Логика

Эта статья посвящена изучению правильных рассуждений. Чтобы узнать о других значениях, см. Логика (значения) и Логик (значения) .

«Логично» и «Логически» перенаправляются сюда. Чтобы узнать о рэпере, см. Logic (рэпер) . Чтобы узнать о британской компании, см. «Логически (компания)» .

Логика изучает действительные формы вывода, такие как modus ponens .

Логика – это изучение правильных рассуждений . Он включает в себя как формальную , так и неформальную логику . Формальная логика – это изучение дедуктивно обоснованных выводов или логических истин . Он исследует, как выводы следуют из посылок только благодаря структуре аргументов, независимо от их темы и содержания. Неформальная логика связана с неформальными заблуждениями , критическим мышлением и теорией аргументации . Неформальная логика исследует аргументы, выраженные на естественном языке , тогда как формальная логика использует формальный язык . При использовании в качестве исчисляемого существительного термин «логика» относится к логической формальной системе , которая формулирует систему доказательства . Логика играет центральную роль во многих областях, таких как философия , математика , информатика и лингвистика .

Логика изучает аргументы, которые состоят из набора посылок и заключения. Примером может служить аргумент от посылок «сегодня воскресенье» и «если сегодня воскресенье, то мне не нужно работать» до вывода «мне не нужно работать». Premises and conclusions express propositions or claims that can be true or false. An important feature of propositions is their internal structure. For example, complex propositions are made up of simpler propositions linked by logical vocabulary like $\land$ (and) or $\to$ ( если... то ). В простых предложениях также есть части, например «воскресенье» или «работа» в примере. Истинность предложения обычно зависит от значений всех его частей. Однако это не относится к логически истинным суждениям. Они истинны только благодаря своей логической структуре, независимой от конкретных значений отдельных частей.

Arguments can be either correct or incorrect. An argument is correct if its premises support its conclusion. Deductive arguments have the strongest form of support: if their premises are true then their conclusion must also be true. This is not the case for ampliative arguments, which arrive at genuinely new information not found in the premises. Many arguments in everyday discourse and the sciences are ampliative arguments. They are divided into inductive and abductive arguments. Inductive arguments are statistical generalizations, such as inferring that all ravens are black based on many individual observations of black ravens. Abductive arguments are inferences to the best explanation, for example, when a doctor concludes that a patient has a certain disease which explains the symptoms they suffer. Arguments that fall short of the standards of correct reasoning often embody fallacies. Systems of logic are theoretical frameworks for assessing the correctness of arguments.

Logic has been studied since antiquity. Early approaches include Aristotelian logic, Stoic logic, Nyaya, and Mohism. Aristotelian logic focuses on reasoning in the form of syllogisms. It was considered the main system of logic in the Western world until it was replaced by modern formal logic, which has its roots in the work of late 19th-century mathematicians such as Gottlob Frege. Today, the most used system is classical logic. It consists of propositional logic and first-order logic. Propositional logic only considers logical relations between full propositions. First-order logic also takes the internal parts of propositions into account, like predicates and quantifiers. Extended logics accept the basic intuitions behind classical logic and extend it to other fields, such as metaphysics, ethics, and epistemology. Deviant logics, on the other hand, reject certain classical intuitions and provide alternative explanations of the basic laws of logic.

Definition

The word "logic" originates from the Greek word "logos", which has a variety of translations, such as reason, discourse, or language. Logic is traditionally defined as the study of the laws of thought or correct reasoning, and is usually understood in terms of inferences or arguments. Reasoning is the activity of drawing inferences. Arguments are the outward expression of inferences. An argument is a set of premises together with a conclusion. Logic is interested in whether arguments are correct, i.e. whether their premises support the conclusion. These general characterizations apply to logic in the widest sense, i.e., to both formal and informal logic since they are both concerned with assessing the correctness of arguments. Formal logic is the traditionally dominant field, and some logicians restrict logic to formal logic.

Formal logic

Further information: Formal system

Formal logic is also known as symbolic logic and is widely used in mathematical logic. It uses a formal approach to study reasoning: it replaces concrete expressions with abstract symbols to examine the logical form of arguments independent of their concrete content. In this sense, it is topic-neutral since it is only concerned with the abstract structure of arguments and not with their concrete content.

Formal logic is interested in deductively valid arguments, for which the truth of their premises ensures the truth of their conclusion. This means that it is impossible for the premises to be true and the conclusion to be false. For valid arguments, the logical structure of the premises and the conclusion follows a pattern called a rule of inference. For example, modus ponens is a rule of inference according to which all arguments of the form "(1) p, (2) if p then q, (3) therefore q" are valid, independent of what the terms p and q stand for. In this sense, formal logic can be defined as the science of valid inferences. An alternative definition sees logic as the study of logical truths. A proposition is logically true if its truth depends only on the logical vocabulary used in it. This means that it is true in all possible worlds and under all interpretations of its non-logical terms, like the claim "either it is raining, or it is not". These two definitions of formal logic are not identical, but they are closely related. For example, if the inference from p to q is deductively valid then the claim "if p then q" is a logical truth.

Formal logic needs to translate natural language arguments into a formal language, like first-order logic, to assess whether they are valid. In this example, the letter "c" represents Carmen while the letters "M" and "T" stand for "Mexican" and "teacher". The symbol "∧" has the meaning of "and".

Formal logic uses formal languages to express and analyze arguments. They normally have a very limited vocabulary and exact syntactic rules. These rules specify how their symbols can be combined to construct sentences, so-called well-formed formulas. This simplicity and exactness of formal logic make it capable of formulating precise rules of inference. They determine whether a given argument is valid. Because of the reliance on formal language, natural language arguments cannot be studied directly. Instead, they need to be translated into formal language before their validity can be assessed.

The term "logic" can also be used in a slightly different sense as a countable noun. In this sense, a logic is a logical formal system. Distinct logics differ from each other concerning the rules of inference they accept as valid and the formal languages used to express them. Starting in the late 19th century, many new formal systems have been proposed. There are disagreements about what makes a formal system a logic. For example, it has been suggested that only logically complete systems, like first-order logic, qualify as logics. For such reasons, some theorists deny that higher-order logics are logics in the strict sense.

Informal logic

Main article: Informal logic

When understood in a wide sense, logic encompasses both formal and informal logic. Informal logic uses non-formal criteria and standards to analyze and assess the correctness of arguments. Its main focus is on everyday discourse. Its development was prompted by difficulties in applying the insights of formal logic to natural language arguments. In this regard, it considers problems that formal logic on its own is unable to address. Both provide criteria for assessing the correctness of arguments and distinguishing them from fallacies.

Many characterizations of informal logic have been suggested but there is no general agreement on its precise definition. The most literal approach sees the terms "formal" and "informal" as applying to the language used to express arguments. On this view, informal logic studies arguments that are in informal or natural language. Formal logic can only examine them indirectly by translating them first into a formal language while informal logic investigates them in their original form. On this view, the argument "Birds fly. Tweety is a bird. Therefore, Tweety flies." belongs to natural language and is examined by informal logic. But the formal translation "(1) $\forall x(Bird(x)\to Flies(x))$; (2) $Bird(Tweety)$; (3) $Flies(Tweety)$" is studied by formal logic. The study of natural language arguments comes with various difficulties. For example, natural language expressions are often ambiguous, vague, and context-dependent. Another approach defines informal logic in a wide sense as the normative study of the standards, criteria, and procedures of argumentation. In this sense, it includes questions about the role of rationality, critical thinking, and the psychology of argumentation.

Another characterization identifies informal logic with the study of non-deductive arguments. In this way, it contrasts with deductive reasoning examined by formal logic. Non-deductive arguments make their conclusion probable but do not ensure that it is true. An example is the inductive argument from the empirical observation that "all ravens I have seen so far are black" to the conclusion "all ravens are black".

A further approach is to define informal logic as the study of informal fallacies. Informal fallacies are incorrect arguments in which errors are present in the content and the context of the argument. A false dilemma, for example, involves an error of content by excluding viable options. This is the case in the fallacy "you are either with us or against us; you are not with us; therefore, you are against us". Some theorists state that formal logic studies the general form of arguments while informal logic studies particular instances of arguments. Another approach is to hold that formal logic only considers the role of logical constants for correct inferences while informal logic also takes the meaning of substantive concepts into account. Further approaches focus on the discussion of logical topics with or without formal devices and on the role of epistemology for the assessment of arguments.

Basic concepts

Premises, conclusions, and truth

Premises and conclusions

Main articles: Premise and Logical consequence

Premises and conclusions are the basic parts of inferences or arguments and therefore play a central role in logic. In the case of a valid inference or a correct argument, the conclusion follows from the premises, or in other words, the premises support the conclusion. For instance, the premises "Mars is red" and "Mars is a planet" support the conclusion "Mars is a red planet". For most types of logic, it is accepted that premises and conclusions have to be truth-bearers. This means that they have a truth value: they are either true or false. Contemporary philosophy generally sees them either as propositions or as sentences. Propositions are the denotations of sentences and are usually seen as abstract objects. For example, the English sentence "the tree is green" is different from the German sentence "der Baum ist grün" but both express the same proposition.

Propositional theories of premises and conclusions are often criticized because they rely on abstract objects. For instance, philosophical naturalists usually reject the existence of abstract objects. Other arguments concern the challenges involved in specifying the identity criteria of propositions. These objections are avoided by seeing premises and conclusions not as propositions but as sentences, i.e. as concrete linguistic objects like the symbols displayed on a page of a book. But this approach comes with new problems of its own: sentences are often context-dependent and ambiguous, meaning an argument's validity would not only depend on its parts but also on its context and on how it is interpreted. Another approach is to understand premises and conclusions in psychological terms as thoughts or judgments. This position is known as psychologism. It was discussed at length around the turn of the 20th century but it is not widely accepted today.

Internal structure

Premises and conclusions have an internal structure. As propositions or sentences, they can be either simple or complex. A complex proposition has other propositions as its constituents, which are linked to each other through propositional connectives like "and" or "if...then". Simple propositions, on the other hand, do not have propositional parts. But they can also be conceived as having an internal structure: they are made up of subpropositional parts, like singular terms and predicates. For example, the simple proposition "Mars is red" can be formed by applying the predicate "red" to the singular term "Mars". In contrast, the complex proposition "Mars is red and Venus is white" is made up of two simple propositions connected by the propositional connective "and".

Whether a proposition is true depends, at least in part, on its constituents. For complex propositions formed using truth-functional propositional connectives, their truth only depends on the truth values of their parts. But this relation is more complicated in the case of simple propositions and their subpropositional parts. These subpropositional parts have meanings of their own, like referring to objects or classes of objects. Whether the simple proposition they form is true depends on their relation to reality, i.e. what the objects they refer to are like. This topic is studied by theories of reference.

