Дельта-функция Дирака

«Дельта-функция» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Дельта-функция (значения) .

Схематическое изображение дельта-функции Дирака в виде линии, увенчанной стрелкой. Высота стрелки обычно предназначена для указания значения любой мультипликативной константы, которая дает площадь под функцией. Другое соглашение — писать область рядом со стрелкой.

Дельта Дирака как предел $a\to 0$ (в смысле распределений ) последовательности нульцентрированных нормальных распределений $\delta _{a}(x)={\frac {1}{\left|a\right|{\sqrt {\pi }}}}e^{-(x/a)^{2}}$

В математическом анализе дельта -функция Дирака (или δ- распределение ), также известная как единичный импульс , — обобщенная функция действительных чисел , значение которой равно нулю везде, кроме нуля, и чей интеграл по всей вещественной прямой равен единице. Поскольку не существует функции, обладающей этим свойством, моделирование дельта-функции строго предполагает использование пределов или, как это принято в математике, теории меры и теории распределений .

Дельта-функция была введена физиком Полем Дираком и с тех пор регулярно применяется в физике и технике для моделирования точечных масс и мгновенных импульсов. Ее называют дельта-функцией, потому что она является непрерывным аналогом дельта -функции Кронекера , которая обычно определяется в дискретной области и принимает значения 0 и 1. Математическая строгость дельта-функции оспаривалась до тех пор, пока Лоран Шварц не разработал теорию распределений. , где он определяется как линейная форма, действующая на функции.

Мотивация и обзор

График дельты Дирака обычно рассматривается как следующий по всей оси X и положительной Y. оси Дельта Дирака используется для моделирования высокой узкой пиковой функции ( импульса ) и других подобных абстракций, таких как точечный заряд , точечная масса или электронная точка. Например, чтобы рассчитать динамику удара по бильярдному шару , можно аппроксимировать силу удара дельтой Дирака. При этом можно не только упростить уравнения, но и получить возможность рассчитать движение шара, рассматривая только общий импульс столкновения, без подробной модели всей упругой передачи энергии на субатомных уровнях (для пример).

Для конкретики предположим, что бильярдный шар покоится. Во время $t=0$ в него ударяет другой шар, сообщая ему импульс P в единицах кг⋅м⋅с. ⁻¹ . Обмен импульсом на самом деле не является мгновенным и опосредован упругими процессами на молекулярном и субатомном уровне, но для практических целей удобно считать эту передачу энергии фактически мгновенной. сила Следовательно , равна P δ ( t ) ; единицы δ ( t ) - s ⁻¹ .

Чтобы смоделировать эту ситуацию более строго, предположим, что вместо этого сила равномерно распределена в течение небольшого интервала времени. $\Delta t=[0,T]$. То есть,

$$F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq T,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Тогда импульс в любой момент времени t находится интегрированием:

$$p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t\geq T\\P\,t/\Delta t&0\leq t\leq T\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Теперь модельная ситуация мгновенной передачи импульса требует принятия предела Δt , давая результат везде , → 0 кроме 0 :

$$p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t<0.\end{cases}}$$

Здесь функции $F_{\Delta t}$ считаются полезным приближением к идее мгновенной передачи импульса.

Дельта-функция позволяет нам построить идеализированный предел этих приближений. К сожалению, реальный предел функций (в смысле поточечной сходимости ) ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0^{+}}F_{\Delta t}}$ равен нулю везде, кроме одной точки, где он бесконечен. Чтобы правильно понять дельту Дирака, нам следует вместо этого настаивать на том, что свойство

$$\int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,$$

что справедливо для всех $\Delta t>0$, должен продолжать удерживаться в пределе. Итак, в уравнении ${\textstyle F(t)=P\,\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$, подразумевается, что предел всегда берется вне интеграла .

В прикладной математике, как мы это сделали здесь, дельта-функцией часто манипулируют как своего рода пределом ( слабым пределом ) последовательности функций , каждый член которой имеет высокий пик в начале координат: например, последовательность Гауссовы распределения с центром в начале координат и дисперсией , стремящейся к нулю.

Дельта Дирака на самом деле не является функцией, по крайней мере, не обычной функцией с областью определения и диапазоном в действительных числах . Например, объекты f ( x ) = δ ( x ) и g ( x ) = 0 равны везде, кроме точки x = 0, но имеют разные интегралы. Согласно теории интегрирования Лебега , если f и g — такие функции, что f = g почти всюду , то f интегрируема тогда и только тогда, когда g интегрируема и интегралы от f и g идентичны. Строгий подход к рассмотрению дельта-функции Дирака как математического объекта самостоятельного требует теории меры или теории распределений .

История

Жозеф Фурье представил то, что сейчас называется интегральной теоремой Фурье, в своем трактате Théorie analytique de la chaleur в форме:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,$$

что равносильно введению δ -функции в виде:

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ .$$

Позже Огюстен Коши выразил теорему, используя экспоненты:

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.$$

Коши отметил, что в некоторых случаях порядок интегрирования важен в этом результате (в отличие от теоремы Фубини ).

Если это оправдано с помощью теории распределений , уравнение Коши можно перестроить так, чтобы оно напоминало исходную формулировку Фурье, и представить δ -функцию в виде

$${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\right)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned}}$$

где δ -функция выражается как

$$\delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\,dp\ .$$

Строгая интерпретация экспоненциальной формы и различные ограничения на функцию f, необходимые для ее применения, продолжались несколько столетий. Проблемы классической интерпретации объясняются следующим образом:

Самым большим недостатком классического преобразования Фурье является довольно узкий класс функций (оригиналов), для которых оно может быть эффективно вычислено. А именно, необходимо, чтобы эти функции достаточно быстро убывали до нуля (в окрестности бесконечности), чтобы обеспечить существование интеграла Фурье. Например, преобразования Фурье таких простых функций, как полиномы, не существует в классическом смысле. Распространение классического преобразования Фурье на распределения значительно расширило класс преобразуемых функций и устранило многие препятствия.

Дальнейшие разработки включали обобщение интеграла Фурье, «начиная с Планшереля новаторской работы L ² -теория (1910), продолжив работы Винера и Бохнера (около 1930) и завершившись объединением в Л. Шварца теорию распределений (1945)...", и что привело к формальному развитию дельта-функции Дирака.

Бесконечно малая формула для бесконечно высокой дельта-функции единичного импульса (бесконечно малая версия распределения Коши ) явно появляется в тексте Огюстена-Луи Коши 1827 года . Симеон Дени Пуассон рассматривал этот вопрос в связи с изучением распространения волн, как и Густав Кирхгоф несколько позже. Кирхгоф и Герман фон Гельмгольц также ввели единичный импульс как предел гауссиан , что также соответствовало идее лорда Кельвина о точечном источнике тепла. В конце XIX века Оливер Хевисайд использовал формальный ряд Фурье для управления единичным импульсом. Дельта-функция Дирака как таковая была введена Полем Дираком в его статье 1927 года «Физическая интерпретация квантовой динамики». и использовал в своем учебнике «Основы квантовой механики» . Он назвал ее «дельта-функцией», поскольку использовал ее как непрерывный аналог дискретной дельты Кронекера .

