Исчисление

Исчисление - это математическое исследование непрерывных изменений, так же, как геометрия - это изучение формы, а алгебра - это изучение обобщений арифметических операций .

Первоначально называемый бесконечно массивным исчислением или «исчисление бесконечно -массивных », он имеет две основные ветви, дифференциальное исчисление и интегральное исчисление . Первые касаются мгновенных показателей изменений и склонов кривых , в то время как последний касается накопления величин и областей под кривыми или между кривыми. Эти две ветви связаны друг с другом фундаментальной теоремой исчисления . Они используют фундаментальные представления о сближении бесконечных последовательностей и бесконечных серий с четко определенным пределом . ^{[ 1 ]}

Бесконечно массивное исчисление было разработано независимо в конце 17 -го века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбнисом . ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Более поздняя работа, включая кодификацию идеи ограничений , поставила эти разработки на более прочную концептуальную основу. Сегодня Calculus широко распространено в науке , инженерии и социальных науках . ^{[ 4 ]}

Этимология

В математическом образовании исчисление является аббревиатурой как бесконечно математического исчисления, так и интегрального исчисления , которое обозначает курсы элементарного математического анализа .

На латыни словский исчисление означает «маленькая галька» ( миниатюрный CALX , что означает «камень») , значение, которое все еще сохраняется в медицине . Потому что такая камешка использовалась для подсчета расстояний, ^{[ 5 ]} Подсчетом голосов и выполнения арифметики абакуса , слово стало латинским словом для расчета . В этом смысле он использовался на английском языке, по крайней мере, еще в 1672 году, за несколько лет до публикаций Лейбниза и Ньютона, которые написали свои математические тексты на латыни. ^{[ 6 ]}

В дополнение к дифференциальному исчислению и интегральному исчислению, этот термин также используется для именования конкретных методов вычислений или теорий, которые подразумевают какое -то вид вычисления. Примеры этого использования включают в себя исчисление пропозиционирования , исчисление RICCI , исчисление вариаций , исчисление Lambda , последовательное исчисление и исчисление процесса . Кроме того, термин «исчисление» по -разному применяется в этике и философии, для таких систем, как Бентама вычисление , и этическое исчисление .

История

Современное исчисление было разработано в Европе 17-го века Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбнисом (независимо друг от друга, впервые публикуясь примерно в то же время), но его элементы впервые появились в древнем Египте, а затем в Греции, затем в Китае и на Ближнем Востоке, и еще позже снова в средневековой Европе и Индии.

Древние предшественники

Египет

Расчеты объема и площади , одной из целей интегрального исчисления, можно найти в египетском московском папирусе ( ок. 1820 г. до н.э.), но формулы являются простыми инструкциями, без указания того, как они были получены. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

Греция

Закладывая основы для интегрального исчисления и предвещающего концепцию предела, древнегреческий математик Eudoxus Cnidus ( ок. 390 - 337 до н.э.) разработал метод истощения , чтобы доказать формулы для объемов конуса и пирамиды.

В течение эллинистического периода этот метод был дополнительно разработан Архимедами ( ок. 287 - ок. 212 г. до н.э. ), которые объединили его с концепцией невидимых , предшественника бесконечно -массивных - при этом он решил решить несколько проблем, которые теперь лечится интегральным искулом. В методах механических теорем, которые он описывает, например, расчет центр тяжести твердого полушария , центр тяжести фруктового кругового параболоида и площади области, ограниченной параболой и одной из ее секундных линий Полем ^{[ 9 ]}

Китай

Позже метод истощения был открыт независимо в Китае в Лю Хуи 3 -м веке нашей эры, чтобы найти область круга. ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} В 5 веке нашей эры в Гензехи , сыне Чонгжи , создан и метод ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} Позже это будет называться принцип Кавальери, чтобы найти объем сферы .

Средневековый

Ибн аль-Хейтхам , арабский математик и физик 11-го века

Индийский математик и астроном Бхаскара II

Средний Восток

На Ближнем Востоке Хасан ибн аль-Хейтхэм , латинизированный как Алхазен ( ок. 965 -ок. 1040 г. н.э.), вывели формулу для суммы четвертых полномочий . Он использовал результаты, чтобы выполнить то, что теперь будет называться интеграцией этой функции, где формулы для сумм интегральных квадратов и четвертых сил позволили ему рассчитать объем параболоида . ^{[ 14 ]}

Индия

Bhāskara II (C.1114–1185) был знаком с некоторыми представлениями о дифференциальном исчислении и предположил, что «дифференциальный коэффициент» исчезает при экстремальном значении функции. ^{[ 15 ]} В своей астрономической работе он дал процедуру, которая выглядела как предшественник бесконечно малых методов. А именно, если $x\approx y$ затем $\sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y).$ Это можно интерпретировать как открытие, что косинус является производной синуса . ^{[ 16 ]} В 14-м веке индийские математики дали нерешительный метод, напоминающий дифференциацию, применимую к некоторым тригонометрическим функциям. Мадхава из Сангамаграмы и Школа астрономии и математики в Керале, изложенные компоненты исчисления, но, по словам Виктора Дж. Каца, они не смогли «объединить много разных идей в соответствии с двумя объединяющими темами производной и интегральной , показывают связь между два, и превратите исчисление в отличный инструмент решения проблем, который у нас есть сегодня ». ^{[ 14 ]}

Современный

стереометрия Johannes Kepler Рабочая Doliorum (1615) сформировала основу интегрального исчисления. ^{[ 17 ]} Кеплер разработал метод для расчета площади эллипса, добавив длину многих радиусов, взятых из фокуса эллипса. ^{[ 18 ]}

Значительной работой был трактат, происходящее - это методы Кеплера, ^{[ 18 ]} Написано Бонавентурской Кавальери , которая утверждала, что объемы и области должны быть рассчитаны как суммы объемов и областей бесконечно-массивных поперечных сечений. Идеи были похожи на метод Архимеда , но, как полагают, этот трактат был потерян в 13 -м веке и был заново открыт только в начале 20 -го века, и поэтому он был бы неизвестен Кавальери. Работа Кавальери не уважалась, поскольку его методы могли привести к ошибочным результатам, и в первую очередь введенные он бесконечно, которые он ввел.

Формальное исследование исчисления, собравших бесконечные магистрали Кавальери с исчислением конечных различий, развивающихся в Европе примерно в одно и то же время. Пьер де Фермат , утверждая, что он позаимствовал у Диофанта , представил концепцию адекватности , которая представляла собой равенство вплоть до бесконечно -максимального термина. ^{[ 19 ]} Комбинация была достигнута Джоном Уоллисом , Исааком Барроу и Джеймсом Грегори , последними двумя доказывающими предшественниками второй фундаментальной теоремы исчисления около 1670 года. ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]}

Правило продукта и правило цепи , ^{[ 22 ]} представления о более высоких производных и серии Тейлора , ^{[ 23 ]} и аналитических функций ^{[ 24 ]} использовались Исааком Ньютоном в уникальной нотации, которую он применил для решения проблем математической физики . В своих работах Ньютон перефразировал свои идеи в соответствии с математической идиомой того времени, заменив расчеты бесконечно -массивными эквивалентными геометрическими аргументами, которые считались вне упрека. Он использовал методы исчисления для решения проблемы планетарного движения, формы поверхности вращающейся жидкости, недостатков Земли, движения веса, скользящего по циклоиду и многие другие проблемы, обсуждаемые в его принципиальной математике ( 1687). В других работах он разработал серийные расширения для функций, включая дробные и иррациональные силы, и было ясно, что он понял принципы серии Тейлора . Он не опубликовал все эти открытия, и в настоящее время бесконечно малые методы все еще считались неудовлетворительными. ^{[ 25 ]}

Готфрид Вильгельм Лейбниц был первым, кто четко заявил о правилах исчисления.

Исаак Ньютон разработал использование исчисления в своих законах движения и универсальной гравитации .

Эти идеи были организованы в истинном исчислении бесконечных матчей Готфридом Вильгельмом Лейбнисом изначально обвинили в плагиате . , которого Ньютон ^{[ 26 ]} В настоящее время он считается независимым изобретателем и участником исчисления. Его вклад заключался в том, чтобы предоставить четкий набор правил для работы с бесконечно максимальными количествами, позволяя вычислять второе и высшее производные, а также предоставление правила продукта и правила цепи в их дифференциальных и интегральных формах. В отличие от Ньютона, Лейбниц приложил кропотливые усилия в своем выборе обозначения. ^{[ 27 ]}

Сегодня Лейбниц и Ньютон обычно оба дают кредит за независимо изобретения и разработки исчисления. Ньютон был первым, кто применил исчисление к общей физике . Лейбниц разработал большую часть обозначений, используемых в исчислении сегодня. ^{[ 28 ]}^: 51–52 Основным пониманием, которое предоставили и Ньютон, и Лейбниц, были законы дифференциации и интеграции, подчеркивая, что дифференциация и интеграция являются обратными процессами, вторыми и более высокими производными и понятием приблизительного полиномиального ряда.

