Леонард Эйлер

«Эйлер» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Эйлер (значения) .

Леонард Эйлер
Портрет Якоба Эмануэля Хандмана , 1753 г.
Рожденный	( 1707-04-15 ) 15 апреля 1707 г. Базель , Швейцарская Конфедерация
Умер	18 сентября 1783 г. (76 лет) (76 лет) [ ОС : 7 сентября 1783 г.] ( 1783-09-18 ) Санкт-Петербург , Российская Империя
Альма-матер	Базельский университет ( магистр философии )
Известный	Взносы тезки
Супруги	Катарина Гселл ( м. 1734; умер в 1773) Саломея Эбигейл Гселл ( м. 1776)
Дети	13, включая Иоганна
Научная карьера
Поля	Математика Физика
Учреждения	Императорская Российская Академия Наук Берлинская академия
Диссертация	Dissertatio physica de sono (Физическая диссертация о звуке)   (1726 г.)
Докторантура	Иоганн Бернулли
Докторанты	Иоганн Хеннерт
Другие известные студенты	Николас Фусс Степан Румовский Жозеф-Луи Лагранж (эпистолярный корреспондент) Андерс Йохан Лекселл
Подпись

Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -s , Немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] , Швейцарский стандартный немецкий: [ˈleːɔnhart ˈɔʏlər] ; 15 апреля 1707 — 18 сентября 1783) — швейцарский математик , физик , астроном , географ , логик и инженер, который основал исследования теории графов и топологии и сделал новаторские и влиятельные открытия во многих других областях математики, таких как аналитическая теория чисел , комплексный анализ и исчисление бесконечно малых . Он ввел большую часть современной математической терминологии и обозначений , включая понятие математической функции . Он также известен своими работами в области механики , гидродинамики , оптики , астрономии и теории музыки .

Эйлер считается одним из величайших и плодовитых математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, написавших свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, о чем свидетельствуют цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он мастер из нас всех». Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение трудов Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не сможет заменить его». Его 866 публикаций, а также его переписка собраны в Opera Omnia Leonhard Euler , которая после завершения будет состоять из 81 кварто . Большую часть своей взрослой жизни он провел в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .

Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы. $\pi$ (строчная пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также сначала с помощью обозначения $f(x)$ для значения функции буква $i$ выразить мнимую единицу ${\sqrt {-1}}$, греческая буква $\Sigma$ (заглавная сигма ) для выражения суммирования , греческая буква $\Delta$ (заглавная дельта ) для конечных разностей и строчные буквы для обозначения сторон треугольника, а углы представляются заглавными буквами. Он дал современное определение константы $e$, основание натурального логарифма , ныне известного как число Эйлера .

Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (отчасти как решение проблемы семи мостов Кенигсберга , которая также считается первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, решением нескольких нерешенных проблем теории чисел и анализа, включая знаменитую Базельскую проблему . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма числа вершин и граней минус количество ребер многогранника равна 2, числу, которое сейчас широко известно как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер в Ньютона переформулировал законы физики новые законы, в своей двухтомной работе « Механика» чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес существенный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.

Ранний период жизни

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье Павла III Эйлера, пастора реформатской церкви , и Маргариты (урожденной Брукер), чьи предки включают ряд известных ученых-классиков. Он был старшим из четырех детей, у него были две младшие сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат Иоганн Генрих. Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риэн , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви и Леонард провел большую часть своего детства.

посещал курсы Якоба Бернулли С юных лет Эйлер получил математическое образование у своего отца, который несколькими годами ранее в Базельском университете . Примерно в восемь лет Эйлера отправили жить в дом бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное репетиторство у Йоханнеса Буркхардта, молодого теолога, проявлявшего большой интерес к математике.

