства . Чистая и прикладная математика: серия текстов, монографий и трактатов Wiley. Джон Уайли и сыновья . стр. 1–14, 47–48. ISBN  978-0-470-04295-3 . LCCN   2006041609 . OCLC   64085024 .
  103. ^ «Самые ранние варианты использования некоторых математических слов» . МакТьютор . Шотландия, Великобритания: Университет Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 29 сентября 2022 года . Проверено 3 февраля 2024 г.
  104. ^ Сильвер, Дэниел С. (ноябрь – декабрь 2017 г.). «Новый язык математики» . Американский учёный . 105 (6). Сигма Си : 364–371. дои : 10.1511/2017.105.6.364 . ISSN   0003-0996 . LCCN   43020253 . OCLC   1480717 . S2CID   125455764 .
  105. ^ Белломо, Никола; Прециози, Луиджи (22 декабря 1994 г.). Моделирование математических методов и научных вычислений . Математическое моделирование. Том. 1. ЦРК Пресс. п. 1. ISBN  978-0-8493-8331-1 . Проверено 16 ноября 2022 г.
  106. ^ Хенниг, Кристиан (2010). «Математические модели и реальность: конструктивистский взгляд» . Основы науки . 15 : 29–48. дои : 10.1007/s10699-009-9167-x . S2CID   6229200 . Проверено 17 ноября 2022 г.
  107. ^ Фригг, Роман ; Хартманн, Стефан (4 февраля 2020 г.). «Модели в науке» . Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 17 ноября 2022 года . Проверено 17 ноября 2022 г.
  108. ^ Стюарт, Ян (2018). «Математика, карты и модели» . В Вуппулури, Шьям; Дориа, Франсиско Антонио (ред.). Карта и территория: изучение основ науки, мысли и реальности . Коллекция «Границы». Спрингер. стр. 345–356. дои : 10.1007/978-3-319-72478-2_18 . ISBN  978-3-319-72478-2 . Проверено 17 ноября 2022 г.
  109. ^ «Примененный контрольный список по естественным наукам: Математика» . Понимание науки . Калифорнийский университет, Беркли. Архивировано из оригинала 27 октября 2019 года . Проверено 27 октября 2019 г.
  110. ^ Маккей, Алабама (1991). Словарь научных цитат . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 100. ИСБН  978-0-7503-0106-0 . Проверено 19 марта 2023 г.
  111. ^ Бишоп, Алан (1991). «Экологическая деятельность и математическая культура» . Математическая инкультурация: культурный взгляд на математическое образование . Норвелл, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. стр. 20–59. ISBN  978-0-7923-1270-3 . Проверено 5 апреля 2020 г.
  112. ^ Шаша, Деннис Эллиот ; Лазер, Кэти А. (1998). Они сошли с ума: жизнь и открытия 15 великих ученых-компьютерщиков . Спрингер. п. 228. ИСБН  978-0-387-98269-4 .
  113. ^ Никлс, Томас (2013). «Проблема демаркации». Философия лженауки: новый взгляд на проблему демаркации . Чикаго: Издательство Чикагского университета. п. 104. ИСБН  978-0-226-05182-6 .
  114. ^ Пильуччи, Массимо (2014). «Есть ли «другие» способы узнать?» . Философия сейчас . Архивировано из оригинала 13 мая 2020 года . Проверено 6 апреля 2020 г.
  115. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Феррейрос, Дж. (2007). «Возникновение чистой математики как арифметики с Гауссом » В Гольдштейне, Кэтрин ; Шаппахер, Норберт; Швермер, Иоахим (ред.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae » К. Ф. Гаусса. Springer Science & Business Media. стр. 100-1 235–268. ISBN  978-3-540-34720-0 .
  116. ^ Кун, Томас С. (1976). «Математические и экспериментальные традиции в развитии физической науки». Журнал междисциплинарной истории . 7 (1). Массачусетский технологический институт: 1–31. дои : 10.2307/202372 . JSTOR   202372 .
  117. ^ Аспер, Маркус (2009). «Две математические культуры в Древней Греции» . В Робсоне, Элеонора; Стедалл, Жаклин (ред.). Оксфордский справочник по истории математики . Оксфордские справочники по математике. ОУП Оксфорд. стр. 107–132. ISBN  978-0-19-921312-2 . Проверено 18 ноября 2022 г.