Logical truth

Main article: Logical truth

Some complex propositions are true independently of the substantive meanings of their parts. In classical logic, for example, the complex proposition "either Mars is red or Mars is not red" is true independent of whether its parts, like the simple proposition "Mars is red", are true or false. In such cases, the truth is called a logical truth: a proposition is logically true if its truth depends only on the logical vocabulary used in it. This means that it is true under all interpretations of its non-logical terms. In some modal logics, this means that the proposition is true in all possible worlds. Some theorists define logic as the study of logical truths.

Truth tables

Truth tables can be used to show how logical connectives work or how the truth values of complex propositions depends on their parts. They have a column for each input variable. Each row corresponds to one possible combination of the truth values these variables can take; for truth tables presented in the English literature, the symbols "T" and "F" or "1" and "0" are commonly used as abbreviations for the truth values "true" and "false". The first columns present all the possible truth-value combinations for the input variables. Entries in the other columns present the truth values of the corresponding expressions as determined by the input values. For example, the expression "$p\land q$" uses the logical connective $\land$ (and). It could be used to express a sentence like "yesterday was Sunday and the weather was good". It is only true if both of its input variables, $p$ ("yesterday was Sunday") and $q$ ("the weather was good"), are true. In all other cases, the expression as a whole is false. Other important logical connectives are $\lnot$ (not), $\lor$ (or), $\to$ (if...then), and $\uparrow$ (Sheffer stroke). Given the conditional proposition $p\to q$, one can form truth tables of its converse $q\to p$, its inverse ($\lnot p\to \lnot q$), and its contrapositive ($\lnot q\to \lnot p$). Truth tables can also be defined for more complex expressions that use several propositional connectives.

Truth table of various expressions

p	q	p ∧ q	p ∨ q	p → q	¬p → ¬q	p $\uparrow$ q
T	T	T	T	T	T	F
T	F	F	T	F	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	F	F	T	T	T

Arguments and inferences

Main articles: Argument and inference

Logic is commonly defined in terms of arguments or inferences as the study of their correctness. An argument is a set of premises together with a conclusion. An inference is the process of reasoning from these premises to the conclusion. But these terms are often used interchangeably in logic. Arguments are correct or incorrect depending on whether their premises support their conclusion. Premises and conclusions, on the other hand, are true or false depending on whether they are in accord with reality. In formal logic, a sound argument is an argument that is both correct and has only true premises. Sometimes a distinction is made between simple and complex arguments. A complex argument is made up of a chain of simple arguments. This means that the conclusion of one argument acts as a premise of later arguments. For a complex argument to be successful, each link of the chain has to be successful.

Argument terminology used in logic

Arguments and inferences are either correct or incorrect. If they are correct then their premises support their conclusion. In the incorrect case, this support is missing. It can take different forms corresponding to the different types of reasoning. The strongest form of support corresponds to deductive reasoning. But even arguments that are not deductively valid may still be good arguments because their premises offer non-deductive support to their conclusions. For such cases, the term ampliative or inductive reasoning is used. Deductive arguments are associated with formal logic in contrast to the relation between ampliative arguments and informal logic.

Deductive

A deductively valid argument is one whose premises guarantee the truth of its conclusion. For instance, the argument "(1) all frogs are amphibians; (2) no cats are amphibians; (3) therefore no cats are frogs" is deductively valid. For deductive validity, it does not matter whether the premises or the conclusion are actually true. So the argument "(1) all frogs are mammals; (2) no cats are mammals; (3) therefore no cats are frogs" is also valid because the conclusion follows necessarily from the premises.

According to an influential view by Alfred Tarski, deductive arguments have three essential features: (1) they are formal, i.e. they depend only on the form of the premises and the conclusion; (2) they are a priori, i.e. no sense experience is needed to determine whether they obtain; (3) they are modal, i.e. that they hold by logical necessity for the given propositions, independent of any other circumstances.

Because of the first feature, the focus on formality, deductive inference is usually identified with rules of inference. Rules of inference specify the form of the premises and the conclusion: how they have to be structured for the inference to be valid. Arguments that do not follow any rule of inference are deductively invalid. The modus ponens is a prominent rule of inference. It has the form "p; if p, then q; therefore q". Knowing that it has just rained ($p$) and that after rain the streets are wet ($p\to q$), one can use modus ponens to deduce that the streets are wet ($q$).

The third feature can be expressed by stating that deductively valid inferences are truth-preserving: it is impossible for the premises to be true and the conclusion to be false. Because of this feature, it is often asserted that deductive inferences are uninformative since the conclusion cannot arrive at new information not already present in the premises. But this point is not always accepted since it would mean, for example, that most of mathematics is uninformative. A different characterization distinguishes between surface and depth information. The surface information of a sentence is the information it presents explicitly. Depth information is the totality of the information contained in the sentence, both explicitly and implicitly. According to this view, deductive inferences are uninformative on the depth level. But they can be highly informative on the surface level by making implicit information explicit. This happens, for example, in mathematical proofs.

Ampliative

Ampliative arguments are arguments whose conclusions contain additional information not found in their premises. In this regard, they are more interesting since they contain information on the depth level and the thinker may learn something genuinely new. But this feature comes with a certain cost: the premises support the conclusion in the sense that they make its truth more likely but they do not ensure its truth. This means that the conclusion of an ampliative argument may be false even though all its premises are true. This characteristic is closely related to non-monotonicity and defeasibility: it may be necessary to retract an earlier conclusion upon receiving new information or in the light of new inferences drawn. Ampliative reasoning plays a central role for many arguments found in everyday discourse and the sciences. Ampliative arguments are not automatically incorrect. Instead, they just follow different standards of correctness. The support they provide for their conclusion usually comes in degrees. This means that strong ampliative arguments make their conclusion very likely while weak ones are less certain. As a consequence, the line between correct and incorrect arguments is blurry in some cases, as when the premises offer weak but non-negligible support. This contrasts with deductive arguments, which are either valid or invalid with nothing in-between.

The terminology used to categorize ampliative arguments is inconsistent. Some authors, like James Hawthorne, use the term "induction" to cover all forms of non-deductive arguments. But in a more narrow sense, induction is only one type of ampliative argument alongside abductive arguments. Some philosophers, like Leo Groarke, also allow conductive arguments as one more type. In this narrow sense, induction is often defined as a form of statistical generalization. In this case, the premises of an inductive argument are many individual observations that all show a certain pattern. The conclusion then is a general law that this pattern always obtains. In this sense, one may infer that "all elephants are gray" based on one's past observations of the color of elephants. A closely related form of inductive inference has as its conclusion not a general law but one more specific instance, as when it is inferred that an elephant one has not seen yet is also gray. Some theorists, like Igor Douven, stipulate that inductive inferences rest only on statistical considerations. This way, they can be distinguished from abductive inference.

Abductive inference may or may not take statistical observations into consideration. In either case, the premises offer support for the conclusion because the conclusion is the best explanation of why the premises are true. In this sense, abduction is also called the inference to the best explanation. For example, given the premise that there is a plate with breadcrumbs in the kitchen in the early morning, one may infer the conclusion that one's house-mate had a midnight snack and was too tired to clean the table. This conclusion is justified because it is the best explanation of the current state of the kitchen. For abduction, it is not sufficient that the conclusion explains the premises. For example, the conclusion that a burglar broke into the house last night, got hungry on the job, and had a midnight snack, would also explain the state of the kitchen. But this conclusion is not justified because it is not the best or most likely explanation.

Fallacies

Not all arguments live up to the standards of correct reasoning. When they do not, they are usually referred to as fallacies. Their central aspect is not that their conclusion is false but that there is some flaw with the reasoning leading to this conclusion. So the argument "it is sunny today; therefore spiders have eight legs" is fallacious even though the conclusion is true. Some theorists, like John Stuart Mill, give a more restrictive definition of fallacies by additionally requiring that they appear to be correct. This way, genuine fallacies can be distinguished from mere mistakes of reasoning due to carelessness. This explains why people tend to commit fallacies: because they have an alluring element that seduces people into committing and accepting them. However, this reference to appearances is controversial because it belongs to the field of psychology, not logic, and because appearances may be different for different people.

Young America's dilemma: Shall I be wise and great, or rich and powerful? (poster from 1901) This is an example of a false dilemma: an informal fallacy using a disjunctive premise that excludes viable alternatives.

Fallacies are usually divided into formal and informal fallacies. For formal fallacies, the source of the error is found in the form of the argument. For example, denying the antecedent is one type of formal fallacy, as in "if Othello is a bachelor, then he is male; Othello is not a bachelor; therefore Othello is not male". But most fallacies fall into the category of informal fallacies, of which a great variety is discussed in the academic literature. The source of their error is usually found in the content or the context of the argument. Informal fallacies are sometimes categorized as fallacies of ambiguity, fallacies of presumption, or fallacies of relevance. For fallacies of ambiguity, the ambiguity and vagueness of natural language are responsible for their flaw, as in "feathers are light; what is light cannot be dark; therefore feathers cannot be dark". Fallacies of presumption have a wrong or unjustified premise but may be valid otherwise. In the case of fallacies of relevance, the premises do not support the conclusion because they are not relevant to it.

Definitory and strategic rules

The main focus of most logicians is to study the criteria according to which an argument is correct or incorrect. A fallacy is committed if these criteria are violated. In the case of formal logic, they are known as rules of inference. They are definitory rules, which determine whether an inference is correct or which inferences are allowed. Definitory rules contrast with strategic rules. Strategic rules specify which inferential moves are necessary to reach a given conclusion based on a set of premises. This distinction does not just apply to logic but also to games. In chess, for example, the definitory rules dictate that bishops may only move diagonally. The strategic rules, on the other hand, describe how the allowed moves may be used to win a game, for instance, by controlling the center and by defending one's king. It has been argued that logicians should give more emphasis to strategic rules since they are highly relevant for effective reasoning.

Formal systems

Main article: Formal system

A formal system of logic consists of a formal language together with a set of axioms and a proof system used to draw inferences from these axioms. In logic, axioms are statements that are accepted without proof. They are used to justify other statements. Some theorists also include a semantics that specifies how the expressions of the formal language relate to real objects. Starting in the late 19th century, many new formal systems have been proposed.

A formal language consists of an alphabet and syntactic rules. The alphabet is the set of basic symbols used in expressions. The syntactic rules determine how these symbols may be arranged to result in well-formed formulas. For instance, the syntactic rules of propositional logic determine that "$P\land Q$" is a well-formed formula but "$\land Q$" is not since the logical conjunction $\land$ requires terms on both sides.