В 1720 году, в тринадцатилетнем возрасте, Эйлер поступил в Базельский университет . Поступление в университет в столь юном возрасте в то время не было чем-то необычным. Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (учивший отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер описал Бернулли в своей автобиографии:

«Знаменитый профессор Иоганн Бернулли [...] с особым удовольствием помогал мне в математических науках. Однако от частных занятий он отказался из-за своей занятости. Однако он дал мне гораздо более полезный совет. В случае, если я столкнусь с какими-либо возражениями или трудностями, он предлагал мне бесплатный доступ к нему каждую субботу днем ​​и был достаточно любезен, чтобы прокомментировать собранные трудности, что было сделано с такой желаемой выгодой, что, когда он разрешил одно из моих возражений, сразу исчезли десять других, что, несомненно, является лучшим методом достижения счастливого прогресса в математических науках».

Именно в это время Эйлер при поддержке Бернулли добился согласия своего отца стать математиком, а не пастором.

В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии за диссертацию, в которой сравнивались философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . После этого он поступил на богословский факультет Базельского университета.

В 1726 году Эйлер защитил диссертацию о распространении звука под названием «De Sono». с помощью которого он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. В 1727 году он принял участие в конкурсе на получение призов Парижской академии (проводимом ежегодно, а затем раз в два года, начиная с 1720 года). впервые. Задача, поставленная в том году, заключалась в том, чтобы найти лучший способ разместить мачты на корабле. Победу одержал Пьер Бугер , ставший известным как «отец морской архитектуры», а Эйлер занял второе место. За эти годы Эйлер участвовал в этом соревновании 15 раз. выиграл 12 из них.

Карьера

Санкт-Петербург

1957 года, Марка Советского Союза посвященная 250-летию Эйлера. В тексте написано: 250 лет со дня рождения великого математика, академика Леонарда Эйлера.

Два сына Иоганна Бернулли, Даниил и Николаус , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру уверенность, что они порекомендуют его на должность, когда она будет доступна. 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. Когда Дэниел занял должность своего брата в отделе математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность физиолога занял его друг Эйлер. В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял это предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, так как безуспешно подал заявку на должность профессора физики в Базельском университете.

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. Его повысили с младшей должности медицинского факультета академии до должности на математическом факультете. Он поселился у Даниэля Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. Эйлер освоил русский язык, обосновался в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу медиком в российский флот .

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных ученых, таких как Эйлер. Благодетельница академии Екатерина I , продолжавшая прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла еще до приезда Эйлера в Петербург. Русское консервативное дворянство пришло к власти после восшествия на престол двенадцатилетнего Петра II . Дворянство, подозрительно относившееся к иностранным учёным академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег, препятствовало поступлению иностранных и неаристократических студентов в гимназии и университеты.

Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находящаяся под немецким влиянием Анна Русская . Эйлер быстро поднялся по карьерной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики. Он также покинул ВМФ России, отказавшись от звания лейтенанта . Два года спустя Даниэль Бернулли, уставший от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер сменил его на посту заведующего математическим факультетом. В январе 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гселля . Фридрих II предпринял попытку воспользоваться услугами Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер сначала предпочел остаться в Санкт-Петербурге. Но после смерти императрицы Анны и Фридриха II согласился заплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер зарабатывал в России), он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, аргументируя это тем, что ему нужен более мягкий климат для зрения. Российская академия дала свое согласие и будет платить ему как одному из ее активных членов 200 рублей в год.

Берлин

Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер в июне 1741 года покинул Санкт-Петербург, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий Прусский . Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием « Introductio in analysin infinitorum» , а в 1755 году — текст по дифференциальному исчислению под названием « Institutiones Calculi Differentialis» . В 1755 году он был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук. и Французской академии наук . Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью.

Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. В начале 1760-х годов он написал ей более 200 писем, которые позже были собраны в том, озаглавленный « Письма Эйлера на различные темы натуральной философии, адресованные немецкой принцессе» . Эта работа содержала изложение Эйлера различных предметов, касающихся физики и математики, и давала ценную информацию о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в США и стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность « Письм» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного своему делу ученого-исследователя.