Когда Ньютон и Лейбниц впервые опубликовали свои результаты, произошли большие противоречия по поводу того, что математик (и, следовательно, какая страна) заслужил кредит. Ньютон получил свои результаты в первую очередь (позже будет опубликован в своем методе потока ), но Лейбниц сначала опубликовал свой « nova methodus pro maximis et minimis ». Ньютон утверждал, что Лейбниц украл идеи из своих неопубликованных заметок, которыми Ньютон поделился с несколькими членами Королевского общества . Это противоречие в течение многих лет разделила англоязычные математики от континентальных европейских математиков на ущерб английской математике. ^{[ 29 ]} Тщательное изучение документов Лейбниза и Ньютона показывает, что они достигли своих результатов независимо, когда Лейбниц начал первым с интеграцией и Ньютоном с дифференциацией. Однако именно Лейбник дал новой дисциплине свое имя. Ньютон назвал свой исчисление « наукой по потоку », термином, который пережил в английских школах в 19 веке. ^{[ 30 ]}^: 100 Первый полный трактат по исчислению, который будет написан на английском языке, и использования нотации Лейбниза не был опубликован до 1815 года. ^{[ 31 ]}

Со времен Лейбниза и Ньютона многие математики внесли свой вклад в постоянное развитие исчисления. Одна из первых и самых полных работ как на бесконечно массивном, так и интегральном исчислении была написана в 1748 году Марии Гаэтана Агнесси . ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}

Фонды

В исчислении основы относится к строгому развитию субъекта из аксиом и определений. В раннем исчислении использование бесконечно малых величин считалось непревзойденным и подвергалось жестокому критике со стороны нескольких авторов, особенно Мишель Ролль и епископ Беркли . Беркли, как известно, описал бесконечно -магистральные как призраки ушедших количеств в своей книге «Аналитик» в 1734 году. Работа по строгой основе для исчисления, занятых математиками, на протяжении большей части столетия после Ньютона и Лейбниза, и до сих пор в некоторой степени является активной областью исследований сегодня. ^{[ 34 ]}

Несколько математиков, в том числе Маклаурин , пытались доказать обоснованность использования бесконечно -массивных, но это было бы не только 150 лет спустя, когда из -за работы Коши и Вейерштраса , наконец, был обнаружен, чтобы избежать простого «представлений» бесконечно маленьких величин Полем ^{[ 35 ]} Основы дифференциального и интегрального исчисления были заложены. В Cauchy's Cours d'Analyze мы находим широкий спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности с точки зрения бесконечно-массивных и (несколько неточного) прототипа (ε, Δ)-определения предела в определении дифференциации. ^{[ 36 ]} В своей работе Вейерштрас формализовал концепцию лимита и устранение бесконечно -массивных (хотя его определение может подтвердить бесконечные магистрали Nilsquare ). После работы Weierstrass он в конечном итоге стал общим для основания исчисления на пределах, а не на бесконечно малых величинах, хотя субъект все еще иногда называется «бесконечно массивным исчислением». Бернхард Риманн использовал эти идеи, чтобы дать точное определение интеграла. ^{[ 37 ]} Также в течение этого периода идеи исчисления были обобщены в сложной плоскости с разработкой сложного анализа . ^{[ 38 ]}

В современной математике основы исчисления включены в область реального анализа , который содержит полные определения и доказательства теоремы исчисления. Охват исчисления также был значительно расширен. Анри Лебег изобрел теорию мер , основанную на более ранних разработках Эмил Борел , и использовал ее для определения интегралов всех, кроме самых патологических функций. ^{[ 39 ]} Laurent Schwartz представил распределения , которые можно использовать для принятия производной любой функции. ^{[ 40 ]}

Пределы не единственный строгий подход к основу исчисления. Другой способ-использовать Авраама Робинсона нестандартный анализ . Подход Робинсона, разработанный в 1960-х годах, использует техническую техническую технику от математической логики , чтобы увеличить систему реальных чисел с бесконечно массивными и бесконечными числами, как в оригинальной концепции Ньютон-Лейбниц. Полученные цифры называются гиперреальными числами , и их можно использовать, чтобы дать Лейбниц, подобную разработке обычных правил исчисления. ^{[ 41 ]} Существует также гладкий бесконечный анализ , который отличается от нестандартного анализа в том, что он обязывает пренебрежение бесконечности с более высокой мощностью во время производных. ^{[ 34 ]} Основываясь на идеях FW Lawvere и использовании методов теории категорий , гладкий бесконечный анализ рассматривает все функции как непрерывные и неспособные быть выраженными в терминах дискретных объектов. Одним из аспектов этой формулировки является то, что закон исключенной средней не поддерживается. ^{[ 34 ]} Закон исключенной среднего также отвергается в конструктивной математике , отрасли математики, которая настаивает на том, что доказательства существования числа, функции или другого математического объекта должны дать построение объекта. Переформулировки исчисления в конструктивной структуре, как правило, являются частью субъекта конструктивного анализа . ^{[ 34 ]}

Значение

В то время как многие из идей исчисления были разработаны ранее в Греции , Китае , Индии , Ираке, Персии и Японии , использование исчисления началось в Европе, в 17 веке, когда Ньютон и Лейбниц построили на работе более ранних математиков к ввести свои основные принципы. ^{[ 11 ]}^{[ 25 ]}^{[ 42 ]} Венгерский полимат Джон фон Нейман написал об этой работе,

Исчисление было первым достижением современной математики, и трудно переоценить его важность. Я думаю, что это определяет более однозначно, чем все остальное, создание современной математики, и система математического анализа, которая является его логическим развитием, по -прежнему представляет собой величайший технический прогресс в точном мышлении. ^{[ 43 ]}

Применения дифференциального исчисления включают вычисления, включающие скорость и ускорение , наклон кривой и оптимизацию . ^{[ 44 ]}^{: 341–453} Применение интегрального исчисления включают вычисления с участием площади, объема , длины дуги , центра масс , работы и давления . ^{[ 44 ]}^{: 685–700} Более продвинутые приложения включают серию Power и серию Fourier .

Рассчет также используется для получения более точного понимания природы пространства, времени и движения. На протяжении веков математики и философы боролись с парадоксами, связанными с разделением на ноль или суммы бесконечно многих чисел. Эти вопросы возникают при изучении движения и области. Древнегреческий привлек несколько известных философ Зено из Элеа примеров таких парадоксов . Calculus предоставляет инструменты, особенно лимит и бесконечные серии , которые разрешают парадоксы. ^{[ 45 ]}

Принципы

Ограничения и бесконечные магистрали

Рассказам обычно развивается путем работы с очень небольшими количествами. Исторически первым методом этого было бесконечно -массивными . Это объекты, которые можно рассматривать как реальные числа, но в некотором смысле «бесконечно маленькие». Например, бесконечно мачное число может быть больше 0, но меньше, чем любое число в последовательности 1, 1/2, 1/3, ... и, следовательно, меньше, чем любое положительное реальное число . С этой точки зрения, Calculus представляет собой набор методов манипулирования бесконечности. Символы $dx$ и $dy$ были восприняты как бесконечно малые, а производная $dy/dx$ был их соотношение. ^{[ 34 ]}

В 19 веке бесконечно малый подход вышел из благосклонности, потому что было трудно сделать представление о бесконечно массивном точном. В конце 19 -го века бесконечно -массивные были заменены в научных кругах эпсилоном , дельта -подходом к ограничениям . Ограничения описывают поведение функции при определенном входе с точки зрения ее значений на близлежащих входах. Они захватывают мелкомасштабное поведение, используя внутреннюю структуру системы реальных чисел (в качестве метрического пространства с наименьшим количеством свойства ). В этой обработке исчисление представляет собой набор методов манипулирования определенными пределами. InfinitesImals заменяются последовательностями меньших и меньших чисел, а бесконечно небольшое поведение функции обнаруживается, принимая ограничивающее поведение для этих последовательностей. Считалось, что пределы обеспечивают более строгую основу для исчисления, и по этой причине они стали стандартным подходом в течение 20 -го века. Тем не менее, бесконечно малая концепция была возрождена в 20 -м веке с введением Нестандартный анализ и гладкий бесконечный анализ , который обеспечивал прочные основы для манипуляции с бесконечно-массивными. ^{[ 34 ]}

Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление - это изучение определения, свойств и применений производной функции . Процесс поиска производной называется дифференциацией . Учитывая функцию и точку в домене, производная в этой точке является способом кодирования мелкого поведения функции вблизи этой точки. Найдя производную функции в каждой точке в ее домене, можно создать новую функцию, называемую производной функцией или только производную исходной функции. В формальных терминах производная - это линейный оператор , который выполняет функцию в качестве ввода и создает вторую функцию в качестве ее вывода. Это более абстрактно, чем многие процессы, изученные в элементарной алгебре, где функции обычно вводят число и выводят другое число. Например, если функции удвоения дается входной три, то она выводит шесть, и если функции квадрата дают входные три, то она выводит девять. Производная, однако, может воспринимать функцию квадрата в качестве ввода. Это означает, что производная берет всю информацию о функции квадрата - например, что два отправляются на четыре, три отправляются на девять, четыре отправляются на шестнадцать, и так далее - и использует эту информацию для создания другой функции. Функция, создаваемая путем дифференциации функции квадрата, оказывается функцией удвоения. ^{[ 28 ]}^: 32

В более явных терминах «функция удвоения» может быть обозначена $G (x) = 2 x$ и «функция квадрата» по $f (x) = x 2$ Полем «Производная» теперь принимает функцию $f (x)$ , определяемая выражением » $x 2$ «В качестве входного ввода, то есть вся информация - например, что два отправляются на четыре, три отправляются на девять, четыре отправляются на шестнадцать, и т. Д. - и использует эту информацию для вывода другой функции, функции $G (x) = 2 x$ , как выяснится.

В нотации Лагранжа символом для производного является апострофный знак, похожий на Prime . Таким образом, производная функции, называемой $F$ , обозначена $F '$ , произносится «F Prime» или «F Dash». Например, если $f (x) = x 2$ это функция квадрата, то $F ' (x) = 2 x$ является ее производной (функция удвоения $g$ сверху).

Если ввод функции представляет время, то производная представляет изменение в отношении времени. Например, если $F$ - это функция, которая требует времени в качестве ввода и дает положение шара в то время в качестве вывода, то производная $F$ - это то, как положение меняется во времени, то есть скорость шарика Полем ^{[ 28 ]}^: 18–20

Если функция является линейной (то есть, если график функции является прямой линией), то функция может быть записана как $y = mx + b$ , где $x$ является независимой переменной, $y$ - зависимая переменная, $b$ - y -интерцепт и:

m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.

