Философия математики

Философия математики — это раздел философии , который занимается природой математики и ее связью с другими видами человеческой деятельности.

Основные темы, которые рассматриваются в философии математики, включают:

Реальность : Вопрос в том, является ли математика чистым продуктом человеческого разума или она сама по себе обладает некоторой реальностью.
Логика и строгость
Связь с физической реальностью
Отношения с наукой
Связь с приложениями
Математическая истина
Природа как деятельность человека (наука, искусство, игра или все вместе)

Основные темы

Реальность

Связь между математикой и материальной реальностью приводила к философским дебатам, по крайней мере, со времен Пифагора . Античный философ Платон утверждал, что абстракции, отражающие материальную реальность, сами по себе обладают реальностью, существующей вне пространства и времени. В результате философский взгляд на то, что математические объекты каким-то образом существуют сами по себе в абстракции, часто называют платонизмом . Независимо от их возможных философских взглядов, современных математиков в целом можно считать платонистами, поскольку они думают и говорят о своих объектах исследования как о реальных объектах (см. Математический объект ). ^[1]

Арман Борель резюмировал этот взгляд на математическую реальность следующим образом и привел цитаты Г.Х. Харди , Шарля Эрмита , Анри Пуанкаре и Альберта Эйнштейна , подтверждающие его взгляды. ^[2]

Нечто становится объективным (в отличие от «субъективного»), как только мы убеждаемся, что оно существует в сознании других в той же форме, что и в нашем, и что мы можем думать об этом и обсуждать это вместе. ^[3] Поскольку язык математики настолько точен, он идеально подходит для определения понятий, по которым существует такой консенсус. По моему мнению, этого достаточно, чтобы дать нам ощущение объективного существования, реальности математики...

Логика и строгость

Математические рассуждения требуют строгости . Это означает, что определения должны быть абсолютно однозначными, а доказательства должны быть сведены к последовательному применению силлогизмов или правил вывода . ^[а] без всякого использования эмпирических данных и интуиции . ^[б]^[4]

Правила строгого рассуждения были установлены древнегреческими философами под названием логики . Логика не является специфичной для математики, но в математике стандарты строгости намного выше, чем где-либо еще.

На протяжении многих веков логика, хотя и использовалась для математических доказательств, принадлежала философии и специально не изучалась математиками. ^[5] Примерно в конце XIX века несколько парадоксов поставили под сомнение логическую основу математики и, следовательно, достоверность всей математики. Это было названо фундаментальным кризисом математики . Некоторые из этих парадоксов состоят из результатов, которые, кажется, противоречат общепринятой интуиции, таких как возможность построения действительных неевклидовых геометрий, в которых постулат о параллельности неверен, функция Вейерштрасса , которая является непрерывной , но нигде не дифференцируемой , и исследование Георга Кантора бесконечных множеств , что привело к рассмотрению нескольких размеров бесконечности (бесконечные кардиналы ). Еще более поразительно то, что парадокс Рассела показывает, что фраза «множество всех множеств» противоречива сама себе.

Было предложено несколько методов решения проблемы путем изменения логической структуры, таких как конструктивная математика и интуиционистская логика . Грубо говоря, первый состоит в том, чтобы требовать от каждой теоремы существования явного примера, а второй исключает из математических рассуждений закон исключенного третьего и исключения двойного отрицания .

Проблемы основания математики в конечном итоге были решены с возникновением математической логики как новой области математики. В этой структуре математическая или логическая теория состоит из формального языка , который определяет правильность утверждений , набора основных утверждений, называемых аксиомами , и набора правил вывода , которые позволяют создавать новые утверждения из одного или нескольких известных утверждений. Теорема такой теории — это либо аксиома, либо утверждение , которое можно получить из ранее известных теорем применением правила вывода. Теория множеств Цермело -Френкеля с аксиомой выбора , обычно называемая ZFC , представляет собой такую теорию, в которой вся математика была переформулирована; он неявно используется во всех текстах по математике, в которых явно не указано, на каких основаниях они основаны. Более того, другие предлагаемые основы можно моделировать и изучать внутри ZFC.

В результате «строгость» больше не является актуальным понятием в математике, поскольку доказательство может быть либо правильным, либо ошибочным, а «строгое доказательство» — это просто плеоназм . Особая концепция строгости вступает в игру в социализированных аспектах доказательства. В частности, доказательства редко пишутся во всех подробностях, а некоторые этапы доказательства обычно считаются тривиальными , простыми или прямолинейными и поэтому оставляются на усмотрение читателя. Поскольку большинство ошибок доказательства происходит на этих пропущенных этапах, новое доказательство требует проверки другими специалистами в данной области и может считаться надежным только после того, как оно будет принято сообществом специалистов, на что может потребоваться несколько лет. ^[6]

Кроме того, концепция «строгости» может остаться полезной для обучения новичков тому, что такое математическое доказательство. ^[7]

Связь с физической реальностью

До XIX века основные математические понятия, такие как точки , линии , натуральные числа , действительные числа (используемые для измерений) и т. д., были абстракциями физического мира, и обычно считалось, что этого достаточно для их определения. ^[с]

Вследствие такой близости к физической реальности математики были очень осторожны, когда проблемы, которые они хотели решить, заставляли их вводить новые концепции, не связанные напрямую с реальным миром. Эти меры предосторожности до сих пор отражены в современной терминологии, где числа, не являющиеся частными натуральных чисел, называются иррациональными числами , что первоначально означает, что разум не может их постичь. Точно так же действительные числа — это числа, которые можно использовать для измерения, а мнимые — нет.

В XIX веке велись активные исследования по уточнению основных понятий, возникших в результате абстракции от реального мира; например, арифметика Пеано натуральных чисел, формальные определения предела , ряда (бесконечные суммы, которые могут иметь конечные суммы) и непрерывности Коши для и Вейерштрасса , определение действительных чисел Коши и Дедекинда . Эти формальные определения позволили доказать противоречивые результаты, которые являются одной из причин фундаментального кризиса математики . Например, функция Вейерштрасса — это функция , всюду непрерывная и нигде не дифференцируемая . Поскольку существование такого монстра казалось невозможным, у людей было два выбора: либо они принимают столь нереальные факты, из чего следует, что математике не обязательно отражать физическую реальность; или они меняют логические правила исключения таких монстров. Первый выбор привел к философской школе формализма ; в своей сильной форме эту школу можно понимать как тот факт, что математики не должны заботиться о физической реальности. Второй выбор привел к интуиционизм и конструктивизм .

После сильных дебатов аксиоматический подход в конечном итоге стал де-факто нормой в математике. Это означает, что математические теории должны быть основаны на аксиомах (основных предположениях, которые считаются истинными) и фиксированном наборе правил вывода ; теория состоит из результатов ( теорем ), которые можно вывести (доказать) из аксиомы с помощью правил вывода, и только правил вывода. Сущности ( математические объекты ), включенные в аксиомы, считаются определяемыми аксиомами, и по их природе не предполагается ничего иного. Например, плоскую геометрию можно аксиоматизировать с помощью двух типов объектов: точек и линий, а также отношения, «принадлежащего» или «проходящего через», которое связывает точки и линии. Одна из аксиом гласит: «Через две точки проходит ровно одна прямая». Интерпретация точек и линий (теории) как обычных точек и линий совершенно не имеет значения для достоверности теории. Это означает, что можно проверить правильность доказательства, не обращаясь к каким-либо рисункам, и что доказанная теорема остается верной независимо от какой-либо интерпретации сущностей, включенных в аксиомы. Например, в самолете В проективной геометрии можно интерпретировать точки как линии и наоборот. Это означает, что для каждой теоремы, связывающей точки и прямые, можно немедленно получить новую теорему, поменяв местами роли точек и линий (см. двойственность ). Тем не менее, интерпретация объектов теории с точки зрения физической реальности (если это возможно) или ранее изученных абстракций остается фундаментальной для выбора аксиом, понимания предмета теории и выполнения этапов длительного доказательства.

Этот аксиоматический подход был применен ко всей математике через ZFC , теорию множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора . Вся математика была перестроена внутри этой теории. Если явно не указано иное, все современные математические тексты используют его в качестве основы математики.

Как следствие, связь между математикой и физической реальностью больше не является математическим вопросом, но природа этой связи остается философским вопросом, не имеющим однозначного ответа.

Связь с науками

Математика используется в большинстве наук для моделирования явлений, что затем позволяет делать прогнозы на основе экспериментальных законов. ^[8] Независимость математической истины от любых экспериментов подразумевает, что точность таких предсказаний зависит только от адекватности модели. ^[9] Неточные предсказания вызваны не неверными математическими концепциями, а необходимостью изменения используемой математической модели. ^[10] Например, прецессию перигелия Меркурия можно было объяснить только после появления , Эйнштейна общей теории относительности которая заменила закон тяготения Ньютона как лучшую математическую модель. ^[11]

До сих пор ведутся философские споры о том, является ли математика наукой. Однако на практике математиков обычно объединяют с учеными, а математика имеет много общего с физическими науками. Как и они, она фальсифицируема . В математике это означает, что если результат или теория неверны, это можно доказать, приведя контрпример . Как и в науке, теории и результаты (теоремы) часто получаются в результате экспериментов . ^[12] В математике экспериментирование может состоять из вычислений на выбранных примерах или изучения фигур или других представлений математических объектов (часто представлений разума без физической поддержки). Например, когда его спросили, как он пришел к своим теоремам, Гаусс однажды ответил: «durch planmässiges Tattonieren» (путем систематических экспериментов). ^[13] Однако некоторые авторы подчеркивают, что математика отличается от современного понятия науки тем, что не опирается на эмпирические данные. ^[14]^[15]^[16]^[17]

Неоправданная эффективность

Необоснованная эффективность математики — это явление, которое было названо и впервые объяснено физиком Юджином Вигнером . ^[18] Дело в том, что многие математические теории (даже самые «чистые») имеют приложения за пределами своего первоначального объекта. Эти приложения могут совершенно выходить за рамки своей первоначальной области математики и могут касаться физических явлений, которые были совершенно неизвестны на момент появления математической теории. ^[19] Примеры неожиданных приложений математических теорий можно найти во многих областях математики.

