Курт Гёдель

«Годель» и «Гедель» перенаправляют здесь. Для других видов использования см. Godel (устранение неоднозначности) .

Курт Гёдель
Гедель c ​
Рожденный	Курт Фридрих Гёдель ( 1906-04-28 ) 28 апреля 1906 г. Брюнн , Австрия-Венгрия (ныне Брно, Чешская Республика)
Умер	14 января 1978 г. (1978-01-14) (в возрасте 71 года) Принстон, Нью -Джерси , США
Гражданство	Австрия Чехословакия Германия Соединенные Штаты
Альма -матер	Венский университет ( доктор философии , 1930)
Известен для	показывать   Gödel's incompleteness theorems Gödel's completeness theorem Gödel's constructible universe Gödel metric (closed timelike curve) Gödel logic Gödel–Dummett logic Gödel's β function Gödel's Loophole Gödel numbering Gödel operation Gödel's speed-up theorem Gödel's ontological proof Gödel–Gentzen translation Gödel–McKinsey–Tarski translation Von Neumann–Bernays–Gödel set theory ω-consistent theory The consistency of the continuum hypothesis with ZFC Axiom of constructibility Compactness theorem Condensation lemma Diagonal lemma Dialectica interpretation Ordinal definable set Slingshot argument
Супруг	Адель Нимбурски ( м. 1938)
Награды	Награда Альберта Эйнштейна (1951) Formemrs (1968) Национальная медаль науки (1974)
Научная карьера
Поля	Математика , математическая логика , физика
Учреждения	Институт передового обучения
Тезис	О полноте расчета логики   (1929)
Докторский советник	Ганс Хан
Философия карьера
Эпоха	Философия 20-го века
Область	Западная философия
Школа	Аналитическая философия
Основные интересы	Философия логики Философия математики Философия религии
Подпись

Фридрих ( / ɡ ɜːr d ​ Гёдель Курт ​ ​ ​ Немецкий: [ Kʁmate ; 28 апреля 1906 г. - 14 января 1978 г.) был логиком , математиком и философом . Считается, что вместе с Аристотелем и Готтлобом Фреге являются одним из самых значительных логиков в истории, Гедель глубоко повлиял на научное и философское мышление в 20 -м веке (в то время, когда Бертран Рассел , Альфред Норт Уайтхед , и Дэвид Хилберт использовал логику и теорию набора для исследования фондов математики ), опираясь на более раннюю работу Фреге, Ричарда Дедекинда и Георга Кантора .

Открытия Гёделя в основе математики привели к доказательству его теоремы полноты в 1929 году в рамках его диссертации, чтобы получить докторскую степень в Венском университете и публикацию теоремы неполноты Гёделя два года спустя, в 1931 году. Указывает, что для любой ω-согласованной рекурсивной аксиоматической системы, достаточно мощной, чтобы описать арифметику естественных чисел (например, арифметика Peano ), существуют истинные положения о естественных числах, которые не могут быть не доказаны и не опровергнуты из аксиомов. Чтобы доказать это, Gödel разработал технику, теперь известную как Gödel Numbering , которая кодирует формальные выражения как естественные числа. Вторая теорема неполноты, которая следует из первой, гласит, что система не может доказать свою собственную последовательность.

Гедель также показал, что ни аксиома выбора , ни гипотеза континуума не могут быть опровергнуты из принятой теории набора Zermelo -Fraenkel , предполагая, что его аксиомы являются последовательными. Первый результат открыл дверь для математиков, чтобы предположить аксиому выбора в своих доказательствах. Он также внес важный вклад в теорию доказательств , разъясняя связи между классической логикой , интуиционистской логикой и модальной логикой .

Ранняя жизнь и образование

Детство

Гедель родился 28 апреля 1906 года в Брюнне, Австрия-Венгрия (ныне Брно , Чешская Республика ), в немецкоязычной семье Рудольфа Гёделя (1874–1929), управляющего директора и частично владельца крупной текстильной фирмы и и Марианна Гёдель ( урожденная , 1879–1966). Во время его рождения в городе было немецкоязычное большинство, которое включало его родителей. Его отец был католиком, а его мать была протестантской, а дети воспитывались в качестве протестантов. Предки Курта Гёделя часто активно участвовали в культурной жизни Брюнна. Например, его дедушка Джозеф Гёдель был знаменитым певцом в свое время, и в течение нескольких лет членом Брюннера Миннергесангверейна (мужской хоровой союз Брюнна).

Гедель автоматически стал гражданином Чехословакии в возрасте 12 лет, когда австро-венгерская империя рухнула после поражения в первой мировой войне . По словам его одноклассника Клепета , как и многие жители преимущественно немецкого судепендера , - Гедель считал себя всегда австрийцем и изгнанием в Чехословакии ». В феврале 1929 года ему было предоставлено освобождение от его чехословацкого гражданства, а затем в апреле предоставило австрийское гражданство. Когда Германия аннексировала Австрию в 1938 году, Гедель автоматически стал гражданином Германии в возрасте 32 лет. В 1948 году, после Второй мировой войны , в возрасте 42 лет он стал американским гражданином.

В его семье молодой Гедель был прозвил Герр Варум («Мистер почему») из -за его ненасытного любопытства. По словам его брата Рудольфа, в возрасте шести или семи лет, Курт страдал ревматической лихорадкой ; Он полностью выздоровел, но до конца своей жизни он оставался убежденным, что его сердце получило постоянный ущерб. Начиная с четырех лет, Гедель страдал от «частых эпизодов плохого здоровья», которые будут продолжаться всю жизнь.

Гедель посещал Евангелиш Volksschule , лютеранскую школу в Брюнне с 1912 по 1916 год, и был зачислен в Deutsches Staats-Realgymnasium с 1916 по 1924 год, превосходя отличия по всем своим предметам, особенно в математике, языках и религии. Хотя Гедель впервые преуспел в языках, он позже стал более заинтересованным в истории и математике. Его интерес к математике возрос, когда в 1920 году его старший брат Рудольф (родился в 1902 году) в Вене , где он учился в медицинской школе в Венском университете . Во время своих подростков Гёдель изучал Шортанд Габельгера , и критика Исаака Ньютона и писания Иммануила Канта .

Исследования в Вене

Доска к Гёделю в 43-45 Josefstädter Straße , Вена , где он обнаружил свои теоремы неполноты

В возрасте 18 лет Гедель присоединился к своему брату в Венском университете . Он уже освоил математику на уровне университета. Хотя изначально намереваясь изучить теоретическую физику , он также посещал курсы по математике и философии. За это время он принял идеи математического реализма . Он прочитал Канта Анфангсгрюнде метафиз Дер натурального натурального масштаба и участвовал в Венском круге с Морицем Шликом , Гансом Хан и Рудольфом Карнапом . Затем Гедель изучал теорию чисел , но когда он принял участие в семинаре, проводимом Морицем Шликом , который изучал Бертрана Рассела книгу в «Введение в математическую философию» , он заинтересовался математической логикой . Согласно Гёделю, математическая логика была «наукой до всех остальных, которая содержит идеи и принципы, лежащие в основе всех наук».

Посещение лекции Дэвида Хилберта в Болонье о полноте и последовательности в математических системах могло бы установить жизненный курс Гёделя. В 1928 году Гильберт и Вильгельм Акерманн опубликовал Grundzüge der Theoretischen Logik ( принципы математической логики ), введение в логику первого порядка , в которой была представлена ​​проблема полноты: «Аксиомы формальной системы, достаточной для выполнения каждого заявления, которое является Верно во всех моделях системы? "

Эта проблема стала темой, которую Гедель выбрал для своей докторской работы. В 1929 году, в возрасте 23 лет, он завершил докторскую диссертацию под руководством Ганса Хана. В нем он установил свою одноименную теорему полноты относительно логики первого порядка . Он был награжден докторской степенью в 1930 году, и его тезис (в сопровождении дополнительной работы) была опубликована Венской академией науки .

Карьера

Гедель в качестве студента в 1925 году

Теоремы неполноты

Достижение Курта Гёделя в современной логике является единственным и монументальным - и это больше, чем памятник, это ориентир, который останется видимым далеко в пространстве и времени. ... Предмет логики, безусловно, полностью изменил свою природу и возможности с достижением Гёделя.

- Джон фон Нейманн

В 1930 году Гёдель присутствовал на второй конференции по эпистемологии точных наук , состоявшейся в Кенигсберге , 5–7 сентября. Здесь он доставил свои теоремы неполноты .

