Jump to content

Леонард Эйлер

(Перенаправлено от Леонарда П. Эйлера )

Леонард Эйлер
Рожденный ( 1707-04-15 ) 15 апреля 1707 г.
Умер 18 сентября 1783 г. (76 лет) (76 лет) [ ОС : 7 сентября 1783 г.] ( 1783-09-18 )
Альма-матер Базельский университет ( магистр философии )
Известный
Супруги
Катарина Гселл
( м. 1734; умер в 1773)
Саломея Эбигейл Гселл
( м. 1776)
Дети 13, включая Иоганна
Научная карьера
Поля
Учреждения
Диссертация Dissertatio physica de sono (Физическая диссертация о звуке)   (1726 г.)
Докторантура Иоганн Бернулли
Докторанты Иоганн Хеннерт
Другие известные студенты
Подпись

Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -s , [б] Немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] , Швейцарский стандартный немецкий: [ˈleːɔnhart ˈɔʏlər] ; 15 апреля 1707 — 18 сентября 1783) — швейцарский математик , физик , астроном , географ , логик и инженер, который основал исследования теории графов и топологии и сделал новаторские и влиятельные открытия во многих других областях математики, таких как аналитическая теория чисел , комплексный анализ и исчисление бесконечно малых . Он ввел большую часть современной математической терминологии и обозначений , включая понятие математической функции . [6] Он также известен своими работами в области механики , гидродинамики , оптики , астрономии и теории музыки . [7]

Эйлер считается одним из величайших и плодовитых математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, написавших свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, о чем свидетельствуют цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он мастер из нас всех». [8] [с] Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение трудов Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не сможет заменить его». [9] [д] Его 866 публикаций, а также его переписка собраны в Opera Omnia Leonhard Euler , которая после завершения будет состоять из 81 кварто . [11] [12] [13] Большую часть своей взрослой жизни он провел в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .

Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы. (строчная пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также сначала с помощью обозначения для значения функции буква выразить мнимую единицу , греческая буква (заглавная сигма ) для выражения суммирования , греческая буква (заглавная дельта ) для конечных разностей и строчные буквы для обозначения сторон треугольника, а углы представляются заглавными буквами. [14] Он дал современное определение константы , основание натурального логарифма , ныне известного как число Эйлера . [15]

Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (отчасти как решение проблемы семи мостов Кенигсберга , которая также считается первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, решением нескольких нерешенных проблем теории чисел и анализа, включая знаменитую Базельскую проблему . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма числа вершин и граней минус количество ребер многогранника равна 2, числу, которое сейчас широко известно как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер в Ньютона переформулировал законы физики новые законы, в своей двухтомной работе « Механика» чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес существенный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.

Ранний период жизни

[ редактировать ]

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье Павла III Эйлера, пастора реформатской церкви , и Маргариты (урожденной Брукер), чьи предки включают ряд известных ученых-классиков. [16] Он был старшим из четырех детей, у него были две младшие сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат Иоганн Генрих. [17] [16] Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риэн , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви и Леонард провел большую часть своего детства. [16]

посещал курсы Якоба Бернулли С юных лет Эйлер получил математическое образование у своего отца, который несколькими годами ранее в Базельском университете . Примерно в восемь лет Эйлера отправили жить в дом бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное репетиторство у Йоханнеса Буркхардта, молодого теолога, проявлявшего большой интерес к математике. [16]

В 1720 году, в тринадцатилетнем возрасте, Эйлер поступил в Базельский университет . [7] Поступление в университет в столь юном возрасте в то время не было чем-то необычным. [16] Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (учивший отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер описал Бернулли в своей автобиографии: [18]

«Знаменитый профессор Иоганн Бернулли [...] с особым удовольствием помогал мне в математических науках. Однако от частных занятий он отказался из-за своей занятости. Однако он дал мне гораздо более полезный совет. В случае, если я столкнусь с какими-либо возражениями или трудностями, он предлагал мне бесплатный доступ к нему каждую субботу днем ​​и был достаточно любезен, чтобы прокомментировать собранные трудности, что было сделано с такой желаемой выгодой, что, когда он разрешил одно из моих возражений, сразу исчезли десять других, что, несомненно, является лучшим методом достижения счастливого прогресса в математических науках».

Именно в это время Эйлер при поддержке Бернулли добился согласия своего отца стать математиком, а не пастором. [19] [20]

В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии за диссертацию, в которой сравнивались философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . [16] После этого он поступил на богословский факультет Базельского университета. [20]

В 1726 году Эйлер защитил диссертацию о распространении звука под названием «De Sono». [21] [22] с помощью которого он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. [23] В 1727 году он принял участие в конкурсе на получение призов Парижской академии (проводимом ежегодно, а затем раз в два года, начиная с 1720 года). [24] впервые. Задача, поставленная в том году, заключалась в том, чтобы найти лучший способ разместить мачты на корабле. Победу одержал Пьер Бугер , ставший известным как «отец морской архитектуры», а Эйлер занял второе место. [25] За эти годы Эйлер участвовал в этом соревновании 15 раз. [24] выиграл 12 из них. [25]

Санкт-Петербург

[ редактировать ]
1957 года, Марка Советского Союза посвященная 250-летию Эйлера. В тексте написано: 250 лет со дня рождения великого математика, академика Леонарда Эйлера.

Два сына Иоганна Бернулли, Даниил и Николаус , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру уверенность, что они порекомендуют его на должность, когда она будет доступна. [23] 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. [26] [27] Когда Дэниел занял должность своего брата в отделе математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность физиолога занял его друг Эйлер. [23] В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял это предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, так как безуспешно подал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. [23]

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. [23] [20] Его повысили с младшей должности медицинского факультета академии до должности на математическом факультете. Он поселился у Даниэля Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. [28] Эйлер освоил русский язык, обосновался в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу медиком в российский флот . [29]

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных ученых, таких как Эйлер. [25] Благодетельница академии Екатерина I , продолжавшая прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла еще до приезда Эйлера в Петербург. [30] Русское консервативное дворянство пришло к власти после восшествия на престол двенадцатилетнего Петра II . [30] Дворянство, подозрительно относившееся к иностранным учёным академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег, препятствовало поступлению иностранных и неаристократических студентов в гимназии и университеты. [30]

Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находящаяся под немецким влиянием Анна Русская . [31] Эйлер быстро поднялся по карьерной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики. [31] Он также покинул ВМФ России, отказавшись от звания лейтенанта . [31] Два года спустя Даниэль Бернулли, уставший от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер сменил его на посту заведующего математическим факультетом. [32] В январе 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гселля . [33] Фридрих II предпринял попытку воспользоваться услугами Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер сначала предпочел остаться в Санкт-Петербурге. [34] Но после смерти императрицы Анны и Фридриха II согласился заплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер зарабатывал в России), он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, аргументируя это тем, что ему нужен более мягкий климат для зрения. [34] Российская академия дала свое согласие и будет платить ему как одному из ее активных членов 200 рублей в год. [34]

Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер в июне 1741 года покинул Санкт-Петербург, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий Прусский . [35] Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. [20] В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием « Introductio in analysin infinitorum» , а в 1755 году — текст по дифференциальному исчислению под названием « Institutiones Calculi Differentialis» . [36] [37] В 1755 году он был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук. [38] и Французской академии наук . [39] Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. [40] [41] В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. [20] В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью. [42] [43]

Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. В начале 1760-х годов он написал ей более 200 писем, которые позже были собраны в том, озаглавленный « Письма Эйлера на различные темы натуральной философии, адресованные немецкой принцессе» . [44] Эта работа содержала изложение Эйлера различных предметов, касающихся физики и математики, и давала ценную информацию о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в США и стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность « Письм» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного своему делу ученого-исследователя. [37]

выдвинул ее кандидатом на пост президента Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что Жан ле Рон д'Аламбер , Фридрих II назвал себя ее президентом. [43] При дворе прусского короля был большой круг интеллектуалов, и он нашел математика неискушенным и плохо осведомленным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, глубоко религиозным человеком, который никогда не подвергал сомнению существующий общественный порядок или общепринятые убеждения. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , пользовавшегося высоким авторитетом при дворе Фридриха. Эйлер не был опытным спорщиком и часто спорил по темам, о которых мало что знал, что делало его частой мишенью остроумия Вольтера. [37] Фредерик также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:

Мне хотелось иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в водоем, откуда она должна упасть обратно по каналам, выплеснувшись наконец в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к водоему. Суета сует! Суета геометрии! [45]

Однако разочарование почти наверняка было неоправданным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, похоже, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть неблагополучным. [46]

На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесные связи с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 статей в России. [47] Он также помогал студентам петербургской академии и иногда размещал русских студентов в своем доме в Берлине. [47] В 1760 году, во время Семилетней войны , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. [42] Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, причиненный имуществу Эйлера, а российская императрица Елизавета позже добавила дополнительную выплату в размере 4000 рублей - непомерную сумму по тем временам. [48] Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию. [49]

В годы пребывания в Берлине (1741–1766) Эйлер находился на пике своей продуктивности. Он написал 380 произведений, 275 из которых были опубликованы. [50] Сюда входило 125 мемуаров в Берлинской академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. Эйлера «Introductio in Analysin Infinitorum» было опубликовано в двух частях в 1748 году. Помимо своих собственных исследований, Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом, а также публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. [51] Он даже участвовал в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля. [52]

Вернуться в Россию

[ редактировать ]

Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую Академию. Условия его были весьма непомерными — годовое жалованье в 3000 рублей, пенсия жене и обещание высоких должностей сыновьям. В университете ему помогал его студент Андерс Йохан Лексель . [53] Во время проживания в Петербурге пожар 1771 года уничтожил его дом. [54]

Личная жизнь

[ редактировать ]

7 января 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гселля , художника академической гимназии в Санкт-Петербурге. [33] Молодая пара купила дом на берегу Невы .

Из тринадцати их детей только пятеро пережили детство. [55] три сына и две дочери. [56] Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах . [56]

Через три года после смерти жены в 1773 г. [54] Эйлер женился на своей сводной сестре Саломеи Эбигейл Гзель (1723–1794). [57] Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.

Его брат Иоганн Генрих поселился в Петербурге в 1735 году и работал художником в академии. [34]

Ухудшение зрения

[ редактировать ]

Эйлера Зрение ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он едва не умер от лихорадки, [58] он почти ослеп на правый глаз. Эйлер винил в своем состоянии картографию , которую он выполнял для Петербургской Академии: [59] но причина его слепоты остается предметом спекуляций. [60] [61] Зрение Эйлера этим глазом ухудшилось во время его пребывания в Германии до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер отметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». [59] В 1766 году у него была обнаружена катаракта в левом глазу. Хотя лечение катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге привели к тому, что он почти полностью ослеп и на левый глаз. [39] Однако его состояние, похоже, мало повлияло на его продуктивность. С помощью его писцов продуктивность Эйлера во многих областях исследований возросла; [62] а в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью каждую неделю. [39]

В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Йоханом Лекселлом, когда тот потерял сознание и умер от кровоизлияния в мозг . [60] Якоб фон Штелин [ де ] написал короткий некролог для Российской академии наук , а русский математик Николас Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробный панегирик: [55] который он произнес на мемориальном митинге. В своей хвалебной речи Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе писал:

Могила Эйлера в Александро-Невской лавре.

он перестал рассчитывать и жить . [63]

Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив ему заросшую могильную доску. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро -Невской лавры . [64]

Вклад в математику и физику

[ редактировать ]

Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он — выдающаяся фигура в истории математики; в случае печати его работы, многие из которых представляют фундаментальный интерес, займут от 60 до 80 томов- кварто. [39] С именем Эйлера связано большое количество тем . Работа Эйлера в среднем составляет 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти совокупного объема работ по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке. [14]

Математические обозначения

[ редактировать ]

Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений в своих многочисленных и широко распространенных учебниках. В частности, он ввел понятие функции . [6] и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f, применяемой к аргументу x . Он также ввел современные обозначения тригонометрических функций , букву е для основания натурального логарифма (теперь также известного как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . [65] Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя оно принадлежит валлийскому математику Уильяму Джонсу . [66]

Развитие исчисления бесконечно малых было в авангарде математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение математического анализа стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости. [67] (в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим большим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и развитием степенных рядов , выражением функций в виде сумм бесконечного числа членов. [68] такой как

Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить Базельскую задачу , найдя сумму обратных квадратов каждого натурального числа в 1735 году (более подробный аргумент он представил в 1741 году). Базельская задача была первоначально поставлена ​​Пьетро Менголи в 1644 году, а к 1730-м годам стала знаменитой открытой задачей, популяризированной Якобом Бернулли и безуспешно атакованной многими ведущими математиками того времени. Эйлер обнаружил, что: [69] [70] [67]

Эйлер ввел константу теперь известная как константа Эйлера или константа Эйлера-Машерони, и изучил ее взаимосвязь с гармоническим рядом , гамма-функцией и значениями дзета-функции Римана . [71]

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера.