Ярким примером является простая факторизация натуральных чисел, которая была открыта более чем за 2000 лет до ее повсеместного использования для безопасной интернет -связи посредством криптосистемы RSA . ^[20] Второй исторический пример — теория эллипсов . Они изучались древнегреческими математиками как конические сечения (т. е. пересечения конусов плоскостями). Почти 2000 лет спустя Иоганн Кеплер обнаружил, что траектории планет представляют собой эллипсы. ^[21]

В 19 веке внутреннее развитие геометрии (чистой математики) привело к определению и изучению неевклидовых геометрий, пространств размерности выше трёх и многообразий . В то время эти концепции казались совершенно оторванными от физической реальности, но в начале 20-го века Альберт Эйнштейн разработал теорию относительности , которая фундаментально использует эти концепции. В частности, пространство-время специальной теории относительности представляет собой неевклидово пространство четырехмерного измерения, а пространство-время общей теории относительности представляет собой (искривленное) многообразие четырехмерного измерения. ^[22]^[23]

Поразительным аспектом взаимодействия математики и физики является то, что математика стимулирует исследования в области физики. Об этом свидетельствуют открытия позитрона и бариона . $\Omega ^{-}.$ В обоих случаях уравнения теорий имели необъяснимые решения, что привело к предположению о существовании неизвестной частицы и поиску этих частиц. В обоих случаях эти частицы были открыты несколько лет спустя в результате конкретных экспериментов. ^[2]^[24]^[25]

История

В основе математики лежат споры и разногласия. Было ли рождение математики случайным или вызвано необходимостью в ходе развития подобных предметов, таких как физика, остается предметом споров. ^[26]^[27]

Многие мыслители высказали свои идеи относительно природы математики. Сегодня некоторые ^{[ ВОЗ? ]} философы математики стремятся дать отчет об этой форме исследования и ее продуктах в их нынешнем виде, в то время как другие подчеркивают свою роль, которая выходит за рамки простой интерпретации и переходит к критическому анализу. Традиции математической философии существуют как в западной , так и в восточной философии . Западные философии математики восходят к Пифагору , который описал теорию «все есть математика» ( математизм ), Платону , который перефразировал Пифагора и изучал онтологический статус математических объектов, и Аристотелю , который изучал логику и вопросы, связанные с бесконечностью. (фактическое или потенциальное).

Греческая философия математики находилась под сильным влиянием изучения геометрии . Например, одно время греки придерживались мнения, что 1 (единица) — это не число , а единица произвольной длины. Число определялось как множество. Следовательно, 3, например, представляло определенное множество единиц и, таким образом, было «истинным» числом. В другом месте был высказан аналогичный аргумент, что 2 — это не число, а фундаментальное понятие пары. Эти взгляды исходят из строго геометрической точки зрения греков, основанной на циркуле и линейке: точно так же, как линии, нарисованные в геометрической задаче, измеряются пропорционально первой произвольно нарисованной линии, так и числа на числовой прямой измеряются пропорционально к произвольному первому «числу» или «одному». ^{[ нужна ссылка ]}

Эти ранние греческие представления о числах были позднее опровергнуты открытием иррациональности извлечения квадратного корня из двух. Гиппас , ученик Пифагора , показал, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с его ребром (единичной длины): другими словами, он доказал, что не существует существующего (рационального) числа, которое точно изображало бы пропорцию диагонали единичного квадрата. квадрат к его краю. Это вызвало значительную переоценку греческой философии математики. Согласно легенде, собратья-пифагорейцы были настолько травмированы этим открытием, что убили Гиппаса, чтобы помешать ему распространять свои еретические идеи. ^[28] Симон Стевин был одним из первых в Европе, бросивших вызов греческим идеям в 16 веке. Начиная с Лейбница , акцент сильно сместился на взаимосвязь между математикой и логикой. Эта точка зрения доминировала в философии математики во времена Фреге и Рассела , но была поставлена под сомнение событиями конца 19 и начала 20 веков.

Современная философия

Вечная проблема философии математики касается взаимоотношений между логикой и математикой в их общих основаниях. В то время как философы 20-го века продолжали задавать вопросы, упомянутые в начале этой статьи, философия математики 20-го века характеризовалась преобладающим интересом к формальной логике , теории множеств (как наивной теории множеств , так и аксиоматической теории множеств ) и фундаментальные вопросы.

Это глубокая загадка: с одной стороны, математические истины кажутся убедительными и неотвратимыми, но, с другой стороны, источник их «истинности» остается неуловимым. Исследования по этому вопросу известны как основы программы математики .

В начале 20-го века философы математики уже начали делиться на различные школы мысли по всем этим вопросам, широко отличающиеся своими представлениями о математической эпистемологии и онтологии . В это время возникли три школы: формализм , интуиционизм и логицизм , отчасти в ответ на все более широкое распространение опасений, что математика в ее нынешнем виде и анализ в частности не соответствуют стандартам достоверности и строгости , которые были приняты за предоставленный. Каждая школа обращалась к проблемам, которые вышли на первый план в то время, либо пытаясь их решить, либо заявляя, что математика не имеет права на статус нашего знания, которому мы больше всего доверяем.

Неожиданные и нелогичные разработки в формальной логике и теории множеств в начале 20-го века привели к появлению новых вопросов, касающихся того, что традиционно называлось основами математики . По мере развития столетия первоначальный фокус внимания расширился до открытого исследования фундаментальных аксиом математики, причем аксиоматический подход считался само собой разумеющимся со времен Евклида около 300 г. до н.э. как естественная основа математики. Понятия аксиомы , предложения и доказательства , а также понятие истинности предложения в отношении математического объекта (см. Задание ) были формализованы, что позволило трактовать их математически. Были сформулированы аксиомы Цермело -Френкеля для теории множеств, которые обеспечили концептуальную основу, в которой можно было интерпретировать большую часть математического дискурса. В математике, как и в физике, возникали новые и неожиданные идеи и наступали значительные изменения. С помощью нумерации Гёделя предложения можно интерпретировать как относящиеся к самим себе или другим предложениям, что позволяет исследовать непротиворечивость математических теорий. Эта рефлексивная критика, в которой рассматриваемая теория «сама становится объектом математического исследования», побудила Гильберта назвать такое исследование метаматематикой или теорией доказательства . ^[29]

создали новую математическую теорию В середине века Сэмюэл Эйленберг и Сондерс Мак Лейн , известную как теория категорий , и она стала новым претендентом на естественный язык математического мышления. ^[30] Однако по ходу XX века философские мнения разошлись относительно того, насколько обоснованными были вопросы о фондах, поднятые в начале века. Хилари Патнэм резюмировала один общий взгляд на ситуацию последней трети века, сказав:

Когда философия обнаруживает, что в науке что-то не так, иногда науку приходится менять ( парадокс Рассела на ум приходит , а также нападки Беркли на реальное бесконечно малое ), но чаще всего приходится менять философию. Я не думаю, что трудности, с которыми сегодня сталкивается философия в классической математике, являются подлинными трудностями; и я думаю, что философские интерпретации математики, которые нам предлагают повсюду, неверны, и что «философская интерпретация» — это как раз то, в чем математике не нужно. ^[31]^{: 169–170}

Философия математики сегодня развивается по нескольким различным направлениям исследований философов математики, логиков и математиков, и существует множество школ мысли по этому вопросу. В следующем разделе школы рассматриваются отдельно, и их предположения объясняются.

Современные школы мысли

Художественный

Взгляд, который утверждает, что математика — это эстетическая комбинация предположений, а затем утверждает, что математика — это искусство . Известным математиком , утверждающим это, является британец Г.Х. Харди . ^[32] Для Харди в его книге « Апология математика » определение математики было больше похоже на эстетическое сочетание понятий. ^[33]

Платонизм

Математический платонизм — это форма реализма, которая предполагает, что математические объекты абстрактны, не имеют пространственно-временных или причинных свойств, а также вечны и неизменны. Часто утверждают, что именно такого взгляда на числа придерживается большинство людей. Термин «платонизм» используется потому, что такая точка зрения рассматривается как параллель с Платона теорией форм и «миром идей» (греч. эйдос (εἶδος)), описанным в аллегории Платона о пещере : повседневный мир может лишь несовершенно приближаться к неизменная, высшая реальность. И пещера Платона, и платонизм имеют значимые, а не только поверхностные связи, потому что идеям Платона предшествовали и, вероятно, находились под влиянием чрезвычайно популярных пифагорейцев Древней Греции, которые считали, что мир в буквальном смысле порожден числами .

Главный вопрос, рассматриваемый в математическом платонизме: где именно и как существуют математические сущности и откуда мы о них знаем? Существует ли мир, совершенно отдельный от нашего физического, населенный математическими объектами? Как мы можем получить доступ к этому отдельному миру и узнать правду о сущностях? Одним из предлагаемых ответов является « Предельный ансамбль» — теория, постулирующая, что все структуры, существующие математически, также существуют физически в своей собственной вселенной.

Курта Гёделя Платонизм ^[34] постулирует особый вид математической интуиции, которая позволяет нам непосредственно воспринимать математические объекты. (Эта точка зрения имеет сходство со многими высказываниями Гуссерля о математике и поддерживает Канта идею о том, что математика является синтетической априори .) Дэвис и Херш 1999 года предположили в своей книге «Математический опыт» , что большинство математиков действуют так, как если бы они были платониками, даже хотя, если их заставить тщательно защищать свою позицию, они могут отступить к формализму .

Чистокровный платонизм — это современная вариация платонизма, которая является реакцией на тот факт, что в зависимости от используемых аксиом и правил вывода (например, закона исключенного исключенного третьего третьего и закона ) может быть доказано существование различных наборов математических сущностей. аксиома выбора ). Он утверждает, что все математические объекты существуют. Они могут быть доказуемыми, даже если все они не могут быть выведены из единого непротиворечивого набора аксиом. ^[35]

Теоретико-множественный реализм (также теоретико-множественный платонизм ) ^[36] Позиция, которую защищает Пенелопа Мэдди , заключается в том, что теория множеств представляет собой единую вселенную множеств. ^[37] Эта позиция (которая также известна как натурализованный платонизм , поскольку она представляет собой натурализованную версию математического платонизма) подверглась критике со стороны Марка Балагера на основе Поля Бенасеррафа эпистемологической проблемы . ^[38] Похожая точка зрения, названная платонизированным натурализмом , позже была защищена школой Стэнфорда-Эдмонтона : согласно этой точке зрения, более традиционный вид платонизма совместим с натурализмом ; более традиционный вид платонизма, который они защищают, отличается общими принципами, утверждающими существование абстрактных объектов . ^[39]

Математизм

Макса Тегмарка ( Гипотеза математической вселенной или математикизм ) идет дальше платонизма, утверждая, что не только все математические объекты существуют, но и ничто другое. Единственный постулат Тегмарка таков: все структуры, существующие математически, существуют и физически . То есть в том смысле, что «в этих [мирах], достаточно сложных, чтобы содержать самосознательные подструктуры, [они] будут субъективно воспринимать себя существующими в физически «реальном» мире». ^[40]^[41]

Логизм

Логицизм — это тезис о том, что математика сводится к логике и, следовательно, является не чем иным, как частью логики. ^[42]^: 41 Логики считают, что математику можно знать априорно , но предполагают, что наши знания математики являются лишь частью наших знаний о логике в целом и, следовательно, являются аналитическими , не требующими каких-либо особых способностей математической интуиции. С этой точки зрения логика является надлежащей основой математики, а все математические утверждения являются необходимыми логическими истинами .

Рудольф Карнап (1931) представляет логистический тезис в двух частях: ^[42]

Понятия . математики могут быть выведены из логических понятий посредством явных определений
Теоремы . математики могут быть выведены из логических аксиом посредством чисто логической дедукции

Готтлоб Фреге – основоположник логицизма. В своей основополагающей книге Die Grundgesetze der Arithmetik ( «Основные законы арифметики ») он построил арифметику на основе логической системы с общим принципом понимания, который он назвал «Основным законом V» (для понятий F и G расширение F равно расширение G когда для всех объектов a тогда и только тогда , Fa равно Ga ), принцип, который он считал приемлемым как часть логики.