Гедель опубликовал свои теоремы неполноты в формальной Unentscheidbare Sätze Der Principia Mathematica und Verwandter Systeme (называется английским « на формально неразрешимых предложениях принципий Mathematica и связанных с ними систем »). В этой статье он доказал любую вычислительную аксиоматическую систему , которая достаточно мощная, чтобы описать арифметику естественных чисел (например, аксиомы Peano или теорию набора Zermelo -Fraenkel с аксиомой выбора), что:

1. Если (логическая или аксиоматическая формальная) система является омега-согласованной , она не может быть синтаксически завершена .
2. Последовательность аксиом не может быть доказана в их собственной системе .

Эти теоремы закончились полвека попыток, начиная с работы Готтлоба Фреге и кульминацией «Принципа математика» и «Программа Гильберта» , чтобы найти не относительно последовательную аксиоматизацию, достаточную для теории чисел (которая должна была служить основой для других полей для других полей для других полей. Математика).

Гедель построил формулу, которая утверждает, что она недооценена в данной формальной системе. Если бы это было доказно, это было бы ложным. Таким образом, всегда будет хотя бы одно истинное, но недоказуемое утверждение. То есть для любого вычислительно перечисленного набора аксиомов для арифметики (то есть набор, который в принципе может быть распечатан идеализированным компьютером с неограниченными ресурсами), существует формула, которая верна для арифметики, но не доказываемой в этой системе Полем Чтобы сделать это точным, Геделю пришлось создать метод для кодирования (в качестве натуральных чисел) утверждений, доказательств и концепции докараемости; Он сделал это с помощью процесса, известного как Гедель Нумерация .

В своей двухстраничной бумаге Zum Intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Гёдель опроверг конечную достоверность интуиционистской логики . В доказательстве он неявно использовал то, что позже стало известно как промежуточная логика Гёделя -Дамметта (или нечеткая логика Гёделя ).

Середина 1930-х годов: дальнейшая работа и посещения США

Гедель заработал свою обезвреживание в Вене в 1932 году, а в 1933 году он стал приватдозентом (неоплачиваемым лектором). В 1933 году Адольф Гитлер пришел к власти в Германии, и в течение следующих лет нацисты поднялись в влияние в Австрии и среди математиков Вены. В июне 1936 года Мориц Шлик , чей семинар вызвал интерес Гёделя к логике, был убит одним из его бывших учеников Иоганном Нельбёком . Это вызвало «тяжелый нервный кризис» в Гёделе. У него развились параноидальные симптомы, в том числе страх быть отравленным, и он провел несколько месяцев в санатории для нервных заболеваний.

В 1933 году Гёдель впервые отправился в США, где встретил Альберта Эйнштейна , который стал хорошим другом. Он выступил с обращением к ежегодному собранию Американского математического общества . В течение этого года Гедель также разработал идеи вычислительности и рекурсивных функций до такой степени, что он смог представить лекцию по общим рекурсивным функциям и концепции истины. Эта работа была разработана в теории чисел с использованием нумерации Гёделя .

В 1934 году Гедель прочитал серию лекций в Институте передового исследования (IAS) в Принстоне, штат Нью -Джерси , под названием «Невыразимые предложения формальных математических систем» . Стивен Клин , который только что получил докторскую степень в Принстоне, сделал заметки этих лекций, которые были впоследствии опубликованы.

Гедель снова посетил IAS осенью 1935 года. Путешествие и тяжелая работа исчерпали его, и в следующем году он сделал перерыв, чтобы оправиться от депрессивного эпизода. Он вернулся к преподаванию в 1937 году. За это время он работал над доказательством последовательности аксиомы выбора и гипотезы континуума ; Далее он показал, что эти гипотезы не могут быть опровергнуты из общей системы аксиом теории набора.

Он женился на Адель Нимбурский (урожденная Porkert, 1899–1981), которого он знал более 10 лет, 20 сентября 1938 года. Родители Гёделя выступили против их отношений, потому что она была разведенной танцовщицей, на шесть лет старше его.

Впоследствии он уехал на еще одно визит в Соединенные Штаты, проведя осень 1938 года в IAS и публикацию последовательности выбора аксиомы и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории наборов, Классика современной математики. В этой работе он представил конструктивную вселенную , модель теории наборов , в которой единственные наборы, которые существуют, - это те, которые могут быть построены из более простых наборов. Гедель показал, что как аксиома выбора (AC), так и генерализованная гипотеза континуума (GCH) верны в конструктивной вселенной и, следовательно, должны соответствовать аксиомам с нулевым фраенкелем для теории наборов (ZF). Этот результат имел значительные последствия для работы математиков, так как это означает, что они могут предположить аксиому выбора при доказывании теоремы Хана -Банаха . Пол Коэн позже построил модель ZF, в которой AC и GCH являются ложными; Вместе эти доказательства означают, что AC и GCH не зависят от Axioms ZF для теории наборов.

Гедель провел весну 1939 года в университете Нотр -Дам .

Принстон, Эйнштейн, гражданство США

После Аншлуса 12 марта 1938 года Австрия стала частью нацистской Германии . Германия отменила титул Privatdozent , поэтому Гёделю пришлось подать заявку на другую позицию в соответствии с новым порядком. Его бывшая ассоциация с еврейскими членами Венского круга, особенно с Ханом, взвесила его. Университет Вены подал свое заявление.

Его затруднительное положение усилилось, когда немецкая армия сочла его пригодным для призыва. Вторая мировая война началась в сентябре 1939 года. До того, как год вышел, Гёдель и его жена уехали из Вены в Принстон . Чтобы избежать сложности атлантического пересечения, Геделс взял Транс-Сибиррийскую железную дорогу в Тихий океан, отправившись из Японии в Сан-Франциско (которого они достигли 4 марта 1940 года), а затем пересек США поездом в Принстон. Во время этой поездки Гёдель должен был нести секретное письмо от венского физика Ганса, Тирринг -Альберта Эйнштейна, чтобы предупредить Рузвельт о возможности того, что Гитлер сделает атомную бомбу. Гедель никогда не передавал это письмо Эйнштейну, хотя они встречались, потому что он не был уверен, что Гитлер сможет добиться этого подвига. В любом случае, Лео Шилард уже передал сообщение Эйнштейну, и Эйнштейн уже предупредил Рузвельта.

В Принстоне Гёдель принял должность в Институте передового исследования (IAS), которую он посетил в 1933–34 годах.

Эйнштейн также жил в Принстоне в это время. Гедель и Эйнштейн развили сильную дружбу, и, как известно, долго ходили в Институт передового исследования и обратно. Природа их разговоров была загадкой для других членов Института. Экономист Оскар Моргенштерн рассказывает, что в конце своей жизни Эйнштейн признал, что его «собственная работа больше не значит, что он пришел в институт просто ... чтобы иметь привилегию идти домой с Гёделем».

Гедель и его жена Адель провели лето 1942 года в Блю Хилл, штат Мэн , в голубой гостинице на вершине залива. Гедель не просто отдыхал, но у него было очень продуктивное лето работы. Используя HEFT 15 [Том 15] из все еще публикации Гёделя ArbeitShefte [Working Notebooks], Джон В. Доусон-младший предполагает, что Гёдель обнаружил доказательство независимости аксиомы выбора из теории конечного типа, ослабленной формы набора, теория набора,, Находясь в Блю Хилл в 1942 году. Близкий друг Гёделя Хао Ван поддерживает эту гипотезу, отмечая, что ноутбуки Гёделя Блю Хилл содержат его самое обширное отношение к проблеме.

5 декабря 1947 года Эйнштейн и Моргенштерн сопровождали Гёделя на его по гражданству США экзамен , где они действовали в качестве свидетелей. Гедель признал в них, что он обнаружил несоответствие в Конституции США , которое может позволить США стать диктатурой; С тех пор это было названо лазейкой Гёделя . Эйнштейн и Моргенштерн были обеспокоены тем, что непредсказуемое поведение их друга может поставить под угрозу его заявление. Судьей оказался Филиппом Форманом , который знал Эйнштейна и дал присягу на собственном слушании Эйнштейна в гражданстве. Все прошло гладко, пока Форман не спросил Гёделя, не думал ли он, что диктатура, подобная нацистскому режиму, может произойти в США Гёделе, а затем начала объяснять свое открытие Форману. Форман понял, что происходит, отрезал Гёделя, и перенес слушание на другие вопросы и обычный вывод.

Гедель стал постоянным членом Института продвинутого обучения в Принстоне в 1946 году. Примерно в это же время он перестал публиковать, хотя продолжал работать. Он стал полным профессором в Институте в 1953 году и заслуженным профессором в 1976 году.