  118. ^ Гозвами, Пинкимани; Сингх, Мадан Мохан (2019). «Проблема целочисленной факторизации». У Ахмада Халил; Доджа, Миннесота; Удзир, Нур Изура; Сингх, Ману Пратап (ред.). Новые алгоритмы и методы обеспечения безопасности . ЦРК Пресс. стр. 59–60. ISBN  978-0-8153-6145-9 . LCCN   2019010556 . OCLC   1082226900 .
  119. ^ Мэдди, П. (2008). «Как прикладная математика стала чистой» (PDF) . Обзор символической логики . 1 (1): 16–41. дои : 10.1017/S1755020308080027 . S2CID   18122406 . Архивировано (PDF) из оригинала 12 августа 2017 г. Проверено 19 ноября 2022 г.
  120. ^ Сильвер, Дэниел С. (2017). «В защиту чистой математики» . В Питичи, Мирча (ред.). Лучшее сочинение по математике, 2016 г. Издательство Принстонского университета. стр. 17–26. ISBN  978-0-691-17529-4 . Проверено 19 ноября 2022 г.
  121. ^ Паршалл, Карен Хангер (2022). «Американское математическое общество и прикладная математика с 1920-х по 1950-е годы: ревизионистский отчет» . Бюллетень Американского математического общества . 59 (3): 405–427. дои : 10.1090/bull/1754 . S2CID   249561106 . Архивировано из оригинала 20 ноября 2022 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
  122. ^ Штольц, Майкл (2002). «История прикладной математики и история общества» . Синтезируйте . 133 : 43–57. дои : 10.1023/А:1020823608217 . S2CID   34271623 . Проверено 20 ноября 2022 г.
  123. ^ Лин, C.C. (март 1976 г.). «О роли прикладной математики» . Достижения в математике . 19 (3): 267–288. дои : 10.1016/0001-8708(76)90024-4 .
  124. ^ Перессини, Энтони (сентябрь 1999 г.). Применение чистой математики (PDF) . Философия науки. Материалы совещаний Ассоциации философии науки, проводимых раз в два года в 1998 году. Часть I: Предоставленные статьи. Том. 66. стр. С1–С13. JSTOR   188757 . Архивировано (PDF) оригинала 2 января 2024 г. Проверено 30 ноября 2022 г.
  125. ^ Лютцен, Дж. (2011). «Примеры и размышления о взаимодействии математики и физики в XIX и XX веках» . В Шлоте, КХ; Шнайдер, М. (ред.). Математика встречается с физикой: вклад в их взаимодействие в XIX и первой половине XX века . Франкфурт-на-Майне: Verlag Harri Deutsch. Архивировано из оригинала 23 марта 2023 года . Проверено 19 ноября 2022 г.
  126. ^ Маркер, Дэйв (июль 1996 г.). «Теория моделей и возведение в степень» . Уведомления Американского математического общества . 43 (7): 753–759. Архивировано из оригинала 13 марта 2014 года . Проверено 19 ноября 2022 г.
  127. ^ Чен, Чанбо; Маза, Марк Морено (август 2014 г.). Цилиндрическое алгебраическое разложение в библиотеке RegularChains . Международный конгресс по математическому программному обеспечению 2014. Конспекты лекций по информатике. Том. 8592. Берлин: Шпрингер. дои : 10.1007/978-3-662-44199-2_65 . Проверено 19 ноября 2022 г.
  128. ^ Перес-Эскобар, Хосе Антонио; Сарыкая, Дениз (2021). «Очищение прикладной математики и применение чистой математики: как поздняя точка зрения Витгенштейна проливает свет на дихотомию» . Европейский журнал философии науки . 12 (1): 1–22. дои : 10.1007/s13194-021-00435-9 . S2CID   245465895 .
  129. ^ Такасе, М. (2014). «Чистая математика и прикладная математика неразрывно переплетены: наблюдение раннего анализа бесконечности» . Математический подход к исследованию проблем науки и техники . Математика для промышленности. Том. 5. Токио: Спрингер. стр. 393–399. дои : 10.1007/978-4-431-55060-0_29 . ISBN  978-4-431-55059-4 . Проверено 20 ноября 2022 г.