выдвинул ее кандидатом на пост президента Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что Жан ле Рон д'Аламбер , Фридрих II назвал себя ее президентом. При дворе прусского короля был большой круг интеллектуалов, и он нашел математика неискушенным и плохо осведомленным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, глубоко религиозным человеком, который никогда не подвергал сомнению существующий общественный порядок или общепринятые убеждения. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , пользовавшегося высоким авторитетом при дворе Фридриха. Эйлер не был опытным спорщиком и часто спорил по темам, о которых мало что знал, что делало его частой мишенью остроумия Вольтера. Фредерик также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:

Мне хотелось иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в водоем, откуда она должна упасть обратно по каналам, выплеснувшись наконец в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к водоему. Суета сует! Суета геометрии!

Однако разочарование почти наверняка было неоправданным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, похоже, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть неблагополучным.

На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесные связи с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 статей в России. Он также помогал студентам петербургской академии и иногда размещал русских студентов в своем доме в Берлине. В 1760 году, во время Семилетней войны , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, причиненный имуществу Эйлера, а российская императрица Елизавета позже добавила дополнительную выплату в размере 4000 рублей - непомерную сумму по тем временам. Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию.

В годы пребывания в Берлине (1741–1766) Эйлер находился на пике своей продуктивности. Он написал 380 произведений, 275 из которых были опубликованы. Сюда входило 125 мемуаров в Берлинской академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. Эйлера «Introductio in Analysin Infinitorum» было опубликовано в двух частях в 1748 году. Помимо своих собственных исследований, Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом, а также публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. Он даже участвовал в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля.

Вернуться в Россию

Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую Академию. Условия его были весьма непомерными — годовое жалованье в 3000 рублей, пенсия жене и обещание высоких должностей сыновьям. В университете ему помогал его студент Андерс Йохан Лексель . Во время проживания в Петербурге пожар 1771 года уничтожил его дом.

Личная жизнь

7 января 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гселля , художника академической гимназии в Санкт-Петербурге. Молодая пара купила дом на берегу Невы .

Из тринадцати их детей только пятеро пережили детство. три сына и две дочери. Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах .

Через три года после смерти жены в 1773 г. Эйлер женился на своей сводной сестре Саломеи Эбигейл Гзель (1723–1794). Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.

Его брат Иоганн Генрих поселился в Петербурге в 1735 году и работал художником в академии.

Ухудшение зрения

Эйлера Зрение ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он едва не умер от лихорадки, он почти ослеп на правый глаз. Эйлер винил в своем состоянии картографию , которую он выполнял для Петербургской Академии: но причина его слепоты остается предметом спекуляций. Зрение Эйлера этим глазом ухудшилось во время его пребывания в Германии до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер отметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». В 1766 году у него была обнаружена катаракта в левом глазу. Хотя лечение катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге привели к тому, что он почти полностью ослеп и на левый глаз. Однако его состояние, похоже, мало повлияло на его продуктивность. С помощью его писцов продуктивность Эйлера во многих областях исследований возросла; а в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью каждую неделю.

Смерть

В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Йоханом Лекселлом, когда тот потерял сознание и умер от кровоизлияния в мозг . Якоб фон Штелин написал короткий некролог для Российской академии наук , а русский математик Николас Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробный панегирик: который он произнес на мемориальном митинге. В своей хвалебной речи Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе писал:

Могила Эйлера в Александро-Невской лавре.

он перестал рассчитывать и жить .

Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив ему заросшую могильную доску. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро -Невской лавры .

Вклад в математику и физику

Основная статья: Вклад Леонарда Эйлера в математику

Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он — выдающаяся фигура в истории математики; в случае печати его работы, многие из которых представляют фундаментальный интерес, займут от 60 до 80 томов- кварто. С именем Эйлера связано большое количество тем . Работа Эйлера в среднем составляет 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти совокупного объема работ по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке.

Математические обозначения

Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений в своих многочисленных и широко распространенных учебниках. В частности, он ввел понятие функции . и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f, применяемой к аргументу x . Он также ввел современные обозначения тригонометрических функций , букву е для основания натурального логарифма (теперь также известного как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву i для обозначения мнимой единицы . Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя оно принадлежит валлийскому математику Уильяму Джонсу .