Во время своего пребывания в институте интересы Гёделя обратились к философии и физике. В 1949 году он продемонстрировал существование решений, связанных с закрытыми кривыми , для полевых уравнений Эйнштейна в общей относительности . Говорят, что он дал Эйнштейну эту разработку в качестве подарка на его 70 -летие. Его «вращающиеся вселенные» позволили бы путешествовать во времени в прошлое и заставили Эйнштейна сомневаться в его собственной теории. Его решения известны как метрика Гёделя (точное решение уравнения полевого поля Эйнштейна ).

Он изучал и восхищался работами Готфрида Лейбница , но пришел к выводу, что враждебный заговор заставил подавить некоторые работы Лейбниза. В меньшей степени он изучал Иммануэля Канта и Эдмунда Гуссерла . В начале 1970 -х годов Гедель распространял среди своих друзей в разработку версии Лейбниза Кентербери Ансельма онтологического доказательства существования . Теперь это известно как онтологическое доказательство Гёделя .

Награды и награды

Гедель был награжден (с Джулианом Швингером ) первой премией Альберта Эйнштейна в 1951 году, а также была награждена Национальной медалью науки в 1974 году. Гедель был избран жителем Американского философского общества в 1961 году и иностранным членом Королевского общества (Formers) в 1968 году . Он был пленарным оратором ICM в 1950 году в Кембридже, штат Массачусетс.

Более поздняя жизнь и смерть

Верховой камень Курта и Адель Гёдель в Принстоне, Нью -Джерси, Кладбище

Позже в своей жизни Гёдель получил периоды психической нестабильности и болезни. После убийства его близкого друга Морица Шлика , У Геделя развился одержимый страх быть отравленным , и он съел только еду, приготовленную его женой Адель. Адель была госпитализирована, начиная с конца 1977 года, и в ее отсутствие Гёдель отказалась есть; Он весил 29 килограммов (65 фунтов), когда он умер от «недоедания и неотложной помощи, вызванным нарушением личности» в больнице Принстона 14 января 1978 года. Он был похоронен на Принстонском кладбище . Адель умерла в 1981 году.

Религиозные взгляды

Гёдель верил, что Бог был личным, и назвал свою философию «рационалистической, идеалистической, оптимистичной и богословской». Он сформулировал формальное доказательство существования Бога, известного как онтологическое доказательство Гёделя .

Гёдель верил в загробную жизнь, говоря: «Конечно, это предполагает, что существует много отношений, которые сегодняшняя наука и мудрость не было никакого взгляда. Но я убежден в этой [загробной жизни], независимо от какого -либо богословия». «Возможно сегодня воспринимать, чистые рассуждения», что оно «полностью согласуется с известными фактами». «Если мир построен рационально и имеет значение, то должна быть такая вещь [как загробная жизнь]».

В незапланированном ответе на вопросник Гёдель назвал свою религию «крещенным лютеранским (но не членом какого -либо религиозного собрания). Моя вера - теистическая , а не пантеистическая , следуя Лейбнизу , а не Спиноза ». Религии (ы) в целом он сказал: «Религии по большей части плохие, но не сама религия». По словам его жены Адель: «Гедель, хотя он не ходил в церковь, был религиозным и читал Библию в постели каждое воскресное утро», В то время как ислам он сказал: «Мне нравится ислам: это последовательная [или косвенная] идея религии и непредубежденных».

Наследие

Дуглас Хофштадтер написал книгу 1979 года «Гедель», «Эшер», Бах, чтобы отпраздновать работу и идеи Геделя, Мак Эшера и Иоганна Себастьяна Баха . Отчасти исследует последствия того факта, что теорема неполноты Гёделя может быть применена к любой вычислительной системе, полной Тьюринга , которая может включать человеческий мозг . В 2005 году Джон Доусон опубликовал биографию « Логические дилеммы: жизнь и работа Курта Гёделя» . Книга Стивена Будианского о жизни Гёделя « Путешествие к краю разума: жизнь Курта Гёделя» , была главная книга критиков « Нью -Йорк Таймс » 2021 года. Гедель был одним из четырех математиков, рассмотренных в Мэлоуна в 2008 году Дэвида документальном фильме «Опасные знания» .