  130. ^ Саруккай, Сундар (10 февраля 2005 г.). «Возвращение к« необоснованной эффективности »математики». Современная наука . 88 (3): 415–423. JSTOR   24110208 .
  131. ^ Вагстафф, Сэмюэл С. младший (2021). «История целочисленного факторинга» (PDF) . В Босе, Жоппе В.; Стам, Мартейн (ред.). Вычислительная криптография, алгоритмические аспекты криптографии, дань уважения AKL . Серия 469 лекций Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета. стр. 41–77. Архивировано (PDF) из оригинала 20 ноября 2022 г. Проверено 20 ноября 2022 г.
  132. ^ «Кривые: Эллипс» . МакТьютор . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 14 октября 2022 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
  133. ^ Мукунтх, Васудеван (10 сентября 2015 г.). «За поверхностью теории относительности Эйнштейна лежит химерическая геометрия» . Проволока . Архивировано из оригинала 20 ноября 2022 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
  134. ^ Уилсон, Эдвин Б.; Льюис, Гилберт Н. (ноябрь 1912 г.). «Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма». Труды Американской академии искусств и наук . 48 (11): 389–507. дои : 10.2307/20022840 . JSTOR   20022840 .
  135. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Борель, Арманд (1983). «Математика: искусство и наука» . Математический интеллект . 5 (4). Спрингер: 9–17. дои : 10.4171/news/103/8 . ISSN   1027-488X .
  136. ^ Хэнсон, Норвуд Рассел (ноябрь 1961 г.). «Открытие позитрона (I)». Британский журнал философии науки . 12 (47). Издательство Чикагского университета: 194–214. дои : 10.1093/bjps/xiii.49.54 . JSTOR   685207 .
  137. ^ Джинамми, Мишель (февраль 2016 г.). «Избежание овеществления: эвристическая эффективность математики и предсказание Ω – частица». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 53 : 20–27. Бибкод : 2016SHPMP..53...20G . doi : 10.1016/j.shpsb.2015.12.001 .
  138. ^ Ваг, Санджай Морешвар; Дешпанде, Дилип Абасахеб (27 сентября 2012 г.). Основы физики PHI Learning Pvt. ООО п. 3. ISBN  978-81-203-4642-0 . Проверено 3 января 2023 г.
  139. ^ Атья, Майкл (1990). О творчестве Эдварда Виттена (PDF) . Материалы Международного конгресса математиков. п. 31. Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2013 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  140. ^ «Курс 18C Математика с информатикой» . math.mit.edu . Проверено 1 июня 2024 г.
  141. ^ «Теоретическая информатика» . math.mit.edu . Проверено 1 июня 2024 г.
  142. ^ «Реальные применения дискретной математики» . Гики для Гиков . 8 апреля 2024 г. . Проверено 19 мая 2024 г.
  143. ^ Хейлз, Томас; Адамс, Марк; Бауэр, Гертруда; Данг, Тат Дат; Харрисон, Джон; Хоанг, Ле Труонг; Калишик, Цезарь; Магрон, Виктор; Маклафлин, Шон; Нгуен, Тат Тханг; Нгуен, Куанг Чыонг; Нипков, Тобиас; Обуа, Стивен; Плесо, Джозеф; Рут, Джейсон; Соловьев Алексей; Та, Тхи Хоай Ан; Тран, Нам Чунг; Трие, Ти Дьеп; Урбан, Йозеф; Ву, Кай; Цумкеллер, Роланд (2017). «Формальное доказательство гипотезы Кеплера» . Форум математики, Пи . 5 : е2. дои : 10.1017/fmp.2017.1 . hdl : 2066/176365 . ISSN   2050-5086 . S2CID   216912822 . Архивировано из оригинала 4 декабря 2020 года . Проверено 25 февраля 2023 г.