Это дает точное значение для наклона прямой линии. ^{[ 46 ]}^: 6 Однако, если график функции не является прямой линией, то изменение $Y$ , разделенное на изменение $x,$ зависит от. Производные придают точное значение понятию изменения вывода в отношении изменения ввода. Чтобы быть бетоном, пусть $f$ будет функцией, и исправить точку $A$ в домене $f$ . $(A, F (A))$ является точкой на графике функции. Если $H$ - это число, близкое к нулю, то $+ H -$ это число, близкое к $A.$ A Следовательно, $(a + h, f (a + h))$ близок к $(a, f (a))$ . Наклон между этими двумя точками

m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

Это выражение называется коэффициентом разницы . Линия через две точки на кривой называется секундной линией , поэтому $M$ является наклоном секущей линии между $(a, f (a))$ и $(a + h, f (a + h))$ . Вторая строка - это только приближение к поведению функции в точке $A,$ она не учитывает то, что происходит между $A$ и $A + H.$ потому что Невозможно обнаружить поведение в $A,$ установив $h$ на ноль, потому что это потребует деления на ноль , что не определено. Производная определяется путем принятия предела , поскольку $H$ имеет ноль, что означает, что она учитывает поведение $F$ для всех небольших значений $H$ и извлекает согласованное значение для случая, когда $H$ равно нулю:

\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.

Геометрически производная является наклоном касательной линии графику $F$ в $A.$ к Тангаентная линия представляет собой предел секундных линий точно так же, как производное является пределом различий. По этой причине производное иногда называют наклоном функции $f$ . ^{[ 46 ]}^: 61–63

Вот конкретный пример, производная функции квадрата на входе 3. Пусть $f (x) = x 2$ быть функцией квадрата.

Производная $f ' (x)$ кривой в точке является наклоном линии, касающейся этой кривой в этой точке. Этот наклон определяется с учетом ограничивающего значения наклонов второй линии. Здесь вовлеченная функция (нарисована красным) равен $f (x) = x 3 - x$ . Тангентная линия (зеленый), которая проходит через точку (-3/2, -15/8), имеет наклон 23/4. Вертикальные и горизонтальные шкалы на этом изображении разные.

{\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}

Наклон касательной линии к функции квадрата в точке (3, 9) составляет 6, то есть он поднимается в шесть раз быстрее, чем он идет вправо. Только что описанный процесс ограничения может быть выполнен для любой точки в области функции квадрата. Это определяет производную функцию функции квадрата или просто производную функции квадрата в течение короткого времени. Вычисление, аналогичное вышеуказанному, показывает, что производной функции квадрата является удвоенной функцией. ^{[ 46 ]}^: 63

Leibniz natation

Общее обозначение, введенное Лейбнизом, для производной в приведенном выше примере

{\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}

В подходе, основанном на пределах, символ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ dy / dx ⁠$ должен интерпретироваться не как коэффициент двух чисел, а как сокращение для предела, рассчитанного выше. ^{[ 46 ]}^: 74 Лейбниц, однако, действительно намеревался представлять его, что является коэффициентом двух бесконечных малых чисел, $DY$ является бесконечно малым изменением $y,$ вызванным бесконечно малым изменением $DX,$ применяемым к $x$ . Мы также можем думать о $⁠ D / DX ⁠$ в качестве оператора дифференциации, который выполняет функцию в качестве входного и дает другую функцию, производную, в качестве вывода. Например:

{\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.

В этом использовании $DX$ в знаменателе читается как «относительно $X$ ». ^{[ 46 ]}^: 79 Другим примером правильной нотации может быть:

{\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}

Даже когда исчисление разрабатывается с использованием ограничений, а не бесконечных матчей, обычно манипулировать символами, такими как $DX$ , и $DY,$ как если бы они были реальными числами; Хотя можно избежать таких манипуляций, они иногда удобны для выражения операций, таких как общая производная .

Интегральное исчисление

Интеграция может рассматриваться как измерение площади под кривой, определяемой

F (x)

, между двумя точками (здесь

A

и

B

).

Последовательность Riemann в средней точке подводит итоги регулярного разделения интервала: общая площадь прямоугольников сходится к интегралу функции.

Интегральное исчисление - это изучение определений, свойств и применений двух связанных концепций, неопределенного интеграла и определенного интеграла . Процесс поиска значения интеграла называется интеграцией . ^{[ 44 ]}^: 508 Неопределенный интеграл, также известный как антидовидный , является обратной работой производной. ^{[ 46 ]}^{: 163–165} $F$ является неопределенным интегралом $F,$ F $является$ производным $F.$ когда (Это использование букв нижнего и верхнего часа для функции, а его неопределенный интеграл распространено в исчислении.) Определенные интегральные вводы функции и выводят число, которое дает алгебраическую сумму областей между графом и X. Ось Техническое определение определенного интеграла включает в себя предел суммы площадей прямоугольников, называемой суммой римана . ^{[ 47 ]}^: 282

Мотивирующий пример - расстояние, пройденное в данный момент времени. ^{[ 46 ]}^: 153 Если скорость постоянна, необходимо только умножение:

\mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}

Но если скорость изменяется, необходим более мощный метод поиска расстояния. Один из таких методов состоит в том, чтобы приблизить расстояние, пройденное, разбивая время на многие короткие интервалы времени, а затем умножение времени, прошедшего в каждом интервале на одну из скоростей в этом интервале, а затем взяв сумму ( сумма римана ) Приблизительное расстояние проходит в каждом интервале. Основная идея заключается в том, что если только короткое время истекло, то скорость останется более или менее одинаковой. Однако сумма римана только дает приближение пройденного расстояния. Мы должны взять предел всех таких сумм римана, чтобы найти точное пройденное расстояние.

Когда скорость постоянна, общее расстояние, пройденное в течение данного интервала времени, может быть рассчитано путем умножения скорости и времени. Например, перемещение устойчивого 50 миль в час в течение 3 часов приводит к общему расстоянию 150 миль. Построение скорости в зависимости от времени дает прямоугольник с высотой, равной скорости, и ширину, равной времени, прошедшего времени. Следовательно, произведение скорости и времени также рассчитывает прямоугольную площадь под (постоянной) кривой скорости. ^{[ 44 ]}^: 535 Эта связь между области под кривой и пройденным расстоянием может быть расширена на любую область неправильной формы, демонстрирующая колеблющуюся скорость в течение определенного периода. Если $F (x)$ представляет скорость, поскольку она варьируется со временем, расстояние, проходящее между временем, представленным $A$ и $B,$ является площадью области между $F (x)$ и $осью x$ , между $x = a$ и $x = b$ .

Чтобы приблизиться к этой области, интуитивно понятным методом будет разделение расстояния между $A$ и $B$ на несколько равных сегментов, длина каждого сегмента, представленная символом $Δ x$ . Для каждого небольшого сегмента мы можем выбрать одно значение функции $f (x)$ . Назовите это значение $h$ . Затем площадь прямоугольника с базой $Δ x$ и высотой $h$ дает расстояние (время $Δ x,$ умноженное на скорость $H$ ), пройденное в этом сегменте. С каждым сегментом связано среднее значение вышеупомянутой функции, $f (x) = h$ . Сумма всех таких прямоугольников дает приближение площади между оси и кривой, которая представляет собой приближение общего пройденного расстояния. Меньшее значение для $Δ x$ даст больше прямоугольников и в большинстве случаев лучшее приближение, но для точного ответа нам необходимо снять ограничение, когда $Δ x$ приближается к нулю. ^{[ 44 ]}^{: 512–522}

Символ интеграции $\int$ , удлиненный S, выбранный для предложения суммирования. ^{[ 44 ]}^: 529 Определенный интеграл написан как:

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

и читается «Интеграл от A до B от f -x X по отношению к » . Обозначение Leibniz $DX$ предназначено для того, чтобы предположить, что разделение области под кривой на бесконечное количество прямоугольников, так что их ширина $Δ x$ становилась бесконечно малой $DX$ . ^{[ 28 ]}^: 44

Написано неопределенное интегральное или антидовативное, написано:

\int f(x)\,dx.

Функции, различающиеся только на константу, имеют одинаковую производную, и можно показать, что антидервижение данной функции - это семейство функций, различающихся только постоянной. ^{[ 47 ]}^: 326 Поскольку производная функции $y = x 2 + C$ , где $c$ какая -либо постоянная, IS $y ' = 2 x$ , антидервика последнего определяется как:

\int 2x\,dx=x^{2}+C.

Неопределенная постоянная $С,$ присутствующая в неопределенной интегральной или антидервичной, известна как константа интеграции . ^{[ 48 ]}^: 135

Фундаментальная теорема

Основная теорема исчисления гласит, что дифференциация и интеграция являются обратными операциями. ^{[ 47 ]}^: 290 Точнее, это связывает ценности антипробиваемых с определенными интегралами. Поскольку обычно проще вычислять антидевирующий, чем применять определение определенного интеграла, фундаментальная теорема исчисления обеспечивает практический способ вычисления определенных интегралов. Его также можно интерпретировать как точное утверждение того факта, что дифференциация является обратной интеграцией.

Фундаментальная теорема о состояниях исчисления: если функция $F$ непрерывна f на интервале $[a, b]$ и если $является$ функцией, чье производство $F$ на интервале $(a, b)$ , тогда

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Кроме того, для каждого $x$ в интервале $(a, b)$ ,

{\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

Это осознание, сделанное как Ньютоном, так и Лейбнизом , стало ключом к пролиферации аналитических результатов после того, как их работа стала известна. (Степень, в которой Ньютон и Лейбник находился под влиянием непосредственных предшественников, и особенно то, что Лейбниц, возможно, узнал из работы Исаака Барроу , трудно определить из -за приоритетного спора между ними. ^{[ 49 ]}) Фундаментальная теорема обеспечивает алгебраический метод вычисления многих определенных интегралов - без выполнения ограниченных процессов - путем поиска формул для антидодевных . Это также прототип решения дифференциального уравнения . Дифференциальные уравнения связывают неизвестную функцию с его производными и вездесущи в науках. ^{[ 50 ]}^{: 351–352}

Приложения

Логарифмическая спираль оболочки Nautilus - это классическое изображение, используемое для изображения роста и изменений, связанных с исчислением.

Исчисление используется в каждой ветви физических наук, ^{[ 51 ]}^: 1 Актуарная наука , компьютерная наука , статистика , инженерия , экономика , бизнес , медицина , демография проблема и в других областях, где бы ни была математическая моделирована , и оптимальное решение. желательно ^{[ 52 ]} Это позволяет перейти от (нестандартных) показателей изменений в общее изменение или наоборот, и много раз в изучении проблемы, которую мы знаем одну, и пытаемся найти другое. ^{[ 53 ]} Исчисление можно использовать в сочетании с другими математическими дисциплинами. Например, его можно использовать с линейной алгеброй , чтобы найти линейное приближение «наилучшего посадки» для набора точек в домене. Или его можно использовать в теории вероятности , чтобы определить значение ожидания непрерывной случайной величины с учетом функции плотности вероятности . ^{[ 54 ]}^: 37 В аналитической геометрии изучение графиков функций используется для поиска высоких точек и низких точек (максимумы и минимума), наклона, вогнутости и точек перегиба . Рассчет также используется для поиска приблизительных решений уравнений; На практике это стандартный способ решения дифференциальных уравнений и выполнения корневых находов в большинстве приложений. Примерами являются такие методы, как метод Ньютона , итерация с фиксированной точкой и линейное приближение . Например, космический корабль использует вариацию метода Эйлера для приблизительного критерия в среде нулевой гравитации.

Физика особое использование исчисления; Все понятия в классической механике и электромагнетизме связаны с помощью исчисления. Масса из -за гравитационных и электромагнитных сил может объекта известной плотности , момента инерции объектов и потенциальных энергий быть обнаружена путем использования исчисления. Примером использования исчисления в механике является второй закон движения Ньютона объекта , в котором говорится, что производная импульса в отношении времени равняется чистой силе на него. В качестве альтернативы, второй закон Ньютона может быть выражен, заявив, что чистая сила равен массовому времени объекта его ускорение , которое является временной производной скорости и, следовательно, второго разгона пространственного положения. Начиная с знания того, как ускоряется объект, мы используем исчисление для получения его пути. ^{[ 55 ]}

Максвелла Теория электромагнетизма и Эйнштейна теория общей теории относительности также выражены на языке дифференциального исчисления. ^{[ 56 ]}^{[ 57 ]}^: 52–55 Химия также использует исчисление при определении скорости реакции ^{[ 58 ]}^: 599 и при изучении радиоактивного распада. ^{[ 58 ]}^: 814 В биологии динамика населения начинается с воспроизводства и смертности для моделирования изменений населения. ^{[ 59 ]}^{[ 60 ]}^: 631

Теорема Грина , которая дает взаимосвязь между линией интеграла вокруг простой закрытой кривой C и двойным интегралом над областью плоскости D, ограниченной C, применяется в приборе, известном как Planimeter , который используется для расчета области плоской. поверхность на рисунке. ^{[ 61 ]} Например, его можно использовать для расчета количества площади, поглощенной нерегулярной цветочной ручкой или бассейном при разработке планировки листа свойства.

В сфере медицины можно использовать исчисление для поиска оптимального угла разветвления кровеносного сосуда для максимизации потока. ^{[ 62 ]} Расчисление может быть применено, чтобы понять, как быстро выстраивается препарат из организма или как быстро растет раковая опухоль. ^{[ 63 ]}

В экономике Calculus позволяет определить максимальную прибыль, предоставляя способ легко рассчитать как предельные издержки , так и предельный доход . ^{[ 64 ]}^: 387

Смотрите также

Ссылки

^ Дебаггис, Генри Ф.; Миллер, Кеннет С. (1966). Основы исчисления . Филадельфия: Сондерс. OCLC 527896 .
^ Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуальное развитие . Нью -Йорк: Дувер. OCLC 643872 .
^ Барди, Джейсон Сократ (2006). Войны исчисления: Ньютон, Лейбниц и величайшее математическое столкновение всех времен . Нью -Йорк: Громовая пресса. ISBN 1-56025-706-7 .
^ Хоффманн, Лоуренс Д.; Брэдли, Джеральд Л. (2004). Исчисление для бизнеса, экономики и социальных и жизненных наук (8 -е изд.). Бостон: МакГрау Хилл. ISBN 0-07-242432-х .
^
См., Например:
- "История - были ли извлечены такси заняты роумингом Имперского Рима?" Полем Скептики обмен стеком . 17 июня 2020 года. Архивировано из оригинала 25 мая 2012 года . Получено 13 февраля 2022 года .
- Двоюродная сестра, Фил (2010). Wordcatcher: Одиссея в мир странных и замечательных слов . Саймон и Шустер. п. 58. ISBN 978-1-57344-550-4 Полем OCLC 811492876 . Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 15 февраля 2022 года .
^ "Calculus" . Оксфордский английский словарь (онлайн изд.). Издательство Оксфордского университета . в учреждении или (Требуется членство участвующее учреждение .)
^ Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древнего до современного времени: том 1 . Издательство Оксфордского университета. С. 15–21. ISBN 978-0-19-506135-2 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 20 февраля 2022 года .
^ Имхаузен, Аннет (2016). Математика в древнем Египте: контекстная история . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. п. 112. ISBN 978-1-4008-7430-9 Полем OCLC 934433864 .
^
См., Например:
- Powers, J. (2020). « Сделал ли Архимеды исчисление?» « PDF) . Математическая ассоциация Америки . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
- Джуллиен, Винсент (2015). «Архимеда и невидимые». Семнадцатый век невидимым . Научные сети. Исторические исследования. Тол. 49. Cham: Springer International Publishing. С. 451–457. doi : 10.1007/978-3-319-00131-9_18 . ISBN 978-3-319-00130-2 Полем ISSN 1421-6329 .
- Пламмер, Брэд (9 августа 2006 г.). «Современная рентгеновская технология раскрывает теорию математики Архимеда под созданной живописью» . Стэнфордский университет . Архивировано из оригинала 20 января 2022 года . Получено 28 февраля 2022 года .
- Архимед (2004). Работы Архимеда, том 1: две книги на сфере и цилиндре . Перевод Netz, Reviel. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66160-7 .
- Грей, Ширли; Waldman, Cye H. (20 октября 2018 г.). «Archimedes Redux: центр массовых применений из метода». Журнал математики колледжа . 49 (5): 346–352. doi : 10.1080/07468342.2018.1524647 . ISSN 0746-8342 . S2CID 125411353 .
^ Дун, Лю; Фанат, Дайнян; Коэн, Роберт Сонне (1966). Сравнение исследований кругов Архимда и Лю Хуи . Китайские исследования по истории и философии науки и техники. Тол. 130. Springer. п. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 15 ноября 2015 года . , стр. 279 дар архивировал 1 марта 2023 года на машине Wayback
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Dainian Fan; RS Cohen (1996). Китайские исследования по истории и философии науки и техники . Дордрехт: академические издатели Kluwer. ISBN 0-7923-3463-9 Полем OCLC 32272485 .
^ Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3 -е изд.). Бостон, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 203. ISBN 978-0-321-38700-4 .
^ Zill, Dennis G.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Calculus: ранние трансцендентные (3 -е изд.). Jones & Bartlett Learning. п. XXVII. ISBN 978-0-7637-5995-7 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 15 ноября 2015 года . Извлечение страницы 27 Архивировано 1 марта 2023 года на машине Wayback
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Кац, Виктор Дж. (Июнь 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Математический журнал . 68 (3): 163–174. doi : 10.1080/00255570x.1995.11996307 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2691411 .
^ Шукак, Крип Шанар (1984). Математика " Индийский журнал истории науки . 19 : 95–1
^ Кук, Роджер (1997). «Математика индусов» . История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. С. 213–215 . ISBN 0-471-18082-3 .
^ «Йоханнес Кеплер: Его жизнь, его законы и времена» . НАСА. 24 сентября 2016 года. Архивировано с оригинала 24 июня 2021 года . Получено 10 июня 2021 года .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Чисхолм, Хью , изд. (1911). «Бесконечно массивное исчисление § История» . Encyclopædia Britannica . Тол. 14 (11 -е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 537.
^ Вейл, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Легендре . Бостон: Биркхаузер Бостон. п. 28. ISBN 0-8176-4565-9 .
^ Холлингдейл, Стюарт (1991). «Обзор до Ньютона: жизнь и времена Исаака Барроу». Заметки и записи Королевского общества Лондона . 45 (2): 277–279. doi : 10.1098/rsnr.1991.0027 . ISSN 0035-9149 . JSTOR 531707 . S2CID 165043307 . Наиболее интересными для нас являются лекции x -xii, в которых Барроу близок к тому, чтобы обеспечить геометрическую демонстрацию фундаментальной теоремы исчисления ... он не осознавал, однако, полное значение его результатов и его отказ от алгебры. означает, что его работа должна оставаться частью геометрического анализа середины 17-го века, в основном исторического интереса.
^ Брессод, Дэвид М. (2011). «Исторические размышления о обучении фундаментальной теореме об интегральном исчислении». Американский математический ежемесячный . 118 (2): 99. doi : 10.4169/amer.math.dthly.118.02.099 . S2CID 21473035 .
^ Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (2006). Calculus: одиночная переменная, том 1 (иллюстрировано изд.). Springer Science & Business Media. п. 248. ISBN 978-1-931914-59-8 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 31 августа 2017 года .
^ Ferraro, Giovanni (2007). Рост и развитие теории серии до начала 1820 -х годов (иллюстрировано изд.). Springer Science & Business Media. п. 87. ISBN 978-0-387-73468-2 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 31 августа 2017 года .
^ Guicciardini, Niccolo (2005). «Ньютон, естественная философия Математические принципы Первое издание (1687)». Знаковые сочинения в западной математике 1640-1940 . Elsevier. стр. 59-87. Doi : 10.1016 / b978-044450871-3 / 50086-3 . ISBN 978-0-444-50871-3 Полем [Ньютон] сразу понял, что квадратурные проблемы (обратные проблемы) могут быть решены посредством серии Infinite: как мы бы сказали в наши дни, путем расширения серии Integrand in Power и интеграции срока.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Граттан-Гуиннесс, I. , изд. (2005). Знаковые сочинения в западной математике 1640–1940 . Амстердам: Elsevier. ISBN 0-444-50871-6 Полем OCLC 60416766 .
^ Лейбниц, Готфрид Вильгельм (2008). Ранние математические рукописи Лейбниза . Cosimo, Inc. с. 228. ISBN 978-1-605-20533-5 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 5 июня 2022 года .
^ Мазур, Джозеф (2014). Посещающие символы / короткая история математической обозначения и ее скрытые силы . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. п. 166. ISBN 978-0-691-17337-5 Полем Лейбниц понял символы, их концептуальные силы, а также их ограничения. Он проводил годы, экспериментируя с некоторыми - скорректируя, отвергая и соответствуя всем, кого он знал, консультируясь со многими ведущими математиками того времени, которые были симпатичны его привередству.
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Frautschi, Стивен . Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М .; Гудштейн, Дэвид Л. (2007). Механическая вселенная: механика и тепло (усовершенствованное изд.). Кембридж [Cambridgeshire]: издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-71590-4 Полем OCLC 227002144 .
^ Schrader, Dorothy V. (1962). «Споры Ньютона-Либниза в отношении обнаружения исчисления». Учитель математики . 55 (5): 385–396. doi : 10.5951/mt.55.5.0385 . ISSN 0025-5769 . JSTOR 27956626 .
^ Стедолл, Жаклин (2012). История математики: очень короткое введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-191-63396-6 .
^ Стенхаус, Бриджит (май 2020). «Ранний вклад Мэри Сомервилль в циркуляцию дифференциального исчисления» (PDF) . Historia Mathematica . 51 : 1–25. doi : 10.1016/j.hm.2019.12.001 . S2CID 214472568 .
^ Алэр, Патриция Р. (2007). Предисловие. Биография Марии Гаэланана Агнеси, женщин -математика восемнадцатого века Купиллари , Антонелла Льюистон, Нью -Йорк : Эдвин Меллен Пресс П. Iii. ISBN 978-0-7734-5226-8 .
^ Unlu, Elif (апрель 1995 г.). «Мария Гаэтана Агнези» . Агнес Скотт Колледж . Архивировано из оригинала 3 декабря 1998 года . Получено 7 декабря 2010 года .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Белл, Джон Л. (6 сентября 2013 г.). «Непрерывность и бесконечно -массивные» . Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 16 марта 2022 года . Получено 20 февраля 2022 года .
^ Рассел, Бертран (1946). История западной философии . Лондон: George Allen & Unwin Ltd. п. 857 . Великие математики семнадцатого века были оптимистичными и беспокоились о быстрых результатах; Следовательно, они оставили основы аналитической геометрии и бесконечно массивного исчисления небезопасности. Лейбниц верил в фактические бесконечно -магистральные, но хотя эта вера подходила его метафизике, она не имела никакой основы в математике. Вейерштрас, вскоре после середины девятнадцатого века, показал, как установить исчисление без бесконечно -массивных и, в конце концов, сделало его логически безопасным. Затем появился Георг Кантор, который разработал теорию преемственности и бесконечного числа. «Непрерывность» была, пока он не определил это, смутное слово, удобное для таких философов, как Гегель, которые хотели ввести метафизические гряды в математику. Кантор дал точное значение слову и показала, что непрерывность, как он определил, была концепцией, необходимой для математиков и физиков. При этом большая часть мистики, такая как мин, был усугублен.
^ Грабинер, Джудит В. (1981). Происхождение строгого исчисления Коши Кембридж: MIT Press. ISBN 978-0-387-90527-3 .
^ Арчибальд, Том (2008). «Разработка строгости в математическом анализе». В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 117–129. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .
^ Райс, Адриан (2008). «Хронология математических событий». В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 1010–1014. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .
^ Siegmund-Schultze, Reinhard (2008). «Анри Лебег». В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 796–797. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .
^ Барани, Майкл Дж.; Паумье, Энн-Сандрин; Лютцен, Джеспер (ноябрь 2017 г.). «От Нэнси до Копенгагена до мира: интернационализация Лорана Шварца и его теория распределений» . Historia Mathematica . 44 (4): 367–394. doi : 10.1016/j.hm.2017.04.002 .
^ Daubin, Joseph W. (2008). "Авраам Робинсон". В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 822–823. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .
^ Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древнего до современного времени . Тол. 3. Нью -Йорк: издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-977048-9 Полем OCLC 726764443 .
^ фон Нейман, Дж. (1947). «Математик». В Хейвуде, РБ (ред.). Дела ума . Университет Чикагской Прессы. С. 180–196. Перепечатано в Броди, Ф.; Vámos, T., eds. (1995). Neumann Compendium . World Scientific Publishing Co. Pte. ООО с.п. 618-626. ISBN 981-02-2201-7 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Герман, Эдвин; Странг, Гилберт ; и др. (2017). Исчисление . Полный. 1. Хьюстон, Техас: OpenStax. ISBN 978-1-938168-02-4 Полем OCLC 1022848630 . Архивировано из оригинала 23 сентября 2022 года . Получено 26 июля 2022 года .
^ Ченг, Евгения (2017). Помимо бесконечности: экспедиция на внешние пределы математики . Основные книги. С. 206–210. ISBN 978-1-541-64413-7 Полем OCLC 1003309980 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин Salas, Saturnino L.; Hille, Einar (1971). Исчисление; одна и несколько переменных . Waltham, MA: Xerox College Pub. OCLC 135567 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Хьюис-Халлетт, Дебора ; McCcallum, William G .; Глисон, Эндрю М .; и др. (2013). Calculus: одиночный и многомерный (6 -е изд.). Хобокен, Нью -Джерси: Уилл. ISBN 978-0-470-88861-2 Полем OCLC 794034942 .
^ Мобс, Уильям; Лин, Самуил Дж.; Санни, Джефф; и др. (2022). Университетская физика, том 1 . OpenStax. ISBN 978-1-947172-20-3 Полем OCLC 961352944 .
^
См., Например:
- Махони, Майкл С. (1990). «Математика Барроу: между древними и современными». В Фейнгольде, М. (ред.). Перед Ньютоном . Издательство Кембриджского университета. С. 179–249. ISBN 978-0-521-06385-2 .
- Фейнгольд, М. (июнь 1993 г.). «Ньютон, Лейбниц и Барроу тоже: попытка переосмысления». ИГИЛ . 84 (2): 310–338. Bibcode : 1993isis ... 84..310f . doi : 10.1086/356464 . ISSN 0021-1753 . S2CID 144019197 .
- Пробст, Зигмунд (2015). «Лейбник как читатель и второй изобретатель: случаи Барроу и Менголи». В Гете, Норма Б.; Били, Филипп; Рабуин, Дэвид (ред.). GW Leibniz, Взаимосвязь между математикой и философией . Архимед: новые исследования в области истории и философии науки и техники. Тол. 41. Springer. С. 111–134. ISBN 978-9-401-79663-7 .
^ Герман, Эдвин; Странг, Гилберт; и др. (2017). Исчисление. Том 2 . Хьюстон: OpenStax. ISBN 978-1-5066-9807-6 Полем OCLC 1127050110 . Архивировано из оригинала 26 июля 2022 года . Получено 26 июля 2022 года .
^ Барон, Маргарет Э. (1969). Происхождение бесконечно малого исчисления . Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 978-1-483-28092-9 Полем OCLC 892067655 .
^ Каяспор, Али (28 августа 2022 г.). «Прекрасные применения исчисления в реальной жизни» . Середина . Архивировано из оригинала 26 сентября 2022 года . Получено 26 сентября 2022 года .
^ Ху, Чжиинг (14 апреля 2021 года). «Приложение и ценность исчисления в повседневной жизни». 2021 2-я Азиатско-Тихоокеанская конференция по обработке изображений, электронике и компьютерам . IPEC2021. Далянский Китай: ACM. С. 562–564. doi : 10.1145/34524446.3452583 . ISBN 978-1-4503-8981-5 Полем S2CID 233384462 .
^ Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87342-0 Полем OCLC 860391091 .
^ Гарбер, Элизабет (2001). Язык физики: исчисление и развитие теоретической физики в Европе, 1750–1914 . Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4612-7272-4 Полем OCLC 921230825 .
^ Холл, Грэм (2008). «Электромагнитная теория Максвелла и особая относительность». Философские транзакции: математические, физические и инженерные науки . 366 (1871): 1849–1860. BIBCODE : 2008RSPTA.366.1849H . doi : 10.1098/rsta.2007.2192 . ISSN 1364-503X . JSTOR 25190792 . PMID 18218598 . S2CID 502776 .
^ Гбур, Грег (2011). Математические методы для оптической физики и инженерии . Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-511-91510-9 Полем OCLC 704518582 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} Аткинс, Питер В.; Джонс, Лоретта (2010). Химические принципы: поиск понимания (5 -е изд.). Нью -Йорк: WH Freeman. ISBN 978-1-4292-1955-6 Полем OCLC 501943698 .
^ Мюррей, JD (2002). Математическая биология. I, Введение (3 -е изд.). Нью -Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-22437-8 Полем OCLC 53165394 .
^ Neuhauser, Claudia (2011). Исчисление для биологии и медицины (3 -е изд.). Бостон: Прентис Холл. ISBN 978-0-321-64468-8 Полем OCLC 426065941 .
^ Гаттердам, RW (1981). «Планиметр как пример теоремы Грина». Американский математический ежемесячный . 88 (9): 701–704. doi : 10.2307/2320679 . JSTOR 2320679 .
^ Адам, Джон А. (июнь 2011 г.). «Разветвление кровеносных сосудов: за пределами стандартной проблемы исчисления». Математический журнал . 84 (3): 196–207. doi : 10.4169/math.mag.84.3.196 . ISSN 0025-570X . S2CID 8259705 .
^ Маккензи, Дана (2004). «Математическое моделирование и рак» (PDF) . Siam News . 37 (1). Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.
^ Перлофф, Джеффри М. (2018). Микроэкономика: теория и приложения с исчислением (4 -е глобальное изд.). Харлоу: Пирсон. ISBN 978-1-292-15446-6 Полем OCLC 1064041906 .