Эйлер ввёл использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математического применения логарифмов. [65] Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и обнаружил ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (которое принимается за радианы) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет условию

назвал «самой замечательной формулой в математике» которую Ричард П. Фейнман . [72]

Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера .

Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию. [73] [74] и представил новый метод решения уравнений четвертой степени . [75] Он нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа, позволяющее свести оптимизационные задачи в этой области к решению дифференциальных уравнений .

Эйлер был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и ввёл новую область исследований — аналитическую теорию чисел . Открывая основы этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию цепных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел , используя расхождение гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как простые числа распределяются . Работы Эйлера в этой области привели к разработке теоремы о простых числах . [76]

Теория чисел

[ редактировать ]

Интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием Кристиана Гольдбаха . [77] его друг по Петербургской Академии. [58] Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, например, гипотезу о том, что все числа вида ( Числа Ферма ) являются простыми. [78]

Эйлер связал природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана . [79]

Эйлер изобрел функцию тотента φ( n ), количество натуральных чисел, меньших или равных целому числу n, которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил маленькую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . [80] Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая очаровывала математиков со времен Евклида . Он доказал, что связь, показанная между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он ранее доказал), была взаимно однозначной, результат, также известный как теорема Евклида-Эйлера . [81] Эйлер также выдвинул гипотезу о квадратичном законе взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работ Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . [82] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 31 − 1 = 2 147 483 647 — простое число Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года. [83]

Эйлер также внес значительный вклад в развитие теории разбиения целого числа . [84]

Теория графов

[ редактировать ]
Карта Кенигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов , с указанием реки Прегель и мостов.

В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как « Семь мостов Кенигсберга» . [85] Город Кенигсберг был в Пруссии расположен на реке Прегель и включал в себя два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, можно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: эйлеровой схемы не существует . Это решение считается первой теоремой теории графов . [85]

Эйлер также открыл формулу связывая количество вершин, ребер и граней выпуклого многогранника , [86] и, следовательно, плоского графа . Константа в этой формуле теперь известна как эйлерова характеристика графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта. [87] Исследование и обобщение этой формулы, в частности Коши [88] и Л'Юилье , [89] лежит в основе топологии . [86]

Физика, астрономия и инженерия

[ редактировать ]

Некоторые из величайших успехов Эйлера были в аналитическом решении реальных задач и в описании многочисленных применений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он объединил Лейбница дифференциальное исчисление Ньютона с методом флюксий и разработал инструменты, упрощающие применение исчисления к физическим задачам. Он добился больших успехов в совершенствовании числовой аппроксимации интегралов, изобретя то, что сейчас известно как аппроксимации Эйлера . Наиболее известным из этих приближений является метод Эйлера. [90] и формула Эйлера-Маклорена . [91] [92] [93]

Эйлер помог разработать уравнение балки Эйлера-Бернулли , которое стало краеугольным камнем техники. [94] Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к задачам классической механики , Эйлер применил эти методы к небесным задачам. его работы в области астрономии были отмечены многочисленными премиями Парижской академии За свою карьеру . Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет . и других небесных тел, понимание природы комет и расчет параллакса Солнца Его расчеты способствовали разработке точных таблиц долготы . [95]

Эйлер внес важный вклад в оптику . [96] Ньютона Он не согласился с корпускулярной теорией света . [97] которая была преобладающей теорией того времени. Его статьи по оптике 1740-х годов помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом, станет доминирующим способом мышления, по крайней мере, до развития квантовой теории света . [98]

В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до ее первого наблюдения в конце 19 века, а число Эйлера, используемое в расчетах потока жидкости, взято из его родственных работ по эффективности турбин . [99] В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений невязкого течения в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера . [100]

Эйлер хорошо известен в строительной технике своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на продольный изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб . [101]

Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . [102]

Диаграмма Эйлера

Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их отношений. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно кругов) на плоскости, изображающих множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры и форма кривых не имеют значения; Значение диаграммы в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни одно из них), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют собой непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой совокупность элементов, общих для обоих множеств ( пересечение множеств). Кривая, полностью находящаяся во внутренней зоне другой, представляет собой кривую. подмножество его .

Диаграммы Эйлера (и их усовершенствование до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. [103] С тех пор они получили широкое распространение как способ визуализации комбинаций характеристик. [104]

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал « Tentamen novae theoriae musicae» ( «Попытка новой теории музыки» ), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию как часть математики. Эта часть его работ, однако, не получила широкого внимания и когда-то была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. [105] Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический. [106] например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. [107] Его сочинения о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц при общем объеме его произведений около тридцати тысяч страниц), но они отражают ранние занятия, которые оставались с ним на протяжении всей его жизни. [106]

Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», то есть возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2. м A, где A — «показатель» жанра (т.е. сумма показателей 3 и 5) и 2. м (где «м — неопределенное число, маленькое или большое, лишь бы звуки были слышны» [108] ), выражает, что соотношение сохраняется независимо от количества задействованных октав. Первый жанр с А = 1 — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 м .3 — октава, разделенная на квинту (пятая + четвертая, C–G–C); третий жанр - 2 м .5, большая треть + второстепенная шестая (C–E–C); четвертый - 2 м .3 2 , две четверти и тон (C–F–B –C); пятый - 2 м .3.5 (C–E–G–B–C); и т. д. Жанров 12 (2 м .3 3 .5), 13 (2 м .3 2 .5 2 ) и 14 (2 м .3.5 3 ) являются исправленными вариантами диатонической , хроматической и энгармонической соответственно Древних. Жанр 18 (2 м .3 3 .5 2 ) - «диатонико-хроматический», «используемый обычно во всех композициях», [109] и которая оказывается идентичной системе, описанной Иоганном Маттесоном . [110] Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. [111]