Определения

Дельта-функция Дирака $\delta (x)$ можно условно представить как функцию на действительной прямой, которая равна нулю везде, кроме начала координат, где она бесконечна.

$$\delta (x)\simeq {\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$$

и который также ограничен для удовлетворения тождества

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.$$

Это всего лишь эвристическая характеристика. Дельта Дирака не является функцией в традиционном смысле, поскольку ни одна расширенная функция с действительным числом , определенная для действительных чисел, не обладает этими свойствами.

В качестве меры

Один из способов точно уловить понятие дельта-функции Дирака — определить меру , называемую мерой Дирака , которая принимает подмножество A реальной прямой R в качестве аргумента и возвращает δ ( A ) = 1 , если 0 ∈ A , и δ ( A ) = 0 в противном случае. Если дельта-функция концептуализируется как моделирование идеализированной точечной массы в точке 0, то δ ( A ) представляет массу, содержащуюся в наборе A . Затем можно определить интеграл от δ как интеграл от функции от этого распределения массы. Формально интеграл Лебега дает необходимый аналитический аппарат. Интеграл Лебега по мере δ удовлетворяет условию

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)$$

для всех непрерывных функций f с компактным носителем . Мера δ не является абсолютно непрерывной относительно меры Лебега — фактически, это сингулярная мера . Следовательно, дельта-мера не имеет производной Радона–Никодима (относительно меры Лебега) — нет истинной функции, для которой выполнено свойство

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)$$

держит. В результате последнее обозначение представляет собой удобное злоупотребление обозначениями , а не стандартный ( римановский или лебеговский ) интеграл.

Как вероятностная мера на R , дельта-мера характеризуется своей кумулятивной функцией распределения , которая представляет собой функцию единичного шага .

$$H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}$$

Это означает, что H ( x ) является интегралом кумулятивной индикаторной функции 1 _{(−∞, x ]} по мере δ , а именно:

$$H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),$$

последнее является мерой этого интервала. Таким образом, в частности, интегрирование дельта-функции по непрерывной функции можно правильно понимать как интеграл Римана – Стилтьеса :

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).$$

Все высшие моменты δ . равны нулю В частности, характеристическая функция и производящая функция момента равны единице.

В качестве распределения

В теории распределений обобщенная функция рассматривается не как функция сама по себе, а только через то, как она влияет на другие функции, когда «интегрируется» с ними. В соответствии с этой философией, чтобы правильно определить дельта-функцию, достаточно сказать, каков «интеграл» дельта-функции по сравнению с достаточно «хорошей» пробной функцией φ . Тестовые функции также известны как функции проверки . Если дельта-функция уже понимается как мера, то интеграл Лебега пробной функции по этой мере дает необходимый интеграл.

Типичное пространство основных функций состоит из всех гладких функций на R с компактным носителем , имеющих столько производных, сколько требуется. Как распределение, дельта Дирака представляет собой линейный функционал в пространстве основных функций и определяется выражением

$\delta [\varphi ]=\varphi (0)$ ( 1 )

для каждой пробной функции φ .

Чтобы δ действительно было распределением, оно должно быть непрерывным в подходящей топологии в пространстве основных функций. чтобы линейный функционал S в пространстве тестовых функций определял распределение, необходимо и достаточно, чтобы для каждого положительного целого числа N существовало целое число M _N и константа CN _{В общем} такие, что для каждой пробной функции φ , для того , имеет место неравенство

$$\left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|$$

где sup представляет супремум . При распределении δ имеет место такое неравенство (при = _N 1) с M _N = 0 для всех CN . Таким образом, δ — распределение нулевого порядка. Кроме того, это дистрибутив с компактной поддержкой ( {0} ) поддержка .

Дельта-распределение также можно определить несколькими эквивалентными способами. Например, это распределительная производная Хевисайда ступенчатой ​​функции . Это означает, что для каждой пробной функции φ имеется

$$\delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.$$

Интуитивно, если бы интегрирование по частям было разрешено, то последний интеграл должен был бы упроститься до

$$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,$$

и действительно, для интеграла Стилтьеса разрешена форма интегрирования по частям, и в этом случае действительно имеет место

$$-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).$$

В контексте теории меры мера Дирака порождает распределение путем интегрирования. И наоборот, уравнение ( 1 ) определяет интеграл Даниэля в пространстве всех непрерывных функций φ с компактным носителем , который по теореме о представлении Рисса может быть представлен как интеграл Лебега от φ относительно некоторой меры Радона .

Обычно, когда используется термин дельта-функция Дирака , он имеет в виду распределения, а не меры, причем мера Дирака входит в число нескольких терминов, обозначающих соответствующее понятие в теории меры. В некоторых источниках также может использоваться термин дельта-распределение Дирака .

Обобщения

Дельта-функция может быть определена в n -мерном евклидовом пространстве R ^н как мера такая, что

$$\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )$$

для каждой непрерывной функции f с компактным носителем . В качестве меры n -мерная дельта-функция представляет собой меру произведения одномерных дельта-функций по каждой переменной в отдельности. Таким образом, формально при x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) имеем

$\delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).$ ( 2 )

Дельта-функция также может быть определена в смысле распределений точно так же, как указано выше в одномерном случае. Однако, несмотря на широкое использование в инженерном контексте, с ( 2 ) следует обращаться осторожно, поскольку произведение распределений можно определить только при весьма узких обстоятельствах.

Понятие меры Дирака имеет смысл на любом множестве. если X — множество, x0 _{Таким образом ,} ∈ X — отмеченная точка и Σ — любая сигма-алгебра подмножеств X , то мера, определенная на множествах A ∈ Σ, равна

$$\delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}$$

— это дельта-мера или единица массы, сосредоточенная в точке x ₀ .

Другое распространенное обобщение дельта-функции - это дифференцируемое многообразие , где большинство ее свойств как распределения также можно использовать из-за дифференцируемой структуры . Дельта-функция на многообразии M с центром в точке x ₀ ∈ M определяется как следующее распределение:

$\delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})$ ( 3 )

для всех гладких вещественных функций φ с компактным носителем на M . Общим частным случаем этой конструкции является случай, когда M — открытое множество в евклидовом пространстве R ^н .

В локально компактном хаусдорфовом пространстве X дельта-мера Дирака, сосредоточенная в точке x, является мерой Радона , связанной с интегралом Даниэля ( 3 ) на непрерывных функциях φ с компактным носителем . На этом уровне общности исчисление как таковое уже невозможно, однако доступны различные методы абстрактного анализа. Например, отображение $x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}$ есть непрерывное вложение X в пространство конечных мер Радона на X , снабженное его нечеткой топологией . Более того, выпуклая оболочка образа X при таком вложении плотна в пространстве вероятностных мер на X .

