Целое число
Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
---|
Целое число — это ноль ( 0 ), положительное натуральное число (1, 2, 3,...) или отрицание положительного натурального числа ( -1 , -2, -3,...). [1] Отрицания или аддитивные обратные положительные натуральные числа называются отрицательными целыми числами . [2] Набор всех целых чисел часто обозначается жирным шрифтом Z или жирным шрифтом на доске. . [3] [4]
Набор натуральных чисел является подмножеством , которое, в свою очередь, является подмножеством множества всех рациональных чисел , само по себе является подмножеством действительных чисел . [а] Как и множество натуральных чисел, множество целых чисел счетно бесконечно . Целое число можно рассматривать как действительное число, которое можно записать без дробной составляющей . Например, 21, 4, 0 и -2048 являются целыми числами, а 9,75 5 + 1/2 2 — и √ , 5/4 нет. [8]
Целые числа образуют наименьшую группу и наименьшее кольцо, содержащее натуральные числа . В теории алгебраических чисел целые числа иногда квалифицируются как рациональные целые числа, чтобы отличить их от более общих алгебраических целых чисел . Фактически, (рациональные) целые числа — это целые алгебраические числа, которые также являются рациональными числами .
История
Слово целое происходит от латинского целого числа, означающего «целый» или (буквально) «нетронутый», от in («не») плюс tangere («прикасаться»). Слово « Целое » происходит от того же происхождения, от французского слова entier , которое означает « целое» и «целое» . [9] Исторически этот термин использовался для обозначения числа , кратного 1. [10] [11] или целой части смешанного числа . [12] [13] Рассматривались только положительные целые числа, что делало этот термин синонимом натуральных чисел . Определение целого числа со временем расширилось и теперь включает отрицательные числа, поскольку их полезность была признана. [14] Например, Леонард Эйлер в своих «Элементах алгебры» 1765 года определил, что целые числа включают как положительные, так и отрицательные числа. [15]
Фраза « множество целых чисел» не использовалась до конца XIX века, когда Георг Кантор представил концепцию бесконечных множеств и теорию множеств . Использование буквы Z для обозначения набора целых чисел происходит от немецкого слова Zahlen («числа»). [3] [4] и приписывается Дэвиду Гильберту . [16] Самое раннее известное использование обозначений в учебниках встречается в «Алжебре» , написанном коллективом Николя Бурбаки и датируемом 1947 годом. [3] [17] Обозначение было принято не сразу, например, в другом учебнике использовалась буква J. [18] а в статье 1960 года Z использовалось для обозначения неотрицательных целых чисел. [19] Но к 1961 году Z обычно использовалась в современных текстах по алгебре для обозначения положительных и отрицательных целых чисел. [20]
Символ часто аннотируется для обозначения различных наборов, которые разные авторы используют по-разному: , или для положительных целых чисел, или для неотрицательных целых чисел и для ненулевых целых чисел. Некоторые авторы используют для ненулевых целых чисел, в то время как другие используют его для неотрицательных целых чисел или для {–1, 1} ( группа единиц ). Кроме того, используется для обозначения либо набора целых чисел по модулю p (т. е. набора классов конгруэнтности целых чисел), либо набора p -адических целых чисел . [21] [22]
Целые числа были синонимами целых чисел вплоть до начала 1950-х годов. [23] [24] [25] В конце 1950-х годов в рамках Новая математика» движения « [26] Американские учителя начальной школы начали учить, что целые числа относятся к натуральным числам , исключая отрицательные числа, а целые числа относятся к отрицательным числам. [27] [28] Целые цифры остаются неоднозначными и по сей день. [29]
Алгебраические свойства
Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец |
---|
Подобно натуральным числам , замкнуто относительно операций . сложения и умножения , то есть сумма и произведение любых двух целых чисел есть целое число Однако с учетом отрицательных натуральных чисел (и, что важно, 0 ), , в отличие от натуральных чисел, также замкнуто относительно вычитания . [30]
Целые числа образуют кольцо с единицей , которое является самым основным в следующем смысле: для любого кольца с единицей существует единственный кольцевой гомоморфизм целых чисел в это кольцо. Это универсальное свойство , а именно быть исходным объектом в категории колец , характеризует кольцо. .