Эйлер разработал особый график — Speculum musicum . [112] [113] чтобы проиллюстрировать диатонико-хроматический жанр, и обсуждал пути на этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше ). Устройство вызвало новый интерес как Тоннец в неоримановой теории (см. Также Решетка (музыка) ). [114]

Далее Эйлер использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени учтивости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – нужно иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. [115] Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме где p i — простые числа, а k i — их показатели. [116]

Личная философия и религиозные убеждения

[ редактировать ]

Эйлер всю свою жизнь был религиозным человеком. [20] Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Письм к немецкой принцессе» и более ранней работы « Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( «Защита божественного откровения от возражений вольнодумцев» ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который считал Библию богодухновенной; Реттунг божественного был прежде всего аргументом в пользу вдохновения Священного Писания . [117] [118]

Эйлер выступил против концепций Лейбница монадизма и философии Христиана Вольфа . [119] Эйлер настаивал на том, что знание частично основано на точных количественных законах, чего не смогли обеспечить монадизм и вольфианская наука. Эйлер также назвал идеи Вольфа «языческими и атеистическими». [120]

Есть известная легенда [121] Вдохновленный спорами Эйлера со светскими философами по поводу религии, действие которого происходит во время второго пребывания Эйлера в Санкт-Петербургской Академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма влияют на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили выступить против француза. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть это доказательство в том виде, в каком оно было представлено в суде. Появился Эйлер, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности заявил об этой нелогичности :

"Сэр, , значит, Бог существует – ответь!»

Дидро, для которого (как говорится в истории) вся математика была бредом, стоял ошеломленный, когда из двора раздались взрывы смеха. Смущенный, он попросил покинуть Россию, и эта просьба была милостиво удовлетворена императрицей. Каким бы забавным ни был этот анекдот, он является апокрифом , учитывая, что сам Дидро занимался математическими исследованиями. [122] Легенда, очевидно, была впервые рассказана Дьедонне Тьебо с прикрасами Огюста Де Моргана . [121]

Памятники

[ редактировать ]
Портрет Эйлера на шестой серии номиналом 10 франков. банкноты
Портрет Эйлера на седьмой серии банкноты номиналом 10 франков.

Эйлер фигурировал на обоих шестых [123] и седьмой [124] серия швейцарских банкнот номиналом 10 франков , а также на многочисленных почтовых марках Швейцарии, Германии и России. В 1782 году он был избран иностранным почётным членом Американской академии искусств и наук . [125] 2002 В его честь был назван астероид Эйлер . [126]

Избранная библиография

[ редактировать ]

Эйлер имеет обширную библиографию . Его книги включают:

Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была опубликована индивидуально. [133] с дополнительной партией из 61 неопубликованного произведения, обнаруженной Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фусса ) и опубликованной в виде сборника в 1862 году. [133] [134] Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестремом и опубликован с 1910 по 1913 год. [135] Каталог, известный как индекс Энестрема , нумерует работы Эйлера от E1 до E866. [136] Архив Эйлера был основан в Дартмутском колледже. [137] до перехода в Математическая ассоциация Америки [138] и, совсем недавно, в Тихоокеанский университет в 2017 году. [139]