Анализ

Развитие исчисления бесконечно малых было в авангарде математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение математического анализа стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости. (в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим большим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и развитием степенных рядов , выражением функций в виде сумм бесконечного числа членов. такой как $$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).$$

Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить Базельскую задачу , найдя сумму обратных квадратов каждого натурального числа в 1735 году (более подробный аргумент он представил в 1741 году). Базельская задача была первоначально поставлена ​​Пьетро Менголи в 1644 году, а к 1730-м годам стала знаменитой открытой задачей, популяризированной Якобом Бернулли и безуспешно атакованной многими ведущими математиками того времени. Эйлер обнаружил, что:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$$

Эйлер ввел константу $$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,$$ теперь известная как константа Эйлера или константа Эйлера-Машерони, и изучил ее взаимосвязь с гармоническим рядом , гамма-функцией и значениями дзета-функции Римана .

Геометрическая интерпретация формулы Эйлера.

Эйлер ввёл использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математического применения логарифмов. Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и обнаружил ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа φ (которое принимается за радианы) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет условию $$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi$$

назвал «самой замечательной формулой в математике» которую Ричард П. Фейнман .

Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера . $$e^{i\pi }+1=0$$

Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию. и представил новый метод решения уравнений четвертой степени . Он нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа, позволяющее свести оптимизационные задачи в этой области к решению дифференциальных уравнений .

Эйлер был пионером в использовании аналитических методов для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и ввёл новую область исследований — аналитическую теорию чисел . Открывая основы этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию цепных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел , используя расхождение гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как простые числа распределяются . Работы Эйлера в этой области привели к разработке теоремы о простых числах .

Теория чисел

Интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием Кристиана Гольдбаха . его друг по Петербургской Академии. Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, например, гипотезу о том, что все числа вида ${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$ ( Числа Ферма ) являются простыми.

Эйлер связал природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана .

Эйлер изобрел функцию тотента φ( n ), количество натуральных чисел, меньших или равных целому числу n, которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил маленькую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая очаровывала математиков со времен Евклида . Он доказал, что связь, показанная между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он ранее доказал), была взаимно однозначной, результат, также известный как теорема Евклида-Эйлера . Эйлер также выдвинул гипотезу о квадратичном законе взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работ Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . К 1772 году Эйлер доказал, что 2 ³¹ − 1 = 2 147 483 647 — простое число Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года.

Эйлер также внес значительный вклад в развитие теории разбиения целого числа .

Теория графов

Карта Кенигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов , с указанием реки Прегель и мостов.

В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как « Семь мостов Кенигсберга» . Город Кенигсберг был в Пруссии расположен на реке Прегель и включал в себя два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, можно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: эйлеровой схемы не существует . Это решение считается первой теоремой теории графов .

Эйлер также открыл формулу $V-E+F=2$ связывая количество вершин, ребер и граней выпуклого многогранника , и, следовательно, плоского графа . Константа в этой формуле теперь известна как эйлерова характеристика графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта. Исследование и обобщение этой формулы, в частности Коши и Л'Юилье , лежит в основе топологии .

Физика, астрономия и инженерия

Некоторые из величайших успехов Эйлера были в аналитическом решении реальных задач и в описании многочисленных применений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант e и π , непрерывных дробей и интегралов. Он объединил Лейбница дифференциальное исчисление Ньютона с методом флюксий и разработал инструменты, упрощающие применение исчисления к физическим задачам. Он добился больших успехов в совершенствовании числовой аппроксимации интегралов, изобретя то, что сейчас известно как аппроксимации Эйлера . Наиболее известным из этих приближений является метод Эйлера. и формула Эйлера-Маклорена .