Конструкция Фреге была ошибочной. Бертран Рассел обнаружил, что Основной закон V противоречив (это парадокс Рассела ). Вскоре после этого Фреге отказался от своей логистской программы, но ее продолжили Рассел и Уайтхед . Они объяснили этот парадокс «порочной цикличностью» и создали то, что они назвали разветвленной теорией типов, чтобы справиться с ним. В этой системе в конечном итоге удалось построить большую часть современной математики, но в измененном и чрезмерно сложном виде (например, в каждом типе были разные натуральные числа, а типов было бесконечно много). Им также пришлось пойти на несколько компромиссов, чтобы разработать большую часть математики, например, « аксиому сводимости ». Даже Рассел сказал, что эта аксиома на самом деле не принадлежит логике.

Современные логики (такие как Боб Хейл , Криспин Райт и, возможно, другие) вернулись к программе, более близкой к программе Фреге. Они отказались от Основного закона V в пользу принципов абстракции, таких как принцип Юма (количество объектов, подпадающих под понятие F, равно числу объектов, подпадающих под понятие G, тогда и только тогда, когда расширение F и расширение G могут быть переписка один на один ). Фреге требовал, чтобы Основной закон V мог дать явное определение чисел, но все свойства чисел могут быть выведены из принципа Юма. Фреге этого было бы недостаточно, потому что (перефразируя его) это не исключает возможности того, что число 3 на самом деле является Юлием Цезарем. Кроме того, многие из ослабленных принципов, которые им пришлось принять взамен Основного закона V, больше не кажутся столь явно аналитическими и, следовательно, чисто логическими.

Формализм

Формализм утверждает, что математические утверждения можно рассматривать как утверждения о последствиях определенных правил манипулирования строками. Например, в «игре» евклидовой геометрии (которая рассматривается как состоящая из некоторых строк, называемых «аксиомами», и некоторых «правил вывода» для создания новых строк из заданных) можно доказать, что теорема Пифагора справедлива ( то есть можно сгенерировать строку, соответствующую теореме Пифагора). Согласно формализму, математические истины не связаны с числами, множествами, треугольниками и тому подобным — на самом деле они вообще ни о чем «ни о чем».

Другая версия формализма известна как дедуктивизм . ^[43] В дедуктивизме теорема Пифагора является не абсолютной истиной, а относительной, если она дедуктивно следует из соответствующих аксиом. То же самое справедливо и для всех других математических утверждений.

Формализм не обязательно должен означать, что математика — не что иное, как бессмысленная символическая игра. Обычно надеются, что существует некая интерпретация правил игры. (Сравните эту позицию со структурализмом .) Но она позволяет работающему математику продолжать свою работу и оставлять такие проблемы философу или ученому. Многие формалисты сказали бы, что на практике изучаемые системы аксиом будут предложены требованиями науки или других областей математики.

Основным ранним сторонником формализма был Дэвид Гильберт , чья программа была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. ^[44] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитарная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) была непротиворечивой. Цели Гильберта по созданию математической системы, которая была бы одновременно полной и непротиворечивой, были серьезно подорваны второй теоремой Гёделя о неполноте , которая утверждает, что достаточно выразительные непротиворечивые системы аксиом никогда не могут доказать свою собственную непротиворечивость. Поскольку любая такая система аксиом будет содержать финитную арифметику в качестве подсистемы, теорема Гёделя подразумевала, что будет невозможно доказать непротиворечивость системы относительно нее (поскольку тогда она докажет свою собственную непротиворечивость, что, как показал Гёдель, невозможно). Таким образом, чтобы показать, что любая аксиоматическая система математики на самом деле непротиворечива, нужно сначала предположить непротиворечивость математической системы, которая в некотором смысле сильнее, чем система, непротиворечивость которой должна быть доказана.

Гильберт изначально был дедуктивистом, но, как ясно из вышесказанного, он считал, что определенные метаматематические методы дают внутренне значимые результаты, и был реалистом в отношении финитной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики, независимо от ее интерпретации, не существует.

Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , Альфред Тарский и Хаскелл Карри , считали математику исследованием формальных систем аксиом . Математические логики изучают формальные системы, но зачастую они являются реалистами и формалистами.

Формалисты относительно толерантны и приветствуют новые подходы к логике, нестандартные системы счисления, новые теории множеств и т. д. Чем больше игр мы изучаем, тем лучше. Однако во всех трех примерах мотивация основана на существующих математических или философских проблемах. «Игры» обычно не произвольны.

Основная критика формализма заключается в том, что реальные математические идеи, которыми занимаются математики, далеки от упомянутых выше игр по манипулированию строками. Таким образом, формализм ничего не говорит о том, какие системы аксиом следует изучать, поскольку с формалистической точки зрения ни одна из них не является более значимой, чем другая.

Недавно некоторые ^{[ ВОЗ? ]} Математики-формалисты предложили, чтобы все наши формальные математические знания систематически кодировались в компьютерочитаемых форматах, чтобы облегчить автоматическую проверку математических доказательств и использование интерактивного доказательства теорем при разработке математических теорий и компьютерного программного обеспечения. Из-за их тесной связи с информатикой , эту идею также защищают математические интуиционисты и конструктивисты в традиции «вычислимости» — см. в проекте QED общий обзор .

Конвенционализм

Французский математик Анри Пуанкаре был одним из первых, кто сформулировал конвенционалистскую точку зрения. Использование Пуанкаре неевклидовой геометрии в своей работе над дифференциальными уравнениями убедило его в том, что евклидову геометрию не следует рассматривать как априорную истину. Он считал, что аксиомы в геометрии следует выбирать исходя из результатов, которые они дают, а не из-за их очевидной согласованности с человеческими интуициями о физическом мире.

Интуиционизм

В математике интуиционизм — это программа методологической реформы, девиз которой — «не существует неопытных математических истин» ( Л. Дж. Брауэр ). С этого трамплина интуиционисты стремятся реконструировать то, что они считают исправимой частью математики, в соответствии с кантовскими концепциями бытия, становления, интуиции и познания. Брауэр, основатель этого движения, считал, что математические объекты возникают из априорных форм воли, которые определяют восприятие эмпирических объектов. ^[45]

Главной силой, стоящей за интуиционизмом, был Л. Дж. Брауэр , который отвергал полезность любой формализованной логики для математики. Его ученик Аренд Хейтинг постулировал интуиционистскую логику , отличную от классической аристотелевской логики ; эта логика не содержит закона исключенного третьего и поэтому не одобряет доказательства от противного . Аксиома выбора также отвергается в большинстве интуиционистских теорий множеств, хотя в некоторых версиях она принимается.

В интуиционизме термин «явное построение» не имеет четкого определения, что вызвало критику. Были предприняты попытки использовать концепции машины Тьюринга или вычислимой функции , чтобы заполнить этот пробел, что привело к утверждению, что только вопросы, касающиеся поведения конечных алгоритмов, имеют смысл и должны исследоваться в математике. Это привело к изучению вычислимых чисел , впервые введенных Аланом Тьюрингом . Неудивительно, что такой подход к математике иногда ассоциируется с теоретической информатикой .

Конструктивизм

Как и интуиционизм, конструктивизм включает в себя регулятивный принцип, согласно которому в математический дискурс следует допускать только математические сущности, которые могут быть явно сконструированы в определенном смысле. С этой точки зрения математика — это упражнение человеческой интуиции, а не игра с бессмысленными символами. Вместо этого речь идет о сущностях, которые мы можем создать непосредственно посредством умственной деятельности. Кроме того, некоторые приверженцы этих школ отвергают неконструктивные доказательства, такие как использование доказательства от противного при доказательстве существования объекта или при попытке установить истинность какого-либо утверждения. Важная работа была проделана Эрреттом Бишопом , которому удалось доказать версии наиболее важных теорем реального анализа как конструктивного анализа в его «Основах конструктивного анализа» 1967 года. ^[46]

Финитизм

Финитизм — крайняя форма конструктивизма , согласно которой математический объект не существует, если его нельзя сконструировать из натуральных чисел за конечное число шагов. В своей книге «Философия теории множеств » Мэри Тайлс охарактеризовала тех, кто допускает счетно-бесконечные объекты, как классических финитистов, а тех, кто отрицает даже счетно-бесконечные объекты, как строгих финитистов.

Самым известным сторонником финитизма был Леопольд Кронекер . ^[47] кто сказал:

Бог создал натуральные числа, все остальное — дело рук человека.

Ультрафинитизм — это еще более крайняя версия финитизма, которая отвергает не только бесконечности, но и конечные величины, которые невозможно построить с использованием имеющихся ресурсов. Другой вариант финитизма — евклидова арифметика, система, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств» . ^[48] Система Мэйберри в целом является аристотелевской и, несмотря на его решительное отрицание какой-либо роли операционализма или реализуемости в основах математики, приходит к несколько схожим выводам, таким как, например, что сверхвозведение в степень не является законной финитной функцией.

Структурализм

Структурализм — это позиция, согласно которой математические теории описывают структуры и что математические объекты исчерпывающе определяются своим местом в таких структурах и, следовательно, не имеют внутренних свойств . Например, он будет утверждать, что все, что нужно знать о числе 1, — это то, что это первое целое число после 0. Точно так же все остальные целые числа определяются их местами в структуре — числовой строке . Другие примеры математических объектов могут включать линии и плоскости в геометрии или элементы и операции в абстрактной алгебре .

Структурализм — это эпистемологически реалистический взгляд, поскольку он утверждает, что математические утверждения имеют объективную истинностную ценность. Однако его центральное утверждение относится только к тому, какой сущностью является математический объект, а не к тому, какой тип существования имеют математические объекты или структуры (другими словами, к их онтологии ). Вид существования математических объектов явно будет зависеть от структуры, в которую они встроены; разные подвиды структурализма выдвигают в этом отношении разные онтологические претензии. ^[49]

Структурализм ante rem («до вещи») имеет онтологию, аналогичную платонизму . Считается, что структуры существуют реально, но абстрактно и нематериально. По существу, он сталкивается со стандартной эпистемологической проблемой объяснения взаимодействия между такими абстрактными структурами и математиками из плоти и крови (см. проблему идентификации Бенацеррафа ).

Ин - реструктурализм («в вещи») является эквивалентом аристотелевского реализма . Структуры считаются существующими постольку, поскольку их примером является некая конкретная система. Это влечет за собой обычные проблемы, заключающиеся в том, что некоторые совершенно законные структуры могут случайно не существовать, и что конечный физический мир может оказаться недостаточно «большим», чтобы вместить некоторые в других отношениях законные структуры.

Структурализм post rem («после вещи») антиреалистичен в отношении структур, что соответствует номинализму . Как и номинализм, подход post rem отрицает существование абстрактных математических объектов со свойствами, отличными от их места в реляционной структуре. Согласно этой точке зрения, математические системы существуют и имеют общие структурные особенности. Если что-то верно в отношении структуры, то это будет верно и для всех систем, воплощающих эту структуру. Однако говорить о том, что структуры «общие» между системами, просто полезно: на самом деле они не имеют независимого существования.