В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в XIX в. [133] первый том Opera Omnia вышел в свет в 1911 году. [140] Однако обнаружение новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера стабильно продвигалась: к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году — 80 томов. [141] [12] [14] Эти тома разделены на четыре серии. В первой серии собраны работы по анализу, алгебре и теории чисел; он состоит из 29 томов и насчитывает более 14 000 страниц. 31 том серии II общим объемом 10 660 страниц содержит труды по механике, астрономии и технике. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, содержащая огромное количество корреспонденции, неопубликованных рукописей и заметок Эйлера, начала компиляцию только в 1967 году. После публикации 8 печатных томов серии IV проект решил в 2022 году опубликовать оставшиеся запланированные тома серии IV только в онлайн-формате. . [12] [140] [14]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Эйлер указан в академической генеалогии как эквивалент докторантуры Лагранжа . [1]
  2. ^ Произношение / ˈ juː l ər / YOO -ler считается неправильным. [2] [3] [4] [5]
  3. ^ Цитата появилась в рецензии Гульемо Либри на недавно опубликованный сборник переписки математиков восемнадцатого века: « ...напомним, что сам Лаплас... никогда не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали от его собственными устами: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он — учитель всех нас». « [...напомним, что сам Лаплас,... никогда не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали из его собственных уст: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш мастер во всем».] [142]
  4. ^ Эта цитата появилась в письме Гаусса Паулю Фуссу от 11 сентября 1849 года: [10] « Специальная публикация небольших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма ценным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для различных математических областей, которую невозможно заменить ничем другим » . публикация меньших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма достойным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для различных математических областей, которую нельзя заменить ничем другим.]
  1. ^ Леонард Эйлер в проекте «Математическая генеалогия», дата обращения 2 июля 2021 г.; В архиве
  2. ^ «Эйлер». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.
  3. ^ «Эйлер» . Интернет-словарь Мерриама-Вебстера . 2009. Архивировано из оригинала 25 апреля 2009 года . Проверено 5 июня 2009 г.
  4. ^ «Эйлер, Леонард» . Словарь английского языка американского наследия (5-е изд.). Бостон: Компания Houghton Mifflin . 2011. Архивировано из оригинала 4 октября 2013 года . Проверено 30 мая 2013 г.
  5. ^ Хиггинс, Питер М. (2007). Сети, головоломки и почтальоны: исследование математических связей . Издательство Оксфордского университета . п. 43 . ISBN  978-0-19-921842-4 .
  6. ^ Перейти обратно: а б Данэм 1999 , с. 17.
  7. ^ Перейти обратно: а б Дебнат, Локенат (2010). Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию . Лондон: Издательство Имперского колледжа. стр. VII. ISBN  978-1-84816-525-0 .
  8. ^ Данэм 1999 , с. xiii «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он — учитель всех нас».
  9. ^ Гринштейн, Луиза; Липси, Салли И. (2001). «Эйлер, Леонард (1707–1783)». Энциклопедия математического образования . Рутледж . п. 235. ИСБН  978-0-415-76368-4 .
  10. ^ Фут, Пауль Генрих; Гаусс, Карл Фридрих (11 сентября 1849 г.). «Карл Фридрих Гаус → Пауль Генрих Фусс, Геттинген, 11 сентября 1849 г.» .
  11. ^ «Леонхарди Эулери Opera Omnia (LEOO)» . Центр Бернулли Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.
  12. ^ Перейти обратно: а б с «Работы» . Общество Бернулли-Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.
  13. ^ Гаучи 2008 , стр. 3.
  14. ^ Перейти обратно: а б с д Асад, Арджанг А. (2007). «Леонард Эйлер: Краткая оценка» . Сети . 49 (3): 190–198. дои : 10.1002/net.20158 . S2CID   11298706 .
  15. ^ Бойер, Карл Б. (1 июня 2021 г.). «Леонард Эйлер» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
  16. ^ Перейти обратно: а б с д и ж Гаучи 2008 , стр. 4.
  17. ^ Калингер 2016 , с. 11.
  18. ^ Гаучи 2008 , стр. 5.
  19. ^ Калинджер 1996 , с. 124.
  20. ^ Перейти обратно: а б с д и ж Кноблох, Эберхард ; Лоухиваара, Исландия; Винклер Дж., ред. (май 1983 г.). О творчестве Леонарда Эйлера: Лекции на коллоквиуме Эйлера в мае 1983 года в Берлине (PDF) . Биркхойзер Верлаг . дои : 10.1007/978-3-0348-7121-1 . ISBN  978-3-0348-7122-8 .
  21. ^ Калингер 2016 , с. 32.
  22. ^ Эйлер, Леонард (1727). Dissertatio physica de sono [ Физическая диссертация о звуке ] (на латыни). Базель: Э. и Дж. Р. Турнисиорум. Архивировано из оригинала 6 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
    В переводе на английский как
    Брюс, Ян. «Диссертация Эйлера De Sono: E002» (PDF) . Некоторые математические работы 17-го и 18-го веков, в том числе «Начала» Ньютона, «Механика» Эйлера, «Введение в анализ» и т. д., были переведены в основном с латыни на английский язык . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2016 года . Проверено 12 июня 2021 г.
  23. ^ Перейти обратно: а б с д и Калинджер 1996 , с. 125.
  24. ^ Перейти обратно: а б «Парижская академия» . Архив Эйлера . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 30 июля 2021 года . Проверено 29 июля 2021 г.
  25. ^ Перейти обратно: а б с Калинджер 1996 , с. 156.
  26. ^ Калинджер 1996 , стр. 121–166.
  27. ^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Николаус (II) Бернулли» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс . Проверено 2 июля 2021 г.
  28. ^ Калинджер 1996 , стр. 126–127.
  29. ^ Калинджер 1996 , с. 127.
  30. ^ Перейти обратно: а б с Калинджер 1996 , с. 126.
  31. ^ Перейти обратно: а б с Калинджер 1996 , с. 128.
  32. ^ Калинджер 1996 , стр. 128–129.
  33. ^ Перейти обратно: а б Геккер и Эйлер 2007 , с. 402 .
  34. ^ Перейти обратно: а б с д Калинджер 1996 , стр. 157–158.
  35. ^ Гаучи 2008 , стр. 7.
  36. ^ Эйлер, Леонард (1787). «Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам» [Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам]. Императорская Петрополитенская академия наук (на латыни). 1 . Петр Великий: 1–880. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
  37. ^ Перейти обратно: а б с д Данхэм 1999 , стр. xxiv–xxv.