  144. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Мильштейн, Роберта (8 сентября 2016 г.). «Вероятность в биологии: случай пригодности» (PDF) . В Хайеке, Алан; Хичкок, Кристофер (ред.). Оксфордский справочник по теории вероятностей и философии . стр. 601–622. дои : 10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27 . Архивировано (PDF) оригинала 7 марта 2023 г. Проверено 29 декабря 2022 г.
  145. ^ См., например, Анн Лоран, Ролан Гамет, Жером Пантель, Новые тенденции в моделировании окружающей среды, материалы конгресса «Программа «Окружающая среда, жизнь и общество» , 15-17 января 1996 г., CNRS.
  146. ^ Берч 1999 , стр. 282–283.
  147. ^ Берч 1999 , с. 285.
  148. ^ «1.4: Модель Лотки-Вольтерры хищник-жертва» . Математика LibreTexts . 5 января 2022 года. Архивировано из оригинала 29 декабря 2022 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  149. ^ Зальсбург, Дэвид (17 августа 1992 г.). «Комментарий» (PDF) . Использование статистических методов при анализе клинических исследований . 46:17 .
  150. ^ Национальный исследовательский совет (2003). «8». За пределами молекулярной границы: проблемы химии и химической инженерии . НАП.edu. стр. 71–73. дои : 10.17226/10633 . ISBN  978-0-309-16839-7 . ПМИД   25032300 .
  151. ^ «Модели катастроф (Собственность)» . content.naic.org . Проверено 19 мая 2024 г.
  152. ^ «Очерк МАМ2001» . www2.amstat.org . Проверено 19 мая 2024 г.
  153. ^ Хилл, Муллика (7 сентября 2022 г.). «КАК МАТЕМАТИКА ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В ПРОГНОЗЕ ПОГОДЫ» . www.mathnasium.com . Проверено 19 мая 2024 г.
  154. ^ «Использование математических моделей для исследования обитаемости планет» (PDF) . НАСА . Проверено 19 мая 2024 г.
  155. ^ Эдлинг, Кристофер Р. (2002). «Математика в социологии» . Ежегодный обзор социологии . 28 (1): 197–220. дои : 10.1146/annurev.soc.28.110601.140942 . ISSN   0360-0572 .
  156. ^ Батчелдер, Уильям Х. (1 января 2015 г.). «Математическая психология: История» . В Райте, Джеймс Д. (ред.). Международная энциклопедия социальных и поведенческих наук (второе издание) . Оксфорд: Эльзевир. стр. 808–815. ISBN  978-0-08-097087-5 . Проверено 30 сентября 2023 г.
  157. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Зак, Пол Дж. (2010). Моральные рынки: решающая роль ценностей в экономике . Издательство Принстонского университета. п. 158. ИСБН  978-1-4008-3736-6 . Проверено 3 января 2023 г.
  158. ^ Левин, Джонатан; Милгром, Пол (сентябрь 2004 г.). Введение в теорию выбора (PDF) .
  159. ^ https: // Economics.mit.edu/sites/default/files/2022-09/behavioral-development- Economics.pdf#: ~:text=URL%3A%20https%3A%2F%2F Economics.mit.edu% 2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2F2022 [ только URL ]
  160. ^ «Математика» . www.mdpi.com .
  161. ^ «Кондратьев Николай Дмитриевич | Энциклопедия.com» . www.энциклопедия.com . Архивировано из оригинала 1 июля 2016 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  162. ^ «Математика истории-геометрии и кинематики. Законы Брюка. Геодезическая хронология Библии. Шарля ЛАГРАНЖА и др. | Страница онлайн-книг» . onlinebooks.library.upenn.edu .
  163. ^ «Клиодинамика: наука о предсказании будущего» . ЗДНЕТ . Архивировано из оригинала 29 декабря 2022 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  164. ^ Сокал, Алан ; Жан Брикмон (1998). Модная ерунда . Нью-Йорк: Пикадор. ISBN  978-0-312-19545-8 . ОСЛК   39605994 .
  165. ^ «Вводящая в заблуждение статистика по безработице Байдена — FactCheck.org» .
  166. ^ «Современные макроэкономические модели как инструменты экономической политики | Федеральный резервный банк Миннеаполиса» . www.minneapolisfed.org .
  167. ^ Божуан, Гай (1994). Понимание и освоение природы в средние века: смеси истории наук, предложенные Ги Божуаном (на французском языке). Книжный магазин «Дроз». п. 130. ИСБН  978-2-600-00040-6 . Проверено 3 января 2023 г.
  168. ^ «Астрология проверена: она не работает, она никогда не работала / Afis Science – Французская ассоциация научной информации» . Afis Science – Французская ассоциация научной информации (на французском языке). Архивировано из оригинала 29 января 2023 года . Проверено 28 декабря 2022 г.
  169. ^ Балагер, Марк (2016). «Платонизм в метафизике» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2016 г.). Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 30 января 2022 года . Проверено 2 апреля 2022 г.
  170. ^ См. Уайт, Л. (1947). «Локус математической реальности: антропологическая сноска». Философия науки . 14 (4): 289–303. дои : 10.1086/286957 . S2CID   119887253 . 189303; также в Ньюман, младший (1956). Мир математики . Том. 4. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. стр. 2348–2364.
  171. ^ Дорато, Мауро (2005). «Почему законы математические?» (PDF) . Программное обеспечение Вселенной. Введение в историю и философию законов природы . Эшгейт. стр. 31–66. ISBN  978-0-7546-3994-7 . Архивировано (PDF) из оригинала 17 августа 2023 г. Проверено 5 декабря 2022 г.
  172. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Мура, Роберта (декабрь 1993 г.). «Образы математики, хранящиеся преподавателями математических наук университетов». Образовательные исследования по математике . 25 (4): 375–85. дои : 10.1007/BF01273907 . JSTOR   3482762 . S2CID   122351146 .
  173. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Тобис, Рената ; Нойнцерт, Хельмут (2012). Ирис Рунге: Жизнь на перекрестке математики, науки и промышленности . Спрингер. п. 9. ISBN  978-3-0348-0229-1 . Проверено 20 июня 2015 г. [Сначала необходимо спросить, что подразумевается под математикой вообще. Прославленные учёные спорили по этому вопросу до посинения, но до сих пор не было достигнуто единого мнения относительно того, является ли математика естественной наукой, отраслью гуманитарных наук или формой искусства.
  174. ^ Циглер, Гюнтер М .; Лоос, Андреас (2 ноября 2017 г.). Кайзер, Г. (ред.). «Что такое математика?» и почему мы должны спрашивать, где этому можно научиться и научиться и как этому научить . Материалы 13-го Международного конгресса по математическому образованию. Монографии ICME-13. Спрингер. стр. 63–77. дои : 10.1007/978-3-319-62597-3_5 . ISBN  978-3-319-62596-6 .
  175. ^ Франклин, Джеймс (2009). Философия математики . Эльзевир. стр. 104–106. ISBN  978-0-08-093058-9 . Проверено 20 июня 2015 г.
  176. ^ Каджори, Флориан (1893). История математики . Американское математическое общество (переиздание 1991 г.). стр. 285–286. ISBN  978-0-8218-2102-2 . Проверено 20 июня 2015 г.
  177. ^ Сондерс Маклейн (1986). Математика, форма и функция . Спрингер. , стр. 409
  178. ^ Браун, Рональд ; Портер, Тимоти (январь 2000 г.). «Методология математики» . Математический вестник . 79 (485): 321–334. дои : 10.2307/3618304 . JSTOR   3618304 . S2CID   178923299 . Архивировано из оригинала 23 марта 2023 года . Проверено 25 ноября 2022 г.
  179. ^ Штраус, Дэни (2011). «Определение математики» . Акта Академика . 43 (4): 1–28 . Проверено 25 ноября 2022 г.
  180. ^ Хамами, Яцин (июнь 2022 г.). «Математическая строгость и доказательство» (PDF) . Обзор символической логики . 15 (2): 409–449. дои : 10.1017/S1755020319000443 . S2CID   209980693 . Архивировано (PDF) оригинала 5 декабря 2022 г. Проверено 21 ноября 2022 г.
  181. ^ Петерсон 1988 , с. 4: «Некоторые жалуются, что компьютерную программу невозможно проверить должным образом». (со ссылкой на доказательство Хакена-Эппла теоремы о четырех цветах )
  182. ^ Перминов, В.Я. (1988). «О достоверности математических доказательств». Философия математики . 42 (167 (4)). Международное ревю философии: 500–508.