Эйлер помог разработать уравнение балки Эйлера-Бернулли , которое стало краеугольным камнем техники. Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к задачам классической механики , Эйлер применил эти методы к небесным задачам. его работы в области астрономии были отмечены многочисленными премиями Парижской академии За свою карьеру . Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет . и других небесных тел, понимание природы комет и расчет параллакса Солнца Его расчеты способствовали разработке точных таблиц долготы .

Эйлер внес важный вклад в оптику . Ньютона Он не согласился с корпускулярной теорией света . которая была преобладающей теорией того времени. Его статьи по оптике 1740-х годов помогли гарантировать, что волновая теория света, предложенная Христианом Гюйгенсом, станет доминирующим способом мышления, по крайней мере, до развития квантовой теории света .

В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до ее первого наблюдения в конце 19 века, а число Эйлера, используемое в расчетах потока жидкости, взято из его родственных работ по эффективности турбин . В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений невязкого течения в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера .

Эйлер хорошо известен в строительной технике своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на продольный изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб .

Логика

Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера .

Диаграмма Эйлера

Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их отношений. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно кругов) на плоскости, изображающих множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры и форма кривых не имеют значения; Значение диаграммы в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни одно из них), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют собой непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой совокупность элементов, общих для обоих множеств ( пересечение множеств). Кривая, полностью находящаяся во внутренней зоне другой, представляет собой кривую. подмножество его .

Диаграммы Эйлера (и их усовершенствование до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. С тех пор они получили широкое распространение как способ визуализации комбинаций характеристик.

Музыка

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал « Tentamen novae theoriae musicae» ( «Попытка новой теории музыки» ), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию как часть математики. Эта часть его работ, однако, не получила широкого внимания и когда-то была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический. например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. Его сочинения о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц при общем объеме его произведений около тридцати тысяч страниц), но они отражают ранние занятия, которые оставались с ним на протяжении всей его жизни.

Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», то есть возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2. ^м A, где A — «показатель» жанра (т.е. сумма показателей 3 и 5) и 2. ^м (где «м — неопределенное число, маленькое или большое, лишь бы звуки были слышны» ), выражает, что соотношение сохраняется независимо от количества задействованных октав. Первый жанр с А = 1 — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 ^м .3 — октава, разделенная на квинту (пятая + четвертая, C–G–C); третий жанр - 2 ^м .5, большая треть + второстепенная шестая (C–E–C); четвертый - 2 ^м .3 ² , две четверти и тон (C–F–B ♭ –C); пятый - 2 ^м .3.5 (C–E–G–B–C); и т. д. Жанров 12 (2 ^м .3 ³ .5), 13 (2 ^м .3 ² .5 ² ) и 14 (2 ^м .3.5 ³ ) являются исправленными вариантами диатонической , хроматической и энгармонической соответственно Древних. Жанр 18 (2 ^м .3 ³ .5 ² ) - «диатонико-хроматический», «используемый обычно во всех композициях», и которая оказывается идентичной системе, описанной Иоганном Маттесоном . Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7.

Эйлер разработал особый график — Speculum musicum . чтобы проиллюстрировать диатонико-хроматический жанр, и обсуждал пути на этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше ). Устройство вызвало новый интерес как Тоннец в неоримановой теории (см. Также Решетка (музыка) ).

Далее Эйлер использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени учтивости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – нужно иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме $$ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,$$ где p _i — простые числа, а k _{i —} их показатели.

Личная философия и религиозные убеждения

Эйлер всю свою жизнь был религиозным человеком. Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Письм к немецкой принцессе» и более ранней работы « Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( «Защита божественного откровения от возражений вольнодумцев» ). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который считал Библию богодухновенной; Реттунг божественного был прежде всего аргументом в пользу вдохновения Священного Писания .

Эйлер выступил против концепций Лейбница монадизма и философии Христиана Вольфа . Эйлер настаивал на том, что знание частично основано на точных количественных законах, чего не смогли обеспечить монадизм и вольфианская наука. Эйлер также назвал идеи Вольфа «языческими и атеистическими».

Есть известная легенда Вдохновленный спорами Эйлера со светскими философами по поводу религии, действие которого происходит во время второго пребывания Эйлера в Санкт-Петербургской Академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма влияют на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили выступить против француза. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть это доказательство в том виде, в каком оно было представлено в суде. Появился Эйлер, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности заявил об этой нелогичности :

"Сэр, ${\frac {a+b^{n}}{n}}=x$, значит, Бог существует – ответь!»

Дидро, для которого (как говорится в истории) вся математика была бредом, стоял ошеломленный, когда из двора раздались взрывы смеха. Смущенный, он попросил покинуть Россию, и эта просьба была милостиво удовлетворена императрицей. Каким бы забавным ни был этот анекдот, он является апокрифом , учитывая, что сам Дидро занимался математическими исследованиями. Легенда, очевидно, была впервые рассказана Дьедонне Тьебо с прикрасами Огюста Де Моргана .

Памятники

Основная статья: Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера

Портрет Эйлера на шестой серии номиналом 10 франков. банкноты

Портрет Эйлера на седьмой серии банкноты номиналом 10 франков.

Эйлер фигурировал на обоих шестых и седьмой серия швейцарских банкнот номиналом 10 франков , а также на многочисленных почтовых марках Швейцарии, Германии и России. В 1782 году он был избран иностранным почётным членом Американской академии искусств и наук . 2002 В его честь был назван астероид Эйлер .

Избранная библиография

Эйлер имеет обширную библиографию . Его книги включают:

• Механика (1736)
• Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума и минимума, или решение изопериметрической задачи в самом широком смысле принятого (1744 г.) ( Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом широком смысле )
• Введение в анализ бесконечно малых (1748 г.) ( Введение в анализ бесконечного )
• Учреждения дифференциального исчисления (1755 г.) ( Основы дифференциального исчисления )
• Полное руководство по алгебре (1765 г.) ( Элементы алгебры )
• Институты интегрального исчисления (1768–1770) ( Основы интегрального исчисления )
• Письма к немецкой принцессе (1768–1772)
• Dioptrica , изданная в трёх томах, начиная с 1769 года.

Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была опубликована индивидуально. с дополнительной партией из 61 неопубликованного произведения, обнаруженной Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фусса ) и опубликованной в виде сборника в 1862 году. Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестремом и опубликован с 1910 по 1913 год. Каталог, известный как индекс Энестрема , нумерует работы Эйлера от E1 до E866. Архив Эйлера был основан в Дартмутском колледже. до перехода в Математическая ассоциация Америки и, совсем недавно, в Тихоокеанский университет в 2017 году.

В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в XIX в. первый том Opera Omnia вышел в свет в 1911 году. Однако обнаружение новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера стабильно продвигалась: к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году — 80 томов. Эти тома разделены на четыре серии. В первой серии собраны работы по анализу, алгебре и теории чисел; он состоит из 29 томов и насчитывает более 14 000 страниц. 31 том серии II общим объемом 10 660 страниц содержит труды по механике, астрономии и технике. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, содержащая огромное количество корреспонденции, неопубликованных рукописей и заметок Эйлера, начала компиляцию только в 1967 году. После публикации 8 печатных томов серии IV проект решил в 2022 году опубликовать оставшиеся запланированные тома серии IV только в онлайн-формате. .

• 
  Иллюстрация из книги «Решение проблемы... а. 1743 г. предложено опубликовать в Acta Eruditorum , 1744 г.
• 
  Титульный лист метода Эйлера нахождения кривых линий.
• 
  Карта мира Эйлера 1760 года.
• 
  Карта Африки Эйлера 1753 года.