  38. ^ Стен, Йохан К.-Э. (2014). «Академические мероприятия в Санкт-Петербурге». Комета Просвещения . Вита Математика. Том. 17. Биркхойзер . стр. 119–135. дои : 10.1007/978-3-319-00618-5_7 . ISBN  978-3-319-00617-8 . См., в частности, сноску 37, с. 131.
  39. ^ Перейти обратно: а б с д Финкель, Б.Ф. (1897). «Биография – Леонард Эйлер». Американский математический ежемесячник . 4 (12): 297–302. дои : 10.2307/2968971 . JSTOR   2968971 . МР   1514436 .
  40. ^ Тримбл, Вирджиния ; Уильямс, Томас; Брейчер, Кэтрин; Джаррелл, Ричард; Марше, Джордан Д.; Рагеп, Ф. Джамиль, ред. (2007). Биографическая энциклопедия астрономов . Springer Science+Business Media . п. 992. ИСБН  978-0-387-30400-7 . Доступно на Archive.org.
  41. ^ Кларк, Уильям; Голинский, Ян; Шаффер, Саймон (1999). Науки в просвещенной Европе . Издательство Чикагского университета . п. 395. ИСБН  978-0-226-10940-4 . Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
  42. ^ Перейти обратно: а б Кноблох, Эберхард (2007). «Леонард Эйлер 1707–1783. К 300-летию со дня рождения давнего берлинца по выбору» . Объявления Немецкой ассоциации математиков . 15 (4): 276–288. дои : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID   122271644 .
  43. ^ Перейти обратно: а б Гаучи 2008 , стр. 8–9.
  44. ^ Эйлер, Леонард (1802). Письма Эйлера о различных предметах физики и философии, адресованные немецкой принцессе . Перевод Хантера, Генри (2-е изд.). Лондон: Мюррей и Хайли. Архивировано через интернет-архивы.
  45. ^ Фридрих II Прусский (1927). Письма Вольтера и Фридриха Великого, письмо H 7434, 25 января 1778 г. Ричард Олдингтон . Нью-Йорк: Брентано .
  46. ^ Линч, Питер (сентябрь 2017 г.). «Эйлер и несостоявшийся фонтан Сан-Суси — это математика: Фридрих Великий проигнорировал советы гения математики и физики» . Айриш Таймс . Проверено 26 декабря 2023 г.
  47. ^ Перейти обратно: а б Вучинич, Александр (1960). «Математика в русской культуре» . Журнал истории идей . 21 (2): 164–165. дои : 10.2307/2708192 . ISSN   0022-5037 . JSTOR   2708192 . Архивировано из оригинала 3 августа 2021 года . Проверено 3 августа 2021 г. - через JSTOR .
  48. ^ Гиндикин, Саймон (2007). «Леонард Эйлер». Сказки математиков и физиков . Издательство Спрингер . стр. 171–212. дои : 10.1007/978-0-387-48811-0_7 . ISBN  978-0-387-48811-0 . См., в частности, стр. 182. Архивировано 10 июня 2021 года в Wayback Machine .
  49. ^ Гаучи 2008 , стр. 9.
  50. ^ Кноблох, Эберхард (1998). «Математика в Прусской академии наук 1700–1810». С желанием, Генрих; Кох, Гельмут ; Крамер, Юрг; Шаппахер, Норберт ; Тиле, Эрнст-Йохен (ред.). Математика в Берлине . Базель: Биркхойзер Базель . стр. 1–8. дои : 10.1007/978-3-0348-8787-8_1 . ISBN  978-3-7643-5943-0 .
  51. ^ Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера (1707–1783)». Математика и ремесло историка . Книги CMS по математике. Нью-Йорк: Издательство Springer . стр. 81–140. дои : 10.1007/0-387-28272-6_6 . ISBN  978-0-387-25284-1 .
  52. ^ Эккерт, Майкл (2002). «Эйлер и фонтаны Сан-Суси». Архив истории точных наук . 56 (6): 451–468. дои : 10.1007/s004070200054 . ISSN   0003-9519 . S2CID   121790508 .
  53. ^ Маэхара, Хироши; Мартини, Хорст (2017). «О теореме Лекселла» . Американский математический ежемесячник . 124 (4): 337–344. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . ISSN   0002-9890 . JSTOR   10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . S2CID   125175471 . Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.
  54. ^ Перейти обратно: а б Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера» . В Киньоне, Майкл; ван Бруммелен, Глен (ред.). Математика и ремесло историка: Лекции Кеннета О. Мэя . Издательство Спрингер . стр. 81–140. ISBN  978-0-387-25284-1 .
  55. ^ Перейти обратно: а б Фусс, Николя (1783). «Éloge de M. Léonhard Euler» [Похвальная речь Леонарду Эйлеру]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на французском языке). 1 : 159–212. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Получено 19 мая 2018 г. - из Библиотеки разнообразия бионаследия. В переводе на английский как «Похвальная речь Леонарда Эйлера Николаса Фусса» . MacTutor Архив истории математики . Перевод Глауса, Джона С.Д. Университета Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 года . Проверено 30 августа 2006 г.
  56. ^ Перейти обратно: а б Калинджер 1996 , с. 129.
  57. ^ Геккер и Эйлер 2007 , с. 405 .
  58. ^ Перейти обратно: а б Гаучи 2008 , стр. 6.
  59. ^ Перейти обратно: а б Ивс, Говард В. (1969). «Слепота Эйлера». В математических кругах: Подборка математических рассказов и анекдотов, квадранты III и IV . Приндл, Вебер и Шмидт. п. 48. OCLC   260534353 . Также цитируется Richeson (2012) , стр. 17. Архивировано 16 июня 2021 года в Wayback Machine , процитировано Ивсом.
  60. ^ Перейти обратно: а б Асенси, Виктор; Асенси, Хосе М. (март 2013 г.). «Правый глаз Эйлера: темная сторона яркого ученого». Клинические инфекционные болезни . 57 (1): 158–159. дои : 10.1093/cid/cit170 . ПМИД   23487386 .
  61. ^ Буллок, Джон Д.; Война, Рональд Э.; Хоули, Х. Брэдфорд (апрель 2022 г.). «Почему Леонард Эйлер был слепым?». Британский журнал истории математики . 37 : 24–42. дои : 10.1080/26375451.2022.2052493 . S2CID   247868159 .
  62. ^ Гаучи 2008 , стр. 9–10.
  63. ^ Маркиз де Кондорсе . «Похвальная речь Эйлера – Кондорсе» . Архивировано из оригинала 16 сентября 2006 года . Проверено 30 августа 2006 г.
  64. ^ Калингер 2016 , стр. 530–536.
  65. ^ Перейти обратно: а б Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья . стр. 439–445 . ISBN  978-0-471-54397-8 .
  66. ^ Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Спрингер Верлаг . стр. 166. ИСБН  978-3-540-66572-4 . Архивировано из оригинала 17 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
  67. ^ Перейти обратно: а б Ваннер, Герхард ; Хайрер, Эрнст (2005). Анализ по истории (1-е изд.). Издательство Спрингер . п. 63. ИСБН  978-0-387-77036-9 .
  68. ^ Ферраро 2008 , с. 155.
  69. ^ Моррис, Имоджен И. (24 октября 2023 г.). Механизация использования Эйлером бесконечно малых чисел в доказательстве Базельской задачи (кандидатская диссертация). Эдинбургский университет. дои : 10.7488/ERA/3835 .
  70. ^ Данэм 1999 .
  71. ^ Лагариас, Джеффри К. (октябрь 2013 г.). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . дои : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x . МР   3090422 . S2CID   119612431 .
  72. ^ Фейнман, Ричард (1970). «Глава 22: Алгебра» . Фейнмановские лекции по физике . Том. И. п. 10.
  73. ^ Ферраро 2008 , с. 159.
  74. ^ Дэвис, Филип Дж . (1959). «Интеграл Леонхарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». Американский математический ежемесячник . 66 : 849–869. дои : 10.2307/2309786 . JSTOR   2309786 . МР   0106810 .
  75. ^ Никаллс, RWD (март 2009 г.). «Уравнение четвертой степени: раскрыты инварианты и решение Эйлера». Математический вестник . 93 (526): 66–75. дои : 10.1017/S0025557200184190 . JSTOR   40378672 . S2CID   16741834 .
  76. ^ Данэм 1999 , гл. 3, гл. 4.
  77. ^ Калинджер 1996 , с. 130.
  78. ^ Данэм 1999 , с. 7.
  79. ^ Паттерсон, С.Дж. (1988). Введение в теорию дзета-функции Римана . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 14. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 1. дои : 10.1017/CBO9780511623707 . ISBN  978-0-521-33535-5 . МР   0933558 . Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г.
  80. ^ Шиу, Питер (ноябрь 2007 г.). «Вклад Эйлера в теорию чисел». Математический вестник . 91 (522): 453–461. дои : 10.1017/S0025557200182099 . JSTOR   40378418 . S2CID   125064003 .
  81. ^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. п. 40. ИСБН  978-1-4419-6052-8 . Архивировано из оригинала 27 июля 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г. .
  82. ^ Данэм 1999 , гл. 1, гл. 4.
  83. ^ Колдуэлл, Крис . «Самое большое известное простое число за год» . ПраймПейджс . Университет Теннесси в Мартине . Архивировано из оригинала 8 августа 2013 года . Проверено 9 июня 2021 г.
  84. ^ Хопкинс, Брайан; Уилсон, Робин (2007). «Наука комбинаций Эйлера». Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Стад. Хист. Филос. Математика. Том. 5. Амстердам: Эльзевир. стр. 395–408. МР   3890500 .
  85. ^ Перейти обратно: а б Александерсон, Джеральд (июль 2006 г.). «Мосты Эйлера и Кенигсберга: исторический взгляд» . Бюллетень Американского математического общества . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .
  86. ^ Перейти обратно: а б Ричесон 2012 .
  87. ^ Гиббонс, Алан (1985). Алгоритмическая теория графов . Издательство Кембриджского университета . п. 72. ИСБН  978-0-521-28881-1 . Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
  88. ^ Коши, Ал. (1813 г.). «Исследование многогранников – первая диссертация» . Журнал Политехнической школы (на французском языке). 9 (Тетради 16): 66–86. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
  89. ^ Л'Юлье, С.-А.-Ж. (1812–1813). «Память по полиэдрометрии» . Анналы чистой и прикладной математики . 3 :169–189. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
  90. ^ Мясник, Джон К. (2003). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . п. 45. ИСБН  978-0-471-96758-3 . Архивировано из оригинала 19 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
  91. ^ Калингер 2016 , стр. 96, 137.
  92. ^ Ферраро 2008 , стр. 171–180, Глава 14: Вывод Эйлером формулы суммирования Эйлера-Маклорена.
  93. ^ Миллс, Стелла (1985). «Независимые выводы Леонарда Эйлера и Колина Маклорена формулы суммирования Эйлера-Маклорена». Архив истории точных наук . 33 (1–3): 1–13. дои : 10.1007/BF00328047 . МР   0795457 . S2CID   122119093 .
  94. ^ Охалво, Моррис (декабрь 2007 г.). «Триста лет теории баров». Журнал строительной техники . 133 (12): 1686–1689. дои : 10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686) .
  95. ^ Юшкевич, АП (1971). «Эйлер, Леонард». В Гиллиспи, Чарльз Коулстон (ред.). Словарь научной биографии . Том. 4: Ричард Дедекинд – Фирмикус Матернус. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера . стр. 467–484. ISBN  978-0-684-16964-4 .
  96. ^ Перейти обратно: а б Дэвидсон, Майкл В. (февраль 2011 г.). «Пионеры оптики: Леонард Эйлер и Этьен-Луи Малюс» . Микроскопия сегодня . 19 (2): 52–54. дои : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID   122853454 .
  97. ^ Калинджер 1996 , стр. 152–153.
  98. ^ Дом, RW (1988). «Антиньютоновская» теория света Леонарда Эйлера». Анналы науки . 45 (5): 521–533. дои : 10.1080/00033798800200371 . МР   0962700 .
  99. ^ Ли, Шэнцай (октябрь 2015 г.). «Маленькие пузыри бросают вызов гигантским турбинам: головоломка «Три ущелья»» . Фокус на интерфейсе . 5 (5). Королевское общество : 20150020. doi : 10.1098/rsfs.2015.0020 . ПМЦ   4549846 . ПМИД   26442144 .
  100. ^ Эйлер, Леонард (1757). «Общие принципы состояния равновесия жидкости» . Королевская академия наук и беллетристики Берлина, Мемуары (на французском языке). 11 : 217–273. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. В переводе на английский как Фриш, Уриэль (2008). «Перевод Леонарда Эйлера: Общие принципы движения жидкостей». arXiv : 0802.2383 [ nlin.CD ].
  101. ^ Гаучи 2008 , стр. 22.
  102. ^ Барон, Маргарет Э. (май 1969 г.). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». Математический вестник . 53 (383): 113–125. дои : 10.2307/3614533 . JSTOR   3614533 . S2CID   125364002 .
  103. ^ Лемански, Йенс (2016). «Средство или цель? Об оценке логических диаграмм» . Логико-философские исследования . 14 : 98–122.
  104. ^ Роджерс, Питер (июнь 2014 г.). «Обзор диаграмм Эйлера» (PDF) . Журнал визуальных языков и вычислений . 25 (3): 134–155. дои : 10.1016/j.jvlc.2013.08.006 . S2CID   2571971 . Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 23 июля 2021 г.
  105. ^ Калинджер 1996 , стр. 144–145.
  106. ^ Перейти обратно: а б Пешич, Питер (2014). «Эйлер: математика музыкальной грусти; Эйлер: от звука к свету» . Музыка и создание современной науки . МТИ Пресс . стр. 133–160. ISBN  978-0-262-02727-4 . Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
  107. ^ Тегг, Томас (1829). «Двоичные логарифмы» . Лондонская энциклопедия; или «Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: включающий популярный взгляд на современное состояние знаний», Том 4 . стр. 142–143. Архивировано из оригинала 23 мая 2021 года . Проверено 13 июня 2021 г.
  108. ^ Эйлер 1739 , с. 115.
  109. ^ Эмери, Эрик (2000). Время и Музыка . Лозанна: эпоха человека. стр. 344–345.
  110. ^ Маттесон, Джон (1731). Большая общая басовая школа . Том I. Гамбург. стр. 104–106. ОСЛК   30006387 . Упоминается Эйлером. Так: Маттесон, Джон (1719). Образцовая репетиция органиста . Гамбург. стр. 57–59.
  111. ^ См.:
  112. ^ Эйлер 1739 , с. 147.
  113. ^ Эйлер, Леонард (1774). «Об истинных принципах гармонии, представленных музыкальным зеркалом » . Новые комментарии Петрополитанской академии наук . 18 . Индекс Энестрема 457: 330–353 . Проверено 12 сентября 2022 г.