не замкнут при делении , поскольку частное двух целых чисел (например, 1, разделенное на 2) не обязательно должно быть целым числом. Хотя натуральные числа являются замкнутыми при возведении в степень , целые числа — нет (поскольку результат может быть дробью, если показатель степени отрицателен).
В следующей таблице перечислены некоторые основные свойства сложения и умножения любых целых чисел a , b и c :
Добавление | Умножение | |
---|---|---|
Закрытие : | a + b — целое число | a × b — целое число |
Ассоциативность : | а + ( б + с ) знак равно ( а + б ) + с | а × ( б × c ) знак равно ( а × б ) × c |
Коммутативность : | а + б = б + а | а × б = б × а |
Наличие идентификационного элемента : | а + 0 = а | а × 1 = а |
Наличие обратных элементов : | а + (- а ) знак равно 0 | Единственными обратимыми целыми числами (называемыми единицами ) являются −1 и 1 . |
Дистрибутивность : | а × ( б + c ) знак равно ( а × б ) + ( а × c ) и ( а + б ) × c знак равно ( а × c ) + ( б × c ) | |
Нет делителей нуля : | Если a × b = 0 , то a = 0 или b = 0 (или оба) |
Первые пять свойств, перечисленных выше для добавления, говорят, что , при этом является абелевой группой . Это также циклическая группа , поскольку каждое ненулевое целое число можно записать в виде конечной суммы 1 + 1 + ... + 1 или (−1) + (−1) + ... + (−1) . Фактически, при сложении является единственной бесконечной циклической группой - в том смысле, что любая бесконечная циклическая изоморфна группа .
Первые четыре свойства умножения, перечисленные выше, говорят, что при умножении является коммутативным моноидом . Однако не каждое целое число имеет обратное мультипликативное число (как в случае числа 2), а это означает, что при умножении не является группой.
Все правила из приведенной выше таблицы свойств (кроме последнего), взятые вместе, говорят, что вместе со сложением и умножением представляет собой коммутативное кольцо с единицей . Это прототип всех объектов такой алгебраической структуры . Только те выражений истинны равенства в для всех значений переменных, истинных в любом коммутативном кольце с единицей. Некоторые ненулевые целые числа отображаются в ноль в определенных кольцах.
Отсутствие делителей нуля у целых чисел (последнее свойство в таблице) означает, что коммутативное кольцо является целостной областью .
Отсутствие мультипликативных обратных, что эквивалентно тому, что не замкнут при делении, означает, что это не поле . Наименьшее поле, содержащее целые числа в виде подкольца, — это поле рациональных чисел . Процесс построения рациональных чисел из целых чисел можно имитировать, чтобы сформировать поле дробей любой целой области. И обратно, начиная с поля алгебраических чисел (расширения рациональных чисел), его кольцо целых чисел , которое включает в себя можно извлечь как его подкольцо .
Хотя обычное деление не определено на , на них определено деление "с остатком". Оно называется евклидовым делением и обладает следующим важным свойством: для данных двух целых чисел a и b с b ≠ 0 существуют уникальные целые числа q и r такие, что a = q × b + r и 0 ≤ r < | б | , где | б | обозначает значение b . абсолютное Целое число q называется частным , а r — остатком от деления a на b . Алгоритм Евклида для вычисления наибольших общих делителей работает с помощью последовательности евклидовых делений.
Выше сказано, что является евклидовой областью . Это означает, что является областью главного идеала , и любое положительное целое число может быть записано как произведение простых чисел по существу уникальным способом. [31] Это основная теорема арифметики .
Теоретико-порядковые свойства
представляет собой полностью упорядоченное множество без верхней и нижней границы . Порядок дается: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Целое число является положительным, если оно больше нуля , и отрицательным, если оно меньше нуля. Ноль не определяется как ни отрицательный, ни положительный.