Характеристики

Масштабирование и симметрия

Дельта-функция удовлетворяет следующему свойству масштабирования для ненулевого скаляра α :

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}$$

и так

$\delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.$ ( 4 )

Масштабирование доказательства свойства: $$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{a}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')$$ замена переменной x' = ax где используется . Если a отрицательно, т. е. a = −| а | , затем $$\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx\ g(x)\delta (ax)={\frac {1}{-\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{\infty }^{-\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }dx'\ g\left({\frac {x'}{a}}\right)\delta (x')={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}g(0).$$ Таким образом, $\delta (ax)={\frac {1}{\left\vert a\right\vert }}\delta (x)$.

В частности, дельта-функция представляет собой равномерное распределение (симметрию) в том смысле, что

$$\delta (-x)=\delta (x)$$

который является однородным степени −1 .

Алгебраические свойства

Распределительное произведение δ : на x равно нулю

$$x\,\delta (x)=0.$$

В более общем смысле, $(x-a)^{n}\delta (x-a)=0$ для всех положительных целых чисел $n$.

И наоборот, если xf ( x ) = xg ( x ) , где f и g — распределения, то

$$f(x)=g(x)+c\delta (x)$$

для некоторой постоянной c .

Перевод

Интеграл от дельты Дирака с задержкой по времени равен

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).$$

Иногда это называют свойством просеивания. или свойство выборки . что дельта-функция «отсеивает» значение f(t) в момент t = T. Говорят ,

Отсюда следует, что эффект свертки функции f ( t ) с запаздывающей по времени дельтой Дирака $\delta _{T}(t)=\delta (t-T)$ заключается в задержке f ( t ) на ту же величину:

$${\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}$$

Свойство просеивания сохраняется при точном условии, что f является умеренным распределением (см. обсуждение преобразования Фурье ниже ). Например, в частном случае мы имеем тождество (понимаемое в смысле распределения)

$$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).$$

Композиция с функцией

В более общем смысле, дельта-распределение может быть составлено с помощью гладкой функции g ( x ) таким образом, чтобы выполнялась знакомая формула замены переменных:

$$\int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du$$

при условии, что g — непрерывно дифференцируемая функция, причем g′ нигде не равна нулю. То есть существует уникальный способ придать смысл распределению. $\delta \circ g$ так что это тождество справедливо для всех тестовых функций f с компактным носителем . Следовательно, область необходимо разбить, чтобы исключить точку g' = 0 . Это распределение удовлетворяет условию δ ( g ( x )) = 0, если g нигде не равен нулю, и в противном случае, если g имеет действительный корень в точке x ₀ , тогда

$$\delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.$$

Поэтому естественно определить композицию δ ( g ( x )) для непрерывно дифференцируемых функций g формулой

$$\delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}$$

где сумма распространяется на все корни (т.е. все различные) функции g ( x ) , которые считаются простыми . Так, например

$$\delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.$$

В интегральной форме обобщенное свойство масштабирования можно записать как

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.$$

Неопределенный интеграл

Для постоянной $a\in \mathbb {R}$ и произвольная вещественная функция с «хорошим поведением» y ( x ) , $$\displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,$$ где H ( x ) — ступенчатая функция Хевисайда , а c — константа интегрирования.

Свойства в n измерениях

Вместо этого дельта-распределение в n -мерном пространстве удовлетворяет следующему свойству масштабирования: $$\delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,$$ так что δ — однородное распределение степени − n .

При любом отражении или вращении ρ дельта-функция инвариантна: $$\delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.$$

Как и в случае с одной переменной, можно определить композицию δ с помощью билипшицевой функции. г : Р ^н → Р ^н однозначно, так что справедливо следующее $$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}$$ для всех функций с компактным носителем f .

Используя формулу коплощади из геометрической теории меры , можно также определить состав дельта-функции с погружением из одного евклидова пространства в другое, другой размерности; Результатом является тип тока . В частном случае непрерывно дифференцируемой функции g : R ^н → R такой, что градиент g нигде не равен нулю, справедливо следующее тождество $$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})$$ где интеграл справа равен g ⁻¹ (0) , ( n − 1) -мерная поверхность, определяемая g ( x ) = 0 относительно меры содержания Минковского . Это известно как простой интеграл слоя .

В более общем смысле, если S — гладкая гиперповерхность R ^н , то мы можем связать с S распределение, которое интегрирует любую гладкую функцию g с компактным носителем над S : $$\delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})$$

где σ — гиперповерхностная мера, связанная с S . Это обобщение связано с потенциальной теорией потенциалов простых слоев на S . Если D — домен в R ^н границей S , то δ _S равна нормальной производной индикаторной функции D с гладкой в смысле распределения,

$$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),$$

где n — внешняя нормаль. Доказательство см., например, в статье о поверхностной дельта-функции .

В трех измерениях дельта-функция представлена ​​в сферических координатах:

$$\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0})&x_{0},y_{0},z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}\neq 0\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0})&x_{0}=y_{0}=z_{0}=0\end{cases}}$$

Преобразование Фурье

Дельта-функция представляет собой умеренное распределение и поэтому имеет четко определенное преобразование Фурье . Формально находим

$${\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.$$

Собственно говоря, преобразование Фурье распределения определяется путем наложения самосопряженного преобразования Фурье при двойственном спаривании $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ умеренных распределений с функциями Шварца . Таким образом ${\widehat {\delta }}$ определяется как уникальное умеренное распределение, удовлетворяющее

$$\langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle$$

для всех функций Шварца φ . И действительно, из этого следует, что ${\widehat {\delta }}=1.$

В результате этого тождества свертка дельта-функции с любым другим умеренным распределением S представляет собой просто S :

$$S*\delta =S.$$

То есть δ является единичным элементом для свертки умеренных распределений, и фактически пространство распределений с компактным носителем при свертке представляет собой ассоциативную алгебру с единицей дельта-функции. Это свойство является фундаментальным при обработке сигналов , поскольку свертка с умеренным распределением представляет собой линейную нестационарную систему , и применение линейной нестационарной системы измеряет ее импульсный отклик . Импульсный отклик можно вычислить с любой желаемой степенью точности, выбрав подходящее приближение для δ , и как только оно станет известно, оно полностью характеризует систему. См. теорию систем LTI § Импульсный отклик и свертка .

Обратное преобразование Фурье умеренного распределения f ( ξ ) = 1 представляет собой дельта-функцию. Формально это выражается как $$\int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)$$ и более строго, это следует из того, что $$\langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle$$ для всех функций Шварца f .

В этих терминах дельта-функция дает наводящее на размышления утверждение о свойстве ортогональности ядра Фурье на R . Формально имеется $$\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\delta (\xi _{2}-\xi _{1}).$$

Это, конечно, сокращение утверждения о том, что преобразование Фурье умеренного распределения $$f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}$$ является $${\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})$$ что снова следует из наложения самосопряженного преобразования Фурье.