A proof system is a collection of rules to construct formal proofs. It is a tool to arrive at conclusions from a set of axioms. Rules in a proof system are defined in terms of the syntactic form of formulas independent of their specific content. For instance, the classical rule of conjunction introduction states that $P\land Q$ follows from the premises $P$ and $Q$. Such rules can be applied sequentially, giving a mechanical procedure for generating conclusions from premises. There are different types of proof systems including natural deduction and sequent calculi.

A semantics is a system for mapping expressions of a formal language to their denotations. In many systems of logic, denotations are truth values. For instance, the semantics for classical propositional logic assigns the formula $P\land Q$ the denotation "true" whenever $P$ and $Q$ are true. From the semantic point of view, a premise entails a conclusion if the conclusion is true whenever the premise is true.

A system of logic is sound when its proof system cannot derive a conclusion from a set of premises unless it is semantically entailed by them. In other words, its proof system cannot lead to false conclusions, as defined by the semantics. A system is complete when its proof system can derive every conclusion that is semantically entailed by its premises. In other words, its proof system can lead to any true conclusion, as defined by the semantics. Thus, soundness and completeness together describe a system whose notions of validity and entailment line up perfectly.

Systems of logic

Systems of logic are theoretical frameworks for assessing the correctness of reasoning and arguments. For over two thousand years, Aristotelian logic was treated as the canon of logic in the Western world, but modern developments in this field have led to a vast proliferation of logical systems. One prominent categorization divides modern formal logical systems into classical logic, extended logics, and deviant logics.

Aristotelian

Main article: Aristotelian logic

Aristotelian logic encompasses a great variety of topics. They include metaphysical theses about ontological categories and problems of scientific explanation. But in a more narrow sense, it is identical to term logic or syllogistics. A syllogism is a form of argument involving three propositions: two premises and a conclusion. Each proposition has three essential parts: a subject, a predicate, and a copula connecting the subject to the predicate. For example, the proposition "Socrates is wise" is made up of the subject "Socrates", the predicate "wise", and the copula "is". The subject and the predicate are the terms of the proposition. Aristotelian logic does not contain complex propositions made up of simple propositions. It differs in this aspect from propositional logic, in which any two propositions can be linked using a logical connective like "and" to form a new complex proposition.

The square of opposition is often used to visualize the relations between the four basic categorical propositions in Aristotelian logic. It shows, for example, that the propositions "All S are P" and "Some S are not P" are contradictory, meaning that one of them has to be true while the other is false.

In Aristotelian logic, the subject can be universal, particular, indefinite, or singular. For example, the term "all humans" is a universal subject in the proposition "all humans are mortal". A similar proposition could be formed by replacing it with the particular term "some humans", the indefinite term "a human", or the singular term "Socrates".

Aristotelian logic only includes predicates for simple properties of entities. But it lacks predicates corresponding to relations between entities. The predicate can be linked to the subject in two ways: either by affirming it or by denying it. For example, the proposition "Socrates is not a cat" involves the denial of the predicate "cat" to the subject "Socrates". Using combinations of subjects and predicates, a great variety of propositions and syllogisms can be formed. Syllogisms are characterized by the fact that the premises are linked to each other and to the conclusion by sharing one predicate in each case. Thus, these three propositions contain three predicates, referred to as major term, minor term, and middle term. The central aspect of Aristotelian logic involves classifying all possible syllogisms into valid and invalid arguments according to how the propositions are formed. For example, the syllogism "all men are mortal; Socrates is a man; therefore Socrates is mortal" is valid. The syllogism "all cats are mortal; Socrates is mortal; therefore Socrates is a cat", on the other hand, is invalid.

Classical

Main article: Classical logic

Classical logic is distinct from traditional or Aristotelian logic. It encompasses propositional logic and first-order logic. It is "classical" in the sense that it is based on basic logical intuitions shared by most logicians. These intuitions include the law of excluded middle, the double negation elimination, the principle of explosion, and the bivalence of truth. It was originally developed to analyze mathematical arguments and was only later applied to other fields as well. Because of this focus on mathematics, it does not include logical vocabulary relevant to many other topics of philosophical importance. Examples of concepts it overlooks are the contrast between necessity and possibility and the problem of ethical obligation and permission. Similarly, it does not address the relations between past, present, and future. Such issues are addressed by extended logics. They build on the basic intuitions of classical logic and expand it by introducing new logical vocabulary. This way, the exact logical approach is applied to fields like ethics or epistemology that lie beyond the scope of mathematics.

Propositional logic

Main article: Propositional calculus

Propositional logic comprises formal systems in which formulae are built from atomic propositions using logical connectives. For instance, propositional logic represents the conjunction of two atomic propositions $P$ and $Q$ as the complex formula $P\land Q$. Unlike predicate logic where terms and predicates are the smallest units, propositional logic takes full propositions with truth values as its most basic component. Thus, propositional logics can only represent logical relationships that arise from the way complex propositions are built from simpler ones. But it cannot represent inferences that result from the inner structure of a proposition.

First-order logic

Gottlob Frege's Begriffschrift introduced the notion of quantifier in a graphical notation, which here represents the judgment that $\forall x.F(x)$ is true.

Main article: First-order logic

First-order logic includes the same propositional connectives as propositional logic but differs from it because it articulates the internal structure of propositions. This happens through devices such as singular terms, which refer to particular objects, predicates, which refer to properties and relations, and quantifiers, which treat notions like "some" and "all". For example, to express the proposition "this raven is black", one may use the predicate $B$ for the property "black" and the singular term $r$ referring to the raven to form the expression $B(r)$. To express that some objects are black, the existential quantifier $\exists$ is combined with the variable $x$ to form the proposition $\exists xB(x)$. First-order logic contains various rules of inference that determine how expressions articulated this way can form valid arguments, for example, that one may infer $\exists xB(x)$ from $B(r)$.

Extended

Extended logics are logical systems that accept the basic principles of classical logic. They introduce additional symbols and principles to apply it to fields like metaphysics, ethics, and epistemology.

Modal logic

Main article: Modal logic

Modal logic is an extension of classical logic. In its original form, sometimes called "alethic modal logic", it introduces two new symbols: $\Diamond$ expresses that something is possible while $\Box$ expresses that something is necessary. For example, if the formula $B(s)$ stands for the sentence "Socrates is a banker" then the formula $\Diamond B(s)$ articulates the sentence "It is possible that Socrates is a banker". To include these symbols in the logical formalism, modal logic introduces new rules of inference that govern what role they play in inferences. One rule of inference states that, if something is necessary, then it is also possible. This means that $\Diamond A$ follows from $\Box A$. Another principle states that if a proposition is necessary then its negation is impossible and vice versa. This means that $\Box A$ is equivalent to $\lnot \Diamond \lnot A$.

Other forms of modal logic introduce similar symbols but associate different meanings with them to apply modal logic to other fields. For example, deontic logic concerns the field of ethics and introduces symbols to express the ideas of obligation and permission, i.e. to describe whether an agent has to perform a certain action or is allowed to perform it. The modal operators in temporal modal logic articulate temporal relations. They can be used to express, for example, that something happened at one time or that something is happening all the time. In epistemology, epistemic modal logic is used to represent the ideas of knowing something in contrast to merely believing it to be the case.

Higher order logic

Main article: Higher-order logic

Higher-order logics extend classical logic not by using modal operators but by introducing new forms of quantification. Quantifiers correspond to terms like "all" or "some". In classical first-order logic, quantifiers are only applied to individuals. The formula "$\exists x(Apple(x)\land Sweet(x))$" (some apples are sweet) is an example of the existential quantifier "$\exists$" applied to the individual variable "$x$". In higher-order logics, quantification is also allowed over predicates. This increases its expressive power. For example, to express the idea that Mary and John share some qualities, one could use the formula "$\exists Q(Q(Mary)\land Q(John))$". In this case, the existential quantifier is applied to the predicate variable "$Q$". The added expressive power is especially useful for mathematics since it allows for more succinct formulations of mathematical theories. But it has drawbacks in regard to its meta-logical properties and ontological implications, which is why first-order logic is still more commonly used.

Deviant

Main article: Deviant logic

Deviant logics are logical systems that reject some of the basic intuitions of classical logic. Because of this, they are usually seen not as its supplements but as its rivals. Deviant logical systems differ from each other either because they reject different classical intuitions or because they propose different alternatives to the same issue.

Intuitionistic logic is a restricted version of classical logic. It uses the same symbols but excludes some rules of inference. For example, according to the law of double negation elimination, if a sentence is not not true, then it is true. This means that $A$ follows from $\lnot \lnot A$. This is a valid rule of inference in classical logic but it is invalid in intuitionistic logic. Another classical principle not part of intuitionistic logic is the law of excluded middle. It states that for every sentence, either it or its negation is true. This means that every proposition of the form $A\lor \lnot A$ is true. These deviations from classical logic are based on the idea that truth is established by verification using a proof. Intuitionistic logic is especially prominent in the field of constructive mathematics, which emphasizes the need to find or construct a specific example to prove its existence.

Multi-valued logics depart from classicality by rejecting the principle of bivalence, which requires all propositions to be either true or false. For instance, Jan Łukasiewicz and Stephen Cole Kleene both proposed ternary logics which have a third truth value representing that a statement's truth value is indeterminate. These logics have been applied in the field of linguistics. Fuzzy logics are multivalued logics that have an infinite number of "degrees of truth", represented by a real number between 0 and 1.

Paraconsistent logics are logical systems that can deal with contradictions. They are formulated to avoid the principle of explosion: for them, it is not the case that anything follows from a contradiction. They are often motivated by dialetheism, the view that contradictions are real or that reality itself is contradictory. Graham Priest is an influential contemporary proponent of this position and similar views have been ascribed to Georg Wilhelm Friedrich Hegel.

Informal

Main article: Informal logic

Informal logic is usually carried out in a less systematic way. It often focuses on more specific issues, like investigating a particular type of fallacy or studying a certain aspect of argumentation. Nonetheless, some frameworks of informal logic have also been presented that try to provide a systematic characterization of the correctness of arguments.

The pragmatic or dialogical approach to informal logic sees arguments as speech acts and not merely as a set of premises together with a conclusion. As speech acts, they occur in a certain context, like a dialogue, which affects the standards of right and wrong arguments. A prominent version by Douglas N. Walton understands a dialogue as a game between two players. The initial position of each player is characterized by the propositions to which they are committed and the conclusion they intend to prove. Dialogues are games of persuasion: each player has the goal of convincing the opponent of their own conclusion. This is achieved by making arguments: arguments are the moves of the game. They affect to which propositions the players are committed. A winning move is a successful argument that takes the opponent's commitments as premises and shows how one's own conclusion follows from them. This is usually not possible straight away. For this reason, it is normally necessary to formulate a sequence of arguments as intermediary steps, each of which brings the opponent a little closer to one's intended conclusion. Besides these positive arguments leading one closer to victory, there are also negative arguments preventing the opponent's victory by denying their conclusion. Whether an argument is correct depends on whether it promotes the progress of the dialogue. Fallacies, on the other hand, are violations of the standards of proper argumentative rules. These standards also depend on the type of dialogue. For example, the standards governing the scientific discourse differ from the standards in business negotiations.

The epistemic approach to informal logic, on the other hand, focuses on the epistemic role of arguments. It is based on the idea that arguments aim to increase our knowledge. They achieve this by linking justified beliefs to beliefs that are not yet justified. Correct arguments succeed at expanding knowledge while fallacies are epistemic failures: they do not justify the belief in their conclusion. For example, the fallacy of begging the question is a fallacy because it fails to provide independent justification for its conclusion, even though it is deductively valid. In this sense, logical normativity consists in epistemic success or rationality. The Bayesian approach is one example of an epistemic approach. Central to Bayesianism is not just whether the agent believes something but the degree to which they believe it, the so-called credence. Degrees of belief are seen as subjective probabilities in the believed proposition, i.e. how certain the agent is that the proposition is true. On this view, reasoning can be interpreted as a process of changing one's credences, often in reaction to new incoming information. Correct reasoning and the arguments it is based on follow the laws of probability, for example, the principle of conditionalization. Bad or irrational reasoning, on the other hand, violates these laws.

Areas of research

Logic is studied in various fields. In many cases, this is done by applying its formal method to specific topics outside its scope, like to ethics or computer science. In other cases, logic itself is made the subject of research in another discipline. This can happen in diverse ways. For instance, it can involve investigating the philosophical assumptions linked to the basic concepts used by logicians. Other ways include interpreting and analyzing logic through mathematical structures as well as studying and comparing abstract properties of formal logical systems.

Philosophy of logic and philosophical logic

Main articles: Philosophy of logic and Philosophical logic

Philosophy of logic is the philosophical discipline studying the scope and nature of logic. It examines many presuppositions implicit in logic, like how to define its basic concepts or the metaphysical assumptions associated with them. It is also concerned with how to classify logical systems and considers the ontological commitments they incur. Philosophical logic is one of the areas within the philosophy of logic. It studies the application of logical methods to philosophical problems in fields like metaphysics, ethics, and epistemology. This application usually happens in the form of extended or deviant logical systems.

Metalogic

Main article: Metalogic

Metalogic is the field of inquiry studying the properties of formal logical systems. For example, when a new formal system is developed, metalogicians may study it to determine which formulas can be proven in it. They may also study whether an algorithm could be developed to find a proof for each formula and whether every provable formula in it is a tautology. Finally, they may compare it to other logical systems to understand its distinctive features. A key issue in metalogic concerns the relation between syntax and semantics. The syntactic rules of a formal system determine how to deduce conclusions from premises, i.e. how to formulate proofs. The semantics of a formal system governs which sentences are true and which ones are false. This determines the validity of arguments since, for valid arguments, it is impossible for the premises to be true and the conclusion to be false. The relation between syntax and semantics concerns issues like whether every valid argument is provable and whether every provable argument is valid. Metalogicians also study whether logical systems are complete, sound, and consistent. They are interested in whether the systems are decidable and what expressive power they have. Metalogicians usually rely heavily on abstract mathematical reasoning when examining and formulating metalogical proofs. This way, they aim to arrive at precise and general conclusions on these topics.

Mathematical logic

Main article: Mathematical logic

Bertrand Russell made various contributions to mathematical logic.

The term "mathematical logic" is sometimes used as a synonym of "formal logic". But in a more restricted sense, it refers to the study of logic within mathematics. Major subareas include model theory, proof theory, set theory, and computability theory. Research in mathematical logic commonly addresses the mathematical properties of formal systems of logic. However, it can also include attempts to use logic to analyze mathematical reasoning or to establish logic-based foundations of mathematics. The latter was a major concern in early 20th-century mathematical logic, which pursued the program of logicism pioneered by philosopher-logicians such as Gottlob Frege, Alfred North Whitehead, and Bertrand Russell. Mathematical theories were supposed to be logical tautologies, and their program was to show this by means of a reduction of mathematics to logic. Many attempts to realize this program failed, from the crippling of Frege's project in his Grundgesetze by Russell's paradox, to the defeat of Hilbert's program by Gödel's incompleteness theorems.

Set theory originated in the study of the infinite by Georg Cantor, and it has been the source of many of the most challenging and important issues in mathematical logic. They include Cantor's theorem, the status of the Axiom of Choice, the question of the independence of the continuum hypothesis, and the modern debate on large cardinal axioms.

Computability theory is the branch of mathematical logic that studies effective procedures to solve calculation problems. One of its main goals is to understand whether it is possible to solve a given problem using an algorithm. For instance, given a certain claim about the positive integers, it examines whether an algorithm can be found to determine if this claim is true. Computability theory uses various theoretical tools and models, such as Turing machines, to explore this type of issue.

Computational logic

Main articles: Computational logic and Logic in computer science

Conjunction (AND) is one of the basic operations of Boolean logic. It can be electronically implemented in several ways, for example, by using two transistors.

Computational logic is the branch of logic and computer science that studies how to implement mathematical reasoning and logical formalisms using computers. This includes, for example, automatic theorem provers, which employ rules of inference to construct a proof step by step from a set of premises to the intended conclusion without human intervention. Logic programming languages are designed specifically to express facts using logical formulas and to draw inferences from these facts. For example, Prolog is a logic programming language based on predicate logic. Computer scientists also apply concepts from logic to problems in computing. The works of Claude Shannon were influential in this regard. He showed how Boolean logic can be used to understand and implement computer circuits. This can be achieved using electronic logic gates, i.e. electronic circuits with one or more inputs and usually one output. The truth values of propositions are represented by voltage levels. This way, logic functions can be simulated by applying the corresponding voltages to the inputs of the circuit and determining the value of the function by measuring the voltage of the output.

Formal semantics of natural language

Main article: Formal semantics (natural language)

Формальная семантика — это раздел логики, лингвистики и философии языка . Дисциплина семантика изучает значение языка. Формальная семантика использует формальные инструменты из области символической логики и математики для создания точных теорий значения выражений естественного языка . Обычно он понимает значение в зависимости от условий истинности , т. е. исследует, в каких ситуациях предложение будет истинным или ложным. Одним из центральных его методологических предположений является принцип композиционности . Он гласит, что значение сложного выражения определяется значениями его частей и тем, как они сочетаются. Например, значение глагольного словосочетания «ходить и петь» зависит от значений отдельных выражений «ходить» и «петь». Многие теории формальной семантики опираются на теорию моделей. Это означает, что они используют теорию множеств для построения модели, а затем интерпретируют значения выражений по отношению к элементам этой модели. Например, термин «ходьба» можно интерпретировать как совокупность всех индивидуумов модели, обладающих общим свойством ходьбы. Ранними влиятельными теоретиками в этой области были Ричард Монтегю и Барбара Парти , которые сосредоточили свой анализ на английском языке.

Эпистемология логики

Эпистемология логики изучает, как человек узнает, что аргумент действителен или что предложение логически истинно. Сюда входят такие вопросы, как, например, как обосновать, что modus ponens является действительным правилом вывода или что противоречия ложны. Традиционно преобладает мнение, что эта форма логического понимания принадлежит априорному знанию . В связи с этим часто утверждают, что разум обладает особой способностью исследовать отношения между чистыми идеями и что эта способность также отвечает за постижение логических истин. Подобный подход понимает правила логики с точки зрения лингвистических соглашений . С этой точки зрения законы логики тривиальны, поскольку они истинны по определению: они просто выражают значения логического словаря.

Некоторые теоретики, такие как Хилари Патнэм и Пенелопа Мэдди , возражают против мнения, что логика познаваема априорно. Вместо этого они считают, что логические истины зависят от эмпирического мира. Обычно это сочетают с утверждением, что законы логики выражают универсальные закономерности, обнаруженные в структурных особенностях мира. Согласно этой точке зрения, их можно исследовать, изучая общие закономерности фундаментальных наук . Например, утверждалось, что некоторые идеи квантовой механики опровергают принцип дистрибутивности в классической логике, который утверждает, что формула $A\land (B\lor C)$ эквивалентно $(A\land B)\lor (A\land C)$. Это утверждение можно использовать как эмпирический аргумент в пользу тезиса о том, что квантовая логика является правильной логической системой и должна заменить классическую логику.

История

Основная статья: История логики

Верхний ряд: Аристотель , установивший канон западной философии; и Авиценна , который заменил аристотелевскую логику в исламском дискурсе . Нижний ряд: Уильям Оккам , крупная фигура средневековой научной мысли; и Готтлоб Фреге , один из основоположников современной символической логики.

Логика развивалась независимо в нескольких культурах в древности. Одним из главных ранних авторов был Аристотель , который разработал логику терминов в своем «Органоне» и «Предварительной аналитике» . Он был ответственным за введение гипотетического силлогизма. и временная модальная логика. Другие инновации включают индуктивную логику. а также обсуждение новых логических понятий, таких как термины , предикалы , силлогизмы и предложения. Аристотелевская логика высоко ценилась в классические и средневековые времена, как в Европе, так и на Ближнем Востоке. Он широко использовался на Западе до начала 19 века. Сейчас он был заменен более поздними работами, хотя многие из его ключевых идей все еще присутствуют в современных логических системах.

Ибн Сина (Авиценна) был основоположником авиценнианской логики, пришедшей на смену аристотелевской логике в качестве доминирующей системы логики в исламском мире . Это повлияло на западных средневековых писателей, таких как Альберт Великий и Уильям Оккам . Ибн Сина писал о гипотетическом силлогизме. и об исчислении высказываний . Он разработал оригинальную силлогистическую теорию «временной модализации», включающую темпоральную и модальную логику. Он также использовал индуктивную логику, например, свои методы согласия, различия и сопутствующих вариаций, которые имеют решающее значение для научного метода . Фахр ад-Дин ар-Рази был еще одним влиятельным мусульманским логиком. Он раскритиковал аристотелевскую силлогистику и сформулировал раннюю систему индуктивной логики, предвосхитив систему индуктивной логики, разработанную Джоном Стюартом Миллем.

В средние века было сделано множество переводов и интерпретаций аристотелевской логики. Особое влияние имели произведения Боэция . Помимо перевода работ Аристотеля на латынь, он также выпустил учебники по логике. работы исламских философов, таких как Ибн Сина и Ибн Рушд Позже были использованы (Аверроэс). Это расширило диапазон древних работ, доступных средневековым христианским ученым, поскольку мусульманским ученым стало доступно больше греческих работ, сохранившихся в латинских комментариях. Уильяма Оккама влиятельная книга «Сумма логики» В 1323 году была выпущена . Это всеобъемлющий трактат по логике, в котором обсуждаются многие основные концепции логики и дается систематическое изложение типов предложений и условий их истинности.