Ссылки

Источники

• Калинджер, Рональд (1996). «Леонард Эйлер: Первые петербургские годы (1727–1741)» . История математики . 23 (2): 121–166. дои : 10.1006/hmat.1996.0015 .
• Калинджер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения . Издательство Принстонского университета . ISBN  978-0-691-11927-4 . Архивировано из оригинала 13 июля 2017 года . Проверено 4 января 2017 г.
• Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Господин всех нас . Математические изложения Дольчиани. Том. 22. Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-328-3 . Архивировано из оригинала 13 июня 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
• Эйлер, Леонард (1739). Tentamen novae theoriae musicae [ Попытка новой теории музыки, изложенной во всей ясности, согласно наиболее обоснованным принципам гармонии ] (на латыни). СПб.: Императорская Академия наук . Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
• Ферраро, Джованни (2008). Возникновение и развитие теории рядов до начала 1820-х годов . Springer Science+Business Media . ISBN  978-0-387-73467-5 . Архивировано из оригинала 29 мая 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
• Геккер, ИК; Эйлер, А.А. (2007). «Семья и потомки Леонарда Эйлера». В Боголюбов Николай Николаевич ; Михайлов, ГК; Юшкевич, Адольф Павлович (ред.). Эйлер и современная наука . Перевод Роберта Бернса. Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-564-5 . Архивировано из оригинала 18 мая 2016 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
• Гаучи, Уолтер (2008). «Леонард Эйлер: его жизнь, человек и его произведения». Обзор СИАМ . 50 (1): 3–33. Бибкод : 2008SIAMR..50....3G . CiteSeerX   10.1.1.177.8766 . дои : 10.1137/070702710 . ISSN   0036-1445 . JSTOR   20454060 .
• Граттан-Гиннесс, Айвор , изд. (2005). Знаковые сочинения по западной математике 1640–1940 гг . Эльзевир. ISBN  978-0-08-045744-4 .
• Ричесон, Дэвид С. (2012). Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Издательство Принстонского университета . п. 17 . ISBN  978-1-4008-3856-1 .

Дальнейшее чтение

• Брэдли, Роберт Э.; Д'Антонио, Лоуренс А.; Сандифер, Чарльз Эдвард (2007). Эйлеру 300 лет: признание . Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-565-2 .
• Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, Чарльз Эдвард, ред. (2007). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Исследования по истории и философии математики. Том. 5. Эльзевир. ISBN  978-0-444-52728-8 . Архивировано из оригинала 19 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
• Данэм, Уильям (2007). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве . Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-558-4 .
• Хашер, Ксавьер; Пападопулос, Атанас, ред. (2015). Леонард Эйлер: математик, физик и теоретик музыки (на французском языке). Париж: издания CNRS. ISBN  978-2-271-08331-9 . Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
• Сандифер, К. Эдвард (2007). Ранняя математика Леонарда Эйлера . Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-559-1 .
• Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-563-8 .
• Сандифер, К. Эдвард (2015). Как Эйлер сделал еще больше . Математическая ассоциация Америки . ISBN  978-0-88385-584-3 . Архивировано из оригинала 16 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
• Шатшнайдер, Дорис , изд. (ноябрь 1983 г.). «Дань Леонарду Эйлеру 1707–1783 (специальный выпуск)». Журнал «Математика» . 56 (5). JSTOR   i326726 .

Внешние ссылки

• Леонард Эйлер в проекте «Математическая генеалогия»
• Архив Эйлера : Состав сочинений Эйлера с переводами на английский язык.
• Опера-Бернулли-Эйлер (сборник произведений Эйлера, семьи Бернулли и современных коллег)
• Трехсотлетие Эйлера, 2007 г.
• Общество Эйлера
• Эйлериана в Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук
• Генеалогическое древо Эйлера
• Переписка Эйлера с Фридрихом Великим, королем Пруссии.
• Работы Леонарда Эйлера в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Леонард Эйлер» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
• Данэм, Уильям (24 сентября 2009 г.). «Вечер с Леонардом Эйлером» . Ютуб . Колледж Мюленберга : philoctetesctr (опубликовано 9 ноября 2009 г.). (выступление Уильяма Данэма на сайте )
• Данэм, Уильям (14 октября 2008 г.). «Дань Эйлеру - Уильям Данэм» . Ютуб . Колледж Мюленберга: Пуанкаре Двойственность (опубликовано 23 ноября 2011 г.).