Теории воплощенного разума

Теории воплощенного разума утверждают, что математическое мышление является естественным продуктом человеческого когнитивного аппарата, который находится в нашей физической вселенной. Например, абстрактная концепция числа возникает из опыта подсчета дискретных объектов (для обнаружения объектов требуются такие человеческие чувства, как зрение, осязание и передача сигналов от мозга). Считается, что математика не универсальна и не существует ни в каком реальном смысле, кроме человеческого мозга. Люди конструируют, но не открывают математику.

Когнитивные процессы поиска закономерностей и различения объектов также являются предметом нейробиологии ; если математика считается значимой для мира природы (например, с точки зрения реализма или его степени, в отличие от чистого солипсизма ).

Его фактическое соответствие реальности, хотя и считается заслуживающим доверия приближением (также предполагается, что эволюция восприятия, тела и чувств могла быть необходима для выживания), не обязательно соответствует полному реализму (и все еще подлежит такие недостатки, как иллюзия , предположения (следовательно; основы и аксиомы, в которых математика была сформирована людьми), обобщения, обман и галлюцинации . По сути, это также может вызвать вопросы к современному научному методу на предмет его совместимости с общей математикой; будучи относительно надежным, оно все же ограничено тем, что можно измерить эмпиризмом , что может быть не таким надежным, как предполагалось ранее (см. Также: «противоречащие здравому смыслу» концепции, такие как квантовая нелокальность и действие на расстоянии ).

Другая проблема заключается в том, что одна система счисления не обязательно может быть применима для решения задач. Такие предметы, как комплексные числа или мнимые числа, требуют особых изменений в более часто используемых аксиомах математики; в противном случае они не могут быть адекватно поняты.

В качестве альтернативы компьютерные программисты могут использовать шестнадцатеричное представление двоичных значений , а не десятичное (удобно для счета, поскольку у людей десять пальцев). Аксиомы или логические правила, лежащие в основе математики, также меняются со временем (например, адаптация и изобретение нуля ).

Поскольку восприятия человеческого мозга подвержены иллюзиям , предположениям, обманам, (индуцированным) галлюцинациям , когнитивным ошибкам или предположениям в общем контексте, можно подвергнуть сомнению, являются ли они точными или строго указывают на истину (см. также: философия бытия ). и о природе самого эмпиризма по отношению к вселенной и о том, независим ли он от чувств и вселенной.

Человеческий разум не имеет особых претензий на реальность или подходы к ней, основанные на математике. Если такие конструкции, как тождество Эйлера , верны, то они верны и как карта человеческого разума и познания .

Таким образом, теоретики воплощенного разума объясняют эффективность математики: математика была создана мозгом для того, чтобы быть эффективной в этой вселенной.

Самая доступная, известная и печально известная трактовка этой точки зрения — «Откуда берется математика» книга Джорджа Лакоффа и Рафаэля Э. Нуньеса . Кроме того, математик Кейт Девлин исследовал подобные концепции в своей книге «Математический инстинкт» , а также нейробиолог Станислас Деэн в своей книге «Чувство чисел» . Дополнительную информацию о философских идеях, вдохновивших эту точку зрения, см. в разделе « Когнитивная наука математики» .

Аристотелевский реализм

Аристотелевский реализм утверждает, что математика изучает такие свойства, как симметрия, непрерывность и порядок, которые могут быть буквально реализованы в физическом мире (или в любом другом мире, который может существовать). Он контрастирует с платонизмом, утверждая, что объекты математики, такие как числа, не существуют в «абстрактном» мире, но могут быть физически реализованы. Например, число 4 реализуется в отношении между кучей попугаев и универсальным «быть попугаем», разделяющим кучу на такое-то количество попугаев. ^[50]^[51] Аристотелевский реализм защищается Джеймсом Франклином и Сиднейской школой в философии математики и близок к точке зрения Пенелопы Мэдди , согласно которой, когда открывается коробка с яйцами, воспринимается набор из трех яиц (то есть математическая сущность, реализованная в физический мир). ^[52] Проблема аристотелевского реализма заключается в том, как объяснить высшие бесконечности, которые могут быть неосуществимы в физическом мире.

Евклидова арифметика, разработанная Джоном Пенном Мэйберри в его книге «Основы математики в теории множеств». ^[48] также попадает в аристотелевскую реалистическую традицию. Мэйберри, вслед за Евклидом, считает числа просто «определенными множествами единиц», реализованных в природе, например, «участниками Лондонского симфонического оркестра» или «деревьями в Бирнамском лесу». Существует или нет определенное множество единиц, для которых общее понятие 5 Евклида (целое больше, чем часть) терпит неудачу и которые, следовательно, можно было бы считать бесконечными, для Мэйберри, по существу, является вопросом о Природе и не влечет за собой каких-либо трансцендентальных предположений.

Психологизм

Психологизм в философии математики - это позиция, согласно которой математические концепции и / или истины основаны, выведены из психологических фактов (или законов) или объяснены ими.

Джон Стюарт Милль, кажется, был сторонником определенного типа логического психологизма, как и многие немецкие логики XIX века, такие как Зигварт и Эрдманн, а также ряд психологов прошлого и настоящего: например, Гюстав Ле Бон . Психологизм подвергся знаменитой критике со стороны Фреге в его «Основах арифметики» , а также во многих его работах и эссе, включая его обзор « Гуссерля » Философии арифметики . Эдмунд Гуссерль в первом томе своих «Логических исследований », названном «Пролегомены чистой логики», подверг основательной критике психологизм и стремился дистанцироваться от него. «Пролегомены» считаются более кратким, справедливым и основательным опровержением психологизма, чем критика Фреге, а также сегодня многие считают их памятным опровержением, нанесшим решающий удар по психологизму. Психологизм также подвергался критике со стороны Чарльза Сандерса Пирса и Мориса Мерло-Понти .

Эмпиризм

Математический эмпиризм — это форма реализма, отрицающая возможность познания математики априорно вообще . Он гласит, что мы открываем математические факты посредством эмпирических исследований , как и факты в любой другой науке. Это не одна из трех классических позиций, отстаиваемых в начале 20 века, а возникшая в основном в середине века. Однако важным ранним сторонником подобной точки зрения был Джон Стюарт Милль . Точка зрения Милля подверглась широкой критике, поскольку, по мнению таких критиков, как А. Дж. Айер, ^[53] из-за этого утверждения вроде «2 + 2 = 4» кажутся неопределенными, случайными истинами, которые мы можем узнать, только наблюдая случаи, когда две пары собираются вместе и образуют квартет.

Карл Поппер был еще одним философом, указавшим на эмпирические аспекты математики, отметив, что «большинство математических теорий, подобно теориям физики и биологии, гипотетико-дедуктивны: поэтому чистая математика оказывается гораздо ближе к естественным наукам, чьи гипотезы являются предположениями. чем казалось еще недавно». ^[54] Поппер также отметил, что он «признает систему как эмпирическую или научную только в том случае, если ее можно проверить опытом». ^[55]

Современный математический эмпиризм, сформулированный У.В.О. Куайном и Хилари Патнэмом , в первую очередь поддерживается аргументом незаменимости : математика необходима для всех эмпирических наук, и если мы хотим верить в реальность явлений, описываемых науками, мы должны также верить в реальность тех сущностей, которые необходимы для этого описания. То есть, поскольку физике необходимо поговорить об электронах, чтобы сказать, почему лампочки ведут себя именно так, то электроны должны существовать . Поскольку физике необходимо говорить о числах, предлагая любое из своих объяснений, числа должны существовать. В соответствии с общей философией Куайна и Патнэма это натуралистический аргумент. Он утверждает, что существование математических объектов является лучшим объяснением опыта, тем самым лишая математику отличия от других наук.

Патнэм решительно отверг термин « платоник », как подразумевающий сверхспецифическую онтологию , которая не была необходима для математической практики в каком-либо реальном смысле. Он защищал форму «чистого реализма», которая отвергала мистические представления об истине и допускала большую часть квазиэмпиризма в математике . Это произошло из-за все более популярного в конце 20 века утверждения о том, что ни одного основания математики существование никогда не может быть доказано. Его также иногда называют «постмодернизмом в математике», хотя некоторые считают этот термин перегруженным, а другие — оскорбительным. Квазиэмпиризм утверждает, что в ходе своих исследований математики проверяют гипотезы, а также доказывают теоремы. Математический аргумент может передавать ложность заключения в посылки так же, как он может передавать истину из посылок в заключение. Патнэм утверждал, что любая теория математического реализма будет включать квазиэмпирические методы. Он предположил, что инопланетный вид, занимающийся математикой, вполне может полагаться в первую очередь на квазиэмпирические методы, часто отказываясь от строгих и аксиоматических доказательств, и все же заниматься математикой — возможно, с несколько большим риском провала своих расчетов. Он подробно обосновал это в Новые направления . ^[56] Квазиэмпиризм был развит также Имре Лакатосом .

Наиболее важная критика эмпирических взглядов на математику примерно такая же, как и критика Милля. Если математика столь же эмпирична, как и другие науки, то это означает, что ее результаты столь же подвержены ошибкам, как и их собственные, и столь же случайны. В случае Милля эмпирическое обоснование приходит напрямую, тогда как в случае Куайна оно приходит косвенно, через последовательность нашей научной теории в целом, т.е. согласованность после Э.О.Вильсона . Куайн предполагает, что математика кажется совершенно достоверной, поскольку роль, которую она играет в нашей паутине убеждений, чрезвычайно важна, и что нам было бы чрезвычайно трудно ее пересмотреть, хотя и не невозможно.

О философии математики, которая пытается преодолеть некоторые недостатки подходов Куайна и Гёделя, принимая аспекты каждого из них, см. « » Пенелопы Мэдди Реализм в математике . Другим примером реалистической теории является теория воплощенного разума .

Экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что человеческие младенцы могут выполнять элементарную арифметику, см. у Брайана Баттерворта .

фикционализм

Математический беллетрист прославился в 1980 году, когда Хартри Филд опубликовал книгу «Наука без чисел» . ^[57] который отверг и фактически перевернул аргумент Куайна о необходимости. Там, где Куайн предположил, что математика необходима для наших лучших научных теорий и, следовательно, ее следует принять как совокупность истин, говорящих о независимо существующих сущностях, Филд предположил, что математика необязательна и, следовательно, ее следует рассматривать как совокупность неправд, не говорящих ни о чем. настоящий. Он сделал это, дав полную аксиоматизацию ньютоновской механики вообще без ссылки на числа или функции. Он начал с «между» аксиом Гильберта, чтобы охарактеризовать пространство без его координации, а затем добавил дополнительные отношения между точками, чтобы выполнить работу, ранее выполняемую векторными полями . Геометрия Гильберта является математической, поскольку она говорит об абстрактных точках, но в теории Филда эти точки являются конкретными точками физического пространства, поэтому никаких специальных математических объектов вообще не требуется.