В китайской философии Школа Имен и Мохизм особое влияние оказали . Школа имен сосредоточилась на использовании языка и парадоксах. Например, Гунсунь Лун предложил парадокс белой лошади , защищающий тезис о том, что белая лошадь не является лошадью. Школа моизма также признавала важность языка для логики и пыталась связать идеи в этих областях с областью этики.

В Индии изучением логики занимались преимущественно школы ньяя , буддизма и джайнизма . Она не рассматривалась как отдельная академическая дисциплина, и обсуждения ее тем обычно происходили в контексте эпистемологии и теорий диалога или аргументации. В ньяе умозаключение понимается как источник знания ( прамана ). Он следит за восприятием объекта и пытается прийти к выводам, например, о причине возникновения этого объекта. Подобный акцент на отношении к эпистемологии встречается также в буддийских и джайнистских школах логики, где умозаключения используются для расширения знаний, полученных из других источников. Некоторые из более поздних теорий ньяи, принадлежащих школе Навья-ньяя , напоминают современные формы логики, такие как различие Готтлоба Фреге между смыслом и ссылкой и его определение числа.

Силлогическая логика, разработанная Аристотелем, господствовала на Западе до середины 19 в., когда интерес к основаниям математики стимулировал развитие современной символической логики. Готлоба Фреге Многие считают «Бегрифсшрифт» местом рождения современной логики. Готфрида Вильгельма Лейбница Идею об универсальном формальном языке часто считают предтечей. Другими пионерами были Джордж Буль , изобретший булеву алгебру как математическую систему логики, и Чарльз Пирс , разработавший логику родственников . Альфред Норт Уайтхед и Бертран Рассел, в свою очередь, воплотили многие из этих идей в своей работе Principia Mathematica . Современная логика представила новые понятия, такие как функции , кванторы и реляционные предикаты. Отличительной чертой современной символической логики является использование формального языка для точной кодификации своих идей. В этом отношении она отходит от более ранних логиков, опиравшихся главным образом на естественный язык. Особое влияние оказало развитие логики первого порядка, которую обычно рассматривают как стандартную систему современной логики. Его аналитическая общность позволила формализовать математику и стимулировала исследование теории множеств . Это также сделало возможным подход Альфреда Тарского к теории моделей и заложило основу современной математической логики.

См. также

• Глоссарий логики - Список определений терминов и понятий, используемых в логике.
• Очерк логики - Обзор и актуальное руководство по логике.
• Критическое мышление – анализ фактов для формирования суждения.
• Список логических журналов
• Список логических символов - Список символов, используемых для выражения логических отношений.
• Список логиков
• Логическая головоломка - головоломка, возникшая из области математической дедукции.
• Логическое рассуждение – процесс формирования правильных выводов.
• Логос - концепция в философии, религии, риторике и психологии.
• Векторная логика