Упорядочение целых чисел совместимо с алгебраическими операциями следующим образом:
- если a < b и c < d , то a + c < b + d
- если a < b и 0 < c , то ac < bc .
Отсюда следует, что вместе с указанным выше порядком является упорядоченным кольцом .
Целые числа — единственная нетривиальная полностью упорядоченная абелева группа , положительные элементы которой хорошо упорядочены . [32] Это эквивалентно утверждению, что любое нетерово нормированное кольцо является либо полем , либо кольцом дискретного нормирования .
Строительство
Традиционное развитие
В преподавании в начальной школе целые числа часто интуитивно определяются как объединение (положительных) натуральных чисел, нуля и отрицаний натуральных чисел. Это можно формализовать следующим образом. [33] Сначала постройте набор натуральных чисел в соответствии с аксиомами Пеано , назовите это . Затем создайте набор который не пересекается с и в личной переписке с через функцию . Например, возьмите быть упорядоченными парами с отображением . Наконец, пусть 0 будет каким-то объектом, которого нет в или , например упорядоченная пара . Тогда целые числа определяются как объединение .
Традиционные арифметические операции затем могут быть определены над целыми числами кусочно , для каждого из положительных чисел, отрицательных чисел и нуля. Например, отрицание определяется следующим образом:
Традиционный стиль определения приводит к множеству различных случаев (каждая арифметическая операция должна быть определена для каждой комбинации типов целых чисел) и делает утомительным доказательство того, что целые числа подчиняются различным законам арифметики. [34]
Классы эквивалентности упорядоченных пар
В современной теоретико-множественной математике существует более абстрактная конструкция. [35] [36] Вместо этого часто используется разрешение определять арифметические операции без различия регистра. [37] Таким образом, целые числа могут быть формально построены как классы эквивалентности пар упорядоченных натуральных чисел ( a , b ) . [38]
Интуитивно понятно, что ( a , b ) означает результат вычитания b из a . [38] Чтобы подтвердить наше ожидание, что 1–2 и 4–5 обозначают одно и то же число, мы определяем отношение эквивалентности ~ на этих парах по следующему правилу:
именно тогда, когда
Сложение и умножение целых чисел можно определить с помощью эквивалентных операций над натуральными числами; [38] используя [( a , b )] для обозначения класса эквивалентности, имеющего ( a , b ) в качестве члена, получаем:
Отрицание (или аддитивное обратное) целого числа получается изменением порядка пары:
Следовательно, вычитание можно определить как сложение аддитивной обратной:
Стандартный порядок целых чисел определяется следующим образом:
Легко проверяется, что эти определения не зависят от выбора представителей классов эквивалентности.
Каждый класс эквивалентности имеет уникальный член вида ( n ,0) или (0, n ) (или оба сразу). Натуральное число n отождествляется с классом [( n ,0)] (т. е. натуральные числа встраиваются в целые числа путем отображения n в [( n ,0)] ), а также с классом [(0, n ) ] обозначается - n (это охватывает все оставшиеся классы и дает класс [(0,0)] второй раз, поскольку -0 = 0.
Таким образом, [( a , b )] обозначается через
Если натуральные числа отождествляются с соответствующими целыми числами (с использованием упомянутого выше встраивания), это соглашение не создает двусмысленности.
Эта запись восстанавливает знакомое представление целых чисел как {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .
Некоторые примеры:
Другие подходы
В теоретической информатике другие подходы к построению целых чисел используются автоматическими средствами доказательства теорем и механизмами перезаписи терминов .Целые числа представлены как алгебраические термины, построенные с использованием нескольких основных операций (например, ноль , succ , pred ) и, возможно, с использованием натуральных чисел , которые считаются уже построенными (с использованием, скажем, подхода Пеано ).
Существует не менее десяти таких конструкций целых чисел со знаком. [39] Эти конструкции различаются по нескольким признакам: количеству основных операций, используемых для построения, количеству (обычно от 0 до 2) и типам аргументов, принимаемых этими операциями; наличие или отсутствие натуральных чисел в качестве аргументов некоторых из этих операций, а также тот факт, являются ли эти операции свободными конструкторами или нет, т. е. одно и то же целое число может быть представлено с использованием только одного или нескольких алгебраических терминов.