  114. ^ Голлин, Эдвард (2009). Эйлера «Комбинаторные и трансформационные аспекты Speculum Musicum ». В Клуш, Т.; Нолл, Т. (ред.). Математика и вычисления в музыке: Первая международная конференция, MCM 2007, Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г., Переработанные избранные статьи . Коммуникации в компьютерной и информатике. Том. 37. Спрингер. стр. 406–411. дои : 10.1007/978-3-642-04579-0_40 . ISBN  978-3-642-04578-3 .
  115. ^ Линдли, Марк ; Тернер-Смит, Рональд (1993). Математические модели музыкальных гамм: новый подход . Бонн: Издательство систематического музыковедения. стр. 234–239. ISBN  9783922626664 . OCLC   27789639 . См. также Нолан, Кэтрин (2002). «Теория музыки и математика». В Кристенсене, Т. (ред.). Кембриджская история теории западной музыки . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 278–279. ISBN  9781139053471 . OCLC   828741887 .
  116. ^ Байяш, Патрис (17 января 1997 г.). «Музыка в переводе на математику: Леонард Эйлер» . Коммуникация на конференции Центра Франсуа Вьета «Проблемы перевода в XVIII веке», Нант (на французском языке). Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.
  117. ^ Эйлер, Леонард (1747). Защита божественного откровения от возражений вольнодумцев на ( немецком языке). Индекс Энестрема 92. Берлин: Амброзиус Хауде и Иоганн Карл Шпенер. Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Получено 12 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
  118. ^ Маркиз де Кондорсе (1805 г.). Сравнение с последним изданием писем Эйлера, опубликованным де Кондорсе, с оригинальным изданием: «Защита Откровения против возражений вольнодумцев» г-на Эйлера с последующими мыслями автора о религии, исключенными из последнего издания его писем принцессе Германии (PDF) . Перевод Хо, Энди. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2015 г. Проверено 26 июля 2021 г.
  119. ^ Калинджер 1996 , с. 123.
  120. ^ Калинджер 1996 , стр. 153–154.
  121. ^ Перейти обратно: а б Видеть:
  122. ^ Марти, Жак (1988). «Некоторые аспекты творчества Дидро по общей математике » . Исследование Дидро и энциклопедии (на французском языке). 4 (1): 145–147. Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 года . Проверено 20 апреля 2012 г.
  123. ^ «Швейцарский национальный банк (SNB) – Банкноты шестой серии (1976 г.)» . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
  124. ^ «Швейцарский национальный банк (SNB) – Банкноты седьмой серии (1984 г.)» . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
  125. ^ «Э» (PDF) . Члены Американской академии искусств и наук, 1780–2017 гг . Американская академия искусств и наук . стр. 164–179. Архивировано (PDF) из оригинала 18 февраля 2019 года . Проверено 17 февраля 2019 г. Вступление к Эйлеру находится на стр. 177.
  126. ^ Шмадель, Лутц Д. , изд. (2007). «(2002) Эйлер». Словарь названий малых планет . Берлин , Гейдельберг : Издательство Springer . стр. 162. дои : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . ISBN  978-3-540-29925-7 .
  127. ^ Фрейзер, Крейг Г. (11 февраля 2005 г.). Книга Леонарда Эйлера 1744 года о вариационном исчислении . Эльзевир. ISBN  978-0-08-045744-4 . В Grattan-Guinness 2005 , стр. 168–180.
  128. ^ Эйлер, Леонард (1744). нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом широком . Метод смысле Лес Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
  129. ^ Райх, Карин (11 февраля 2005 г.). «Введение» в анализ . Эльзевир. ISBN  978-0-08-045744-4 . В Grattan-Guinness 2005 , стр. 181–190.
  130. ^ Перейти обратно: а б с д Ферраро, Джованни (2007). «Трактаты Эйлера об анализе бесконечно малых: Введение в анализ бесконечно малых, институты дифференциального исчисления, институты интегрального исчисления ». В Бейкер, Роджер (ред.). Пересмотр Эйлера: Очерки трехсотлетия (PDF) . Хибер-Сити, Юта: Кендрик Пресс. стр. 39–101. МР   2384378 . Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2022 года.
  131. ^ Обзоры введения в анализ бесконечного :
  132. ^ Демидов, С.С. (2005). Трактат по дифференциальному исчислению . Эльзевир. ISBN  978-0080457444 . Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г. В Grattan-Guinness 2005 , стр. 191–198.
  133. ^ Перейти обратно: а б с Кляйнерт, Андреас (2015). «Леонарди Эйлери Opera omnia: Редактирование произведений и переписки Леонарда Эйлера» . Праце Комисджи истории науки ПАУ . 14 . Ягеллонский университет : 13–35. дои : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .
  134. ^ Эйлер, Леонард ; Фусс, Никола Иванович ; Фусс, Пол (1862). Посмертные математические и физические труды, обнаруженные в 1844 году, были подарены Петрополитанской академии наук и опубликованы правнуками автора Паулюсом Хенрикусом Фуссом и Николаусом Фуссом . Императорская академия наук (Россия) . OCLC   9094558695 .
  135. ^ Calinger 2016 , стр. ix–x.
  136. ^ «Индекс Энестрема» . Архив Эйлера . Архивировано из оригинала 9 августа 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
  137. ^ Кнапп, Сьюзен (19 февраля 2007 г.). «Студенты Дартмута создают онлайн-архив исторического математика» . Вокс Дартмута . Дартмутский колледж . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 года.
  138. ^ Клив, Доминик (июнь – июль 2011 г.). «Архив Эйлера переезжает на сайт МАА» . МАА ФОКУС . Математическая ассоциация Америки . Проверено 9 января 2020 г.
  139. ^ «Архив Эйлера» . Тихоокеанский университет . Архивировано из оригинала 7 июня 2021 года.
  140. ^ Перейти обратно: а б Плюсс, Матиас. «Гете-дер-Математика» . Швейцарский национальный научный фонд . Архивировано из оригинала 24 июня 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.
  141. ^ Варадараджан, В.С. (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-3580-7 . OCLC   803144928 .
  142. ^ Либри, Гульемо (январь 1846 г.). «Математическое и физическое соответствие некоторых знаменитых геометров восемнадцатого века...] . Journal des Savants (на французском языке): 51. Архивировано из оригинала 9 августа 2018 года . Проверено 7 апреля 2014 г.

Источники

[ редактировать ]

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 26c6fea3d398ff7db0da1634e335a6b3__1720548960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/26/b3/26c6fea3d398ff7db0da1634e335a6b3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Leonhard Euler - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)