Аналитическим продолжением преобразования Фурье оказывается, что преобразование Лапласа дельта-функции имеет вид $$\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.$$

Производные

Производная дельта-распределения Дирака, обозначаемая δ' и также называемая дельта -простым числом Дирака или дельта-производной Дирака , как описано в лапласиане индикатора , определяется на гладких тестовых функциях φ с компактным носителем следующим образом: $$\delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).$$

Первое равенство здесь есть своего рода интегрирование по частям , ибо если бы δ была истинной функцией, то $$\int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=\delta (x)\varphi (x)|_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\varphi '(x)\,dx=-\varphi '(0).$$

По математической индукции δ k -я производная определяется аналогично распределению, заданному на пробных функциях выражением

$$\delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).$$

В частности, δ — бесконечно дифференцируемое распределение.

Первая производная дельта-функции представляет собой предел распределения разностных коэффициентов: $$\delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.$$

Точнее, у человека есть $$\delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )$$ где τ _h — оператор перевода, определенный на функциях как τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) и на распределении S как $$(\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].$$

В теории электромагнетизма первая производная дельта-функции представляет собой точечный магнитный диполь, расположенный в начале координат. Соответственно, ее называют диполем или дублетной функцией .

Производная дельта-функции удовлетворяет ряду основных свойств, в том числе: $${\begin{aligned}\delta '(-x)&=-\delta '(x)\\x\delta '(x)&=-\delta (x)\end{aligned}}$$ что можно показать, применив тестовую функцию и проинтегрировав по частям.

Последнее из этих свойств также можно продемонстрировать, применив определение производной распределения, теорему Либница и линейность внутреннего продукта:

$${\begin{aligned}\langle x\delta ',\varphi \rangle \,&=\,\langle \delta ',x\varphi \rangle \,=\,-\langle \delta ,(x\varphi )'\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi +x\varphi '\rangle \,=\,-\langle \delta ,x'\varphi \rangle -\langle \delta ,x\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\varphi (0)-x(0)\varphi '(0)\\&=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle -x(0)\langle \delta ,\varphi '\rangle \,=\,-x'(0)\langle \delta ,\varphi \rangle +x(0)\langle \delta ',\varphi \rangle \,=\,\langle x(0)\delta '-x'(0)\delta ,\varphi \rangle \\\Longrightarrow x(t)\delta '(t)&=x(0)\delta '(t)-x'(0)\delta (t)=-x'(0)\delta (t)=-\delta (t)\end{aligned}}$$

Более того, свертка δ′ с компактным носителем с гладкой функцией f равна

$$\delta '*f=\delta *f'=f',$$

что следует из свойств распределительной производной свертки.

Высшие измерения

В более общем смысле, на открытом множестве U в n -мерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$дельта-распределение Дирака с центром в точке a ∈ U определяется выражением $$\delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)$$ для всех $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$, пространство всех гладких функций с компактным носителем на U . Если $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ любой мультииндекс с $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ и $\partial ^{\alpha }$ обозначает ассоциированный оператор смешанной частной производной , тогда α -я производная ∂ ^а δ _a из δ _a определяется выражением

$$\left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).$$

То есть α -я производная δ _a — это распределение, значение которого на любой тестовой функции φ является α -й производной φ в точке a (с соответствующим положительным или отрицательным знаком).

Первые частные производные дельта-функции рассматриваются как двойные слои вдоль координатных плоскостей. В более общем смысле, нормальная производная простого слоя, поддерживаемого на поверхности, представляет собой двойной слой, поддерживаемый на этой поверхности, и представляет собой ламинарный магнитный монополь. Высшие производные дельта-функции известны в физике как мультиполи .

Высшие производные естественным образом входят в математику как строительные блоки для полной структуры распределений с точечной поддержкой. Если S — любое распределение на U , поддерживаемое на множестве { a }, состоящем из одной точки, то существуют целое число m и коэффициенты c _α такие, что $$S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.$$

Представления дельта-функции

Дельта-функцию можно рассматривать как предел последовательности функций.

$$\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),$$

где ηε _. ( x ) называют зарождающейся дельта-функцией иногда Этот предел понимается в слабом смысле: либо

$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f(0)$ ( 5 )

для всех непрерывных функций f, имеющих компактный носитель , или что этот предел справедлив для всех гладких функций f с компактным носителем. Разница между этими двумя слегка разными способами слабой сходимости часто незначительна: первый представляет собой сходимость в неопределенной топологии мер, а второй — сходимость в смысле распределений .

Приближения к тождеству

Обычно возникающую дельта-функцию η _ε можно построить следующим образом. Пусть η — абсолютно интегрируемая на R функция полного интеграла 1 и определим $$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$$

В n измерениях вместо этого используется масштабирование $$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$$

Тогда простая замена переменных показывает, что также _ηε имеет целое 1 . Можно показать, что ( 5 ) справедливо для всех непрерывных функций f с компактным носителем , и поэтому слабо _ηε сходится к δ в смысле меры.

известны таким образом ηε _{Построенные} как приближение к тождеству . Эта терминология связана с тем, что пространство L ¹ ( R ) абсолютно интегрируемых функций замкнуто относительно операции свертки функций: f ∗ g ∈ L ¹ ( R ) всякий раз, когда f и g находятся в L ¹ ( Р ) . нет тождества . Однако в L ¹ ( R ) для продукта свертки: нет элемента h такого, что f ∗ h = f для всех f . Тем не менее последовательность ηε _что приближает такое тождество в том смысле,

$$f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.$$

Этот предел имеет место в смысле сходимости в среднем (сходимости в L ¹ ). Дополнительные условия на η _ε , например, чтобы это был смягчающий элемент, связанный с функцией с компактным носителем: необходимы для обеспечения поточечной сходимости почти всюду .

Если исходная последовательность η = η ₁ сама по себе гладкая и с компактным носителем, то последовательность называется смягчающим . Стандартный смягчитель получается путем выбора η в качестве подходящей нормализованной функции рельефа , например

$$\eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}$$

В некоторых ситуациях, таких как численный анализ , желательно кусочно-линейное приближение к тождеству. Этого можно добиться, взяв η ₁ в качестве шляпной функции . При таком выборе η ₁ имеем

$$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)$$

все они непрерывны и компактно поддерживаются, хотя и не являются гладкими и, следовательно, не являются смягчающими.

Вероятностные соображения

В контексте теории вероятностей естественно наложить дополнительное условие, согласно которому начальное η ₁ в приближении к тождеству должно быть положительным, поскольку такая функция тогда представляет собой распределение вероятностей . Свертка с распределением вероятностей иногда бывает выгодна, поскольку она не приводит к перерегулированию или недорегулированию, поскольку выходные данные представляют собой выпуклую комбинацию входных значений и, таким образом, попадают между максимумом и минимумом входной функции. Если принять η ₁ за любое распределение вероятностей и положить η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε )/ ε , как указано выше, это приведет к приближению к тождеству. В общем, это быстрее сходится к дельта-функции, если, кроме того, η имеет среднее значение 0 и имеет небольшие высшие моменты. Например, если η ₁ — равномерное распределение на ${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$, также известная как прямоугольная функция , тогда: $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Другой пример — распределение полукруга Вигнера. $$\eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Это непрерывно и компактно поддерживается, но не является смягчающим фактором, поскольку не является гладким.