Дальнейшее чтение

Адамс, Роберт А. (1999). Исчисление: полный курс . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-39607-2 .
Альберс, Дональд Дж.; Андерсон, Ричард Д.; Loftsgaarden, Don O., eds. (1986). Программы бакалавриата по математике и компьютерным наукам: опрос 1985–1986 гг . Математическая ассоциация Америки.
Антон, Говард; Бивенс, IRL; Дэвис, Стивен (2002). Исчисление . Джон Уайли и сыновья Pte. Ltd. ISBN 978-81-265-1259-1 .
Апостол, Том М. (1967). Calculus, том 1, однократное исчисление с введением в линейную алгебру . Уайли. ISBN 978-0-471-00005-1 .
Апостол, Том М. (1969). Calculus, том 2, многоцелевое исчисление и линейная алгебра с приложениями . Уайли. ISBN 978-0-471-00007-5 .
Белл, Джон Лейн (1998). Грунтовка бесконечно -массивного анализа . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62401-5 Полем Использует синтетическую дифференциальную геометрию и нильпотентные бесконечные матчи.
Boelkins, M. (2012). Активное исчисление: бесплатный открытый текст (PDF) . Архивировано из оригинала 30 мая 2013 года . Получено 1 февраля 2013 года .
Бойер, Карл Бенджамин (1959) [1949]. История исчисления и его концептуальное развитие (Dover Ed.). Хафнер. ISBN 0-486-60509-4 .
Каджори, Флориан (сентябрь 1923 г.). «История обозначений исчисления». Анналы математики . 2 -я серия. 25 (1): 1–46. doi : 10.2307/1967725 . HDL : 2027/MDP.39015017345896 . JSTOR 1967725 .
Курант, Ричард (3 декабря 1998 г.). Введение в исчисление и анализ 1 . ISBN 978-3-540-65058-4 .
Гоник, Ларри (2012). Руководство по мультфильму по исчислению . Уильям Морроу. ISBN 978-0-061-68909-3 Полем OCLC 932781617 .
Keisler, HJ (2000). Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечных матчей . Получено 29 августа 2010 г. с http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Архивировал 1 мая 2011 года на машине Wayback
Ландау, Эдмунд (2001). Дифференциальный и интегральный исчисление . Американское математическое общество . ISBN 0-8218-2830-4 .
Лебедев, Леонид П.; Cloud, Michael J. (2004). «Инструменты исчисления». Приблизительное совершенство: путешествие математика в мир механики . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. Bibcode : 2004apmj.book ..... l .
Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2010). Исчисление (9 -е изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2 .
McQuarrie, Donald A. (2003). Математические методы для ученых и инженеров . Университетские научные книги. ISBN 978-1-891389-24-5 .
Пиковер, Клифф (2003). Исчисление и пицца: поваренная книга по математике для голодного ума . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-26987-8 .
Salas, Saturnino L.; Хилле, Эйнар ; Этген, Гаррет Дж. (2007). Исчисление: одна и несколько переменных (10 -е изд.). Уайли . ISBN 978-0-471-69804-3 .
Спивак, Майкл (сентябрь 1994). Исчисление . Публиковать или погибнуть издательство. ISBN 978-0-914098-89-8 .
Стин, Линн Артур , изд. (1988). Исчисление для нового века; Насос, а не фильтр . Математическая ассоциация Америки . ISBN 0-88385-058-3 .
Стюарт, Джеймс (2012). Calculus: Ранние трансцендентные (7 -е изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9 .
Томас, Джордж Бринтон ; Финни, Росс Л.; Вейр, Морис Д. (1996). Исчисление и аналитическая геометрия, часть 1 . Аддисон Уэсли. ISBN 978-0-201-53174-9 .
Томас, Джордж Б .; Вейр, Морис Д.; Хасс, Джоэл ; Giordano, Frank R. (2008). Исчисление (11 -е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-321-48987-6 .
Томпсон, Сильванус П .; Гарднер, Мартин (1998). Исчисление сделано легко . ISBN 978-0-312-18548-0 .

Внешние ссылки

«Calculus» , Энциклопедия математики , Ems Press , 2001 [1994]
Вейсштейн, Эрик В. "Calculus" . MathWorld .
Темы по исчислению в Planetmath .
Calculus Late Easy (1914) от Silvanus P. Thompson Полный текст в PDF
Исчисление в наше время на BBC
Calculus.org: страница Calculus в Калифорнийском университете, Дэвис - содержит ресурсы и ссылки на другие сайты
Самое раннее известное использование некоторых слов математики: исчисление и анализ
Роль исчисления в математике колледжа архивировала 26 июля 2021 года на машине Wayback от EricDigests.org
Исчисление OpenCoursware из Массачусетского технологического института
InfinitesImimal Calculus - статья о его историческом развитии, в энциклопедии математики , изд. Михиэль Хазьюкель .
Даниэль Клейтман, MIT. «Расчет для начинающих и художников» .
Учебные материалы по исчислению на imomath.com
(на английском и арабском языке) Экскурсия исчисления , 1772

[1] Дебаггис, Генри Ф.; Миллер, Кеннет С. (1966). Основы исчисления . Филадельфия: Сондерс. OCLC 527896 .

[2] Бойер, Карл Б. (1959). История исчисления и его концептуальное развитие . Нью -Йорк: Дувер. OCLC 643872 .

[3] Барди, Джейсон Сократ (2006). Войны исчисления: Ньютон, Лейбниц и величайшее математическое столкновение всех времен . Нью -Йорк: Громовая пресса. ISBN 1-56025-706-7 .

[4] Хоффманн, Лоуренс Д.; Брэдли, Джеральд Л. (2004). Исчисление для бизнеса, экономики и социальных и жизненных наук (8 -е изд.). Бостон: МакГрау Хилл. ISBN 0-07-242432-х .

[5] См., Например:
"История - были ли извлечены такси заняты роумингом Имперского Рима?" Полем Скептики обмен стеком . 17 июня 2020 года. Архивировано из оригинала 25 мая 2012 года . Получено 13 февраля 2022 года .

Двоюродная сестра, Фил (2010). Wordcatcher: Одиссея в мир странных и замечательных слов . Саймон и Шустер. п. 58. ISBN 978-1-57344-550-4 Полем OCLC 811492876 . Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 15 февраля 2022 года .

[6] "История - были ли извлечены такси заняты роумингом Имперского Рима?" Полем Скептики обмен стеком . 17 июня 2020 года. Архивировано из оригинала 25 мая 2012 года . Получено 13 февраля 2022 года .

[7] Двоюродная сестра, Фил (2010). Wordcatcher: Одиссея в мир странных и замечательных слов . Саймон и Шустер. п. 58. ISBN 978-1-57344-550-4 Полем OCLC 811492876 . Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 15 февраля 2022 года .

[6] "Calculus" . Оксфордский английский словарь (онлайн изд.). Издательство Оксфордского университета . в учреждении или (Требуется членство участвующее учреждение .)

[7] Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древнего до современного времени: том 1 . Издательство Оксфордского университета. С. 15–21. ISBN 978-0-19-506135-2 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 20 февраля 2022 года .

[8] Имхаузен, Аннет (2016). Математика в древнем Египте: контекстная история . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. п. 112. ISBN 978-1-4008-7430-9 Полем OCLC 934433864 .

[9] См., Например:
Powers, J. (2020). « Сделал ли Архимеды исчисление?» « PDF) . Математическая ассоциация Америки . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.

Джуллиен, Винсент (2015). «Архимеда и невидимые». Семнадцатый век невидимым . Научные сети. Исторические исследования. Тол. 49. Cham: Springer International Publishing. С. 451–457. doi : 10.1007/978-3-319-00131-9_18 . ISBN 978-3-319-00130-2 Полем ISSN 1421-6329 .

Пламмер, Брэд (9 августа 2006 г.). «Современная рентгеновская технология раскрывает теорию математики Архимеда под созданной живописью» . Стэнфордский университет . Архивировано из оригинала 20 января 2022 года . Получено 28 февраля 2022 года .

Архимед (2004). Работы Архимеда, том 1: две книги на сфере и цилиндре . Перевод Netz, Reviel. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66160-7 .

Грей, Ширли; Waldman, Cye H. (20 октября 2018 г.). «Archimedes Redux: центр массовых применений из метода». Журнал математики колледжа . 49 (5): 346–352. doi : 10.1080/07468342.2018.1524647 . ISSN 0746-8342 . S2CID 125411353 .

[12] Powers, J. (2020). « Сделал ли Архимеды исчисление?» « PDF) . Математическая ассоциация Америки . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.

[13] Джуллиен, Винсент (2015). «Архимеда и невидимые». Семнадцатый век невидимым . Научные сети. Исторические исследования. Тол. 49. Cham: Springer International Publishing. С. 451–457. doi : 10.1007/978-3-319-00131-9_18 . ISBN 978-3-319-00130-2 Полем ISSN 1421-6329 .

[14] Пламмер, Брэд (9 августа 2006 г.). «Современная рентгеновская технология раскрывает теорию математики Архимеда под созданной живописью» . Стэнфордский университет . Архивировано из оригинала 20 января 2022 года . Получено 28 февраля 2022 года .

[15] Архимед (2004). Работы Архимеда, том 1: две книги на сфере и цилиндре . Перевод Netz, Reviel. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66160-7 .

[16] Грей, Ширли; Waldman, Cye H. (20 октября 2018 г.). «Archimedes Redux: центр массовых применений из метода». Журнал математики колледжа . 49 (5): 346–352. doi : 10.1080/07468342.2018.1524647 . ISSN 0746-8342 . S2CID 125411353 .

[10] Дун, Лю; Фанат, Дайнян; Коэн, Роберт Сонне (1966). Сравнение исследований кругов Архимда и Лю Хуи . Китайские исследования по истории и философии науки и техники. Тол. 130. Springer. п. 279. ISBN 978-0-7923-3463-7 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 15 ноября 2015 года . , стр. 279 дар архивировал 1 марта 2023 года на машине Wayback

[:0-11] Jump up to: ^а ^{беременный} Dainian Fan; RS Cohen (1996). Китайские исследования по истории и философии науки и техники . Дордрехт: академические издатели Kluwer. ISBN 0-7923-3463-9 Полем OCLC 32272485 .

[12] Кац, Виктор Дж. (2008). История математики (3 -е изд.). Бостон, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 203. ISBN 978-0-321-38700-4 .