Показав, как заниматься наукой без использования чисел, Филд приступил к реабилитации математики как своего рода полезной фантастики . Он показал, что математическая физика является консервативным расширением его нематематической физики (то есть каждый физический факт, доказуемый в математической физике, уже доказуем на основе системы Филда), так что математика — это надежный процесс, все физические приложения которого верны, даже если его собственные утверждения ложны. Таким образом, занимаясь математикой, мы можем представить себя рассказывающими некую историю, говорящими так, как если бы числа существовали. Для Филда утверждение типа «2 + 2 = 4» является таким же вымышленным, как и « Шерлок Холмс жил на Бейкер-стрит, 221Б», но оба они верны согласно соответствующим вымыслам.

Другой беллетрист, Мэри Ленг , лаконично выражает эту точку зрения, отвергая любую кажущуюся связь между математикой и физическим миром как «счастливое совпадение». Это неприятие отличает фикционализм от других форм антиреализма, которые рассматривают саму математику как искусственную, но все же каким-то образом связанную или приспособленную к реальности. ^[58]

С этой точки зрения не существует никаких метафизических или эпистемологических проблем, специфических для математики. Остались только общие опасения по поводу нематематической физики и художественной литературы в целом. Подход Филда оказал большое влияние, но широко отвергается. Частично это происходит из-за необходимости наличия сильных фрагментов логики второго порядка для осуществления его редукции, а также из-за того, что утверждение консервативности, по-видимому, требует количественной оценки абстрактных моделей или выводов. ^{[ нужна ссылка ]}

Социальный конструктивизм

Социальный конструктивизм рассматривает математику прежде всего как социальную конструкцию , как продукт культуры, подлежащий исправлению и изменению. Как и другие науки, математика рассматривается как эмпирическая деятельность, результаты которой постоянно оцениваются и могут быть отброшены. Однако, если с эмпирической точки зрения оценка представляет собой своего рода сравнение с «реальностью», социальные конструктивисты подчеркивают, что направление математического исследования диктуется модой выполняющей его социальной группы или потребностями финансирующего его общества. Однако, хотя такие внешние силы могут изменить направление некоторых математических исследований, существуют сильные внутренние ограничения — математические традиции, методы, проблемы, смыслы и ценности, в которые привиты математики, — которые работают на сохранение исторически определенной дисциплины.

Это противоречит традиционным убеждениям работающих математиков о том, что математика в некотором роде чиста и объективна. Но социальные конструктивисты утверждают, что математика на самом деле основана на значительной неопределенности: по мере развития математической практики статус предыдущей математики подвергается сомнению и корректируется в той степени, в которой этого требует или желает современное математическое сообщество. Это можно увидеть в развитии анализа на основе пересмотра исчисления Лейбница и Ньютона. Далее они утверждают, что законченной математике часто придается слишком высокий статус, а народной математике недостаточно из-за чрезмерного внимания к аксиоматическому доказательству и экспертной оценке как практике.

Социальная природа математики подчеркивается в ее субкультурах . Крупные открытия могут быть сделаны в одной области математики и иметь отношение к другой, однако эта связь остается нераскрытой из-за отсутствия социальных контактов между математиками. Социальные конструктивисты утверждают, что каждая специальность формирует свое собственное эпистемическое сообщество и часто испытывает большие трудности с общением или мотивацией исследования объединяющих гипотез , которые могут относиться к различным областям математики. Социальные конструктивисты рассматривают процесс «занятия математикой» как фактическое создание смысла, в то время как социальные реалисты видят недостаток либо человеческой способности к абстрагированию, либо когнитивных предубеждений математиков человека, либо коллективного разума как препятствующего пониманию реальной вселенной математические объекты. Социальные конструктивисты иногда отвергают поиск оснований математики как обреченный на неудачу, как бессмысленный или даже бессмысленный.

Вклад в эту школу внесли Имре Лакатос и Томас Тимочко , хотя неясно, поддержит ли кто-нибудь это название. ^{[ нужны разъяснения ]} Совсем недавно Пол Эрнест четко сформулировал социальную конструктивистскую философию математики. ^[59] Некоторые считают, что работа Пола Эрдеша в целом развивала эту точку зрения (хотя он лично отверг ее) из-за его уникально широкого сотрудничества, которое побудило других рассматривать и изучать «математику как социальную деятельность», например, через число Эрдеша . Рубен Херш также продвигал социальный взгляд на математику, называя его «гуманистическим» подходом. ^[60] похоже на то, что связано с Элвином Уайтом, но не совсем то же самое; ^[61] один из соавторов Херша, Филип Дж. Дэвис , также выразил симпатию к социальной точке зрения.

За пределами традиционных школ

Неоправданная эффективность

Вместо того чтобы сосредоточиться на узких дебатах об истинной природе математической истины или даже на уникальных для математиков практиках, таких как доказательство , растущее движение с 1960-х по 1990-е годы начало подвергать сомнению идею поиска оснований или поиска какого-либо единственного правильного ответа на вопрос. почему математика работает. Отправной точкой для этого стала знаменитая статья Юджина Вигнера 1960 года « Необоснованная эффективность математики в естественных науках », в которой он утверждал, что счастливое совпадение математики и физики, которые так хорошо сочетаются, кажется необоснованным и труднообъяснимым.

Два смысла Поппера в числовых утверждениях

Реалистические и конструктивистские теории обычно считаются противоположными. Однако Карл Поппер ^[62] утверждал, что числовое утверждение, такое как «2 яблока + 2 яблока = 4 яблока», можно понимать в двух смыслах. В каком-то смысле это неопровержимо и логически верно. Во втором смысле оно фактически истинно и фальсифицируемо. Другой способ выразить это — сказать, что одно числовое утверждение может выражать два предложения: одно из которых можно объяснить с точки зрения конструктивизма; другой на реалистическом уровне. ^[63]

Философия языка

Нововведения в философии языка в XX веке возобновили интерес к тому, является ли математика, как часто говорят, ^{[ нужна ссылка ]} язык науки . Хотя некоторые ^{[ ВОЗ? ]} математики и философы приняли бы утверждение «математика — это язык» (большинство считает, что язык математики — это часть математики, к которой математику нельзя свести), ^{[ нужна ссылка ]} лингвисты ^{[ ВОЗ? ]} считаю, что следует учитывать последствия такого заявления. Например, инструменты лингвистики обычно не применяются к символьным системам математики, то есть математика изучается совершенно иначе, чем другие языки. Если математика — это язык, то это язык, отличный от естественных языков . Действительно, из-за необходимости ясности и конкретики язык математики гораздо более ограничен, чем естественные языки, изучаемые лингвистами. Однако методы, разработанные Фреге и Тарским для изучения математического языка, были значительно расширены учеником Тарского Ричардом Монтегю и другими лингвистами, работающими в области формальной семантики, чтобы показать, что различие между математическим языком и естественным языком может быть не таким большим, как кажется. .

Мохан Ганесалингам проанализировал математический язык, используя инструменты формальной лингвистики. ^[64] Ганесалингам отмечает, что некоторые особенности естественного языка не являются необходимыми при анализе математического языка (например, время ), но можно использовать многие из тех же аналитических инструментов (например, контекстно-свободные грамматики ). Одним из важных отличий является то, что математические объекты имеют четко определенные типы , которые могут быть явно определены в тексте: «Фактически нам разрешено вводить слово в одну часть предложения и объявлять его часть речи в другой; и эта операция не имеет аналога в естественном языке». ^[64]^: 251

Аргументы

Незаменимый аргумент в пользу реализма

Этот аргумент, связанный с Уиллардом Куайном и Хилари Патнэмом считает , Стивен Ябло одним из самых сложных аргументов в пользу признания существования абстрактных математических объектов, таких как числа и множества. ^[65] Форма аргументации следующая.

Необходимо иметь онтологические обязательства по отношению ко всем сущностям, которые необходимы для лучших научных теорий, и только к этим сущностям (обычно называемым «все и только»).
Математические сущности необходимы для лучших научных теорий. Поэтому,
Необходимо иметь онтологические обязательства перед математическими объектами. ^[66]

Обоснование первой посылки является наиболее спорным. И Патнэм, и Куайн ссылаются на натурализм, чтобы оправдать исключение всех ненаучных объектов и, следовательно, защитить «единственную» часть «всего и только». Утверждение о том, что «все» сущности, постулируемые в научных теориях, включая числа, следует принимать как реальные, оправдано холизмом подтверждения . Поскольку теории подтверждаются не по частям, а в целом, нет никаких оснований исключать какие-либо сущности, упомянутые в хорошо подтвержденных теориях. Это ставит номиналиста , желающего исключить существование множеств и неевклидовой геометрии , но включить существование кварков и других необнаружимых физических объектов. в затруднительное положение ^[66]

Эпистемический аргумент против реализма

Антиреалистический эпистемический « аргумент » против платонизма был выдвинут Полом Бенацеррафом и Хартри Филдом . Платонизм утверждает, что математические объекты являются абстрактными сущностями. По общему мнению, абстрактные сущности не могут причинно взаимодействовать с конкретными физическими объектами («истинные значения наших математических утверждений зависят от фактов, связанных с платоновскими сущностями, которые находятся в сфере за пределами пространства-времени» ^[67]). Хотя наше знание конкретных физических объектов основано на нашей способности воспринимать их и, следовательно, причинно взаимодействовать с ними, не существует параллельного описания того, как математики приходят к познанию абстрактных объектов. ^[68]^[69]^[70] Другой способ подчеркнуть это состоит в том, что если бы платоновский мир исчез, это не имело бы никакого значения для способности математиков генерировать доказательства и т. д., которые уже полностью ответственны с точки зрения физических процессов в их мозгу.

Филд развил свои взгляды в фикционализм . Бенасерраф также разработал философию математического структурализма , согласно которой не существует математических объектов. Тем не менее, некоторые версии структурализма совместимы с некоторыми версиями реализма.

Этот аргумент основан на идее о том, что удовлетворительное натуралистическое описание мыслительных процессов с точки зрения мозговых процессов может быть дано как для математических рассуждений, так и для всего остального. Одна из линий защиты — утверждать, что это неверно, так что математические рассуждения используют некую особую интуицию , которая предполагает контакт с платоновской сферой. Современную форму этого аргумента предлагает сэр Роджер Пенроуз . ^[71]

Другая линия защиты — утверждать, что абстрактные объекты имеют отношение к математическим рассуждениям некаузально и не аналогично восприятию. Этот аргумент развит Джерролдом Кацем в его книге 2000 года «Реалистический рационализм» .

Более радикальная защита – это отрицание физической реальности, то есть гипотезы математической вселенной . В этом случае математические знания математика — это контакт одного математического объекта с другим.

Эстетика

Многих практикующих математиков этот предмет привлекал из-за чувства красоты, которое они в нем чувствовали. Иногда можно услышать мнение, что математики хотели бы оставить философию философам и вернуться к математике — в чем, по-видимому, и заключается красота.

В своей работе о божественной пропорции Х. Х. Хантли соотносит чувство чтения и понимания чужого доказательства математической теоремы с чувством зрителя, наблюдающего за шедевром искусства: читатель доказательства испытывает такое же чувство восторга от понимания, как первоначальный автор доказательства, так же, как, утверждает он, зритель шедевра испытывает чувство восторга, подобное оригинальному художнику или скульптору. Действительно, математические и научные труды можно изучать как литературу .