Полугруппы

Возникающие дельта-функции часто возникают как полугруппы свертки . Это сводится к дополнительному ограничению, согласно которому свертка η _ε с η _δ должна удовлетворять $$\eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }$$

для всех ε , δ > 0 . Полугруппы свертки в L ¹ которые образуют зарождающуюся дельта-функцию, всегда являются приближением к тождеству в указанном выше смысле, однако условие полугруппы является довольно сильным ограничением.

На практике полугруппы, аппроксимирующие дельта-функцию, возникают как фундаментальные решения или функции Грина физически мотивированных эллиптических или параболических уравнений в частных производных . В контексте прикладной математики полугруппы возникают как результат линейной стационарной системы . Абстрактно, если A — линейный оператор, действующий на функции от x , то полугруппа свертки возникает в результате решения начальной задачи

$${\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}$$

в котором предел, как обычно, понимается в слабом смысле. Установка η _ε ( x ) = η ( ε , x ) дает соответствующую возникающую дельта-функцию.

Некоторые примеры физически важных полугрупп свертки, возникающих в результате такого фундаментального решения, включают следующее.

Тепловое ядро

Тепловое ядро , определяемое формулой

$$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}$$

представляет температуру в бесконечной проволоке в момент времени t > 0 , если единица тепловой энергии сохраняется в начале проволоки в момент времени t = 0 . Эта полугруппа развивается согласно одномерному уравнению теплопроводности :

$${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$$

В вероятностей теории ηε _. ( x ) является нормальным распределением ε дисперсии и среднего 0 значения Он представляет собой плотность вероятности в момент времени t = ε положения частицы, начиная с начала координат, следующей за стандартным броуновским движением . В этом контексте условие полугруппы является выражением марковского свойства броуновского движения.

В многомерном евклидовом пространстве R ^н , тепловое ядро $$\eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},$$ и имеет ту же физическую интерпретацию, mutatis mutandis . Он также представляет собой возникающую дельта-функцию в том смысле, что η _ε → δ в смысле распределения при ε → 0 .

Ядро Пуассона

Ядро Пуассона $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi$$

является фундаментальным решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. Он представляет собой электростатический потенциал в полубесконечной пластине, потенциал которой вдоль края зафиксирован на уровне дельта-функции. Ядро Пуассона также тесно связано с распределением Коши и ядра Епанечникова и Гаусса . функциями Эта полугруппа развивается согласно уравнению $${\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}u(t,x)$$

где оператор строго определен как множитель Фурье $${\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).$$

Осциллирующие интегралы

В таких областях физики, как распространение волн и волновая механика , используемые уравнения являются гиперболическими и поэтому могут иметь более сингулярные решения. В результате возникающие дельта-функции, которые возникают как фундаментальные решения связанных проблем Коши, обычно представляют собой осциллирующие интегралы . Пример, полученный из решения уравнения – Трикоми трансзвуковой Эйлера газовой динамики : это перемасштабированная функция Эйри $$\varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).$$

Несмотря на использование преобразования Фурье, легко увидеть, что оно в некотором смысле порождает полугруппу — оно не является абсолютно интегрируемым и поэтому не может определять полугруппу в указанном выше сильном смысле. Многие зарождающиеся дельта-функции, построенные как осциллирующие интегралы, сходятся только в смысле распределений (примером является ядро ​​Дирихле ниже), а не в смысле мер.

Другой пример — задача Коши для волнового уравнения в R ¹⁺¹ : $${\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}$$

Решение u представляет собой смещение от равновесия бесконечной упругой струны с начальным возмущением в начале координат.

Другие приближения к тождеству такого рода включают функцию sinc (широко используемую в электронике и телекоммуникациях) $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk$$

и функция Бесселя $$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).$$

Разложение плоской волны

Один подход к исследованию линейного уравнения в частных производных $$L[u]=f,$$

где L — дифференциальный оператор на R ^н , заключается в поиске сначала фундаментального решения, которое является решением уравнения $$L[u]=\delta .$$

Когда L особенно прост, эту проблему часто можно решить напрямую с помощью преобразования Фурье (как в случае с уже упомянутым ядром Пуассона и тепловым ядром). Для более сложных операторов иногда проще сначала рассмотреть уравнение вида $$L[u]=h$$

где h — плоская волновая функция, то есть она имеет вид $$h=h(x\cdot \xi )$$

для некоторого вектора ξ . Такое уравнение можно решить (если коэффициенты L являются аналитическими функциями ) по теореме Коши–Ковалевской или (если коэффициенты L постоянны) с помощью квадратуры. Итак, если дельта-функцию можно разложить на плоские волны, то в принципе можно решать линейные уравнения в частных производных.

Такое разложение дельта-функции на плоские волны было частью общей методики, впервые предложенной по существу Иоганном Радоном , а затем развитой в этой форме Фрицем Джоном ( 1955 ). Выберите k так, чтобы n + k было четным целым числом, и для действительного числа s положите $$g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}$$

Тогда δ получается применением степени лапласиана к интегралу по единичной сферной мере dω функции g ( x · ξ ) для ξ в единичной сфере S ^{п -1} : $$\delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$$

Лапласиан здесь интерпретируется как слабая производная, так что это уравнение означает, что для любой пробной φ функции $$\varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.$$

Результат следует из формулы для ньютоновского потенциала (фундаментального решения уравнения Пуассона). По сути, это форма формулы обращения для преобразования Радона , поскольку она восстанавливает значение φ ( x ) из его интегралов по гиперплоскостям. Например, если n нечетно и k = 1 , то интеграл в правой части равен $${\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}$$

где Rφ ( ξ , p ) — преобразование Радона φ : $$R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.$$

Альтернативное эквивалентное выражение разложения плоской волны: $$\delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}$$

Ядра Фурье

Смотрите также: Сходимость ряда Фурье

При изучении рядов Фурье основной вопрос состоит в определении того, сходится ли и в каком смысле ряд Фурье, связанный с периодической функцией , к этой функции. n - я частичная сумма ряда Фурье функции f периода 2π определяется сверткой (на интервале [−π,π] ) с ядром Дирихле : $$D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.$$ Таким образом, $$s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}$$ где $$a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.$$ Фундаментальный результат элементарных рядов Фурье гласит, что ядро ​​Дирихле, ограниченное интервалом [−π,π], стремится к кратному дельта-функции при N → ∞ . Это интерпретируется в смысле распределения, т.е. $$s_{N}(f)(0)=\int _{-\pi }^{\pi }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$$ для каждой гладкой функции f с компактным носителем . Таким образом, формально имеется $$\delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}$$ на интервале [−π,π] .

Несмотря на это, результат справедлив не для всех непрерывных функций с компактным носителем: то есть не _DN сходится слабо в смысле меры. Отсутствие сходимости ряда Фурье привело к введению множества методов суммирования для достижения сходимости. Метод суммирования Чезаро приводит к ядру Фейера

$$F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.$$

Ядра Фейера стремятся к дельта-функции в более сильном смысле, что

$$\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)$$

для каждой непрерывной функции f с компактным носителем . Отсюда следует, что ряд Фурье любой непрерывной функции суммируется по Чезаро со значением функции в каждой точке.

Теория гильбертового пространства

Дельта-распределение Дирака — это плотно определенный неограниченный линейный функционал в гильбертовом пространстве L ² квадратом функций, интегрируемых с . Действительно, гладкие функции с компактным носителем плотны в L ² , и действие дельта-распределения на такие функции четко определено. Во многих приложениях можно идентифицировать подпространства L ² и дать более сильную топологию , в которой дельта-функция определяет ограниченный линейный функционал .

Sobolev spaces

Из теоремы вложения Соболева для пространств Соболева на вещественной прямой R следует, что любая интегрируемая с квадратом функция f такая, что

$$\|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty$$

автоматически непрерывен и удовлетворяет, в частности,

$$\delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.$$

Таким образом, δ — ограниченный линейный функционал в пространстве Соболева H ¹ . Эквивалентно δ является элементом непрерывного дуального пространства H ⁻¹ из H ¹ . В более общем смысле, в n измерениях имеем δ ∈ H ^{− с} ( Р ^н ) при условии s > ⁠ n / 2 ⁠ .

Пространства голоморфных функций

В комплексный анализ дельта-функция входит через интегральную формулу Коши , которая утверждает, что если D — область на комплексной плоскости с гладкой границей, то

$$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}},\quad z\in D$$

для всех голоморфных функций f в D , непрерывных на замыкании D . В результате дельта-функция δ _z представляется в этом классе голоморфных функций интегралом Коши:

$$\delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z}}.$$

Более того, пусть H ² (∂ D ) — пространство Харди , состоящее из замыкания в L ² (∂ D ) всех голоморфных функций из D, непрерывных до границы D . Тогда функции из H ² (∂ D ) однозначно распространяются на голоморфные функции в D , и интегральная формула Коши продолжает выполняться. В частности, для z ∈ D дельта-функция δ _z является непрерывным линейным функционалом на H ² (∂ Д ) . Это частный случай ситуации с несколькими комплексными переменными , когда для гладких областей D ядро ​​Сегё играет роль интеграла Коши.

Резолюции личности

Учитывая полный ортонормированный базис функций { φ _n } в сепарабельном гильбертовом пространстве, например, нормализованные собственные векторы компактного самосопряженного оператора , любой вектор f можно выразить как $$f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.$$ Коэффициенты {α _n } находятся как $$\alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,$$ что можно представить обозначением: $$\alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,$$ форма обозначения брекета Дирака. Принимая эти обозначения, разложение f принимает двоичную форму:

$$f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).$$

Обозначая I тождественный оператор в гильбертовом пространстве, выражение

$$I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$$

называется разрешением тождества . Когда гильбертово пространство является пространством L ² ( D ) функций, интегрируемых с квадратом в области D , величина:

$$\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },$$

является интегральным оператором, и выражение для f можно переписать

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .$$

Правая часть сходится к f в L ² смысл. Оно не обязательно должно выполняться в поточечном смысле, даже если f — непрерывная функция. Тем не менее, принято злоупотреблять обозначениями и писать

$$f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,$$

что приводит к представлению дельта-функции:

$$\delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).$$

С подходящим оснащенным гильбертовым пространством (Φ, L ² ( D ), Φ*) , где Φ ⊂ L ² ( D ) содержит все гладкие функции с компактным носителем, это суммирование может сходиться в Φ* , в зависимости от свойств базиса φ _n . В большинстве случаев, представляющих практический интерес, ортонормированный базис получается из интегрального или дифференциального оператора, и в этом случае ряд сходится в смысле распределения .

Бесконечно малые дельта-функции

Коши использовал бесконечно малую α , чтобы записать единичный импульс, бесконечно высокую и узкую дельта-функцию типа Дирака δ _α, удовлетворяющую ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$ в ряде статей 1827 г. Коши определил бесконечно малую величину в «Кур д'Анализ» (1827) как последовательность, стремящуюся к нулю. А именно, такая нулевая последовательность становится бесконечно малой в Коши и Лазара Карно терминологии .

Нестандартный анализ позволяет строго относиться к бесконечно малым. Статья Ямашиты (2007) содержит библиографию современных дельта-функций Дирака в контексте бесконечно малого континуума, обеспечиваемого гиперреальными объектами . Здесь дельта Дирака может быть задана реальной функцией, обладающей тем свойством, что для каждой реальной функции F существует ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)\,dx=F(0)}$ как и предполагали Фурье и Коши.

Гребень Дирака

Основная статья: гребешок Дирака

Гребень Дирака — это бесконечная серия дельта-функций Дирака, расположенных с интервалом T

Так называемая равномерная «последовательность импульсов» дельта-мер Дирака, известная как гребенка Дирака или распределение Ша , создает функцию выборки , часто используемую в цифровой обработке сигналов (DSP) и анализе сигналов в дискретном времени. Гребенка Дирака задается как бесконечная сумма , предел которой понимается в смысле распределения:

$$\operatorname {\text{Ш}} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n),$$

который представляет собой последовательность точечных масс для каждого из целых чисел.

С точностью до общей нормализующей константы гребенка Дирака равна собственному преобразованию Фурье. Это важно, потому что если — любая функция Шварца , то периодизация f f задается сверткой $$(f*\operatorname {\text{Ш}} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x-n).$$ В частности, $$(f*\operatorname {\text{Ш}} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {\text{Ш}} }}={\widehat {f}}\operatorname {\text{Ш}}$$ это в точности формула суммирования Пуассона . В более общем смысле, эта формула остается верной, если f является умеренным распределением быстрого спуска или, что то же самое, если ${\widehat {f}}$ — медленно растущая обычная функция в пространстве умеренных распределений.

Теорема Сохоцкого–Племеля.

Теорема Сохоцкого-Племеля , важная в квантовой механике, связывает дельта-функцию с распределением pv ⁠ 1 / x ⁠ , главное значение Коши функции ⁠ 1 / x ⁠ , определяемый формулой

$$\left\langle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.$$

Формула Сохоцкого гласит, что

$$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),$$

Здесь предел понимается в смысле распределения, что для всех гладких функций с f компактным носителем

$$\int _{-\infty }^{\infty }\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$$

Связь с дельтой Кронекера

δ Дельта Кронекера ij _— это величина, определяемая формулой

$$\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}$$

для всех целых чисел i , j . Тогда эта функция удовлетворяет следующему аналогу свойства просеивания: если a _i (для i в множестве всех целых чисел) — любая дважды бесконечная последовательность , то

$$\sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.$$

Аналогично, для любой действительной или комплекснозначной непрерывной функции f на R дельта Дирака удовлетворяет свойству просеивания

$$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).$$

Это демонстрирует дельта-функцию Кронекера как дискретный аналог дельта-функции Дирака.

Приложения

Теория вероятностей

В теории вероятностей и статистике дельта-функция Дирака часто используется для представления дискретного распределения или частично дискретного, частично непрерывного распределения с использованием функции плотности вероятности (которая обычно используется для представления абсолютно непрерывных распределений). Например, функция плотности вероятности f ( x ) дискретного распределения, состоящего из точек x = { x1 _xn ,..., } _, с соответствующими вероятностями p1 _, ..., pn _, может быть записана как

$$f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).$$

В качестве другого примера рассмотрим распределение, в котором 6/10 времени возвращает стандартное нормальное распределение , а 4/10 времени возвращает ровно значение 3,5 (т.е. частично непрерывное, частично дискретное смешанное распределение ). Функцию плотности этого распределения можно записать как

$$f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\,\delta (x-3.5).$$

Дельта-функция также используется для представления результирующей функции плотности вероятности случайной величины, которая преобразуется непрерывно дифференцируемой функцией. Если Y = g( X ) — непрерывная дифференцируемая функция, то плотность Y можно записать как

$$f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (y-g(x))\,dx.$$

Дельта-функция также используется совершенно другим способом для представления локального времени диффузионного процесса (например, броуновского движения ). Локальное время случайного процесса B ( t ) определяется выражением $$\ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B(s))\,ds$$ и представляет собой количество времени, которое процесс проводит в точке x диапазона процесса. Точнее, в одном измерении этот интеграл можно записать $$\ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds$$ где $\mathbf {1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}$ – индикаторная функция интервала $[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ].$

Квантовая механика

Дельта-функция целесообразна в квантовой механике . Волновая функция частицы дает амплитуду вероятности обнаружения частицы в данной области пространства. Волновые функции считаются элементами гильбертова пространства L ² суммируемых с квадратом функций , а полная вероятность найти частицу в пределах заданного интервала представляет собой интеграл от величины волновой функции, возведенной в квадрат по интервалу. Набор { | φ _n ⟩ } волновых функций ортонормирован, если

$$\langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm},$$

где δ _нм — дельта Кронекера. Набор ортонормированных волновых функций является полным в пространстве функций, интегрируемых с квадратом, если любая волновая функция |ψ⟩ может быть выражена как линейная комбинация { | φ _n ⟩ } с комплексными коэффициентами:

$$\psi =\sum c_{n}\varphi _{n},$$

где c _п знак равно ⟨ φ _п | ψ ⟩ . Полные ортонормированные системы волновых функций естественным образом возникают как собственные функции гамильтониана ) в квантовой механике , (связанной системы измеряющей уровни энергии, которые называются собственными значениями. Набор собственных значений в этом случае известен как спектр гамильтониана. В обозначениях бра-кет это равенство подразумевает разрешение тождества :

$$I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.$$

Здесь собственные значения предполагаются дискретными, но множество собственных значений наблюдаемой может быть и непрерывным. Примером является положения x Qψ ( xψ ) = оператор ( x ) . Спектр положения (в одном измерении) представляет собой всю действительную линию и называется непрерывным спектром . Однако, в отличие от гамильтониана, оператор положения не имеет собственных собственных функций. Традиционный способ преодолеть этот недостаток — расширить класс доступных функций, разрешив также распределения, т. е. заменить гильбертово пространство оснащенным гильбертовым пространством . В этом контексте оператор положения имеет полный набор «обобщенных собственных функций», отмеченных точками y реальной линии, заданными формулой

$$\varphi _{y}(x)=\delta (x-y).$$

Собственные функции оператора положения называются собственными состояниями и обозначаются φ _y = | й ⟩ .

Аналогичные соображения применимы к собственным состояниям оператора импульса или любого другого (неограниченного) самосопряженного оператора P в гильбертовом пространстве при условии, что спектр P непрерывен и нет вырожденных собственных значений. В этом случае существует множество Ω действительных чисел (спектр) и набор распределений φ _y с y ∈ Ω такие, что

$$P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.$$

То есть φ _y — обобщенные собственные векторы P . Если они образуют «ортонормированный базис» в смысле распределения, то есть:

$$\langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y'),$$

тогда для любой пробной ψ функции

$$\psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy$$

где c ( y ) знак равно ⟨ ψ , φ _y ⟩ . То есть есть разрешение тождества

$$I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy$$

где операторный интеграл снова понимается в слабом смысле. Если спектр P имеет как непрерывную, так и дискретную части, то разрешение идентичности включает суммирование по дискретному спектру и интеграл по непрерывному спектру.

Дельта-функция также имеет множество более специализированных приложений в квантовой механике, таких как модели дельта-потенциала для одинарной и двойной потенциальной ямы.

Строительная механика

Дельта-функция может использоваться в строительной механике для описания переходных или точечных нагрузок, действующих на конструкции. Основное уравнение простой системы масса-пружина, возбуждаемой внезапным импульсом силы I в момент времени t = 0, можно записать

$$m{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}+k\xi =I\delta (t),$$

где m — масса, ξ — прогиб, а k — жесткость пружины .

В качестве другого примера, уравнение, управляющее статическим прогибом тонкой балки , согласно теории Эйлера-Бернулли :

$$EI{\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}=q(x),$$

где EI — изгибная жесткость балки, w — прогиб , x — пространственная координата, q ( x ) — распределение нагрузки. Если балка нагружена точечной силой F в точке x = x ₀ , распределение нагрузки запишется

$$q(x)=F\delta (x-x_{0}).$$

Поскольку интегрирование дельта-функции приводит к ступенчатой ​​функции Хевисайда , из этого следует, что статическое отклонение тонкой балки, подверженной множественным точечным нагрузкам, описывается набором кусочных полиномов .

Также точечный момент, действующий на балку, можно описать дельта-функциями. Рассмотрим две противоположные точечные силы F, находящиеся на расстоянии d друг от друга. Затем они создают момент M = Fd, действующий на балку. Теперь пусть расстояние d приближается к предельному нулю, а M остается постоянным. Распределение нагрузки, предполагая, что момент, действующий по часовой стрелке при x = 0 , записывается

$${\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (x-d){\Big )}\\[4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (x-d)\right)\\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (x-d)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x).\end{aligned}}$$

Таким образом, точечные моменты могут быть представлены производной дельта -функции. Интегрирование уравнения балки снова приводит к кусочно- полиномиальному отклонению.

См. также

• Атом (теория меры)
• Лапласиан индикатора

Ссылки

• Аратин, Хенрик; Расинариу, Константин (2006), Краткий курс математических методов с Maple , World Scientific, ISBN  978-981-256-461-0 .
• Арфкен, Великобритания ; Вебер, HJ (2000), Математические методы для физиков (5-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-059825-0 .
• atis (2013), Глоссарий ATIS Telecom , заархивировано из оригинала 13 марта 2013 г.
• Брейсвелл, Р.Н. (1986), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill .
• Брейсвелл, Р.Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), McGraw-Hill .
• Кордова, А. (1988), «Суммарная формула Пуассона», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376 .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II , Wiley-Interscience .
• Дэвис, Ховард Тед; Томсон, Кендалл Т (2000), Линейная алгебра и линейные операторы в технике с приложениями в Mathematica , Academic Press, ISBN  978-0-12-206349-7
• Дьедонне, Жан (1976), Трактат об анализе. Том. II , Нью-Йорк: Academic Press [Издательство Harcourt Brace Jovanovich], ISBN  978-0-12-215502-4 , МР   0530406 .
• Дьедонне, Жан (1972), Трактат об анализе. Том. III , Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR   0350769.
• Дирак, Поль (1930), Принципы квантовой механики (1-е изд.), Oxford University Press .
• Дриггерс, Рональд Г. (2003), Энциклопедия оптической техники , CRC Press, Bibcode : 2003eoe..book.....D , ISBN  978-0-8247-0940-2 .
• Дуйстермаат, Ганс ; Колк (2010), Распределения: теория и приложения , Springer .
• Федерер, Герберт (1969), Геометрическая теория меры , Основные положения математических наук, том. 153, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xiv+676, ISBN.  978-3-540-60656-7 , МР   0257325 .
• Ганнон, Терри (2008), «Алгебры вершинных операторов» , Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN  978-1400830398 .
• Гельфанд, ИМ ; Шилов Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , вып. 1–5, Академическое издательство, ISBN  9781483262246 .
• Хартманн, Уильям М. (1997), Сигналы, звук и ощущения , Springer, ISBN  978-1-56396-283-7 .
• Хазевинкель, Мишель (1995). Энциклопедия математики (комплект) . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-55608-010-4 .
• Хазевинкель, Мишель (2011). Энциклопедия математики . Том. 10. Спрингер. ISBN  978-90-481-4896-7 . OCLC   751862625 .
• Хьюитт, Э ; Стромберг, К. (1963), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag .
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  978-3-540-12104-6 , МР   0717035 .
• Ишам, CJ (1995), Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы , Imperial College Press, ISBN  978-81-7764-190-5 .
• Джон, Фриц (1955), Плоские волны и сферические средние, применяемые к уравнениям в частных производных , Interscience Publishers, Нью-Йорк-Лондон, ISBN  9780486438047 , МР   0075429 .
• Ланг, Серж (1997), Анализ бакалавриата , Тексты для бакалавров по математике (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2698-5 , ISBN  978-0-387-94841-6 , МР   1476913 .
• Ланге, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и лапласиан индикатора», Журнал физики высоких энергий , 2012 (11): 29–30, arXiv : 1302.0864 , ​​Bibcode : 2012JHEP...11. .032L , номер документа : 10.1007/JHEP11(2012)032 , S2CID   56188533 .
• Лаугвиц, Д. (1989), «Определенные значения бесконечных сумм: аспекты основ анализа бесконечно малых около 1820 года», Arch. Хист. Точная наука. , 39 (3): 195–245, doi : 10.1007/BF00329867 , S2CID   120890300 .
• Левин, Фрэнк С. (2002), «Волновые функции в координатном пространстве и полнота» , Введение в квантовую теорию , Cambridge University Press, стр. 109 и далее , ISBN  978-0-521-59841-5
• Ли, Ю.Т.; Вонг, Р. (2008), «Интегральное и серийное представление дельта-функции Дирака», Commun. Чистое приложение. Анальный. , 7 (2): 229–247, arXiv : 1303.1943 , doi : 10.3934/cpaa.2008.7.229 , MR   2373214 , S2CID   119319140 .
• де ла Мадрид, Р.; Бом, А.; Гаделла, М. (2002), "Обработка непрерывного спектра в оснащенном гильбертовом пространстве", Fortschr. Физ. , 50 (2): 185–216, arXiv : quant-ph/0109154 , Bibcode : 2002ForPh..50..185D , doi : 10.1002/1521-3978(200203)50:2<185::AID-PROP185>3.0.CO;2-S , S2CID   9407651 .
• МакМахон, Д. (22 ноября 2005 г.), «Введение в пространство состояний» (PDF) , Демистифицированная квантовая механика, Руководство для самообучения , Демистифицированная серия, Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 108, ISBN  978-0-07-145546-6 , получено 17 марта 2008 г.
• ван дер Пол, Балт.; Бреммер, Х. (1987), Операционное исчисление (3-е изд.), Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0327-6 , МР   0904873 .
• Рудин, Вальтер (1966). Дивайн, Питер Р. (ред.). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill (опубликовано в 1987 г.). ISBN  0-07-100276-6 .
• Рудин, Уолтер (1991), Функциональный анализ (2-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-054236-5 .
• Валле, Оливье; Соарес, Мануэль (2004), Функции Эйри и приложения к физике , Лондон: Imperial College Press, ISBN  9781911299486 .
• Саичев А.И.; Войчинский, Войбор Анджей (1997), «Глава 1: Основные определения и операции» , Распределения в физических и технических науках: распределительное и фрактальное исчисление, интегральные преобразования и вейвлеты , Биркхойзер, ISBN  978-0-8176-3924-2
• Шварц, Л. (1950), Теория распределений , том. 1, Германн .
• Шварц, Л. (1951), Теория распределений , том. 2, Герман .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 .
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN  978-0-8493-8273-4 .
• Владимиров, В.С. (1971), Уравнения математической физики , Марсель Деккер, ISBN  978-0-8247-1713-1 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Дельта-функция» . Математический мир .
• Ямасита, Х. (2006), «Поточечный анализ скалярных полей: нестандартный подход», Журнал математической физики , 47 (9): 092301, Bibcode : 2006JMP....47i2301Y , doi : 10.1063/1.2339017
• Ямасита, Х. (2007), «Комментарий к статье «Поточечный анализ скалярных полей: нестандартный подход» [J. Math. Phys. 47, 092301 (2006)]», Journal of Mathematical Physics , 48 ​​(8): 084101, Бибкод : 2007JMP....48h4101Y , doi : 10.1063/1.2771422

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с распространением Дирака, на Викискладе?
• «Дельта-функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Видеоурок KhanAcademy.org
• Дельта-функция Дирака , учебник по дельта-функции Дирака.
• Видеолекции — Лекция 23 , лекция Артура Мэттака .
• Дельта-мера Дирака — это гиперфункция.
• Мы показываем существование единственного решения и анализируем аппроксимацию методом конечных элементов, когда исходным членом является дельта-мера Дирака.
• Нелебеговые меры на мере Р. Лебега-Стилтьеса, дельта-мера Дирака. Архивировано 7 марта 2008 г. в Wayback Machine.