Общество Курт Гёдель , основанное в 1987 году, является международной организацией по продвижению исследований в области логики, философии и истории математики . Университет Вены проходит исследовательский центр Курта Гёделя по математической логике. Ассоциация символической логики провела ежегодную лекцию Gödel с 1990 года. Приз Гёделя ежегодно проводится на выдающуюся статью в теоретической информатике. Философские ноутбуки Гёделя сохраняются в исследовательском центре Курта Гёделя в Берлин-Бренденбургской академии наук и гуманитарных наук . Было опубликовано пять томов собранных работ Гёделя. Первые два включают его публикации; Третий включает в себя неопубликованные рукописи из его nachlass , а последние два включают переписку.

В фильме 1994 года Lou изображает Jacobi Гёделя. В фильме 2023 года «Оппенгеймер » Гедель, которого играет Джеймс Урбаньяк , в кратчайшие сроки ходят с Эйнштейном в садах Принстона.

Библиография

Важные публикации

На немецком языке:

• 1930, «Полнота аксиомов логического функционального расчета». Ежемесячные буклеты для математики и физики 37 : 349–60.
• 1931, «О формально нерешенных предложениях принципиальных математиков и связанных систем, I.» Ежемесячные буклеты для математики и физики 38 : 173–98.
• 1932, «О расчете интуиционистского заявления», Академия наук Анзегер Вена 69 : 65–66.

По-английски:

• 1940. Консистенция аксиомы выбора и гипотезы об обобщенной континууме с аксиомами теории наборов . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА.
• 1947. "Что такое проблема Cantor's Continuum?" Американский математический месяц 54 : 515–25. Пересмотренная версия в Пол Бенасерраф и Хилари Путнэм , ред., 1984 (1964). Философия математики: отобранные чтения . Cambridge Univ. Нажмите: 470–85.
• 1950, «Вращающиеся вселенные в общей теории относительности». Труды Международного конгресса математиков в Кембридже, вып. 1, с. 175–81.

В английском переводе:

• Kurt Gödel, 1992. О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и связанных с ними систем , Tr. Б. Мельцер, с полным введением Ричарда Брейтуэйта . Dover Перепечатка из издания Basic Books 1962 года.
• Курт Гёдель, 2000. О формально неразрешимых предложениях принципиальных математиков и связанных систем , tr. Мартин Хирцель
• Жан Ван Хейдженорт , 1967. Исходная книга по математической логике, 1879–1931 . Гарвардский университет. Нажимать.
  • 1930. "Полнота аксиомов функционального исчисления логики", 582–91.
  • 1930. «Некоторые метаматематические результаты по полноте и последовательности», 595–96. Аннотация для (1931).
  • 1931. «О формально неразрешимых предложениях принципиальных математиков и связанных с ними систем», 596–616.
  • 1931a. «О полноте и последовательности», 616–17.
• Собранные работы : издательство Оксфордского университета: Нью -Йорк. Главный редактор: Соломон Феферман .
  • Том I: публикации 1929–1936 ISBN   978-0-19-503964-1 / мягкая обложка: ISBN   978-0-19-514720-9 ,
  • Том II: публикации 1938–1974 гг. ISBN   978-0-19-503972-6 / Мягкая обложка: ISBN   978-0-19-514721-6 ,
  • Том III: неопубликованные очерки и лекции ISBN   978-0-19-507255-6 / Мягкая обложка: ISBN   978-0-19-514722-3 ,
  • Том IV: переписка, a - g ISBN   978-0-19-850073-5 ,
  • Том V: корреспонденция, h - z ISBN   978-0-19-850075-9 .
• Философские ноутбуки/философские ноутбуки : de Gruyter: Берлин/Мюнхен/Бостон. Редактор: Ева-Мария Энглен .
  • Том 1: Философия I Максимуна 0 / Философия I Максим 0 ISBN   978-3-11-058374-8 .
  • Том 2: Подразделение времени (Maximen) I и II / Управление временем (Maxims) I и II ISBN   978-3-11-067409-5 .
  • Том 3: Maximen III / Maxims III ISBN   978-3-11-075325-7 .
  • Том 4: Maximen IV / Maxims IV ISBN   9783110772944 .
  • Том 5: Максинен ISBN   9783111081144 .

Смотрите также

• Оригинальное доказательство теоремы полноты Гёделя
• Гедель нечеткая логика
• Гедель - Лоб Логика
• Гедель Призен
• Онтологическое доказательство Гёделя
• Бесконечная логика
• Список австрийских ученых
• Список пионеров в области компьютерных наук
• Математический платонизм
• Примитивный рекурсивный функциональный
• Странная петля
• Теорема неопределенности Тарски
• Всемирный день логики
• Гедель Машина

Ссылки

• Доусон, Джон В. (1997), Логические дилеммы: жизнь и работа Курта Гёделя , Уэллсли, Массачусетс: Ак Петерс .
• Гольдштейн, Ребекка (2005), Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя , Нью -Йорк: WW Norton & Co, ISBN  978-0-393-32760-1 .
• Ван, Хао (1987), Размышления о Курте Гёделе , Кембридж: с прессой, ISBN  0-262-73087-1
• Ван, Хао (1996), Логическое путешествие: от Гёделя до философии , Кембридж: MIT Press, ISBN  0-262-23189-1

Дальнейшее чтение

• Стивен Будианский , 2021 год. Путешествие к краю разума: жизнь Курта Геделя . WW Norton & Company.
• Касти, Джон Л; DePauli, Werner (2000), Gödel: Life of Logic , Кембридж, Массачусетс: Основные книги (Perseus Books Group), ISBN  978-0-7382-0518-2 .
• Доусон, Джон У младший (1999), «Гедель и границы логики», Scientific American , 280 (6): 76–81, Bibcode : 1999sciam.280f..76d , doi : 10.1038/Scientificamerican0699-76 , PMID   10048234 .
• Franzén, Torkel (2005), Теорема Геделя: неполное руководство по его использованию и злоупотреблениям , Уэллсли, Массачусетс: Ак Петерс .
• Ivor Grattan-Guinness , 2000. Поиск математических корней 1870–1940 . Принстон Унив. Нажимать.
• Хэмин-Анттила, Мария (2020). Гедель по интуиционизму и конструктивным основаниям математики (докторская диссертация). Хельсинки: Университет Хельсинки. ISBN  978-951-51-5922-9 .
• Jaakko Hintikka , 2000. На Гёделе . Уодсворт.
• Дуглас Хофштадтер , 1980. Гедель, Эшер, Бах . Винтаж.
• Стивен Клин , 1967. Математическая логика . Dover в мягкой обложке C. 2001.
• Стивен Клин, 1980. Введение в метаматематику . Северная Голландия ISBN   0-7204-2103-9 (Ishi Press в мягкой обложке. 2009. ISBN   978-0-923891-57-2 )
• JR Lucas , 1970. Свобода воли . Clarendon Press, Оксфорд.
• Эрнест Нагель и Ньюман, Джеймс Р., 1958. Доказательство Гёделя. Нью -Йорк Univ. Нажимать.
• Эд Регис , 1987. Кто получил офис Эйнштейна? Addison-Wesley Publishing Company, Inc.
• Рэймонд Смуллян , 1992. Теоремы Годеля о неполнотеке . Издательство Оксфордского университета.
• Ольга Таусси-Тодд , 1983. Воспоминания Курта Гёделя . Инжиниринг и наука, зима 1988.
• Yourgrau, Palle, 1999. Gödel встречает Эйнштейна: путешествия во времени во вселенной Гёделя. Чикаго: открытый суд.
• Yourgrau, Palle, 2004. Мир без времени: забытое наследие Гёделя и Эйнштейна . Основные книги. ISBN   978-0-465-09293-2 . (Обзор Джона Стачела в уведомлениях Американского математического общества ( 54 (7), с. 861–68 ).

Внешние ссылки

• Weeteein, Эрик Вольфганг (ред.). «Гёдерт, Курт (19066-1978)» . ScienceWorld .
• Кеннеди, Джульетта. "Курт Гёдель" . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Time Bandits : статья о отношениях между Гёделем и Эйнштейном Джима Холта
• Уведомления о AMS, апрель 2006 г., том 53, номер 4 Curt Gödel Centenary.
• Пол Дэвис и Фримен Дайсон обсуждают Курт Годел (стенограмма)
• «Гедель и природа математической истины» .
• Это не все в числах: Грегори Чатин объясняет математические сложности Гёделя.
• Гедель фотогалерея. (архивировано)
• Курт Гёдель Мактутор История математики страница архива математики
• Национальная академия наук биографические мемуары