Филип Дж. Дэвис и Рубен Херш отметили, что чувство математической красоты универсально среди практикующих математиков. В качестве примера они приводят два доказательства иррациональности $\sqrt 2$ . Первое — традиционное доказательство от противного , приписываемое Евклиду ; второе — более прямое доказательство, включающее фундаментальную теорему арифметики, которая, по их мнению, затрагивает суть проблемы. Дэвис и Херш утверждают, что математики находят второе доказательство более привлекательным с эстетической точки зрения, поскольку оно приближает природу проблемы.

Пауль Эрдеш был хорошо известен своей идеей гипотетической «Книги», содержащей самые элегантные и красивые математические доказательства. Не существует единого мнения о том, что результат имеет одно «самое элегантное» доказательство; Григорий Чайтин выступил против этой идеи.

Философы иногда критиковали чувство красоты и элегантности математиков как в лучшем случае сформулированное расплывчато. Однако по той же причине философы математики пытались охарактеризовать, что делает одно доказательство более желательным, чем другое, когда оба логически обоснованы.

Другой аспект эстетики математики — это взгляды математиков на возможное использование математики в целях, которые считаются неэтичными или неуместными. Наиболее известное изложение этой точки зрения содержится в Г.Х. Харди книге «Апология математика» , в которой Харди утверждает, что чистая математика превосходит по красоте прикладную математику именно потому, что ее нельзя использовать для войны и подобных целей.

Журналы

См. также

Связанные работы

Исторические темы

Примечания

^ Это не означает явного указания всех используемых правил вывода. Наоборот, это вообще невозможно без компьютеров и помощников по доказыванию . Даже при использовании этой современной технологии для написания подробного доказательства могут потребоваться годы человеческого труда.
^ Это не означает, что для выбора доказываемых теорем и их доказательства не нужны эмпирические данные и интуиция.
^ Даже если некоторые люди считали, что необходимы более точные определения, они не смогли их предоставить.

Ссылки

^ Балагер, Марк (2016). «Платонизм в метафизике» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2016 г.). Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 30 января 2022 года . Проверено 2 апреля 2022 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Борель, Арманд (1983). «Математика: искусство и наука» . Математический интеллект . 5 (4). Спрингер: 9–17. дои : 10.4171/news/103/8 . ISSN 1027-488X .
^ См. Уайт, Л. (1947). «Локус математической реальности: антропологическая сноска». Философия науки . 14 (4): 289–303. дои : 10.1086/286957 . S2CID 119887253 . 189303; также в Ньюман, младший (1956). Мир математики . Том. 4. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. стр. 2348–2364.
^ Хамами, Яцин (июнь 2022 г.). «Математическая строгость и доказательство» (PDF) . Обзор символической логики . 15 (2): 409–449. дои : 10.1017/S1755020319000443 . S2CID 209980693 . Архивировано (PDF) оригинала 5 декабря 2022 г. Проверено 21 ноября 2022 г.
^ Феррейрос, Хосе (2001). «Дорога к современной логике — интерпретация» (PDF) . Бюллетень символической логики . 7 (4): 441–484. дои : 10.2307/2687794 . hdl : 11441/38373 . JSTOR 2687794 . S2CID 43258676 . Архивировано (PDF) из оригинала 2 февраля 2023 г. Проверено 11 ноября 2022 г.
^ Перминов, В.Я. (1988). «О достоверности математических доказательств». Философия математики . 42 (167 (4)). Международное ревю философии: 500–508.
^ Дэвис, Джон Д.; Макдаффи, Эми Рот; Дрейк, Кори; Сейвелл, Аманда Л. (2019). «Восприятие учителей официальной учебной программы: решение проблем и строгость». Международный журнал исследований в области образования . 93 : 91–100. дои : 10.1016/j.ijer.2018.10.002 . S2CID 149753721 .
^ Белломо, Никола; Прециози, Луиджи (22 декабря 1994 г.). Моделирование математических методов и научных вычислений . Математическое моделирование. Том. 1. ЦРК Пресс. п. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1 . Проверено 16 ноября 2022 г.
^ Хенниг, Кристиан (2010). «Математические модели и реальность: конструктивистский взгляд» . Основы науки . 15 : 29–48. дои : 10.1007/s10699-009-9167-x . S2CID 6229200 . Проверено 17 ноября 2022 г.
^ Фригг, Роман ; Хартманн, Стефан (4 февраля 2020 г.). «Модели в науке» . Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 17 ноября 2022 года . Проверено 17 ноября 2022 г.
^ Стюарт, Ян (2018). «Математика, карты и модели» . В Вуппулури, Шьям; Дориа, Франсиско Антонио (ред.). Карта и территория: изучение основ науки, мысли и реальности . Коллекция «Границы». Спрингер. стр. 345–356. дои : 10.1007/978-3-319-72478-2_18 . ISBN 978-3-319-72478-2 . Проверено 17 ноября 2022 г.
^ «Примененный контрольный список по естественным наукам: Математика» . Понимание науки . Калифорнийский университет, Беркли. Архивировано из оригинала 27 октября 2019 года . Проверено 27 октября 2019 г.
^ Маккей, Алабама (1991). Словарь научных цитат . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 100. ИСБН 978-0-7503-0106-0 . Проверено 19 марта 2023 г.
^ Бишоп, Алан (1991). «Экологическая деятельность и математическая культура» . Математическая инкультурация: культурный взгляд на математическое образование . Норвелл, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. стр. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3 . Проверено 5 апреля 2020 г.
^ Шаша, Деннис Эллиот ; Лазер, Кэти А. (1998). Они сошли с ума: жизнь и открытия 15 великих ученых-компьютерщиков . Спрингер. п. 228. ИСБН 978-0-387-98269-4 .
^ Никлс, Томас (2013). «Проблема демаркации». Философия лженауки: новый взгляд на проблему демаркации . Чикаго: Издательство Чикагского университета. п. 104. ИСБН 978-0-226-05182-6 .
^ Пильуччи, Массимо (2014). «Есть ли «другие» способы узнать?» . Философия сейчас . Архивировано из оригинала 13 мая 2020 года . Проверено 6 апреля 2020 г.
^ Вигнер, Юджин (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2011 года.
^ Саруккай, Сундар (10 февраля 2005 г.). «Возвращение к« необоснованной эффективности »математики». Современная наука . 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208 .
^ Вагстафф, Сэмюэл С. младший (2021). «История целочисленного факторинга» (PDF) . В Босе, Жоппе В.; Стам, Мартейн (ред.). Вычислительная криптография, алгоритмические аспекты криптографии, дань уважения AKL . Серия 469 лекций Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета. стр. 41–77. Архивировано (PDF) оригинала 20 ноября 2022 г. Проверено 20 ноября 2022 г.
^ «Кривые: Эллипс» . МакТьютор . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 14 октября 2022 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
^ Мукунтх, Васудеван (10 сентября 2015 г.). «За поверхностью теории относительности Эйнштейна лежит химерическая геометрия» . Проволока . Архивировано из оригинала 20 ноября 2022 года . Проверено 20 ноября 2022 г.
^ Уилсон, Эдвин Б.; Льюис, Гилберт Н. (ноябрь 1912 г.). «Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма». Труды Американской академии искусств и наук . 48 (11): 389–507. дои : 10.2307/20022840 . JSTOR 20022840 .
^ Хэнсон, Норвуд Рассел (ноябрь 1961 г.). «Открытие позитрона (I)». Британский журнал философии науки . 12 (47). Издательство Чикагского университета: 194–214. дои : 10.1093/bjps/xiii.49.54 . JSTOR 685207 .
^ Джинамми, Мишель (февраль 2016 г.). «Избегание овеществления: эвристическая эффективность математики и предсказание Ω ^– частица». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 53 : 20–27. Бибкод : 2016SHPMP..53...20G . doi : 10.1016/j.shpsb.2015.12.001 .
^ «Математика открыта или изобретена?» . Университет Эксетера . Архивировано из оригинала 27 июля 2018 года . Проверено 28 марта 2018 г.
^ «Математика: открыта, изобретена или и то, и другое?» . pbs.org . 13 апреля 2015 г. Архивировано из оригинала 28 марта 2018 г. . Проверено 28 марта 2018 г.
^ Моррис Клайн (1990), Математическая мысль от древних до наших дней , стр. 32. Oxford University Press.
^ Клини, Стивен (1971). Введение в метаматематику . Амстердам, Нидерланды: Издательство Северной Голландии. п. 5.
^ Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , 2-е издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, Нью-Йорк.
^ * Патнэм, Хилари (1967), «Математика без оснований», Журнал философии 64/1, 5-22. Перепечатано, стр. 168–184 в WD Hart (изд., 1996).
^ «Цитаты из извинений математика Г.Х. Харди» . Архивировано из оригинала 08 мая 2021 г. Проверено 20 июля 2020 г.
^ С, Ф. (январь 1941 г.). «Апология математика». Природа . 147 (3714): 3–5. Бибкод : 1941Natur.147....3S . дои : 10.1038/147003a0 . S2CID 4212863 .
^ «Платонизм в метафизике» . Платонизм в метафизике (Стэнфордская энциклопедия философии) . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2016. Архивировано из оригинала 28 апреля 2019 г. Проверено 24 августа 2018 г.
^ «Платонизм в философии математики» . «Платонизм в философии математики» (Стэнфордская энциклопедия философии) . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2018. Архивировано из оригинала 25 ноября 2018 г. Проверено 17 августа 2018 г.
^ Айвор Граттан-Гиннесс (редактор), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , Routledge, 2002, стр. 681.
^ «Натурализм в философии математики» . Натурализм в философии математики (Стэнфордская энциклопедия философии) . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2016. Архивировано из оригинала 11 июня 2018 г. Проверено 18 августа 2018 г.
^ Балагер, Марк (1994). «Против (маддианского) натурализованного платонизма». Философия Математика . 2 (2): 97–108. дои : 10.1093/филмат/2.2.97 .
^ Линский, Б.; Залта, Э. (1995). «Натурализованный платонизм против платонизированного натурализма». Журнал философии . 92 (10): 525–555. дои : 10.2307/2940786 . JSTOR 2940786 .
^ Тегмарк, Макс (февраль 2008 г.). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Бибкод : 2008FoPh...38..101T . дои : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 .
^ Тегмарк (1998), с. 1.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Карнап, Рудольф (1931), «Die logizistische Grundlegung der Mathematik», Erkenntnis 2, 91–121. Переиздано «Логистические основы математики» Э. Патнэма и Г. Дж. Мэсси (пер.) в Бенасеррафе и Патнэме (1964). Перепечатано, стр. 41–52 в Benacerraf and Putnam (1983).
^ Александр Пасо; Фабиан Прегель. Дедуктивизм в философии математики . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
^ Зак, Ричард (2019), «Программа Гильберта» , в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. летом 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет, заархивировано из оригинала 2022–2020 гг. -08 , получено 25 мая 2019 г.
^ Ауди, Роберт (1999), Кембриджский философский словарь , издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, 1995. 2-е издание. Страница 542.
^ Бишоп, Эрретт (2012) [1967], Основы конструктивного анализа (изд. в мягкой обложке), Нью-Йорк: Ishi Press, ISBN 978-4-87187-714-5
↑ Из лекции 1886 года в «Berliner Naturforscher-Versammlung», согласно мемориальной статье Его Величества Вебера , цитируемой и переведенной в Гонсалес Кабийон, Хулио (3 февраля 2000 г.). «ФОМ: Какой была форма Кронекера?» . Архивировано из оригинала 9 октября 2007 г. Проверено 19 июля 2008 г. В качестве источников для мемориальной статьи Гонсалес приводит следующие источники: Вебер, Х.: «Леопольд Кронекер», Ежегодные отчеты Немецкой математической ассоциации , том II (1893), стр. 5–31. См. стр. 19. См. также Mathematical Annals vol. XLIII (1893), стр. 1–25.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мэйберри, JP (2001). Основы математики в теории множеств . Издательство Кембриджского университета .
^ Браун, Джеймс (2008). Философия математики . Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 978-0-415-96047-2 .
^ Франклин, Джеймс (2014). Аристотелевская реалистическая философия математики: математика как наука о количестве и структуре . Пэлгрейв Макмиллан. ISBN 9781137400727 .
^ Франклин, Джеймс (2022). «Математика как наука о неабстрактной реальности: аристотелевская реалистическая философия математики» . Основы науки . 27 (2): 327–344. дои : 10.1007/s10699-021-09786-1 . S2CID 233658181 . Проверено 30 июня 2021 г.
^ Мэдди, Пенелопа (1990), Реализм в математике , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.
^ Айер, Альфред Жюль (1952). Язык, истина и логика . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 74 и далее . ISBN 978-0-486-20010-1 .
^ Поппер, Карл Р. (1995). «О знаниях». В поисках лучшего мира: лекции и очерки тридцати лет . Нью-Йорк: Рутледж. п. 56. Бибкод : 1992sbwl.book.....P . ISBN 978-0-415-13548-1 .
^ Поппер, Карл (2002) [1959]. Логика научного открытия . Абингдон-на-Темзе: Рутледж. п. 18. ISBN 978-0-415-27843-0 .
^ Тимочко, Томас (1998), Новые направления в философии математики . ISBN 978-0691034980 .
^ Филд, Хартри , Наука без чисел , Блэквелл, 1980.
^ Ленг, Мэри (2010). Математика и реальность . Издательство Оксфордского университета. п. 239. ИСБН 978-0199280797 .
^ Эрнест, Пол. «Математика открыта или изобретена?» . Университет Эксетера. Архивировано из оригинала 5 апреля 2008 г. Проверено 26 декабря 2008 г.
^ Херш, Рубен (10 февраля 1997 г.). «Что такое число?» (Интервью). Беседовал Джон Брокман. Фонд Края. Архивировано из оригинала 16 мая 2008 года . Проверено 26 декабря 2008 г.
^ «Гуманизм и математическое образование» . Математический форум . Сетевой журнал гуманистической математики. Архивировано из оригинала 24 июля 2008 г. Проверено 26 декабря 2008 г.
^ Поппер, Карл Раймунд (1946) Дополнительный том XX Аристотелевского общества.
^ Грегори, Фрэнк Хатсон (1996) « Арифметика и реальность: развитие идей Поппера ». Городской университет Гонконга. Переиздано в журнале «Философия математического образования» № 26 (декабрь 2011 г.).
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ганесалингам, Мохан (2013). Язык математики: лингвистическое и философское исследование . Конспекты лекций по информатике. Том. 7805. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-37012-0 . ISBN 978-3-642-37011-3 . S2CID 14260721 .
^ Ябло, С. (8 ноября 1998 г.). «Парадокс существования» . Архивировано из оригинала 7 января 2020 года . Проверено 26 августа 2019 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Патнэм, Х. Математика, материя и метод. Философские статьи, том. 1 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1975. 2-е место. изд., 1985.
^ Филд, Хартри, 1989, Реализм, математика и модальность , Оксфорд: Блэквелл, стр. 68
^ «Поскольку абстрактные объекты находятся вне связи причин и следствий и, следовательно, недоступны для восприятия, они не могут быть познаны через их влияние на нас» — Кац, Дж. Реалистический рационализм , 2000, с. 15
^ « Философия сегодня : «Математические знания: дилемма» » . Архивировано из оригинала 7 февраля 2011 года.
^ «Платонизм в философии математики» . Стандартная энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2018. Архивировано из оригинала 4 декабря 2010 г. Проверено 13 февраля 2011 г.
^ Обзор. Архивировано 14 мая 2011 г. в Wayback Machine of The Emperor's New Mind .