  183. ^ Дэвис, Джон Д.; Макдаффи, Эми Рот; Дрейк, Кори; Сейвелл, Аманда Л. (2019). «Восприятие учителями официальной учебной программы: решение проблем и строгость». Международный журнал исследований в области образования . 93 : 91–100. дои : 10.1016/j.ijer.2018.10.002 . S2CID   149753721 .
  184. ^ Эндсли, Кезия (2021). Математики и статистики: Практическое руководство по карьере . Практические руководства по карьере. Роуман и Литтлфилд. стр. 1–3. ISBN  978-1-5381-4517-3 . Проверено 29 ноября 2022 г.
  185. ^ Робсон, Элеонора (2009). «Математическое образование в старовавилонской школе писцов» . В Робсоне, Элеонора; Стедалл, Жаклин (ред.). Оксфордский справочник по истории математики . ОУП Оксфорд. ISBN  978-0-19-921312-2 . Проверено 24 ноября 2022 г.
  186. ^ Бернар, Ален; Пруст, Кристина ; Росс, Мика (2014). «Математическое образование в древности». В Карп А.; Шубринг, Г. (ред.). Справочник по истории математического образования . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 27–53. дои : 10.1007/978-1-4614-9155-2_3 . ISBN  978-1-4614-9154-5 .
  187. ^ Дадли, Андервуд (апрель 2002 г.). «Первый в мире учебник математики». Математические горизонты . 9 (4). Тейлор и Фрэнсис, ООО: 8–11. дои : 10.1080/10724117.2002.11975154 . JSTOR   25678363 . S2CID   126067145 .
  188. ^ Субрамарян, Ф. Индийская педагогика и решение проблем в древнем Тамижакаме (PDF) . Конференция по истории и педагогике математики, 16–20 июля 2012 г. Архивировано (PDF) из оригинала 28 ноября 2022 г. . Проверено 29 ноября 2022 г.
  189. ^ Сиу, Ман Кеунг (2004). «Официальная учебная программа по математике в Древнем Китае: как кандидаты готовились к экзамену?». Как китайцы изучают математику (PDF) . Серия по математическому образованию. Том. 1. С. 157–185. дои : 10.1142/9789812562241_0006 . ISBN  978-981-256-014-8 . Проверено 26 ноября 2022 г.
  190. ^ Джонс, Филипп С. (1967). «История математического образования». Американский математический ежемесячник . 74 (1). Тейлор и Фрэнсис, ООО: 38–55. дои : 10.2307/2314867 . JSTOR   2314867 .
  191. ^ Шубринг, Герт; Фурингетти, Фульвия; Сиу, Ман Кеунг (август 2012 г.). «Введение: история преподавания математики. Индикаторы процессов модернизации в обществах» . ЗДМ Математическое образование . 44 (4): 457–459. дои : 10.1007/s11858-012-0445-7 . S2CID   145507519 .
  192. ^ фон Давьер, Матиас; Фой, Пьер; Мартин, Майкл О.; Муллис, Ина против (2020). «Изучение различий между странами eTIMSS между данными eTIMSS и данными моста: взгляд на эффекты режима администрирования на уровне страны». Международные результаты TIMSS 2019 по математике и естественным наукам (PDF) . Международный учебный центр TIMSS & PIRLS , Школа образования и человеческого развития Линча и Международная ассоциация оценки образовательных достижений . п. 13.1. ISBN  978-1-889938-54-7 . Архивировано (PDF) оригинала 29 ноября 2022 г. Проверено 29 ноября 2022 г.
  193. ^ Роуэн-Кеньон, Хизер Т.; Свон, Эми К.; Крегер, Мари Ф. (март 2012 г.). «Социально-когнитивные факторы, поддержка и участие: математические интересы ранних подростков как предшественники выбора карьеры» (PDF) . Ежеквартальный журнал «Карьерный рост» . 60 (1): 2–15. дои : 10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x . Архивировано (PDF) из оригинала 22 ноября 2023 г. . Проверено 29 ноября 2022 г.
  194. ^ Люттенбергер, Силке; Виммер, Сигрид; Пахтер, Мануэла (2018). «В центре внимания математическая тревога» . Психологические исследования и управление поведением . 11 : 311–322. дои : 10.2147/PRBM.S141421 . ПМК   6087017 . ПМИД   30123014 .
  195. ^ Яфтян, Наргес (2 июня 2015 г.). «Взгляд на творческие процессы математиков» . Procedia — Социальные и поведенческие науки . 191 : 2519–2525. дои : 10.1016/j.sbspro.2015.04.617 .
  196. ^ Наджафика, Мехди; Яфтян, Наргес (10 октября 2013 г.). «Фронт творчества и математического творчества» . Procedia — Социальные и поведенческие науки . 90 : 344–350. дои : 10.1016/j.sbspro.2013.07.101 .
  197. ^ ван дер Портен, А. (1979). «Доказательство, которое Эйлер пропустил... Доказательство Апери иррациональности ζ(3)» (PDF) . Математический интеллект . 1 (4): 195–203. дои : 10.1007/BF03028234 . S2CID   121589323 . Архивировано (PDF) из оригинала 6 сентября 2015 г. Проверено 22 ноября 2022 г.
  198. ^ Петкови, Предисловие (2 сентября 2009 г.). Знаменитые загадки великих математиков Американское математическое общество. стр. 100-1 xiii–xiv. ISBN  978-0-8218-4814-2 . Проверено 25 ноября 2022 г.
  199. ^ Харди, GH (1940). Извинения математика . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-42706-7 . Проверено 22 ноября 2022 г. См. также «Апология математика» .
  200. ^ Алон, Нога; Голдстон, Дэн; Саркози, Андраш; Сабадос, Джозеф; Тененбаум, Джеральд; Гарсия, Стефан Рамон; Шумейкер, Эми Л. (март 2015 г.). Аллади, Кришнасвами; Кранц, Стивен Г. (ред.). «Размышления о Поле Эрдеше по поводу столетия его рождения, часть II» . Уведомления Американского математического общества . 62 (3): 226–247. дои : 10.1090/noti1223 .
  201. ^ См., например, Бертрана Рассела «Математика, если ее правильно рассматривать, обладает не только истиной, но и высшей красотой…» в его утверждение История западной философии . 1919. с. 60.
  202. ^ Кэзден, Норман (октябрь 1959 г.). «Музыкальные интервалы и простые числовые соотношения». Журнал исследований в области музыкального образования . 7 (2): 197–220. дои : 10.1177/002242945900700205 . JSTOR   3344215 . S2CID   220636812 .
  203. ^ Бадден, Ф.Дж. (октябрь 1967 г.). «Современная математика и музыка». Математический вестник . 51 (377). Издательство Кембриджского университета ({CUP}): 204–215. дои : 10.2307/3613237 . JSTOR   3613237 . S2CID   126119711 .
  204. ^ Энквист, Магнус; Арак, Энтони (ноябрь 1994 г.). «Симметрия, красота и эволюция» . Природа . 372 (6502): 169–172. Бибкод : 1994Natur.372..169E . дои : 10.1038/372169a0 . ISSN   1476-4687 . ПМИД   7969448 . S2CID   4310147 . Архивировано из оригинала 28 декабря 2022 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  205. ^ Хестенес, Дэвид (1999). «Группы симметрии» (PDF) .
  206. ^ Бендер, Сара (сентябрь 2020 г.). «Тест Роршаха». В Кардуччи, Бернардо Дж.; Нейв, Кристофер С.; Мио, Джеффри С.; Риджио, Рональд Э. (ред.). Энциклопедия личности и индивидуальных различий Wiley: измерение и оценка . Уайли. стр. 367–376. дои : 10.1002/9781119547167.ch131 . ISBN  978-1-119-05751-2 .
  207. ^ Вейль, Герман (2015). Симметрия . Принстонская научная библиотека. Том. 47. Издательство Принстонского университета. п. 4 . ISBN  978-1-4008-7434-7 .
  208. ^ «Лекция 8: Трансляционная симметрия | Физика III: Вибрации и волны | Физика» . MIT OpenCourseWare .
  209. ^ Брэдли, Ларри (2010). «Фракталы – хаос и фракталы» . www.stsci.edu . Архивировано из оригинала 7 марта 2023 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  210. ^ «Самоподобие» . math.bu.edu . Архивировано из оригинала 2 марта 2023 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  211. ^ Киссан, Барри (июль 2009 г.). Популярная математика . 22-я конференция Австралийской ассоциации учителей математики, проводимая раз в два года. Фримантл, Западная Австралия: Австралийская ассоциация учителей математики. стр. 125–126. Архивировано из оригинала 7 марта 2023 года . Проверено 29 декабря 2022 г.
  212. ^ Стин, Луизиана (2012). Математика сегодня. Двенадцать неформальных эссе . Springer Science & Business Media. п. 2. ISBN  978-1-4613-9435-8 . Проверено 3 января 2023 г.
  213. ^ Питичи, Мирча (2017). Лучшие сочинения по математике 2016 года . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-8560-2 . Проверено 3 января 2023 г.
  214. ^ Монастырский 2001 , с. 1: «Медаль Филдса сейчас, бесспорно, является самой известной и влиятельной наградой в области математики».
  215. ^ Рим 2002 , стр. 778–782.
  216. ^ «Медаль Филдса | Международный математический союз (IMU)» . www.mathunion.org . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 года . Проверено 21 февраля 2022 г.
  217. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Медаль Филдса» . История математики . Архивировано из оригинала 22 марта 2019 года . Проверено 21 февраля 2022 г.
  218. ^ «Индекс почестей/премий» . MacTutor Архив истории математики . Архивировано из оригинала 17 декабря 2021 года . Проверено 20 февраля 2023 г.
  219. ^ «О Абелевской премии» . Абелевская премия. Архивировано из оригинала 14 апреля 2022 года . Проверено 23 января 2022 г.
  220. ^ «Премия Абеля | премия по математике» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 26 января 2020 года . Проверено 23 января 2022 г.
  221. ^ «Медаль Черна» (PDF) . www.mathunion.org . 1 июня 2009 г. Архивировано (PDF) из оригинала 17 июня 2009 г. . Проверено 21 февраля 2022 г.
  222. ^ «Медаль Черна» . Международный математический союз (IMU). Архивировано из оригинала 25 августа 2010 года . Проверено 23 января 2022 г.
  223. ^ «Премия Лероя П. Стила AMS» . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 17 ноября 2022 года . Проверено 17 ноября 2022 г.
  224. ^ Черн, С.С.; Хирцебрух, Ф. (сентябрь 2000 г.). Премия Вольфа по математике . дои : 10.1142/4149 . ISBN  978-981-02-3945-9 . Архивировано из оригинала 21 февраля 2022 года . Проверено 21 февраля 2022 г.
  225. ^ «Премия Волка» . Фонд Волка . Архивировано из оригинала 12 января 2020 года . Проверено 23 января 2022 г.
  226. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б «Задачи Гильберта: 23 и математика» . Фонд Саймонса . 6 мая 2020 года. Архивировано из оригинала 23 января 2022 года . Проверено 23 января 2022 г.
  227. ^ Феферман, Соломон (1998). «Решение неразрешимого: борьба с проблемами Гильберта» (PDF) . В свете логики . Серия «Логика и вычисления в философии». Издательство Оксфордского университета. стр. 3–27. ISBN  978-0-19-508030-8 . Проверено 29 ноября 2022 г.
  228. ^ «Проблемы премии тысячелетия» . Математический институт Клея. Архивировано из оригинала 3 июля 2015 года . Проверено 23 января 2022 г.
  229. ^ «Проблемы тысячелетия» . Математический институт Клея. Архивировано из оригинала 20 декабря 2018 года . Проверено 23 января 2022 г.

Источники

Дальнейшее чтение

Ресурсы библиотеки о
Математика
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mathematics&oldid=1235764489"
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1d69a5deebe503f4f05d6cb976c1ff8c__1721530860
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1d/8c/1d69a5deebe503f4f05d6cb976c1ff8c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Mathematics - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)