[13] Zill, Dennis G.; Райт, Скотт; Райт, Уоррен С. (2009). Calculus: ранние трансцендентные (3 -е изд.). Jones & Bartlett Learning. п. XXVII. ISBN 978-0-7637-5995-7 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 15 ноября 2015 года . Извлечение страницы 27 Архивировано 1 марта 2023 года на машине Wayback

[katz-14] Jump up to: ^а ^{беременный} Кац, Виктор Дж. (Июнь 1995 г.). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Математический журнал . 68 (3): 163–174. doi : 10.1080/00255570x.1995.11996307 . ISSN 0025-570X . JSTOR 2691411 .

[15] Шукак, Крип Шанар (1984). Математика " Индийский журнал истории науки . 19 : 95–1

[16] Кук, Роджер (1997). «Математика индусов» . История математики: краткий курс . Wiley-Interscience. С. 213–215 . ISBN 0-471-18082-3 .

[17] «Йоханнес Кеплер: Его жизнь, его законы и времена» . НАСА. 24 сентября 2016 года. Архивировано с оригинала 24 июня 2021 года . Получено 10 июня 2021 года .

[EB1911-18] Jump up to: ^а ^{беременный} Чисхолм, Хью , изд. (1911). «Бесконечно массивное исчисление § История» . Encyclopædia Britannica . Тол. 14 (11 -е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 537.

[19] Вейл, Андре (1984). Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Легендре . Бостон: Биркхаузер Бостон. п. 28. ISBN 0-8176-4565-9 .

[20] Холлингдейл, Стюарт (1991). «Обзор до Ньютона: жизнь и времена Исаака Барроу». Заметки и записи Королевского общества Лондона . 45 (2): 277–279. doi : 10.1098/rsnr.1991.0027 . ISSN 0035-9149 . JSTOR 531707 . S2CID 165043307 . Наиболее интересными для нас являются лекции x -xii, в которых Барроу близок к тому, чтобы обеспечить геометрическую демонстрацию фундаментальной теоремы исчисления ... он не осознавал, однако, полное значение его результатов и его отказ от алгебры. означает, что его работа должна оставаться частью геометрического анализа середины 17-го века, в основном исторического интереса.

[21] Брессод, Дэвид М. (2011). «Исторические размышления о обучении фундаментальной теореме об интегральном исчислении». Американский математический ежемесячный . 118 (2): 99. doi : 10.4169/amer.math.dthly.118.02.099 . S2CID 21473035 .

[22] Бланк, Брайан Э.; Кранц, Стивен Джордж (2006). Calculus: одиночная переменная, том 1 (иллюстрировано изд.). Springer Science & Business Media. п. 248. ISBN 978-1-931914-59-8 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 31 августа 2017 года .

[23] Ferraro, Giovanni (2007). Рост и развитие теории серии до начала 1820 -х годов (иллюстрировано изд.). Springer Science & Business Media. п. 87. ISBN 978-0-387-73468-2 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 31 августа 2017 года .

[24] Guicciardini, Niccolo (2005). «Ньютон, естественная философия Математические принципы Первое издание (1687)». Знаковые сочинения в западной математике 1640-1940 . Elsevier. стр. 59-87. Doi : 10.1016 / b978-044450871-3 / 50086-3 . ISBN 978-0-444-50871-3 Полем [Ньютон] сразу понял, что квадратурные проблемы (обратные проблемы) могут быть решены посредством серии Infinite: как мы бы сказали в наши дни, путем расширения серии Integrand in Power и интеграции срока.

[:1-25] Jump up to: ^а ^{беременный} Граттан-Гуиннесс, I. , изд. (2005). Знаковые сочинения в западной математике 1640–1940 . Амстердам: Elsevier. ISBN 0-444-50871-6 Полем OCLC 60416766 .

[leib-26] Лейбниц, Готфрид Вильгельм (2008). Ранние математические рукописи Лейбниза . Cosimo, Inc. с. 228. ISBN 978-1-605-20533-5 Полем Архивировано с оригинала 1 марта 2023 года . Получено 5 июня 2022 года .

[27] Мазур, Джозеф (2014). Посещающие символы / короткая история математической обозначения и ее скрытые силы . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. п. 166. ISBN 978-0-691-17337-5 Полем Лейбниц понял символы, их концептуальные силы, а также их ограничения. Он проводил годы, экспериментируя с некоторыми - скорректируя, отвергая и соответствуя всем, кого он знал, консультируясь со многими ведущими математиками того времени, которые были симпатичны его привередству.

[TMU-28] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} Frautschi, Стивен . Оленик, Ричард П.; Апостол, Том М .; Гудштейн, Дэвид Л. (2007). Механическая вселенная: механика и тепло (усовершенствованное изд.). Кембридж [Cambridgeshire]: издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-71590-4 Полем OCLC 227002144 .

[29] Schrader, Dorothy V. (1962). «Споры Ньютона-Либниза в отношении обнаружения исчисления». Учитель математики . 55 (5): 385–396. doi : 10.5951/mt.55.5.0385 . ISSN 0025-5769 . JSTOR 27956626 .

[30] Стедолл, Жаклин (2012). История математики: очень короткое введение . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-191-63396-6 .

[31] Стенхаус, Бриджит (май 2020). «Ранний вклад Мэри Сомервилль в циркуляцию дифференциального исчисления» (PDF) . Historia Mathematica . 51 : 1–25. doi : 10.1016/j.hm.2019.12.001 . S2CID 214472568 .

[32] Алэр, Патриция Р. (2007). Предисловие. Биография Марии Гаэланана Агнеси, женщин -математика восемнадцатого века Купиллари , Антонелла Льюистон, Нью -Йорк : Эдвин Меллен Пресс П. Iii. ISBN 978-0-7734-5226-8 .

[33] Unlu, Elif (апрель 1995 г.). «Мария Гаэтана Агнези» . Агнес Скотт Колледж . Архивировано из оригинала 3 декабря 1998 года . Получено 7 декабря 2010 года .

[Bell-SEP-34] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Белл, Джон Л. (6 сентября 2013 г.). «Непрерывность и бесконечно -массивные» . Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 16 марта 2022 года . Получено 20 февраля 2022 года .

[35] Рассел, Бертран (1946). История западной философии . Лондон: George Allen & Unwin Ltd. п. 857 . Великие математики семнадцатого века были оптимистичными и беспокоились о быстрых результатах; Следовательно, они оставили основы аналитической геометрии и бесконечно массивного исчисления небезопасности. Лейбниц верил в фактические бесконечно -магистральные, но хотя эта вера подходила его метафизике, она не имела никакой основы в математике. Вейерштрас, вскоре после середины девятнадцатого века, показал, как установить исчисление без бесконечно -массивных и, в конце концов, сделало его логически безопасным. Затем появился Георг Кантор, который разработал теорию преемственности и бесконечного числа. «Непрерывность» была, пока он не определил это, смутное слово, удобное для таких философов, как Гегель, которые хотели ввести метафизические гряды в математику. Кантор дал точное значение слову и показала, что непрерывность, как он определил, была концепцией, необходимой для математиков и физиков. При этом большая часть мистики, такая как мин, был усугублен.

[36] Грабинер, Джудит В. (1981). Происхождение строгого исчисления Коши Кембридж: MIT Press. ISBN 978-0-387-90527-3 .

[37] Арчибальд, Том (2008). «Разработка строгости в математическом анализе». В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 117–129. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .

[38] Райс, Адриан (2008). «Хронология математических событий». В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 1010–1014. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .

[39] Siegmund-Schultze, Reinhard (2008). «Анри Лебег». В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 796–797. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .

[40] Барани, Майкл Дж.; Паумье, Энн-Сандрин; Лютцен, Джеспер (ноябрь 2017 г.). «От Нэнси до Копенгагена до мира: интернационализация Лорана Шварца и его теория распределений» . Historia Mathematica . 44 (4): 367–394. doi : 10.1016/j.hm.2017.04.002 .

[41] Daubin, Joseph W. (2008). "Авраам Робинсон". В гоусерах Тимоти ; Барроу-зеленый, июнь ; Лидер, Имре (ред.). Принстонский компаньон по математике . ПРИЗНАЯ УНИВЕРСИТЕТА ПРИСЕТА. С. 822–823. ISBN 978-0-691-11880-2 Полем OCLC 682200048 .

[42] Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древнего до современного времени . Тол. 3. Нью -Йорк: издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-977048-9 Полем OCLC 726764443 .

[43] фон Нейман, Дж. (1947). «Математик». В Хейвуде, РБ (ред.). Дела ума . Университет Чикагской Прессы. С. 180–196. Перепечатано в Броди, Ф.; Vámos, T., eds. (1995). Neumann Compendium . World Scientific Publishing Co. Pte. ООО с.п. 618-626. ISBN 981-02-2201-7 .

[:5-44] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Герман, Эдвин; Странг, Гилберт ; и др. (2017). Исчисление . Полный. 1. Хьюстон, Техас: OpenStax. ISBN 978-1-938168-02-4 Полем OCLC 1022848630 . Архивировано из оригинала 23 сентября 2022 года . Получено 26 июля 2022 года .

[45] Ченг, Евгения (2017). Помимо бесконечности: экспедиция на внешние пределы математики . Основные книги. С. 206–210. ISBN 978-1-541-64413-7 Полем OCLC 1003309980 .

[:4-46] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин Salas, Saturnino L.; Hille, Einar (1971). Исчисление; одна и несколько переменных . Waltham, MA: Xerox College Pub. OCLC 135567 .

[:2-47] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в Хьюис-Халлетт, Дебора ; McCcallum, William G .; Глисон, Эндрю М .; и др. (2013). Calculus: одиночный и многомерный (6 -е изд.). Хобокен, Нью -Джерси: Уилл. ISBN 978-0-470-88861-2 Полем OCLC 794034942 .

[48] Мобс, Уильям; Лин, Самуил Дж.; Санни, Джефф; и др. (2022). Университетская физика, том 1 . OpenStax. ISBN 978-1-947172-20-3 Полем OCLC 961352944 .

[49] См., Например:
Махони, Майкл С. (1990). «Математика Барроу: между древними и современными». В Фейнгольде, М. (ред.). Перед Ньютоном . Издательство Кембриджского университета. С. 179–249. ISBN 978-0-521-06385-2 .

Фейнгольд, М. (июнь 1993 г.). «Ньютон, Лейбниц и Барроу тоже: попытка переосмысления». ИГИЛ . 84 (2): 310–338. Bibcode : 1993isis ... 84..310f . doi : 10.1086/356464 . ISSN 0021-1753 . S2CID 144019197 .

Пробст, Зигмунд (2015). «Лейбник как читатель и второй изобретатель: случаи Барроу и Менголи». В Гете, Норма Б.; Били, Филипп; Рабуин, Дэвид (ред.). GW Leibniz, Взаимосвязь между математикой и философией . Архимед: новые исследования в области истории и философии науки и техники. Тол. 41. Springer. С. 111–134. ISBN 978-9-401-79663-7 .

[57] Махони, Майкл С. (1990). «Математика Барроу: между древними и современными». В Фейнгольде, М. (ред.). Перед Ньютоном . Издательство Кембриджского университета. С. 179–249. ISBN 978-0-521-06385-2 .

[58] Фейнгольд, М. (июнь 1993 г.). «Ньютон, Лейбниц и Барроу тоже: попытка переосмысления». ИГИЛ . 84 (2): 310–338. Bibcode : 1993isis ... 84..310f . doi : 10.1086/356464 . ISSN 0021-1753 . S2CID 144019197 .

[59] Пробст, Зигмунд (2015). «Лейбник как читатель и второй изобретатель: случаи Барроу и Менголи». В Гете, Норма Б.; Били, Филипп; Рабуин, Дэвид (ред.). GW Leibniz, Взаимосвязь между математикой и философией . Архимед: новые исследования в области истории и философии науки и техники. Тол. 41. Springer. С. 111–134. ISBN 978-9-401-79663-7 .

[50] Герман, Эдвин; Странг, Гилберт; и др. (2017). Исчисление. Том 2 . Хьюстон: OpenStax. ISBN 978-1-5066-9807-6 Полем OCLC 1127050110 . Архивировано из оригинала 26 июля 2022 года . Получено 26 июля 2022 года .

[51] Барон, Маргарет Э. (1969). Происхождение бесконечно малого исчисления . Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 978-1-483-28092-9 Полем OCLC 892067655 .

[52] Каяспор, Али (28 августа 2022 г.). «Прекрасные применения исчисления в реальной жизни» . Середина . Архивировано из оригинала 26 сентября 2022 года . Получено 26 сентября 2022 года .

[53] Ху, Чжиинг (14 апреля 2021 года). «Приложение и ценность исчисления в повседневной жизни». 2021 2-я Азиатско-Тихоокеанская конференция по обработке изображений, электронике и компьютерам . IPEC2021. Далянский Китай: ACM. С. 562–564. doi : 10.1145/34524446.3452583 . ISBN 978-1-4503-8981-5 Полем S2CID 233384462 .

[54] Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87342-0 Полем OCLC 860391091 .

[55] Гарбер, Элизабет (2001). Язык физики: исчисление и развитие теоретической физики в Европе, 1750–1914 . Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4612-7272-4 Полем OCLC 921230825 .

[56] Холл, Грэм (2008). «Электромагнитная теория Максвелла и особая относительность». Философские транзакции: математические, физические и инженерные науки . 366 (1871): 1849–1860. BIBCODE : 2008RSPTA.366.1849H . doi : 10.1098/rsta.2007.2192 . ISSN 1364-503X . JSTOR 25190792 . PMID 18218598 . S2CID 502776 .

[57] Гбур, Грег (2011). Математические методы для оптической физики и инженерии . Кембридж: издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-511-91510-9 Полем OCLC 704518582 .

[:3-58] Jump up to: ^а ^{беременный} Аткинс, Питер В.; Джонс, Лоретта (2010). Химические принципы: поиск понимания (5 -е изд.). Нью -Йорк: WH Freeman. ISBN 978-1-4292-1955-6 Полем OCLC 501943698 .

[59] Мюррей, JD (2002). Математическая биология. I, Введение (3 -е изд.). Нью -Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-22437-8 Полем OCLC 53165394 .

[60] Neuhauser, Claudia (2011). Исчисление для биологии и медицины (3 -е изд.). Бостон: Прентис Холл. ISBN 978-0-321-64468-8 Полем OCLC 426065941 .

[61] Гаттердам, RW (1981). «Планиметр как пример теоремы Грина». Американский математический ежемесячный . 88 (9): 701–704. doi : 10.2307/2320679 . JSTOR 2320679 .

[62] Адам, Джон А. (июнь 2011 г.). «Разветвление кровеносных сосудов: за пределами стандартной проблемы исчисления». Математический журнал . 84 (3): 196–207. doi : 10.4169/math.mag.84.3.196 . ISSN 0025-570X . S2CID 8259705 .

[63] Маккензи, Дана (2004). «Математическое моделирование и рак» (PDF) . Siam News . 37 (1). Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 года.

[64] Перлофф, Джеффри М. (2018). Микроэкономика: теория и приложения с исчислением (4 -е глобальное изд.). Харлоу: Пирсон. ISBN 978-1-292-15446-6 Полем OCLC 1064041906 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

v Т и Интегралы
Types of integrals	Riemann integral Lebesgue integral Burkill integral Bochner integral Daniell integral Darboux integral Henstock–Kurzweil integral Haar integral Hellinger integral Khinchin integral Kolmogorov integral Lebesgue–Stieltjes integral Pettis integral Pfeffer integral Riemann–Stieltjes integral Regulated integral
Integration techniques	Substitution Trigonometric Euler Weierstrass By parts Partial fractions Euler's formula Inverse functions Changing order Reduction formulas Parametric derivatives Differentiation under the integral sign Laplace transform Contour integration Laplace's method Numerical integration Simpson's rule Trapezoidal rule Risch algorithm
Improper integrals	Gaussian integral Dirichlet integral Fermi–Dirac integral complete incomplete Bose–Einstein integral Frullani integral Common integrals in quantum field theory
Stochastic integrals	Itô integral Russo–Vallois integral Stratonovich integral Skorokhod integral
Miscellaneous	Basel problem Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Volumes Washers Shells

v Т и InfinitesImals
История	Адекватность Обозначения Лейбниза Интегральный символ Критика нестандартного анализа Аналитик Метод механических теорем Печать Кавальери
Связанные ветви	Нестандартный анализ Нестандартное исчисление Внутренняя теория наборов Синтетическая дифференциальная геометрия Гладкий бесконечный анализ Конструктивный нестандартный анализ Теория бесконечно малой деформации (физика)
Формализация	Дифференциалы Гиперреальные числа Двойные числа Сюрреалистические номера
Отдельные концепции	Стандартная часть функции Принцип передачи Hyperinteger Теорема приращения Монад Внутренний набор Levi-Civita Field Гиперфинит набор Закон преемственности Обзор Микроконтинтуальность Трансцендентальный закон о однородности
Математики	Готфрид Вильгельм Лейбниц Авраам Робинсон Фермат Камень Августин-Луи Коши Леонхард Эйлер
Учебники	Анализ бесконечно маленького Элементарное исчисление Анализованный курс

v Т и Основные темы в математическом анализе
Calculus: Integration Differentiation Differential equations ordinary partial stochastic Fundamental theorem of calculus Calculus of variations Vector calculus Tensor calculus Matrix calculus Lists of integrals Table of derivatives
Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis (quaternionic analysis) Functional analysis Fourier analysis Least-squares spectral analysis Harmonic analysis P-adic analysis (P-adic numbers) Measure theory Representation theory Functions Continuous function Special functions Limit Series Infinity
Mathematics portal

v Т и Основные математические области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject

v Т и Сэр Исаак Ньютон
Publications	Fluxions (1671) De Motu (1684) Principia (1687) Opticks (1704) Queries (1704) Arithmetica (1707) De Analysi (1711)
Other writings	Quaestiones (1661–1665) "standing on the shoulders of giants" (1675) Notes on the Jewish Temple (c. 1680) "General Scholium" (1713; "hypotheses non fingo" ) Ancient Kingdoms Amended (1728) Corruptions of Scripture (1754)
Contributions	Calculus fluxion Impact depth Inertia Newton disc Newton polygon Newton–Okounkov body Newton's reflector Newtonian telescope Newton scale Newton's metal Spectrum Structural coloration
Newtonianism	Bucket argument Newton's inequalities Newton's law of cooling Newton's law of universal gravitation post-Newtonian expansion parameterized gravitational constant Newton–Cartan theory Schrödinger–Newton equation Newton's laws of motion Kepler's laws Newtonian dynamics Newton's method in optimization Apollonius's problem truncated Newton method Gauss–Newton algorithm Newton's rings Newton's theorem about ovals Newton–Pepys problem Newtonian potential Newtonian fluid Classical mechanics Corpuscular theory of light Leibniz–Newton calculus controversy Newton's notation Rotating spheres Newton's cannonball Newton–Cotes formulas Newton's method generalized Gauss–Newton method Newton fractal Newton's identities Newton polynomial Newton's theorem of revolving orbits Newton–Euler equations Newton number kissing number problem Newton's quotient Parallelogram of force Newton–Puiseux theorem Absolute space and time Luminiferous aether Newtonian series table
Personal life	Woolsthorpe Manor (birthplace) Cranbury Park (home) Early life Later life Apple tree Religious views Occult studies Scientific Revolution Copernican Revolution
Relations	Catherine Barton (niece) John Conduitt (nephew-in-law) Isaac Barrow (professor) William Clarke (mentor) Benjamin Pulleyn (tutor) Roger Cotes (student) William Whiston (student) John Keill (disciple) William Stukeley (friend) William Jones (friend) Abraham de Moivre (friend)
Depictions	Newton by Blake (monotype) Newton by Paolozzi (sculpture) Isaac Newton Gargoyle Astronomers Monument
Namesake	Newton (unit) Newton's cradle Isaac Newton Institute Isaac Newton Medal Isaac Newton Telescope Isaac Newton Group of Telescopes XMM-Newton Sir Isaac Newton Sixth Form Statal Institute of Higher Education Isaac Newton Newton International Fellowship
Categories	Isaac Newton