Дальнейшее чтение

Бенасерраф, Поль ; Патнэм, Хилари , ред. (1983). Философия математики, Избранные материалы (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107268135 .
Харт, WD (1996). Уилбур Дайр Харт (ред.). Философия математики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780198751199 .
Ирвин, А., изд. (2009). Философия математики . Справочник по философии науки. Северо-Голландский Эльзевир. ISBN 9780080930589 .
Кернер, Стефан (1960). Философия математики. Введение . Книги Харпера. OCLC 1054045322 .
Рассел, Бертран (1993) [1919]. Введение в математическую философию . Рутледж. ISBN 9780486277240 . OCLC 1097317975 .
Шапиро, Стюарт (2000). Размышление о математике: философия математики . Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780192893062 .

Внешние ссылки

Философия математики в PhilPapers
Философия математики в проекте онтологии философии Индианы
Хорстен, Леон. «Философия математики» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
«Философия математики» . Интернет-энциклопедия философии .
Лондонское руководство по изучению философии, заархивированное 23 сентября 2009 г. в Wayback Machine, предлагает множество советов о том, что читать, в зависимости от знания студентом предмета:
- Философия математики. Архивировано 20 июня 2009 г. в Wayback Machine.
- Математическая логика. Архивировано 25 января 2009 г. в Wayback Machine.
- Теория множеств и дальнейшая логика. Архивировано 27 февраля 2009 г. в Wayback Machine.
Страница философии математики Р.Б. Джонса
Философия математики в Керли
Корфилд, Дэвид . «Философия реальной математики - Блог» .
Пирс, CS (1998). «22. Новые элементы (Καινα Στοιχεία)» . В проекте Peirce Edition (ред.). Основное Пирс, Избранные философские сочинения . Том. 2 (1893–1913). Издательство Университета Индианы. стр. 300–324. ISBN 9780253007810 .

[4] Это не означает явного указания всех используемых правил вывода. Наоборот, это вообще невозможно без компьютеров и помощников по доказыванию . Даже при использовании этой современной технологии для написания подробного доказательства могут потребоваться годы человеческого труда.

[5] Это не означает, что для выбора доказываемых теорем и их доказательства не нужны эмпирические данные и интуиция.

[10] Даже если некоторые люди считали, что необходимы более точные определения, они не смогли их предоставить.

[SEP-Platonism-1] Балагер, Марк (2016). «Платонизм в метафизике» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии (изд. весны 2016 г.). Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. Архивировано из оригинала 30 января 2022 года . Проверено 2 апреля 2022 г.

[borel-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Борель, Арманд (1983). «Математика: искусство и наука» . Математический интеллект . 5 (4). Спрингер: 9–17. дои : 10.4171/news/103/8 . ISSN 1027-488X .

[3] См. Уайт, Л. (1947). «Локус математической реальности: антропологическая сноска». Философия науки . 14 (4): 289–303. дои : 10.1086/286957 . S2CID 119887253 . 189303; также в Ньюман, младший (1956). Мир математики . Том. 4. Нью-Йорк: Саймон и Шустер. стр. 2348–2364.

[6] Хамами, Яцин (июнь 2022 г.). «Математическая строгость и доказательство» (PDF) . Обзор символической логики . 15 (2): 409–449. дои : 10.1017/S1755020319000443 . S2CID 209980693 . Архивировано (PDF) оригинала 5 декабря 2022 г. Проверено 21 ноября 2022 г.

[7] Феррейрос, Хосе (2001). «Дорога к современной логике — интерпретация» (PDF) . Бюллетень символической логики . 7 (4): 441–484. дои : 10.2307/2687794 . hdl : 11441/38373 . JSTOR 2687794 . S2CID 43258676 . Архивировано (PDF) из оригинала 2 февраля 2023 г. Проверено 11 ноября 2022 г.

[8] Перминов, В.Я. (1988). «О достоверности математических доказательств». Философия математики . 42 (167 (4)). Международное ревю философии: 500–508.

[9] Дэвис, Джон Д.; Макдаффи, Эми Рот; Дрейк, Кори; Сейвелл, Аманда Л. (2019). «Восприятие учителей официальной учебной программы: решение проблем и строгость». Международный журнал исследований в области образования . 93 : 91–100. дои : 10.1016/j.ijer.2018.10.002 . S2CID 149753721 .

[11] Белломо, Никола; Прециози, Луиджи (22 декабря 1994 г.). Моделирование математических методов и научных вычислений . Математическое моделирование. Том. 1. ЦРК Пресс. п. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1 . Проверено 16 ноября 2022 г.

[12] Хенниг, Кристиан (2010). «Математические модели и реальность: конструктивистский взгляд» . Основы науки . 15 : 29–48. дои : 10.1007/s10699-009-9167-x . S2CID 6229200 . Проверено 17 ноября 2022 г.

[13] Фригг, Роман ; Хартманн, Стефан (4 февраля 2020 г.). «Модели в науке» . Стэнфордская энциклопедия философии . Архивировано из оригинала 17 ноября 2022 года . Проверено 17 ноября 2022 г.

[14] Стюарт, Ян (2018). «Математика, карты и модели» . В Вуппулури, Шьям; Дориа, Франсиско Антонио (ред.). Карта и территория: изучение основ науки, мысли и реальности . Коллекция «Границы». Спрингер. стр. 345–356. дои : 10.1007/978-3-319-72478-2_18 . ISBN 978-3-319-72478-2 . Проверено 17 ноября 2022 г.

[15] «Примененный контрольный список по естественным наукам: Математика» . Понимание науки . Калифорнийский университет, Беркли. Архивировано из оригинала 27 октября 2019 года . Проверено 27 октября 2019 г.

[16] Маккей, Алабама (1991). Словарь научных цитат . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. п. 100. ИСБН 978-0-7503-0106-0 . Проверено 19 марта 2023 г.

[Bishop1991-17] Бишоп, Алан (1991). «Экологическая деятельность и математическая культура» . Математическая инкультурация: культурный взгляд на математическое образование . Норвелл, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. стр. 20–59. ISBN 978-0-7923-1270-3 . Проверено 5 апреля 2020 г.

[18] Шаша, Деннис Эллиот ; Лазер, Кэти А. (1998). Они сошли с ума: жизнь и открытия 15 великих ученых-компьютерщиков . Спрингер. п. 228. ИСБН 978-0-387-98269-4 .