Техника построения целых чисел, представленная в предыдущем разделе, соответствует частному случаю, когда существует одна пара основных операций. который принимает в качестве аргументов два натуральных числа и и возвращает целое число (равное ). Эта операция не бесплатна, поскольку целое число 0 может быть записано как пара (0,0), или пара (1,1), или пара (2,2) и т. д. Этот метод построения используется помощником по доказательству Изабель ; однако многие другие инструменты используют альтернативные методы построения, особенно те, которые основаны на свободных конструкторах, которые проще и могут быть более эффективно реализованы на компьютерах.
Информатика
Целое число часто является примитивным типом данных в компьютерных языках . Однако целочисленные типы данных могут представлять только подмножество всех целых чисел, поскольку практические компьютеры имеют ограниченную мощность. Кроме того, в обычном представлении дополнения до двух внутреннее определение знака различает «отрицательный» и «неотрицательный», а не «отрицательный, положительный и 0». (Однако компьютер, безусловно, может определить, является ли целочисленное значение действительно положительным.) Типы данных аппроксимации целых чисел фиксированной длины (или подмножества) обозначаются int или Integer в нескольких языках программирования (таких как Algol68 , C , Java , Дельфи и др.).
Представления целых чисел переменной длины, такие как bignums , могут хранить любое целое число, которое помещается в памяти компьютера. Другие целочисленные типы данных реализуются с фиксированным размером, обычно количеством битов, равным степени 2 (4, 8, 16 и т. д.) или запоминаемому количеству десятичных цифр (например, 9 или 10).
Мощность
Множество целых чисел счетно бесконечно , что означает, что можно сопоставить каждое целое число с уникальным натуральным числом. Примером такого сочетания является
- (0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . , (1 − k , 2 k − 1), ( k , 2 k ), . . .
Технически мощность , Говорят, что он равен ℵ 0 ( алеф-ноль ). Сопряжение между элементами и называется биекцией .
См. также
- Каноническая факторизация целого положительного числа
- Гиперцелое число
- Целочисленная сложность
- Целочисленная решетка
- Целая часть
- Целочисленная последовательность
- Целочисленная функция
- Математические символы
- Паритет (математика)
- Проконечное целое число
Сноски
- ^ Точнее, каждая система встроена в следующую, изоморфно отображаемую в подмножество. [5] Обычно предполагаемое теоретико-множественное включение может быть получено путем построения действительных чисел, отбрасывая все предыдущие конструкции и определяя другие множества как подмножества вещественных чисел. [6] Такая конвенция является «вопросом выбора», но это не так. [7]
Ссылки
- ^ Энциклопедия науки и технологий . Издательство Чикагского университета. Сентябрь 2000. с. 280. ИСБН 978-0-226-74267-0 .
- ^ Хиллман, Авраам П.; Александерсон, Джеральд Л. (1963). Алгебра и тригонометрия; . Бостон: Аллин и Бэкон.
- ^ Jump up to: а б с Миллер, Джефф (29 августа 2010 г.). «Самое раннее использование символов теории чисел» . Архивировано из оригинала 31 января 2010 года . Проверено 20 сентября 2010 г.
- ^ Jump up to: а б Питер Джефсон Кэмерон (1998). Введение в алгебру . Издательство Оксфордского университета. п. 4. ISBN 978-0-19-850195-4 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г.
- ^ Парти, Барбара Х.; Мейлен, Алиса тер; Уолл, Роберт Э. (30 апреля 1990 г.). Математические методы в лингвистике . Springer Science & Business Media. стр. 78–82. ISBN 978-90-277-2245-4 .
Натуральные числа сами по себе не являются подмножеством этого теоретико-множественного представления целых чисел. Скорее, набор всех целых чисел содержит подмножество, состоящее из натуральных чисел и нуля, которое изоморфно множеству натуральных чисел.
- ^ Вольгемут, Эндрю (10 июня 2014 г.). Введение в доказательство в абстрактной математике . Курьерская корпорация. п. 237. ИСБН 978-0-486-14168-8 .
- ^ Полкингхорн, Джон (19 мая 2011 г.). Значение в математике . ОУП Оксфорд. п. 68. ИСБН 978-0-19-162189-5 .
- ^ Подготовка к тесту Каплана (4 июня 2019 г.). GMAT Complete 2020: лучшее в комплексном самообучении GMAT . Саймон и Шустер. ISBN 978-1-5062-4844-8 .
- ^ Эванс, Ник (1995). «A-Кванторы и область применения». У Баха, Эммон В. (ред.). Количественная оценка в естественных языках . Дордрехт, Нидерланды; Бостон, Массачусетс: Издательство Kluwer Academic Publishers. п. 262. ИСБН 978-0-7923-3352-4 .
- ^ Смедли, Эдвард; Роуз, Хью Джеймс; Роуз, Генри Джон (1845). Энциклопедия Метрополитана . Б. Феллоуз. п. 537.
Целое число кратно единице.
- ^ Британская энциклопедия 1771 , стр. 367
- ^ Пизано, Леонардо ; Бонкомпаньи, Бальдассар (транслитерация) (1202 г.). Начинается книга Аббачи, написанная Лионардо, сыну Боначчи Пизано, в год Mccij [ Книга вычислений ] (Рукопись) (на латыни). Перевод Сиглера, Лоуренса Э. Мусео Галилея. п. 30.
Ибо разбитое или разбитое всегда следует ставить после целого, хотя целое нужно произносить перед разбитым.
[А дроби всегда ставятся после целого, таким образом сначала пишется целое число, а потом дробь] - ^ Британская энциклопедия 1771 , стр. 83
- ^ Мартинес, Альберто (2014). Негативная математика . Издательство Принстонского университета. стр. 80–109.
- ^ Эйлер, Леонард (1771). введение в алгебру ( Полное на немецком языке). Том 1. с. 10.
Все эти числа, как положительные, так и отрицательные, носят известное название целых чисел, которые либо больше, либо меньше нуля. Их называют целыми числами, чтобы отличить их от дробных чисел и многих других чисел, о которых речь пойдет ниже.
[Все эти числа, как положительные, так и отрицательные, называются целыми числами, которые либо больше, либо меньше нуля. Мы называем их целыми числами, чтобы отличить их от дробей и от некоторых других видов чисел, о которых мы будем говорить ниже.] - ^ Обзор Университета Лидса . Том. 31–32. Университет Лидса. 1989. с. 46.
Между прочим, Z происходит от «Заля»: обозначение было создано Гильбертом.
- ^ Бурбаки, Николя (1951). Алгебра, глава 1 (на французском языке) (2-е изд.). Париж: Германн. п. 27.
Симметризованный N обозначается Z ; его элементы называются целыми рациональными числами.
[Группа разностей N обозначается Z ; его элементы называются целыми рациональными числами.] - ^ Биркгоф, Гаррет (1948). Теория решеток (пересмотренная ред.). Американское математическое общество. п. 63.
множество J всех целых чисел
- ^ Общество, Канадское математическое общество (1960). Канадский математический журнал . Канадское математическое общество. п. 374.
Рассмотрим множество Z целых неотрицательных чисел.
- ^ Безушка, Стэнли (1961). Современный прогресс в математике: Приложение для учителей [к] части 1 и части 2 . Бостонский колледж. п. 69.
В современных текстах по алгебре множество целых чисел обычно обозначается заглавной буквой Z.
- ^ Кейт Пледжер и Дэйв Уилкинс, «Edexcel AS и модульная математика уровня A: основная математика 1» Pearson 2008
- ^ Л.К. Тернер, Ф.Дж. Бадден, Д. Найтон, «Высшая математика», Книга 2, Лонгман, 1975.
- ^ Мэтьюз, Джордж Баллард (1892). Теория чисел . Дейтон, Белл и компания. п. 2.
- ^ Бетц, Уильям (1934). Младшая математика на сегодняшний день . Джинн.
Целые числа, или целые числа, расположенные в естественном порядке, например 1, 2, 3, называются последовательными целыми числами.
- ^ Пек, Лайман К. (1950). Элементы алгебры . МакГроу-Хилл. п. 3.
Возникающие таким образом числа называются положительными целыми числами, или целыми положительными числами.
- ^ Хайден, Роберт (1981). История движения «новой математики» в США (доктор философии). Университет штата Айова. п. 145. дои : 10.31274/rtd-180813-5631 .
Гораздо более влиятельной силой, доносившей новости о «новой математике» до учителей и администраторов средних школ, был Национальный совет учителей математики (NCTM).
- ^ Рост математических идей, классы K-12: 24-й ежегодник . Национальный совет учителей математики. 1959. с. 14. ISBN 9780608166186 .
- ^ Динс, Эдвина (1963). Математика в начальной школе: новые направления . Министерство здравоохранения, образования и социального обеспечения США, Управление образования. п. 42.
- ^ «запись: целое число» . Словарь американского наследия . ХарперКоллинз.
- ^ «Целое | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 11 августа 2020 г. .
- ^ Ланг, Серж (1993). Алгебра (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. стр. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0 .
- ^ Уорнер, Сет (2012). Современная алгебра . Дуврские книги по математике. Курьерская корпорация. Теорема 20.14, с. 185. ИСБН 978-0-486-13709-4 . Архивировано из оригинала 6 сентября 2015 года . Проверено 29 апреля 2015 г. .
- ^ Мендельсон, Эллиотт (1985). Системы счисления и основы анализа . Малабар, Флорида: Паб RE Krieger. Компания р. 153. ИСБН 978-0-89874-818-5 .
- ^ Мендельсон, Эллиотт (2008). Системы счисления и основы анализа . Дуврские книги по математике. Публикации Courier Dover. п. 86. ИСБН 978-0-486-45792-5 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г. .
- ^ Иворра Кастильо: Алгебра
- ^ Крамер, Юрг; Пиппич, Анна-Мария (2017). От натуральных чисел к кватернионам (1-е изд.). Швейцария: Springer Cham. стр. 78–81. дои : 10.1007/978-3-319-69429-0 . ISBN 978-3-319-69427-6 .
- ^ Фробишер, Лен (1999). Учимся учить цифрам: Пособие для учащихся и учителей начальной школы . Серия Стэнли Торнса «Преподавание начальной математики». Нельсон Торнс. п. 126. ИСБН 978-0-7487-3515-0 . Архивировано из оригинала 8 декабря 2016 года . Проверено 15 февраля 2016 г. .
- ^ Jump up to: а б с Кэмпбелл, Ховард Э. (1970). Структура арифметики . Эпплтон-Сентьюри-Крофтс. п. 83 . ISBN 978-0-390-16895-5 .
- ^ Гаравель, Юбер (2017). О наиболее подходящей аксиоматизации целых чисел со знаком . Пост-материалы 23-го Международного семинара по методам алгебраической разработки (WADT'2016). Конспекты лекций по информатике. Том. 10644. Спрингер. стр. 120–134. дои : 10.1007/978-3-319-72044-9_9 . ISBN 978-3-319-72043-2 . Архивировано из оригинала 26 января 2018 года . Проверено 25 января 2018 г.
Источники
- Белл, ET (1986). Мужчины математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер. ISBN 0-671-46400-0 . )
- Герштейн, И. Н. (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-01090-1 .
- Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1646-2 .
- Общество джентльменов в Шотландии (1771 г.). Британская энциклопедия . Эдинбург.
Внешние ссылки
- «Целое число» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Положительные целые числа — таблицы делителей и инструменты представления чисел.
- Электронная энциклопедия целочисленных ОЭИС последовательностей
- Вайсштейн, Эрик В. «Целое число» . Математический мир .
Эта статья включает в себя материал из Integer на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .