1

Эта статья о числе. Чтобы узнать о году нашей эры 1 и других значениях, см. Один (значения) и Номер Один (значения) .

← 0 1 2 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Список номеров Целые числа ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Кардинал	один
Порядковый номер	1-й (первый)
Система счисления	унарный
Факторизация	∅
Делители	1
Греческая цифра	Α´
Римская цифра	я, я
Греческий префикс	моно- / гапло-
Латинский префикс	ему
Двоичный	1 2
тройной	1 3
Сенарий	1 6
Восьмеричный	1 8
Двенадцатеричный	1 12
Шестнадцатеричный	1 16
Греческая цифра	а'
арабский , курдский , персидский , синдхи , урду	١
Ассамский и бенгальский	১
Китайская цифра	один/один/один
Деванагари	१
Господи	፩
грузинский	Ⴀ/ⴀ/а ( Ани )
иврит	А
Японская цифра	1/1
Каннада	೧
кхмерский	1
Армянский	А:
малаялам	൧
Мэйтей	꯱
тайский	๑
тамильский	௧
телугу	೧
Вавилонская цифра	𒐕
Египетский иероглиф , эгейская цифра , китайская счетная палочка.	𓏤
Цифра Майя	•
Азбука Морзе	. _ _ _ _
Британский язык жестов

1 ( единица , единица , единица ) число единица , счета или — измерения . Например, отрезок единичной длины — это отрезок длины 1.

1 — первое ненулевое натуральное число и первое и наименьшее целое положительное число . Это фундаментальное свойство привело к его уникальному использованию в других областях, от науки до спорта. Обычно он обозначает первое, ведущее или главное в группе.

Фундаментальное математическое свойство числа 1 — быть мультипликативным тождеством , что означает, что любое число, умноженное на 1, равно одному и тому же числу. Из этого можно вывести большинство, если не все, свойств числа 1. В высшей математике мультипликативное тождество часто обозначается 1, даже если оно не является числом.

1 по соглашению не считается простым числом ; это не было общепринятым до середины 20 века. Кроме того, 1 — это наименьшая возможная разница между двумя различными натуральными числами .

Как слово

Этимология

Одно происходит от древнеанглийского слова an , происходящего от германского корня *ainaz , от протоиндоевропейского корня *oi-no- (что означает «единый, уникальный»).

Современное использование

С лингвистической точки зрения единица — это кардинальное число, используемое для подсчета и выражения количества предметов в коллекции вещей. Один обычно используется в качестве определителя для в единственном числе исчисляемых существительных , например, один день за раз . One также является гендерно-нейтральным местоимением, используемым для обозначения неопределенного человека или людей в целом, поскольку человек должен заботиться о себе . Слова, которые получают свое значение от слова «один» , включают «один» , что означает «все одно» в смысле бытия самим собой, «никто» означает «не один» , однажды обозначая одно время , и «искупление», означающее стать единым целым с кем-то. Сочетание «один с только » (подразумевающее одноподобное ) приводит к «одинокому» , передающему ощущение одиночества. Другие распространенные цифровые префиксы для числа 1 включают uni- (например, одноколесный велосипед , вселенная , единорог ), sol- (например, сольный танец ), происходящие из латыни, или mono- (например, монорельс , моногамия , монополия ), происходящие из греческого языка.

Символы и изображения

24-часовые башенные часы в Венеции , где J является символом 1.

На этой пишущей машинке Woodstock 1940-х годов нет отдельной клавиши для цифры 1.

Hoefler Text , шрифт, разработанный в 1991 году, использует текстовые фигуры и представляет цифру 1, похожую на букву I, прописанную маленькой буквой.

Смотрите также: История индуистско-арабской системы счисления

Среди самых ранних известных записей системы счисления — шумерская десятично - шестидесятеричная система на глиняных табличках, датируемая первой половиной третьего тысячелетия до нашей эры. Архаичные шумерские цифры 1 и 60 состояли из горизонтальных полукруглых символов. К ц. 2350 г. до н.э. старые шумерские кривые цифры были заменены клинописными символами, причем 1 и 60 обозначались одним и тем же символом. . Шумерская клинописная система является прямым предком эблаитской и ассиро -вавилонской клинописной десятичной системы. Сохранившиеся вавилонские документы датируются в основном эпохами Старого Вавилона ( ок. 1500 г. до н. э. ) и Селевкидов ( ок. 300 г. до н. э. ). В вавилонской клинописи для записи чисел использовался тот же символ для 1 и 60, что и в шумерской системе.

Наиболее часто используемый глиф в современном западном мире для обозначения цифры 1 — это арабская цифра , вертикальная линия, часто с засечкой вверху и иногда с короткой горизонтальной линией внизу. Его можно проследить до брахмического письма древней Индии, представленного Ашокой в ​​виде простой вертикальной линии в его «Указах Ашоки» ок. 250 г. до н.э. Цифровые формы этого письма были переданы в Европу через Магриб и Аль-Андалус в средние века через научные труды, написанные на арабском языке . В некоторых странах засечка вверху может быть расширена до длинной линии вверх, равной длине вертикальной линии. Этот вариант может привести к путанице с глифом, используемым для обозначения семи в других странах, поэтому, чтобы обеспечить визуальное различие между ними, цифра 7 может быть написана горизонтальной чертой через вертикальную линию.

В современных шрифтах форма символа цифры 1 обычно набирается как фигура на подкладке с восходящим элементом , так что цифра имеет ту же высоту и ширину, что и заглавная буква . Однако в шрифтах с текстовыми фигурами (также известными как цифры старого стиля или цифры без подкладки ) глиф обычно имеет высоту x и предназначен для следования ритму строчных букв, как, например, в . В шрифтах старого стиля (например, Hoefler Text ) шрифт для цифры 1 напоминает с маленькой заглавной буквой . версию I с параллельными засечками сверху и снизу, а заглавная Я сохраняю форму в полный рост. Это пережиток системы римских цифр , где Я представляю 1. Современная цифра «1» не получила широкого распространения до середины 1950-х годов. Таким образом, многие старые пишущие машинки не имеют специальной клавиши для цифры 1, которая может отсутствовать, что требует использования строчной буквы l или прописной буквы I в качестве замены. Нижний регистр " j "можно рассматривать как вариант строчной римской цифры" i ", часто используется для финального i «строчной» римской цифры. Также можно найти исторические примеры использования букв j или J вместо арабской цифры 1.

По математике

С математической точки зрения число 1 имеет уникальные свойства и значение. В обычной арифметике ( алгебре ) число 1 является первым натуральным числом после 0 (нуля) и может использоваться для составления всех других целых чисел (например, $1=1$; $2=1+1$; $3=1+1+1$ и т. д.). Произведение 0 чисел ( пустое произведение ) равно 1, а факториал 0! оценивается как 1, как частный случай пустого произведения. Любое число $n$ умноженное или разделенное на 1, остается неизменным ( $n\times 1=n/1=n$). Это делает ее математической единицей , и по этой причине 1 часто называют единицей . Следовательно, если $f(x)$ является мультипликативной функцией , то $f(1)$ должно быть равно 1. Этот отличительный признак приводит к тому, что 1 является собственным факториалом ( $1!=1$), своя площадь ( $1^{2}=1$) и квадратный корень ( ${\sqrt {1}}=1$), свой куб ( $1^{3}=1$) и кубический корень ( ${\sqrt[{3}]{1}}=1$) и так далее. По определению, 1 — это величина , абсолютное значение или норма единичного комплексного числа , единичного вектора и единичной матрицы (чаще называемой единичной матрицей ). Это мультипликативное тождество целых комплексных , действительных и чисел . 1 — единственное натуральное число, которое не является ни составным (число, имеющее более двух различных положительных делителей), ни простым (число, имеющее ровно два различных положительных делителя) относительно деления .

В алгебраических структурах, таких как мультипликативные группы и моноиды, единичный элемент часто обозначается 1, но e (от немецкого Einheit , «единство») также является традиционным. Однако 1 особенно характерна для мультипликативной идентичности кольца, т. е. когда также присутствуют сложение и 0. кольца Более того, если характеристика n не равна 0, элемент, представленный цифрой 1, обладает свойством n 1 = 1 n = 0 (где этот 0 обозначает аддитивную идентичность кольца). Важными примерами, использующими эту концепцию, являются конечные поля . Матрица единиц или матрица «все единицы» определяется как матрица, полностью состоящая из единиц.

Формализации натуральных чисел имеют свои собственные представления 1. Например, в исходной формулировке аксиом Пеано 1 служит отправной точкой в ​​последовательности натуральных чисел. Позже Пеано пересмотрел свои аксиомы, указав 0 как «первое» натуральное число, при этом 1 является преемником 0. В кардинальном присвоении натуральных чисел фон Неймана числа определяются как набор , содержащий все предыдущие числа, где 1 представлено как одноэлементное число {0}. В лямбда-исчислении и теории вычислимости натуральные числа представлены кодировкой Чёрча как функции, где число Чёрча для 1 представлено функцией $f$ применительно к аргументу $x$ один раз (1 $fx=fx$). 1 является одновременно первым и вторым числом в последовательности Фибоначчи (0 — это ноль), а также является первым числом во многих других математических последовательностях . Как пан- многоугольное число , 1 присутствует в каждой многоугольной числовой последовательности как первое фигурное число каждого вида (например, треугольное число , пятиугольное число , центрированное шестиугольное число ).

Самый простой способ представления натуральных чисел — это унарная система счисления , используемая при подсчете чисел . Это часто называют «базой 1», поскольку необходима только одна отметка — сам подсчет. В отличие от базы 2 или базы 10 , это не позиционное обозначение . Поскольку показательная функция с основанием 1 (1 ^х ) всегда равно 1, его обратный логарифм (т. е. логарифм по основанию 1) не существует.

Число 1 может быть представлено в десятичной форме двумя повторяющимися обозначениями: 1,000..., где цифра 0 повторяется бесконечно после десятичной точки, и 0,999... , которая содержит бесконечное повторение цифры 9 после десятичной точки. Последнее возникает из-за определения десятичных чисел как пределов их суммированных компонентов, например, «0,999...» и «1» представляют собой одно и то же число.

Первичность

Основная статья: Простое число § Простота единицы

Хотя 1, кажется, соответствует наивному определению простого числа, поскольку оно делится без остатка только на 1 и на себя (также на 1), по соглашению 1 не является ни простым числом , ни составным числом . Это связано с тем, что 1 — единственное положительное целое число, которое делится ровно на одно положительное целое число, тогда как простые числа делятся ровно на два положительных целых числа, а составные числа делятся более чем на два положительных целых числа. Еще в начале 20 века некоторые математики считали 1 простым числом. Однако преобладающим и прочным математическим консенсусом было исключение из-за его влияния на фундаментальную теорему арифметики и другие теоремы, связанные с простыми числами. Например, основная теорема арифметики гарантирует однозначную факторизацию целых чисел только до единиц, т. е. 4 = 2. ² представляет собой уникальную факторизацию. Однако, если включены единицы, 4 также можно выразить как (−1) ⁶ × 1 ²³ × 2 ² , среди бесконечного множества подобных «факторизаций». Более того, функция тотента Эйлера и функция суммы делителей для простых чисел отличаются от функции для 1.

Другие математические атрибуты и использование

Во многих математических и инженерных задачах числовые значения обычно нормализуются так, чтобы они попадали в единичный интервал от 0 до 1, где 1 обычно представляет собой максимально возможное значение в диапазоне параметров. Например, по определению 1 — это вероятность события, которое абсолютно или почти наверняка произойдет. Аналогичным образом, векторы часто нормализуются в единичные векторы (т. е. векторы величины один), поскольку они часто имеют более желательные свойства. Функции также часто нормализуются при условии, что они имеют целочисленное значение, максимальное значение или квадратичное целое, в зависимости от приложения.

В теории категорий 1 является конечным объектом категории , если существует уникальный морфизм . В теории чисел 1 — это значение константы Лежандра , которая была введена в 1808 году Адрианом-Мари Лежандром для выражения асимптотического поведения функции подсчета простых чисел . доказал, что оно равно ровно 1 Первоначально Лежандр предполагал, что это значение составляет примерно 1,08366, но в 1899 году Шарль Жан де ла Валле Пуссен .

Определение поля требует , чтобы 1 не было равно 0 . Таким образом, полей характеристики 1 не существует. Тем не менее абстрактная алгебра может рассматривать поле с одним элементом , которое не является одноэлементным и вообще не является множеством.

В числовых данных 1 является наиболее распространенной ведущей цифрой во многих наборах данных (встречается примерно в 30% случаев), что является следствием закона Бенфорда .

1 — единственное известное число Тамагавы для односвязной алгебраической группы над числовым полем.

, Производящая функция все коэффициенты которой равны 1, представляет собой геометрическую прогрессию , определяемую формулой ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots$

Нулевое металлическое среднее равно 1, золотое сечение равно цепной дроби [1;1,1,...], а бесконечно вложенный квадратный корень $\scriptstyle {\sqrt {1+{\sqrt {{\text{ }}1+\cdots {\text{ }}}}}}.$

Ряды единичных дробей , которые быстрее всего сходятся к 1, являются обратными величинами последовательности Сильвестра , которые порождают бесконечную египетскую дробь. $1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots$.

Таблица основных расчетов

Умножение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		21	22	23	24	25		50	100	1000
1 × х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		21	22	23	24	25		50	100	1000

Разделение	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15
1 ÷ х	1	0.5	0. 3	0.25	0.2	0.1 6	0. 142857	0.125	0. 1	0.1		0. 09	0.08 3	0. 076923	0.0 714285	0.0 6
х ÷ 1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15

Возведение в степень	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1 х	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
х 1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

В технологии

В цифровой технологии данные представлены двоичным кодом , то есть системой счисления с основанием -2, где числа представлены последовательностью единиц и нулей . Оцифрованные данные представлены в физических устройствах, таких как компьютеры , в виде импульсов электричества, проходящих через переключающие устройства, такие как транзисторы или логические элементы , где «1» представляет собой значение «включено». Таким образом, числовое значение true равно 1 во многих языках программирования .

В науке

• Безразмерные величины также известны как величины размерности один.
• Водород , первый элемент таблицы Менделеева, имеет атомный номер 1.
• 1-ю группу таблицы Менделеева составляют щелочные металлы .
• Первый период таблицы Менделеева состоит всего из двух элементов: водорода и гелия .

В философии

В философии Плотина (и других неоплатоников ) Единое — это высшая реальность и источник всего существования. Филон Александрийский (20 г. до н. э. – 50 г. н. э.) считал число один числом Бога и основой всех чисел («De Allegoriis Legum», ii.12 [i.66]).

Неопифагорейский философ Никомах из Герасы утверждал, что единица — это не число, а источник числа. Он также считал, что число два является воплощением начала инаковости . Его теория чисел была восстановлена ​​Боэцием в его латинском переводе трактата Никомаха « Введение в арифметику» .

См. также

• −1
• +1 (значения)
• Список математических констант
• Один (слово)
• Корень единства

Источники

• Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета . стр. xv, 1–336. ISBN  978-0-19-958-736-0 . Артикул   1291.00036 .
• Blokhintsev, D. I. (2012). Quantum Mechanics .
• Колдуэлл, Крис К.; Сюн, Йенг (2012). «Каково наименьшее простое число?» . Журнал целочисленных последовательностей . 15 (9 ст. 12.9.7). Ватерлоо, Калифорния: Университета Ватерлоо Школа компьютерных наук Дэвида Р. Черитона : 1–14. МР   3005530 . Збл   1285.11001 .
• Хрисомалис, Стивен (2010). Числовая запись: сравнительная история . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511676062 . ISBN  978-0-521-87818-0 .
• Конвей, Джон Х.; Гай, Ричард К. (1996). Книга чисел . Нью-Йорк: Публикации Коперника. дои : 10.1007/978-1-4612-4072-3 . ISBN  0614971667 .
• Каллен, Кристин (2007). Рабочая тетрадь по макету: практическое руководство по созданию страниц в графическом дизайне . Глостер, Массачусетс: Rockport Publishers. стр. 1–240. ISBN  978-1-592-533-527 .
• Кертисс, Д.Р. (1922). «О диофантовой задаче Келлога». Американский математический ежемесячник . 29 (10): 380–387. дои : 10.2307/2299023 . JSTOR   2299023 .
• Гайтсгори, Деннис ; Лурье, Джейкоб (2019). Гипотеза Вейля для функциональных полей (том I) . Анналы математических исследований. Том. 199. Принстон: Издательство Принстонского университета . стр. VIII, 1–311. дои : 10.2307/j.ctv4v32qc . ISBN  978-0-691-18213-1 . МР   3887650 . Збл   1439.14006 .
• Годболе, Ачют С. (2002). Передача данных и сети . Тата МакГроу-Хилл Образование. ISBN  978-1-259-08223-8 .
• Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1988). Конкретная математика . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-14236-8 .
• Халмос, Пол Р. (1974). Наивная теория множеств . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер . стр. VII, 1–104. дои : 10.1007/978-1-4757-1645-0 . ISBN  0-387-90092-6 . МР   0453532 .
• Хиндли, Дж. Роджер ; Селдин, Джонатан П. (2008). Лямбда-исчисление и комбинаторы: Введение (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . стр. xi, 1–358. ISBN  978-1-139-473-248 . МР   2435558 .
• Ходжес, Эндрю (2009). От одного до девяти: внутренняя жизнь чисел . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: WW Norton & Company . стр. 1–330. ISBN  9780385672665 . S2CID   118490841 .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (2012). «0.2.8 Матрица и вектор, состоящие из одних единиц». Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета. п. 8. ISBN  9780521839402 . .
• Хаддлстон, Родни Д .; Пуллум, Джеффри К .; Рейнольдс, Бретт (2022). Введение студента в грамматику английского языка (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–418. ISBN  978-1-316-51464-1 . OCLC   1255524478 .
• Херфорд, Джеймс Р. (1994). Грамматика: Путеводитель для студентов . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета . стр. 1–288. ISBN  978-0-521-45627-2 . ОСЛК   29702087 .
• Котвиц, Роберт Э. (1988). «Числа Тамагавы». Анналы математики . 2. 127 (3). Принстон, Нью-Джерси: Принстонский университет и Институт перспективных исследований : 629–646. дои : 10.2307/2007007 . JSTOR   2007007 . МР   0942522 .
• Миллер, Джорджия (1919). «Группы, обладающие малым числом наборов сопряженных операторов» . Труды Американского математического общества . 20 (3): 260–270. дои : 10.2307/1988867 . JSTOR   1988867 .
• Миллер, Стивен Дж. , изд. (2015). Закон Бенфорда: теория и приложения . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. XXVI, 1–438. ISBN  978-0-691-14761-1 . МР   3408774 .
• Натансон, Мелвин Б. (январь 2023 г.). «Занижение египетскими дробями». Журнал теории чисел . 242 : 208–234. arXiv : 2202.00191 . дои : 10.1016/j.jnt.2022.07.005 .
• Олсон, Роджер (2017). Основы христианской мысли: видение реальности через библейскую историю . Гранд-Рапидс, Мичиган: Зондерван Академик. стр. 1–252. ISBN  9780310521563 .
• Пеано, Джузеппе (1889). Arithmetices principia, nova Methodo Exposita [ Принципы арифметики, представленные новым методом ]. Отрывок из трактата, в котором Пеано впервые представил свои аксиомы и рекурсивно определил арифметические операции. Турин: Братья Бокка. стр. xvi, 1–20. ЖФМ   21.0051.02 .
• Пеано, Джузеппе (1908). Математический формуляр [ Математический формуляр ] (5-е изд.). Турин: Братья Бокка. стр. xxxvi, 1–463 ЯФМ   39.0084.01 .
• Розенман, Мартин; Андервуд, Ф. (1933). «Задача 3536». Американский математический ежемесячник . 40 (3): 180–181. дои : 10.2307/2301036 . JSTOR   2301036 .
• Зальцер, HE (1947). «Приближение чисел суммами обратных величин». Американский математический ежемесячник . 54 (3): 135–142. дои : 10.2307/2305906 . JSTOR   2305906 . МР   0020339 .
• Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Празднование МАА Эйлера. Том. III. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки . стр. 1–237. ISBN  978-0-88385-563-8 . МР   2321397 .
• Серпинский, Вацлав (1988). Элементарная теория чисел . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 31 (2-е изд.). Эльзевир . стр. 1–513. ISBN  978-0-08-096019-7 . МР   0930670 .
• Саундарараджан, К. (2005). «Приближение 1 снизу с помощью n египетских дробей». arXiv : math.CA/0502247 .
• Стиллвелл, Джон (1994). Элементы алгебры: геометрия, числа, уравнения . Спрингер-Верлаг . стр. xi, 1–181. ISBN  9783540942900 . МР   1311026 . Збл   0832.00001 .
• Сунг, Кельвин; Смит, Грегори (2019). Базовая математика для разработки игр с Unity 3D: Руководство по математическим основам для начинающих .