Ссылки

Библиография

• Алони, Мария; Деккер, Пол (7 июля 2016 г.). Кембриджский справочник по формальной семантике . Издательство Кембриджского университета. стр. 22–23. ISBN  978-1-316-55273-5 .
• Энджелл, Ричард Б. (1964). Рассуждение и логика . Яркие Медиа. п. 164. ОСЛК   375322 .
• Ауди, Роберт (1999a). «Неформальная логика». Кембриджский философский словарь . Издательство Кембриджского университета. п. 435. ИСБН  978-1-107-64379-6 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Ауди, Роберт (1999b). «Философия логики». Кембриджский философский словарь . Издательство Кембриджского университета. стр. 679–681. ISBN  978-1-107-64379-6 . Архивировано из оригинала 14 апреля 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Бакманн, Мариус (1 июня 2019 г.). «Разновидности обоснований — как (не) решать проблему индукции» . Акта Аналитика . 34 (2): 235–255. дои : 10.1007/s12136-018-0371-6 . ISSN   1874-6349 . S2CID   125767384 .
• Багария, Джоан (2021). «Теория множеств» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Барнс, Джонатан (25 января 2007 г.). Истина и др.: Шесть лекций по древней логике . Кларендон Пресс. п. 274. ИСБН  978-0-19-151574-3 .
• Бентем, Йохан ван. «Модальная логика: современный взгляд: 1. Модальные понятия и модели рассуждения: первый этап» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 11 марта 2023 г.
• Берлеманн, Ларс; Мангольд, Стефан (10 июля 2009 г.). Когнитивное радио и доступ к динамическому спектру . Джон Уайли и сыновья. п. 194. ИСБН  978-0-470-75443-6 .
• Берман, Гарольд Дж. (1 июля 2009 г.). Право и революция: формирование западной правовой традиции . Издательство Гарвардского университета. ISBN  978-0-674-02085-6 .
• Бимбо, Каталин (2 апреля 2016 г.). Дж. Майкл Данн об информационной логике . Спрингер. стр. 8–9. ISBN  978-3-319-29300-4 .
• Блэкберн, Саймон (1 января 2008 г.). «аргумент». Оксфордский философский словарь . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-954143-0 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Блэкберн, Саймон (24 марта 2016 г.). «правило вывода». Оксфордский философский словарь . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-954143-0 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Блэр, Дж. Энтони ; Джонсон, Ральф Х. (1987). «Современное состояние неформальной логики» . Неформальная логика . 9 (2): 147–51. дои : 10.22329/il.v9i2.2671 . Архивировано из оригинала 30 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Блэр, Дж. Энтони ; Джонсон, Ральф Х. (2000). «Неформальная логика: обзор» . Неформальная логика . 20 (2): 93–107. дои : 10.22329/il.v20i2.2262 . Архивировано из оригинала 9 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Блэр, Дж. Энтони (20 октября 2011 г.). Основы теории аргументации: избранные статьи Дж. Энтони Блэра . Springer Science & Business Media. п. 47. ИСБН  978-94-007-2363-4 .
• Бобзиен, Сюзанна (2020). «Древняя логика: 2. Аристотель» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 28 августа 2018 года . Проверено 3 января 2022 г.
• Борхерт, Дональд, изд. (2006а). «Теория вычислимости». Философская энциклопедия Макмиллана, том 2 (2-е изд.). Макмиллан. стр. 372–390. ISBN  978-0-02-865782-0 .
• Борхерт, Дональд (2006b). «Индукция». Философская энциклопедия Макмиллана, том 4 (2-е изд.). Макмиллан. стр. 635–648. ISBN  978-0-02-865784-4 . Архивировано из оригинала 12 января 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Борхерт, Дональд (2006c). «Логика неклассическая». Философская энциклопедия Макмиллана, том 5 (2-е изд.). Макмиллан. стр. 485–492. ISBN  978-0-02-865785-1 . Архивировано из оригинала 12 января 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Борис, Кулик; Александр, Фридман (30 ноября 2017 г.). N-арные отношения для логического анализа данных и знаний . IGI Global. п. 74. ИСБН  978-1-5225-2783-1 .
• Бриджес, Дуглас; Исихара, Хадзиме; Ратьен, Майкл; Швихтенберг, Хельмут (30 апреля 2023 г.). Справочник по конструктивной математике . Издательство Кембриджского университета. стр. 73–4. ISBN  978-1-316-51086-5 .
• Броуди, Борух А. (2006). Энциклопедия философии . Том. 5. Дональд М. Борхерт (2-е изд.). Справочник Томсона Гейла/Макмиллана США. стр. 535–536. ISBN  978-0-02-865780-6 . OCLC   61151356 . Двумя наиболее важными типами логических исчислений являются исчисления высказываний (или сентенциальные) и функциональные исчисления (или исчисления предикатов). Исчисление высказываний — это система, содержащая пропозициональные переменные и связки (некоторые также содержат пропозициональные константы), но не отдельные или функциональные переменные или константы. В расширенном исчислении высказываний добавляются кванторы, операторные переменные которых являются пропозициональными переменными.
• Буннин, Николас; Ю, Цзиюань (27 января 2009 г.). Словарь западной философии Блэквелла . Джон Уайли и сыновья. п. 179. ИСБН  978-1-4051-9112-8 .
• Берджесс, Джон П. (2009). «1. Классическая логика». Философская логика . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 1–12. ISBN  978-0-691-15633-0 . Архивировано из оригинала 16 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Бэк, Аллан Т. (2016). Теория предикации Аристотеля . Брилл. п. 317. ИСБН  978-90-04-32109-0 .
• Колдербанк, Роберт; Слоан, Нил Дж. А. (апрель 2001 г.). «Клод Шеннон (1916–2001)» . Природа . 410 (6830): 768. дои : 10.1038/35071223 . ISSN   1476-4687 . ПМИД   11298432 . S2CID   4402158 .
• Карниелли, Уолтер; Пицци, Клаудио (2008). Модальности и мультимодальности . Springer Science & Business Media. п. 3. ISBN  978-1-4020-8590-1 .
• Кастаньо, Арнальдо Перес (23 мая 2018 г.). Практический искусственный интеллект: машинное обучение, боты и агентные решения с использованием C# . Апресс. п. 2. ISBN  978-1-4842-3357-3 .
• Чакрабарти, Кисор Кумар (июнь 1976 г.). «Некоторые сравнения между логикой Фреге и логикой Навья-Ньяя». Философия и феноменологические исследования . 36 (4): 554–563. дои : 10.2307/2106873 . JSTOR   2106873 .
• Чатфилд, Том (2017). Критическое мышление: ваш путеводитель по эффективной аргументации, успешному анализу и независимому исследованию . Мудрец. п. 194. ИСБН  978-1-5264-1877-7 .
• Чуа, Евгений (2017). «Эмпирический путь к логическому «конвенционализму» » . Логика, рациональность и взаимодействие . Конспекты лекций по информатике. Том. 10455. стр. 631–636. дои : 10.1007/978-3-662-55665-8_43 . ISBN  978-3-662-55664-1 .
• Клоксин, Уильям Ф.; Меллиш, Кристофер С. (2003). «Отношение Пролога к логике» . Программирование на Прологе: использование стандарта ISO . Спрингер. стр. 237–257. дои : 10.1007/978-3-642-55481-0_10 . ISBN  978-3-642-55481-0 .
• Кук, Рой Т. (2009). Словарь философской логики . Издательство Эдинбургского университета. п. 124. ИСБН  978-0-7486-3197-1 .
• Копи, Ирвинг М .; Коэн, Карл; Родыч, Виктор (2019). Введение в логику . Рутледж. ISBN  978-1-351-38697-5 .
• Коркум, Филип (2015). «Общность и логическое постоянство». Португальская версия философии . 71 (4): 753–767. дои : 10.17990/rpf/2015_71_4_0753 . ISSN   0870-5283 . JSTOR   43744657 .
• Крейг, Эдвард (1996). Философская энциклопедия Рутледжа . Рутледж. ISBN  978-0-415-07310-3 . Архивировано из оригинала 16 января 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Каммингс, Луиза (2010). «Похищение». Энциклопедия прагматики Routledge . Рутледж. п. 1. ISBN  978-1-135-21457-9 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Каннингем, Дэниел. «Теория множеств» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Д'Агостино, Марчелло; Флориди, Лучано (2009). «Непрекращающийся скандал с дедукцией: действительно ли пропозициональная логика неинформативна?». Синтезируйте . 167 (2): 271–315. дои : 10.1007/s11229-008-9409-4 . HDL : 2299/2995 . ISSN   0039-7857 . JSTOR   40271192 . S2CID   9602882 .
• Дэйнтит, Джон; Райт, Эдмунд (2008). Словарь вычислительной техники . ОУП. ISBN  978-0-19-923400-4 .
• ван Дален, Дирк (1994). Логика и структура . Спрингер. Глава 1.5. ISBN  978-0-387-57839-2 .
• Дасти, Мэтью Р. «Ньяя» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 12 марта 2023 г.
• Дик, Энтони С.; Мюллер, Ульрих (2017). Развитие науки о развитии: философия, теория и метод . Тейлор и Фрэнсис. п. 157. ИСБН  978-1-351-70456-4 .
• Дувен, Игорь (2021). «Похищение» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 7 сентября 2021 года . Проверено 24 августа 2021 г.
• Дауден, Брэдли . «Заблуждения» . Интернет-энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 29 апреля 2010 года . Проверено 19 марта 2021 г.
• ван Эмерен, Франс Х.; Гарссен, Барт (2009). Размышление о проблемах аргументации: двадцать очерков по теоретическим вопросам . Springer Science & Business Media. п. 191. ИСБН  978-1-4020-9165-0 .
• ван Эмерен, Франс Х.; Гарссен, Барт; Краббе, Эрик CW; Снук Хенкеманс, А. Франциска; Верхей, Барт; Вейджманс, Джин Х.М. (2021). «Неформальная логика». Справочник по теории аргументации . Спрингер Нидерланды. стр. 1–45. дои : 10.1007/978-94-007-6883-3_7-1 . ISBN  978-94-007-6883-3 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• ван Эмерен, Франс Х.; Гроотендорст, Роб; Джонсон, Ральф Х.; Плантен, Кристиан; Уиллард, Чарльз А. (2013). Основы теории аргументации: Справочник по исторической предпосылке и современному развитию . Рутледж. п. 169. ИСБН  978-1-136-68804-1 .
• Эммануэль, Стивен М. (2015). Спутник буддийской философии . Джон Уайли и сыновья. стр. 320–2. ISBN  978-1-119-14466-3 .
• Эндертон, Герберт (2001). Математическое введение в логику . Эльзевир. ISBN  978-0-12-238452-3 .
• Энгель, С. Моррис (1982). Не без оснований. Введение в неформальные заблуждения . Пресса Святого Мартина. ISBN  978-0-312-08479-0 . Архивировано из оригинала 1 марта 2022 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Эванс, Джонатан Ст. BT (2005). «8. Дедуктивное рассуждение» . В Моррисоне, Роберт (ред.). Кембриджский справочник по мышлению и рассуждению . Издательство Кембриджского университета. п. 169. ИСБН  978-0-521-82417-0 .
• Эвальд, Уильям (2019). «Появление логики первого порядка» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 12 марта 2023 г.
• Фальгера, Хосе Л.; Мартинес-Видаль, Конча; Розен, Гидеон (2021). «Абстрактные объекты» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 22 января 2021 года . Проверено 7 января 2022 г.
• Фаликовски, Энтони; Миллс, Сьюзен (2022). Опыт философии (2-е изд.). Бродвью Пресс. п. 98. ИСБН  978-1-77048-841-0 .
• Фишер, Майкл Дэвид; Габбай, Дов М.; Вила, Луис (2005). Справочник по временным рассуждениям в искусственном интеллекте . Эльзевир. п. 119. ИСБН  978-0-08-053336-0 .
• Fitch, GW (18 декабря 2014 г.). Саул Крипке . Рутледж. п. 17. ISBN  978-1-317-48917-7 .
• Флотыньский, Якуб (7 декабря 2020 г.). Исследуемые среды расширенной реальности, основанные на знаниях . Спрингер Природа. п. 39. ИСБН  978-3-030-59965-2 .
• Шрифт, Джозеф Мария; Джансана, Рамон (2017). Общая алгебраическая семантика для смысловой логики . Издательство Кембриджского университета. п. 8. ISBN  978-1-107-16797-1 .
• Фреде, Майкл. «Аристотель» . Мичиганский технологический университет . Проверено 1 ноября 2022 г.
• Друг, Мишель (2014). Введение в философию математики . Рутледж. п. 101. ИСБН  978-1-317-49379-2 .
• Гамут, ЛТФ (1991). Логика, язык и значение. Том 1: Введение в логику . Издательство Чикагского университета. 5.5. ISBN  978-0-226-28085-1 .
• Гарсон, Джеймс (2023). «Модальная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Генслер, Гарри Дж. (2006). Логика от А до Я. Пугало Пресс. стр. xliii – xliv. ISBN  978-1-4617-3182-5 .
• Гобл, Лу (2001). "Введение". Руководство Блэквелла по философской логике . Уайли-Блэквелл. стр. 1–8. ISBN  978-0-631-20692-7 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Гудман, Ленн Эван (1992). Авиценна . Рутледж. п. 188. ИСБН  978-0-415-01929-3 .
• Гудман, Ленн Эван (2003). Исламский гуманизм . Издательство Оксфордского университета. п. 155. ИСБН  978-0-19-513580-0 .
• Гроарк, Луи Ф. «Аристотель: логика» . Интернет-энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 29 декабря 2021 года . Проверено 1 января 2022 г.
• Гроарк, Лео (2021). «Неформальная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 12 января 2022 года . Проверено 31 декабря 2021 г.
• Гомес-Торренте, Марио (2019). «Логическая истина» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 2 октября 2021 года . Проверено 22 ноября 2021 г.
• Гёдель, Курт (1984). «Математическая логика Рассела». В Бенасеррафе, Пол; Патнэм, Хилари (ред.). Философия математики: Избранные материалы (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 447–469. ISBN  978-0-521-29648-9 . Архивировано из оригинала 11 января 2022 года . Проверено 9 января 2022 г.
• Гаек, Петр (3 сентября 2006 г.). «Нечеткая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 19 июля 2023 г.
• Хаек, Алан; Лин, Ханти (2017). «Повесть о двух эпистемологиях?» . Рес Философия . 94 (2): 207–232. дои : 10.11612/resphil.1540 . S2CID   160029122 . Архивировано из оригинала 4 января 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Холл, Корделия; О'Доннелл, Джон (2000). Дискретная математика с помощью компьютера . Springer Science & Business Media. п. 48. ИСБН  978-1-85233-089-7 .
• Уд, Р.; Камачо, Л. (2003). «Индукция». Новая католическая энциклопедия . ISBN  978-0-7876-4004-0 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Хаак, Сьюзен (1974). Девиантная логика: некоторые философские проблемы . Архив Кубка. п. 51. ИСБН  978-0-521-20500-9 .
• Хаак, Сьюзен (1978). «1. 'Философия логики' ». Философия логики . Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 1–10. ISBN  978-0-521-29329-7 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Хаак, Сьюзен (1996). Девиантная логика, нечеткая логика: за пределами формализма . Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-31133-3 .
• Хаапаранта, Лейла (2009). «1. Введение». Развитие современной логики . Издательство Оксфордского университета. стр. 4–6. ISBN  978-0-19-513731-6 .
• Хансен, Ганс (2020). «Заблуждения» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 29 марта 2021 года . Проверено 18 марта 2021 г.
• Хартманн, Стефан; Шпренгер, Январь (2010). «Байесовская эпистемология». Путеводитель Рутледжа по эпистемологии . Лондон: Рутледж. стр. 609–620. ISBN  978-0-415-96219-3 . Архивировано из оригинала 16 мая 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Хассе, Даг Николаус (2008). «Влияние арабской и исламской философии на Латинский Запад» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 19 июля 2023 г.
• Хоторн, Джеймс (2021). «Индуктивная логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 21 января 2022 года . Проверено 6 января 2022 г.
• Хинтикка, Яакко Дж . (2019). «Философия логики» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 28 апреля 2015 года . Проверено 21 ноября 2021 г.
• Хинтикка, Яакко Дж . (2023). «Логические системы» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Хинтикка, Яакко (1970). «Информация, дедукция и априори». Нус . 4 (2): 135–152. дои : 10.2307/2214318 . ISSN   0029-4624 . JSTOR   2214318 .
• Хинтикка, Яакко ; Санду, Габриэль (2006). «Что такое логика?». В Жакетт, Д. (ред.). Философия логики . Северная Голландия. стр. 13–39. ISBN  978-0-444-51541-4 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Хинтикка, Яакко Дж .; Спейд, Пол Винсент. «История логики» . Британская энциклопедия . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Хондерих, Тед (2005). Оксфордский справочник по философии . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-926479-7 . Архивировано из оригинала 29 января 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Херли, Патрик Дж. (2015). «4. Категорические силлогизмы». Логика: основы . Уодсворт. стр. 189–237. ISBN  978-1-305-59041-0 . Архивировано из оригинала 4 января 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Сотрудники ИЭП. «Дедуктивные и индуктивные аргументы» . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 года . Проверено 6 января 2022 г.
• Икбал, Мохаммед (2013). «Дух мусульманской культуры». Реконструкция религиозной мысли в исламе . Издательство Стэнфордского университета. стр. 99–115. ISBN  978-0-8047-8686-7 .
• Ирвин, Эндрю Дэвид (2022). «Бертран Рассел» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 29 сентября 2022 г.
• Жакетт, Дейл (2006). «Введение: Философия логики сегодня». Философия логики . Северная Голландия. стр. 1–12. ISBN  978-0-444-51541-4 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Джаго, Марк (2014). Невозможное: эссе о гиперинтенсиональности . ОУП Оксфорд. п. 41. ИСБН  978-0-19-101915-9 .
• Янссен, Тео М.В.; Циммерманн, Томас Эде (2021). «Семантика Монтегю» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. стр. 3–4 . Проверено 10 марта 2023 г.
• Джонсон, Ральф Х. (1999). «Отношения между формальной и неформальной логикой» . Аргументация . 13 (3): 265–274. дои : 10.1023/А:1007789101256 . S2CID   141283158 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Джонсон, Ральф Х. (15 июля 2014 г.). Рост неформальной логики: очерки по аргументации, критическому мышлению, рассуждениям и политике . Виндзорский университет. ISBN  978-0-920233-71-9 .
• Кетланд, Джеффри (2005). «Логика второго порядка». Философская энциклопедия Макмиллана, том 8 . Справочник Macmillan США. стр. 707–708. ISBN  978-0-02-865788-2 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Кинг, Джеффри К. (2 сентября 2009 г.). «Формальная семантика». Оксфордский справочник по философии языка . стр. 557–8. doi : 10.1093/oxfordhb/9780199552238.003.0023 . ISBN  978-0-19-955223-8 .
• Кинг, Джеффри С. (2019). «Структурированные предложения» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 25 октября 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Клемент, Кевин С. (1995b). «Пропозициональная логика» . Интернет-энциклопедия философии . ISSN   2161-0002 . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Клайн, Моррис (1972). Математическая мысль от древности до современности . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-506135-2 .
• Нил, Уильям ; Книл, Марта (1962). Развитие логики . Кларендон Пресс. ISBN  978-0-19-824773-9 .
• Кнууттила, Симо (1980). Перековывая великую цепь бытия: исследования истории модальных теорий . Springer Science & Business Media. п. 71. ИСБН  978-90-277-1125-0 .
• Корб, Кевин (2004). «Байесовская неформальная логика и заблуждения» . Неформальная логика . 24 (1): 41–70. дои : 10.22329/il.v24i1.2132 . Архивировано из оригинала 10 ноября 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Козловски, Барбара (2017). «Абдуктивное рассуждение и объяснение» . Международный справочник по мышлению и рассуждению . Рутледж. стр. 366–382. дои : 10.4324/9781315725697 . ISBN  978-1-315-72569-7 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Куш, Мартин (2020). «Психологизм» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 29 декабря 2020 года . Проверено 30 ноября 2021 г.
• Лагерлунд, Хенрик (27 сентября 2018 г.). «Обзор последствий силлогизма: аристотелевский логический аргумент от Авиценны до Гегеля» . Философские обзоры Нотр-Дама . Проверено 19 июля 2023 г.
• Лир, Джонатан (1980). Аристотель и логическая теория . Архив Кубка. п. 34. ISBN  978-0-521-31178-6 .
• Лири, Кристофер К.; Кристиансен, Ларс (2015). Дружеское введение в математическую логику . Суни. п. 195. ИСБН  978-1-942341-07-9 .
• Лепор, Эрнест; Камминг, Сэм (14 сентября 2012 г.). Значение и аргумент: введение в логику через язык . Джон Уайли и сыновья. п. 5. ISBN  978-1-118-45521-0 .
• Ли, Вэй (26 февраля 2010 г.). Математическая логика: основы информатики . Springer Science & Business Media. п. ix. ISBN  978-3-7643-9977-1 .
• Лински, Бернард (2011). Эволюция Principia Mathematica: Рукописи и примечания Бертрана Рассела (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 4. ISBN  978-1-139-49733-6 .
• Лю, Шиюнг; Го, Кайчжун (7 марта 2023 г.). Логика ошибок: прокладывание путей для интеллектуальной идентификации ошибок и управления ими . Спрингер Природа. п. 15. ISBN  978-3-031-00820-7 .
• Лукасевич, Ян (1957). Силлогистика Аристотеля с точки зрения современной формальной логики (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. п. 7. ОКЛК   656161566 .
• Макфарлейн, Джон (2017). «Логические константы» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 17 марта 2020 года . Проверено 21 ноября 2021 г.
• Маки, Дж. Л. (1967). «Заблуждения» . энциклопедия.com . Архивировано из оригинала 15 апреля 2021 года . Проверено 19 марта 2021 г.
• Магнус, PD (2005). Форалл X: Введение в формальную логику . Виктория, Британская Колумбия, Канада: Государственный университет Нью-Йорка по оказанию услуг. стр. 8–9. ISBN  978-1-64176-026-3 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Макридис, Одиссей (2022). Символическая логика . Спрингер Природа. стр. 1–2. ISBN  978-3-030-67396-3 .
• Молтби, Джон; Дэй, Лиз; Макаскилл, Энн (2007). Личность, индивидуальные различия и интеллект . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-129760-9 .
• Маренбон, Джон (2021). «Аниций Манлий Северин Боэций» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
• МакКеон, Мэтью. «Логическое следствие» . Интернет-энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 12 ноября 2021 года . Проверено 20 ноября 2021 г.
• Майклсон, Элиот; Реймер, Марга (2019). "Ссылка" . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Миллс, Итан (2018). Три столпа скептицизма в классической Индии: Нагарджуна, Джаяраси и Шри Харса . Роуман и Литтлфилд. п. 121. ИСБН  978-1-4985-5570-8 . ... для ньяи все выводы в конечном итоге коренятся в восприятии ... Наияики обычно принимают четыре способа познания: восприятие, вывод, сравнение и свидетельство.
• Монк, Дж. Дональд (1976). "Введение" . Математическая логика . Спрингер. стр. 1–9. дои : 10.1007/978-1-4684-9452-5_1 . ISBN  978-1-4684-9452-5 . Архивировано из оригинала 9 января 2022 года . Проверено 9 января 2022 г.
• Мур, Кевин; Кромби, Джон (8 августа 2016 г.). Как лучше всего «продолжать»? Перспективы «современного синтеза» в науках о разуме . Фронтирс Медиа С.А. п. 60. ИСБН  978-2-88919-906-8 .
• Мур, Теренс; Карлинг, Кристина (1982). Понимание языка: на пути к постхомской лингвистике . Спрингер. п. 53. ИСБН  978-1-349-16895-8 .
• Мошовакис, Джоан (2022). «Интуиционистская логика» . Стэнфордская энциклопедия философии: Введение . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Нолт, Джон (2021). «Свободная логика: 1. Основы» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 10 сентября 2022 г.
• Нуньес, Терезинья (2011). «Логическое рассуждение и обучение». В Силе, Норберт М. (ред.). Энциклопедия наук об обучении . Springer Science & Business Media. стр. 2066–2069. ISBN  978-1-4419-1427-9 .
• О'Риган, Джерард (2016). Введение в историю вычислений: учебник по истории вычислений . Спрингер. п. 49. ИСБН  978-3-319-33138-6 .
• Оуксфорд, Майк; Чейтер, Ник (2007). Байесовская рациональность: вероятностный подход к человеческому рассуждению . ОУП Оксфорд. п. 47. ИСБН  978-0-19-852449-6 .
• Ольковский, Доротея; Пироволакис, Эфтичис (31 января 2019 г.). Философия свободы Делеза и Гваттари: Рефрены свободы . Рутледж. стр. 65–66. ISBN  978-0-429-66352-9 .
• Олссон, Эрик Дж. (2018). «Байесовская эпистемология». Введение в формальную философию . Спрингер. стр. 431–442. ISBN  978-3-030-08454-7 . Архивировано из оригинала 16 мая 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Интернет-сотрудник по этимологии. «Логика» . etymonline.com . Архивировано из оригинала 29 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Парти, Барбара Х. (2016). Алони, Мария; Деккер, Пол (ред.). Кембриджский справочник по формальной семантике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-02839-5 .
• Полсон, Лоуренс К. (февраль 2018 г.). «Вычислительная логика: ее истоки и приложения» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 474 (2210): 1–14. arXiv : 1712.04375 . Бибкод : 2018RSPSA.47470872P . дои : 10.1098/rspa.2017.0872 . ПМК   5832843 . ПМИД   29507522 . S2CID   3805901 .
• Педемонте, Беттина (25 июня 2018 г.). «Стратегические и определяющие правила: их роль в абдуктивной аргументации и их связь с дедуктивным доказательством» . Евразийский журнал математического, научного и технологического образования . 14 (9): 1–17. дои : 10.29333/ejmste/92562 . ISSN   1305-8215 . S2CID   126245285 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Пикель, Брайан (1 июля 2020 г.). «Структурированные предложения и тривиальная композиция» . Синтезируйте . 197 (7): 2991–3006. дои : 10.1007/s11229-018-1853-1 . hdl : 20.500.11820/3427c028-f2cb-4216-a199-9679a49ce71c . ISSN   1573-0964 . S2CID   49729020 .
• Пьетроски, Пол (2021). «Логическая форма: 1. Закономерности разума» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 2 октября 2021 года . Проверено 4 декабря 2021 г.
• Планти-Бонжур, Гай (2012). Категории диалектического материализма: современная советская онтология . Springer Science & Business Media. п. 62. ИСБН  978-94-010-3517-0 .
• Поссин, Кевин (2016). «Проводящие аргументы: почему это все еще актуально?» . Неформальная логика . 36 (4): 563–593. дои : 10.22329/il.v36i4.4527 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Священник, Грэм; Танака, Кодзи; Вебер, Зак (2018). «Паранепротиворечивая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 14 декабря 2021 г.
• Пепен, Жан (2004). «Логос». Энциклопедия религии . ISBN  978-0-02-865733-2 . Архивировано из оригинала 29 декабря 2021 года . Проверено 29 декабря 2021 г.
• Патнэм, Х. (1969). «Является ли логика эмпирической?». Бостонские исследования в области философии науки . Том. 5. С. 216–241. дои : 10.1007/978-94-010-3381-7_5 . ISBN  978-94-010-3383-1 .
• Куайн, Уиллард Ван Орман (1981). Математическая логика . Издательство Гарвардского университета. п. 1. ISBN  978-0-674-55451-1 .
• Ратьен, Майкл; Зиг, Вильфрид (2022). «Теория доказательств» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 4 марта 2023 г.
• Раутенберг, Вольфганг (1 июля 2010 г.). Краткое введение в математическую логику . Спрингер. п. 15. ISBN  978-1-4419-1221-3 .
• Рендсвиг, Расмус; Саймонс, Джон (2021). «Эпистемическая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Рестолл, Грег; Стандефер, Шон (2023). Логические методы . МТИ Пресс. п. 91. ИСБН  978-0-262-54484-9 .
• Ричардсон, Алан В. (1998). Конструкция мира Карнапа: Aufbau и возникновение логического эмпиризма . Издательство Кембриджского университета. п. 15. ISBN  978-0-521-43008-1 .
• Рини, Адриана (13 декабря 2010 г.). Модальные доказательства Аристотеля: предварительная аналитика A8-22 в логике предикатов . Springer Science & Business Media. п. 26. ISBN  978-94-007-0050-5 .
• Ритола, Юхо (1 декабря 2008 г.). «Неформальная логика Уолтона: прагматический подход» . Неформальная логика . 28 (4): 335. дои : 10.22329/il.v28i4.2856 .
• Рокчи, Андреа (8 марта 2017 г.). Модальность в аргументации: семантическое исследование роли модальностей в структуре аргументов с применением к итальянским модальным выражениям . Спрингер. п. 26. ISBN  978-94-024-1063-1 .
• Рошкер, Яна С. (май 2015 г.). «Классическая китайская логика: философский компас». Философский компас . 10 (5): 301–309. дои : 10.1111/phc3.12226 .
• Ранко, Марк А.; Притцкер, Стивен Р. (1999). Энциклопедия творчества . Академическая пресса. п. 155. ИСБН  978-0-12-227075-8 .
• Раш, Пенелопа (2014). "Введение". Метафизика логики . Издательство Кембриджского университета. стр. 1–10. ISBN  978-1-107-03964-3 . Архивировано из оригинала 7 декабря 2021 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Садег-Заде, Казем (2015). Справочник по аналитической философии медицины . Спрингер. п. 983. ИСБН  978-94-017-9579-1 .
• Сагуйо, Хосе М. (2014). «Хинтикка об информации и дедукции». Теорема: Международный философский журнал . 33 (2): 75–88. ISSN   0210-1602 . JSTOR   43047609 .
• Саруккай, Сундар; Чакраборти, Михир Кумар (2022). Справочник логического мышления в Индии . Спрингер Природа. стр. 117–8. ISBN  978-81-322-2577-5 .
• Шагрин, Мортон Л. «Металогика» . Британская энциклопедия . Проверено 23 сентября 2022 г.
• Шехтер, Джошуа. «Эпистемология логики – Библиография» . ФилПаперс . Проверено 11 сентября 2022 г.
• Шлезингер, И.М.; Керен-Портной, Тамар; Паруш, Тамар (1 января 2001 г.). Структура аргументов . Издательство Джона Бенджамина. п. 220. ИСБН  978-90-272-2359-3 .
• Шрайнер, Вольфганг (2021). Программы мышления: логическое моделирование и рассуждения о языках, данных, вычислениях и исполнениях . Спрингер Природа. п. 22. ISBN  978-3-030-80507-4 .
• Скотт, Джон; Маршалл, Гордон (2009). «аналитическая индукция». Словарь социологии . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-953300-8 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Шапиро, Стюарт; Кури Киссель, Тереза ​​(2022). «Классическая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 19 июля 2023 г.
• Шермер, Майкл (25 октября 2022 г.). Заговор: почему рациональные люди верят иррациональным . Джу Пресс. ISBN  978-1-4214-4445-1 .
• Сайдер, Теодор (2010). Логика для философии . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-957558-9 .
• Сигел, Харви; Биро, Джон (1997). «Эпистемическая нормативность, аргументация и заблуждения» . Аргументация . 11 (3): 277–292. дои : 10.1023/А:1007799325361 . S2CID   126269789 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Симпсон, Р.Л. (2008). Основы символической логики (3-е изд.). Бродвью Пресс. п. 14. ISBN  978-1-77048-495-5 .
• Смит, Робин (2022). «Логика Аристотеля» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Спейд, Пол Винсент; Паначчо, Клод (2019). «Уильям Оккам» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
• Сприггс, Джон (2012). GSN – Обозначение структурирования цели: структурированный подход к представлению аргументов . Springer Science & Business Media. стр. 20–22. ISBN  978-1-4471-2312-5 .
• Лестница, Аллен (2017). Путеводитель мыслителя по философии религии . Рутледж. п. 343. ИСБН  978-1-351-21981-5 .
• Штернберг, Роберт Дж. «Мысль» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 13 октября 2021 года . Проверено 14 октября 2021 г.
• Столяр, Абрам Аронович (1 января 1984 г.). Введение в элементарную математическую логику . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-64561-2 .
• Стоун, Марк А. (2012). «Отрицание антецедента: его эффективное использование в аргументации» . Неформальная логика . 32 (3): 327–356. дои : 10.22329/il.v32i3.3681 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Стамп, Дэвид Дж. «Логическая ошибка» . энциклопедия.com . Архивировано из оригинала 15 февраля 2021 года . Проверено 20 марта 2021 г.
• Тэлботт, Уильям (2016). «Байесовская эпистемология» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 1 апреля 2021 года . Проверено 6 марта 2021 г.
• Тарский, Альфред (1994). Введение в логику и методологию дедуктивных наук . Издательство Оксфордского университета. п. 40. ИСБН  978-0-19-802139-1 .
• Тондл, Л. (2012). Проблемы семантики: вклад в анализ науки о языке . Springer Science & Business Media. п. 111. ИСБН  978-94-009-8364-9 .
• Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета. п. 8, 103. ISBN  978-0-521-67599-4 .
• Викерс, Джон М. (2022). «Индуктивное рассуждение» . Оксфордские библиографии . Издательство Оксфордского университета . Проверено 18 января 2023 г.
• Видьябхушана, Сатис Чандра (1988). История индийской логики: древние, средневековые и современные школы . Издательство Мотилал Банарсидасс. п. 221. ИСБН  978-81-208-0565-1 .
• Влит, Ван Джейкоб Э. (2010). "Введение". Неформальные логические ошибки: краткое руководство . Упа. стр. ix–x. ISBN  978-0-7618-5432-6 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2022 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Вяэнянен, Йоуко (2021). «Логика второго и высшего порядка» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 30 октября 2021 года . Проверено 23 ноября 2021 г.
• Уолтон, Дуглас Н. (1987). Неформальные заблуждения: к теории аргументированной критики . Джон Бенджаминс. ISBN  978-1-55619-010-0 . Архивировано из оригинала 2 марта 2022 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Уоррен, Джаред (2020). Тени синтаксиса: возрождение логического и математического конвенционализма . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-008615-2 .
• Уошелл, Ричард Ф. (1973). «Логика, язык и Альберт Великий» . Журнал истории идей . 34 (3): 445–50. дои : 10.2307/2708963 . JSTOR   2708963 .
• Василевская, Анита (2018). Логика для информатики: классическая и неклассическая . Спрингер. стр. 145–6. ISBN  978-3-319-92591-2 .
• Вебер, Зак. «Паранепротиворечивая логика» . Интернет-энциклопедия философии . Проверено 12 декабря 2021 г.
• Уэддл, Перри (2011). «Глава 36. Неформальная логика и эдуктивно-индуктивное различие». Через границы дисциплин . Де Грюйтер Мутон. стр. 383–388. дои : 10.1515/9783110867718.383 . ISBN  978-3-11-086771-8 . Архивировано из оригинала 31 декабря 2021 года . Проверено 2 января 2022 г.
• Вестерстол, Даг (1989). «Аристотелевские силлогизмы и обобщенные квантификаторы» . Студия Логика . 48 (4): 577–585. дои : 10.1007/BF00370209 . S2CID   32089424 . Архивировано из оригинала 4 января 2022 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Уилбенкс, Ян Дж. (1 марта 2010 г.). «Определение дедукции, индукции и достоверности» . Аргументация . 24 (1): 107–124. дои : 10.1007/s10503-009-9131-5 . ISSN   1572-8374 . S2CID   144481717 . Архивировано из оригинала 8 января 2022 года . Проверено 8 января 2022 г.
• Вилце, Александр (2021). «Квантовая логика и теория вероятностей: 2.1 Реалистичная квантовая логика» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета . Проверено 11 марта 2023 г.
• Уайл, Брюс; Госс, Джон; Рёснер, Вольфганг (2005). Комплексная функциональная проверка: полный отраслевой цикл . Эльзевир. п. 447. ИСБН  978-0-08-047664-3 .
• Уиллман, Маршалл Д. (2022). «Логика и язык в ранней китайской философии» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Введение . Проверено 11 марта 2023 г.
• Вольф, Роберт Г. (1978). «Является ли соответствующая логика отклонением?» . Философия . 7 (2): 327–340. дои : 10.1007/BF02378819 . S2CID   143697796 . Архивировано из оригинала 16 декабря 2021 года . Проверено 4 января 2022 г.
• Зегарелли, Марк (2010). Логика для чайников . Джон Уайли и сыновья. п. 30. ISBN  978-1-118-05307-2 . Архивировано из оригинала 14 мая 2015 года . Проверено 7 марта 2015 г.

Дальнейшее чтение

• Барвайз, Джон (1989). Справочник по математической логике . Эльзевир. ISBN  978-0-08-093364-1 .
• Белнап, Нуэль (1977). «Полезная четырехзначная логика». В Данне, Дж. Майкл; Эпштейн, Джордж (ред.). Современное использование многозначной логики . Спрингер. стр. 8–40. ISBN  978-90-277-0747-5 .
• Боченский, Юзеф Мария (1959). Краткое изложение математической логики . Спрингер Нидерланды. ISBN  978-94-017-0592-9 .
• Боченский, Юзеф Мария (1970). История формальной логики . Издательская компания Челси. ISBN  978-0-8284-0238-5 .
• Брукшир, Дж. Гленн (1989). Теория вычислений: формальные языки, автоматы и сложность . Паб Бенджамин / Каммингс. компании ISBN  978-0-8053-0143-4 .
• Коэн, Роберт С.; Вартофски, Маркс В. (2012). Логико-эпистемологические исследования в современной физике . Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-010-2656-7 .
• Финкельштейн, Дэвид (2012). «Материя, пространство и логика» . В Коэне, Роберт С.; Вартофски, Маркс В. (ред.). Бостонские исследования в области философии науки: материалы Бостонского коллоквиума по философии науки 1966/1968 . Springer Science & Business Media. ISBN  978-94-010-3381-7 .
• Габбай, Дов М .; Гентнер, Франц (2011). Справочник по философской логике: Том I: Элементы классической логики . Спрингер Нидерланды. ISBN  978-94-009-7068-7 .
• Харпер, Роберт (2001). «Логика» . Интернет-словарь этимологии . Архивировано из оригинала 6 февраля 2009 года . Проверено 8 мая 2009 г.
• Гильберт, Дэвид ; Акерманн, Вильгельм (21 ноября 2013 г.). Основы теоретической логики (на немецком языке). Издательство Спрингер. ISBN  978-3-662-41928-1 .
• Ходжес, Уилфрид (2001). Логика . Взрослый пингвин. ISBN  978-0-14-100314-6 .
• Хофвебер, Томас (2021). «Логика и онтология» . Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
• Хьюз, RIG (1993). Философский спутник логики первого порядка . Издательство Хакетт. ISBN  978-0-87220-181-1 .
• Мендельсон, Эллиотт (2015). Введение в математическую логику (6-е изд.). Тейлор и Фрэнсис. ISBN  978-1-4822-3772-6 .
• Смит, Барри (1989). «Логика и Sachverhalt» . Монист . 72 (1): 52–69. дои : 10.5840/monist19897212 .
• Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (1910). Принципы математики . Черновая печать. ISBN  9781603864374 . OCLC   872285723 .

Внешние ссылки

• «Логическое исчисление» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Логический калькулятор – веб-приложение для вычисления простых операторов символьной логики.
• Онтология и история логики - Введение с аннотированной библиографией