[Nickles2013-19] Никлс, Томас (2013). «Проблема демаркации». Философия лженауки: новый взгляд на проблему демаркации . Чикаго: Издательство Чикагского университета. п. 104. ИСБН 978-0-226-05182-6 .

[Pigliucci2014-20] Пильуччи, Массимо (2014). «Есть ли «другие» способы узнать?» . Философия сейчас . Архивировано из оригинала 13 мая 2020 года . Проверено 6 апреля 2020 г.

[wigner1960-21] Вигнер, Юджин (1960). «Необоснованная эффективность математики в естественных науках» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 13 (1): 1–14. Бибкод : 1960CPAM...13....1W . дои : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252 . Архивировано из оригинала 28 февраля 2011 года.

[22] Саруккай, Сундар (10 февраля 2005 г.). «Возвращение к« необоснованной эффективности »математики». Современная наука . 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208 .

[23] Вагстафф, Сэмюэл С. младший (2021). «История целочисленного факторинга» (PDF) . В Босе, Жоппе В.; Стам, Мартейн (ред.). Вычислительная криптография, алгоритмические аспекты криптографии, дань уважения AKL . Серия 469 лекций Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета. стр. 41–77. Архивировано (PDF) оригинала 20 ноября 2022 г. Проверено 20 ноября 2022 г.

[24] «Кривые: Эллипс» . МакТьютор . Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала 14 октября 2022 года . Проверено 20 ноября 2022 г.

[25] Мукунтх, Васудеван (10 сентября 2015 г.). «За поверхностью теории относительности Эйнштейна лежит химерическая геометрия» . Проволока . Архивировано из оригинала 20 ноября 2022 года . Проверено 20 ноября 2022 г.

[26] Уилсон, Эдвин Б.; Льюис, Гилберт Н. (ноябрь 1912 г.). «Пространственно-временное многообразие теории относительности. Неевклидова геометрия механики и электромагнетизма». Труды Американской академии искусств и наук . 48 (11): 389–507. дои : 10.2307/20022840 . JSTOR 20022840 .

[27] Хэнсон, Норвуд Рассел (ноябрь 1961 г.). «Открытие позитрона (I)». Британский журнал философии науки . 12 (47). Издательство Чикагского университета: 194–214. дои : 10.1093/bjps/xiii.49.54 . JSTOR 685207 .

[28] Джинамми, Мишель (февраль 2016 г.). «Избегание овеществления: эвристическая эффективность математики и предсказание Ω ^– частица». Исследования по истории и философии науки. Часть B: Исследования по истории и философии современной физики . 53 : 20–27. Бибкод : 2016SHPMP..53...20G . doi : 10.1016/j.shpsb.2015.12.001 .

[29] «Математика открыта или изобретена?» . Университет Эксетера . Архивировано из оригинала 27 июля 2018 года . Проверено 28 марта 2018 г.

[30] «Математика: открыта, изобретена или и то, и другое?» . pbs.org . 13 апреля 2015 г. Архивировано из оригинала 28 марта 2018 г. . Проверено 28 марта 2018 г.

[31] Моррис Клайн (1990), Математическая мысль от древних до наших дней , стр. 32. Oxford University Press.

[Kleene_1971-32] Клини, Стивен (1971). Введение в метаматематику . Амстердам, Нидерланды: Издательство Северной Голландии. п. 5.

[33] Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , 2-е издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, Нью-Йорк.

[34] * Патнэм, Хилари (1967), «Математика без оснований», Журнал философии 64/1, 5-22. Перепечатано, стр. 168–184 в WD Hart (изд., 1996).

[35] «Цитаты из извинений математика Г.Х. Харди» . Архивировано из оригинала 08 мая 2021 г. Проверено 20 июля 2020 г.

[36] С, Ф. (январь 1941 г.). «Апология математика». Природа . 147 (3714): 3–5. Бибкод : 1941Natur.147....3S . дои : 10.1038/147003a0 . S2CID 4212863 .

[SEP-P-37] «Платонизм в метафизике» . Платонизм в метафизике (Стэнфордская энциклопедия философии) . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2016. Архивировано из оригинала 28 апреля 2019 г. Проверено 24 августа 2018 г.

[38] «Платонизм в философии математики» . «Платонизм в философии математики» (Стэнфордская энциклопедия философии) . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2018. Архивировано из оригинала 25 ноября 2018 г. Проверено 17 августа 2018 г.

[39] Айвор Граттан-Гиннесс (редактор), Сопутствующая энциклопедия истории и философии математических наук , Routledge, 2002, стр. 681.

[40] «Натурализм в философии математики» . Натурализм в философии математики (Стэнфордская энциклопедия философии) . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2016. Архивировано из оригинала 11 июня 2018 г. Проверено 18 августа 2018 г.

[41] Балагер, Марк (1994). «Против (маддианского) натурализованного платонизма». Философия Математика . 2 (2): 97–108. дои : 10.1093/филмат/2.2.97 .

[42] Линский, Б.; Залта, Э. (1995). «Натурализованный платонизм против платонизированного натурализма». Журнал философии . 92 (10): 525–555. дои : 10.2307/2940786 . JSTOR 2940786 .

[Tegmark2008-43] Тегмарк, Макс (февраль 2008 г.). «Математическая Вселенная». Основы физики . 38 (2): 101–150. arXiv : 0704.0646 . Бибкод : 2008FoPh...38..101T . дои : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 .

[44] Тегмарк (1998), с. 1.

[Carnap-45] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Карнап, Рудольф (1931), «Die logizistische Grundlegung der Mathematik», Erkenntnis 2, 91–121. Переиздано «Логистические основы математики» Э. Патнэма и Г. Дж. Мэсси (пер.) в Бенасеррафе и Патнэме (1964). Перепечатано, стр. 41–52 в Benacerraf and Putnam (1983).

[46] Александр Пасо; Фабиан Прегель. Дедуктивизм в философии математики . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.

[47] Зак, Ричард (2019), «Программа Гильберта» , в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. летом 2019 г.), Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет, заархивировано из оригинала 2022–2020 гг. -08 , получено 25 мая 2019 г.

[48] Ауди, Роберт (1999), Кембриджский философский словарь , издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, 1995. 2-е издание. Страница 542.

[49] Бишоп, Эрретт (2012) [1967], Основы конструктивного анализа (изд. в мягкой обложке), Нью-Йорк: Ishi Press, ISBN 978-4-87187-714-5

[50] Из лекции 1886 года в «Berliner Naturforscher-Versammlung», согласно мемориальной статье Его Величества Вебера , цитируемой и переведенной в Гонсалес Кабийон, Хулио (3 февраля 2000 г.). «ФОМ: Какой была форма Кронекера?» . Архивировано из оригинала 9 октября 2007 г. Проверено 19 июля 2008 г. В качестве источников для мемориальной статьи Гонсалес приводит следующие источники: Вебер, Х.: «Леопольд Кронекер», Ежегодные отчеты Немецкой математической ассоциации , том II (1893), стр. 5–31. См. стр. 19. См. также Mathematical Annals vol. XLIII (1893), стр. 1–25.

[Mayberry_2001-51] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мэйберри, JP (2001). Основы математики в теории множеств . Издательство Кембриджского университета .

[52] Браун, Джеймс (2008). Философия математики . Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 978-0-415-96047-2 .

[Frabook-53] Франклин, Джеймс (2014). Аристотелевская реалистическая философия математики: математика как наука о количестве и структуре . Пэлгрейв Макмиллан. ISBN 9781137400727 .

[54] Франклин, Джеймс (2022). «Математика как наука о неабстрактной реальности: аристотелевская реалистическая философия математики» . Основы науки . 27 (2): 327–344. дои : 10.1007/s10699-021-09786-1 . S2CID 233658181 . Проверено 30 июня 2021 г.

[Maddy-55] Мэдди, Пенелопа (1990), Реализм в математике , Oxford University Press, Оксфорд, Великобритания.

[56] Айер, Альфред Жюль (1952). Язык, истина и логика . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., с. 74 и далее . ISBN 978-0-486-20010-1 .

[57] Поппер, Карл Р. (1995). «О знаниях». В поисках лучшего мира: лекции и очерки тридцати лет . Нью-Йорк: Рутледж. п. 56. Бибкод : 1992sbwl.book.....P . ISBN 978-0-415-13548-1 .

[58] Поппер, Карл (2002) [1959]. Логика научного открытия . Абингдон-на-Темзе: Рутледж. п. 18. ISBN 978-0-415-27843-0 .

[59] Тимочко, Томас (1998), Новые направления в философии математики . ISBN 978-0691034980 .

[60] Филд, Хартри , Наука без чисел , Блэквелл, 1980.

[Leng-61] Ленг, Мэри (2010). Математика и реальность . Издательство Оксфордского университета. п. 239. ИСБН 978-0199280797 .

[62] Эрнест, Пол. «Математика открыта или изобретена?» . Университет Эксетера. Архивировано из оригинала 5 апреля 2008 г. Проверено 26 декабря 2008 г.

[63] Херш, Рубен (10 февраля 1997 г.). «Что такое число?» (Интервью). Беседовал Джон Брокман. Фонд Края. Архивировано из оригинала 16 мая 2008 года . Проверено 26 декабря 2008 г.

[64] «Гуманизм и математическое образование» . Математический форум . Сетевой журнал гуманистической математики. Архивировано из оригинала 24 июля 2008 г. Проверено 26 декабря 2008 г.

[65] Поппер, Карл Раймунд (1946) Дополнительный том XX Аристотелевского общества.

[66] Грегори, Фрэнк Хатсон (1996) « Арифметика и реальность: развитие идей Поппера ». Городской университет Гонконга. Переиздано в журнале «Философия математического образования» № 26 (декабрь 2011 г.).

[ganesalingam-67] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ганесалингам, Мохан (2013). Язык математики: лингвистическое и философское исследование . Конспекты лекций по информатике. Том. 7805. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-642-37012-0 . ISBN 978-3-642-37011-3 . S2CID 14260721 .

[Ya-68] Ябло, С. (8 ноября 1998 г.). «Парадокс существования» . Архивировано из оригинала 7 января 2020 года . Проверено 26 августа 2019 г.

[MMM-69] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Патнэм, Х. Математика, материя и метод. Философские статьи, том. 1 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета, 1975. 2-е место. изд., 1985.

[70] Филд, Хартри, 1989, Реализм, математика и модальность , Оксфорд: Блэквелл, стр. 68

[71] «Поскольку абстрактные объекты находятся вне связи причин и следствий и, следовательно, недоступны для восприятия, они не могут быть познаны через их влияние на нас» — Кац, Дж. Реалистический рационализм , 2000, с. 15

[72] « Философия сегодня : «Математические знания: дилемма» » . Архивировано из оригинала 7 февраля 2011 года.

[73] «Платонизм в философии математики» . Стандартная энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета. 2018. Архивировано из оригинала 4 декабря 2010 г. Проверено 13 февраля 2011 г.

[74] Обзор. Архивировано 14 мая 2011 г. в Wayback Machine of The Emperor's New Mind .

[1]

[2]

[3]

[а]

[б]

[4]

[5]

[6]

[7]

[с]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

v т и Основные математики области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject